BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI
Hương Quý Trường
PHÂN TÍCH PHI TUYẾN TĨNH VÀ DAO ĐỘNG CỦA DẦM SANDWICH FGP GIA CƯỜNG GPL
Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số: 9520101
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ
Hà Nội - Năm 2023
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Xây dựng Hà Nội
Người hướng dẫn khoa học 1: TS Đặng Xuân Hùng - Trường Đại học Xây dựng Hà Nội Người hướng dẫn khoa học 2: GS.TS Trần Minh Tú - Trường Đại học Xây dựng Hà Nội Phản biện 1:
GS. TSKH Nguyễn Đông Anh – Viện Cơ học
Phản biện 2:
GS. TS Nguyễn Tiến Chương – Trường Đại học Thủy Lợi
Phản biện 3:
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Xây dựng Hà Nội. vào hồi 14 giờ 00 ngày tháng 01 năm 2024
Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Quốc Gia và Thư viện Trường Đại học Xây dựng Hà Nội.
GS. TS Nguyễn Thái Chung – Học Viện Kỹ thuật Quân sự
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài Kết cấu sandwich với lựa chọn vật liệu lớp bề mặt, lớp lõi và tỷ lệ độ dày giữa các lớp hợp lý sẽ đạt được nhiều ưu điểm nổi trội so với kết cấu đơn lớp truyền thống và được ứng dụng nhiều trong nhiều lĩnh vực.
Việc phân tích ứng xử cơ học của các kết cấu sandwich làm bằng các loại vật liệu tiên tiến sẽ làm rõ hơn khả năng ứng dụng của các loại vật liệu và kết cấu này trong thực tế. Vì vậy đề tài luận án được lựa chọ: “Phân tích phi tuyến tĩnh và dao động của dầm sandwich FGP gia cường GPL”
2. Mục đích nghiên cứu của luận án Phân tích tuyến tính/phi tuyến tĩnh và dao động của kết cấu dầm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGM xốp gia cường bởi GPL (graphene platelet), hai lớp bề mặt bằng vật liệu FGM. Trên cơ sở đó, đánh giá ưu, nhược điểm của kết cấu dầm sandwich đề xuất để có thể đưa vào ứng dụng trong thực tế.
3. Mục tiêu nghiên cứu của luận án Đề xuất mô hình kết cấu dầm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGM xốp gia cường bởi GPL (graphene platelet), hai lớp bề mặt bằng vật liệu FGM.
Xây dựng mô hình và thuật toán để phân tích phi tuyến tĩnh và dao động cho dầm sandwich, với các điều kiện biên khác nhau, sử dụng phương pháp Ritz và lý thuyết dầm viết dưới dạng tổng quát.
Viết chương trình tính bằng Matlab để khảo sát ảnh hưởng của tham số vật liệu, kết cấu đến ứng xử phi tuyến tĩnh và dao động của dầm sandwich đề xuất
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án Đối tượng nghiên cứu là dầm sandwich với hai lớp bề mặt bằng vật liệu FGM và lớp lõi bằng vật liệu rỗng FGP gia cường GPL. Phạm vi nghiên cứu của luận án là bài toán phân tích tuyến tính và phi tuyến tĩnh, dao động riêng và đáp ứng chuyển vị của dao động cưỡng bức.
5. Cơ sở khoa học của luận án Sử dụng vật liệu tiên tiến (FGM, FGP gia cường GPL); Mô hình lý thuyết dầm dạng tổng quát; Phương pháp Ritz cho dầm với các điều kiện biên.
6. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu trong luận án là nghiên cứu lý thuyết với tiếp cận bán giải tích và thực nghiệm số. Trên cơ sở lý thuyết dầm tổng quát và phương pháp Ritz, các phương trình chuyển động được thiết lập và sau đó được giải bằng các phương pháp số khác nhau.
7. Những đóng góp mới của luận án Đề xuất mô hình kết cấu dầm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu FGM xốp gia cường bởi GPL (graphene platelet), hai lớp bề mặt bằng vật liệu FGM.
2
Xây dựng mô hình và thuật toán để phân tích phi tuyến tĩnh và dao động cho dầm sandwich, với các điều kiện biên khác nhau, sử dụng phương pháp Ritz và lý thuyết dầm viết dưới dạng tổng quát.
Viết chương trình tính bằng Matlab để khảo sát ảnh hưởng của tham số vật liệu, kết cấu đến ứng xử phi tuyến tĩnh và dao động của dầm sandwich đề xuất.
8. Bố cục của luận án Luận án gồm: Phần mở đầu, bốn chương chính, kết luận và kiến nghị, danh mục công trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo và phụ lục.
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Trong chương này, tác giả trình bày nghiên cứu tổng quan về đặc điểm cấu tạo của kết cấu sandwich và về lịch sử quá trình phát triển của kết cấu sandwich, các phân tích tuyến tính và phi tuyến kết cấu dầm sandwich, các lý thuyết và phương pháp tính toán dầm sandwich để từ đó định hướng nghiên cứu của đề tài luận án. 1.1. Đặc điểm cấu tạo của kết cấu Sandwich Kết cấu sandwich là một dạng của kết cấu composite nhiều cấu lớp. Kết sandwich điển hình bao gồm lớp lõi dày có trọng lượng nhẹ đặt giữa hai lớp bề mặt mỏng có độ bền cao. Hình 1.1. Mô hình kết cấu Sandwich
Việc cấu tạo lớp lõi khác nhau tạo nên sự đa dạng của kết cấu sandwich. Tính chất cơ học của lớp lõi phụ thuộc vào ba yếu tố chính: khối lượng riêng, tính chất của vật liệu gốc và dạng hình học. Phần lớn vật liệu lõi có cấu trúc dạng tế bào được thể hiện trên Hình 1.2.
Hình 1.2.Phân loại lõi dạng cấu trúc tế bào [93] 1.2. Tổng quan các phân tích tuyến tính tĩnh và dao động dầm sandwich 1.2.1. Dầm sandwich có lớp lõi đẳng hướng, lõi xốp, lõi mềm
Với dầm sandwich lõi mềm đã có các nghiên cứu như: Frostig và Baruch [40-41]; Garg và cs. [43]; Damanpack và Khalili [30]. Các d ạng sandwich lõi xốp có các nghiên cứu như: Salami và cs. [128]; Shen và cs. [134]. Nghiên c ứu về lõi cứng, lõi đẳng hướng có một số tác giả quan tâm: Wu và Kitipornchai
3
[157]; Ebrahimi và Farzamandnia [35]. 1.2.2. Dầm sandwich với lõi hoặc lớp bề mặt là vật liệu FGM
Sự ra đời của vật liệu FGM đã mở thêm một hướng ứng dụng mới trong việc chế tạo kết cấu sandwich. Tại Việt Nam, có một số các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu về dầm sandwich FG như: Nguyễn Bá Duy [34]; Phạm Vũ Nam và đồng nghiệp [113]; Lê Công Ích và đồng nghiệp [76]; Nguyễn Đình Kiên và cs. [103]. Trên thế giới, các ứng xử cơ học của dầm sandwich FG cũng được trình bày trong rất nhiều các tài liệu khoa học như: Su và cs. [140]; Vo và cs. [153]; Amirani và cs. [2]. 1.2.3. Dầm sandwich có lớp lõi là vật liệu FGP
Với sự ra đời của vật liệu FGP trên cơ sở kết hợp giữa hai loại vật liệu: FGM và vật liệu xốp (porous materials), các nghiên cứu về dầm sandwich có lớp lõi FGP trở thành một chủ đề được quan tâm: Mu và Zhao [100]; Kumar và Harsha [75]; Chinh và cs. [26]; Hung và cs. [116]. 1.2.4. Dầm sandwich có lõi dàn, lõi gấp nếp, lõi tổ ong
Các mô hình sandwich với cấu trúc lõi dạng dàn, nếp gấp, lõi tổ ong thường phức tạp hơn trong việc mô hình cấu trúc lõi nguyên khối. Một số các nghiên cứu liên quan tới cấu trúc lõi này như: Zhang và cs. [172]; Kohsake và cs. [73]; Xu và cs. [160, 161]; Xiong và cs [159]. 1.2.5. Đánh giá tổng quan về phân tích tuyến tính dầm sandwich
Qua nghiên cứu tổng quan, có thể thấy rằng các phân tích tuyến tính tĩnh và dao động kết cấu dầm sandwich được thực hiện tương đối đa dạng và đầy đủ cho các đối tượng dầm sandwich khác nhau. Các kết quả nghiên cứu về ứng xử tĩnh và các đặc trưng dao động cũng được nhiều tác giả quan tâm. Do đó, tác giả định hướng nghiên cứu của mình sang bài toán phân tích phi tuy ến. 1.3. Tổng quan các phân tích phi tuyến dầm sandwich
Phân tích phi tuyến sẽ phản ánh chính xác hơn sự làm việc của kết cấu trong thực tế. Các công bố về phân tích phi tuyến tĩnh và động kết cấu dầm sandwich cho thấy mức độ quan trọng của bài toán này đối với công tác thiết kế. Một số các nghiên cứu về phân tích phi tuyến về dầm sandwich như: Sokolinsky và cs. [137]; Allahverdi và cs. [1]; Nguy ễn Đình Kiên và Trần Thị Thơm [102]. Các phân tích phi tuyến về dầm sandwich với lớp lõi bằng vật liệu FGP cũng thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học: Srikarun và cs. [139]; Chen và cs. [23].
Qua tổng quan về phân tích phi tuyến của dầm sandwich có thể thấy rằng các nghiên cứu về vấn đề này còn hạn chế so với các phân tích tuyến tính và chưa có nghiên cứu nào về dầm sandwich với lớp bề mặt bằng vật liệu FGM và lớp lõi bằng vật liệu FGP gia cường GPL. Do đó, tác giả định hướng đề tài luận án “phân tích phi tuyến tĩnh và dao động của dầm sandwich với lớp bề mặt bằng vật liệu FGM và lớp lõi bằng vật liệu FGP gia cường GPL”.
4
1.4. Tổng quan về các mô hình dầm
Lý thuyết được sử dụng phổ biến nhất trong phân tích ứng xử của dầm là lý thuyết dầm cổ điển (CBT) được phát triển bởi Bernoulli và Euler [10, 38]. Do bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang nên lý thuyết này chỉ phù hợp với các dầm có chiều dài trung bình hoặc ngắn. Timoshenko [144] đã đề xuất lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất- FSDBT, có kể đến ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang và mô men quán tính quay trong bi ểu thức động năng của dầm. Tuy nhiên, lý thuyết FSDBT lại không mô tả chính xác quy luật phân bố của ứng suất tiếp theo phương chiều cao dầm cũng như điều kiện ứng suất cắt ngang bằng không ở bề mặt trên và dưới của dầm. Do vậy, trong tính toán cần phải sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt. Để khắc phục nhược điểm này, các lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (chủ yếu là lý thuyết dầm bậc ba) đã được đề xuất. Các lý thuyết dầm bậc ba đã mô tả chính xác quy luật phân bố parabol của thành phần ứng suất cắt ngang theo chiều cao của dầm mà không yêu cầu hệ số hiệu chỉnh cắt [7, 15, 82]. Một số lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đã được đề xuất như: lý thuyết biến dạng cắt dạng parabol [14, 45, 52]; các lý thuy ết biến dạng cắt bậc cao dạng hàm lượng giác [29, 44];
Qua tổng quan về các lý thuyết tính toán kết cấu dầm, có thể nhận thấy rằng có rất nhiều lý thuyết khác nhau được sử dụng, tuy nhiên phạm vi sử dụng của chúng còn chưa rõ ràng. Vì vậy trong khuôn khổ của luận án này, tác giả sử dụng một số mô hình dầm phổ biến biểu diễn dưới dạng tổng quát để phân tích phi tuyến ứng xử tĩnh và dao động của dầm sandwich. Từ các khảo sát số sẽ đưa ra khuyến cáo về phạm vi sử dụng của từng mô hình dầm. 1.5. Tổng quan về các phương pháp giải
Các phương pháp giải có thể phân thành 3 nhóm chính: 1) Ph ương pháp giải tích; 2) Phương pháp số; 3) Phương pháp bán giải tích. Các phương pháp giải tích được coi là các phương pháp giải chính xác và thường được dùng như tiêu chuẩn kiểm chứng kết quả của các phương pháp khác. Các phương pháp số mà điển hình là phương pháp phần tử hữu hạn được đánh giá đạt hiểu quả cao trong phân tích các kết cấu với các điều kiện biên khác nhau và hình d ạng kết cấu đa dạng. Tuy nhiên hạn chế của các phương pháp này là cần phải kiểm chứng độ hội tụ và độ chính xác của kết quả. Một số các nghiên cứu về dầm sandwich có sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn như: Vo P.T và cs. [152, 153]; Yarasca và cs. [163].
Một giải pháp được coi là có thể dung hòa giữa phương pháp giải tích và phương pháp số là phương pháp bán giải tích. Một trong số các phương pháp bán giải tích được sử dụng phổ biến hiện nay là phương pháp Ritz [23, 139, 156]. Phương pháp này cho phép nghiên c ứu các kết cấu với điều kiện biên và dạng hình học đa dạng nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết so với phương pháp giải tích. Vì vậy, tác giả định hướng lựa chọn phương pháp Ritz là phương pháp giải các bài toán phân tích phi tuy ến tĩnh và dao động dầm sandwich.
5
1.6. Định hướng nghiên cứu
Qua phần tổng quan, tác giả rút ra một số định hướng nghiên cứu sau: - Đối tượng nghiên cứu: Kết cấu dầm sandwich với lớp bề mặt bằng vật
liệu FGM và lớp lõi làm bằng vật liệu rỗng FGP gia cường GPL - Bài toán phân tích: Phân tích phi tuyến tĩnh và dao động - Lý thuyết tính toán: Sử dụng một mô hình dầm tổng quát - Phương pháp giải: Phương pháp Pb-Ritz.
CHƯƠNG 2. MÔ HÌNH BÀI TOÁN PHÂN TÍCH PHI TUYẾN TĨNH VÀ DAO ĐỘNG CHO DẦM SANDWICH
2.1. Mở đầu
Trong chương này, luận án giới thiệu về mô hình dầm sandwich đề xuất; lý thuyết dầm tổng quát, các hệ thức và phương trình chủ đạo tương ứng. Tiếp đó, trên cơ sở lý thuyết dầm tổng quát và phương pháp Ritz, tác giả tiến hành xây dựng hệ phương trình chuyển động tổng quát của bài toán phân tích phi tuyến cho dầm sandwich. 2.2. Mô hình dầm sandwich FGP gia cường GPL Xét dầm sandwich FGP gia cường GPL có kích thước như Hình 2.1.
c
c
m
Hình 2.1. Cấu tạo dầm sandwich FGP gia cường GPL 2.2.1. Vật liệu lớp bề mặt Sử dụng mô hình Voigt [49], hai l ớp bề mặt bằng vật liệu FGM với các tính chất vật liệu H được giả thiết biến thiên liên tục theo chiều cao dầm: H z ( ) V H V H m trong đó
(2-1) mH lần lượt là các hằng số vật liệu của thành phần gốm và mV z là tỷ phần thể tích tương ứng của gốm và kim loại,
và kim loại, V z c
cH và cV z và 1. V z m 2.2.2. Vật liệu lớp lõi Lớp lõi bằng vật liệu rỗng (FGP) gia cường GPL với ba dạng phân bố lỗ rỗng là: Phân bố không đều đối xứng (PD1), phân bố không đều không đối xứng (PD2) và phân bố đều (UPD). Ba dạng phân bố GPL là: dạng A (đối xứng), dạng B (không đối xứng) và dạng C (đều) như Hình 2.2.
6
z
E
z ( )
z ( )
cos
( ) 1
z ( ) ;
core
E z 1
e 01 1
1
Hình 2.2. Phân bố lỗ rỗng và tỷ phần thể tích GPL gia cường của lớp lõi Đặc trưng cơ học của vật liệu lớp lõi cho ba trường hợp phân bố lỗ rỗng [30]: - Phân bố lỗ rỗng không đều đối xứng:
h c
(2-2)
E
z ( )
z ( )
cos
- Phân bố lỗ rỗng không đều không đối xứng:
( ) 1
z ( ) ;
core
E z 1
e 02
2
2
4
z h 2 c
(2-3)
core
( ); ' const - Phân bố lỗ rỗng đều: (2-4) E z 1 ( ); z 1 3 thay đổi theo chiều cao lớp lõi [41]: ( ) ( ) E z z core Vật liệu GPL với tỷ lệ thể tích GPLV
7
GPL
V với GPL - dạng A ) s i
1 1 cos( z h c z h C
GPL
(2-5) V 4 2 s i
với GPL - dạng B 2 1 cos v ới GPL - dạng C
3
GPL
ijs của hàm tỷ lệ thể tích GPLV
T
V s i Giá trị lớn nhất
GPLW ) và tỷ lệ thể tích của GPL trong lớp lõi -
GPLV
2
2
h c
h c
phụ thuộc vào dạng phân bố lỗ rỗng và được xác định thông qua mối quan hệ giữa tỷ trọng khối lượng GPL gia cường ( :
GPL
T GPL
2
2
h c
h c
V dz dz V (2-6) core 1 core 1
2.3. Lý thuyết dầm tổng quát 2.3.1. Trường chuyển vị tổng quát
0
x
0
w x z t , ) ( , w x t ( , ) x t ( , ); f z ( ) zw 0, Trường chuyển vị tổng quát của dầm được viết dưới dạng [4, 51]: u x z t , ) ( , x
(2-7) ,u w là các thành phần chuyển vị của điểm bất 0 f z là hàm số đặc trưng cho từng ( )
u x t ( , ) 0 trong đó: t là biến thời gian; kỳ trên mặt trung bình theo các phương x, z; lý thuyết dầm cụ thể được thể hiện trong Bảng 2.1. 2.3.2. Trường biến dạng
2 w 0,
x
x
x z
z
x
,
z
Các thành phần biến dạng được viết dưới dạng: ; 0,5 f z ( ) (2-8) u , x u , w , x
xz
2.3.3. Trường ứng suất và các thành phần ứng lực trên mặt cắt ngang Với dầm sandwich, ứng suất tại mỗi điểm thuộc lớp thứ i (i = 1, 2, 3) được xác định bởi: G z ( ) (2-9) x xz Bảng 2.1. Các hàm ( ) ; E z x f z đặc trưng cho các lý thuyết dầm khác nhau ( )
f Lý thuyết dầm Tên viết tắt
FSDBT Timoshenko [56]
z z
2
z z h PSDBT Lý thuyết dầm bậc ba [45] 1 4 3
h sin z h TSDBT
cosh 1 2
2
2( /
z h
)
h sinh z h z HSDBT
ESDBT ze
Lý thuyết dầm với hàm chuyển vị dạng hàm sin [57] Lý thuyết dầm với hàm chuyển vị dạng hàm sinh [51] Lý thuyết dầm với hàm chuyển vị dạng hàm e mũ [29] 2.3.4. Biểu thức của phiếm hàm Hamilton Thế năng biến dạng đàn hồi của dầm được xác định theo công thức sau.
8
zL
4
B
x
xz
x
xz
z 10
U bdzdx (2-10) 1 2
LU :
L
Từ biểu thức (2-11), ta tách thế năng biến dạng của dầm thành hai phần : + Thế năng biến dạng đàn hồi tuyến tính
2 A u 11 0,
* B u 11 0,
x
x
xx
, x x
L
0
2 D w 11 0,
xx
* D w 11 0,
x x ,
* 11
2 x x ,
* 2 A 55 x
NLU :
L
2 2 B u w 11 0, 0, x U bdx (2-11) 1 2 H 2 xx + Thế năng biến dạng đàn hồi phi tuyến
NL
2 A u w 11 0, 0,
x
x
2 B w w 0, 0,
11
xx
x
* 2 B w 11 0,
x x ,
4 A w 11 0,
x
0
L
0, 25 U bdx (2-12) x 1 2 Thế năng của phản lực nền đàn hồi [35]:
F
2 K w 0 W
2 K w 0, P
x
0
PK là là hệ số độ cứng Winkler, hệ số độ cứng trượt của nền đàn hồi
U bdx (2-13) 1 2 ; Với WK
P x là :
L
Thế năng của tải trọng phân bố
P x w bdx
0
0
W (2-14)
zL
4
2
2
Động năng của dầm được xác định bởi:
z u ( )
w bdzdx
0
z 1
T (2-15) 1 2
T
Phiếm hàm Hamilton được định nghĩa bởi :
a
B
F
o
H T U U W dt (2-16)
2.3.5. Phương trình chuyển động theo phương pháp Pb-Ritz Theo phương pháp Pb-Ritz, các thành phần chuyển vị của một điểm trên
m
m
x ( );
x t ( , )
x ( )
i
i
x
i
u x t ( , ) 0
q t ( ) i 1
x w x t ( ); ( , ) 0
q t ( ) i 2
q t ( ) i 3
i
i
i
1
1
1
mặt trung bình được giả thiết dưới dạng chuỗi đa thức như sau [9, 62]: m (2-17)
3
i
2 i là các hàm số dạng đa thức đặc trưng cho điều kiện
biên của dầm và có dạng như sau [62]:
1
1
1
, , q q q là các hệ số cần xác 1 i định; x x x ; ; trong đó m là số số hạng trong khai triển chuỗi; i i i
i
; i
; i
x L
L x L
x L
x L
L x L
x L
x L
L x L
x L
l
r
i
j
i
p
q
i
k
(2-18)
9
Đầu mút trái (x = 0) j 2 2 1 2
Điều kiện biên CC CS SS CF
p 1 1 0 1
r 1 1 1 0
l 1 1 1 1
q 1 0 0 0
Bảng 2.2. Các chỉ số mũ với các điều kiện biên khác nhau của dầm Đầu mút phải (x = L) k 2 1 1 0
T
(với C là liên kết ngàm, S là liên kết đơn giản (gối cố định) và F là đầu tự do) Thay (2-19) vào (2-18) ta được phương trình chuyển động của dầm [46]:
a
B
F
0
0 H T U U W dt (2-19)
a
a
Phương trình chuyển động của dầm là phương trình Lagrange loại II [55]:
ji
ji
0 (2-20) d dt H q H q Hệ phương trình thu được gồm 3m phương trình dưới dạng ma trận: K K (2-21)
q q Mq F
L
NL
2.4. Kết luận chương 2
Trong chương 2, luận án đã đề xuất một mô hình dầm sandwich đảm bảo tính liên tục về vật liệu giữa các lớp. Sử dụng lý thuyết dầm dạng tổng quát, các hệ thức cơ bản đã được thiết lập có kể đến yếu tố phi tuyến hình học von Kármán. Áp dụng nguyên lý Hamilton và trường chuyển vị khai triển theo phương pháp Pb-Ritz, luận án đã xây dựng được hệ phương trình chuyển động cho dầm sandwich.
CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH PHI TUYẾN TĨNH CỦA DẦM SANDWICH
3.1. Mở đầu
Trong chương này, tác giả sẽ trình bày lời giải cho bài toán phân tích tĩnh dầm sandwich với các điều kiện biên khác nhau trong hai tr ường hợp: phân tích tuyến tính và phân tích phi tuyến. Hệ phương trình cân bằng phi tuyến được giải bằng phương pháp giải lặp Newton-Raphson. 3.2. Lời giải cho bài toán tĩnh
NL
L
Trong các phân tích tĩnh, hệ phương trình cân bằng thu được: K K q F (3-1)
3.2.1. Bài toán phân tích tuyến tính
Trong các phân tích tuyến tính, ta giải hệ 3m phương trình đại số tuyến tính:
L K q F
Lq :
(3-2) Nghiệm của hệ 3m phương trình (3-2) là véc tơ với 3m hệ số
10
1. K F
q L L
(3-3) Từ đây ta xác định được các thành phần chuyển vị, biến dạng, ứng suất, nội
NLq của hệ phương trình đại số phi tuyến (3-1) nhận
lực của bài toán phân tích tuyến tính tĩnh. 3.2.2. Bài toán phân tích phi tuyến Nghiệm gần đúng
được bằng phương pháp giải lặp Newton-Raphson. 3.3. Phương pháp giải lặp Newton-Raphson
f q ( ) K Hệ phương trình phi tuyến (3-1) được viết lại như sau: 0 (3-4)
K q q F ( )
NL
L
T
m
ji
ji
ji
ji
3
1 n ji
n ji
n ji n q ji
) ),..., ), ( ) trong đó q f ( f q k ( f q 2 ( f q 1 là hàm của hệ số .jiq Nghiệm theo phương pháp Newton-Raphson được viết dưới dạng: f ( q ) q q ( n 0,1, 2,3,....) (3-5) f '( )
trong đó với là ma trận Jacobian )n jiqf '(
3
3.4. Bài toán khảo sát Xét dầm sandwich có hai lớp bề mặt bằng vật liệu P-FGM, lớp lõi bằng vật liệu rỗng FGP gia cường GPL. Các thông số khảo sát như sau: Các cơ tính vật liệu:
cE
3Al O :
c
3
C
2 70 GPa,
+ Hai lớp bề mặt là vật liệu P-FGM với hai vật liệu thành phần là nhôm và ; Kim ceramic: Ceramic 3800 kg/m 380 GPa, 0,3 ,
mE
m
0e với quy luật
0,3; 2702 kg/m
PK .
loại nhôm Al: m + Lớp lõi rỗng làm bằng bọt kim loại nhôm có mật độ lỗ rỗng phân bố lỗ rỗng khác nhau: PD1, PD2, UPD. + Vật liệu GPL gia cường cho lớp lõi có các dạng phân bố: Dạng A, Dạng B và Dạng C. Tỷ trọng khối lượng GPL gia cường so với tổng khối lượng lớp lõi GPLW . Các thông số hình học và tính chất vật liệu GPL như sau [30]. -
0P .
Mô hình nền đàn hồi: Dầm được đặt trên nền đàn hồi Pasternak với hai hệ số nền WK và Tải trọng uốn: Dầm chịu tải phân bố đều với cường độ Luận án sử dụng các đại lượng không thứ nguyên được định nghĩa:
Độ võng, nội lực và các thành phần ứng suất không thứ nguyên: 2) w ; M z ( ) ; z ; z ( ) 0; z (3-6) ; x x xz xz ( 2) w L 0 h L 2 ( M L x 2 P L 0 h P L 0 h P L 0 Tải trọng không thứ nguyên và các hệ số nền không thứ nguyên:
11
0
0
4
4 P L 0 E h m
4 K L W E I m
P ; K ; J (3-7)
3 12
2 K L P E I m bh
I với I là mô men quán tính của tiết diện cắt ngang:
3.5. Khảo sát ảnh hưởng của lý thuyết dầm Trong mục này, luận án tiến hành khảo sát ảnh hưởng của các lý thuyết dầm đến sự phân bố ứng suất theo chiều cao tiết diện dầm. Xét dầm sandwich đơn giản với: L/h = 5, lớp lõi có 0,5 (PD1), e 0
GPLW 5P . Phân bố ứng suất pháp không thứ nguyên tại vị trí giữa dầm x = L/2 và ứng suất tiếp không thứ nguyên tại vị trí đầu trái của dầm x = 0 theo chiều cao tiết diện dầm được biểu diễn ở Hình 3.1
1% (Dạng A); p = 5,
z
z
* x
* xz
, z 0, z (3-8) x xz L 2 h P L 0 h P L 0
(a): Phân tích tuyến tính (b): Phân tích phi tuyến
0
Hình 3.1. Biến thiên các thành phần ứng suất theo chiều cao dầm (L/h=5) Biểu đồ phân bố ứng suất pháp đã sự phù hợp về vị trí thớ căng, về ứng suất cực trị tại mặt trên và mặt dưới và về bước nhảy tại vị trí tiếp giáp giữa lõi với hai lớp bề mặt. Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp cho thấy sự phù hợp về điều kiện về ứng suất zx tại mặt trên và mặt dưới của dầm trừ trường hợp sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất FSDBT. Dạng đối xứng của ứng suất tiếp vẫn giữ nguyên trong cả phân tích tuyến tính và phi tuyến.
12
GPLW
3.6. Khảo sát đường cong tải - độ võng và tải – nội lực 3.6.1. Ảnh hưởng của điều kiện biên. 0,5 (PD1); 1% Xét dầm sandwich 1-8-1 với: L/h = 20; p = 5; e 0
0
0
0, K J . chịu tác dụng của tải phân bố P thay đổi từ 0 10 (dạng A); 0 Kết quả khảo sát được thể hiện trên Hình 3.2.
Chúng ta thấy kết quả của bài toán phân tích phi tuyến (đường cong) và phân tích tuyến tính (đường thẳng), duy nhất có điều kiện biên CF thì cho kết quả đường thẳng trong cả hai trường hợp. Độ cong của đồ thị thể hiện mức độ phi tuyến và phụ thuộc vào điều kiện biên: độ cong tăng dần theo mức độ tăng tải và giảm dần theo thứ tự biên SS, CS và CC.
GPLW
0
Hình 3.2. Đường cong tải – Độ võng, mô men với điều kiện biên khác nhau 3.6.2. Ảnh hưởng của nền đàn hồi 0,5 (PD1); 1% Xét dầm sandwich: biên SS; L/h = 20; p = 5; e 0 là (0;0), (100;0), (100;10) . (dạng A) và với 3 cặp hệ số nền ;K J 0
Ảnh hưởng của các hệ số nền đàn hồi được thể hiện trên Hình 3.3. Giá trị của độ võng và mô men giảm dần theo thứ tự: không có nền đàn hồi, nền đàn hồi Winkler và nền đàn hồi Pasternak. Điều chú ý ở đây là cùng với sự giảm dần của độ võng và mô men thì tính phi tuy ến cũng giảm dần theo cùng thứ tự.
Hình 3.3. Đường cong tải – Độ võng, mô men với các hệ số nền khác nhau
GPLW
(dạng A); 3.6.3. Ảnh hưởng tỷ số kích thước L/h Xét dầm sandwich: Biên SS; p = 5; 0,5 (PD1); 1% e 0
13
0P thay đổi từ 0 10
0
K 0 (MPa) và /L h thay đổi , chịu tác dụng J 00,
Hình 3.4. Đường cong tải - độ võng, mô men với các tỷ lệ /L h khác nhau
Kết quả khảo sát độ võng không thứ nguyên và mô men uốn tại giữa dầm /L h tăng sẽ
0
được thể hiện dưới dạng đồ thị trên Hình 3.4. Ta thấy khi tỷ lệ làm cho độ võng và mô men uốn tăng và tính phi tuyến cũng tăng. 3.6.4. Ảnh hưởng của cấu hình dầm sandwich 0,5 (PD1); Xét dầm sandwich biên SS với: L/h = 20; p = 5; e 0 1% 0, (dạng A); K 0
J và các cấu hình dầm sandwich khác 0 GPLW nhau: 1-1-1; 1-2-1; 1-4-1; 1-8-1. Ảnh hưởng của cấu hình sandwich được biểu diễn trên đồ thị Hình 3.6. Do khi tỷ lệ chiều dày lớp lõi tăng lên sẽ làm cho độ cứng của dầm giảm, kéo theo độ võng tăng và tính phi tuyến cũng tăng theo.
0; 0,5; 1; 5
p
GPLW (dạng . Ảnh hưởng của chỉ số tỷ lệ A); chỉ số tỷ lệ thể tích thay đổi thể tích lớp bề mặt được biểu diễn trên Hình 3.6. Do khi chỉ số p tăng thì hàm lượng Ceramic tại lớp bề mặt bị giảm đi làm cho độ cứng lớp bề mặt giảm và độ cứng tổng thể của dầm cũng giảm và vì vậy độ võng và độ phi tuyến sẽ tăng.
Hình 3.5. Đường cong tải – Độ võng mô men với tỷ lệ chiều dày các lớp dầm sandwich khác nhau 3.6.5. Ảnh hưởng chỉ số tỷ lệ thể tích vật liệu lớp bề mặt. 0,5 Xét dầm sandwich (1-4-1): L/h = 20; (PD1); 1% e 0
14
0.6
(4)
0.5
Dầm sandwich (1-4-1): Biên SS; L/h = 20; = 0,5 (PD1); e
= 1% (dạng A);
0 W
(2)
0.4
K
GPL = J
= 0
0
0
0.3
(3)
0.2
(1)
0.1
p = 0 (PT) p = 0,5 (PT) p = 1 (PT) p = 5 (PT)
0
0
2
4
6
8
10
0
Hình 3.6. Đường cong tải – Độ võng, mô men với chỉ số thể tích lớp bề mặt dầm sandwich khác nhau 3.6.6. Ảnh hưởng của vật liệu lớp lõi Xét dầm sandwich (1-8-1): Biên SS; L/h = 20; p = 5; K . 0
J 00, 3.6.6.1. Ảnh hưởng quy luật phân bố lỗ rỗng FGP và hệ số lỗ rỗng
10 . Các thông số lớp lõi: Hệ số lỗ rỗng P
GPLW
1% (dạng A).
Hình 3.7. Đồ thị độ võng với hệ số lỗ rỗng lớp lõi dầm sandwich khác nhau
Xét dầm chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều với cường độ tải trọng không thứ nguyên 0e thay đổi; các trường hợp phân bố lỗ rỗng khác nhau được gia cường GPL với tỷ trọng khối lượng Qua đồ thị Hình 3.7 ta nhận thấy: trong cùng một cấp tải, khi hệ số lỗ rỗng tăng thì độ võng không thứ nguyên của dầm cũng tăng theo trong cả hai trường hợp phân tích tuyến tính và phân tích phi tuyến. Và khi phân tích tuyến tính ta vẫn thấy rằng độ võng quy luật phân bố lỗ rỗng không đều đối xứng PD1 luôn cho kết quả bé nhất rồi tới hai trường hợp PD2 và UPD, còn khi phân tích phi tuyến thì phân bố lỗ rỗng dạng PD2 lại cho kết quả bé hơn trường hợp phân bố PD1. 3.6.6.2. Ảnh hưởng quy luật phân bố và tỷ trọng khối lượng vật liệu GPL
Xét dầm chịu tác dụng của tải trọng 10 . Các thông số lớp lõi: P e 0 - PD1; được gia cường GPL với quy luật phân bố và tỷ trọng 0,5 GPLW thay đổi.
15
1.2
(3)
1.1
Dạng A (PT) Dạng B (PT) Dạng C (PT)
1
(2)
(1)
0.9
Sandwich 1-8-1: Biên SS; L/h = 20; = 0 p = 5; K
= J
0
0.8
0 = 0,5 (PD1);
e
0
0.7
0.6
0.5
0
0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
W
GPL
Hình 3.8. Đồ thị độ võng của dầm với tỷ trọng khối lượng GPL khác nhau.
Qua đồ thị Hình 3.9 ta thấy rằng: trong cùng một cấp tải, khi tỷ trọng khối lượng GPL gia cường tăng thì độ võng không thứ nguyên của dầm sẽ bị giảm theo. Nhưng khi phân tích tuyến tính ta thấy rằng độ võng quy luật phân bố GPL không đều đối xứng Dạng A luôn cho kết quả bé nhất rồi tới hai trường hợp dạng B và dang C, còn khi phân tích phi tuyến thì phân bố GPL dạng B lại cho kết quả bé hơn trường hợp phân bố GPL dạng A và dạng C. 3.7. Kết luận chương 3
Trong chương 3, một số kết quả đạt được như sau: Khảo sát sự ảnh hưởng của việc sử dụng các lý thuyết dầm, từ đó lựa chọn lý thuyết dầm phù hợp; Khảo sát ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kích thước, cấu hình sandwich, điều kiện biên, nền đàn hồi đến ứng xử tuyến tính và phi tuyến của dầm sandwich; phân tích, bình luận và rút ra các kết luận hữu ích cho việc tính toán, thiết kế kết cấu dầm sandwich. CHƯƠNG 4. PHÂN TÍCH PHI TUYẾN DAO ĐỘNG CỦA DẦM SANDWICH 4.1. Mở đầu
Trong chương này, luận án trình bày lời giải và thuật toán cho ba bài toán dao động dầm sandwich: bài toán phân tích dao động riêng, bài toán phân tích dao động tự do phi tuyến, bài toán phân tích đáp ứng chuyển vị. Sau đó tiến hành các khảo sát sát sự ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kích thước và tải trọng trong hai bài toán trọng tâm là bài toán dao động tự do phi tuyến và bài toán đáp ứng chuyển vị. 4.2. Ba bài toán phân tích dao động dầm sandwich 4.2.1. Bài toán phân tích dao động riêng
t
Trong phân tích dao động riêng, ta xét phương trình: t ( ) 0 K q L t ( ) Mq (4-1) Để xác định dạng dao động và tần số dao động riêng, ta giả thiết véc tơ các
Li e
hệ số chuyển vị được biểu diễn dưới dạng: ( ) t q (4-2) q 0
Thay (4-2) vào (4-1) ta được hệ phương trình của bài toán trị riêng.
16
2
L
K 0 (4-3)
M q 0
L Giải bài toán trị riêng (4-3) ta được tần số dao động riêng
L và các dạng
0Lq
.
dao động riêng 4.2.2. Bài toán dao động tự do phi tuyến
t
t
t
NL
L
t
NL
i e
K K 0 q q (4-4) + Mq Trong phân tích dao động tự do phi tuyến, ta xét phương trình:
Giả thiết véc tơ chuyển vị được biểu diễn dưới dạng: q t ( )
(4-5) q 0
t
2 NL
NLa
NLb
L
K K K 0 q q (4-6) Thay dạng nghiệm (4-6) vào (4-4) ta được: t
M q 0
2 Giải hệ phương trình (4-7) để xác định các tần số dao động tự do phi tuyến.
4.2.3. Bài toán phân tích đáp ứng chuyển vị
Xét dầm chịu tải trọng cưỡng bức phân bố, dạng tải điều hòa:
0P là biên độ của lực cưỡng bức, là tần số của lực cưỡng bức.
P x t ( , ) ( ) sin t (4-7) P x 0 trong đó
t
t (4-8) Từ đó, véc tơ tải trọng sẽ có dạng: 0 sin F
F
t
t
NL
L
t
K K q (4-9)
F
M q
(4-10) Hệ phương trình chuyển động của dầm sandwich có dạng: q t Phương trình vi phân (4-9) được viết lại dưới dạng sau: t
F
t
t
K với
K
t
. t
q
L
NL
* K q
q
* K q
M q t Giải phương trình chuyển động (4-10) ta sẽ thu được đáp ứng chuyển vị của dầm theo thời gian dưới tác dụng của tải trọng cưỡng bức điều hòa. Hệ phương trình này sẽ được tác giả giải bằng thuật toán Runge-Kutta bậc 4. 4.3. Bài toán và đối tượng khảo sát 4.3.1. Bài toán khảo sát
Trên cơ sở lý thuyết đã trình bày ở trên, tác giả đã viết chương trình tính trên nền Matlab để thực hiện tính toán số các bài toán cụ thể: Khảo sát bài toán dao động tự do phi tuyến; Khảo sát bài toán đáp ứng chuyển vị. 4.3.2. Đối tượng khảo sát Xét dầm sandwich với các thông số hình học và vật liệu của dầm sandwich như mục 3.4. Các đại lượng không thứ nguyên được sử dụng:
17
m
0.
- Tần số dao động không thứ: 1m
2
L E (4-12)
0
0
GPLW và các điều kiện biên CC, SS, CS, CF. Ảnh hưởng của điều kiện biên được thể hiện qua đồ thị trên Hình 4.1. Ta thấy rằng tần số dao động giảm dần khi độ cứng của liên kết giảm dần theo thứ tự CC, CS, SS, CF. Điều này hoàn toàn hợp với logic định tính. Nhưng chú ý là tỷ số
4.4. Khảo sát bài toán dao động tự do phi tuyến 4.4.1. Ảnh hưởng của điều kiện biên Xét dầm sandwich 1-8-1 với các thông số: L/h = 20; p = 5; 0,5 (PD1); e 0 J 0 K 0, 1% (dạng A);
NL
L
thì ngược lại tăng dần theo thứ tự CC, CS, SS.
0
0
4.4.2. Ảnh hưởng của các lý thuyết dầm Xét dầm sandwich 1-8-1 với: biên SS; L/h = 20; p = 5; 0,5 (PD1); e 0 J 0 K 0, 1% (dạng A); và tham số biên độ dao động
GPLW * W . Kết quả tính toán tần số dao động được thực hiện lần lượt với các lý thuyết dầm khác nhau: FSDBT; PSDBT; TSDBT; ESDBT; HSDBT. Quan sát kết quả trên Hình 4.2 thấy kết quả tính toán theo các lý thuyết khác nhau gần như trùng khít. Điều này cũng hoàn toàn dễ hiểu khi dầm có tỷ lệ kích thước L/h = 20 (dầm dài).
[ 1;1]
NL
L
NL
L
Hình 4.2. Ảnh hưởng các lý thuyết Hình 4.1. Ảnh hưởng điều kiện dầm tới biên tới
4.4.3. Ảnh hưởng của nền đàn hồi Xét dầm sandwich với: Biên SS; L/h = 20; p = 5; (PD1); 0,5
0
GPLW hiện trên Hình 4.3. Ta thấy rằng, cả hai tần số đều tăng dần theo thứ tự không có nền đàn hồi, nền đàn hồi Winkler và nền đàn hồi Pasternak. Điều thú vị là, khi độ cứng của dầm tăng dần thì tỷ lệ giữa tần số dao động tự do phi tuyến và tần số dao động riêng lại giảm dần. Điều này thể hiện tính phi tuyến giảm khi
1% e 0 . Kết quả khảo sát được thể (dạng A), 3 cặp hệ số nền ;K J 0
18
1.9
1.8
1.7
L/h = 5 L/h = 10 L/h = 20 L/h = 50
1.6
1.5
Dầm sandwich (1-8-1): Biên SS; p= 5; e
= 0,5 (PD1);
1.4
0 = 1% (Dạng A);
W
K
GPL = J
= 0.
1.3
0
0
1.2
1.1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 -1
0 W*
độ cứng của dầm tăng và kéo theo ảnh hưởng của biến dạng phi tuyến giảm.
NL
L
NL
L
Hình 4.3. Ảnh hưởng của nền đàn hồi Hình 4.4. Ảnh hưởng các tỷ số L/h khác nhau tới tỷ số khác nhau tới tỷ số
GPLW
0
0
4.4.4. Ảnh hưởng của tỷ số kích thước L/h Xét dầm sandwich với: Biên SS; p = 5, 0,5 (PD1), 1% (dạng A), K 0; J 0 5; 10; 20; 50 . Kết quả khảo và với tỷ số kích thước e 0 L h
GPLW
sát tần số dao động được thể hiện trên Hình 4.4. Ta thấy rằng khi L h thì 5 có sự sai khác tương đối rõ rệt so với các trường hợp khác. Sự sai khác giảm dần cùng với sự tăng dần của tỷ số L h . Điều này thể hiện ảnh hưởng lớn của biến dạng cắt ngang trong trường hợp dầm ngắn. 4.4.5. Ảnh hưởng của cấu hình dầm sandwich 20 , p = 5, 0,5 Xét dầm sandwich liên kết hai đầu khớp với: L h e 0 1%
NL
L
1.8
1.7
p = 0 p = 0,5 p = 1 p = 5
1.6
1.5
Dầm sandwich (1-4-1): Biên SS; L/h = 20; e
= 0,5 (PD1);
1.4
0
= 1% (Dạng A);
W
1.3
K
GPL = J
= 0.
0
0
1.2
1.1
1 -1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 W*
(PD1), (dạng A) và các cấu hình dầm sandwich khác nhau. Quan sát kết quả trên Hình 4.5 thì sự thay đổi của cấu hình dầm sandwich ảnh hưởng đến tỷ số giữa tần số là rất ít. Các đường cong gần như trùng nhau.
NL
L
NL
L
Hình 4.5. Ảnh hưởng các tỷ lệ chiều Hình 4.6. Ảnh hưởng chỉ số thể tích FGM lớp bề mặt tới tỷ số dày các lớp tới tỷ số
19
20 ; p = 5; 0,5 (PD1); 4.4.6. Ảnh hưởng chỉ số tỷ lệ thể tích lớp bề mặt L h Xét dầm sandwich (1-4-1) với: Biên SS; e 0 1%
GPLW (dạng A) và chỉ số tỷ lệ thể tích p = 0; 0,5; 1; 5. Kết quả khảo sát thể hiện trên Hình 4.6, ta thấy khi chỉ số tỷ lệ thể tích p tăng, đã làm tần số dao động của dầm bị giảm. 4.4.7. Ảnh hưởng của vật liệu lớp lõi Xét dầm sandwich với: biên SS
0
0
; p = 5; 20 0; K J L h . 0
GPLW
0,5 1% 4.4.7.1. Ảnh hưởng quy luật phân bố lỗ rỗng lớp lõi ; Xét dầm có: e 0
Xét dầm sandwich với: 1% 0,5 e 0 (dạng A) . Khảo sát quy luật phân bố lỗ rỗng lớp lõi theo 3 dạng khác nhau: PD1; PD2; UPD. Kết quả thể hiện trên Hình 4.7. Ta nhận thấy tần số dao động giảm dần theo thứ tự PD1, PD2 và UPD, nhưng sự thay đổi này không ảnh hưởng nhiều đến mức độ phi tuyến. 4.4.7.2. Ảnh hưởng quy luật phân bố GPL lớp lõi GPLW
và phân bố GPL theo 3 (PD1), quy luật: Dạng A; Dạng B và Dạng C. Kết quả khảo sát thể hiện trên Hình 4.8. Ta thấy rằng các tần số dao động giảm dần theo thứ tự dạng A, dạng B, dạngC.
L
NL
L
GPLW
Hình 4.8. Ảnh hưởng quy luật phân bố GPL gia cường lớp lõi tới Hình 4.7. Ảnh hưởng quy luật phân bố lỗ rỗng lớp lõi tới tỷ số NL 4.4.7.3. Ảnh hưởng hệ số độ rỗng lớp lõi Xét dầm với lớp lõi có hệ số lỗ rỗng thay đổi (PD1); 1%
(dạng A). Kết quả khảo sát thể hiện trên Hình 4.9. Ta thấy rằng, khi hệ số lỗ rỗng tăng làm tần số dao động riêng gần như không thay đổi nhưng tần số dao động tự do phi tuyến có sự giảm nhẹ. 4.4.7.4. Ảnh hưởng của tỷ trọng khối lượng GPL gia cường lớp lõi Dầm sandwich với lớp lõi có 0,5 e 0
(PD1), phân bố GPL dạng A và GPLW là 0; 0,5%; 1%; 2%. Kết quả thể hiện trên Hình 4.10. Ta thấy rằng khi tỷ trọng GPL tăng lên thì độ cứng của dầm tăng lên và làm cho tần số dao động
20
riêng và tần số dao động tự do phi tuyến đều tăng.
NL
L
NL
L
Hình 4.9. Ảnh hưởng hệ số lỗ rỗng Hình 4.10. Ảnh hưởng các tỷ trọng lớp lõi tới tỷ số khối lượng GPL tới
4.5. Khảo sát bài toán đáp ứng chuyển vị
4
P t ( ) sin với P 0
4 P P L 0.
được xác định theo tham số không thứ nguyên: Xét dầm được giả thiết dao động trong môi trường không cản dưới tác dụng của tải trọng cưỡng bức phân bố đều trên chiều dài dầm và có dạng hàm 0P là biên độ của lực kích thích t điều hòa theo thời gian: . Các khảo E h m
( ) W t
( , ) w x t 0
2
x L
sát phân tích biến thiên độ võng tại vị trí chính giữa dầm: .
GPLW
0
0
4.5.1. Ảnh hưởng của lực kích thích Xét dầm sandwich 1-8-1 với các thông số: L/h = 20, biên SS, lớp lõi 0,5 (PD1), 1% (dạng A) , p = 5, K 0; J . 0 e 0
200; 300; 450; 1000
khi
Hình 4.11. Đường cong đáp ứng độ võng – thời gian và đường cong pha với các tần số lực kích thích khác nhau (P = 1)
Ảnh hưởng của tần số lực kích thích được khảo sát với bốn trường hợp 1P và kết quả được thể hiện trên Hình 4.11. Ta nhận thấy rằng, khi tần số lực kích thích càng gần với tần số dao động riêng của dầm thì biên độ độ võng và vận tốc tương ứng càng tăng.
21
(b). Khi 2000. 200 (a). Khi
GPLW chuyển vị của dầm sandwich được thể hiện trên Hình 4.13 và Hình 4.14.
Hình 4.12. Đường cong đáp ứng độ võng với biên độ lực kích thích khác nhau Ảnh hưởng của biên độ lực kích thích được thể hiện qua đồ thị trên Hình 4.12. Các kết quả cho thấy, khi tăng biên độ lực kích thích thì biên độ độ võng tăng. 4.5.2. Ảnh hưởng của điều kiện biên Xét dầm sandwich với các thông số: L/h = 20; p = 5; 0,5 (PD1); e 0 1% (dạng A). Ảnh hưởng của điều kiện biên khác nhau lên đáp ứng
200 rad/s
1075 rad/s
Hình 4.13. Đường cong đáp ứng độ võng với điều kiện biên khác nhau (khi Hình 4.14. Đường cong đáp ứng độ võng với điều kiện biên khác nhau (khi ) )
GPLW
Ta thấy rằng, khi Ω = 200 rad/s biên độ đường cong độ võng- thời gian của dầm có điều kiện biên SS là lớn nhất, sau đó tới dầm có điều kiện biên CS và CC. Điều này có vẻ phù hợp với định tính về độ cứng của các điều kiện biên. Tuy nhiên khi Ω = 1075 rad/s thì trật tự này lại có sự thay đổi. 4.5.3. Ảnh hưởng của nền đàn hồi Xét dầm sandwich (1-8-1) với các thông số: L/h = 20; p = 5; 0,5 e 0 1% (dạng A). Ảnh hưởng hệ số nền đàn hồi khác nhau tới đáp (PD1);
22
ứng chuyển vị của dầm được thể hiện trên Hình 4.15 và Hình 4.16. Khi t ần số lực kích thích Ω = 200 rad/s trên Hình 4.15 cho th ấy: khi không có hệ số nền đàn hồi thì độ võng lớn nhất, tiếp đến là trường hợp dầm đặt trên nền đàn hồi Winkler và bé nhất là khi đặt trên nền Pasternak. Kết quả này có vẻ phù hợp với quy luật về độ cứng. Nhưng khi tần số của lực Ω = 1250 rad/s trên Hình 4.16 thì đáp ứng chuyển vị của dầm với các hệ số nền khác nhau đã thay đổi.
Hình 4.16. Đường cong đáp ứng độ võng với các nền đàn hồi khác nhau (khi Ω = 1250 rad/s) Hình 4.15. Đường cong đáp ứng độ võngvới các nền đàn hồi khác nhau (khi Ω = 200 rad/s)
4.5.4. Đáp ứng chuyển vị tuyến tính và phi tuyến khi tần số của lực kích thích bằng tần số dao động riêng 4.5.4.1. Đáp ứng chuyển vị khi phân tích tuyến tính
1899,5 rad/s
4131, 2 rad/s
485,1 rad/s
. Khi phân , Với các thông số hình học và vật liệu của dầm sandwich đang xét ở trên, các tần số dao động riêng tương ứng với các dạng dao động 1, 2, 3 là tích , 1 2 3
tuyến tính, đáp ứng chuyển vị trên đồ thị Hình 4.18 ta thấy sự cộng hưởng khi tần số lực kích thích bằng tần số dao động riêng ở dạng dao động 1 và 3.
Hình 4.17. Đường cong đáp ứng chuyển vị ứng với các tần số của lực kích thích khác nhau - khi phân tích tuy ến tính
23
4.5.4.2. Đáp ứng chuyển vị khi phân tích phi tuyến Tiến hành khảo sát tương tự như trong phân tích tuyến tính, luận án thu được kết quả đáp ứng chuyển vị thể hiện trên Hình 4.19.
Hình 4.18. Đường cong đáp ứng chuyển vị với các tần số của lực kích thích khác nhau - khi phân tích phi tuyến
Chúng ta dễ dàng nhận thấy không có hiện tượng cộng hưởng xảy ra như trường hợp phân tích tuyến tính ở trên mà chỉ xảy ra hiện tượng phách điều hòa và hiện tượng này cũng chỉ xảy ra khi tần số của lực cưỡng bức bằng tần số dao động riêng thứ nhất và thứ 3. 4.5.4.3. Hiện tượng cộng hưởng khi phân tích phi tuyến
P 0
1, 2, 3, 4
Kết quả khảo sát ở mục 4.5.4.2 cho phép tác giả nhận định rằng không thể phân tích cộng hưởng phi tuyến của dầm như trong trường hợp phân tích tuyến tính. Luận án tiến hành phân tích và so sánh đáp ứng chuyển vị phi tuyến khi tần số của lực kích thích thay đổi. Xét dầm chịu tác dụng thích lực kích của với t P t sin ( ) giá trị biên độ lực kích thứ không thích đổi thay nguyên , tỷ số P tần số thay / L đổi. Đường cong biên độ lớn nhất và tỷ số tần số được thể hiện trên Hình 4.20. Hình 4.19. Đường cong đáp ứng chuyển vị với các tỷ số tần số của lực kích thích và tần số dao động riêng khác nhau -phân tích phi tuyến
Chúng ta thấy vị trí xảy ra cộng hưởng rõ ràng không phải vị trí có 1 . Mặt khác dạng đường cong nghiêng dần về bên phải khi biên độ lực kích thích
24
tăng dần cũng cho thấy sự phù hợp với các phân tích định tính. Biên độ lực kích thích tăng làm cho biên độ và mức độ phi tuyến trong bài toán phân tích đáp ứng chuyển vị cũng tăng theo. Mức độ phi tuyến tăng dần thể hiện qua việc các đường cong nghiên dần sang bên phải 4.6. Kết luận chương 4
Trong chương 4, luận án đã xây dựng được lời giải cho bài toán phân tích dao động riêng, bài toán phân tích dao động tự do phi tuyến và bài toán phân tích đáp ứng chuyển vị của dầm sandwich. Tác giả đã xây dựng được chương trình tính trên nền Matlab và tiến hành các khảo sát để khảo sát ảnh hưởng của các tham số kích thước, vật liệu đến dao động của dầm sandwich. Một số kết quả đạt được: Khảo sát sự ảnh hưởng của các tham số kích thước, vật liệu, cấu hình sandwich, điều kiện biên và nền đàn hồi lên tần số dao động tự do phi tuyến của dầm sandwich; Khảo sát ảnh hưởng của các tham số lực kích thích, điều kiện biên, nền đàn hồi, kích thước, vật liệu đến đáp ứng chuyển vị và so sánh đáp ứng chuyển vị trong phân tích tuyến tính và phi tuyến dầm sandwich. KẾT LUẬN
Những đóng góp mới của luận án Xây dựng lời giải cho bài toán phân tích tĩnh và dao động của dầm sandwich có lớp lõi bằng vật liệu rỗng FGP gia cường GPL và lớp bề mặt bằng vật liệu FGM, sử dụng phương pháp Pb-Ritz trên cơ sở lý thuyết dầm dạng tổng quát, có và không kể đến thành phần biến dạng phi tuyến Von-Kármán.
Viết chương trình tính trên nền Matlab, sử dụng thuật toán giải lặp Newton-Raphson cho bài toán phân tích phi tuy ến tĩnh, thuật toán lặp gần đúng dần cho bài toán phân tích dao động tự do phi tuyến và thuật toán Runge- Kutta cho bài toán phân tích đáp ứng chuyển vị.
Tiến hành các khảo sát đánh giá ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kích thước, điều kiện biên, nền đàn hồi và lý thuyết dầm đến ứng xử tuyến tính, phi tuyến tĩnh và dao động của dầm sandwich.
Các kết quả chính của luận án là những kết quả mới và đã công bố được 01 bài báo thuộc danh mục Scopus; 08 bài báo còn lại công bố trên các tạp chí, kỷ yếu Hội nghị khoa học chuyên ngành uy tín trong n ước. Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo
1) Nghiên cứu ổn định và sau ổn định của dầm sandwich với các điều kiện biên khác nhau theo phương pháp Ritz. 2) Nghiên cứu các dạng kết cấu tấm, vỏ sandwich cho các bài toán phân tích tĩnh, động và ổn định. 3) Nghiên cứu tối ưu hóa kết cấu sandwich trong các bài toán tuyến tính và phi tuyến.
