Phân tích tĩnh tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lưu trên nền đàn hồi có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo "Phân tích tĩnh tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lưu trên nền đàn hồi có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ" tiến hành khảo sát trường chuyển vị, ứng suất và biến dạng trong tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng (FGP) bão hòa chất lưu, đặt trên nền đàn hồi, chịu uốn. Các tính chất cơ học của vật liệu rỗng biến đổi trơn theo chiều dày với ba dạng phân bố lỗ rỗng: đều, không đều đối xứng và không đều bất đối xứng sẽ được xem xét. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích tĩnh tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lưu trên nền đàn hồi có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ

337 393 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Phân tích tĩnh tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lưu trên nền đàn hồi có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ Nguyễn Văn Long1,2*, Trần Minh Tú1,2, Vũ Thị Thu Trang2,3 và Đặng Xuân Trung4 1 Khoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp, Đại học Xây dựng Hà Nội 2 Nhóm nghiên cứu Cơ học vật liệu và kết cấu tiên tiến (MAMS), Đại học Xây dựng HN 3 Viện Cơ khí, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam 4 Cục Giám định nhà nước về chất lượng công trình xây dựng, Bộ Xây dựng *Email: longnv@huce.edu.vn Tóm tắt. Bài báo tiến hành khảo sát trường chuyển vị, ứng suất và biến dạng trong tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng (FGP) bão hòa chất lưu, đặt trên nền đàn hồi, chịu uốn. Các tính chất cơ học của vật liệu rỗng biến đổi trơn theo chiều dày với ba dạng phân bố lỗ rỗng: đều, không đều đối xứng và không đều bất đối xứng sẽ được xem xét. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, quan hệ ứng suất - biến dạng theo lý thuyết đàn hồi Biot cho vật liệu rỗng, cùng với lời giải giải tích dạng nghiệm Navier được sử dụng. Ảnh hưởng của nhiệt độ, các tham số vật liệu, hệ số Skempton, cũng như nền đàn hồi đến ứng xử tĩnh của tấm bằng vật liệu rỗng đã được đánh giá cụ thể. Kết quả nhận được cho thấy sự khác biệt về ứng xử cơ học của tấm bằng vật liệu rỗng chịu tác dụng đồng thời của tải cơ-nhiệt ở trạng thái bão hòa chất lưu so với trạng thái khô (không chứa chất lưu). Từ khóa: Tải nhiệt, phân tích tĩnh; tấm FGM rỗng; bão hòa chất lưu; nghiệm Navier. 1. Mở đầu Vật liệu rỗng bão hòa chất lưu được tạo thành bởi nền rắn (solid matrix) thường gọi là khung (hay xương) và pha chất lưu (fluid phase) dưới dạng khí (gas) hay chất lỏng (liquid) chứa trong các lỗ rỗng. Các lỗ rỗng với mật độ thay đổi theo tọa độ không gian nên được xếp vào loại vật liệu có cơ tính biến đổi trơn (functionally graded porous material-FGP). Tính thẩm thấu (permeability), độ bền kéo và tính dẫn điện phụ thuộc vào tính chất vật liệu nền và của chất lưu trong các lỗ rỗng. Loại vật liệu này được sử dụng trong hệ thống hấp thụ năng lượng, cách âm, trao đổi nhiệt; làm màng lọc, lưới chắn bảo vệ điện từ (electromagnetic shielding); hay làm lớp vật liệu bảo vệ cách điện, cách nhiệt, cách âm, … Trong tự nhiên loại vật liệu này tồn tại dưới dạng đất, đá, gỗ, tre nứa, xương động vật, … Vật liệu rỗng ở trạng thái khô (trạng thái tiêu nước), quan hệ ứng suất - biến dạng tuân theo định luật Hooke như trong lý thuyết đàn hồi. Một số lượng lớn các nghiên cứu về ứng xử cơ học của kết cấu dầm, tấm và vỏ sử dụng vật liệu rỗng không chứa chất lưu đã được thực hiện bởi nhiều tác giả trong và ngoài nước [1-6]. Ở trạng thái bão hòa, khi các lỗ rỗng đã được điền đầy bởi chất lưu không nén được, áp suất trong các lỗ rỗng đạt cực đại làm cho độ cứng của kết cấu tăng lên đáng kể. Biot [7] là người tiên phong trong nghiên cứu về ứng xử cơ học của các kết cấu bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lưu. Quan hệ ứng suất - biến dạng của những kết cấu này được ông đề xuất lần đầu tiên, thường gọi là lý thuyết đàn hồi Biot cho môi trường đàn hồi rỗng. Với vật liệu rỗng, ngoài các biến thiết kế chính là dạng phân bố lỗ rỗng (kiểu sắp xếp lỗ rỗng) và hệ số rỗng (kích thước lỗ rỗng), loại chất lưu trong các lỗ rỗng được đặc trưng bởi mô đun đàn hồi Biot. Mô đun Biot mô tả bởi tỉ số giữa áp suất địa phương trung bình trong các lỗ rỗng với áp suất toàn cục tác dụng lên toàn kết cấu. Lý thuyết đàn hồi tuyến tính của Biot cho môi trường rỗng với hai giả thiết chính: a) sự tăng áp suất trong làm giãn nở lỗ rỗng; b) nén các lỗ rỗng làm tăng áp suất trong nó; và thường được sử dụng để khảo sát ứng xử uốn, dao động và ổn định của kết cấu dầm và tấm bằng vật liệu rỗng, bão hòa chất lưu. Babaei và cs. [8, 9] sử dụng lý thuyết dầm bậc cao để phân tích tĩnh, ổn định, dao động tự do, cũng như đáp ứng động lực học của dầm FGP đặt trên nền đàn hồi bằng phương pháp PTHH. Sử dụng lý thuyết tấm cổ điển, Theodorakopoulos và Beskos [10] phân tích dao động uốn của tấm chữ nhật
338 394 Nguyễn Văn Long, Trần Minh Tú và Vũ Thị Thu Trang mỏng, vật liệu đàn hồi rỗng bằng phương pháp bán giải tích. Leclaire và cs. [11] nghiên cứu đặc trưng dao động của tấm mỏng, liên kết ngàm trên các cạnh bằng phương pháp Ritz. Rezaei và cs. [12] nghiên cứu ổn định của tấm mỏng chữ nhật trong môi trường nhiệt theo tiêu chuẩn cân bằng lân cận bằng phương pháp giải tích. Rad và cs. [13] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và bậc cao phân tích ổn định tấm bằng vật liệu rỗng với hai trường hợp không chứa nước và bão hòa nước. Trên cơ sở lý thuyết tấm mỏng và lý thuyết đàn hồi Biot, Xiang và cs. [14] phân tích đặc trưng dao động của tấm chữ nhật với các điều kiện biên khác nhau. Rezaei và Saidi [15] thiết lập lời giải chính xác cho dao động tự do của tấm dày theo lý thuyết biến dạng cắt bậc ba của Reddy. Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, Ebrahimi và Habibi [16] nghiên cứu độ võng và tần số dao động riêng của tấm chữ nhật FGP. Qua các nguồn tải liệu mở, có thể thấy rằng, các nghiên cứu về ứng xử cơ học của kết cấu bằng vật liệu rỗng ở trạng thái bão hòa chất lưu còn khá khiêm tốn. Do vậy, bài báo này sẽ tập trung vào nghiên cứu ứng xử tĩnh của tấm bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lưu trong môi trường nhiệt theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Quan hệ ứng suất - biến dạng theo lý thuyết đần hồi Biot được áp dụng để thiết lập hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị. Nghiệm Navier được sử dụng để xác định các thành phần chuyển vị, biến dạng và ứng suất trong tấm chữ nhật bốn biên tựa khớp. Sau khi kiểm chứng mô hình và phương pháp tính, các ví dụ số sẽ được thực hiện nhằm đánh giá ảnh hưởng các tham số vật liệu, hình học, tải trọng cơ-nhiệt đến ứng xử tĩnh của tấm bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lưu. 2. Mô hình tấm bằng vật liệu rỗng Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng có chiều dày h, kích thước theo phương các trục x, y là a (chiều dài), b (chiều rộng). Tấm được đặt trên nền đàn hồi Pasternak (Hình 1) với các hệ số nền: K w - hệ số độ cứng uốn (Winkler stiffness), K si (i = x, y) - hệ số độ cứng cắt (shear stiffness). Hình 1. Mô hình tấm chữ nhật rỗng trên nền đàn hồi Các hằng số vật liệu biến thiên liên tục theo chiều dày tấm, phụ thuộc vào hệ số rỗng [2, 17]: 2 1 12 2  Phân bố đều: { E , G} = { E1 , G1} (1 − e0 χ ) ; χ = −  1 − e0 − + 1 (1) e0 e0  π π    π z  Phân bố đối xứng: { E ( z ), G ( z )} = { E1 , G1} 1 − e0 cos   (2)   h    π z π  Phân bố bất đối xứng: { E ( z ), G ( z )} = { E1 , G1} 1 − e0 cos  +  (3)   2h 4   trong đó, hệ số rỗng e0 được xác định bởi: e0 =2 /E1 = 2 /G1 ; E1 , G1 và E2 , G2 lần lượt là các giá 1− E 1− G trị lớn nhất và nhỏ nhất của mô đun đàn hồi kéo - nén, mô đun đàn hồi trượt ( Gi = Ei /  2 (1 + ν )  ; i= 1; 2 ). Hệ số Poisson được giả thiết là hằng số theo tọa độ chiều dày: ν = const.   3. Trường chuyển vị và biến dạng
339 Phân tích tĩnh tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lỏng 395 Theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, các thành phần chuyển vị u, v, w của điểm bất kỳ có tọa độ (x, y, z) trong không gian tấm [18]: u ( x, y, z ) = ( x, y ) ; v ( x, y, z ) =y ( x, y ) ; w ( x, y, z ) = u0 ( x, y ) + zθ x v0 ( x, y ) + zθ w0 ( x, y ) (4) trong đó: u0 , v0 , w0 là các thành phần chuyển vị của điểm trên mặt trung bình theo các phương x, y, z; θ x ,θ y là các góc xoay của pháp tuyến mặt trung bình quanh hai trục y, x. Các thành phần biến dạng tuyến tính nhận được từ quan hệ biến dạng - chuyển vị: ε   u   u   θ  εx  0 κ     x    ,x     0, x     x, x      0  x    ε y  =  =  + z  θ y , y  = z κ y  ;  v, y  v0, y εy +          0    γ xy  u, y + v, x  u0, y + v0, x        θ x, y + θ y , x  γ xy      κ y    (5) γ xz     w, x + u, z     w0, x + θ x    γ xz    0 =   =  =   0  γ yz     w, y + v, z     w0, y + θ y    γ yz    Dấu (,) đi kèm các thành phần chuyển vị chỉ đạo hàm riêng theo biến tương ứng. 4. Các hệ thức quan hệ - hệ phương trình chủ đạo Đối với vật liệu FGM rỗng bão hòa chất lưu, quan hệ ứng suất-biến dạng tuân theo lý thuyết đàn hồi tuyến tính cho vật liệu có lỗ rỗng của Biot [19]: σ ij = 2Gε ij + λuθδ ij − pαδ ij − 3Ku β sT δ ij ; i, j = 1, 2,3 (6) trong đó: σ ij và ε ij tương ứng là các thành phần ứng suất và biến dạng; δ ij là chỉ số Kronecker; θ = ε x + ε y + ε z là biến dạng thể tích; T là chênh lệch nhiệt độ so với nhiệt độ ban đầu (T 0 ); β s là hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu nền dưới áp lực lỗ rỗng không đổi; α là các hệ số Biot của ứng suất hiệu dụng; p là áp lực chất lưu trong lỗ rỗng; λu là hằng số Lame. Các hệ số này được xác định bởi: 2G (ν u − ν ) 2G (1 + ν u )  ( ) 1 G p = ξ − αθ + α β f − β s T  ; α =− ; M = 2 M G1 α (1 − 2ν u ) (1 − 2ν ) ; Ku = 3 (1 − 2ν u ) ; (7) 2Gν u ν + α B (1 − 2ν ) /3 λu = ;ν u = = β 0 (1 − α ) ; βs 1 − 2ν u 1 − α B (1 − 2ν ) /3 trong đó: ξ là biến thiên của thể tích chất lưu, M là mô đun Biot, ν u là hệ số Poisson khi bão hòa nước, 0 < B < 1 là hệ số Skempton phản ánh khả năng nén được của chất lưu; β f là hệ số giãn nở nhiệt của pha lỏng trong lỗ rỗng, β 0 là hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu tấm thuần nhất. Với tấm bão hòa nước ( ξ = 0 ) và áp dụng cho bài toán ứng suất phẳng ( σ z = 0 ), công thức (6) có thể viết lại dưới dạng ma trận: σ   Q11 Q12 0   εx  1   x   Q       σ xz  Q55   0  γ xz    =σ y  0   ε y  − c0T 1  ;  =  ;  21 Q22 Q44  γ yz   (8)   σ yz   0     σ xy   0  0 Q66  γ xy      0       λ + Mα 2  λu + M α 2 trong đó: Q11 =u Q22 = 2G ( z ) 1 + 2 ; Q12 = Q21 = 2 ; 2G ( z )  2G ( z ) + λu + M α    2G ( z ) + λu + M α
340 396 Nguyễn Văn Long, Trần Minh Tú và Vũ Thị Thu Trang Q44 Q55 Q66 G ( z ); = = = = c0 ( 2G ( z )  M α 2 β f − β s'' + 3Ku β s'   . ) 2G ( z ) + λu + M α 2 Tích phân các thành phần ứng suất theo chiều dày của tấm ta nhận được các thành phần nội lực: N  σ  0   ε x   B11 0   κ x  N  0 T  A11 A12   B12   x   h /2  x      0          T  N y  =dz = 0   ε y  +  B12 ∫  σ y   A12 A11 B11 0   κ y  − N ;    − h /2    0 0 A66  γ 0   0 B66  κ xy   0   σ xy     xy        N xy     0       M  σ  0   ε x   D11 0   κ x  M  0 T  B11 B12   D12  x  h /2  x      B  0    T     (9) ∫ σ y   M y  = zdz =  12 B11 0   ε y  +  D12   D11 0   κ y  − M  ;    − h /2    0 B66  γ 0   0 D66  κ xy   0   σ xy     xy       M xy     0 0        Qxz  h /2 σ   A44 0  γ xz  s 0    xz    = k=   c ∫  dz   0  Qyz  σ  − h /2  yz   0 A44  γ yz  s      ( ) ( ) h /2 h /2 h /2 trong đó: (= Aij , Bij , Dij ) ∫ = = Qij 1, z , z 2 dz; ij 11,12, 66; A44 kc s ∫ = Q44 dz; N T , M T ∫ c0T (1, z ) dz; − h /2 − h /2 − h /2 k c là hệ số hiệu chỉnh cắt (trong phân tích này lấy k c = 5/6). Hệ phương trình cân bằng của tấm theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất có dạng [20]: 0; δ v δ u0 : N x, x + N xy , y =0 : N xy , x + N y , y =w0 : Qxz , x + Qyz , y + f e + q = 0; δ 0; (10) δθ x : M x, x + M xy , y − Qxz = y : M xy , x + M y , y − Qyz = 0; δθ 0 với f e là phản lực nền, được xác định bởi [21, 22]: f e =w0 + K sx w0, xx + K sy w0, yy . −Kw Thay liên hệ giữa các thành phần nội lực và chuyển vị vào (10), ta được hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị: A11u0, xx + A66 u0, yy + ( A12 + A66 ) v0, xy + B11θ x, xx + B66θ x, yy + ( B12 + B66 ) θ y , xy = N,T ; x ( A12 + A66 ) u0, xy + A11v0, yy + A66 v0, xx + ( B12 + B66 )θ x, xy + B11θ y , yy + B66θ y , xx = N,Ty ; A44 w0, yy + A44 w0, xx + A44θ x, x + A44θ y , y − K w w0 + K sx w0, xx + K sy w0, yy + q = s s s s 0; (11) B11u0, xx + B66 u0, yy + ( B12 + B66 ) v0, xy + D11θ x, xx + D66θ x, yy + ( D12 + D66 ) θ y , xy − (θ x + w0, x ) s A44 = M ,T ; x ( B66 + B12 ) u0, xy + B66 v0, xx + B11v0, yy + ( D66 + D12 )θ x, xy + D66θ y , xx + D11θ y , yy − A44 (θ y + w0, y ) = s M ,Ty 5. Lời giải Navier Xét tấm chữ nhật vật liệu rỗng bão hòa chất lưu có chiều dài a và chiều rộng b liên kết khớp 4 cạnh, chịu tác dụng của tải trọng phân bố q. Các biểu thức điều kiện biên của tấm theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất bao gồm: Tại x = 0, a: v0 w0 θ= N= M= 0; tại y = 0, b: u= w0 θ= N= M= 0 = = y x x 0 = x y y (12) Chọn dạng nghiệm Navier để thoả mãn các điều kiện biên (12): ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ u0 ∑ ∑ u0mn cosψ x sin β y; v0 ∑ ∑ v0mn sinψ x cos β y; w0 ∑ ∑ w0mn sinψ x sin β y; = = (13) m 1= 1 = n m 1= 1 = n m 1= 1 = n
341 Phân tích tĩnh tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lỏng 397 ∞ ∞ ∞ ∞ =θx ∑ ∑ θ xmn cosψ x sin β y;θ y ∑ ∑ θ ymn sinψ x cos β y = m 1= 1 = n m 1= 1 = n mπ nπ trong đó: u0 mn , v0 mn , w0 mn ,θ xmn , θ ymn là các hệ số cần tìm; ψ = = ,β ; m, n là số số hạng được sử a b dụng trong khai triển chuỗi lượng giác kép. Tải trọng q( x, y ) và nội lực nhiệt cũng được khai triển theo chuỗi lượng giác kép, dưới dạng: ∞ ∞ 1 ab =q ( x, y ) ∑ ∑ qmn sinψ x sin β y; qmn = ∫ ∫ q( x, y ) sinψ x sin β ydxdy 4ab 0 0 m 1= 1 = n ∞ ∞ 1 ab T =N T ( x, y ) ∑ ∑ N mn sinψ x sin β y; N mn = ∫ ∫ N ( x, y ) sinψ x sin β ydxdy 4ab 0 0 (14) m 1= 1 = n ∞ ∞ 1 ab T =M T ( x, y ) ∑ ∑ M mn sinψ x sin β y; M mn = ∫ ∫ M ( x, y ) sinψ x sin β ydxdy 4ab 0 0 m 1= 1 = n Thay (13) và (14) vào hệ phương trình cân bằng theo chuyển vị (11), nhóm các hệ số để được hệ phương trình đại số tuyến tính: s15   u0 mn   0  ψ N mn  T  s11 s12 0 s14 s      12 s22 0 s24 s25   v0 mn   0   β N mn      T 0     0 s33 s34 s35   w0 mn  =  −  0  ; ∀m, n qmn (15)    s14 s24 s34 s44 s45   θ xmn   0  ψ M mn  T       s s55  θ ymn   0   β M T      15 s25 s35 s45   mn  trong đó: s11 A11ψ 2 + A66 β 2 ; s= s= = 12 21 ( A12 + A66 )ψβ ; s= s= B11ψ 2 + B66 β 2 ; 14 41 s= s= 15 51 ( B12 + B66 )ψβ = ; s22 A66ψ 2 + A11β 2 ; s= s= 24 42 ( B12 + B66 )ψβ = ; s25 B66ψ 2 + B11β 2 ; s33 A44ψ 2 + A66 β 2 + K w + K sxψ 2 + K sy β 2 ; s34 = A44ψ ; s35 = A66 β ; s44 = D11ψ 2 + D66 β 2 + A44 ; = s s s s= s= 45 54 ( D12 + D66 )ψβ ; s55 = D66ψ 2 + D11β 2 + A66 . Giải hệ phương trình đại số tuyến tính này ta xác định được véc tơ các hệ số chuyển vị {Qmn } = {u0mn , v0mn , w0mn ,θ xmn , θ ymn } T ; từ đó xác định được các thành phần chuyển vị, biến dạng, ứng suất, nội lực của bài toán phân tích tĩnh. 6. Kết quả số và thảo luận Với nghiệm giải tích đã thiết lập ở phần trên, chương trình tính bằng trên nền Matlab được viết để thực hiện các ví dụ số. Tấm chữ nhật liên kết khớp 4 cạnh, vật liệu rỗng bão hòa chất lưu, làm việc trong môi trường nhiệt, đặt trên nền đàn hồi Pasternak, chịu tác dụng của tải trọng uốn phân bố q sẽ được khảo sát dưới đây. Ví dụ 1. Kiểm chứng độ võng và các thành phần ứng suất với tấm vuông bằng vật liệu đẳng hướng, dưới tác dụng của tải trọng nhiệt Xét tấm vuông đẳng hướng (b = a) dưới tác dụng của trường nhiệt phân bố theo quy luật hàm πx πy sin ở mặt trên tấm và thay đổi tuyến tính theo chiều dày tấm: T = T1 z sin sin . Trong bài toán này, a b cơ tính của tấm được giả thiết: E = const, ν = 0,25. Các công thức không thứ nguyên được sử dụng:
342 398 Nguyễn Văn Long, Trần Minh Tú và Vũ Thị Thu Trang 1 a b 1 a b h 1  h =ˆ w w0  ,  ; σ i = ˆ σ i  , = x= , ; i , y; σ xy ˆ σ i  a, b,  (16) β 0 a T1  2 2  2 hE β 0T1  2 2 2  hE β 0T1  2 Độ võng và các thành phần ứng suất không thứ nguyên của tấm được tính toán và trình bày như trong Bảng 1. Có thể nhận thấy, các kết quả thu được trong bài báo hoàn toàn trùng khớp với kết quả tính theo nghiệm Navier sử dụng lý thuyết tấm cổ điển của Reddy [18]. Bảng 1. Kiểm chứng độ võng và ứng suất của tấm đẳng hướng dưới tác dụng của tải trọng nhiệt Nguồn wˆ σx ˆ σy ˆ σ xy ˆ Reddy [18] 0,0633 -0,25 -0,25 -0,25 Bài báo 0,0633 -0,25 -0,25 -0,25 Ví dụ 2. Kiểm chứng độ võng của tấm vuông FGP Bảng 2 là độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông FGP, lỗ rỗng phân bố không đều-bất đối xứng (E 1 = 69 GPa; ν = 0,25; K 0 = J 0 = 0) liên kết khớp 4 cạnh, chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều q 0 = -104 Pa, với các tỷ số kích thước tấm a/h = 5; 10; 20. Vật liệu rỗng ở trạng thái khô và trạng thái bão hòa chất lưu với các hệ số Skempton khác nhau. Bảng 2. Kiểm chứng độ võng không thứ nguyên w của tấm vuông FGP e0, B Nguồn a/h = 5 a/h = 10 a/h = 20 B=0 e0 = 0 Ebrahim và Habibi [16] 0,05398 0,04774 0,04618 Bài báo 0,05454 0,04791 0,04625 e 0 = 0,2 Ebrahim và Habibi [16] 0,06120 0,05405 0,05226 Bài báo 0,06208 0,05449 0,05259 e0 = 0 B = 0,1 Ebrahim và Habibi [16] 0,05323 0,04699 0,04543 Bài báo 0,05365 0,04713 0,04550 B = 0,3 Ebrahim và Habibi [16] 0,05179 0,04555 0,04399 Bài báo 0,05197 0,04565 0,04407 B = 0,5 Ebrahim và Habibi [16] 0,05043 0,04419 0,04263 Bài báo 0,05041 0,04428 0,04275 B = 0,7 Ebrahim và Habibi [16] 0,04915 0,04291 0,04135 Bài báo 0,04896 0,04301 0,04152 Các kết quả trong bài báo được so sánh với tác giả Ebrahimi và Habibi [16] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn, theo lý thuyết biến dạng cắt bậc ba gồm 5 ẩn số chuyển vị của Reddy [23]. Rõ ràng là, với cả 3 trường hợp tỷ số kích thước tấm a/h và 2 trường hợp kiểm chứng bao gồm: tấm ở trạng thái khô (B = 0) và tấm ở trạng thái bão hòa nước; các kết quả của bài báo đều phù hợp rất tốt với kết quả của Ebrahim và Habibi. Ví dụ 3. Khảo sát ảnh hưởng của nhiệt độ, các tham số vật liệu, hình học và nền đàn hồi lên ứng xử uốn của tấm chữ nhật FGP bão hòa chất lưu. Xét tấm chữ nhật vật liệu rỗng (SUS304: E 1 = 207,79 GPa; β 0 = 15,32110-6 K-1, ν = 0,3178 [24], h = 0,1 m), trong môi trường nhiệt (nhiệt độ được giả thiết là tăng đều: T = ∆T), bão hòa nước, đặt trên nền đàn hồi, dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều q = q 0 . Các công thức không thứ nguyên sử dụng dưới dạng sau [21, 25]:
343 Phân tích tĩnh tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lỏng 399 E1h3   b   a b   * β f 2 {w( x= ), w } * q0 a 4   2   2 2   ; β  w  x,  , w  , = = β0 ; K0 Kwa4 = = E1h3 ; J0 K sx a 2 K sy b E1h3ν E1h3ν = β 0 E1 ; ; q0 (17) h2   a b  a b   { σ x ( z ), σ y ( z ), σ xy ( z ) = σ 2  x q0 a   2 2  } , , z  , σ y  , , z  , σ xy ( 0, 0, z )  ; 2 2   Biến thiên độ võng w (trên mặt cắt y = b/2) và ứng suất pháp σ x (tại tâm tấm) của tấm chữ nhật FGP với các lỗ rỗng phân bố bất đối xứng, chịu các mức thay đổi nhiệt độ khác nhau được thể hiện bằng các đồ thị tương ứng trên Hình 2 và Hình 3-Hình 5. Các kết quả cho thấy: với các mức tăng nhiệt độ khác nhau, các ứng suất pháp biến thiên phi tuyến theo chiều dày tấm, đạt cực trị tại mặt trên và dưới tấm. Nhiệt độ tăng càng nhiều, độ võng của tấm càng tăng, các đường cong ứng suất dịch chuyển về phía chiều âm của trục ứng suất (tăng ứng suất nén). 0.15 0.5 T=0 T = 100 K T = 200 K 0.1 0 z/h T=0 T = 100 K T = 200 K 0.05 Phân bố bất đối xứng: e = 0,5; a/h = 20, b/a = 1,5; Phân bố bất đối xứng: 0 e = 0,5; a/h = 20, b/a = 1,5; * 0 K =J = 0; B = 0,5; =3 0 0 * K =J = 0; B = 0,5; =3 0 0 0 -0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 x/a Hình 2. Biến thiên độ võng w của tấm với các Hình 3. Biến thiên ứng suất σ x của tấm với các mức thay đổi nhiệt độ khác nhau mức thay đổi nhiệt độ khác nhau 0.5 0.5 T=0 T = 100 K T = 200 K 0 0 z/h z/h T=0 T = 100 K T = 200 K Phân bố bất đối xứng: Phân bố bất đối xứng: e = 0,5; a/h = 20, b/a = 1,5; e = 0,5; a/h = 20, b/a = 1,5; 0 0 * * K =J = 0; B = 0,5; =3 K =J = 0; B = 0,5; =3 0 0 0 0 -0.5 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 Hình 4. Biến thiên ứng suất σ y của tấm với các Hình 5. Biến thiên ứng suất σ xy của tấm với các mức thay đổi nhiệt độ khác nhau mức thay đổi nhiệt độ khác nhau Biến thiên độ võng không thứ nguyên tại tâm tấm w* của tấm theo hệ số rỗng e 0 với ba quy luật phân bố lỗ rỗng được thể hiện bằng đồ thị trên Hình 6. Các kết quả cho thấy, khi tăng hệ số rỗng e 0 ,
344 400 Nguyễn Văn Long, Trần Minh Tú và Vũ Thị Thu Trang độ võng của tấm tăng: theo quy luật gần như tuyến tính khi phân bố đối xứng; tăng nhanh phi tuyến (nhất là khi hệ số rỗng lớn) đối hai quy luật phân bố đều và bất đối xứng. Đồ thị so sánh ảnh hưởng của các tham số nền đàn hồi lên độ võng không thứ nguyên w của tấm vật liệu rỗng, phân bố bất đối xứng (e 0 = 0,5; a/h = 20, b/a = 1,5; ∆T = 100 K, B = 0,5; β* = 3) được thể hiện trên Hình 7. Rõ ràng là, các hệ số nền đàn hồi (tăng K 0 , J 0 ) tăng sẽ làm cho độ cứng của kết cấu tấm tăng, dẫn đến độ võng giảm. Hình 8 thể hiện ảnh hưởng của hệ số Skempton và hệ số β* lên độ võng không thứ nguyên của tấm FGP, lỗ rỗng phân bố bất đối xứng (e 0 = 0,5; a/h = 20, b/a = 1,5; K 0 = J 0 = 0; ∆T = 100 K). Có thể thấy rằng, khi B tăng, độ võng w của tấm FGP giảm; ảnh hưởng của hệ số Skempton, B là đáng kể khi β* lớn. Ví dụ, với β* = 11, khi B = 0: w = 0,1424; khi B = 1: w = 0,0893 (giảm 37,3%). Một cách tương tự, khi β* tăng, độ võng w của tấm vật liệu rỗng cũng giảm; ảnh hưởng của hệ số β* là đáng kể khi B lớn; chẳng hạn, với B = 1, khi β* = 1: w = 0,1302; khi β* = 11: w = 0,0893 (giảm 31,4%). 0.35 Phân bố đều Phân bố đối xứng 0.15 0.3 Phân bố bất đối xứng a/h = 20, b/a = 1,5; 0.25 K = J = 0; B = 0,5; 0 0 0.1 * T = 100 K; =3 0.2 w* w* 0.05 0.15 0.1 0 0 0 0.05 50 50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100 100 e J K 0 0 0 Hình 6. Ảnh hưởng của quy luật phân bố và hệ số Hình 7. Ảnh hưởng của nền đàn hồi lên độ võng lỗ rỗng lên độ võng w* của tấm rỗng w* của tấm rỗng phân bố bất đối xứng 0.3 0.16 0.25 0.14 0.2 0.12 0.15 w* w* 0.1 0.1 0.05 0.08 0 0 2 10 4 4 0.5 20 6 3 30 8 2 40 10 1 * 1 B 50 0 a/h b/a Hình 8. Biến thiên độ võng w* của tấm rỗng phân Hình 9. Ảnh hưởng của kích thước hình học lên bố bất đối xứng theo B và β* độ võng w* của tấm rỗng phân bố bất đối xứng Hình 9 thể hiện ảnh hưởng của kích thước hình học (tỷ số kích thước tấm a/h và tỷ số kích thước cạnh b/a) lên độ võng không thứ nguyên của tấm FGP, phân bố lỗ rỗng bất đối xứng (e 0 = 0,5;
345 Phân tích tĩnh tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lỏng 401 K 0 = J 0 = 0; ∆T = 100 K, B = 0,5; β* = 3). Rõ ràng là, độ võng không thứ nguyên w* của tấm vật liệu rỗng tăng lên khi tăng tỷ số kích thước cạnh b/a; độ võng không thứ nguyên thay đổi rất ít theo tỷ số kích thước tấm a/h. 7. Kết luận Bài báo xây dựng mô hình tính toán độ võng và các thành phần ứng suất trong tấm FGP bão hòa chất lưu đặt trên nền đàn hồi chịu uốn trong môi trường nhiệt. Nghiệm giải tích thu được từ lời giải Navier áp dụng cho tấm chữ nhật, liên kết khớp trên các cạnh, cùng với chương trình tính tự viết trên nền Matlab được kiểm chứng cho trường hợp riêng là tấm FGP không chứa chất lưu cho thấy đủ tin cậy. Các khảo sát số đã được thực hiện cho phép đánh giá ảnh hưởng của các tham số vật liệu, kích thước hình học, hệ số nền đàn hồi và nhiệt độ đến độ võng và ứng suất trong tấm. Rõ ràng là có thể lựa chọn các tham số vật liệu; các tham số hình học, nền đàn hồi, nhiệt độ để nhận được các kết quả mong muốn trong công tác tính toán, thiết kế kết cấu tấm làm sử dụng vật liệu rỗng. Một điều lý thú là đối với tấm vật liệu rỗng, sự có mặt của chất lưu trong các lỗ rỗng góp phần tăng độ cứng tổng thể kết cấu và do vậy làm giảm độ võng. Các kết quả này có thể là cơ sở cho các kỹ sư tính toán thiết kế kết cấu bằng vật liệu rỗng bão hòa nước và là nguồn dữ liệu kiểm chứng cho các phương pháp tính toán khác trong cùng lĩnh vực Tài liệu tham khảo [1] Chen, D., J. Yang, and S. Kitipornchai, Elastic buckling and static bending of shear deformable functionally graded porous beam. Composite Structures, 2015. 133: p. 54-61. [2] Chen, D., J. Yang, and S. Kitipornchai, Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams. International journal of mechanical sciences, 2016. 108: p. 14-22. [3] Wang, Y. and D. Wu, Free vibration of functionally graded porous cylindrical shell using a sinusoidal shear deformation theory. Aerospace Science and Technology, 2017. 66: p. 83-91. [4] Tu, T.M., et al., Nonlinear buckling and post-buckling analysis of imperfect porous plates under mechanical loads. Journal of Sandwich Structures & Materials, 2020. 22(6): p. 1910-1930. [5] Chen, D., J. Yang, and S. Kitipornchai, Buckling and bending analyses of a novel functionally graded porous plate using Chebyshev-Ritz method. Archives of Civil and Mechanical Engineering, 2019. 19(1): p. 157-170. [6] Magnucki, K., M. Malinowski, and J. Kasprzak, Bending and buckling of a rectangular porous plate. Steel and Composite Structures, 2006. 6(4): p. 319-333. [7] Biot, M.A., General theory of three‐dimensional consolidation. Journal of applied physics, 1941. 12(2): p. 155-164. [8] Babaei, M., K. Asemi, and P. Safarpour, Buckling and static analyses of functionally graded saturated porous thick beam resting on elastic foundation based on higher order beam theory. Iranian Journal of Mechanical Engineering Transactions of the ISME, 2019. 20(1): p. 94-112. [9] Babaei, M., K. Asemi, and P. Safarpour, Natural frequency and dynamic analyses of functionally graded saturated porous beam resting on viscoelastic foundation based on higher order beam theory. Journal of Solid Mechanics, 2019. 11(3): p. 615-634. [10] Theodorakopoulos, D. and D. Beskos, Flexural vibrations of poroelastic plates. Acta Mechanica, 1994. 103(1): p. 191-203. [11] Leclaire, P., et al., The vibrational response of a clamped rectangular porous plate. Journal of sound and vibration, 2001. 247(1): p. 19-31. [12] Rezaei, M., A. Mojahedin, and M.R. Eslami, Mechanical Buckling of FG Saturated Porous Rectangular Plate under Temperature Field. Iranian Journal of Mechanical Engineering Transactions of the ISME, 2016. 17(1): p. 61-78. [13] Rad, E.S., et al., Shear deformation theories for elastic buckling of fluid-infiltrated porous plates: An analytical approach. Composite Structures, 2020. 254: p. 112829.
346 402 Nguyễn Văn Long, Trần Minh Tú và Vũ Thị Thu Trang [14] Xiang, Y., H. Jiang, and J. Lu, Analyses of dynamic characteristics of a fluid-filled thin rectangular porous plate with various boundary conditions. Acta Mechanica Solida Sinica, 2017. 30(1): p. 87-97. [15] Rezaei, A. and A. Saidi, Exact solution for free vibration of thick rectangular plates made of porous materials. Composite Structures, 2015. 134: p. 1051-1060. [16] Ebrahimi, F. and S. Habibi, Deflection and vibration analysis of higher-order shear deformable compositionally graded porous plate. Steel and Composite Structures, 2016. 20: p. 205-225. [17] Barati, M.R. and A.M. Zenkour, Investigating post-buckling of geometrically imperfect metal foam nanobeams with symmetric and asymmetric porosity distributions. Composite Structures, 2017. 182: p. 91-98. [18] Reddy, J.N., Theory and analysis of elastic plates and shells. 2006: CRC press. [19] Detournay, E. and A.H.D. Cheng, 5 - Fundamentals of Poroelasticity, in Analysis and Design Methods, C. Fairhurst, Editor. 1993, Pergamon: Oxford. p. 113-171. [20] Reddy, J.N., Energy principles and variational methods in applied mechanics. 2017: John Wiley & Sons. [21] Zenkour, A.M., The refined sinusoidal theory for FGM plates on elastic foundations. International journal of mechanical sciences, 2009. 51(11-12): p. 869-880. [22] Huang, Z., C. Lü, and W. Chen, Benchmark solutions for functionally graded thick plates resting on Winkler–Pasternak elastic foundations. Composite Structures, 2008. 85(2): p. 95-104. [23] Reddy, J.N., Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis. 2003: CRC press. [24] Reddy, J. and C. Chin, Thermomechanical analysis of functionally graded cylinders and plates. Journal of thermal Stresses, 1998. 21(6): p. 593-626. [25] Thai, H.-T. and D.-H. Choi, A refined plate theory for functionally graded plates resting on elastic foundation. Composites Science and Technology, 2011. 71(16): p. 1850-1858.