Phân tích ổn định phi tuyến tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lưu trên nền đàn hồi có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong nghiên cứu "Phân tích ổn định phi tuyến tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lưu trên nền đàn hồi có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ", ứng xử ổn định và sau ổn định của tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lưu, đặt trên nền đàn hồi, trong môi trường nhiệt sẽ được khảo sát. Các tính chất cơ học của vật liệu rỗng biến đổi trơn theo chiều dày với ba dạng phân bố lỗ rỗng: đều, không đều đối xứng và không đều bất đối xứng. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích ổn định phi tuyến tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lưu trên nền đàn hồi có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ

327 383 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Phân tích ổn định phi tuyến tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lưu trên nền đàn hồi có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ Nguyễn Văn Long1,2*, Trần Minh Tú1,2 và Vũ Thị Thu Trang2,3 Khoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng Hà Nội 1 2 Nhóm nghiên cứu Cơ học vật liệu và kết cấu tiên tiến (MAMS), Đại học Xây dựng HN 3 Viện Cơ khí, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam *Email: longnv@huce.edu.vn Tóm tắt. Trong nghiên cứu này, ứng xử ổn định và sau ổn định của tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lưu, đặt trên nền đàn hồi, trong môi trường nhiệt sẽ được khảo sát. Các tính chất cơ học của vật liệu rỗng biến đổi trơn theo chiều dày với ba dạng phân bố lỗ rỗng: đều, không đều đối xứng và không đều bất đối xứng. Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất trong đó bao gồm yếu tố phi tuyến hình học Von Kármán, quan hệ ứng suất - biến dạng xác định theo lý thuyết đàn hồi cho vật liệu rỗng của Biot, lời giải giải tích thu được từ phương pháp Galerkin và hàm ứng suất Airy cho tấm liên kết khớp bốn cạnh. Ảnh hưởng của các tham số vật liệu, tham số nền đàn hồi và điều kiện liên kết lên ổn định phi tuyến của tấm bằng vật liệu rỗng sẽ được đánh giá cụ thể qua các khảo sát số. Từ khóa: Ổn định nhiệt; phân tích phi tuyến; tấm FGM rỗng; bão hòa chất lưu; lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. 1. Mở đầu Vật liệu rỗng với cấu trúc tế bào (cellular structures) là một trong những loại vật liệu composite tiên tiến. Sở hữu khả năng hấp thụ năng lượng tốt, trọng lượng nhẹ, hệ số truyền nhiệt và dẫn điện thấp, cùng với một số tính năng khác biệt khác, vật liệu rỗng có tiềm năng ứng dụng để chế tạo các hệ thống hấp thụ năng lượng và âm thanh, điện cực rỗng, lưới chắn điện từ, hệ thống bảo ôn và truyền nhiệt, vật liệu xây dựng hay y khoa. Các phân tích tĩnh và động của các kết cấu dầm, tấm, và vỏ bằng vật liệu rỗng dưới tác dụng của các loại tải trọng khác nhau luôn thu hút được sự quan tâm của giới học thuật. Trong hai thập kỷ gần đây, một số lượng lớn các nghiên cứu về ứng xử uốn, dao động và ổn định của các kết cấu FGP (functionally graded porous materials) đã được công bố. Trong số các nghiên cứu này, ứng xử ổn định và sau ổn định luôn là một trong những chủ đề được bàn luận sâu. Các công bố chủ yếu cho các kết cấu dầm và tấm FGP mà trong cấu trúc các lỗ rỗng không chứa chất lưu (lỏng hoặc khí) [1-5]. Trong thực tế các kết cấu FGP thường tồn tại ở trạng thái bão hòa nước (saturated FGP), tương tác chất rắn-chất lưu phải được kể đến, điều này sẽ ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử cơ học của kết cấu. Biot [6] là tác giả đầu tiên khảo sát ứng xử ổn định của sàn FGP bão hòa chất lỏng, chịu tác dụng của tải trọng nén màng. Trên cơ sở lý thuyết đàn hồi Biot cho môi trường rỗng, Rezaei và cs. đã phân tích ứng xử ổn định tuyến tính của mảnh tấm FGP vành khuyên [7], tấm chữ nhật FGP [8] bão hòa nước, chịu tác dụng của tải nén trong mặt trung bình theo tiếp cận giải tích. Mojahedin và cs. [9] phân tích ổn định tấm tròn FGP bão hòa nước theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Kiarasi và cs. [10] sử dụng lời giải hỗn hợp kết hợp hai cách tiếp cận phần tử hữu hạn và vi phân cầu phương (GDQ) để phân tích ổn định tấm chữ nhật FGP bão hòa chất lưu dưới tác dụng của tải trọng phức tạp. Sử dụng lý thuyết tấm cổ điển và lý thuyết đàn hồi Biot, Jabbari và cs. khảo sát ổn định của tấm chữ nhật FGP bão hòa chất lưu trong môi trường nhiệt [11], và ổn định của tấm FGP chữ nhật có gắn lớp áp điện [12]. Sharifan và cs. [13] khảo sát ổn định của tấm elip FGP bão hòa nước, đặt trên nền đàn hồi, chịu tác dụng của tải trọng màng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Để có thể dự đoán được ứng xử sau khi mất ổn định của kết cấu, phân tích ổn định phi tuyến hay phân tích sau ổn định (postbuckling) thường được thực hiện, mặc dù bài toán này là phức tạp về
328 384 Nguyễn Văn Long, Trần Minh Tú và Vũ Thị Thu Trang mặt toán học và tiêu tốn nhiều thời gian tính toán hơn so với phân tích ổn định tuyến tính. Wu và cs. [14] phân tích sau ổn định của tấm FGM dưới tác dụng của tải cơ và nhiệt. Sử dụng lý thuyết tấm cổ điển và phương pháp Galerkin, Tung và Duc [15] phân tích ổn định phi tuyến của tấm chữ nhật FGM liên kết khớp trên các cạnh, chịu tác dụng của tải trọng nén màng và tải trọng nhiệt đồng thời. Prakash và cs. [16] nghiên cứu ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa đến ứng xử ổn định phi tuyến của tấm xiên FGM bằng phương pháp PTHH. Zhou và cs. [17] phân tích ổn định phi tuyến vỏ trụ FGM gia cường bởi mảnh graphene (FG-GPLRC) có xét đến hiệu ứng trước ổn định (pre-buckling effect) và các ràng buộc màng (in-plane constrains). Qua nghiên cứu tổng quan các tài liệu, có thể thấy rằng nghiên cứu về ổn định phi tuyến của kết cấu FGM, FGP còn ít được công bố, đặc biệt là kết cấu FGP ở trạng thái bão hòa chất lưu. Do vậy, trong bài báo này, các tác giả sẽ tiến hành thiết lập các phương trình chủ đạo để phân tích phi tuyến ổn định của tấm chữ nhật FGP bão hòa chất lưu. Tấm được đặt trên nền đàn hồi, chịu tác dụng đồng thời của tải nén cơ trong mặt trung bình và tải trọng nhiệt. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cùng với lý thuyết đàn hồi Biot, phương pháp Galerkin theo tiếp cận ứng suất sẽ được sử dụng để nhận được biểu thức giải tích quan hệ tải-độ võng. Ảnh hưởng của các tham số vật liệu, nền đàn hồi đến ứng xử phi tuyến ổn định của tấm FGP sẽ được khảo sát. 2. Mô hình tấm bằng vật liệu rỗng Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lưu có chiều dày h, kích thước theo phương các trục x, y là a (chiều dài), b (chiều rộng). Tấm chịu tải trọng nén cơ học trong mặt trung bình và đặt trong môi trường nhiệt. Tấm được đặt trên nền đàn hồi Pasternak (Hình 1) với các hệ số nền: K w - hệ số độ cứng uốn (Winkler stiffness), K si (i = x, y) - hệ số độ cứng cắt (shear stiffness). Hình 1. Mô hình tấm chữ nhật xốp bão hòa chất lưu trên nền đàn hồi Các hằng số vật liệu rỗng biến thiên liên tục theo chiều dày tấm, phụ thuộc vào mật độ phân bố lỗ rỗng [18, 19]: 2 1 12 2  Phân bố đều: { E , G} = { E1 , G1} (1 − e0 χ ) ; χ= − 1 − e0 − + 1 e0 e0  π (1)  π    π z  Phân bố đối xứng: { E ( z ), G ( z )} = { E1 , G1} 1 − e0 cos   (2)   h    π z π  Phân bố bất đối xứng: { E ( z ), G ( z )} = { E1 , G1} 1 − e0 cos  +  (3)   2h 4   Hệ số Poisson được coi là không thay đổi theo tọa độ chiều dày: ν = const. 3. Các hệ thức quan hệ - hệ phương trình chủ đạo
329 Phân tích phi tuyến ổn định tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lỏng 385 Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT), các thành phần biến dạng có kể đến thành phần phi tuyến hình học von Kármán và xét đến độ không hoàn hảo ban đầu w0 , thể hiện như dưới đây [20]: * ε   u0, x + w0, x /2 + w0, x w0, x 2 *   θ  εx  0 κ       x      x, x      0  x    ε y  = v0, y + w0, y /2 + w0, y w0, y  + z  θ y , y  =  ε y  + z κ y  ; 2 *    *     0    γ xy  u0, y + v0, x + w0, x w0, y + w0, y w0, x + w0, x w0, y  θ x, y + θ y , x  γ xy  κ y  *           (4) γ xz     w0, x + θ x    γ xz    0 =   =   0  γ yz      w0, y + θ y   γ yz    Đối với vật liệu FGP, khi các lỗ rỗng chứa chất lưu, quan hệ ứng suất-biến dạng tuân theo lý thuyết đàn hồi tuyến tính cho vật liệu có lỗ rỗng của Biot [21]: σ ij = 2Gε ij + λuθδ ij − pαδ ij − 3Ku β sT δ ij ; i, j = 1, 2,3 (5) trong đó: σ ij và ε ij tương ứng là các thành phần ứng suất và biến dạng; δ ij là chỉ số Kronecker; θ = ε x + ε y + ε z là biến dạng thể tích; T là chênh lệch nhiệt độ so với nhiệt độ ban đầu (T 0 ); β s là hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu nền dưới áp lực lỗ rỗng không đổi; α là các hệ số Biot của ứng suất hiệu dụng; p là áp lực chất lưu trong lỗ rỗng; λu là hằng số Lame; Ku là mô đun đàn hồi khối của vật liệu rỗng ở trạng thái bão hòa chất lưu. Các hệ số này được xác định bởi: 2G (ν u −ν ) 2G (1 + ν u ) p = ξ − αθ + α ( β f − β s ) T  ; α =− ; M = 2 G M 1 ; Ku = ;   G1 α (1 − 2ν u ) (1 − 2ν ) 3 (1 − 2ν u ) (6) 2Gν u ν + α B (1 − 2ν ) /3 =λu ;νu = = β 0 (1 − α ) ; βs 1 − 2ν u 1 − α B (1 − 2ν ) /3 với: ξ là biến thiên của thể tích chất lưu; M là mô đun Biot; ν u là hệ số Poisson khi bão hòa chất lưu, 0 < B < 1 là hệ số Skempton phản ánh khả năng nén được của chất lưu; β f là hệ số giãn nở nhiệt của chất lưu trong lỗ rỗng, β 0 là hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu tấm thuần nhất. Với tấm bão hòa chất lưu ( ξ = 0 ) và áp dụng cho bài toán ứng suất phẳng ( σ z = 0 ), công thức (5) có thể viết lại dưới dạng ma trận: σ   Q11 Q12 0   εx  1   x   Q   ε  − c T 1  ;   σ xz  Q55   0  γ xz    =σ y  0  y  0    =    21 Q22 Q44  γ yz  (7)   σ yz   0     σ xy   0  0 Q66  γ xy        0     λ + Mα 2  λu + M α 2 trong đó: Q11 =u Q22 = 2G ( z ) 1 + 2 ; Q12 = Q21 = 2 ; 2G ( z )  2G ( z ) + λu + M α    2G ( z ) + λu + M α = = = = Q44 Q55 Q66 G ( z ); c0 ( z ) ( ) 2G ( z )  M α 2 β f − β s'' + 3K u β s'   . 2G ( z ) + λu + M α 2 Tích phân các thành phần ứng suất theo chiều dày của tấm ta nhận được các thành phần nội lực: N  ε0   κ  NT  M  ε0   κ  M T   x    x  0  x        x   x    0         x    N y  =  Aij   ε y  +  Bij   κ y  −  N T  ;      M y  =  Bij   ε y  +  Dij   κ y  −  M T  ; (8)    0     0     0       N xy    γ xy     κ xy         M xy    γ xy    κ xy   0     
330 386 Nguyễn Văn Long, Trần Minh Tú và Vũ Thị Thu Trang Qx  0  γ xz    0    A44   = kc   0  Qy     0 A44  γ yz    trong đó: { Aij , Bij , Dij } ∫ Qij {1, z, z } dz; ij 11,12, 66; A44 kc ∫ Q44 dz; {N } h /2 h /2 h /2 = = = ,MT = ∫ c0 ( z )T {1, z} dz; 2 T − h /2 − h /2 − h /2 k c là hệ số hiệu chỉnh cắt (trong phân tích này lấy k c = 5/6). Hệ phương trình cân bằng phi tuyến của tấm theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất có dạng [22]: N x , x + N xy , y =xy , x + N y , y = 0; N 0; ( ) ( ) ( Qx , x + Qy , y + N x w0, xx + w0, xx + 2 N xy w0, xy + w0, xy + N y w0, yy + w0, yy + f e = * * * 0; ) (9) M x , x + M xy , y − Qx = M xy , x + M y , y − Qy = 0; 0 với f e là phản lực nền, được xác định bởi [23, 24]: f e =w0 + K sx w0, xx + K sy w0, yy . −Kw Sử dụng hàm ứng suất Airy ϕ ( x, y ) sau đó biểu diễn các thành phần biến dạng màng theo hàm ứng suất; khi đó hai phương trình đầu tiên của (9) tự thỏa mãn, ba phương trình còn lại và phương trình tương thích biến dạng của tấm có thể biểu diễn theo các thành phần chuyển vị và hàm ứng suất: ( ) ( ) ( ) ( kc A55 w0, xx + θ x, x + kc A44 w0, yy + θ y , y + ϕ, yy w0, xx + w0, xx − 2ϕ, xy w0, xy + w0, xy * * ) ( ) +ϕ, xx w0, yy + w0, yy − K w w0 + K sx w0, xx + K sy w0, yy = * 0; s1ϕ, xyy + k4ϕ, xxx + s2θ x , xx + s3θ x , yy − kc A44θ x + s4θ y , xy − kc A44 w0, x = 0; (10) s1ϕ, xxy + k4ϕ, yyy + s4θ x , xy + s3θ y , xx + s2θ y , yy − kc A44θ y − kc A44 w0, y = 0; k1ϕ, xxxx + k1ϕ, yyyy + ( k5 − 2k2 ) ϕ, xxyy + s1θ x, xyy − k4θ x, xxx + s1θ y , xxy − k4θ y , yyy = − w0, xx w0, yy + 2 w0, xy w0, xy − w0, xx w0, yy − w0, yy w0, xx 2 w0, xy * * * 2 B66 A trong đó: s= k3 − k6 ; s2 = 11 − B11k3 − B12 k4 ; = D66 − 1 D s3 ; s4 = 12 − B11k4 − B12 k3 + s3 ; k1 = 2 11 2 ; D A66 A11 − A12 A12 A B − A B12 A B − A12 B11 1 B =k2 = 11 11 12 = 11 12 ; k3 ; k4 = = 66 . ; k5 ; k6 2 A11 − A12 2 A11 − A12 2 2 A11 − A12 2 2 A66 A66 Hệ gồm bốn phương trình trong biểu thức (10) là hệ phương trình chủ đạo để để giải bài toán ổn định và sau ổn định của tấm không hoàn hảo vật liệu rỗng bão hòa chất lưu. Đây là hệ phương trình phi tuyến với 4 ẩn số độc lập: w0 ,θ x ,θ y , ϕ . 4. Phân tích ổn định và sau ổn định Trong bài báo này, tấm bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lưu, liên kết khớp 4 cạnh (SSSS), ba trường hợp cụ thể được xem xét bao gồm: - Trường hợp 1 (SSSS-1): cả bốn cạnh của tấm có thể tự do dịch chuyển (freely movable) trong mặt phẳng. Các điều kiện biên tương ứng là: Tại x = 0, a: w0 θ= N xy M= 0; N= N x 0 ; tại y = 0, b: w0 θ= N xy M= 0; N= N x 0 = y = x x = x = y y (11) - Trường hợp 2 (SSSS-2): hai cạnh đối diện của tấm (x = 0, a) có thể tự do dịch chuyển, hai cạnh còn lại (y = 0, b) không thể tự do dịch chuyển (immovable) trong mặt phẳng: Tại x = 0, a: w0 θ= N xy M= 0; N= N x 0 ; tại y = 0, b: v= w0 θ= M= 0; N= N y 0 = y = x x 0 = x y y (12) - Trường hợp 3 (SSSS-3): cả bốn cạnh của tấm không thể tự do dịch chuyển trong mặt phẳng:
331 Phân tích phi tuyến ổn định tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lỏng 387 Tại x = 0, a: u0 w0 θ= M= 0; N= N x 0 ; tại y = 0, b: v= w0 θ= M= 0; N= N y 0 = = y x x 0 = x y y (13) trong đó N x 0 , N y 0 là các lực dọc màng tác dụng lên các cạnh của tấm chữ nhật theo phương x, y tương ứng trong trường hợp các cạnh đó có thể tự do dịch chuyển; hoặc là phản lực trên các cạnh của tấm trong trường hợp các cạnh không thể dịch chuyển trong mặt phẳng. Các điều kiện= 0, v0 0 được thỏa mãn theo nghĩa trung bình [25, 26]: u0 = ba ba = 0; ∫ ∫ v0, y dxdy 0 ∫ ∫ u0, x dxdy = (14) 00 00 Với các điều kiện biên SSSS đã nêu ta chọn nghiệm chuyển vị và độ không hoàn hảo của tấm dưới dạng: w0 = w0 mn sinψ x sin β y; θ x = θ xmn cosψ x sin β y; θ y = θ ymn sinψ x cos β y; w0 = ξ h sinψ x sin β y * (15) mπ nπ trong đó: ψ = = ,β ; m, n là số nửa bước sóng hình sin theo phương x, y phản ánh mode a b (dạng) vồng, w0 mn ,θ xmn , θ ymn là các hệ số cần xác định; hệ số ξ ∈ [ 0,1] phản ánh tính không hoàn hảo của tấm. Thay (15) vào phương trình thứ tư của hệ phương trình (10), ta được hàm ứng suất có dạng: ( A1 cos 2ψ x + A2 cos 2β y ) ( w0mn + 2ξ hw0mn ) + ( A3θ xmn + A4θ ymn ) sinψ x sin β y + N x0 y2 x2 ϕ = 2 + N y0 (16) 2 2 β2 ψ2 trong đó: A1 = 32ψ 2 k1 ; A2 = 32 β 2 k1 ; { A3 , A4 } = 4 1 ψ k1 + β 4 k1 + ( k5 − 2k2 )ψ 2 β 2 { ψ 3 k4 + ψβ 2 s1 , β 3 k4 + ψ 2 β s1 .} Thay hàm ứng suất thu được từ (16) và dạng nghiệm chuyển vị trong (15) vào 3 phương trình đầu của (10), sau đó áp dụng phương pháp Galerkin để được hệ phương trình đại số với 3 ẩn số θ xmn ,θ ymn , w0 mn . Tiếp đó, rút các hệ số θ xmn ,θ ymn theo w0mn từ các phương trình số 2 và số 3 trong của hệ thu được rồi thay các kết quả này vào phương trình đầu tiên để được phương trình đại số duy nhất theo w0mn : ( L11 + c1L12 + c3 L13 ) w0mn + (ψ 2 N x0 + β 2 N y 0 ) ( w0mn + ξ h ) + ( c2 L12 + c4 L13 ) ( w0mn + 2ξ hw0mn ) 2 (17) 1 1 ( + ( c1 P + c3 P2 )( w0 mn + ξ h ) w0 mn + ( c2 P + c4 P2 + P3 ) w0 mn + 2ξ hw0 mn 2 )(w 0 mn + ξ h) = 0 L23 L31 − L21 L33 L23 P5 − L33 P4 L21 L32 − L22 L31 L32 P4 − L22 P5 trong đó: c1 = = = = ; c2 ; c3 ; c4 ; L22 L33 − L23 L32 L22 L33 − L23 L32 L22 L33 − L23 L32 L22 L33 − L23 L32 = ψ 2 kc A44 + β 2 kc A44 + K w + ψ 2 K sx + β 2 K sy ; L21 L12 ψ kc A44 ; L31 L13 β kc A44 ; L11 = = = = 4 (1 − cos mπ )(1 − cos nπ ) {P1 , P2 , P4 , P5 } =2 A3 , −ψ 2 β 2 A4 , −16ψ 3 A1k4 , −16β 3 A2 k4 } {−ψ 2 β ; P3 = ( A1 + A2 ) ; 2ψ 2 β 2 3mnπ 2 L22= ( ) ( ψβ 2 s1 + α 3 k4 A3 + ψ 2 s2 + β 2 s3 + kc A44 ; L23 = 2 s1 + ψ 3 k4 A4 + ψβ s4 ; ψβ ) L32= (ψ 2 β s + β k ) A + ψβ s ; L = (ψ 1 3 4 3 4 33 2 ) β s1 + β 3 k4 A4 + ψ 2 s3 + kc A44 + β 2 s2 . Từ đây, các kết quả thu được trong ba trường hợp liên kết được xem xét bao gồm: Trường hợp 1: tấm FGM rỗng điều kiện biên SSSS-1, chịu tác dụng của tải nén đều theo hai phương N x 0 =y 0 = −γ 1 N 0 h, N −γ 2 N 0 h trên các cạnh x = 0, a và y = 0, b . Với điều kiện biên này, sẽ không có ảnh hưởng của tải trọng nhiệt đến ổn định của tấm, từ phương trình (17), ta nhận được:
332 388 Nguyễn Văn Long, Trần Minh Tú và Vũ Thị Thu Trang N0 = L11 + c1 L12 + c3 L13 W + c2 L12 + c4 L13 W + 2ξ W 2 ( )+ c1 P + c3 P2 1 W (γ ψ1 2 + γ 2β 2 ) h (W + ξ ) γ 1ψ + γ 2 β 2 2 (W + ξ ) γ 1ψ 2 + γ 2 β 2 (18) c2 P + c4 P2 + P3 + 1 γ 1α 2 + γ 2 β 2 ( 2 w0 mn W + 2ξ W h; W = h ) . Trường hợp 2: tấm FGM rỗng điều kiện biên SSSS-2, chịu tác dụng của tải nén đều theo một phương N x 0 = − N 0 h, trên các cạnh x = 0, a. Từ (14) kết hợp với (15) và (16) ta xác định được các thành phần phản lực N y 0 , sau đó thay chúng vào (17), ta được tải nén mất ổn định cơ học: N0 = T + − β 2 ( A11 − A12 ) N ( L11 + c1 L12 + c3 L13 ) W + ( c2 L12 + c4 L13 ) W + 2ξW 2 ( )  A  A11 ψ 2 + β 2 12  h  2 ψ + β 2 A  12  h W +ξ  2 ψ + β 2 A  12  W +ξ ( ) ( )  A11   A11   A11  (19)  β 2 ( c1d1 + c3 d 2 ) + ( c1 P + c3 P2 )   β 2 ( c2 d1 + c4 d 2 + d3 ) + ( c2 P + c4 P2 + P3 )  + W +   W 2 + 2ξ W h ( ) 1 1  2 2 A   2 2 A  ψ + β ψ + β 12 12    A11   A11  và tải mất ổn định nhiệt:  2 2 A  ψ + β 12  ( L11 + c1 L12 + c3 L13 ) W +  β ( c1d1a + c3 d 2a ) + ( c1 P1 + c3 P2 ) Wh 2 N = T  A11  N0 h +   β2 A11 − A12 β2 A11 − A12 W +ξ β2 A11 − A12 ( ) A11 A11 A11 (20) ( c2 L12 + c4 L13 ) ( W 2 + 2ξ W h )  β 2 ( c2 d1a + c4 d 2 a + d3a ) + ( c2 P + c4 P2 + P3 )  +  W 2 + 2ξW h 2 ( ) 1 + β2 A11 − A12 (W + ξ ) β 2 A −A 11 12 A11 A11  A12 2 A B −A B  1 A2 − A2 trong đó: d1a = 2 A3 − ψ β A3 − 11 12 12 11 ψ  (1 − cos mπ )(1 − cos nπ ) ; d3a = 11 12 β 2 ;  mnπ 2  A11 A11 8 A11  A A B −A B  1 d 2 a = 2 A4 − 12 β 2 A4 − 11 11 12 12 β  ψ (1 − cos mπ )(1 − cos nπ ) .  mnπ 2  A11 A11 Trường hợp 3: tấm FGM xốp điều kiện biên SSSS-3. Với điều kiện biên này, sẽ không có tác dụng của tải trọng cơ học tên các biên. Từ (14) kết hợp với (15) và (16) ta xác định được các thành phần phản lực N x 0 , N y 0 , sau đó thay chúng vào (17), ta thu được tải trọng mất ổn định nhiệt: N T ( L11 + c1L12 + c3 L13 ) + W 1b (  ψ 2 d + β 2 d + ( c P + c P ) 3b 1 1 3 2  Wh ) (ψ 2 + β2 ) ( W +ξ ) ψ +β 2 2 ( ) (21) ( c2 L12 + c4 L13 ) W + 2ξW h 2 ( ) (  ψ 2 d + β 2 d + ( c P + c P + P ) ) +  W 2 + 2ξW h 2 ( ) 2b 4b 2 1 4 2 3 + (ψ 2 + β2 ) (W + ξ ) ψ +β 2 2 ( ) ( trong đó: d= c1 β 2 A3 − B11ψ + c3 β 2 A4 − B12 β  1b  ) ( ) mn1π 2 (1 − cos mπ )(1 − cos nπ ) ; A ψ 2 + A12 β 2 ( d= c2 β 2 A3 − B11ψ + c4 β 2 A4 − B12 β  2b  1 )  mnπ 2 ( (1 − cos mπ )(1 − cos nπ ) + 11 8 ) ;
333 Phân tích phi tuyến ổn định tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lỏng 389 ( ) ( d3b c1 ψ 2 A3 −ψ B12 + c3 ψ 2 A4 − β B11  =  1  mnπ 2 ) (1 − cos mπ )(1 − cos nπ ) ; A ψ 2 + A11β 2 ( ) ( d= c2 ψ 2 A3 −ψ B12 + c4 ψ 2 A4 − β B11  4b  1  mnπ 2 ) (1 − cos mπ )(1 − cos nπ ) + 12 8 . Lực ổn định và nhiệt độ mất ổn định N 0m,n ) , T0( m,n ) thu được từ phương trình (18)÷(21) phụ thuộc ( vào các giá trị của m và n. Mỗi giá trị của m và n sẽ cho ta giá trị của lực mất ổn đinh tương ứng với ( mode vồng (m, n), tải cơ học tới hạn sẽ là Nth = min N 0 { m, n ) } và tải trọng nhiệt tới hạn T th { ( )} = min T0 m, n 6. Kết quả số và thảo luận Với nghiệm giải tích đã thiết lập ở phần trên, chương trình tính trên nền Matlab được viết để thực hiện các ví dụ số. Tấm chữ nhật vật liệu rỗng liên kết khớp 4 cạnh, làm việc trong môi trường nhiệt và đặt trên nền đàn hồi Pasternak. Các công thức không thứ nguyên được sử dụng: a4 a2 b2 = K w = K sx K0 ; J 0 = K sy (22) E1h3 E1h3ν E1h3ν 6.1. Ví dụ kiểm chứng Xét tấm vuông (SSSS-1, a = b = 1 m, h/a = 0,1) chịu tác dụng của tải trọng nén trên các cạnh trong hai trường hợp: nén đều theo phương x ( γ 1 1, γ 2 0 ) và nén đều theo cả hai phương x, y = = ( γ= γ= 1 ). Các kết quả tính toán tải nén tới hạn cho tấm rỗng phân bố bất đối xứng, ở trạng thái bão 1 2 hòa chất lưu: G 1 = 24 GPa; ν = 0,25; B = 0,51 [27] được trình bày trong Bảng 1. Từ các số liệu chỉ ra trong bảng tính, có thể thấy rằng với các hệ số lỗ rỗng e 0 khác nhau và cả hai trường hợp tỷ số kích thước tấm h/a, các kết quả của bài báo đều trùng khớp với kết quả nghiệm giải tích của Rad và cs. [8] cùng sử dụng lý thuyết FSDT tuy nhiên theo tiếp cận Levy. Bảng 1. Tải trọng tới hạn N th (MN/m) của tấm rỗng phân bố bất đối xứng, bão hòa chất lưu (γ 1 , γ 2 ) Nguồn e0 = 0 e 0 = 0,3 e 0 = 0,5 e 0 = 0,7 = 1, γ 2 0 γ1 = Rad và cs. [8] 200,023 167,163 141,292 109,823 Bài báo 200,023 167,163 141,292 109,823 γ= γ= 1 1 2 Rad và cs. [8] 100,011 83,582 70,646 54,912 Bài báo 100,011 83,582 70,646 54,912 1.6 1.4 1.2 1 [GPa] 0.8 0 N 0.6 0.4 Bài báo, =0 Bài báo, = 0.1 0.2 Tung & Duc, =0 Tung & Duc, = 0.1 0 0 0.5 1 1.5 Hình 2. Đường cong sau ổn định của tấm vuông đẳng hướng
334 390 Nguyễn Văn Long, Trần Minh Tú và Vũ Thị Thu Trang Hình 2 trình bày đường cong tải sau ổn định - độ võng ( N 0 − W ) của tấm vuông đẳng hướng SSSS-1: e0 = 0, E1 = 380 GPa, ν = 0,3; b /h = 40, a /b = 1; = 1, γ 2 0 cho hai trường hợp: tấm hoàn γ1 = hảo ( ξ = 0 ) và tấm không hoàn hảo ( ξ = 0,1 ). Các kết quả tính toán trong bài báo theo mô hình lý thuyết tấm FSDT được so sánh với kết quả của Tung & Duc [15] sử dụng lý thuyết tấm cổ điển. Các đường cong sau ổn định trong bài báo và của Tung & Duc là hầu như trùng khớp cho cả hai trường hợp tấm hoàn hảo và không hoàn hảo. Đối với tấm chữ nhật đẳng hướng (Al 2 O 3 ) liên kết khớp bốn cạnh (SSSS-3), ổn định của tấm dưới tác dụng của tải nhiệt tăng đều được tính toán và trình bày ở . Tải nhiệt mất ổn định (m = n = 1) trong bài báo được so sánh với tác giả Akavci [28] sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao 5 ẩn chuyển vị với hàm dạng hyperbolic. Có thể thấy rằng, với các tỷ số kích thước cạnh a/b khác nhau, kết quả trong bài báo đều cho thấy sự tương đồng so với kết quả tính của Akavci. Bảng 2. Tải nhiệt mất ổn định T th (K) của tấm chữ nhật đẳng hướng (a/h = 100) Nguồn a/b = 1 a/b = 2 a/b = 3 a/b = 4 a/b = 5 Akavci [28] 17,089 42,687 85,255 144,65 220,672 Bài báo 17,089 42,688 85,255 144,649 220,670 6.2. Ví dụ khảo sát Xét ứng xử ổn định và sau ổn định của tấm vuông (h = 0,1 m; a = b = 20h) vật liệu rỗng bão hòa chất lưu (SUS304: E 1 = 207,79 GPa; β 0 = 15,32110-6 K-1; ν = 0,3178 [29], e 0 = 0,5; B = 0,5; β* = β f /β s = 5) liên kết khớp 4 cạnh. Tấm làm việc trong môi trường nhiệt (giả thiết nhiệt độ là tăng đều: T = T 0 + ∆T) và đặt trên nền đàn hồi Pasternak. Hình 3 thể hiện ảnh hưởng của hệ số Skempton, B và hệ số rỗng e 0 lên tải nén tới hạn N th của tấm vật liệu rỗng, phân bố bất đối xứng (SSSS-1, K 0 = J 0 = 0; γ 1 = 1, γ 2 = 0). Có thể thấy rằng, khi B tăng, với mỗi hệ số rỗng e 0 , tải nén tới hạn của tấm vật liệu rỗng tăng nhẹ với quy luật gần như tuyến tính; ảnh hưởng của hệ số Skempton, B là đáng kể khi e 0 lớn. Ví dụ, với e 0 = 0,95, khi B = 0: N th = 0,4537; khi B = 1: N th = 0,5476 (tăng 20,69%). Về ảnh hưởng của hệ số lỗ rỗng, khi tăng e 0 , với mỗi giá trị của hệ số B, độ cứng của tấm giảm, tải nén tới hạn của tấm giảm một cách rõ rệt. 2 1.8 1.6 300 1.4 250 [GPa] 1.2 [K] 200 th th 1 N T 150 0.8 100 0 0.6 0 0.2 0.4 0.4 0.5 1 0.6 0.5 0.2 0 0.8 0.6 0.4 0 0.8 e 1 B B e 0 0 Hình 3. Biến thiên của tải trọng nén tới hạn của Hình 4. Biến thiên của tải trọng nhiệt tới hạn của tấm rỗng phân bố bất đối xứng theo B và e 0 tấm rỗng phân bố bất đối xứng theo B và e 0 Ảnh hưởng của hệ số Skempton, B và hệ số rỗng e 0 lên tải nén tới hạn N th của tấm vật liệu rỗng, phân bố bất đối xứng (SSSS-3, K 0 = J 0 = 0) được thể hiện qua đồ thị trên Hình 4. Các kết quả chỉ ra rằng, khi B tăng, với mỗi hệ số rỗng e 0 , nhiệt độ tới hạn của tấm vật liệu rỗng có xu hướng giảm nhẹ; ảnh hưởng của hệ số Skempton, B là đáng kể khi e 0 lớn. Ví dụ, với e 0 = 0,95, khi B = 0: T th = 201,15
335 Phân tích phi tuyến ổn định tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng bão hòa chất lỏng 391 K; khi B = 1: N th = 137,81 K (giảm 34,49%). Trong khi đó, với mỗi hệ số B cho trước, hệ số rỗng e 0 thay đổi làm xuất hiện quy luật cực trị (cực đại) của tải nhiệt giới hạn; điểm cực trị của e 0 có xu hướng giảm dần khi B tăng. Hình 5 là đồ thị so sánh ảnh hưởng của quy luật phân bố lỗ rỗng đến đường cong sau ổn định của tấm chịu tác dụng của tải nhiệt (SSSS-3). Các kết quả trên đồ thị cho thấy, quy luật phân bố đối xứng giúp cho tấm ổn định hơn so với hai quy luật còn lại với cả hai trường hợp tấm hoàn hảo và tấm không hoàn hảo. 1000 SSSS-3: Tấm không hoàn hảo: = 0,1 400 (2) h = 0,1 m, a/h = 20, b/a = 1; Tấm hoàn hảo: =0 (3) (4) e = 0,5; B = 0,5; * = 5; 350 0 (1) 800 Phân bố bất đối xứng (SSSS-3): m = n = 1; K =J =0 h = 0,1 m, a/h = 20, b/a = 1; e = 0,5; 0 0 0 300 B = 0,5; * = 5; m = n = 1 250 600 (3) T [K] T [K] 200 (2) 400 150 (1) (1): Phân bố đều (1): K 0 = J 0 = 0 100 (2): Phân bố đối xứng (2): K = 1, J = 1 200 0 0 (3): Phân bố bất đối xứng (3): K 0 = 5, J 0 = 1 50 Tấm không hoàn hảo: = 0,1 = 5, J = 5 (4): K Tấm hoàn hảo: =0 0 0 0 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Hình 5. Ảnh hưởng của quy luật phân bố lỗ đến Hình 6. Ảnh hưởng của tham số nền đàn hồi đến đường cong sau ổn định của tấm chịu tác dụng đường cong sau ổn định của tấm chịu tác dụng của tải nhiệt của tải nhiệt Ảnh hưởng của nền đàn hồi lên ứng xử ổn định và sau ổn định của tấm rỗng bão hòa chất lưu, phân bố bất đối xứng, dưới tác dụng của tải trọng nhiệt được thể hiện qua đồ thị trên Hình 6. Như mong đợi, khi tăng các tham số nền K 0 , J 0 (đồng nghĩa với việc tăng độ cứng hệ kết cấu), tấm ổn định hơn rõ rệt; và việc tăng độ cứng hệ số nền Pasternak góp phần làm tăng tính ổn định của tấm nhanh hơn so với tăng hệ độ cứng hệ số nền Winkler. 7. Kết luận Trong bài báo này lý thuyết biến dạng cắt bậc được sử dụng để phân tích ổn định và sau ổn định trong tấm vật liệu rỗng bão hòa chất lưu đặt trên nền đàn hồi Pasternak, chịu nén trong mặt phẳng tấm (tải cơ), tải nhiệt và tải cơ-nhiệt đồng thời. Mô hình tấm bằng vật liệu xốp với ba loại phân bố lỗ rỗng: đều, đối xứng, bất đối xứng được sử dụng cho hai trường hợp tấm hoàn hảo và không hoàn hảo. Bằng việc sử dụng phương pháp Galerkin, lời giải giải tích theo phương pháp ứng suất đã được thiết lập cho tấm liên kết khớp bốn cạnh trong ba trường hợp cụ thể: SSSS-1, SSSS-2 và SSSS-3. Ví dụ kiểm chứng đã được thực hiện qua so sánh với các công bố của các tác giả khác cho thấy độ tin cậy của mô hình giải tích và chương trình máy tính được thiết lập. Trong khuôn khổ bài báo này các khảo sát số với điều kiện biên SSSS-1và SSSS-3 đã được thực hiện cho phép đánh giá ảnh hưởng của các tham số vật liệu, nền đàn hồi đến tải trọng tới hạn và đường cong sau ổn định của tấm. Tài liệu tham khảo [1] Magnucki, K., M. Malinowski, and J. Kasprzak, Bending and buckling of a rectangular porous plate. Steel and Composite Structures, 2006. 6(4): p. 319-333. [2] Magnucka-Blandzi, E., Axi-symmetrical deflection and buckling of circular porous-cellular plate. Thin- walled structures, 2008. 46(3): p. 333-337. [3] Chen, D., J. Yang, and S. Kitipornchai, Elastic buckling and static bending of shear deformable functionally graded porous beam. Composite Structures, 2015. 133: p. 54-61. [4] Chen, D., J. Yang, and S. Kitipornchai, Buckling and bending analyses of a novel functionally graded porous plate using Chebyshev-Ritz method. Archives of Civil and Mechanical Engineering, 2019. 19(1): p. 157-170.
336 392 Nguyễn Văn Long, Trần Minh Tú và Vũ Thị Thu Trang [5] Nguyen N.-D., Nguyen T.-N., Nguyen T.-K., and Vo T.P., A new two-variable shear deformation theory for bending, free vibration and buckling analysis of functionally graded porous beams. Composite Structures, 2022. 282: p. 115095. [6] Biot, M., Theory of buckling of a porous slab and its thermoelastic analogy. 1964. [7] Rezaei, A. and A. Saidi, Buckling response of moderately thick fluid-infiltrated porous annular sector plates. Acta Mechanica, 2017. 228(11): p. 3929-3945. [8] Rad E.S., Saidi A., Rezaei A., and Askari M., Shear deformation theories for elastic buckling of fluid- infiltrated porous plates: an analytical approach. Composite Structures, 2020. 254: p. 112829. [9] Mojahedin A., Jabbari M., Khorshidvand A., and Eslami M., Buckling analysis of functionally graded circular plates made of saturated porous materials based on higher order shear deformation theory. Thin- Walled Structures, 2016. 99: p. 83-90. [10] Kiarasi F., Babaei M., Asemi K., Dimitri R., and Tornabene F., Three-dimensional buckling analysis of functionally graded saturated porous rectangular plates under combined loading conditions. Applied Sciences, 2021. 11(21): p. 10434. [11] Jabbari M., Rezaei M., Mojahedin A., and Eslami M.R., Mechanical buckling of FG saturated porous rectangular plate under temperature field. Iranian Journal of Mechanical Engineering Transactions of the ISME, 2016. 17(1): p. 61-78. [12] Jabbari, M., M. Rezaei, and A. Mojahedin, Mechanical buckling of FG saturated porous rectangular plate with piezoelectric actuators. Iranian Journal of Mechanical Engineering Transactions of the ISME, 2016. 17(2): p. 46-66. [13] Sharifan, M.H. and M. Jabbari, Mechanical buckling analysis of saturated porous functionally graded elliptical plates subjected to in-plane force resting on two parameters elastic foundation based on HSDT. Journal of Pressure Vessel Technology, 2020. 142(4): p. 041302. [14] Wu, T.-L., K. Shukla, and J.H. Huang, Post-buckling analysis of functionally graded rectangular plates. Composite structures, 2007. 81(1): p. 1-10. [15] Van Tung, H. and N.D. Duc, Nonlinear analysis of stability for functionally graded plates under mechanical and thermal loads. Composite Structures, 2010. 92(5): p. 1184-1191. [16] Prakash, T., M. Singha, and M. Ganapathi, Influence of neutral surface position on the nonlinear stability behavior of functionally graded plates. Computational mechanics, 2009. 43(3): p. 341-350. [17] Zhou Z., Ni Y., Tong Z., Zhu S., Sun J., and Xu X., Accurate nonlinear buckling analysis of functionally graded porous graphene platelet reinforced composite cylindrical shells. International Journal of Mechanical Sciences, 2019. 151: p. 537-550. [18] Chen, D., J. Yang, and S. Kitipornchai, Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams. International Journal of Mechanical Sciences, 2016. 108: p. 14-22. [19] Barati, M.R. and A.M. Zenkour, Investigating post-buckling of geometrically imperfect metal foam nanobeams with symmetric and asymmetric porosity distributions. Composite Structures, 2017. 182: p. 91-98. [20] Reddy, J.N., Theory and analysis of elastic plates and shells. 2006: CRC press. [21] Cheng, A., Theory and application of transport in porous media-poroelasticity. Springer International Publishing, Switzerland, 2016. [22] Reddy, J.N., Energy principles and variational methods in applied mechanics. 2017: John Wiley & Sons. 23] Zenkour, A.M., The refined sinusoidal theory for FGM plates on elastic foundations. International journal of mechanical sciences, 2009. 51(11-12): p. 869-880. [24] Huang, Z., C. Lü, and W. Chen, Benchmark solutions for functionally graded thick plates resting on Winkler–Pasternak elastic foundations. Composite Structures, 2008. 85(2): p. 95-104. [25] Librescu, L. and M. Stein, A geometrically nonlinear theory of transversely isotropic laminated composite plates and its use in the post-buckling analysis. Thin-Walled Structures, 1991. 11(1-2): p. 177-201. [26] Shen, H.-S., Thermal postbuckling behavior of shear deformable FGM plates with temperature-dependent properties. International Journal of Mechanical Sciences, 2007. 49(4): p. 466-478. [27] Detournay, E. and A.H.-D. Cheng, Fundamentals of poroelasticity, in Analysis and design methods. 1993, Elsevier. p. 113-171. [28] Akavci, S., Thermal buckling analysis of functionally graded plates on an elastic foundation according to a hyperbolic shear deformation theory. Mechanics of Composite Materials, 2014. 50(2): p. 197-212. [29] Reddy, J. and C. Chin, Thermomechanical analysis of functionally graded cylinders and plates. Journal of thermal Stresses, 1998. 21(6): p. 593-626.