Điều kiện bị chặn của nghiệm đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Điều kiện bị chặn của nghiệm đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến trình bày việc phát triển một số kĩ thuật tiếp cận đã có trong một số tài liệu tham khảo để áp dụng nghiên cứu bài toán về tính bị chặn và tính ổn định mũ của nghiệm đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến phụ thuộc thời gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Điều kiện bị chặn của nghiệm đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 9, 2019 51 ĐIỀU KIỆN BỊ CHẶN CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA PHI TUYẾN SOME CONDITIONS FOR BOUNDEDNESS OF NONLINEAR VOLTERRA INTEGRO-DIFFERENTIAL SYSTEMS Đặng Lệ Thúy1, Lê Trung Hiếu2, Lê Huỳnh Mỹ Vân1, Nguyễn Thị Thanh Trúc1 1 Trường Đại học Công nghệ Thông tin, Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh 2 Trường Đại học Đồng Tháp; lthieu@dthu.edu.vn Tóm tắt - Những năm gần đây, bài toán về tính bị chặn của nghiệm Abstract - Recently, problem of boundedness of integro- đối với các hệ phương trình vi tích phân còn nhiều hạn chế, đặc biệt differential systems has many limitations, especially the classes of là các lớp hệ phương trình phi tuyến tổng quát. Trong bài báo này, general nonlinear systems. In this paper, by improving some nhóm tác giả phát triển một số kĩ thuật tiếp cận đã có trong một số tài existing techniques presented in the references, we study problem liệu tham khảo để áp dụng nghiên cứu bài toán về tính bị chặn và tính of ultimate boundedness and exponential stability of solutions to ổn định mũ của nghiệm đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra nonlinear time-varying Volterra integro-differential systems. phi tuyến phụ thuộc thời gian. Từ đó, thu được một số điều kiện đủ Then, we obtain some new explicit sufficient conditions for global mới và tường minh cho tính bị chặn mũ tới hạn toàn cục của nghiệm ultimate boundedness of solutions to some classes of such time- đối với một số lớp hệ phương trình vi tích phân Volterra phụ thuộc varying Volterra integro-differential systems. The obtained thời gian. Kết quả đạt được là mở rộng tổng quát của một số kết quả results generalize some existing results in the literature as our đã có như là các trường hợp đặc biệt của chúng tôi. Cuối cùng, nhóm particular cases. Ultimately, we present an example to illustrate the tác giả đưa ra một ví dụ nhằm minh họa cho kết quả đạt được. obtained results. Từ khóa - Hệ phương trình vi tích phân Volterra; tính bị chặn của Key words - Volterra integro-differential system; ultimately nghiệm; ổn định mũ bounded; globally exponentially stable 1. Đặt vấn đề tính bị chặn mũ tới hạn của lớp hệ này. Kết quả đạt được là Phương trình vi tích phân nói chung và phương trình vi mở rộng tổng quát của một số kết quả gần đây. tích phân Volterra nói riêng dành được sự quan tâm của các Sau đây là một số kí hiệu và quy ước được sử dụng trong nhà nghiên cứu, bởi vì chúng có nhiều ứng dụng trong các suốt nội dung bài báo. Gọi , và lần lượt là tập hợp mô hình toán học, sinh học, kinh tế và các ngành khoa học các số tự nhiên, trường số thực và trường số phức. Cho các ứng dụngkhác ([1], [2], [9]). Các bài toán về tính bị chặn số nguyên dương l và q, kí hiệu l là không gian vectơ và tính ổn định của nghiệm đối với các hệ động lực nói l q chung và hệ phương trình vi tích phân Volterra nói riêng là thực và là tập hợp tất cả các ma trận cỡ l  q với các một trong những bài toán định tính được sự quan tâm số hạng trong . Cho hai ma trận A   aij  và B   bij  nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước trong những l q năm gần đây (xem [1], [2], [4]-[10], …). thuộc , khi đó A  B tương đương với aij  bij với mọi Năm 2015, các tác giả trong [10] đã nghiên cứu đưa ra i  {1, 2, ..., l}, j  {1, 2,..., q}. Đặc biệt, nếu aij  bij với mọi một số điều kiện đủ cho tính bị chặn mũ tới hạn, một định nghĩa mở rộng của ổn định mũ, của hệ phương trình sai phân i  {1, 2, ..., l}, j  {1, 2,..., q} thì ta viết A B. Ma trận ngẫu nhiên phi tuyến có chậm. Năm 2017, với một cách tiếp   A  aij  l q được gọi là ma trận không âm nếu aij  0 cận khác, các tác giả trong [1] đã đưa ra một số điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định tiệm cận, ổn định mũ của với mọi i  {1, 2, ..., l}, j  {1, 2,..., q}. Cách hiểu tương tự đối nghiệm đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra tuyến với vectơ không âm. Kí hiệu lq là tập hợp tất cả các ma tính phụ thuộc thời gian. Gần đây, kết quả về ổn định tiệm trận thực không âm cỡ l  q. Cho m là số nguyên dương, ta cận, ổn định mũ cho hệ phương trình vi tích phân phi tuyến kí hiệu  m ,  m m và Im lần lượt là véctơ không trong m đã được nghiên cứu trong [6]. Tuy nhiên, bài toán về tính bị , chặn (tới hạn) của nghiệm theo dạng định nghĩa trong [5] ma trận không và ma trận đơn vị trong mm . Với chưa được nghiên cứu khai thác đối với lớp hệ phương trình vi tích phân Volterra. Ngoài ra, các kết quả về tính ổn định x  ( x1 , x2 ,..., xn )  T n và P   ij  p  lq ta định nghĩa thường đòi hỏi phương trình vi tích phân cần có điểm cân giá trị môđun của vectơ và ma trận như sau: bằng. Do đó, đối với lớp hệ không thỏa mãn điều kiện này, việc nghiên cứu bài toán ổn định là không khả thi, vì vậy cần x   x1 , x2 ,..., xn  T  n   và P  pij  l q . nghiên cứu tính chất tổng quát hơn là bị chặn của nghiệm. n  x p Nhằm đóng góp một phần vào giải quyết hạn chế nêu Trên n , ta xét các chuẩn véctơ sau x p p i trên, trong bài báo này, nhóm tác giả phát triển các kĩ thuật i 1 tiếp cận trong [1] và [10] để nghiên cứu tính bị chặn của với 1  p   và x  max  xi . Ta có, mọi chuẩn  lớp hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến phụ  1 i  n thuộc thời gian. Từ đó, đưa ra một số điều kiện mới cho trên n đều là chuẩn đơn điệu ([1]), tức là nếu có
52 Đặng Lệ Thúy, Lê Trung Hiếu, Lê Huỳnh Mỹ Vân, Nguyễn Thị Thanh Trúc x, y  n , | x | | y | kéo theo x  y . Cho ma trận Định nghĩa 2.1. Hệ phương trình vi tích phân Volterra (2.1) được gọi là ổn định mũ toàn cục (globally l q A , chuẩn của toán tử tuyến tính A : q  l , exponentially stable, viết tắt là GES) nếu tồn tại các hằng x Ax xác định bởi A : sup Ax , được gọi là chuẩn số K ,   0, sao cho với mỗi   , nghiệm x  t , t0 ,   của x 1 (2.1)-(2.2) thoả mãn toán tử (operator norm) của ma trận A (gọi tắt là chuẩn ma trận của A). x  t , t0 ,    Ke    t  t0   , t  t0 ,   Trong bài báo này, nếu không giải thích gì thêm, chuẩn Định nghĩa 2.2. Hệ phương trình vi tích phân Volterra vectơ trên n là đơn điệu và chuẩn ma trận của A  lq (2.1) được gọi là bị chặn mũ tới hạn toàn cục (globally được hiểu là chuẩn toán tử liên kết với các chuẩn vectơ đơn exponentially ultimately bounded, viết tắt là GEUB) nếu tồn điệu trên l và q . tại các hằng số K ,   0,   0 sao cho với mỗi   , Với bất kì M  n n , hoành độ phổ (spectral abscissa) nghiệm x  t , t0 ,   của (2.1)-(2.2) thoả mãn của M được kí hiệu bởi   M   max Re  :     M  , x  t , t0 ,    Ke    t  t0    , t  t0 ,   trong đó   M  :  z  : det  zI n  M   0 là phổ của ma Số  được gọi là biên trên tới hạn (ultimate upper nn bound) của hệ phương trình (2.1). trận M. Ma trận A  được gọi là ma trận Metzler nếu các phần tử ngoài đường chéo chính của A đều không âm. Từ hai định nghĩa nêu trên ta thấy, GES chỉ là trường hợp đặc biệt của GEUB khi   0. Với mỗi   0 , đặt l  ( nn  ) là họ các hàm ma trận Chú ý rằng, khi    (tức là miền xác định của nghiệm thỏa mãn điều kiện như sau là t  t0 ) thì Định nghĩa 2.1 và Định nghĩa 2.2 lần lượt trùng    với định nghĩa về GES trong [6, Definition 3.7] và định l (  B(t ) e t dt    . n n n n  ) :  B()  C ( ,  ):  0  nghĩa về GEUB trong [10, Definition 4.1] tương ứng. Bổ đề sau đây có vai trò quan trọng, được sử dụng trong 2. Điều kiện cho tính bị chặn của nghiệm đối với hệ phép chứng minh định lí chính của bài báo này. phương trình vi tích phân Volterra Bổ đề 2.3 ([1, Theorem 2.2]). Cho E  nn là ma trận Xét hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến phụ Metzler. Khi đó, những mệnh đề sau đây là tương đương: thuộc thời gian có dạng như sau (i)  ( E )  0; t x  t   F (t , x(t ))   G(t, s) x(s)ds  h(t ), t  t 0 0  0, (2.1) (ii) Tồn tại v  n ,v n sao cho Ev n ; nn (iii) E khả nghịch và E  nn ; 1 trong đó, F:   n  n ,G:     và (iv) Cho v  n ,v n . Khi đó, tồn tại x  n  sao h:   n là các hàm liên tục cho trước. cho Ex  v   n ; Gọi là tập hợp các hàm điều kiện đầu  : [0, t0 ]  n . (v) Cho bất kì x  n \  n  , vectơ hàng x E có ít T Với mỗi   , xét cho hệ (2.1) một điều kiện đầu như sau nhất một phần tử âm. x  s   0 (s), s [0,t0 ]. (2.2) Định lí sau đây là kết quả chính của bài báo này, cho ta Nghiệm của hệ (2.1) với điều kiện đầu (2.2), kí hiệu bởi một số điều kiện mới cho tính GEUB của hệ phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến (2.1). x , t0 ,   , là hàm véctơ khả vi liên tục trên t0 ,   với Định lí 2.4. Cho (H) được thỏa mãn và với mỗi   t0 nào đó và thoả mãn các đẳng thức (2.1), (2.2) với t   , F  t ,  là hàm khả vi liên tục trên , F (t ,  n ) và n mọi t  t0 ,   . Ngoài ra, nếu t0 ,   là khoảng lớn nhất để h(t ) là các hàm bị chặn trên . Giả sử tồn tại tồn tại x , t0 ,   thì nghiệm x , t0 ,   được gọi là không  A :  ai j   n n và B(·)  l ( nn  ) (   0 ) sao cho với thể kéo dài (noncontinuable). Áp dụng Bổ đề Zorn ta có tồn tại nghiệm không thể kéo dài và khoảng lớn nhất để tồn bất kì t  0 và bất kì x  n , ta có tại x , t0 ,   là khoảng mở ([6]). Fi F Trong suốt bài báo này, ta giả sử rằng điều kiện sau  t , x   aii , i  n, i t , x   ai j , i  j, i, j  n; (2.3) được thỏa mãn: xi x j (H) F (t , x ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ | G(t , s) | B(t  s), t , s  ,t s (2.4)  hai (biến x) trên bất kỳ tập con compact của  n  B(s)ds  . Khi đó, nếu A  là ma trận thỏa mãn một Khi đó, từ giả thiết (H) của hàm F ta có, với t0  0 và 0   cho trước, hệ phương trình vi tích phân (2.1) tồn tại trong các điều kiện (i)-(v) của Bổ đề 2.3 thì hệ phương trình vi tích phân (2.1) là GEUB. duy nhất nghiệm, thoả mãn điều kiện đầu (2.2) ([6]).
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 9, 2019 53 Trường hợp đặc biệt, khi F (t , n )   n , h(t )   n , với với k  0 đủ nhỏ nào đó, k  1, 2,... mọi t   thì hệ phương trình vi tích phân (2.1) là GES. Đặt G(t , s) : ( gij (t , s)) và B ( s ) : (bij ( s ))  n n  , Chứng minh. Từ cách xác định của A trong (2.4), ta có t , s   . Áp dụng định lí giá trị trung bình của hàm véctơ, A là ma trận Metzler. Vì B ( s )   n , với mọi s   nên  ta có với mỗi t  và mỗi i  {1,2,...,n}, ta có M : A   B(s)ds là ma trận Metzler. Vì các điều kiện   x  t   Fi  t , x  t    Fi  t , x  t    Fi  t , n   Fi t , n  0 n 1  F (i)-(v) trong Bổ đề 2.3 là tương đương, nên từ giả thiết đã     i  t , sx  t   ds  x j  t   Fi  t , n  cho không làm mất tính tổng quát, ta giả sử ma trận Metzler  j 1  0 x j   M có  ( M )  0 . n    gij (t , s) x j ( s)ds  hi (t ). t Giả sử   và x  t  : x  t; t0 ,   , t  t0 ,   , là một j 1 0 nghiệm không thể kéo dài của (2.1) và (2.2). Ta cần chứng Do đó, minh, rằng tồn tại K ,   0,   0 sao cho với bất kì xi  t   sgn  xi  t   x  t  d t0  0, ta có dt x  t , t0 ,    Ke    t  t0    , t  t0 ,    n  1 F    sgn  xi  t      i  sx  t   ds  x j  t  (2.5) trong đó K không phụ thuộc vào t , t0 và  . Vì ma trận  j 1  0 x j    Metzler M có  ( M )  0 nên theo Bổ đề 2.3 (ii), tồn tại  n t   sgn  xi  t      gij (t , s ) x j ( s )ds  v : 1 ,  2 ,...,  n   , với  i  0, i  n , sao cho T  j 1  n 0  Mv   n . (2.6)  sgn  xi  t    f i  t ,  n   hi (t )  Hơn nữa, từ (2.6) và B(·)  l ( nn ) , suy ra tồn tại   0  1 F     i  sx  t   ds  xi  t  đủ nhỏ sao cho bất đẳng thức sau xảy ra  0 xi    1 F  ( A   B(s)e s ds)v  v   1 ,  2 ,..., n  n n .  sgn  xi  t      i  sx  t   ds  x j  t  T (2.7)  j 1, j  i  0 x j  0  Đặt e1 : (1 1 ... 1)T  n , ta có n   | gij (t , s) || x j ( s) | ds  f i  t ,  n   hi (t ), t v  ( s )   e1   0 . j 1 min  i  1 i  n hầu khắp nơi theo t trên t0 ,   .Từ (2.4) và (2.5) suy ra v v u t    e    t  t0  n Đặt L , với d xi  t   aii xi  t    ai j x j  t  min  i  min  i  dt 1 i  n 1 i  n j 1, j  i 1    n t  t0 và L  max  sup Fi  t , n   hi (t )  .   bij (t  s) | x j (s) | ds  fi t ,n   hi (t ), t (2.8) 1 i  n   t t0  j 1 0 Kí hiệu x  t  : x  t , t0 ,   , khi đó từ trên ta có hầu khắp nơi theo t trên t0 ,   . Ký hiệu D xi  t  là đạo hàm Dini trên - phải của  v x  s    (s)    u ( s ), min  i  1 i  n xi  t  tại t  t0 ,   , ta có với mọi s  [0,t0 ]. xi  t     xi  t  Tiếp theo ta cần chứng minh x  t   u  t  , t  t0 ,   . D  xi  t  : lim sup  0   Dùng phương pháp chứng minh phản chứng, giả sử ngược t  1 d xi  s  ds.  t ds lại rằng tồn tại t*  t0 sao cho x  t*   u  t*  . Khi đó, ta có  lim sup  0 thể đặt t1 : inf t*   t0 ,   : x  t*   u  t* . Bởi vì tính liên Theo hệ quả của định lí về giá trị trung bình của tích tục của hàm u  t  và x  t  nên t1  t0 và tồn tại chỉ số phân, tồn tại c  t , t   sao cho io  n sao cho: t  d d  xi  s  ds = xi  c  .  x  t   u  t  , t  t0 , t1  ; ds ds  t  Khi đó,  xi0  t1   ui0  t1  ; (2.9) d d  D  xi  t   limsup xi  c   xi  t   xi0  t   ui0  t  , t   t1 , t1  k  ,  0  ds dt
54 Đặng Lệ Thúy, Lê Trung Hiếu, Lê Huỳnh Mỹ Vân, Nguyễn Thị Thanh Trúc D  xi0  t1  n n  aii xi  t    ai j x j  t     bij (t  s ) | x j ( s) | ds t 0 j 1 j 1  n n  j   ai0 j   0 bi0 j (t1  s)e j i    t1  t0  t1   ( s  t1 )   e ds   Fi  t ,  n   hi (t ).  j 1 j 1  min 1 i  n i  Xét bất đẳng thức vừa chứng minh trên tại i  i0 và  n n  j   ai0 j   0 bi0 j ( z )e dz     t1  t0  t1 z   e t  t1 , kết hợp với (2.9), ta có  j 1 j 1  min 1 i  n i  n n D  xi0  t1   ai0i0 ui0  t1    ai0 j u j  t1     bi0 j (t  s )u j (s )ds  n  j t1 n    ai0 j   0 bi0 j ( z )e dz     t1  t0  z   e i  0 j 1 j 1 j  i0  j 1 j 1  min 1 i  n  Fi0  t1 ,  n   hi0 (t1 )  2.7  i   e    t1 t0     0  D ui0  t1  .    t1  t0  i i min i   ai0i0  e 0  ai0i0 L 0 1 i  n min  i  min  i  Điều này mâu thuẫn với (2.9). Do đó, 1 i  n 1 i  n v v x  t , t0 ,    u  t    e    t  t0  n j n j L .   ai0 j  e   ai j L    t1  t0  min  i  min  i  j 1 min  i  j 1 min  i  o 1 i  n 1 i  n j  i0 1 i  n j  io 1 i  n Vì tính đơn điệu của chuẩn vectơ nên ta có n j v v    bi0 j (t1  s )  e t1    s  t0  x  t , t0 ,    u  t    e  0    t t ds L , j 1 0 min  i  min i  min i  1 i  n 1 i  n 1 i  n j t  t0 ,   . n  t1 bi j (t1  s ) L ds j 1 0 0 min  i  Đặt 1 i  n  Fi0  t1 , n   hi0 (t1 ) K v , L v . min i  min i  n j n j 1 i  n 1 i  n   e    t1  t0  a j 1 i0 j   ai j L min  i  j 1 min  i  0 Vậy ta được x  t , t0 ,    u  t   K  e  , t  t0 ,   .    t  t0  1 i  n 1 i  n n j    t1  t0   Sau cùng, ta cần chứng tỏ rằng nghiệm x  t , t0 ,   xác định t1   e bi0 j (t1  s )e   ( s  t1 ) ds j 1 0 min  i  1 i  n trên [t0 , ) , tức là cần chứng minh    . Khi đó, (2.1) là n j GEUB. Giả sử ngược lại rằng    . Khi đó, vì (2.5) nên  t1 bi j (t1  s ) L ds min  i  nghiệm x t , t0 ,  là bị chặn trên t0 ,   . Ngoài ra, điều đó cùng 0 0 j 1 1 i  n  Fi0  t1 ,  n   hi0 (t1 ). với (2.1) suy ra x   là bị chặn trên t0 ,   . Do đó, x   là liên Mặt khác, ta có tục đều trên t0 ,   . Vậy lim x  t  tồn tại và x   có thể mở t   n n  j L   ai0 j    bi0 j (t1  s )ds  rộng tới hàm liên tục trên t0 ,   . Khi đó, có thể tìm một nghiệm t1  j 1 j 1 0  min i  của (2.1) qua   , x     về bên phải của  . Điều này mâu thuẫn 1 i  n  Fi0  t1 , n   hi0 (t1 ). với giả thiết không thể kéo dài của nghiệm x   . Vậy   .  n n  j  L   ai0 j    bi0 j ( z )dz  t1 Trường hợp đặc biệt, khi F (t ,  n )   n và h(t )   n với  j 1 j 1 0  mi n  i  1 i  n mọi t  t0 , ta có  Fi0  t1 , n   hi0 (t1 ). 1   max  sup  Fi  t ,0   hi (t )  v v L  0.  n n   j min i  1i  n   t t  1i  n i  min  L   ai0 j    bi0 j ( z )dz   Fi0  t1 , n   hi0 (t1 ). 0 1 i  n  j 1 j 1 0  min 1 i  n i  Khi đó, hệ phương trình vi phân (2.1) là GES. Định lí i0 i0 được chứng minh.   (2.7), (2.8)  L(   )  Fi0  t1 ,n   hi0 (t1 ) Nhận xét 2.5. Trong trường hợp các bất đẳng thức (2.4) min i  min i  1i  n 1 i  n và (2.5) xảy ra dấu “=’’, F (t , n )  h(t )   n với mọi t  t0 , i0 i0  L    L  0. khi đó, (2.1) trở thành hệ phương trình vi tích phân Volterra min i  min i  tuyến tính thuần nhất. Khi đó, Định lí 2.3 đặc biệt hóa trở 1 i  n 1 i  n về Định lí 4.3 trong [1]. Do đó, Tiếp theo, xét hệ phương trình vi tích phân Volterra
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 9, 2019 55 tuyến tính phụ thuộc thời gian, dạng tích chập  e t Áp dụng Định lí 2.4, nếu 3  a  dt  0 hay x  t   F (t ) x(t )   G (t , s ) x( s )ds  h(t ), t  t0  0, (2.10) t 0 0 0  a  2 thì phương trình (2.13) là GEUB. trong đó, F :  nn và G :   nn , h :   n là các hàm liên tục cho trước. Ta có hệ quả Ngoài ra, khi a  b  0 thì phương trình (2.13) là GES. sau đây về tính GEUB của (2.10), tính chất này được suy ra trực tiếp từ Định lí 2.3. Chú ý rằng các kết quả trong [1] là hoàn toàn không áp dụng được cho phương trình vi tích phân Volterra (2.13). Hệ quả 2.6. Giả sử h(·) là hàm bị chặn và tồn tại ma trận A   aij   3. Kết luận n n , B()  l ( nn  ) với   0, sao cho Nhóm tác giả đã phát triển kĩ thuật tiếp cận dựa trên các Fii  t   aii , Fij  t   aij , i  j , i, j  n, t   ; (2.11) tính chất của ma trận Metzler, từ đó nghiên cứu và đưa ra một số điều kiện tường minh cho tính bị chặn của nghiệm | G (t , s) | B(t  s), t , s   ,t  s. (2.12) đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra tuyến tính và phi tuyến phụ thuộc thời gian. Hướng phát triển của vấn đề    nghiên cứu trong bài báo này là phát triển kĩ thuật tiếp cận   0    Khi đó, nếu   A  B( s)ds   0 thì hệ phương trình để nghiên cứu điều kiện bị chặn của nghiệm đối với một số lớp hệ phương trình vi tích phân Volterra phức tạp hơn, vi tích phân Volterra (2.10) là GEUB. Trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như các hệ phương trình với chậm vô hạn, hệ khi h(t )   n , với mọi t   thì hệ phương trình vi tích phương trình có yếu tố ngẫu nhiên. Xa hơn là nghiên cứu phân Volterra (2.10) là GES. áp dụng các kết quả đạt được về tính bị chặn của nghiệm Nhận xét 2.7. Khi các bất đẳng thức (2.11) và (2.12) đối với hệ phương trình vi tích phân Volterra vào một số mô hình thực tế. xảy ra dấu “=’’ và h(t )   n với mọi t  t0 , khi đó, Hệ quả 2.6 đặc biệt hóa trở về Định lí 4.3 trong [1]. Ghi chú. Nghiên cứu được tài trợ bởi Trường Đại học Ví dụ 2.8. Xét phương trình vi tích phân Volterra phi Công nghệ Thông tin, Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh trong tuyến phụ thuộc thời gian xác định trong như sau: khuôn khổ đề tài nghiên cứu khoa học cấp cơ sở mã số D1-2019-06. tet  s t a x(t )  3x(t )  cos( x(t ))   x(s)ds bsin 5t  , (2.13) 1 t 2 0 t 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO trong đó t  t0  0 và a là tham số thực không âm. [1] Anh, T. T and Ngoc, P. H. A., “New stability criteria for linear Volterra time-varying integro-differential equations”, Taiwanese Phương trình (2.13) có dạng (2.1) với Journal of Mathematics, 21, no. 4 (2017): 841-863. a f  t , x  : 3x  cos( x); [2] Burton, T. A., Volterra Integral and Differential Equations, 1 t2 Academic Press, New York, 1983. [3] Dieudonne, J. Foundations of Modern Analysis. Academic Press: te t  s G (t , s) : ; h(t ) : b sin  5t  , New York, 1988. t 1 [4] Hale, J. K. and Lunel, S. M. V., Introduction to functional differential với t  t0  0, x  . Ta thấy (H) được thỏa mãn vì f (t , x ) equations, Vol. 99, Springer Science & Business Media, 2013. [5] Ngoc, P. H. A., Naito, T., Shin, J. S. and Murakami, S., “On stability liên tục trên   và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo and robust stability of positivelinear Volterra equations”, SIAM J. biến x. Ngoài ra, ta có Control Optim., 47, (2008), 975-996. [6] Ngoc, P. H. A and Anh, T. T., “Stability of nonlinear Volterra f a (t , x)  3  sin( x)  3  a, t   , x  ; equations and applications”, AppliedMathematics and Computation, x 1 t2 2019, Vol. 341, 1-14. [7] Peuteman, J., Aeyels, D., and Sepulchre, R., “Boundedness G(t , s)  B(t  s) : et s , t , s  ; Với   [0,1), properties for time-varying nonlinear systems”, SIAM Journal on Control and Optimization, 39(5), 2000, 1408-1422. ta có [8] Shen, T. and Ian, R. P., “An ultimate state bound for a class of linear systems with delay”, Automatica, 87 (2018), 447-449.    [9] Volterra, V., Theory of functionals and of integral and integro-  | B(t ) | e dt   e e dt  e dt  (1   ) 1  ; t t  t ( 1) t differential equations, Courier Corporation, 2005. 0 0 0 [10] Xu, L. and Ge, S. S. (2015), “Exponential ultimate boundedness of nonlinear stochastic difference systems with time-varying delays”, a | h(t ) | b; F (t ,0)   a, t , s  . International Journal of Control, 88(5), 983-989. 1 t2 (BBT nhận bài: 22/7/2019, hoàn tất thủ tục phản biện: 23/9/2019)