Phân tích tĩnh tấm sandwich FGM xốp đặt trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu này được thực hiện nhằm phân tích tĩnh kết cấu tấm sandwich với lớp lõi bằng vật liệu xốp (FGP), hai lớp bề mặt là vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) đặt trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr. Phương pháp nghiên cứu là mô hình lý thuyết bằng phương pháp giải tích dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích tĩnh tấm sandwich FGM xốp đặt trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr

Vietnam J. Agri. Sci. 2024, Vol. 22, No. 6: 759-770 Tạp chí Khoa học Nông nghiệp Việt Nam 2024, 22(6): 759-770 www.vnua.edu.vn PHÂN TÍCH TĨNH TẤM SANDWICH FGM XỐP ĐẶT TRÊN NỀN ĐÀN HỒI WINKLER/PASTERNAK/KERR Nguyễn Thanh Hải, Dương Thành Huân*, Lê Vũ Quân Khoa Cơ - Điện, Học viện Nông nghiệp Việt Nam * Tác giả liên hệ: dthuan@vnua.edu.vn Ngày nhận bài: 02.04.2024 Ngày chấp nhận đăng: 23.05.2024 TÓM TẮT Nghiên cứu này được thực hiện nhằm phân tích tĩnh kết cấu tấm sandwich với lớp lõi bằng vật liệu xốp (FGP), hai lớp bề mặt là vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) đặt trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr. Phương pháp nghiên cứu là mô hình lý thuyết bằng phương pháp giải tích dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (FSDT). Ba quy luật phân bố lỗ rỗng của lớp lõi được xem xét bao gồm: phân bố đều, phân bố không đều đối xứng và phân bố không đều bất đối xứng. Hai lớp bề mặt FGM giả thiết có cơ tính biến thiên tuân theo quy luật lũy thừa. Dựa trên nguyên lý Hamilton, hệ phương trình cân bằng được thiết lập và giải bằng cách sử dụng dạng nghiệm Navier cho tấm chữ nhật liên kết khớp trên chu tuyến. Kết quả nghiên cứu mô hình lý thuyết đã thiết lập và chương trình tính được kiểm chứng bằng cách so sánh với các công bố từ các tác giả khác, qua đó đã chứng minh độ tin cậy của phương pháp giải. Bên cạnh đó, ảnh hưởng của tham số vật liệu, kích thước hình học, nền đàn hồi đến độ võng và ứng suất của tấm sandwich được khảo sát qua các ví dụ số. Từ khóa: Phân tích tĩnh, tấm sandwich, vật liệu FGM, vật liệu xốp, nền đàn hồi. Static Analysis of Sandwich FG Porous Plates Resting on Winkler/Pasternak/Kerr Foundation ABSTRACT The article analyzed the static behavior of sandwich plates with a core made of foam material (FGP) and two surface layers made of functionally graded materials (FGM) placed on a Winkler/Pasternak/Kerr foundation according to the first-order shear deformation theory (FSDT). Three types of pore distribution in the core were considered: uniform, symmetric non-uniform, and asymmetric non-uniform distributions. It was assumed that the mechanical properties of the FGM surface layers follow exponential laws. Based on Hamilton's principle, the equilibrium equations were formulated and solved using the Navier solution for simply supported rectangular plates. The model and computational program were validated through comparisons with previous publications, demonstrating the reliability of the proposed solution. The influence of material parameters, geometry size, and foundation flexibility on the deflection and stress of the sandwich panel was examined through numerical examples. Keywords: static analysis, sandwich plates, FGM, porous material, elastic foundations. bền, phù hợp cho các ứng dụng làm việc ở nhiệt 1. ĐẶT VẤN ĐỀ đû cao. Các kết quâ nghiên cứu ban đæu về ứng Vật liệu cò cơ tính biến thiên (Funtionally xử cơ hõc của kết cçu FGM có thể kể đến các Graded Materials - FGM) là mût loäi vật liệu dæm (Asghari & cs., 2010; Trinh & cs., 2016; Vo tiên tiến, trong đò đặc tính thay đùi theo chiều & cs., 2014), tçm (Reddy, 2010; Thai & cs., dày của kết cçu (Li & cs., 2020). Điều này giúp 2016; Zenkour, 2006; Zhao & cs., 2009) và vó tránh hiện tượng bong tróc lớp, giâm ứng suçt (Mantari, 2015; Torabi & cs., 2013; Tornabene, nhiệt và tập trung. FGM thường kết hợp kim 2009). Vật liệu FGP (Functionally Graded loäi và gøm, cung cçp khâ năng chðu nhiệt và đû Porous) nùi tiếng với tính nhẹ, khâ năng hçp 759
Phân tích tĩnh tấm sandwich FGM xốp đặt trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr thụ năng lượng, cách âm và cách nhiệt. Cçu ứng xử cơ hõc của tçm sandwich FGM có thể trúc của nó chứa các lú rúng phân bø đều trong được tìm thçy trong tài liệu của các tác giâ kết cçu, täo ra sự biến đùi liên tục trong đặc Đặng Xuân Hùng & cs. (2023); Neves & cs. tính cơ hõc và biến nó thành mût däng của vật (2013); Quoc & cs. (2021); Tlidji & cs. (2014); liệu FGM. Các công trình nghiên cứu đáng chú Tran & cs. (2023); Vafakhah & Neya (2019) và ý về ứng xử cơ hõc của kết cçu FGP đã được đề Zaoui & cs. (2019). cập trong các tài liệu tham khâo (Guo & cs., Trong thực tế, các kết cçu thường đặt trên 2019; Rezaei & cs., 2015; Rezaei & cs., 2016). nền đàn h÷i hoặc bao quanh bởi möi trường đàn Kết cçu sandwich, với lớp lõi xøp và lớp bề mặt h÷i, như thanh tà vẹt của đường ray tàu hóa, FGM, là giâi pháp phù biến trong hàng không, ô đường øng dẫn dæu, mặt đường, hoặc cæu phao. tô và xây dựng, giúp giâm tiếng ÷n, cách nhiệt Nghiên cứu về ứng xử cơ hõc của kết cçu däng và chðu tâi trõng va chäm. Đû chính xác và hiệu tçm, đặc biệt là kết cçu tçm FGM trên nền đàn quâ của phån tích cơ hõc phụ thuûc nhiều vào lý h÷i, nhận được sự quan tâm từ nhiều nhà khoa thuyết tính toán. hõc. Trong kỹ thuật, ba mô hình nền thông Trong lý thuyết đơn lớp đương (ESL), lý dụng thường được sử dụng là Winkler, thuyết tçm cù điển (CLPT) chî áp dụng cho tçm Pasternak và Kerr. Mô hình nền Winkler (1867) và vó móng vì nó không xem xét ânh hưởng của được sử dụng phù biến trong nghiên cứu về các biến däng cắt ngang. Lý thuyết biến däng cắt bài toán liên quan đến tçm trên nền đàn h÷i vì bậc nhçt (FSDT) phù hợp với tçm và vó có tính đơn giân của nó. Loäi mô hình nền này chiều dày trung bình, nhưng cæn hệ sø hiệu thường được gõi là mô hình nền “mût tham sø” chînh cắt do biến däng cắt ngang là hằng sø vì nó chî có mût thông sø để mô tâ đû cứng của theo chiều dày kết cçu. Lý thuyết biến däng cắt các lò xo nền Winkler. Tuy nhiên, mô hình nền bậc cao (HSDT) được phát triển để khắc phục Winkler cũng cò hän chế là không phân ánh nhược điểm của FSDT, nhưng phức täp và được tính liên tục trong chuyển vð của nền do không linh hoät, nên chî được sử dụng khi cæn giâ thiết rằng các lò xo hoät đûng đûc lập. Để thiết. Mût sø nghiên cứu về đặc tính cơ hõc của khắc phục hän chế của mô hình nền mût tham các tçm sandwich FGM/FGP sử dụng các lý sø, mût sø nhà nghiên cứu của Filonenko- thuyết đơn lớp đương được Zenkour (2005) và Borodich (1940); Pasternak (1954); Sokolov Zenkour & cs. (2010) sử dụng lời giâi giâi tích (1952) đã tiến hành câi tiến bằng cách thêm mût để phân tích uøn, ùn đðnh và dao đûng của các tham sø nền thứ hai vào mô hình Winkler, tçm sandwich FGM chðu tâi nhiệt đû và cơ hõc nhằm mô tâ sự t÷n täi của lớp trượt bên trong trên cơ sở các lý thuyết tçm CLPT, FSDT và möi trường nền. Mô hình nền này được gõi là mô HSDT. Daikh & Zenkour (2019) đã đề xuçt lý hình nền “hai tham sø”. Trong các mô hình nền thuyết biến däng cắt bậc cao (HSDT) mới để hai tham sø này, mô hình nền Pasternak (1954) nghiên cứu ứng xử uøn, ùn đðnh và dao đûng tự do của các tçm sandwich FGP sigmoid. Hơn được áp dụng nhiều hơn câ. Sau mô hình nền nữa, Thai & cs. (2014) đã phát triển mût lý hai tham sø, Hetenyi (1950) và Kerr (1965; thuyết tçm bậc nhçt mới để phân tích uøn, ùn 1984); đã đưa thêm mût tham sø nền thứ ba (mô đðnh và dao đûng tự do của tçm sandwich hình nền ba tham sø). Thêm tham sø nền thứ ba FGM. Houari & cs. (2013) đã sử dụng HSDT này nhằm cung cçp mức đû linh hoät cao hơn câi tiến để phân tích uøn đàn h÷i nhiệt của tçm trong việc điều chînh tính liên tục của bề mặt sandwich FGM. Li & cs. (2018) đã sử dụng nền giữa các vùng tâi và không tâi dưới tçm. phương pháp Navier để nghiên cứu sự uøn Trong sø các mô hình nền ba tham sø, mô hình cong/uøn cơ nhiệt của tçm sandwich FGM. nền kiểu Kerr (1965; 1984) được đặc biệt quan Tounsi & cs. (2013) đã sử dụng lý thuyết tçm tâm vì nó bắt ngu÷n từ mô hình nền hai tham sø câi tiến để phân tích uøn đàn h÷i nhiệt tçm Winkler - Pasternak phù biến (Pasternak, 1954) sandwich FGM. Ngoài ra, mût sø kết quâ về đã cò. 760
Nguyễn Thanh Hải, Dương Thành Huân, Lê Vũ Quân Qua tùng quan nghiên cứu, có thể nhận z1 = -h/2, z2 = -hc/2, z3 = hc/2 và z4 = h/2. Tçm đặt thçy nhu cæu ứng dụng vật liệu FGM và vật liệu trên nền đàn h÷i Kerr với ba hệ sø nền læn lượt xøp vào thực tế là rçt lớn, do đò, các kết cçu sử là: ku là hệ sø đû cứng uøn lớp đàn h÷i trên; ks là dụng hai loäi vật liệu này đã thu hút sự quan hệ sø đû cứng cắt lớp giữa; kl là hệ sø đû cứng tâm nghiên cứu từ các nhà khoa hõc. Đã cò uøn lớp đàn h÷i dưới. nhiều bài báo tập trung vào phån tích tïnh, Vật liệu P-FGM g÷m hai vật liệu thành đûng và ùn đðnh của các tçm sandwich FGM xøp phæn: gøm và kim loäi. Mö đun đàn h÷i của vật đặt trên nền đàn h÷i. Tuy nhiên, nghiên cứu về liệu được được xác đðnh theo công thức sau: phån tích tïnh tçm sandwich có lõi là vật liệu xøp và lớp bề mặt FGM (gõi là sandwich FGM xøp)   E z  Ec  Em  Ec V z   (1) trên nền đàn h÷i Kerr vẫn còn khá hän chế. Do Trong đò: V(z) là hàm thể tích cho tçm vậy, nghiên cứu này tập trung vào các yếu tø ânh sandwich FGM xøp: hưởng của đặc tính vật liệu, kích thước hình hõc Lớp 1 (FGM mặt trên tçm): và nền đàn h÷i đến đû võng và ứng suçt của các p kết cçu tçm sandwich FGM xøp.  z  z1  Vt (z)    với z  z1 ,z2    (2) z z   2 1 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Lớp 2 (FGP lớp lõi) tính theo các công thức 2.1. Tấm sandwich FGM xốp (3)  (6) với z  z2 ,z3    (3) Xét tçm sandwich FGM xøp có cçu täo như Lớp 3 (FGM mặt dưới tçm): hình 1a: Lớp mặt trên và lớp mặt dưới có chiều p  z  z4  dày là hf và được làm bằng vật liệu FGM, lớp lõi Vt (z)    với z  z3 ,z4    (4) z z  có chiều dày là hc được làm bằng vật liệu rúng  3 4 (bõt kim loäi). Tçm có chiều dài a, chiều rûng b với Em và Ec læn lượt là mö đun đàn h÷i của và chiều dày h = hc+ 2hf. Theo phương chiều kim loäi và gøm cçu thành nên vật liệu FGM; dày, các lớp được phân biệt theo các tõa đû từ “p” là chî sø tỷ lệ thể tích của vật liệu FGM. (a) (b) Hình 1. Mô hình tấm sandwich FGM xốp đặt trên nền đàn hồi Kerr 761
Phân tích tĩnh tấm sandwich FGM xốp đặt trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr Vật liệu xøp FGP được xem xét trong nghiên Trường chuyển vð: cứu này là bõt kim loäi (metal foam) với ba quy u(x,y,z)  u0 (x,y)  zx (x,y) luật phân bø (Hình 1b): Phân bø đều (PBĐ), phân v(x,y,z)  v 0 (x,y)  zy (x,y) (9) bø khöng đều đøi xứng (ĐX) và phån bø không đều bçt đøi xứng (BĐX). Mö đun đàn h÷i kéo - w(x,y,z)  w0 (x,y) nén, mô đun đàn h÷i trượt và khøi lượng riêng trong đò, u0, v0, w0 là các thành phæn chuyển của vật liệu FGP phụ thuûc vào mật đû phân bø vð của mût điểm bçt kỳ trên mặt trung bình theo lú rúng và biến thiên liên tục theo chiều cao tçm các phương x, y, z; x, y là các góc xoay so với theo các quy luật sau (Wu & cs., 2018): phương ban đæu của pháp tuyến mặt trung bình - Phân bø đều: täi điểm đang xét quanh các trục y, x.   E z  E1 1  e0  với Trường biến däng được suy ra từ trường chuyển vð: 1  2  2   1   e0       1  e0  1  1   ;  xx  u u0  x x  z x x   v0   G z  G1 1  e0   (5) yy  v  z y y y y - Phân bø khöng đều – đøi xứng: u v  xy  2xy     z   y x  E z  E1 1  e0 cos    ;   (10)   h   u v        0  0   z x  y    z    y x   y x   G z  G1 1  e0 cos      (6)       h  w u w0  xz  2xz     x - Phân bø khöng đều – bçt đøi xứng: x z x w v w0   z   yz  2yz     y  E z  E1 1  e0 cos     1 4    ;   h  y z y      Theo đðnh luật Hooke, quan hệ ứng suçt -   z  biến däng được xác đðnh theo công thức sau:  G z  G1 1  e0cos     1   h 4  (7)     xx  C C12 0 0 0  xx     11   Trong đò, hệ sø mật đû lú rúng e0 được tính yy  C12 C11 0 0 0  yy       theo công thức: xy    0 0 C66 0 0   xy  (11)       E   G  xz   0 0 0 C44 0    xz  e0  1  2   1  2    E   G     0 0 0 0 C55    yz   1   1   yz       với: e0  0,1 (8) Trong đò Cij được xác đðnh như sau: E(z) với E1, E2 và G1, G2 tương ứng là giá trð lớn C11  nhçt, nhó nhçt của mö đun đàn h÷i kéo – nén và 1  v2 mô đun đàn h÷i trượt. Hệ sø Poisson được coi là vE(z) C12  (12) khöng thay đùi theo tõa đû z. 1  v2 E(z) C44  C55  C66  2.2. Các phương trình cơ bân  2 1 v  Để phån tích dao đûng riêng của tçm Thay các thành phæn biến däng trong (10) sandwich FGM xøp đặt trên nền đàn h÷i, bài vào (11) r÷i thực hiện tích phân theo chiều dày báo sử dụng lý thuyết tçm bậc nhçt (FSDT) tçm thu được quan hệ giữa các thành phæn nûi (Mindlin, 1951; Reissner, 1945): lực và biến däng như cöng thức 13. 762
Nguyễn Thanh Hải, Dương Thành Huân, Lê Vũ Quân  trong đò, Nxx ,Nyy ,Nxy , Mxx ,Myy ,Mxy    và 2.3. Lời giâi Navier Q yz ,Qxz  læn lượt là các thành phæn lực màng, Trong nghiên cứu này, ứng xử tïnh của tçm sandwich FGM xøp đặt trên nền đàn h÷i được mô men và lực cắt; ks = 5/6 là hệ sø hiệu chînh phân tích bằng cách sử dụng lời giâi Navier với cắt; Aij, Bij, Dij là các ma trận hệ sø vật liệu và điều kiện biên tựa khớp trên chu tuyến thóa được tính theo công thức (14). mãn công thức 17. Hệ phương trình cån bằng biểu diễn theo Các thành phæn chuyển vð, tâi trõng ngang các thành phæn chuyển vð w0 ,u0 ,v0 , x , y cho được giâ thiết dưới däng chuúi lượng giác kép, tçm sandwich FGM xøp đặt trên nền đàn h÷i thóa mãn điều kiện biên (17) theo công thức 18. Winkler/Pasternak/Kerr được xác đðnh theo Thay các thành phæn chuyển vð từ (18) vào hệ nguyên lý Hamilton (Reddy 2017) theo công phương trình cån bằng (15) và thực hiện các biến thức (15). đùi toán hõc, ta nhận được hệ phương trình 19. với fe là phân lực nền, được xác đðnh theo trong đò các hệ sø sij được xác đðnh bởi công thức 16 (Li & cs., 2021). phương trình 20.  Nxx   A A12 0 B11 B12 0 0 0   xx  0    11  0   Nyy   A12 A11 0 B12 B11 0 0 0   yy      0   Nxy   0 0 A66 0 0 B66 0 0    xy  M      xx   B11 B12 0 D11 D12 0 0 0   x      (13) Myy   B12 B11 0 D12 D11 0 0 0   y  M   0 0 B66 0 0 D66 0  0  xy   xy     Q   0 0 0 0 0 0 As 0   0   yz   44   yz  Q    0 0 0 0 0 0 0 As   0   xz  55   xz  h/2  A ,B ,D    C 1,z,z  dz ij ij ij ij 2 ij = 11, 12, 22, 66  h/2 h/2 (14) A  ks s ij  Cijdz ij = 44,55  h/2 2u0 2u0 2 v0 2x 2x 2y A11 x2  A66 y2   A12  A66  xy  B11 x2  B66 y2   B12  B66  xy  0 2 v0 2 v0 2u0 2y 2y 2x A11 y2  A66 x2   A12  A66  xy  B11 y2  B66 x2   B12  B66  xy  0  2 w    2 w y  A 44  20  x   A 55   x x   y2 0    q x,y  fe  0 y        2 u0 2 u0 2 v0 2 x  2 x (15) B11 x2  B66 y2   B12  B66  xy  D 11 x2  D66 y2  A 44 x 2 y w0   D12  D66  xy  A 44 x 0 2 v0 2 v0 2 u0  2 y  2 y B11 y2  B66 x2   B12  B66  xy  D11 y 2  D66 x2  A 55 y  2 x w0   D12  D66  xy  A 55 y 0 763
Phân tích tĩnh tấm sandwich FGM xốp đặt trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr fe = kww0 với nền Winkler;  2 w 2w0  fe  kw w0  kp  0   với nền Pasternak;  x2 y2    (16)  kk  kk  2 w 2w0  fe   l u  w0  s u  0   với nền Kerr. k k  kl  ku  x2 y2   l u    v0 = w0  Nx  Mx  y  0 täi x = 0, a (17) u0 = w0  Ny  My  x  0 täi y = 0, b     u0 (x,y)   u0mn cos xsin y ; v0 (x,y)  m 1 n 1  v m 1 n 1 0mn sin x cos y     w0 (x,y)   w m 1 n 1 0mn sin xsin y ; x (x,y)   0xmn cos xsin y m 1 n 1 (18)     y (x,y)    m 1 n 1 0ymn sin x cos y ; q(x,y)   q m 1 n 1 mn sin xsin y s11 s12 0 s14 s15   u0mn   0     s21 s22 0 s24 s25   v0mn   0         0 0 s33 s34 s35  w0mn   qmn  (19) s     s24 s34 s44 s45  0xmn   0   14  s15  s25 s35 s45 s55  0ymn   0        s11  A112  A662 ; s12  A12  A66 ; s14  B112  B662 ;   s15  B12  B66 ; s22  A66   A 222 ; s24  s15 ; 2 s25  B66   B222 ; s34  As ;s35  As ; 2 55 44 s44  D112  D662  As ; s45  s54  D12  D66 ; 55   s55  D66   D22  A ; 2 2 s (20) 55 s33  A55 2  As 2  kw với nền Winkler; s 44  s33  A55 2  As 2  kw  kp 2  2 với nền Pasternak; s 44  kl ku ks ku s33  A55 2  As 2  s 44 kl  ku  kl  ku  2   2 với nền Kerr. Giâi hệ phương trình (19) ta nhận được các xøp. Các công thức không thứ nguyên sau đåy hệ sø u0mn , v0mn , w0mn , 0xmn , 0ymn , từ đò xác được sử dụng theo công thức 21 (Thai & Choi, 2011; Zenkour, 2005). đðnh được các thành phæn chuyển vð, biến däng, ứng suçt và nûi lực tương ứng của tçm. 3.1. Ví dụ kiểm chứng 3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 3.1.1. Kiểm chứng độ võng, ứng suất cho tấm sandwich FGM, lõi đẳng hướng Trên cơ sở lý thuyết đã trình bày, bài báo Kết quâ so sánh đû võng w và ứng suçt viết chương trình máy tính trên nền ngôn ngữ lập trình Matlab để tính toán đû võng và các xx , xz của tçm sandwich có lớp bề mặt FGM thành phæn ứng suçt của tçm sandwich FGM (cçu täo từ hai vật liệu là nhôm và zirconia), lớp 764
Nguyễn Thanh Hải, Dương Thành Huân, Lê Vũ Quân lõi zirconia với kết quâ giâi tích theo FSDT của đã thiết lập là đáng tin cậy và chính xác. Trên Zenkour (Zenkour, 2005) được trình bày trong cơ sở đò, bài báo thực hiện các ví dụ khâo sát bâng 1. Tçm chðu tâi trõng cơ hõc phân bø däng trong mục tiếp theo.  x   y  hình sin: q  q0 sin   sin   . Mö đun đàn 3.2. Ví dụ khâo sát  a   b h÷i và hệ sø Poisson của nhôm là: Em = 70 Gpa Trong mục này, bài báo phân tích uøn tçm và m = 0,3; zirconia: Ec =151 GPa, c = 0,3. sandwich FGM xøp tiết diện chữ nhật như hình 1, đặt trên nền đàn h÷i Winkler/Pasternak/Kerr. 3.1.2. Kiểm chứng độ võng, ứng suất của Lớp bề mặt là vật liệu FGM cçu thành từ hai tấm đặt trên nền đàn hồi loäi vật liệu nhôm và zirconia, lớp lõi bõt kim Bâng 2 trình bày kết quâ của bài báo so loäi nhôm với hệ sø lú rúng e0. Các thuûc tính sánh đû võng không thứ nguyên của tçm đẳng vật liệu như mục 2.2.1. Tâi trõng phân bø hình hướng alumina (E = 80GPa,  = 0,3) đặt trên nền đàn h÷i Pasternak với kết quâ tính theo lý     sin q  q0 sin x / a sin y / b . Ba däng phân thuyết biến däng cắt bậc nhçt đơn giân của Thai bø lú rúng được khâo sát bao g÷m: Phân bø đều, & Choi (2011). phân bø khöng đều đøi xứng và phân bø không Sự chênh lệch giữa kết quâ của nghiên cứu đều bçt đøi xứng như đã trình bày täi mục 2.1. và tài liệu kiểm chứng trong bâng 1 và bâng 2 là Các kết quâ đû võng, ứng suçt và các tham sø khöng đáng kể, điều này cho thçy phương pháp nền không thứ nguyên læn lượt được tính theo phån tích và chương trình tính mà bài báo được tính theo công thức (21). K w a4 k p a2 ks a 4 k u a4 k l a4 Kw  ; Kp  ; Ks  ; Ku  ;K l  ; E0 h3 E0 h 3 E0 h 3 E0 h 3 E0 h3 100D0 a b Ec h3 h2 a b h w ˆ w  ,  ; D0  ; xx   ˆ xx  , ,   ; q0a 2 2 12(1  ) q0a 2 2 2 4 2 h 2 a b h h 2  h (21) ˆ yy   yy  , ,   ; xy  ˆ xy  0,0,   ; q0a 2 2 2 q0a 2 2 2  10hE0 a b 10h2 a b h h  b  w w  ,  ; xx  xx  , ,  ; xz  xz  0, ,0  ; q 0 a2 2 2 q0a 2 2 2 q0a  2  2 E0  1GPa. Bâng 1. So sánh độ võng w , ứng suất xx , xz của tấm sandwich có lõi là vật liệu đẳng hướng và hai lớp bề mặt là vật liệu FGM (tỷ lệ chiều dày các lớp [1-1-1]) w xx xz p Bài báo Zenkour (2005) Bài báo Zenkour (2005) Bài báo Zenkour (2005) 0 0,19607 0,19607 1,97576 1,97576 0,19099 0,19099 1 0,29301 0,29301 1,38303 1,38303 0,23257 0,23257 10 0,38787 0,38787 1,83753 1,83754 0,28299 0,28299 Bâng 2. So sánh độ võng của tấm đẳng hướng đặt trên nền đàn hồi Pasternak (a/b = 3, a/h = 10, Kw = 100, Kp = 100) Mô hình ˆ w xx ˆ yy ˆ xy ˆ Thai & Choi (2011) 1,2583 0,7160 0,2447 0,2890 Bài báo 1,2583 0,7124 0,2418 0,2802 765
Phân tích tĩnh tấm sandwich FGM xốp đặt trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr Bâng 3. Độ võng và ứng suất không thứ nguyên của tấm sandwich FGM xốp (a = b = 1; a/h = 10; p = 10; ĐX; tỷ lệ chiều dày các lớp tçm sandwich [1-2-1]) Nền đàn hồi Hệ số nền e0 w xx xz Winkler Kw = 10 0 0,2180 2,1632 0,1249 0,1 0,2195 2,1745 0,1158 0,4 0,2243 2,2092 0,0849 Pasternak Kw = Gp = 10 0 0,2090 2,0739 0,1197 0,1 0,2104 2,0842 0,1110 0,4 0,2148 2,1155 0,0813 Kerr Ku = Ks = Kl = 10 0 0,2136 2,1199 0,1224 0,1 0,2151 2,1307 0,1135 0,4 0,2197 2,1637 0,0832 Ku = Ks = 10; Kl = 15 0 0,2145 2,1284 0,1229 0,1 0,2159 2,1393 0,1139 0,4 0,2206 2,1727 0,0835 Ku = Ks = Kl = 15 0 0,2113 2,0966 0,1210 0,1 0,2127 2,1072 0,1122 0,4 0,2172 2,1394 0,0823 Bâng 4. Độ võng không thứ nguyên w(a 2,a 2) của tấm sandwich FGM xốp trên nền đàn hồi Kerr (a = b = 1; a/h = 10; p = 10; Ku = Ks= Kl = 15 sandwich [1-2-1]) Kiểu phân bố e0 p lỗ rỗng 0,1 0,3 0,5 0,7 0,8 ĐX 0 0,4014 0,4111 0,4216 0,4331 0,4393 1 0,2570 0,2613 0,2658 0,2708 0,2734 2 0,2341 0,2377 0,2415 0,2456 0,2478 5 0,2180 0,2212 0,2245 0,2280 0,2298 10 0,2127 0,2156 0,2188 0,2221 0,2238 BĐX 0 0,4006 0,4083 0,4166 0,4255 0,4303 1 0,2566 0,2600 0,2636 0,2674 0,2694 2 0,2338 0,2366 0,2396 0,2428 0,2444 5 0,2177 0,2202 0,2228 0,2256 0,2270 10 0,2124 0,2148 0,2172 0,2198 0,2212 PBĐ 0 0,4004 0,4079 0,4164 0,4263 0,4323 1 0,2565 0,2598 0,2635 0,2678 0,2703 2 0,2337 0,2365 0,2395 0,2431 0,2452 5 0,2177 0,2201 0,2228 0,2258 0,2277 10 0,2123 0,2146 0,2172 0,2201 0,2218 nền đàn h÷i Pasternak và Kerr đều thçp hơn so 3.2.1. Ảnh hưởng của nền đàn hồi với tçm trên nền đàn h÷i Winkler. Sự khác biệt Kết quâ trong bâng 3 đã chî ra rằng các giá này có thể được lý giâi bằng việc nền đàn h÷i trð w, xx , xz của tçm sandwich FGM xøp trên Pasternak và Kerr tính đến hệ sø đû cứng cắt 766
Nguyễn Thanh Hải, Dương Thành Huân, Lê Vũ Quân của nền. Hơn nữa, với cùng mức đû đû cứng uøn xøp đặt trên nền đàn h÷i Kerr với ba däng phân của lớp nền dưới và đû cứng cắt, tçm trên nền bø lú rúng khi hệ sø rúng e0 thay đùi thể hiện đàn h÷i Kerr cò đû võng và các ứng suçt không trong bâng 4 và hình 2. Quan sát kết quâ ta thứ nguyên lớn hơn so với tçm trên nền đàn h÷i thçy khi tăng chî sø p (tăng phæn thể tích gøm, Pasternak. Nguyên nhân là do mô hình nền giâm kim loäi), đû võng của tçm sandwich giâm Kerr bao g÷m mût lớp nền đàn h÷i bù sung phía xuøng, hay nói cách khác là khi chî sø p tăng lên trên tiếp xúc với tçm, điều này làm giâm đû sẽ làm tăng đû cứng của tçm sandwich FGM cứng uøn của hệ tçm – nền. Ngoài ra, với tçm xøp. Kết quâ cũng chî ra rằng khi hệ sø lú rúng đặt trên nền đàn h÷i Kerr, đû võng và các ứng tăng sẽ làm đû cứng của tçm giâm xuøng (tçm suçt không thứ nguyên của tçm tăng khi tăng bð võng nhiều hơn) với câ ba kiểu phân bø lú thông sø Kerr (Kl), và giâm khi tăng hai tham sø rúng. Với sø liệu khâo sát, trong ba kiểu phân bø Ku và Ks. lú rúng, kiểu PBĐ luön cho đû võng của tçm sandwich FGM xøp là nhó nhçt (đû cứng tçm 3.2.2. Ảnh hưởng của chỉ số tỷ lệ thể tích p lớn nhçt) với mõi giá trð của e0. Ngoài ra, đû và hệ số rỗng e0 vông trong trường hợp phân bø lú rúng BĐX và Đû võng lớn nhçt của tçm sandwich FGM PBĐ cho kết quâ xçp xî nhau. (a) Kiểu phân bố lỗ rỗng ĐX (b) Độ võng w theo hệ số e0 (p = 10) Hình 2. Biến thiên độ võng w của tấm sandwich FGM xốp trên nền đàn hồi Kerr theo hệ số lỗ rỗng e0 và chỉ số tỷ lệ thể tích p (1-2-1, a = b, a/h=10, Ku= Ks= Kl =15) (a) FGM có bề mặt là kim loại tiếp xúc với lớp lõi bọt kim loại (b) FGM có bề mặt là gốm tiếp xúc với lớp lõi bọt kim loại Hình 3. Biến thiên ứng suất pháp xx theo chiều cao tấm sandwich FGM xốp trên nền đàn hồi Kerr (1-2-1, a = b, a/h = 10, Ku =Ks=Kl = 10, p = 10, e0 = 0,3) 767
Phân tích tĩnh tấm sandwich FGM xốp đặt trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr a) FGM có bề mặt là kim loại tiếp xúc với lớp lõi bọt kim loại b) FGM có bề mặt là gốm tiếp xúc với lớp lõi bọt kim loại Hình 4. Biến thiên ứng suất tiếp  xz heo chiều cao tấm sandwich FGM xốp trên nền đàn hồi Kerr (1-2-1, a = b, a/h = 10, Ku = Ks = Kl = 10, p = 10) Bâng 5. Độ võng và ứng suất không thứ nguyên của tấm sandwich FGM xốp đặt trên nền Kerr theo tỷ số hc/hf (a = b = 1; a/h = 10; p = 10; e0 = 0,3) Kiểu phân bố lỗ rỗng hf-hc-hf w xx xz ĐX 1-1-1 0,2030 2,0139 0,0815 1-2-1 0,2181 2,1526 0,0939 1-4-1 0,2478 2,4398 0,1099 1-6-1 0,2722 2,6825 0,1196 BĐX 1-1-1 0,2025 2,0091 0,0903 1-2-1 0,2172 2,1365 0,1034 1-4-1 0,2469 2,4035 0,1206 1-6-1 0,2723 2,6342 0,1314 PBĐ 1-1-1 0,2025 2,0112 0,0918 1-2-1 0,2171 2,1460 0,1050 1-4-1 0,2468 2,4356 0,1225 1-6-1 0,2725 2,6913 0,1336 Đ÷ thð trong hình 3 và hình 4 minh hõa sự xøp bõt kim loäi FGP. Trong trường hợp thứ hai, ânh hưởng của hệ sø rúng e0 đøi với phân bø của đ÷ thð cho thçy sự xuçt hiện của “bước nhây” giá ứng suçt pháp xx và ứng suçt tiếp  xz theo trð ứng suçt giữa các lớp, dẫn đến hiện tượng chiều cao của tçm sandwich FGM xøp trên nền tập trung ứng suçt và nếu ứng suçt tập trung đàn h÷i Kerr. Hai trường hợp cçu trúc lớp vật vượt quá khâ năng chðu tâi của vật liệu, có thể liệu FGM được xem xét: trường hợp thứ nhçt dẫn đến hiện tượng bong tróc hoặc phá hủy täi (Hình 3a, Hình 4a), các lớp FGM có bề mặt là bề mặt tiếp xúc của các lớp tçm sandwich. Ngoài kim loäi tiếp xúc với lớp lõi xøp bõt kim loäi ra, việc cçu täo lớp FGM trong trường hợp thứ FGP; trường hợp thứ hai (Hình 3b, Hình 4b), nhçt cñn đâm bâo được tính liên tục của vật các lớp FGM có bề mặt là gøm tiếp xúc với lớp lõi liệu. Do đò, cçu trúc vật liệu của lớp FGM trong 768
Nguyễn Thanh Hải, Dương Thành Huân, Lê Vũ Quân trường hợp thứ nhçt được xem là lựa chõn hợp Daikh A.A. & Zenkour A.M. (2019). Effect of porosity on the bending analysis of various functionally lý hơn khi lớp lõi là bõt kim loäi FGP. Ngoài ra, graded sandwich plates. Materials Research từ hình 4, có thể nhận thçy rằng với lý thuyết Express. 6(6): 065703. tçm FSDT được sử dụng trong bài báo, ứng suçt Daikh A.A. &d Zenkour A.M. (2019). Free vibration cắt ngang không thóa mãn điều kiện triệt tiêu and buckling of porous power-law and sigmoid täi bề mặt tçm, do đò lý thuyết FSDT cæn sử functionally graded sandwich plates using a simple higher-order shear deformation theory. Materials dụng hệ sø hiệu chînh cắt (ks = 5/6) Research Express. 6(11): 115707. Đặng Xuân Hùng, Vũ Văn Thẩm, Trần Hữu Quốc & 3.2.3. Ảnh hưởng của tỷ số chiều dày lớp lõi Phommavongsa S. (2023). Phân tích dao động Bâng 5 thể hiện ânh hưởng của tỷ lệ chiều riêng kết cấu tấm Sandwich Auxetic áp điện có cơ tính biến thiên. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây cao các lớp tçm sandwich (tỷ sø hc/hf) đến đû dựng (TCKHCNXD)-ĐHXDHN, 17(2V): 42-60. võng w và ứng suçt xx , xz của tçm sandwich Filonenko-Borodich M. (1940). Some approximate FGM xøp đặt trên nền đàn h÷i Kerr. Với sø liệu theories of elastic foundation. Uchenyie Zapiski Moskovskogo Gosudarstuennogo Universiteta khâo sát cho thçy khi tăng tỷ sø hc/hf sẽ làm đû Mekhanika, Moscow. 46: 3-18. võng và ứng suçt của tçm tăng theo hay nòi Guo H., Zheng H. & Zhuang X. (2019). Numerical cách khác khi tỷ sø hc/hf tăng sẽ làm giâm đû manifold method for vibration analysis of cứng của tçm sandwich FGM xøp. Kirchhoff's plates of arbitrary geometry. Applied Mathematical Modelling. 66: 695-727. Hetenyi M. (1950). A general solution for the bending of 4. KẾT LUẬN beams on an elastic foundation of arbitrary continuity. Journal of Applied Physics. 21(1): 55-58. Nghiên cứu đã thiết lập nghiệm giâi tích Houari M.S.A., Tounsi A. & Bég O.A. (2013). cho bài toán phån tích tïnh tçm sandwich với Thermoelastic bending analysis of functionally lớp lõi bằng vật liệu xøp, hai lớp bề mặt là vật graded sandwich plates using a new higher order shear and normal deformation theory. International liệu FGM đặt trên nền đàn h÷i Winkler/ Journal of Mechanical Sciences. 76: 102-111. Pasternak/Kerr. Dựa trên lý thuyết của tçm bậc Kerr A. (1984). On the formal development of elastic nhçt FSDT, các phương trình cån bằng được foundation models. Ingenieur-Archiv. 54(6): 455-464. thiết lập theo nguyên lý Hamilton, đò là cơ sở để Kerr A.D. (1965). A study of a new foundation model. Acta Mechanica. 1(2): 135-147. xác đðnh đû võng và ứng suçt của tçm sandwich Li Y., Feng Z., Hao L., Huang L., Xin C., Wang Y., theo däng nghiệm Navier. Đû võng và ứng suçt Bilotti E., Essa K., Zhang H. & Li Z. (2020). A của tçm sandwich FGM xøp đã được tính toán Review on Functionally Graded Materials and với sự biến thiên của các thông sø vật liệu, kích Structures via Additive Manufacturing: From thước và đặc tính đàn h÷i của nền. Kết quâ tính Multi‐Scale Design to Versatile Functional Properties. Advanced Materials Technologies. toán cho thçy rằng đû võng và ứng suçt của tçm 5(6): 1900981. sandwich FGM xøp phụ thuûc vào các yếu tø như Li D., Deng Z., Xiao H. & Jin P. (2018). Bending hệ sø lú rúng e0, chî sø tỷ lệ thể tích p, kích thước analysis of sandwich plates with different face hình hõc, kiểu phân bø bú lú rúng của lớp lõi FGP sheet materials and functionally graded soft core. và loäi nền đàn h÷i. Những kết quâ này có ý Thin-Walled Structures. 122: 8-16. Li D., Deng Z., Xiao H. & Zhu L. (2018). nghïa quan trõng trong việc phân tích ứng xử cơ Thermomechanical bending analysis of hõc của các cçu kiện cöng trình đặt trên nền đàn functionally graded sandwich plates with both h÷i, cũng như cung cçp cơ sở hữu ích cho việc tøi functionally graded face sheets and functionally ưu hòa thiết kế của kết cçu tçm sandwich FGM graded cores. Mechanics of Advanced Materials xøp trong các nghiên cứu tiếp theo. and Structures. 25(3): 179-191. Li M., Soares C.G. & Yan R. (2021). Free vibration analysis of FGM plates on Winkler/Pasternak/Kerr TÀI LIỆU THAM KHẢO foundation by using a simple quasi-3D HSDT. Composite Structures. 264: 113643. Asghari M., Ahmadian M., Kahrobaiyan M. & Mantari J. (2015). Refined and generalized hybrid type Rahaeifard M. (2010). On the size-dependent quasi-3D shear deformation theory for the bending behavior of functionally graded micro-beams. analysis of functionally graded shells. Composites Materials & Design (1980-2015). 31(5): 2324-2329. Part B: Engineering. 83: 142-152. 769
Phân tích tĩnh tấm sandwich FGM xốp đặt trên nền đàn hồi Winkler/Pasternak/Kerr Mindlin R. (1951). Influence of rotatory inertia and power-law distribution. Computer Methods in shear on flexural motions of isotropic, elastic Applied Mechanics and Engineering. 198(37-40): plates. ASME. J. Appl. Mech. 18(1): 31-38. 2911-2935. Neves A., Ferreira A., Carrera E., Cinefra M., Roque Tounsi A., Houari M.S.A. & Benyoucef S. (2013). A C., Jorge R. & Soares C.M. (2013). Static, free refined trigonometric shear deformation theory for vibration and buckling analysis of isotropic and thermoelastic bending of functionally graded sandwich functionally graded plates using a quasi- sandwich plates. Aerospace science and 3D higher-order shear deformation theory and a technology. 24(1): 209-220. meshless technique. Composites Part B: Tran H.-Q., Vu V.-T. & Tran M.-T. (2023). Free Engineering. 44(1): 657-674. vibration analysis of piezoelectric functionally Pasternak P. (1954). On a new method of analysis of an graded porous plates with graphene platelets elastic foundation by means of two foundation reinforcement by pb-2 Ritz method. Composite constants. Gos. Izd. Lit. po Strait i Arkh. Structures. 305: 116535. Quoc T.H., Tu T.M. & Van Tham V. (2021). Free Tran H.-Q., Vu V.-T., Nguyen V.-L. & Tran M.-T. vibration and dynamic response of sandwich (2023). Free vibration and nonlinear dynamic composite plates with auxetic honeycomb core. response of sandwich plates with auxetic Journal of Science and Technology in Civil honeycomb core and piezoelectric face sheets. Engineering (JSTCE)-HUCE. 15(4): 1-14. Thin-Walled Structures. 191: 111141. Reddy J. (2000). Analysis of functionally graded plates. Trinh L.C., Vo T.P., Osofero A.I. & Lee J. (2016). International Journal for numerical methods in Fundamental frequency analysis of functionally engineering. 47(1‐3): 663-684. graded sandwich beams based on the state space Reddy J.N. (2017). Energy principles and variational approach. Composite Structures. 156: 263-275. methods in applied mechanics. John Wiley & Sons. Vafakhah Z. & Neya B.N. (2019). An exact three Reissner E. (1945). The effect of transverse shear dimensional solution for bending of thick deformation on the bending of elastic plates. J. rectangular FGM plate. Composites Part B: Appl. Mech., 12(2): A69-A77. Engineering. 156: 72-87. Rezaei A. & Saidi A. (2015). Exact solution for free Vo T.P., Thai H.-T., Nguyen T.-K. & Inam F. (2014). vibration of thick rectangular plates made of porous Static and vibration analysis of functionally graded materials. Composite Structures. 134: 1051-1060. beams using refined shear deformation theory. Rezaei A. & Saidi A. (2016). Application of Carrera Meccanica. 49: 155-168. Unified Formulation to study the effect of porosity Winkler E. (1867). Die Lehre von der Elasticitaet und on natural frequencies of thick porous - cellular plates. Composites Part B: Engineering. 91: 361-370. Festigkeit: mit besonderer Rücksicht auf ihre Sokolov S. (1952). Circular plate on a generalized Anwendung in der Technik, für polytechnische foundation. Inzhinierny Sbornik, Academy of Schulen, Bauakademien, Ingenieure, Sciences USSR. 11. Maschinenbauer, Architecten, etc. H. Dominicus. Thai C.H., Zenkour A., Wahab M.A. & Nguyen-Xuan H. Wu D., Liu A., Huang Y., Huang Y., Pi Y. & Gao W. (2016). A simple four-unknown shear and normal (2018). Dynamic analysis of functionally graded deformations theory for functionally graded isotropic porous structures through finite element analysis. and sandwich plates based on isogeometric analysis. Engineering Structures. 165: 287-301. Composite Structures. 139: 77-95. Zaoui F.Z., Ouinas D. & Tounsi A. (2019). New 2D Thai H.-T. & Choi D.-H. (2011). A refined plate theory and quasi-3D shear deformation theories for free for functionally graded plates resting on elastic vibration of functionally graded plates on elastic foundation. Composites Science and Technology. foundations. Composites Part B: Engineering. 71(16): 1850-1858. 159: 231-247. Thai H.-T., Nguyen T.-K., Vo T.P. & Lee J. (2014). Zenkour A. (2005). A comprehensive analysis of Analysis of functionally graded sandwich plates using functionally graded sandwich plates: Part 1 - a new first-order shear deformation theory. European Deflection and stresses. International journal of Journal of Mechanics-A/Solids. 45: 211-225. solids and structures. 42(18-19): 5224-5242. Tlidji Y., Daouadji T.H., Hadji L., Tounsi A. & Bedia Zenkour A. & Sobhy M. (2010). Thermal buckling of E.A.A. (2014). Elasticity solution for bending various types of FGM sandwich plates. Composite response of functionally graded sandwich plates Structures. 93(1): 93-102. under thermomechanical loading. Journal of Zenkour A.M. (2006). Generalized shear deformation Thermal Stresses. 37(7): 852-869. theory for bending analysis of functionally graded Torabi J., Kiani Y. & Eslami M. (2013). Linear thermal plates. Applied Mathematical Modelling. buckling analysis of truncated hybrid FGM conical 30(1): 67-84. shells. Composites Part B: Engineering. 50: 265-272. Zhao X., Lee Y. & Liew K.M. (2009). Free vibration Tornabene F. (2009). Free vibration analysis of analysis of functionally graded plates using the functionally graded conical, cylindrical shell and element-free kp-Ritz method. Journal of sound and annular plate structures with a four-parameter Vibration. 319(3-5): 918-939. 770