M C L CỤ Ụ
N i dungộ Trang
I. LÝ DO CH N Đ TÀIỌ Ề 2
II. TH C TR NGỰ Ạ 2
III. CÁC GI I PHÁPẢ3
A. CÁC KI N TH C C B NẾ Ứ Ơ Ả V NG D NG C A HÀM SỀ Ứ Ụ Ủ Ố 3
1. Các đnh lýị3
2. Các tính ch tấ3
B. N I DUNG PH NG PHÁPỘ ƯƠ 3
1. S d ng ử ụ đng th i ồ ờ ph ng pháp hàm sươ ố gi i h ph ng trìnhả ệ ươ 4
- Bài 1; 2; 3 5 - 6
2. K t h p ph ng pháp hàm s v i ph ng pháp bi n đi t ng đngế ợ ươ ố ớ ươ ế ổ ươ ươ 6
2.1. K t h p ph ng pháp hàm s v i ph ng pháp nâng lũy th a kh căn ế ợ ươ ố ớ ươ ừ ử
ho c ph ng pháp gi i nh ng ph ng trình đa th c b c cao.ặ ươ ả ữ ươ ứ ậ 6 - 7
- Bài 1; 2; 3 7- 8
2.2. K t h p ph ng pháp hàm s v i ph ng pháp gi i ph ng trình đng ế ợ ươ ố ớ ươ ả ươ ẳ
c pấ
- Bài 1; 2
9- 10 - 11
2.3. K t h p ph ng pháp hàm s v i ph ng pháp nhân liên h pế ợ ươ ố ớ ươ ợ
- Bài 1; 2; 3 11- 12- 13
3. K t h p ph ng pháp hàm s v i ph ng pháp đt n s phế ợ ươ ố ớ ươ ặ ẩ ố ụ
- Bài 1; 2 14 - 15
4. S d ng ph ng pháp th sau đó k t h p v i ph ng phápử ụ ươ ế ế ợ ớ ươ hàm số
- Bài 1; 2 16 - 17
5. K t h p ph ng pháp c ng đi s v i ph ng pháp hàm sế ợ ươ ộ ạ ố ớ ươ ố
- Bài 1; 2 17 - 18
IV. Hi u qu do sáng ki n đem l iệ ả ế ạ 19
V. Đ xu t, khuy n nghề ấ ế ị 20
PH L CỤ Ụ 21
Rèn luy n k năng gi i h ph ng trình cho h c sinh l p 12ệ ỹ ả ệ ươ ọ ớ
thông qua k t h p ph ng pháp hàm s v i ph ng pháp khácế ợ ươ ố ớ ươ
I. LÝ DO CH N Đ TÀI: Ọ Ề
SKKN năm h c: 2015 – 2016ọ Trang 1
H ph ng trình là m t ch đ r t quan tr ng trong các ch đ toán h c tr ng phệ ươ ộ ủ ề ấ ọ ủ ề ọ ở ườ ổ
thông. Đc bi t, trong k thi THPT Qu c gia nh ng bài toán h ph ng trình th ng xu t hi n ặ ệ ỳ ố ữ ệ ươ ườ ấ ệ ở
nh ng góc đ khác nhau và đ khó cũng ngày càng đc nâng lên nên đôi lúc cách gi i quy t điữ ộ ộ ượ ả ế ố
v i nhi u h c sinh còn g p nhi u khó khăn.ớ ề ọ ặ ề
M t trong nh ng lo i h ph ng trình hay g p trong các k thi và gây cho h c sinh khóộ ữ ạ ệ ươ ặ ỳ ọ
khăn khi ti p c n là h ph ng trình trong đó có s d ng ph ng pháp hàm s . V i mong mu nế ậ ệ ươ ử ụ ươ ố ớ ố
giúp các em h c sinh có k năng t t, không còn b ng khi g p các h ph ng trình d ng này, tôiọ ỹ ố ỡ ỡ ặ ệ ươ ạ
suy nghĩ r ng, c n ph i h th ng l i ki n th c, phân d ng bài t p c th và c n có phân tích điằ ầ ả ệ ố ạ ế ứ ạ ậ ụ ể ầ ố
em h c sinh v các bài toán đó đ h c sinh hi u, v n d ng và có t duy logic nh ng bài t p cóọ ề ể ọ ể ậ ụ ư ữ ậ
d ng t ng t .ạ ươ ự
II. TH C TR NGỰ Ạ
Ph ng trình, b t ph ng trình, h ph ng trình đc đánh giá là m t trong ba câu phânươ ấ ươ ệ ươ ượ ộ
lo i h c sinh (cùng v i bài toán v hình gi i tích trong m t ph ng ạ ọ ớ ề ả ặ ẳ Oxy và b t đng th c) trongấ ẳ ứ
các đ thi thpt Qu c gia. Cho nên khi g p h ph ng trình nói chung, h ph ng trình có th gi iề ố ặ ệ ươ ệ ươ ể ả
đc b ng ph ng pháp hàm s nói riêng, đa s h c sinh đu đánh giá đây là câu khó nên th ngượ ằ ươ ố ố ọ ề ườ
có chung tâm lý là không làm câu này, do đó trong quá trình ôn t p cũng không chú tr ng ôn luy nậ ọ ệ
d ng toán này. ạ
S l ng h c sinh làm đc tr n v n câu h ph ng trình có th gi i đc b ng ph ngố ượ ọ ượ ọ ẹ ệ ươ ể ả ượ ằ ươ
pháp hàm s không nhi u, th ng ch có nh ng em khá gi i v môn Toán m i làm đc, đi uố ề ườ ỉ ữ ỏ ề ớ ượ ề
này đc th hi n qua k t qu c a các k thi c p tr ng và c p s . Lý do là các em không bi tượ ể ệ ế ả ủ ỳ ấ ườ ấ ở ế
b t đu t ph ng trình nào c a h , không bi t cách bi n đi đ đa v vi c xét hàm đc tr ng,ắ ầ ừ ươ ủ ệ ế ế ổ ể ư ề ệ ặ ư
ho c quên các ph ng pháp gi i c b n c a ph ng trình…ặ ươ ả ơ ả ủ ươ
III. CÁC GI I PHÁPẢ
A. CÁC KI N TH C C B NẾ Ứ Ơ Ả V NG D NG C A HÀM SỀ Ứ Ụ Ủ Ố
1. Các đnh lýị
Cho hàm s ố
( )
y f x=
có đo hàm trên kho ng ạ ả
( )
;a b
.
a) N u ề
( )
' 0f x
v i m i ớ ọ
( )
;x a b
, d u “=” x y ra t i h u h n đi m thì hàm s ấ ả ạ ữ ạ ể ố
( )
f x
đng bi nồ ế trên
( )
;a b
.
b) N u ế
( )
' 0f x
v i m i ớ ọ
( )
;x a b
, d u “=” x y ra t i h u h n đi m thì hàm s ấ ả ạ ữ ạ ể ố
( )
f x
ngh ch bi nị ế trên
( )
;a b
.
N u hàm s ế ố liên t cụ trên đo n ạ
[ ]
;a b
(ho c n a kho ng) và có đo hàm ặ ử ả ạ
( )
' 0f x
trên
kho ng ả
( )
;a b
, d u “=” x y ra t i h u h n đi m thì hàm s ấ ả ạ ữ ạ ể ố
( )
f x
đng bi n trên ồ ế đo nạ
[ ]
;a b
(ho c n a kho ng t ng ng).ặ ử ả ươ ứ
N u hàm s ế ố liên t cụ trên đo n ạ
[ ]
;a b
(ho c n a kho ng) và có đo hàm ặ ử ả ạ
( )
' 0f x
trên
kho ng ả
( )
;a b
, d u “=” x y ra t i h u h n đi m thì hàm s ấ ả ạ ữ ạ ể ố
( )
f x
ngh ch bi n trên ị ế đo nạ
[ ]
;a b
(ho c n a kho ng t ng ng).ặ ử ả ươ ứ
2. Các tính ch tấ
Tính ch t 1: ấGi s hàm s ả ử ố
( )
y f x=
đng bi n (ngh ch bi n) trên kho ng ồ ế ị ế ả
( )
;a b
và
( )
; ;u v a b
, khi đó
( ) ( )
.f u f v u v= =�
SKKN năm h c: 2015 – 2016ọ Trang 2
Tính ch t 2: ấN u hàm s ế ố
( )
y f x=
đng bi nồ ế trên
( )
;a b
và
( )
y g x=
là hàm h ngằ
ho c là m t hàm s ặ ộ ố ngh ch bi nị ế trên
( )
;a b
thì ph ng trình ươ
( ) ( )
f x g x=
có nhi u nh tề ấ
m t nghi m thu c kho ng ộ ệ ộ ả
( )
;a b
.
N u có ế
sao cho
( ) ( )
0 0
f x g x=
thì ph ng trình ươ
( ) ( )
f x g x=
có nghi mệ
duy nh t ấ
0
x
trên
( )
;a b
.
Chú ý:
Kho ng ả
( )
;a b
nêu trong tính ch t có th thay b i các ấ ể ở mi nề
( ) (
] [ ]
(
] [
) ( )
[
) ( )
; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ;a a a b a b a b b b− − + + − +
.
Khi g p h ph ng trình có d ng ặ ệ ươ ạ
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
; 0 2
f x f y
g x y
=
=
Xét hàm s ố
( )
y f t=
, ta th ng g p tr ng h p hàm s liên t c trong t p xác đnh c a nó.ườ ặ ườ ợ ố ụ ậ ị ủ
N u hàm s ế ố
( )
y f t=
đn đi u, thì t (1) suy ra ơ ệ ừ
x y=
. Khi đó bài toán đa v gi iư ề ả
ph ng trình (2) theo n ươ ẩ x (ho c ặy).
N u hàm s ế ố
( )
y f t=
có m t c c tr t i ộ ự ị ạ
t a=
thì nó thay đi chi u bi n thiên m t l nổ ề ế ộ ầ
khi qua a. T (1) suy ra ừ
x y=
ho c ặ
,x y
n m v hai phía c a ằ ề ủ a.
Vân dung linh hoat cac đinh li, tính ch t trên, t môt ph ng trinh ân ) ) ) ) ấ ư ) ươ *
,x
ta se đa hai vê vê ư
dang )
( ) ( )
f h x f g x=� � � �
� � � �
(chăng han nh * ) ư
( )
( )
5 5f x f x x x+ = + =�
) v i ơ
( )
f t
la môt ham đn điêu đăc tr ng trên miên D đang xet. Thông th ng co thê d đoan đc ) ơ ) ) ư ươ * ư) ươ)
( )
h x
va bâc )c a ủ
( )
,g x
t đo đông nhât hê sô đê tim ư ) *
( )
g x
.
B. N I DUNG PH NG PHÁPỘ ƯƠ
1. S d ng ử ụ đng th i ồ ờ ph ng pháp hàm sươ ố gi i h ph ng trìnhả ệ ươ
Đi v i h ph ng trình hai n ố ớ ệ ươ ẩ
,x y
, ta th ng ph i xu t phát t m t ph ng trình c aườ ả ấ ừ ộ ươ ủ
h đ tìm m i liên h đn gi n h n gi a ệ ể ố ệ ơ ả ơ ữ
x
và
y
, m t trong nh ng cách đó là s d ng ph ngộ ữ ử ụ ươ
pháp hàm s . Khi tìm đc m i liên h gi a ố ượ ố ệ ữ
x
và
y
đn gi n h n ta th vào ph ng trình cònơ ả ơ ế ươ
l i, th ng ta s thu đc ph ng trình m t n (theo n x ho c n y). Nh ng ph ng trình thuạ ườ ẽ ượ ươ ộ ẩ ẩ ặ ẩ ư ươ
đc l i ph c t p (ch a b c cao, ch a căn,...) ho c ch a nh ng bi u th c t ng đng nhau vượ ạ ứ ạ ứ ậ ứ ặ ứ ữ ể ứ ươ ồ ề
m t hình th c, khi đó ta có th ti p t c s d ng ph ng pháp hàm s đ gi i ph ng trình m tặ ứ ể ế ụ ử ụ ươ ố ể ả ươ ộ
n này.ẩ
Bài 1.(Đi h c kh i A năm 2010)ạ ọ ố Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0 1
4 2 3 4 7 2
x x y y
x y x
+ + − − =
+ + − =
Phân tích: Ta nh n th y khó có th b t đu v i ph ng trình ậ ấ ể ắ ầ ớ ươ (2), đ ý đn ph ng trình ể ế ươ (1),
2
4 1x+
là bi u th c b c hai c a ể ứ ậ ủ
x
và
3y−
có th coi là bi u th c b c hai c a ể ể ứ ậ ủ
5 2y−
. N uế
đt ặ
5 2t y= −
thì
( )
( )
2
2
5 1
3 5 2 3 1
2 2
t
y y t t t
� �
− −
− − = − = +
� �
� �
SKKN năm h c: 2015 – 2016ọ Trang 3
Bi u th c ể ứ
( )
2
1t t+
có hình th c gi ng v i ứ ố ớ
( )
2
4 1 2x x+
, do v y ta s bi n đi ậ ẽ ế ổ
( )
1
v d ngề ạ
( ) ( )
f u f v=
. Đ đa v d ng này ta th ng “cô l p” bi n, do v y s chuy n ể ư ề ạ ườ ậ ế ậ ẽ ể
( )
3 5 2y y− −
sang v ph i c a ế ả ủ
( )
1
.
Gi iả
Đi u ki n ề ệ
3 5
;
4 2
x y
Khi đó
( )
( )
( )
2
1 4 1 .2 5 2 1 5 2x x y y+ = − + −�
(3)
Xét hàm s ố
( )
( )
2 3
1 ,f t t t t t= + = +
v i ớ
t
ﾡ
Ta có
( )
2
' 3 1 0, tf t t= + > ∀ ﾡ
suy ra
( )
f t
đng bi n trên Rồ ế Do đó
( )
2
0
3 2 5 2 5 4
2
x
x y x
y
= −� � −
=
Thay
2
5 4
2
x
y−
=
vào ph ng trình (2) ta đc:ươ ượ
2
2 2
5
4 2 2 3 4 7 0
2
x x x
� �
+ − + − − =
� �
� �
(4)
Phân tích: Ph ng trình ươ (4) trông khá “ph c t p” nên ta đnh h ng s d ng ph ngứ ạ ị ướ ử ụ ươ
pháp hàm s đ gi i quy tố ể ả ế
Nh n th y ậ ấ
0x=
và
3
4
x=
không là nghi m c a ph ng trình (4)ệ ủ ươ
Xét hàm s ố
( )
2
2 2
5
4 2 2 3 4 7
2
g x x x x
� �
= + − + − −
� �
� �
v i ớ
3
0; 4
x� �
� �
� �
, ta có:
( )
( )
2 2
5 4 4 3
' 8 8 2 4 4 3 0, 0;
2 4
3 4 3 4
g x x x x x x x
x x
� � � �
= − − − = − − < ∀
� � � �
− −
� � � �
Do đó
( )
g x
ngh ch bi n trên ị ế
3
0; 4
� �
� �
� �
. Mà
10
2
g� �
=
� �
� �
nên ph ng trình (4) có nghi m duy nh tươ ệ ấ
1
2
x=
suy ra
2y=
.
V y h đã cho có nghi m ậ ệ ệ
( )
1
; ;2
2
x y � �
=� �
� �
.
Bài 146. (ĐH-A2013) Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
( )
( ) ( )
4
4
2 2
1 1 2 1
2 1 6 1 0 2
x x y y
x x y y y
+ + − − + =
+ − + − + =
Gi iả
Đi u ki n ề ệ
1.x
Coi (2) là ph ng trình b c hai n ươ ậ ẩ x, đi u ki n đ t n t i ề ệ ể ồ ạ x là
( )
22
' 1 6 1 4 0 0y y y y y∆= −−+ −= �۳
SKKN năm h c: 2015 – 2016ọ Trang 4
Đt ặ
4
1,u x= −
suy ra
0.u
Ph ng trình (1) tr thành: ươ ở
( )
4 4
2 2 3u u y y++= ++
Xét
( )
4
2 ,f t t t= + +
v i ớ
0.t
Ta có
( )
3
4
2
' 1 0, 0
2
t
f t t
t
= + > ∀
+
Do đó ph ng trình (3) t ng đng v i ươ ươ ươ ớ
y u=
, nghĩa là
4
1.x y= +
Thay vào ph ng trình (2) ta đc: ươ ượ
( )
( )
7 4
2 4 0 4y y y y+ + − =
Hàm
( )
7 4
2 4g y y y y= + + −
có
( )
6 3
' 7 8 1 0g y y y= + + >
v i ớ
0y∀
.
Mà
( )
1 0,g=
nên (4) có hai nghi m không âm là ệ
0y=
và
1y=
V i ớ
0y=
ta đc nghi m ượ ệ
( ) ( )
; 1;0x y =
; v i ớ
1y=
ta đc nghi m ượ ệ
( ) ( )
; 2;1x y =
V y nghi m ậ ệ
( )
;x y
c a h đã cho là ủ ệ
( )
1;0
và
( )
2;1
.
Nh n xét: ậPh ng trình ươ
( ) ( )
f u f v=
u v=�
ch khi hàm s ỉ ố
( )
f t
đn đi u trên ơ ệ
D
và
,u v D
. N u hàm đc tr ng ế ặ ư
( )
f t
có đo hàm ạ
( )
'f t
ch a xác đnh m t d u ư ị ộ ấ (luôn d ng ho cươ ặ
luôn âm) trên
ﾡ
thì ta ph i tìm cách ch n bi n ả ặ ế
;x y
đ ể
,u v D
và
( )
f t
đn đi u trên ơ ệ
D
. Để
ch n bi n ặ ế
,x y
ta có th d a vào đi u ki n xác đnh c a h ph ng trình, đi u ki n đ ph ngể ự ề ệ ị ủ ệ ươ ề ệ ể ươ
trình b c hai n ậ ẩ
x
tham s ố
y
(ho c n ặ ẩ
y
tham s ố
x
) có nghi m, ho c nh n xét đi u ki n c aệ ặ ậ ề ệ ủ
bi u th c đ h có nghi m ể ứ ể ệ ệ (ch ng h n: ẳ ạ
0, 0 0A B B A = +�
;
2 2
0 0; 1 1 , 1A B c A A B A B= < < + = −� � ��
,….)
Bài 147. Gi i h ph ng trìnhả ệ ươ
( )
( )
( )
11 10 22 12
4 4 2 2
3
1
7 13 8 2 . 3 3 1 2
x xy y y
y x y x x y
+ = +
+ + = + −
Gi iả
Xét
( )
0, 1 0y x= =�
thay vào (2) thì không tho mãn.ả
Xét
0y
, chia 2 v c a (1) cho ế ủ
11
y
ta đc: ượ
11
11
x x y y
y y
� � + = +
� �
� �
(3)
Xét hàm s ố
( )
11
,f t t t t= + ﾡ
, ta có
( )
10
' 11 1 0,f t t t= + > ∀ ﾡ
nên
( )
f t
là hàm s đngố ồ
bi n trên ế
ﾡ
. Do đó,
(3)
( )
2
x x
f f y y x y
y y
� �
= = =� � �
� �
� �
,
Th ế
2
x y=
vào (2) ta đc: ượ
( )
( )
2 2 2
3
7 13 8 2 . 3 3 1 4x x x x x x+ + = + −
Xét
0x
=
không là nghi m ph ng trình, chia 2 v cho ệ ươ ế
3
x
ta đc: ượ
( )
3
2 3 2
7 13 8 3 1
4 2 3
x x
x x x
+ + = + −�
Đt ặ
1
tx
=
, ph ng trình trên tr thànhươ ở
SKKN năm h c: 2015 – 2016ọ Trang 5