Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác
Voõ Thò Thuyø Trang 1
A.PHẦN MỞ ĐẦU
I.Tên đề tài: Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác.
II. Lý do chọn đề tài:
Môn Đại số và giải tích 11 gồm nhiều nội dung. Trong đó, lượng giác là một
nội dung quan trọng đối với học sinh.
Lượng giác là môn học mà đa số học sinh cho rằng khó . Bởi vì kiến thức
tương đối nhiều cả công thức lẫn bài tập. Một bài toán có thể vận dụng rất nhiều
công thức khác nhau và có thể giải theo nhiều cách khác nhau. Việc kết hợp nghiệm
cũng là một vấn đề không đơn giản đối với các em. Do đó việc mắc sai lầm là điều
đương nhiên sẽ xảy ra đối với các em.
Là giáo viên giảng dạy , ai cũng mong muốn học sinh của mình học thật tốt ,
có nhiều lời giải hay, phong phú, chính xác.Tuy nhiên,điều đó chỉ đạt được đối với
một số ít học sinh, còn phần đông các em còn mắc phải một số sai lầm khi giải toán.
Giúp các em nhận thấy sai lầm và kịp thời sửa chữa là một việc làm hết sức cần
thiết,từ đó các em nhớ lâu hơn cách giải cũng như công thức để lần sau né tránh
những sai lầm trên.
III. Nhiệm vụ của đề tài:
Trong chương trình môn toán lớp 11, lượng giác có một vị trí rất quan
trọng. Lượng giác có rất nhiều công thức, một bài toán lại có nhiều cách giải khác
nhau, mỗi một cách giải lại vận dụng nhiều công thức , việc lẫn lộn các công thức là
điều không thể tránh khỏi. Giúp các em nhận ra sai lầm, nguyên nhân sai lầm là một
việc làm hết sức cần thiết.Thấy được sai lầm các em sẽ có hướng khắc phục từ đó
nhớ lâu hơn cách giải cũng như công thức để lần sau né tránh những sai lầm trên.
Giải được tốt các bài toán giúp các em hứng thú trong học tập, tự mình
tìm tòi ra những cách giải không những đúng mà còn rất hay.
Khi giải toán nói chung và giải toán lượng giác nói riêng, học sinh phải
biết tập trung vào cái bản chất của bài toán, gạt bỏ những cái thứ yếu, biết xâu chuỗi
những cái đã cho và cái cân tìm từ đó phân tích để tìm ra mối liên hệ giữa các công
thức, chọn ra công thức thích hợp,nhờ đó phát huy tính sáng tạo và tạo thói quen
làm việc một cách khoa học cho học sinh.
Rèn luyện tính kiên trì, tự lực vượt khó, cẩn thận, chu đáo.Tập cho học sinh
thói quen lập luận chặc chẽ, chính xác khi giải toán.
IV. Giới hạn của đề tài:
Lượng giác không những được học ở lớp 11 mà cả ở lớp 10 và lớp 12 các em
cũng gặp rất nhiều bài toán lượng giác như tính giá trị lượng giác của một góc,tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số lượng giác, tính đạo hàm của một
hàm số lượng giác...
Trong đề tài này tôi chỉ giới hạn trong việc chỉ ra sai lầm thường gặp của học
sinh và sửa sai lầm khi giải toán lượng giác lớp 11.
V. Phương pháp nghiên cứu:
-Phương pháp quan sát.
Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác
Voõ Thò Thuyø Trang 2
- Phương pháp khảo sát thực tế.
B. PHẦN NỘI DUNG
I.Cơ sở lý luận:
Trong quá trình giải toán nói chung và giải toán lượng giác nói riêng, giáo
viên không bắt buộc học sinh giải theo một cách nhất định mà phải phát huy tính
chủ động , sáng tạo của học sinh.Các em giải theo phương pháp tuỳ ý nhưng phải
đảm bảo tính hệ thống, lập luận chặc chẽ, chính xác , khoa học. Điều này chỉ đạt đối
với một số học sinh nhất định nào đó còn lại hầu hết các em còn mắc một số sai
lầm. Muốn khắc phục được những sai lầm thì cần tìm hiểu rõ nguyên nhân để có
biện pháp phù hợp.
*Những nguyên nhân và biện pháp khắc phục sai lầm:
Nguyên nhân sai lầm Biện pháp khắc phục
Sai sót về kiến thức toán học tức là
hiểu sai định nghĩa, khái niệm,không
phân biệt được giả thiết, kết luận của
định lý.
- Nhắc lại cho học sinh các kiến thức
liên quan.Làm cho học sinh hiểu rõ định
nghĩa,khái niệm , định lý.
-Yêu cầu học sinh nắm vững các kiến
thức liên quan.
Sai sót về phương pháp suy luận, sử - Chỉ cho học sinh các bước lập luận
Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác
Voõ Thò Thuyø Trang 3
dụng sai kí hiệu, ngôn ngữ diễn đạt. thiếu cơ sở, không chính xác , nguyên
nhân dẫn đến các sai lầm đó.
-Tập cho học sinh thói quen giải toán
p
hải có cơ sở lí luận và phải thật đầy đủ.
Hiểu được vấn đề nhưng khi diễn đạt
sai, kết luận vội vàng thiếu cơ sở lí luận
- Chỉ cho học sinh sai lầm, hướng khắc
phục.
- Giáo viên tập cho học sinh thói quen
kiểm tra lại lời giải.
-Rèn luyện cho các em tính cẩn thận,
chính xác không được vội vàng trong
quá trình giải toán.
Không xét hết các khả năng xảy ra
của bài toán
Giáo viên cần nêu cho học sinh thấy
được tất cả các khả năng có thể xảy ra
của bài toán.
II. Thực trạng giảng dạy:
1. Đặc điểm tình hình lớp dạy:
a. Về phía giáo viên:
-Thường nóng vội sợ mất thời gian nên kiểm tra không kỹ do đó
không phát hiện ra nhầm lẫn của học sinh.
- Thường tập trung làm việc nhiều với học sinh khá, giỏi mà không
chú ý quan tâm giúp đỡ những học sinh trung bình, yếu nhằm phát hiện sửa chữa
kịp thời những sai lầm.
b. Về phía học sinh:
-Thường đọc qua loa đề bài rồi vội giải ngay, khi giải thì vội vàng, lập
luận không chặc chẽ thậm chí vận dụng kiến thức không đúng.
-Việc học lý thuyết chưa được quan tâm đúng mức nên không nắm
vững những công thức, thường lẫn lộn những công thức với nhau.
- Không nắm được phép biến đổi nào dẫn đến phương trình tương
đương, phép biến đổi nào dẫn đến phương trình hệ quả.
2. Một số bài toán mà học sinh giải dẫn đến kết luận sai:
2.1. Sai sót về kiến thức toán học:
Ví dụ 1: Giải phương trình: tg5x.tgx=1(1)
(Bài tập 4- trang 65- SGK)
* Sai lầm thường gặp:
(1) Ù ⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+−=
+−=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
+=
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
−=
−=
⎩
⎨
⎧
=
=
π
π
π
π
π
π
π
π
'
4
4
5
'
4
4
5
1
15
1
15
lx
lx
kx
kx
tgx
xtg
tgx
xtg
⇔
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+−=
+−=
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
+=
π
π
ππ
π
π
ππ
'
4
520
'
4
520
lx
l
x
kx
k
x
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−=
+=
π
π
π
π
'
4
'
4
lx
kx
Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác
Voõ Thò Thuyø Trang 4
π
π
mx +=⇔
4 ( k,k',l,l',m
∈
Z)
Vậy phương trình có một họ nghiệm:
π
π
mx +=
4
* Nguyên nhân sai lầm:
Ta có: ,R∈∀
α
sin
∈
α
[-1;1] và cos
∈
α
[-1;1]
Nên sinu. cosv=1 Ù
⎩
⎨
⎧
−=
−=
∨
⎩
⎨
⎧
=
=
1cos
1sin
1cos
1sin
v
u
v
u
Còn ,R∈∀
α
tg ∈
α
R và cotg
∈
α
R nên kết quả trên không đúng.
* Biện pháp khắc phục:
Giáo viên nhắc lại tập giá trị của các hàm số lượng giác
Không thể giải phương trình tg
α
. cotg
α
=1 như phương trình
sin
α
. cos
α
=1
* Lời giải đúng:
+
π
kx +=
2 không phải là nghiệm (1)
+
π
π
kx +≠
2, chia hai vế phương trình (1) cho tgx ta được:
tg5x= tgx
1Ù tg5x= cotgx
Ù tg5x= tg( 2
π
-x)
Ù 5x= 2
π
-x+k
Ù x= 612
π
k
+(k
∈
Z)
Vậy phương trình có một họ nghiệm:x= 612
π
π
k
+(k
∈
Z)
Ví dụ 2: Tính giới hạn: I= x
x
x
4cos1
lim
0
−
→
* Sai lầm thường gặp:
I= x
x
x
4cos1
lim
0
−
→
= x
x
x
2sin2 2
0
lim
→
= x
x
x
2sin
2
lim
0→
=x
x
x2
2sin
22
lim
0→
=2 2
* Nguyên nhân sai lầm:
Ta có: x2sin2 2= 2x2sin =⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−x
x
2sin2
2sin2
* Biện pháp khắc phục:
Giáo viên nhắc lại định nghĩa ⎩
⎨
⎧
−
=
A
A
A
* Lời giải đúng:
x
x
x
4cos1
lim
0
−
−
→
= x
x
x
2sin2 2
0
lim
−
→
=x
x
x2
2sin
22
lim
0
−
−
→
=-2 2
Nếu sin2x 0≥
Nếu sin2x<0
nếu A 0≥
nếu A<0
Một số sai lầm của học sinh khi giải toán lượng giác
Voõ Thò Thuyø Trang 5
x
x
x
4cos1
lim
0
−
+
→
= x
x
x
2sin2 2
0
lim
+→
=x
x
x2
2sin
22
lim
0+→
=2 2
Vì x
x
x
4cos1
lim
0
−
−
→
≠
x
x
x
4cos1
lim
0
−
+
→
Vậy không tồn tại giới hạn tại điểm x=0.
2.2. Sai sót về phương pháp suy luận,sử dụng sai kí hiệu, ngôn ngữ
diễn đạt.
Ví dụ 3: Giải phương trình: cosx. cos2x = 4
1 (2)
* Sai lầm thường gặp:
(2) Ù4 sinxcosx.cos2x=sinx
Ùsin4x =sinx
Ù ⎢
⎣
⎡
+−=
+=
ππ
π
24
24
lxx
kxx
Ù
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
=
5
2
5
3
2
ππ
π
l
x
k
x
(k,l
∈
Z)
* Nguyên nhân sai lầm:
Nhân hai vế của phương trình với sinx ta được phương trình hệ quả chứ không
phải phương trình tương đương, do đó xuất hiện nghiệm ngoại lai x=k
π
.
* Biện pháp khắc phục:
Khi giải xong phải loại nghiệm x=k
π
ra khỏi họ nghiệm của phương trình ,
* Lời giải đúng:
Ta thấy x=k
π
không phải là nghiệm phương trình (2)
(2)Ù
⎩
⎨
⎧
≠
=
0sin
sin2cos.cos.sin4
x
xxxx Ù
⎩
⎨
⎧
≠
=
0sin
sin4sin
x
xx
Ù
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≠
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
=
π
ππ
π
kx
k
x
k
x
5
2'
5
3
2
Ù
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+±=
+±=
+±=
π
π
π
π
π
π
2
5
3
2
5
2
3
2
nx
mx
kx
(k,m,n∈Z)
Ví dụ 4: Giải phương trình: logsin2x( cos2x-cos4x) =1 (3)
* Sai lầm thường gặp:
(3) Ù cos2x-cos4x= sin2x Ù2 sinx. sin3x= 2 sinx.cosx
Ù
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
+=
=
⇔
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
=
⇔
⎢
⎣
⎡
=
=
π
π
ππ
π
π
nx
m
x
kx
xx
x
xx
x
4
28
)
2
sin(3sin
0sin
cos3sin
0sin (k,m,n∈Z)
* Nguyên nhân sai lầm: