Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách hình học không gian lớp 12: Sáng kiến kinh nghiệm

PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12

Trang 1

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong hình học không gian của lớp 12, bài toán tính khoảng cách thường là những bài toán khó đối với đa số học sinh, vì vậy học sinh thường rất ngại những bài toán này. Có những em chỉ làm ý dễ còn khi gặp ý tìm khoảng cách thì bỏ, mà trên thực tế trong các đề thi tốt nghiệp hay thi đại học cao đẳng thì phần tìm khoảng cách rất thường gặp trong câu hình học không gian, nó chiếm nửa số điểm của câu này. Học sinh một phần do ý nghĩ phần hình khó nên bỏ qua phần này để dồn sức cho những câu khác, một phần nhiều học sinh gặp khó khăn về phương pháp, không biết bắt đầu từ đâu. Những câu hỏi thường đặt ra với các em: tại sao lại nghĩ đến kẻ đường này, vẽ đường kia,… . Với đặc điểm đó tôi muốn đem đến cho học sinh cái nhìn thân thiện, gần gũi và hứng thú với hình học không gian, đặc biệt là phần tính khoảng cách. Trong đợt thi trung học phổ thông quốc gia sắp tới tôi muốn trình bày một số cách tiếp cận bài toán dạng này. II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian lớp 12 thường xuất hiện trong các đề thi, nhất là trong các đề thi tuyển sinh và thường nằm ở ý khó của bài toán hình học không gian. Vì thế rất nhiều học sinh xác định đây là phần khó nên không chú tâm lắm đến phần này và thường bỏ để làm phần khác. Trong các sách về hình học không gian các tác giả trình bày tốt các phương pháp, tuy vậy trong các ví dụ cụ thể thì các tác giải chỉ trình bày lời giải mà không nêu hướng tiếp cận bài toán, làm cho người đọc phân vân và thường đặt câu hỏi “ Làm sao tác giả dùng phương pháp đó? Xuất phát điểm từ đâu?...” . Nói chung trong các ví dụ đó thường nghiêng về trình bày kĩ thuật giải nhiều hơn, chưa nói được những dấu hiệu để có được điểm xuất phát và từ đó có được hướng tiếp cận bài toán. Trước các thực trạng đó tôi đưa ra một số cách tiếp cận bài toán hình học không gian của lớp 12. III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Một số giải pháp được trình bày trong đề tài:  Giải pháp 1: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.  Giải pháp 2: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.  Giải pháp 3: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.  Giải pháp 4: Phương pháp tiếp cận bài toán tính khoảng cách trong hình học giải tích trong không gian.

- Trong tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH thì:

- Trong tam giác thường ABC, thì ta đi tính diện tích , từ đó:

là tam giác đều thì AH bằng tích của cạnh tam giác với - Nếu

GIẢI PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG - Với bài toán có câu hỏi: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng có vẻ “dễ thở” nhất trong các phần tính khoảng cách còn lại. Chỉ lưu ý với học sinh: muốn tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d thì ta chỉ cần gọi H là hình chiếu của điểm A trên d rồi ta xem đoạn AH là đường cao trong tam giác ABC nào đó, và ta xem tam giác ABC đó là tam giác gì. Nếu tam giác vuông tại A thì độ dài được tính như thế nào? Tam giác đều thì tính làm sao? - Một số học sinh biết hướng làm nhưng lại quên mất các hệ thức lượng trong tam giác vuông, công thức tính diện tích tam giác. Một số kiến thức và một số kết quả thường dùng: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, cạnh

, cạnh . Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 300

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến cạnh SC. b) Tính khoảng cách từ O đến cạnh SC. Lời giải:

Hướng giải quyết: - Cứ gọi H là hình chiếu của A trên SC, khi đó AH chính là đường cao của tam giác vuông SAC. - Để tính AH ta đi tính độ dài hai hạnh góc vuông của tam giác SAC rồi sẽ tính được AH.

a) Gọi H là hình chiếu của A trên SC, khi đó AH là đường cao của tam giác vuông SAC

Ta có

Mà trong tam giác vuông ABC:

Trang 2

Hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC, suy ra góc

Trong tam giác SAC:

Từ đó suy ra:

Suy ra b) Gọi K là hình chiếu của O trên SC, khi đó OK//AH. Trong tam giác AHC ta suy ra OK

là đường trung bình nên .

 Nhận xét: - Giả sử không có câu hỏi ở câu a mà chỉ có câu hỏi ở câu b thì để tính khoảng cách từ O đến SC ta đi tính khoảng cách từ A đến SC trước rồi từ đó suy ra khoảng từ O đến SC. - Học sinh có thể tính OK bằng cách áp dụng vào tam giác vuông OKC có cạnh

và có góc suy ra .

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có tam giác DAB và DAC là hai tam giác đều cạnh ,

tam giác ABC vuông ở A. Gọi M là trung điểm của AD, hãy tính khoảng cách từ diện tích tam giác MBC và khoảng cách từ B đến CM.

Phân tích: Để tính khoảng cách từ B đến MC thì ta có thể dựa trực tiếp vào tam giác BCM. Vậy ta phải nhận dạng được tam giác BCM là tam giác gì. Để nhận dạng tam giác thì ta đi tính các cạnh của tam giác

nên .

Lời giải: Tam giác DAB và DAC là hai tam giác đều cạnh nên Tam giác ABC là tam giác vuông ở A và có cạnh góc vuông là Vậy tam giác MBC là tam giác cân ở M. Gọi K là trung điểm của BC

Ta có MK là đường cao của tam giác ABC, ta cần đi tính MK ) Trong tam AMK vuông ở K (vì

Trang 3

 Vậy diện tích tam giác MBC là

 Ta có

 Nhận xét: Giả sử không có ý tính diện tích tam giác MBC thì chúng ta cũng phải đi xác định các yếu tố của tam giác MBC để xem nó là tam giác gì. Bài giải trên là một cách tính khoảng cách dựa vào công thức tính diện tích tam giác. Bài tập áp dụng 1. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , tâm O. và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I,M theo thứ tự là trung điểm của SC,AB.

a) Chứng minh rằng: b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM, từ đó suy ra khoảng cách S đến

CM. ( Gợi ý: Gọi H là hình chiếu của O trên CM, tính OH, rồi suy ra IH

)

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA=SB= , và

a) Chứng minh , suy ra .

b) Tính và .

( Gợi ý: Câu a) , đi tính

Câu b) , đi tính

Gọi H là hình chiếu của O trên SB, khi đó với tam giác

SBO vuông ở O, )

Gọi

, khoảng cách từ S đến đường thẳng BE.

. Xét tính được AH Dựa vào tam giác SAH để tính SH)

Trang 4

3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo ( Gợi ý: Kẻ AH tại H, chứng minh Kéo dài BE cắt AD tại M

— Tìm mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với (P). — Tìm giao tuyến  của (Q) và (P). — Trong (Q), kẻ MH vuông góc với . Khi đó d(M,(P))= MH.

GIẢI PHÁP 2: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

( với

Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có thể xem là phần quan trọng nhất trong bài toán tính khoảng cách bởi vì không những được hỏi trực tiếp mà còn dùng để tính các loại khoảng cách khác. Những khó khăn của đa số học sinh: - Lúng túng không biết hình chiếu của M nằm trên đường nào trong mặt phẳng (P). - Lúng túng trong suy nghĩ: có thể tính được khoảng cách từ M đến (P) mà không cần dựng hình chiếu của M trên (P) hay không?  Để giải quyết một bài toán thì cần có kết kợp của nhiều yếu tố như: đọc và hiểu đề, vẽ hình, chọn phương pháp giải. Vì vậy để giải quyết một phần sự lúng túng của học sinh, tôi trình hai phương pháp giải những bài toán này: tính khoảng cách trực tiếp, tính khoảng cách gián tiếp, để học sinh có hướng tiếp cận bài toán một cách nhanh chóng. I. TÍNH KHOẢNG CÁCH TRỰC TIẾP - Là ta phải dựng được khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, sau đó mới đi tính toán. - Cơ sở để dựng được hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng là: hai mặt phẳng vuông góc với nhau theo giao tuyến d, trong mặt này kẻ đường thẳng a vuông góc với d thì a vuông góc với mặt phẳng kia. Cho học sinh ghi nhớ các bước xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P). - Bước làm khó nhất là tìm mặt phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với (P). Thường nếu ta thấy trong hình chóp có ) thì (Q) là mặt phẳng chứa SM và vuông góc với . Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh ,

và góc giữa SB và mặt (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

- Xác định được mặt phẳng chứa điểm A và vuông góc với mặt phẳng (SBC). - Xác định được giao tuyến của mặt phẳng đó với (SBC). - Kẻ đường vuông góc hạ từ A xuống giao tuyến.

nên ta dựng mặt phẳng chứa SA và vuông góc với BC

Trang 5

Hướng giải quyết Từ dấu hiệu Lời giải:

Gọi I là trung điểm của cạnh BC, khi đó và (1)

Ta có: suy ra .

Giao tuyến của mặt phẳng (SBC) và (SAI) là SI . Vậy trong (SAI) ta kẻ AH vuông góc với SI tại H, suy ra AH là khoảng cách từ A đến (SBC).

Trong tam giác vuông SAI ta có: (2)

Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC) là AB, suy ra góc Trong tam giác SAB ta có : (3)

Thay (1) và (3) vào (2) ta được :

Suy ra .

Vậy khoảng cách từ A đến (SBC) bằng .

 Nhận xét: Trong lời giải trên mặt phẳng (SAI) đóng vai trò là mặt phẳng (Q) Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

Biết rằng: . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Phân tích: Nhận thấy dấu hiệu nên ta đi dựng mặt phẳng chứa SA và vuông góc với (SBC).

Trang 6

Lời giải Trong tam giác ABC kẻ AI vuông góc với BC. Ta có

Mặt phẳng chứa SA và vuông góc với (SBC) là (SAI). Giao tuyến của (SAI) và (SBC) là SI. Kẻ AH vuông góc với SI tại H =>

Trong tam giác SAI ta có :

Trong tam giác ABC : , suy ra :

Trong tam giác SAB :

Vậy =

=> => .

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh

, đường . SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc

chéo với đáy; góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của AB. Hãy tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SBC) theo .

Phân tích Đầu tiên ta xem SI có vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay không, nếu vuông góc thì SI sẽ vuông góc với một đường nằm trong (SBC). Khi đó ta dựng được mặt phẳng chứa SI và vuông góc với mặt phẳng (SBC) như ví dụ 1 và ví dụ 2.

Trang 7

Lời giải:

. Ta có

Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE, ta có .

Ta có:

Trong mặt phẳng (SIF), dựng với .

Ta có:

Góc giữa SC và (ABCD) là nên ,

Từ đó:

Do đó .

Nhận xét: Với giả thiết đã cho nếu để ý một chút ta có thấy tam giác ABC là tam giác đều và tính . Có thể không cần dựng chính xác điểm F, ta dựng nên

Trang 8

IF theo công thức , từ đó suy ra .

II. TÍNH KHOẢNG CÁCH GIÁN TIẾP Khi tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) thì không phải lúc nào ta cũng

1) Dựa vào công thức để suy ra .

2) Các trường hợp đặc biệt:

— Nếu thì và

3) Sử dụng tỉ số khoảng cách: cho hai điểm A,B và mặt phẳng (P). Gọi

, khi đó:

dễ dàng dựng được đoạn vuông góc từ M đến (P), hoặc khi dựng được thì việc tính toán phức tạp, trong trường hợp đó ta có thể tính khoảng cách từ M đến (P) bằng một trong các cách sau: Phương pháp:

1. Dựa vào công thức để suy ra .

và

Trang 9

- Chúng ta thường dùng cách này khi đa giác đối diện của đỉnh A là một đa giác đặc biệt mà ta có khả năng tính ngay được diện tích của đa giác đó. Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABC có có tam giác ABC vuông cân tại A và tam giác SBC là tam giác đều cạnh . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Nhận xét: Tam giác SBC là tam giác đều nên diện tích của tam giác SBC ta có thể tính dễ

dàng. Vậy để tính ta hướng tới sử dụng công thức .

. Lời giải:

nên suy ra

. . Suy ra

Trước đó ta cần đi tính thể tích khối Tam giác SBC là tam giác đều cạnh Tam giác vuông cân tại A nên AB=AC và

Xét tam giác SAB vuông ở A ta có:

Suy ra diện tích tam giác ABC bằng:

Vậy thể tích khối S.ABC bằng

* Từ công thức tính thể tích ta có:

Tam giác SBC là tam giác đều nên:

Vậy: .

Trang 10

 Nhận xét: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng dựa vào thể tích của khối chóp là một cách làm hay và thường được sử dụng. Vì vậy để thực hiện được phương pháp này người làm toán cần phải nhận xét được đa giác đối diện của điểm đó có gì đặc biệt ( chẳng hạn tam giác vuông, tam giác đều hay hình vuông….) để ta đi tìm dữ kiện tính diện tích của đa giác. Để thành thạo với cách làm này học sinh cần thực hành với nhiều bài tập nhằm làm quen với cách nhận diện đa giác tính diện tích đa giác đó.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, , SBC là tam

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo

giác đều cạnh khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB). (2013-Khối A)

Hướng giải quyết: - Nhận dạng tam giác SAB. - Tính thể tích khối S.ABC và diện tích tam giác SAB. Lời giải:

Ta có: .

Gọi H là trung điểm của BC, ta có . Suy ra .

Tam giác SBC đều, cạnh nên .

Gọi K là trung điểm của AB, ta có :

suy ra

. Do đó

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh

, mặt bên SAB là tam

Trang 11

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). (2013-khối B)

Hướng giải quyết:

- Tính thể tích khối chóp S.ABCD - Nhận dạng tam giác SCD - Tính thể tích khối chóp S.ACD, diện tích

tam giác SCD

Lời giải Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có SI là đường cao trong tam giác đều cạnh nên có

độ dài bằng . Do theo giao tuyến AB nên .

Suy ra .

cân tại S Nhận xét: Gọi K là trung điểm CD. Khi đó SK là đường cao của tam giác SCD.

Ta có:

— Nếu thì và

Trang 12

2. Sử dụng các trường hợp đặc biệt - Giả sử đang cần tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P), ta phát hiện được hình chiếu của đỉnh hình chóp trên mặt phẳng đáy là I và điểm A cùng nằm trên một đường thẳng song song với mặt phẳng (P) thì khi đó ta thường hướng tới việc thay cho việc tính khoảng cách từ A đến (P) thì ta đi tính khoảng cách từ I đến (P). Ta thường vận dụng trong các trường hợp sau:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh , mặt bên SAB là tam

thể

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). (2013-khối B)

Hướng giải quyết - Tính khoảng cách từ A đến (SCD) thông qua một điểm khác. Ta thấy AB//(SCD) nên khoảng cách từ A đến (SCD) bằng khoảng cách từ một điểm nào đó trên cạnh AB đến (SCD).

- Ta nhận thấy điểm A và I cùng nằm trên đường thẳng song song với (SCD)

ta đi tính khoảng cách từ I đến

Lời giải , vì vậy từ dấu hiệu (SCD). Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có SI là đường cao trong tam giác đều cạnh nên

có độ dài bằng . Do theo giao tuyến AB nên .

Suy ra

Nhận thấy AI//(SCD) nên Gọi K là trung điểm của CD, H là hình chiếu của I trên SK. Ta có:

Vậy

Nhận xét: - Giả sử câu hỏi là tính khoảng cách từ điểm B đến (SCD) hoặc một điểm M bất kì nằm trên đường thẳng AB thì các khoảng cách này cũng bằng với khoảng cách từ điểm I đến (SCD) vì vậy ta cũng quy về tính khoảng cách từ I đến (SCD). Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân ,

. Mặt phẳng tạo với đáy góc 600. Tính thể tích khối lăng

và khoảng cách từ đường thẳng BC đến mặt phẳng

Trang 13

trụ theo .

Hướng giải quyết: - Xác định góc giữa hai mặt phẳng. - Nhận xét mối quan hệ giữa và mặt . Nếu // thì khoảng cách

giữa và mặt bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đến

đều cân và cùng

Lời giải: Tam giác chung đáy Gọi I là trung điểm của

khi đó

cùng vuông góc với

Suy ra góc giữa và . là

=> góc - Tam giác =600. vuông ở I và có

nên ta tính được

- Trong tam giác ta có .

-Ta có diện tích tam giác bằng

- Thể tích khối là

- Ta có

Gọi K là trung điểm của BC, khi đó Gọi H là hình chiếu của K trên AI.

- Trong tam giác KAI (vuông ở K) ta có

. Vậy .

Nhận xét : - Trong việc tính khoảng cách trên, ta dễ dàng nhận biết được BC// .

nên ta có thể tính khoảng cách này dựa vào

Trang 14

- Có thể thấy tam giác

Cho hai điểm A,B và mặt phẳng (P). Gọi , khi đó:

3. Sử dụng tỉ số khoảng cách: Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng . Gọi G là trọng tâm

của tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD) bằng . Tính

khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên (SCD) theo .

Hướng giải quyết - Ta nhận thấy đường thẳng OG cắt

(SCD) tại A nên

Lời giải

Ba điểm A,G,O thẳng hàng. Trong tam giác SAC ta có:

Ta có đường thẳng OG cắt (SCD) tại A nên

Nhận xét: Trong lời giải trên ta đã khai thác được mối quan hệ giữa khoảng cách từ

điểm O đến (SCD) và khoảng cách từ G đến (SCD).

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi

Trang 15

I là trung điểm của đoạn AD, hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính theo khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Lời giải:

Ta có:

Trong (ABCD), dựng Trong (SIK), dựng Từ

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi . thì

Trong tam giác ABE: DC//AB và nên DC là đường trung bình, suy ra C là

trung điểm của BE. Ta có

Góc giữa (SBC) và (ABCD) là

. Suy ra Ta có:

Ta có: =>

Nhận xét: Sử dụng tỉ số khoảng cách ta có thể tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt

Trang 16

phẳng thông qua điểm khác, quan trọng là biết cách xuất phát từ điểm nào trước. , ta chọn khoảng cách từ điểm I đến (SBC) bằng phương Từ dấu hiệu

pháp trực tiếp trước. Sau đó dựa vào tỉ số khoảng cách để suy ra khoảng cách cần tìm.

Bài tập áp dụng 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng . Gọi I là giao điểm

của AC và BD, hãy tính khoảng cách từ I đến một mặt bên của hình chóp. (Hướng dẫn : Gọi K là trung điểm của CD, gọi H là hình chiếu của I trên . Tính SI, rồi áp dụng vào tam giác SIK để tính IH SK

Đáp số: ).

2. Cho S.ABC là một tứ diện có ABC là một tam giác vuông cân tại đỉnh B và ,

cạnh

và SA= . a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC). b) Gọi O là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ O đến (SBC).

(Gợi ý: tính được cạnh BA=BC= . Chứng minh tam giác SBC vuông. Tính được

rồi suy ra khoảng cách . Còn

Đáp số: ).

3. Cho hình chóp S.ABCD có . Tam giác ABC có

. Tính thể tích khối tứ diện S.ABC và tính khoảng cách từ A đến (SBC).

( Hướng dẫn: vẽ AI tại I, vẽ AH , chứng minh

. Đáp số ).

4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng . Gọi SH là đường cao của hình

chóp và bằng . Tính khoảng cách từ trung điểm I của SH đến (SBC).

( Gợi ý: HI cắt (SBC) tại S, d(I,(SBC))= . Tính )

5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh

, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của SA. Tính theo thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD).

( Hd: Gọi I là trung điểm của AB, khi đó:

Đáp số: )

6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật; với

, tam giác SAB là thể tích khối

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến (SBC). (Hd:

Tính )

Trang 17

. Đáp số

GIẢI PHÁP 3: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

nằm trong mặt phẳng (Q) và cắt a tại N. Đường thẳng chính là đường vuông góc chung của a và b, còn độ dài đoạn

Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau luôn là bài toán khó với phần lớn học sinh. Để giải quyết được bài toán này học sinh cần nắm được các kiến thức cơ bản sau: 1. Cách tìm đường thẳng vuông góc đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b - Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Khi đó có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa b và song song với a. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa a và vuông góc với (P). Mặt phẳng (Q) cắt b là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) , tại M và cắt (P) theo giao tuyến a’. Gọi khi đó cùng vuông góc với hai đường thẳng a và b nên thẳng MN là khoảng cách giữa hai đường chéo nhau đó.

— Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai

 Nhận xét:

— Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng

đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.

song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

tại B. Khi đó độ

Trang 18

và b. 2. Phương pháp tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Cách tính bằng cách xác định trực tiếp đoạn vuông góc chung thường khó với đa số học sinh vì nó liên quan nhiều đến phần chứng minh quan hệ vuông góc nên tôi xin trình bày hai trường hợp sau:  Trường hợp - Gọi (P) là mặt phẳng chứa b và vuông góc tại A. với - Trong (P) dựng dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

là hình chiếu của vuông góc của

và cắt b tại B. vuông góc với

. Khi đó độ dài đoạn thẳng

và b

 Trường hợp tổng quát - Gọi (P) là mặt phẳng chứa b và song song với - Gọi trên (P). - Mặt phẳng (Q) chứa Qua B dựng đường thẳng (P), gọi AB chính là khoảng cách giữa hai đường chéo nhau 3. Một số ví dụ Ví dụ 1 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng đường cao và bằng .

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh rằng (SMN) vuông góc với (SCD).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB. Hướng giải quyết: - Trước tiên ta nhận thấy hai đường thẳng SC và AB là hai đường thẳng chéo nhau và không vuông góc nên ta đi tìm một mặt phẳng chứa đường này và song với đường kia Lời giải

a) Ta có (vì )

( vì tam giác SCD cân tại S)

Mà nên

Trang 19

b) Ta có AB//CD nên AB//(SCD) trong tam giác SMN kẻ Do

Ta có :

. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO là chiều cao của hình chóp, suy ra Trong tam giác SMN ta có : MH.SN=SO.MN

Vậy

Nhận xét : —Mặt phẳng (SCD) là mặt phẳng chứa SC và song song với AB nên khoảng cách giữa AB và SC bằng khoảng cách giữa AB và (SCD). Đến đây bài toán lại quy về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Ta cần khéo léo trong việc chọn một điểm nằm trên cạnh AB, ta thường nghĩ tới những điểm đặc biệt trên đoạn AB như trung điểm của đoạn AB. Cách tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau dựa vào khoảng cách giữa một đường với một mặt chứa đường còn lại và song song với nó là một cách thường dùng nhất. — Ta có thể tính MH bằng cách tính dựa vào nhận xét MH=2 .

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh , .

Gọi M là trung điểm của SD, góc tạo bởi SD và mặt phẳng đáy bằng 450. tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SB và CM.

Phân tích: - Từ dấu hiệu M là trung điểm ta nghĩ tới việc chứng minh quan hệ song song. - Gọi I là trung điểm của BD thì IM là đường trung bình của tam giác SBD nên SB//IM. Vậy d(SB,CM)=d(SB,(CMA))

Hướng giải quyết: - Chứng minh SB//(AMC) => - Tính

Trang 20

Lời giải: - Hình chiếu của SD trên (ABCD) là AD nên Suy ra tam giác SAD vuông cân tại A .

Khi đó

, suy ra Gọi

(vì (AMC) đi qua trung điểm

của BD).

Ta lại có

Ta cần đi tính diện tích tam giác MAC.

Nhận thấy trong tam giác MAC có đường trung tuyến (vì )

. Vậy tam giác AMC vuông ở M (Đường trung tuyến bằng nửa cạnh đối

diện)

Ta lại có

Vậy

 Nêu vấn đề: - Nếu ta thay đổi câu hỏi là: tính khoảng cách từ trung điểm của SB đến mặt phẳng (AMC) thì ta làm như thế nào? Gợi ý: Khoảng cách này bằng khoảng cách từ B đến (AMC), vậy ta cũng quy về tính khoảng cách từ B đến (AMC).

Ví dụ 3 : Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và

. Gọi M là trung điểm của cạnh AC.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM. b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SM. Hướng giải quyết : Nhận thấy điểm A là hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) nên ta hướng tới việc tìm mặt phẳng chứa SM và song song với AB, khi đó khoảng cách giữa A và SM là

. Tương tự ta cũng tính khoảng cách giữa BC và SM bằng

khoảng cách từ A đến cách tìm mặt phẳng chứa SM và song song với BC.

Lời giải : a) Trong mặt phẳng (ABC), dựng hình chữ nhật AIMD, với I là trung điểm của AB.

Ta có

Trang 21

Do đó

Mặt khác

Mà

theo giao

tuyến SD. Trong tam giác SAD kẻ đường cao AH thì

Trong tam giác vuông SAD tại A ta có:

b) Ta có : BC//(SIM) nên

tại K, ta có : trong mặt phẳng (SAB), kẻ

Tam giác SAI vuông tại A, ta có: Xét hai tam giác đồng dạng SAI và BKI, ta có :

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác vuông,

, cạnh bên

theo khoảng cách giữa hai đường thẳng . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính . và

Trang 22

Hướng giải quyết Ta nhận thấy AM và B’C không vuông góc nên ta tìm một mặt phẳng chứa đường này và song song với đường kia.

Lời giải

Gọi N là trung điểm của BB’ suy ra B’C//MN B’C//(AMN) Mặt phẳng (AMN) là mặt phẳng chứa AM và song song với B’C. Suy ra

Do N là trung điểm của BB’ nên Gọi H là hình chiếu của B trên (AMN). Vì BN,BA,BM đôi một vuông góc nên ta có:

=> .

Nhận xét: Việc xác định mặt phẳng chứa đường này và song song với đường kia cũng cần phải có sự khéo léo, quan sát tinh tế trên hình vẽ của người làm toán. Tại sao ta lại chọn dựng mặt phẳng chứa AM và song song với B’C? Bởi vì trong tam giác BB’C điểm M là trung điểm của cạnh BC nên khi ta gọi N là trung điểm của BB’ thì MN là đường trung bình suy ra MN//B’C

Bài tập áp dụng 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng . Gọi E là điểm đối xứng của D

qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. a) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. b) Tính theo ( Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm của SA, chứng minh MNCI là hình bình hành MN//IC .Gọi K là trung điểm của OC,

chứng minh . Đáp số ).

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh

. Cạnh bên SA vuông góc . Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa với đáy và các đường sau đây : a) BD và SC.

. b) AC và SB. Đáp số: a) b)

, 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có

, SC tạo với đáy góc 300. Gọi M là trung điểm của BC. Tính thể tích

khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SB.

Đáp số:

4. Cho hình chóp A.BCD cho hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng đáy trùng

. Góc giữa

với trung điểm H của BC. Tam giác BCD vuông ở D và có (ACD) và (BCD) là 600. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC. Gợi ý: Dựng hình bình hành BDCE

Trang 23

Đáp số:

GIẢI PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

: Khoảng cách giữa hai điểm

đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm

Một số công thức tính khoảng cách: 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Ví dụ 1:

và điểm .

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): a) Tính khoảng cách từ A đến (P).

b) Tìm trên trục Oy điểm M sao cho .

lời giải:

. a)

Vậy ta có hai điểm M thỏa mãn điều kiện là Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng , đường thẳng

. Tìm M và N lần lượt thuộc sao cho

Trang 24

MN//(P) và d(MN,(P))=2.

, ta sẽ tìm được tọa độ điểm M.

Phân tích: - Khi MN//(P) thì Vậy ta cần tìm mối ràng buộc giữa tọa độ điểm M và tọa độ điểm N. Hướng giải quyết: - Chuyển về dạng tham số; suy ra tọa độ điểm M,N biểu thị theo tham số.

- Nhận thấy nên mối ràng buộc là ( là vtpt của (P)).

để suy tọa độ điểm M, từ đó suy ra N.

Lời giải: - Dựa vào

Ta có

— Chuyển đường thẳng về dạng tham số. — Gọi

ta làm như Để tìm tọa độ hình chiếu của một điểm A trên một đường thẳng sau:

— Để tìm tọa độ

. Khi đó ta có tọa độ điểm biểu thị là hình chiếu của A trên theo tham số của đường thẳng.

vuông góc với vectơ chỉ phương , suy ra tham số và tìm được ta nhận thấy vectơ nên ta có:

—

của đường thẳng . 2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - Để tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng ta đi tìm hình chiếu của nó trên đường thẳng sau đó dùng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm để tính khoảng cách này. tọa độ — Khi đó .

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng và điểm .

Trang 25

. a) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm A trên đường thẳng b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng .

Lời giải :

a) Gọi hình chiếu của điểm A trên đường thẳng

là . Suy ra

ta có , vectơ chỉ phương

của đường thẳng là

nên

ta nhận thấy

b) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng chính là khoảng cách giữa hai điểm A

và . Vậy ta có:

Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .

Lời giải

Đường thẳng có phương trình tham số là: .

Gọi điểm H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng . Khi đó

suy ra . Vectơ chỉ phương của đường thẳng là :

Vì

Vậy 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 ta có hai cách sau : Cách 1 : —Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 , (P) có vectơ pháp tuyến là tích có hướng của hai vectơ chỉ phương của d1 và d2.

—Sau đó lấy một điểm bất kì M nằm trên d2 và tính khoảng cách từ M đến (P) khi

đó .

Cách 2 : Gọi M và N lần lượt là hai điểm thuộc hai đường thẳng d1 và d2, khi đó ta có tọa độ của điểm M và N theo tham số của hai đường. Ta tìm độ dài đường vuông góc chung MN bằng cách tìm tọa độ điểm M và N thông qua việc giải hệ phương trình

Trang 26

(trong đó lần lượt là vectơ chỉ phương của d1 và d2)

Ví dụ 1 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng:

. d1: và d2:

a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau. b) Tính khoảng cách giữa hai đường d1 và d2. Hướng giải quyết Trong đề bài chỉ yêu cầu tính khoảng cách chứ không cần thiết phải tính ra tọa độ hai đầu mút của đoạn vuông góc chung nên ta dùng cách thứ nhất để giải. Lời giải , d2 có vtcp a) Ta có d1 có vtcp là

và

không cùng phương. Hệ phương trình vô nghiệm

nên d1 và d2 chéo nhau. b) Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và song song d2. khi đó (P) có vectơ pháp tuyến là

. (P) chứa d1 nên (P) đi qua điểm A(0;0;4). Vậy mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là:

. Khi đó .

lấy H(2;1;0)

Ví dụ 2 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau:

. d1: và d2:

Tìm tọa độ trung điểm của đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng d1 và d2. Hướng giải quyết

Để tìm được tọa độ trung điểm của đoạn vuông góc chung thì ta phải tìm được tọa độ hai điểm mút vì vậy phải dùng cách thứ hai để giải quyết bài toán. Lời giải

Gọi

Ta có

MN là đoạn vuông góc chung khi và chỉ khi

Ta có

Trang 27

Gọi I là trung điểm của đoạn vuông góc chung thì .

Ví dụ 3:

Trong KG Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau và

Hãy viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho. Hướng giải quyết:

, tâm mặt

Ở đây ta phải tìm được đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng cầu chính là trung điểm của đoạn vuông góc chung. Trong bài này ta phải dùng cách thứ hai để giải bài toán vì bắt buộc ta phải tìm tọa độ hai điểm mút của đoạn vuông góc chung thì ta mới tìm được tọa độ tâm mặt cầu. Lời giải

Gọi M,N lần lượt là hai điểm trên hai đường thẳng khi đó ta có

MN là đoạn vuông góc chung của khi và chỉ khi:

). ( trong đó

Ta có

Gọi I trung điểm của MN, khi đó

Độ dài MN =2 suy ra bán kính của mặt cầu R=1

Pt mặt cầu

Bài tập áp dụng: 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có phương

. Phương trình mặt cầu

trình . Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Viết phương

PT mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R =

Trang 28

trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d. Đáp số: R= d(A, (d))

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): và đường

thẳng d: . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) một

khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 3.

(S):

Đáp số: (S):

3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và điểm

. Đường thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho .

Bán kính mặt cầu (S):

 PT mặt cầu (S):

Viết phương trình của mặt cầu (S). Hướng dẫn: Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ M đến đường thẳng d  MH =

4. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng và

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d2 và song song với d1. b) Tính khoảng cách giữa d1 và d2.

Đáp số: (P): , .

5. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng và

. Tính khoảng cách giữa hai đường

Đáp số: .

6. Trong không gian Oxyz cho đường thẳng và

chéo nhau. và

a) Chứng minh b) Viết phương trình mặt cầu đường kính là đoạn vuông góc chung giữa hai đường.

Trang 29

Đáp số:

IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Năm học 2010-2011 tôi dạy lớp 12, khi đó gặp bài toán tính khoảng cách thì các em đa số thường bỏ và chỉ có các em có học lực giỏi và một số em khá thì tìm cách giải quyết ý này. Số học sinh còn lại thì bỏ hẳn trong đó có cả một số em có học lực khá. Nguyên nhân là các em chưa nắm được phương pháp giải, hoặc nắm một cách hời hợt và đặc biệt là các em gặp vấn đề ở khâu tiếp cận bài toán, các em thường không biết xuất phát từ chỗ nào. Năm học 2013-2014 tôi dạy lại lớp 12 và tôi quyết định triển khai chuyên đề của mình “ PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12” cho học sinh của mình. Bước đầu tôi đã thấy một số kết quả đáng mừng. Đa số các em đã tự hệ thống lại cho mình về các kiến thức về phương pháp tính khoảng cách trong hình học không gian. Số học sinh bỏ ý này ít đi, các em hào hứng trong việc tính khoảng cách, biết tìm tòi, tìm điểm xuất phát của bài toán. Kết quả thu được được so sánh ở hai bảng sau: