Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
Đ t v n đ ặ ấ
ề
I, Lý do ch n đ tài: ọ ề
ậ ế ọ ộ
ặ ọ ứ ễ ư
ệ ữ ườ
ử ạ
ọ Toán h c là m t môn khoa h c suy di n. Các k t lu n Toán h c c ch ng minh m t cách ch t ch . Nh ng trong quá trình hình thành, ẽ ượ ộ ả ế c khi có nh ng k t lu n mang tính t ng quát, toán h c cũng đã ph i ti n ậ ổ ọ t. Ta ph i đ i chi u các quan sát ng h p c th , riêng bi ế ụ ể ả ố ề i, ... đ t ng t đó d đoán v , ph i th đi th l ự ể ừ ử ự ả ự c khi ch ng minh chúng. Bên c nh đó, ta ph i d ạ
t. ứ ế
ệ ụ ộ
đ uề đ tr ế ướ hành xét các tr ợ đ c, suy ra các đi u t ả ề ươ ượ m t đ nh lý toán h c, tr ứ ướ ọ ộ ị đoán ra ý c a phép ch ng minh tr c khi đi vào ch ng minh chi ti ứ ướ ủ ế ặ ệ
ể ươ ng pháp gi ng d y. M t trong các xu h ớ ớ ộ ộ
Hi n nay, chúng ta đang ti n hành đ i m i giáo d c. Đ công cu c đ i ổ ổ ng trình – SGK ổ ớ ng đ i m i ệ ổ ướ ạ ả t d đoán, ng pháp gi ng d y môn Toán hi n nay là d y cho h c sinh bi ế ự ớ ả ệ ạ ọ
ả ắ ươ ạ t suy lu n có lý. ậ ế
ộ là các sách giáo khoa Toán b c THCS hi n nay, c u trúc m t ậ ệ ấ
ng là:
ng h p c th : tính toán, đo đ c, so sánh, … ụ ể ườ ạ ợ
trên các đ i t
Ph n 1. Xét các các tr ng khác nhau. ự ề ổ ế ệ ậ
m i thành công thì ph i g n ch t vi c đ i m i n i dung ch ớ v i vi c đ i m i ph ớ ổ ph ươ d y cho h c sinh bi ọ ạ Th c t ự ế bài h c th ườ ọ ầ ố ượ ầ ầ Ph n 2. D đoán k t lu n khái quát: nêu ra m t m nh đ t ng quát. ố Ph n 3. Ch ng minh ( ho c công nh n ) m nh đ t ng quát, tuỳ đ i ề ổ ộ ệ ặ ậ
t ng và trình đ h c sinh. ượ ứ ộ ọ
ụ ậ
ậ ụ ử ồ ằ ượ ệ
Ph n 4. Các ví d và bài t p v n d ng. Nh th h c sinh đ ớ ế ầ ư ế ọ ế ứ ứ ế ậ ớ
ậ c quan sát, th nghi m, d đoán r i b ng suy lu n ự đ đi đ n ki n th c m i, sau đó v n d ng ki n th c m i vào các tình hu ng ố ụ ể khác nhau.
Chúng ta xét m t s bài h c c th sau: ọ ụ ể ộ ố
ụ ệ ố ủ ộ ố ậ ị
ư
đó phân tích, nh n xét, đ a ra k t qu M c 4 ( trang 13 SGK Toán 7 t p I ).Giá t tuy t đ i c a m t s … Sau khi đ a ra đ nh nghĩa v giá tr tuy t đ i c a m t s , SGK đ a ra ư ị ả ệ ố ủ ậ ộ ố ư ị ỗ ố ề ể ừ ế ề
x ;
khix
=
x
0 <
0
x ;
bài t p ?1 đi n vào ch tr ng. Đ t ậ t ng quát: ổ ‡ (cid:236) (cid:237) - (cid:238)
ế ứ
khix ậ ậ ụ
1
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
K t qu này đ ượ ả Sau đó là các bài t p v n d ng. c công nh n, không ch ng minh. ậ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
ụ ủ ổ ộ ậ
ẽ ầ ọ
ổ ề ổ ấ ư ự ậ ỗ
ứ ự
Ti p theo là các bài t p v n d ng. M c 1 ( trang 106 SGK Toán 7 t p I ).T ng ba góc c a m t tam giác. SGK yêu c u h c sinh v hai tam giác b t kỳ, đo và tính t ng ba góc trong c a m i tam giác r i nêu nh n xét. T đó đ a ra d đoán v t ng ba góc ủ ừ ồ trong m t tam giác . Sau đó ch ng minh d đoán này. ộ ậ ế ậ ụ
ậ ậ ằ ẳ
A =2
a =2
a
ứ M c 2. ( trang 8 SGK Toán 9 t p I ).Căn b c hai và h ng đ ng th c A ụ .
ể ẫ ọ ố ế ố ị ọ , SGK yêu c u h c ầ
ớ sinh đi n s thích h p vào b ng: Đ d n đ n đ nh lý: V i m i s a ta c : ả ề ố ợ
-2 -1 0 2 3
a a 2 2a
ừ ậ ị
T đó nh n xét, khái quát hoá đ đ a ra đ nh lý. ể ư ặ Sau khi phát bi u đ nh lý, SGK ch ng minh đ nh lý b ng suy lu n ch t ị ứ ể ằ ậ ị
ch .ẽ
ậ ụ ậ
Sau đó là các bài t p v n d ng. Bên c nh đó, trong n i dung ôn luy n Toán cho h c sinh gi ệ ạ ọ ộ ỏ
c là chuyên đ : “ Ph ề ữ ươ ề ộ ể
ượ ả ề ạ ở i, m t trong ng pháp quy n p ạ ạ i th y d y ầ ườ
nh ng chuyên đ không th thi u đ ế Toán h c ”. B i vì, thông qua vi c gi ng d y chuyên đ này, ng ệ ọ Toán đã:
1) Cung c p cho h c sinh m t h ng suy nghĩ trong vi c tìm tòi l i gi ộ ướ ấ ọ ệ ờ ả i
các bài toán;
i đ ả ượ 2) Giúp h c sinh gi ọ
ọ ạ ộ ủ ứ
c m t l p các bài toán S h c, Đ i s và Hình ộ ớ h c thu c đ các d ng bài toán: chia h t, ch ng minh đ ng nh t th c, ch ng ứ ế minh b t đ ng th c, ... mà trong đó có liên quan đ n t p h p các s t nhiên; ạ ố ứ ấ ố ự ố ọ ồ ợ
ế ậ ề ệ
ọ ỉ ầ ứ ệ
ệ ng h p riêng, mà vi c ch ng minh chúng ch c n xét m t s ng h p theo m t lôgic ch t ch và chính xác, đã m r ng t ẽ ứ ờ ườ ườ ứ ặ ộ
2
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
ấ ẳ 3) Đ ng th i qua vi c nghiên c u các m nh đ toán h c bao hàm m t ộ ồ ộ ố s vô h n các tr ạ ố h u h n các tr ư ạ ữ duy lôgic cho các em h c sinh, giúp các em say mê, h ng thú h c Toán h n. ở ộ ơ ợ ợ ọ ứ ọ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
II. M c đích c a đ tài: ủ ề ụ
Qua nhi u năm tr c ti p gi ng d y, b i d ự ế ề ả ạ ỏ
ng h c sinh gi ọ i tôi vi ậ ợ ồ ưỡ ả i các c p và ấ t chuyên đ này ề ế ạ
b i d ng giáo viên thay sách, t p h p các bài gi ng l ồ ưỡ nh m m c đích: ụ ằ
ạ 1) Cung c p m t s ki n th c c b n v phép quy n p, phép quy n p ộ ố ế ứ ơ ả ề ạ
2) Giúp h c sinh có thêm m t s ph hoàn toàn, quy n p không hoàn toàn, và nguyên lý quy n p toán h c. ọ ạ ng pháp m i đ gi ớ ể ả ộ ố ươ i m t s bài ộ ố ấ ạ ọ
toán Toán h c khác nhau. ọ
3) Cung c p thêm m t s bài t p h p d n và nhi u v , qua đó c ng c ấ ủ ẻ ề ấ ẫ ố
ộ ố ứ ở ộ ế ọ
4) Rèn luy n t duy, phát huy tính sáng t o và gây h ng thú h c toán cho ậ và m r ng thêm các ki n th c đã h c. ệ ư ứ ạ ọ
h c sinh. ọ
III. N i dung đ tài: ộ ề
ộ ủ ề ồ
ng ph thông. ổ ầ ầ
N i dung c a đ tài này bao g m: ậ ạ ạ Ph n I. M t s c s lý lu n. ộ ố ơ ở Ph n II. V n d ng vào D y & H c toán ọ ậ ụ ệ A. V n d ng phép quy n p hoàn toàn trong ch ng minh m t m nh tr ở ườ ứ ậ ụ ộ
đ toán h c ọ ề
i toán ọ ể ả
ế
ấ
ồ ấ ẳ ọ
B. V n d ng ph ng pháp quy n p toán h c đ gi ươ ậ ụ ạ 1. Phát hi n quy lu t và ch ng minh quy lu t đó. ậ ệ ậ ứ i toán chia h t. 2. V n d ng vào gi ậ ụ ả 3. V n d ng vào ch ng minh đ ng nh t th c. ứ ậ ụ ứ 4. V n d ng vào ch ng minh b t đ ng th c. ứ ứ ậ ụ 5. V n d ng vào các bài toán hình h c. ậ ụ i khác? ả
ộ ố ạ ạ ổ ọ
ả ủ ề
ệ ế ầ ầ ậ
C. Có th có cách gi ể D. B sung: M t s d ng nguyên lý quy n p Toán h c. Ph n III. Hi u qu c a đ tài Ph n IV. K t lu n - đánh giá khái quát. ộ ư ụ ằ
ả ồ ọ
3
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
ề ượ c V i lý do, m c đích và n i dung nh trên mong r ng chuyên đ đ ớ đông đ o các đ ng chí giáo viên và các em h c sinh tham kh o và góp ý ki n ế ả xây d ng.ự
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
N i dung
ộ
Ph n I. C s lý lu n ơ ở ậ ầ
:
ừ ủ
c dùng đ ch các c các k t lu n t ng quát, d a vào m t lo t các ạ theo nghĩa đ u tiên c a nó đ “quy n p” ầ ượ ự ậ ổ ượ ể ỉ ạ ế ộ
t. 1. Quy n p hoàn toàn và không hoàn toàn ạ 1.1 Danh t quy lu t nh đó mà thu đ ờ ậ kh ng đ nh riêng bi ị ệ ẳ
là m t m nh đ t ng quát đ ứ ộ ệ ạ
ng h p có th có. ng h p c a m t s h u h n các tr ề ổ ườ ợ c ch ng minh theo ượ ể t ng tr ừ
[
]
100;4
ộ ố ữ ạ ậ ằ ả ẵ đ u có th bi u di n d ể ể ề ễ ướ ạ i d ng
”. ỗ ố ố
Quy n p hoàn toàn ườ ợ ủ Ví d 1ụ .: Chúng ta xác l p r ng : “ M i s ch n n trong kho ng ủ ố Mu n v y chúng ta phân tích: t ng c a 2 s nguyên t ổ ố ậ
ườ ả ẵ ừ ượ 49 đ ng th c này ch ng t ứ ễ r ng, th c t ỏ ằ ứ c bi u di n du i d ng t ng c a 2 s ủ ổ ạ ự ế ố ẳ ể ớ
4 = 2+2 6 = 3+3 8 = 5+3 10 = 7+3 12 = 7+5 ...... ...... 98 = 93+5 100 = 97+3 ng h p, t Sau khi th 49 tr ợ ử m i s ch n trong kho ng xét đ ỗ ố nguyên t .ố
: 1.2 Quy n p không hoàn toàn Trong tr ậ ổ ạ ườ ế ự
ng h p k t lu n t ng quát rút ra không d a trên s ki m tra ng h p có th x y ra mà ch trên c s m t s đ l n các ườ ể ả ợ ợ ự ể ơ ở ộ ố ủ ớ
ợ t t c các tr ấ ả tr ườ ạ
ọ
ệ ằ
i ta đã thi c Lômônôxôp phát bi u và ch đ ị
c v n d ng nhi u trong các khoa h c th c ự ề t l p nên đ nh lu t c b n ậ ơ ả ế ậ ỉ ượ c ủ ị ể ớ ộ ắ ủ ậ ể
4
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
ỉ ng h p thì ta có quy n p không hoàn toàn. Quy n p không hoàn toàn đ ượ ậ ụ ạ nghi m. Ch ng h n b ng cách đó ng ườ ẳ ạ ng: đ nh lu t này đ b o toàn kh i l ượ ố ượ ả th a nh n khi Lavoadiê đã ki m tra s đúng đ n c a nó v i đ chính xác đ ự ậ ừ l n và trong các đi u ki n đ khác nhau. ớ ệ ủ ề
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
ọ
ứ ẽ
ấ ạ ợ ề ộ
ộ ố i ta không th ti n hành ki m tra m t s vô h n các tr ể ỉ ượ ạ ộ ố
Trong toán h c, quy n p không hoàn toàn không đ ộ c xem là m t ượ ạ ế ng pháp ch ng minh ch t ch , do đó nó ch đ ph c áp d ng r t h n ch . ụ ặ ươ ng h p riêng, B i vì m t m nh đ toán h c bao hàm m t s vô h n các tr ườ ọ ở ệ ườ ng nh ng con ng ạ ể ế ườ ư c.Ch ng h n h p đ ẳ ợ ượ ạ
ớ ụ
ng h p nh ợ nhiên ch n đ u có th phân tích đ ví d 1, ta ch a th đ a ra ư ể ư ủ c thành t ng c a ổ ư ở ể ườ ẵ ượ ề
sau khi có k t qu đúng v i 49 tr ả ế k t lu n r ng, m i s t ọ ố ự ậ ằ ế . hai s nguyên t ố ố
ở ng pháp “g i m ” ạ ộ
ợ r t hi u l c đ tìm ra chân lý m i. Chúng ta hãy tham kh o m t vài ví d . ụ ấ ộ
ổ ầ
9 = 16 =
25 =
ợ ế ệ ố ự ườ
25 ế
ng h p riêng này, ta n y ra k t lu n t ng quát : ậ ổ ợ
Đ ng nhiên, quy n p không hoàn toàn là m t ph ươ ươ ớ ệ ự ể ả liên ti p đ u tiên. nhiên l Ví d 2ụ . Xét t ng n s t ẻ t: ng h p riêng bi Chúng ta hãy xét các tr 211 = mà + v i n=1 : 1=1 ớ 4 = + v i n=2 : 1+3=4 mà ớ 22 mà + v i n=3 : 1+3+5=9 ớ + v i n=4 : 1+3+5+7=16 mà ớ + v i n=5 : 1+3+5+7+9=25 ớ Sau khi xét m t s tr ộ ố ườ 1+3+5+7+9+...+(2n-1) = 2n
t c là : “ t ng c a n s l ứ ố ẻ ổ ằ
23 24 mà ả (1) 2n ”. ặ
Vi c ch ng minh k t lu n này m t cách ch t ch (xem ví d 7) đã ộ ụ ẽ liên ti p đ u tiên b ng ầ ế ế ậ
ủ ứ ậ ch ng t ứ
3
=
nhiên liên ti p đ u tiên: ế ầ ổ
++ ...
ệ k t lu n này là đúng. ỏ ế Ví d 3ụ : Tính t ng l p ph ng các s t ươ ố ự + + 3 3 n 2
3 1 ng h p riêng bi ườ = 1
1
3
3 t: ệ 21= =
+
=
2
2
3
9 3
+
+
=
=
ậ S n ợ
2
3
3
36 3
3
3
+
+
+
=
=S =S =S =S
3
2)21( + ++ 2)321( +++ 2)4321(
4
Ta xét các tr 13 3 1 3 1
4 ế ++++
=
ậ ổ
2)
n
S n
3 1 2 ể ả 321( ề
Do đó có th n y ra k t lu n t ng quát : ... (2)
ậ ấ ự ứ ự ả
ầ ớ ở
c a các công th c (1) hay (2). ứ ủ ph T t nhiên, đi u nh n xét trên không ph i là s ch ng minh s đúng đ n ắ ộ ph n sau, chúng ta s làm quen v i m t ẽ ứ ươ ứ
c các công th c (1) và (2) là đúng. ạ ậ ẫ ằ ằ
5
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
ng pháp giúp chúng ta ch ng minh đ ượ Chúng ta cũng c n chú ý r ng, suy lu n b ng quy n p đôi khi d n đ n ế ầ ậ k t lu n sai, nh các ví d sau: ư ế ụ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
ữ ố ở
ng ư ế ữ ố ườ
i. Trong tr ế ộ ố ứ ự ậ c l ượ ạ ệ
9ba
ứ ư ữ ố ab - Ví d 4ụ : Khi nghiên c u hi u c a m t s có 2 ch s tr lên v i s có ệ ủ ớ ố ợ cùng các ch s nh th nh ng vi ng h p t theo th t ế các s có 2 ch s , 3 ch s ta th y k t lu n là các hi u đó chia h t cho 9 và ố ế ấ ữ ố 99. C th là: ụ ể
99cba N y ra k t lu n quy n p là: ậ dcba
999 K t lu n này sai vì ch ng h n ta có:
abc - ế abcd - ậ
ả ạ
ẳ ạ
ế 2231-1322 = 909 không chia h t 999
2 2 +n c các s nguyên t
ố ậ
*Nn ˛
ư
ố
ư ế c s ượ ố ố ớ ố
t c các s có d ng nh th ( v i ớ ạ 1 ế ề ế ậ
2
=
n
*Nn ˛
ế Ví d 5ụ : Khi xét các s có d ng nhà toán h c Fecma nh n xét ạ ọ 1 r ng v i n = 1; 2; 3 ho c 4 thì thu đ . T đó ông đ a ra ớ ằ ượ ặ ố ừ ố thi t r ng t gi ố . ) là s nguyên t ấ ả ế ằ ả 232 + không ph i là s nguyên le đã ch ra r ng v i n = 5 ta đ Nh ng ả ằ ỉ ơ ư t ọ vì s đó chia h t cho 641. Đi u đó có nghĩa là k t lu n c a nhà toán h c ủ ố ố Fecma là sai l m.ầ
*Nn ˛
++ n 17 nS là s nguyên t . ố nS là s nguyên t T đó có th k t lu n là
v i các tr ng h p n = 1, 2, 3; Ví d 6ụ . Xét s ố v i ớ ớ ườ ợ
S n ố ể ế
v i m i s hay ...; 15 thì ta th y ấ ừ ậ ố ố ớ ọ ố
2
2
+
+
=
16
17
không?
*Nn ˛
16 , t c là k t lu n quy n p
16S không ph i làả là
V i n =16 thì ta đ ớ
=S 16 ạ
17 nS là s nguyên t ố
c s ượ ố ậ ế ố ứ do đó ố ớ v i m i s ọ ố
s nguyên t ố sai.
ng pháp quy n p toán h c. ạ ọ ươ
ư ậ ữ
i ta nghiên c u m t s h u h n các tr 2. Ph 2.1 Nh v y, quy n p không hoàn toàn ạ ườ ế
ườ ng ợ ng h p ườ t, quy n p không ạ ứ ư ể
ng d n đ n các k t qu sai. là m t trong nh ng con đ ộ đ d n đ n phát minh: ng ạ ộ ố ữ ể ẫ riêng đ tìm ra quy lu t t ng quát. Th nh ng, nh ta đã bi ậ ổ ế ư hoàn toàn th ế ườ ẫ
ế ả c quy lu t t ng quát mà ta đ a ra là đúng ế t đ V y làm th nào đ bi ế ể ế ượ ậ ổ ư ậ
ẽ ử ế
ta l ế ng h p ợ ặ ấ ví d 6: th đ n l n th 16 ). Và l y ử ế ầ ộ ườ ứ ế ụ
ể ả ư ở ữ ạ
i c th ti p, th ti p cho đ n khi nào g p m t tr ạ ứ ử ế ậ ả ằ ề ư ế
c g i là “ ph đ n,ắ ch ng l ẳ riêng mà k t lu n đó không đúng ( nh gì đ đ m b o r ng s l n th là h u h n. ố ầ ể ườ t đ ng pháp suy lu n đ c bi ệ ượ Trong nhi u tr ươ ữ ọ ươ ạ
ng h p đ tránh nh ng khó khăn nh th ta áp d ng ụ ng pháp quy n p toán ậ ạ ng pháp quy n p ươ
ặ
6
ử ợ m t ph ặ ộ h c”, cho phép thay th nh ng hình dung tìm tòi theo ph ế ữ ọ không hoàn toàn b ng s ch ng minh ch t ch . ẽ ự ứ ví d 2. ụ ằ Ví d 7ụ : Xét l
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
ạ ứ Phép quy n p và ph i công th c (1) ươ ạ ở ng pháp quy n p toán h c ọ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
2
=
++++=
n
n
2(
S n
)1 ứ
-
ả ử s ta đã ch ng minh đ ứ ứ ớ
+
13
8
2
ớ Gi ứ ố ạ ầ
7
2
2
2
2
97531 = +
7 +
=
7
8
ổ 11 = t r ng
)17(17.2 ứ
t ngay:
'
=
2k
S k
ớ n = k (nghĩa là ta có
'
531 ... c công th c đó v i n =7, khi ch ng minh ượ công th c này v i n = 8, ta không c n ph i tính t ng c a 7 s h ng đ u c a ủ ủ ả ầ +++++=S + 97531 15 t ng : ổ +++++=S + 11 13 mà ta đã bi ế ằ +=S =+ 15 7 8 do đó có th vi ể ế T ng quát, sau khi ch ng minh công th c trên v i ứ ổ ), ta ch ng minh nó v i ớ n = S
+= k = S
S
k
k
n
2
2
ứ
k =+
+
=
+ 1 +
k
2
)1
n
k
2' )
2
11 ==S
k ( ng pháp t ng quát này sau khi đã xét
b ng cách: ằ 1 + -+ (2( )1)1 =
(1 ổ
1
;
2
2
2
3
ứ Có th s d ng ph ể ử ụ nh ng vi c chuy n t ệ ể ừ ữ
ườ ợ
ể
*Nn ˛
ươ các đ ng th c khác : ẳ =+=S 31 2 =++=S 531 3 ề ữ ộ ề ổ ệ ng h p riêng c a phép tính. ; v...v là các tr ủ Khái quát nh ng đi u nói trên, chúng ta phát bi u quy t c t ng quát nh ắ ổ ớ ể ứ ớ
ư sau: Đ ch ng minh m t m nh đ t ng quát nào đó đúng v i đúng v i m i ọ s ố ỉ ầ
*Nk ˛
ề ệ , ta ch c n: ậ
) thì a) Xác l p m nh đ đúng v i b) Ch ng minh r ng n u m nh đ đúng v i ế ớ n =1 ề ệ ằ ớ n = k (
ứ m nh đ đúng v i ề ệ
ớ n = k+1. Tính h p pháp c a ph ể ủ ươ ư ế
ẽ ư ườ ứ ộ ợ ể
ứ
ấ ượ ằ ừ ộ ố ệ ặ ứ trên có th đ c r ng m nh đ t ng quát ệ ể ượ ở m t s m nh đ t ng quát khác, đ ậ ừ ượ ề ổ
ả
*Nn ˛
ợ
c coi là đã đ n ( ứ c ch ng ượ ệ ộ
) đ ượ c tho mãn: ả ượ ề
n = k nào đó nhiên ộ ố ự
ng pháp ch ng minh nh th là “hi n nhiên”. i ta Nh ng s “hi n nhiên” đó không ph i là m t ch ng minh ch t ch . Ng ả ự c ch ng minh đã ch ng minh đ ề ổ ứ c th a nh n là tiên đ . Tuy xu t phát t ề nhiên, b n thân các tiên đ này cũng không rõ ràng h n các nguyên lý quy n p ạ ơ ề mà chúng ta s trình bày d ạ i đây, và do đó chúng ta coi nguyên lý quy n p ướ ẽ toán h c này chính là tiên đ thì m c đ “ h p pháp ” cũng ngang nh th . ư ế ứ ộ ề ọ 2.2. Nguyên lý quy n p toán h c ọ : ạ M t m nh đ ph thu c vào ộ ề minh v i m i s ế ớ ệ ừ ự ự ắ ủ
ng pháp quy ụ ử ụ ươ
ụ ọ ố n n u 2 đi u ki n sau đ ệ ớ n = 1 a. M nh đ đúng v i ề b. T s đúng đ n c a m nh đ v i m t s t ệ ề ớ ắ ủ ớ n = k+1 thì suy ra s đúng đ n c a nó v i 2.3 Ví dụ: Sau đây chúng ta xét m t vài ví d s d ng ph ệ n p toán h c đ ch ng minh các m nh đ toán h c. ạ ọ ể ứ ộ ề ọ
7
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
Ví d 8ụ . Ch ng minh r ng: ứ ằ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
-=
-+
-+
-=
S
97531
-++ ...
n 2()1(
n
)1
n .)1( n
n
-
1
-=
1.)1(1
n
1
*Nk ˛
Gi iả :
(cid:222)= -= 1 S ớ n = 1 s r ng m nh đ đúng v i ề
a) Ta có v i ớ Do đó m nh đ đúng v i ệ ề ả ử ằ ớ n = k ( ứ ) t c là đã ch ng ứ
-+
-+
-=
97531
k 2()1(
k
)1
k .)1( k
k
+ 1
+ 1
k
k
minh đ -
-+
-+
-=
+
+
97531
)1(
)1(
k 2()1(
2(
)1
k
k
-++ ... ề -++ ...
+ 1
k
+ 1
k
-+
=
+
)1
S
+ 1
k
Ta s ch ng minh m nh đ cũng đúng v i ệ -+ - ệ b) Gi c r ng: ượ ằ -= S ẽ ứ S ớ n = k+1. Nghĩa là ph i ch ng ứ -= )1 )1 ả k .( minh:
)1( k
k 2( + k 1
S -=
-+
+
k )1(
k
)1(
2(
k
)1
k
-=
Th t v y, ta có: ậ ậ
()1(
k
2
k
)1
k
-=
- -
k
)1
()1( + 1
k
-=
+
(
k
)1
- -
-=
-=
-+
-+
n 2()1(
)1
n .)1( n
S
*Nn ˛
n
97531 ằ ứ
=
=
T đó theo nguyên lý quy n p toán h c ta có : ừ - ọ n v i m i . ớ ọ
1)...(
1(
)
1).(
*Nn ˛
S n
1 +
- - - " v i ớ
)1( ạ -++ ... Ví d 9ụ . Ch ng minh r ng : 1 2
1 3
n
=
1 n -=S 1
1
Gi iả : a) V i ớ n = 1 ta có
=
b) Gi ) t c là ta có ứ
1)...(
1).(
1(
)
S k
1 +
1
1
k
- - -
k ớ
=
Ta s ch ng minh m nh đ cũng đúng v i n = k+1 nghĩa là: ẽ ứ
)...( 1
1).(
1)(
1(
)
=+
S k
1
1 +
1 +
1 +
1 + 1 1 1 + 11 2 => m nh đ đúng v i ớ n = 1. ề ệ *Nk ˛ s m nh đ đúng v i n = k ( ớ ề ả ử ệ 1 1 = + 3 ề 1 3
1 2 ệ 1 2
2
1
k
k
k
2
- - - -
)
S
S
1.(
=+
k
k
1
2
=
=
.
1 +
1 +
k k
2
1
k
k
- Th t v y: ậ ậ
ừ ứ
ờ ệ ọ chúng ta s đ a ra m t s ví d áp d ng không đúng ộ ố c ch ng minh. ụ ề ượ ụ
1 + k + 1 + 2 T đó theo nguyên lý quy n p toán h c, m nh đ đ 2.4 Bây gi ng pháp quy n p toán h c.
8
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
ph ạ ẽ ư ọ ạ ươ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ạ
ả
nhiên Ví d 10ụ . Xét m nh đ : “ B t kỳ m t t p h p h u h n các s t ộ ậ ố ự ữ ạ ấ ợ
ệ ữ ề ố ằ
ợ ố ế ồ ứ
ề c a t p h p. : Ta ti n hành quy n p theo s ph n t ầ ử ủ ậ ằ ỗ ố
ề ợ
ka ;
. Theo gi ả
3a ;...; ế
thi t quy n p thì ta có : thi ầ c ch ng minh v i t p h p có k ph n ớ ậ 1+ka t quy ế 2a = 3a ạ
1+ka
nào cũng g m toàn nh ng s b ng nhau”. ạ ể ượ ầ ử 1a ; 1a = 2a =...= ka , cũng theo gi ;
đó t . ừ
ạ
2‡k
ề ể ừ k đ n ế k+1 v iớ ọ ở ỗ ỉ ậ ầ
c. ch ch có th chuy n t ể ừ n = 1 đ n ế n = 2 b ng suy lu n này đ ệ ể ằ ậ ượ ư
*Nk ˛
ằ
Ch ng minh a) V i n = 1, m nh đ là hi n nhiên : m i s luôn b ng chính nó. ớ ệ s m nh đ đã đ b) Gi ứ ả ử ệ 2a ; t . L y t p h p có k +1 ph n t ợ ử ấ ậ n p ta có ả ạ =...= ka = 1+ka 1a = 2a = 3a =...= ka = V y theo nguyên lý quy n p toán h c suy ra m nh đ trên đúng. ậ * Sai l m c a suy lu n trên là ủ ; nh ng không th chuy n t Ví d 11ụ . M i s t Ch ng minh ể ọ ố ự : Gi ; t c là ta có k nhiên đ u b ng s t ề s m nh đ đúng v i ề nhiên ti p sau nó. ế ố ự ớ n = k, v i ớ ứ ả ử ệ ứ
= k+1.
Ta s ch ng minh r ng khi đó m nh đ đúng v i ả ớ n = k+1; t c là ph i ứ ứ ệ ề ằ
ẽ ch ng minh ứ
thi k = k+1 => k+1 = k+1+1 => k+1 = ế t quy n p ta có ạ k+1 = k+2. gi ừ ả Th t v y, t ậ ậ
k+2.
*Nn ˛
ớ T đó theo nguyên lý quy n p toán h c, m nh đ trên luôn đúng v i ề ệ ạ ọ " ừ .
ầ ị
n = 1 Sai l m c a suy lu n trên là đã quên ki m tra đ nh lý có đúng khi ), do 2 ấ ậ ằ ể ệ
ủ không? Ta th y rõ ràng r ng khi đây ta không áp d ng đ đó c ph ở ươ ượ
ụ ạ ư
n ‡
1 „ n = 1 thì m nh đ không đúng ( vì ề c. ng pháp quy n p toán h c đ ạ ọ ượ ề ạ ằ h p c n ph i ch ng minh m t m nh đ nào đó đúng không ph i v i t ả ớ ấ ả ệ ợ ầ *Np ˛ s t ố ự d ướ ạ
ể ế ả ứ ộ p Đ k t thúc đo n này, chúng tôi l u ý các b n r ng trong nhi u tr ề ) thì nguyên lý quy n p đ ườ ng t c các c trình bày nhiên mà ch v i ( ỉ ớ ượ ạ
n
‡= k
p
i d ng sau: ế
b) T gi ề thi t m nh đ đúng v i các s t nhiên ta suy N u : a) M nh đ đúng v i ệ ừ ả ớ n = p; ề ố ự ớ
n ‡
p
ế ra m nh đ cũng đúng v i ệ ề
9
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
Thì khi đó m nh đ s đúng v i t t c các s t nhiên . ệ ớ n = k+1. ề ẽ ớ ấ ả ố ự ệ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ạ
ả
Ph n II. V n d ng vào vi c d y & h c toán ọ ầ
ậ ụ tr ở ườ ệ ạ ng ph thông. ổ
a. V n d ng phép quy n p hoàn toàn trong ch ng minh m t m nh đ toán h c ọ ộ ậ ụ ứ ạ ệ ề
ườ ượ ứ
M t k t qu t ng quát đ ả ổ ườ ộ ng h p c a m t ợ ủ ng h p, vét h t các kh năng có th x y ra thì k t qu đó ế c ch ng minh trong tong tr ể ả ế ả ả ợ
2 – 2( 2m –
ộ ế s h u h n các tr ạ ố ữ đ ứ ượ
c ch ng minh hoàn toàn. Ta xét m t s ví d : ụ ộ ố Ví d 1ụ . Đ ch ng minh m nh đ : “ Ph ề ể ứ ươ
ng trình ( m – 1 ) x ệ 1 ) x + 3m = 0 (1) luôn có nghi m v i m i giá tr c a tham s m. ” ị ủ ệ ộ ớ ố
Ta xét 2 tr ườ ng h p: ợ
1) V i m = 1, PT (1) tr thành -2x + 1 = 0; PT này có nghi m x =
1 2
. ệ ớ ở
'
ề ườ „ ng h p m = 1, m nh đ trên đúng. ệ ợ 1, PT (1) là PT b c hai có ậ D = ( 2m – 1 )2 –( m – 1 ).3m = m2 –m + 1 > 0 v i m i giá tr c a ị ủ ọ ớ
t. Nghĩa là trong tr ệ ệ ườ ng h p này, ợ
Nh v y trong tr ư ậ 2) V i m ớ m. Do đó PT ( 1) có hai nghi m phân bi PT
ng h p trên ta đã xét h t các kh năng có th có c a m. ợ ườ ủ ể ả
ậ ế ị ủ ệ ố ọ ớ
ộ ế ề
ấ ủ ủ ng tròn, s đo c a góc n i ti p b ng n a s đo c a ộ ế ộ ườ ử ố ủ ằ
( Trang 73 – SGK Toán 9 – T p II ).
(1) cũng có nghi m.ệ Rõ ràng hai tr V y PT (1) có nghi m v i m i giá tr c a tham s m. Ví d 2ụ . Đ ch ng minh đ nh lý v tính ch t c a góc n i ti p: ị ể ứ “ Trong m t đ ố cung b ch n ”. ị ắ ậ Đ ch ng minh đinh lý này, ta đã xét 3 tr Tr ườ ng tròn n m trên m t c nh c a góc. Tâm đ ng h p: ợ ộ ạ ể ứ ườ ng h p 1, ợ ườ ủ ằ
10
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
Tr Tâm đ ng tròn n m bên trong góc. ườ ng h p 2. ợ ườ ằ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
ng tròn n m bên ngoài góc. ườ ằ
c ch ng minh trong trong tr ng h p 3. ợ ượ Tâm đ ứ ể ợ ị
c ch ng minh hoàn toàn vì 3 tr ườ ng h p thì ta có th nói là đ nh ườ ng h p trên đã vét h t các kh năng ế ợ ả
Tr ườ Đ nh lý đ ị lý đã đ ứ ượ co th x y ra. ể ả
ươ ọ ạ
b. V n d ng ph ậ ụ đ ch ng minh m t m nh đ toán h c ọ ộ ể ứ ng pháp quy n p toán h c ề ệ
1. Phát hi n quy lu t và ch ng minh quy lu t đó. ứ ệ ậ ậ
ầ ụ ề ệ ớ ộ
ướ phát hi n ra các quy lu t ( ví d 2, ví d 3). c, chúng ta đã làm quen v i m t vài ví d v vi c tìm tòi ậ ụ ụ
ư ệ
++++=
321
...
n
S n
quy lu t, chúng ta s d ng nguyên lý quy n p đ ch ng minh. các ph n tr ở ệ Sau đây chúng tôi đ a thêm vài bài khác, trong đó, sau khi phát hi n ra ạ ậ ể ứ ử ụ
1
Bài toán 1. Tính t ng ổ Gi iả :
==+=S 21
3
2
==++=S 321
6
3
==+++=S 4321
3
4
+ )12(2 2 + )13(3 2 + )14(4 2
)1
=
S n
Xét * Tìm tòi : + )11.(1 ==S 1 2
( + nn 2
: * D đoán ự
=S
1
* Ch ng minh d đoán : ự ứ
+ )11.(1 2
a) V i n = 1 ta có ớ
)1
=
*Nk ˛
S k
=> d đoán đúng. ự
.( + kk 2
b) Gi s v i trong đó b t kỳ. ả ử ớ n = k ta có ấ
11
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
Ta ph i ch ng minh v i ứ ớ n = k+1 thì ả
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
+
+
(
k
)2
k
=+
S k
1
+
)1
+
+
=
S
S
(
k
)1
++ k
1
).(1 2 =+
1
k
k
kk ( 2
++
+
+
+
kk (
k
)1
(
k
k
)2
=
=+
S k
1
(2)1 2
)(1 2
)1
=
Th t v y, ta có ậ ậ
*Nn ˛
S n
( + nn 2
" T đó theo nguyên lý quy n p toán h c ta có . ừ ạ ọ v i ớ
t c là d đoán c a chúng ta đúng. ủ ứ ự
2
2
2
n
1
2
+
=
2
-++ ...
)1(
n .
n
- - - Bài toán 2: Tìm công th c tính t ng : S 4 ổ 3 ứ 2 1
Gi iả :
-==
=S
2 1
0 .)1(1
1
* Tìm tòi:
+ )11(1 2
2
-=
-=
v i n = 1 ta có ớ
=S
2 1
2
3
1 .)1(
2
2
2
+
- v i n = 2 ta có ớ
=S
2 1
2
3
-== 6
2 .)1(
3
+ )21(2 2 + )13(3 2
2
2
2
+
-=
-=
- v i n = 3 ta có ớ
=S
2 1
2
3
4
10
3 .)1(
3
+ )14(4 2
+
- - v i n = 4 ta có ớ
)1
n
1
-=
S
)1(
.
*Nn ˛
n
nn ( 2
- " * D đoán : ự v i ớ
ự
+
)1
k
1
-=
S
)1(
.
*Nk ˛
k
kk ( 2 +
+
k
)3
(
k
S
k .)1(
-=+
k
1
* Ch ng minh d đoán : a) V i n = 1 m nh đ đúng. ứ ớ ệ ề - b) Gi s v i n = k ( ) ta có: ả ử ớ
)(1 2
ta ph i ch ng minh v i n = k+1 thì: ứ ả ớ
+
+
+
)1
(
k
k
)3
2
2
=
+
+
=
+
+
=
S
S
(
k
)1
(
k
)1
+ 1
k
k
kk ( 2
).(1 2
+
+
Th t v t, ta có: ậ ậ thì: + V i k l ớ ẻ
(
k
k
)3
k
1
-=
)1(
.
)(1 2
-
12
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
+ V i k ch n thì: ẵ ớ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
+
+
+
)1
(
k
k
)3
2
2
=
+
-=
+
-=
S
S
(
k
)1
(
k
)1
+ 1
k
k
kk ( 2
).(1 2
+
+
- -
(
k
k
)3
k
1
-=
)1(
.
)(1 2
+
-
)1
k
1
-=
S
)1(
.
*Nk ˛
k
kk ( 2
- " T đó v i ta có ừ ớ
+
)1
n
1
S
)1(
.
" n
1‡
n
nn ( 2
V y theo nguyên lý quy n p toán h c thì: ạ ọ - ậ -= v i ớ
t c là d đoán c a chúng ta đúng. ủ ứ ự
1‡n
2. V n d ng vào gi i toán chia h t : ậ ụ ả ế
n
4(
n
n
nhiên , ta có: ứ ọ ố ự - ớ 9)1
27)28
10(
18
n
ằ + 15 + - Bài toán 3. Ch ng minh r ng v i m i s t a) b)
n
+
n
)1
15 +
41
S n + V i n = 1 =>
= 4( =S 1 ớ
*Nk ˛
11.15 => v i n = 1, m nh đ đúng. ệ m nh đ đúng v i n = k (
Gi iả : - a) Đ t ặ - ớ
= 918 ề ớ
=
4( k
k
) nghĩa là ta có ề ệ -
+
=
+
4
k
(91
Nmm
)
4
9
m
15
k
1
S k hay 15 v i n = k+1 ta có : ớ
=
+
-+
k
1)1
k
+ k 4 1 +
(15 +
S =
=
+
+ Gi s ả ử + k 9)1 k 15 = ˛ - - => (*)
+ k 1 4.4 9(4
k
m
14
15
k 15 15 k
=
-
4.(9 km 5 ề
n
=
+
4
15
n
- 91
n
-
n
18
14 ++ )1 + 9)2 t c là v i n = k+1 thì m nh đ cũng đúng. ệ ứ S V y theo nguyên lý quy n p ta có: + = 10 =S
1
270 s v i n = k ta có
S n + V i n = 1 => ớ + Gi ả ử ớ
ớ ậ - b) Đ t ặ
13
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
ạ n 28 => m nh đ đúng ề ệ 27kS t c là ứ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
k
+
10
28
27
k
=
k 18 +
-
10
18
k
28
Zmm
(
)
k
=
27 +
˛ - (cid:219)
10
27
m
18
k
28
(*)
- (cid:219)
=
+
(18
k
-+ )1
28
S =
+ k 10 1 + k
Xét :
+ k 1 10.10
18
k
=
10 +
+
-
27(10
m
18
18
k
10
k +
- -
)28 27)10
m
k
10(27 ệ
-
n
*
=
= 6 nghĩa là v i ớ n = k +1, m nh đ cũng đúng. ề theo nguyên 27)28
Nn
10(
S
n
3
4
2
=
+
lý quy n p toán h c ta đ ạ ọ ượ c: ˛ " - V y ậ + n 18
n 11
n
n
(
*Nn ˛
Pn
" Bài toán 4. Ch ng minh r ng: ằ ứ + + n 24)6 6 v i ớ
Gi iả :
4
2
3
+
=
+
+
ề
( 4
3
k +
6 k +
11 k +
k 24)6 + + 2
+
)1
(11
k
)1
(6
k
24)1
3
2
4
Pk +
+
k (6 + 3
k
k
(
24
k 6)11
)11 k 1 +kP
s v i * a) Khi n = 1 m nh đ đúng. Pk b) Gi + (*)
=+ 1 (4)1 k (24 thì ta s có ẽ
S k
=
+
1
612 + 3
=
6kS => m 11 6
m
1.11 S m
ẽ ứ Vì ế
61 +mS
ệ ả ử ớ n = k ta có : )1 k ( ớ n = k+1 thì: ta s ch ng minh v i + ++ =+ + 2 k 11 Pk k k )6 6 1 k + ( 3 nên n u ch ng minh đ c ượ ứ = 3 + k 11 k *Xét =S 13 a) v i ớ k = 1 ta có b) Gi s v i ta s ch ng minh v i ả ử ớ k = m ta có ẽ ứ ớ k = m+1
3
3
+
=
+
+
+
+
m
)1
m
11
mm (3
3
thì
12 (11 m )1 ( do m t trong 2 s ố m và m+1 là 2 s t ộ +mm 2)1
(
nhiên ố ự
+ + )1 ( m +mm (3 6)1 ộ ố ẵ
61 +mS
=+ S m 1 vì 612 ; liên ti p ph i có m t s ch n nên
)
" ạ ọ v i ớ
6kS ạ
*Nk ˛ ọ
2
3
+
+
(
n 24)6
n 11
n
6
1 +kP 24 = Pn
Th t v y, ậ ậ m + ; m 6 11 ả ế T đó ừ Theo nguyên lý quy n p toán h c thì V y ậ ứ + , t c là theo nguyên lý quy n p toán h c ta có : 4 n
3. V n d ng vào vi c ch ng minh đ ng nh t th c. ứ ấ ứ ậ ụ ồ ệ
14
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
Bài toán 5. Ch ng minh r ng: ứ ằ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
+ 1
n
x
1
2
3
n
++=
+
=
1„x
S
1
x
x
x
++ ...
x
n
x
1
2
- . (1) v i m i giá tr c a ọ ị ủ ớ -
=+=
1„x
1
S
x
1
x x
1 1 do đó đ ng th c (1) đúng v i n = 1.
- Gi iả : a) Ta có v i ớ -
+ 1
k
x
1
2
3
k
++=
+
=
S
1
x
x
x
++ ...
x
k
x
1
ứ ẳ ớ - b) gi s ta đã có (2) ả ử -
+
2
k
x
1
2
3
k
+ 1
k
++=
+
+
=
S
1
x
x
x
++ ...
x
x
+ 1
k
x
1
+ 1
k
=
+
S
x
S
k
+ 1
k
ta s ch ng minh khi đó : ẽ ứ - (3) -
+ 1
k
x
1
+ 1
k
+
=
x
Th t v y, ta có ậ ậ -
1
x + k
2
-
x
1
=
-
x
1
-
*Nn ˛
1„x
" Do đó theo nguyên lý quy n p thì đ ng th c (1) luôn đúng v i ; ứ ạ ẳ ớ
.
ứ ằ ớ ấ ả ồ t c các giá tr có th có c a x, đ ng ủ ể ị
+
1
2
2
2
n
n
2
n
2
=
+
=
nh t th c sau luôn đúng: Bài toán 6. Ch ng minh r ng v i t ứ ắ
S
(
x
)
(
x
)
++ ...
(
x
)
.(
x
2)
n
1
n
2
n
1 x
1 n x
- - - - - - (1) -
1 2 x 0„x
„x
1–
.
và
1 2 x ứ
4
2
" Gi , ả ớ
x iả : Ta ph i ch ng minh (1) đúng v i =
=
S
(
x
(
x
)
3)
1
1 2
1 x
x
1
1 *Nn ˛ 1 2 x
- - - a) V i ớ n = 1 => đúng => v i n=1 thì (1) ớ -
đúng.
+
2
2
2
k
k
2
k
2
ả ử ớ n = k thì (1) đúng, nghĩa là:
=
S
)
(
x
(
x
)
++ ...
(
x
)
.(
x
2)
k
1
k
1 2
k
1 k x
x
1
1 2 x
1 2 x
b) Gi = s v i + - - - - - - . -
1 x ẽ ứ
2
2
2
k
2
+ 1
k
2
=
+
+
Ta s ch ng minh khi đó:
S
(
x
)
(
x
)
++ ...
(
x
)
(
x
)
+ 1
k
1 + k 1
1 x
1 k x
x
1 2 x
+
2
k
4
=
-+
- - - -
.(
x
(2)
k
1)1
1 2
1 + k 2
2
x
1
x
+ 1
k
2
=
+
- - -
S
S
(
x
)
+ 1
k
k
1 + k 1
x
15
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
- Th t v y ta có: ậ ậ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ạ
ả
2
k
+ 1
+ 1
k
2
=
.(
x
2)
k
+ (1
x
)
1 + k 1
1 2
k
x
+
+
2
4
2
4
k
4
4
k
1 4
1 2 x + k
6
+
+
- - - - -
x
x
1
x x
-+
=
(2
k
1)1
x 2
x + k 2
2
(
x
+
1
2
k
4
=
+
- - - - -
.(
x
(2)
k
1)1
S
+ 1
k
2
x ).1 1 + k 2
2
x
1
x
- - - => -
t c là (1) đúng v i n = k+1. ứ ớ
0„x
1–
„x
.
ứ ấ ạ ồ " , v i ớ
+ 1
n
10
n
10
=
S
+= 3
33
++ ...
333
3...
n
nchuso
2
V y theo nguyên lý quy n p toán h c thì đ ng nh t th c (1) luôn đúng ọ ậ *Nn ˛ và Bài toán 7. Ch ng minh r ng : ứ ằ - - (1)
10
10
=
==S 3
3
1
9 27 1.9 27
- - Gi iả : a) V i ớ n = 1 ta có
+
1
k
=> công th c (1) đúng v i ớ n = 1. ứ
10
10
k
+
+
=
S
+= 3
33
...
333
3...
k
kchuso
9 27
+ 1
k
- - b) Gi s (2) ả ử
10
k
10
+
=
S
+= 3
33
++ ...
333
3...
+ 1
k
kchuso
333 3... + k chuso 1
9 27
- - ta có (2)
k
+ 1
k
= + S 333 + k ( )1 3... chuso
2
k
1
+ 1
k
+ 1
k
- - - 10 10 k + + + + = 1(3 10 10 ++ ... 10 )1
+
- - - k 10 10 10 1 = + .3
2
k
9 27 9 27 + k 1 + - - - 10.10 )9 10 -+ )1 10 9 10 = = k 9( 27 k (9 27
+ 1
n
Do đó theo nguyên lý quy n p toán h c ta có:
10
=
S
+= 3
33
++ ...
333
3...
n
nchuso
9 27
- - ạ 10 ọ n
n
4. V n d ng vào ch ng minh b t đ ng th c : ậ ụ ấ ẳ ứ ứ
+
nNn
;
3
2
> n 2
1
‡ ˛ " . ằ v i ớ
16
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
Bài toán 8 . Ch ng minh r ng ứ Gi iả :
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
k
> + 23 13.2 > k + (2) 2 1
2
ta có
ả ta ph i ch ng minh ứ
++
a) Khi n = 3 b t đ ng th c (1) đúng vì n b) Gi ++ 1)1 > k Th t v y ta có (áp d ng (2)) ụ ậ ậ
1)1 )1
- ứ 3‡= k (3) 2.(2 k + k 2(
Nk
;3
k
˛ ‡ " ) v i ớ
n
nNn
;
3
2
+ 1 *Nn ˛
ứ ‡ ˛ " . ậ ọ " v i ớ : ấ ẳ s r ng v i ả ử ằ ớ >+ k 2 1 (2 k =+ 2 1 k 2.2 = + k 2( )3 > + k 2 .3 -k > 01 2 (vì => b t đ ng th c (3) đúng. ấ ẳ ạ ấ ẳ
> n V y theo nguyên lý quy n p toán h c thì: 2 Bài toán 9: Ch ng minh b t đ ng th c sau v i ớ
>
+
+
++ ...
1
ứ
1 +
1
2
n
n
3
(1) ứ 1 +
ứ ổ
>
1
ẫ ố ạ ấ ẳ ố ứ
1 + n ủ ấ ẳ ế 1 6
1 ++++++ 7
1 8
1 9
vì n +1 = 3+1 = 4; 3n+1 = 3.3+1 = 10). ụ ớ 1 10
1 + n 1 3 (v trái c a b t đ ng th c (1) là t ng c a các phân s mà m u s tăng liên ủ ế n+1 đ n 3n+1; ví d v i n = 3 thì b t đ ng th c (1) có d ng: ti p t ế ừ 1 4 Gi
1 5 iả :
>
.1
1 2
1 ++ 3
1 4
=
+
+
>
++ ...
1
S k
a) Khi n = 1 ta có b t đ ng th c đúng : ấ ẳ ứ
1 +
1 +
1 +
k
1
k
k
3
1 + k 3
1
2
b) Gi s v i ả ử ớ n = k ta có:
+
>
++ ...
1
=+
S k
1
(2)
1 +
1 +
k
2
k
3
1 ++ 1)1
(3
k
Ta s ch ng minh v i ẽ ứ ớ n = k+1 thì có:
+
+
+
+
(3)
(
++ ...
)
(
)
S k
1
1 +
1 +
1 +
1 +
k
1
k
3
1 + k 3
1
k 3
2
k 3
3
k 3
4
1
k
=
+
>
1
S k
+
2 +
+
(3
k 3)(2
)4
1>
kS
k k 3)(1 => (3) đúng.
- Th t v y ta có : ậ ậ 1 1 =+ + +
=
+
+
>
do theo (2) : V y theo nguyên lý quy n p toán h c thì: ậ
++ ...
1
*Nn ˛
S n
1 +
1 +
n
1
n
2
n
3
1
" . v i ớ ạ 1 + ọ 1 + n 3
17
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
5. V n d ng vào các bài toán hình h c ọ ậ ụ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
Bài toán 9: Ch ng minh r ng n đ ườ ứ ằ ặ ng th ng khác nhau trên m t m t ộ
ẳ ph ng đi qua m t đi m chia m t ph ng ra 2n ph n. ể ẳ ặ ầ
ẳ iả :* V i n = 1 thì m nh đ kh ng đ nh là đúng, vì 1 đ ề ộ ớ ệ ẳ ị ườ ng th ng chia ẳ
m t ph ng ra 2 ph n. ặ Gi ẳ
ầ s m nh đ đúng v i n = k nào đó, nghĩa là v i k đ * Gi ả ử ệ ề ớ ớ ườ ng
th ngẳ
ộ ẳ ặ ể ầ
ể ứ ườ
ế ườ ứ ự ể
ng th ng nào thì s t o thêm 2 ph n n a c a m t ph ng; và nh ầ ữ ủ ẳ
ng th ng, ta ẳ ớ ng th ng th k + 1, đi qua đi m đã cho và không ư ặ ng th ng khác nhau cùng đi qua 1 ẳ ẽ ạ ở ườ ạ ẳ
khác nhau cùng đi qua m t đi m chia m t ph ng thành 2k ph n. Đ ch ng minh m nh đ cũng đúng v i k + 1 đ ề ệ nh n xét r ng n u d ng đ ằ ậ trùng v i đ ẳ ớ ườ v y s ph n m t ph ng t o b i k + 1 đ ậ ố ẳ ặ ầ đi m là 2k + 2 = ể 2 ( k + 1 ).
Theo nguyên lý quy n p toán h c thì m nh đ đúng v i m i s t ọ ọ ố ự ề ệ ạ ớ
nhiên n khác 0.
ứ ấ
các ph n đó có th ghép l ể ắ Bài toán 10: Cho n hình vuông b t kỳ. Ch ng minh r ng ta có th c t i thành m t hình ầ ộ ố ể ừ ằ ạ ể ầ ộ
chúng ra thành m t s ph n đ t vuông m i.ớ
Gi ề
ể ượ c m nh đ cũng đúng. ề ệ
s m nh đ đúng v i n = k, nghĩa là t k hình vuông, ta có iả : * V i n = 1 thì m nh đ là hi n nhiên. ệ ứ ề ừ
ớ * V i n = 2 ta ch ng minh đ ớ * Gi ớ ả ử ệ thể
ộ
ấ ố
t quy n p, t ộ thi ế ừ ả ạ
1, V2, …, Vk-1, Vk, c t và ghép thành m t hình vuông. Xét k + 1 hình vuông: V ắ Vk+1. Ta l y ra 2 hình vuông b t kỳ trong s k + 1 hình vuông này, ch ng h n ạ ẳ ấ ẽ Vk, Vk+1. Theo trên ta có th c t và ghép thành m t hình vuông V’; do đó ta s ể ắ có k hình vuông V1, V2, …, Vk-1, V’. Theo gi k hình vuông này ta có th c t và ghép l ể ắ ệ
ạ ộ ớ
i thành m t hình vuông m i. V y m nh đ đúng v i n = k + 1. Theo nguyên lý quy n p toán h c thì ớ ạ ọ
ề m nh đ đúng v i n hình vuông b t kỳ. ậ ề ệ ấ ớ
‡ ằ ặ
Bài toán 11: Trong m t ph ng cho n ấ ả ng th ng. Ch ng minh r ng t ứ ẳ ằ ể ố
m t đ ẳ các đi m đã cho t o ra s đ t c không n m trên 3 đi m, t ấ ả ể ng th ng n i 2 đi m trong ườ ẳ ỏ ơ
t c các đ ng th ng không nh h n n. ẳ iả : * V i n = 3, m nh đ hi n nhiên đúng: v i 3 đi m không th ng ớ ố ườ ệ ẳ ề ể ạ ớ
ể ng th ng khác nhau. ộ ườ ể Gi hàng, n i t ng đôi l ố ừ ườ ‡ 3 đi m. Ta ch ng minh nó ẳ ạ ạ ớ s m nh đ đúng v i n = k ả ử ệ i v i nhau t o ra 3 đ ớ ề ứ ể
18
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
* Gi cũng
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ạ
ả
ng th ng ch ch a 2 ộ ườ ứ ẳ ỉ ấ ấ ậ
1, A2, ,,,,; Ak+1 , Ak cùng n m trên m t đ
ạ
ng ộ ườ ằ đúng v i k + 1 đi m. Ta nh n th y có ít nh t m t đ ể ớ k và Ak+1 ch ng h n. đi m Aể ẳ ể ế
ng th ng s là k + 1 ( đó là k + N u các đi m A ườ ẳ ẳ
ng th ng n i A ạ ẳ k+1 v i n đi m A ố ườ 1, A2, ….,; Ak-1, Ak và đ th ng ( là đ ẳ đ ẳ ườ ớ ng th ng d ch ng h n ) thì s đ ể ố
ằ
ng th ng khác nhau t ẳ ẳ
ườ ớ ể ẳ
ẽ ng th ng d ). ẳ ườ 1, A2,…; Ak-1, Ak không cùng n m trên m t đ + N u Aế ộ ườ t quy n p ta có k đ thi ừ ạ ế ả ng th ng n i A ườ ứ
k+1+ v i các đi m A
ng k đi m này; ể 1, A2, ; …; Ak-1, Ak , do 1, A2, ; …; Ak-1 1, A2, ể ớ ể ẳ ườ
k+1 v i các đi m A kAk+1 không ch a m t đi m nào trong các đi m A ể ng th ng n i A ố ỏ ơ
ng th ng t o cũng không nh h n k + 1. ố ộ kAk+1 khác các đ ườ ẳ ạ th ng thì theo gi Ngoài ra ta có các đ ng th ng A đ ẳ ườ ng th ng A nên đ ẳ …; Ak-1. T đó s đ ừ
ạ V y m nh đ cũng đúng v i n = k + 1. Theo nguyên lý quy n p ề ‡ toán h c thì m nh đ đúng v i m i n ớ 3. ọ ọ ớ ố ườ ệ ề ậ ệ
Bài toán 12: Ch ng minh r ng t ng các góc trong c a m t n-giác l ổ ủ ứ ằ ộ ồ i
0. b ng ( n – 2 ) 180 ằ ớ
Gi ủ iả : * V i n = 3, m nh đ hi n nhiên đúng: T ng các góc trong c a ệ ổ
ề ể 0 = 1800. ộ
ứ ớ
ể
ậ ế ố ạ ộ ộ
ề
ả ứ ươ ủ
ỏ ơ ng ng b ng ( m – 1 ).180 ổ ủ ủ ằ
ổ ằ
m t tam giác b ng ( 3 – 2 ).180 ằ s m nh đ đúng t * Gi t c k-giác, v i k < n. Ta ch ng minh nó ả ử ệ ề ấ ả cũng đúng v i m i n – giác.Ta nh n th y m t n – giác có th chia thành 2 đa ấ ớ ọ ố ạ giác b i m t đ ng chéo, n u s c nh c a m t đa giác đó là m + 1 thì s c nh ủ ộ ườ ở c a đa giác kia là n – m + 1 và c 2 s đó đ u nh h n n. Do đó t ng các góc ổ ố ủ 0 và ( n – m - 1 ) .1800. trong c a các đa giác đó t ằ Khi đó t ng các góc c a n – giác b ng t ng các góc trong c a các đa giác đó, t c là b ng: ứ ( m – 1 + n – m - 1 ).1800 = ( n – 2 ) .1800. ‡ V y theo nguyên lý quy n p toán h c thì m nh đ đúng v i m i n 3. ề ệ ậ ạ ớ ọ ọ
C. có th có cách khác hay h n không ? ơ ể
M t k t lu n đ ươ ằ
ọ ng pháp quy n p toán h c, ng pháp khác nào đó, ng n g n h n, hay c ch ng minh b ng ph ươ ạ ọ ắ ơ ứ ộ
ậ thì có th ch ng minh b ng m t ph h n ph ọ ượ ằ ng pháp quy n p toán h c. ạ ơ
19
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
ộ ế ể ứ ươ Ta hãy xét m t vài ví d : ụ ộ trên: 1) Xét l i bài toán 7 ạ ở
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ạ
ả
+ 1
n
+
10
n
10
=
S
+= 3
33
++ ...
n
9 27
333 3... n
- Ch ng minh : ứ
2
n
=
+++
=
++-
Gi iả :
S
9(
99
...
999
)9...
10(
+- 1
10
...
1
10
)1
n
1 3
1 3
n
+ 1
-
10
1
2
n
=
+
ø Ø - - -
[ 1(
++ 10
10
++ ...
10
)
] =+ )1
(
n
(
n
)1
1 3
1 3
10
1
n
+ 1
n
+ 1
œ Œ - ß º
10
n
10
10
10
n
=
9 9
9 27
1 (cid:215)= 3 -> đpcm.
=
++ ...
S n
- - - -
1 2
1 += 3
1 15
n + n
2
1
4
n
1
k
;
k
1
2) Ch ng minh: . ứ - ‡ Z ˛ Gi iả : Xét v i ớ
=
(
)
1 2
+
1 k
2
1
1 + k
2
1
2(
1 2)(1
4
k
có: = - - - -
=
=
1
(cid:246) (cid:230) - (cid:247) (cid:231) T đó v i ớ k = 1, ta có: ừ - ł Ł
=
=
k 1 2 1.4 1 2 2.4
1
(cid:246) (cid:230) - (cid:247) (cid:231) k = 2, ta có: - ł Ł
=
=
1 1 3 1 15 1 35
k 1 2 1 2 1 2
)1 1 1 1 3 1 5
1 2 1 3 1 5 1 7
1 2 3.4
1
(cid:246) (cid:230) - (cid:247) (cid:231) k = 3: - ł Ł
=
1 2
1 2
1 + n
2
1
1
………………….. (cid:246) (cid:230) - (cid:247) (cid:231) k = n: - - ł Ł
.4 n ớ
1 n 2 ượ
=
++ ...
S n
C ng các đ ng th c này v i nhau, ta đ ứ ẳ ộ
1 c: 1 2
1 += 3
1 15
n + n
2
1
4
n
1
. -
=
+
=
++ ...
S n
-> đpcm.
+
1 4.1
1 5.4
n 3(
1 n 3)(2
)1
n + n 3
1
3) Ch ng minh r ng ứ ằ -
k
;
k
1
1
=
‡ Z ˛ Gi iả : Xét v i ớ
(
)
+
k 3(
1 3
)1
k 3
2
1 + k 3
1
- - - có: 1 k 3)(2
=
1 4.1
1 3
1 1
1 4
20
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
(cid:246) (cid:230) - (cid:247) (cid:231) T đó: v i ớ k = 1, ta có: ừ ł Ł
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ạ
ả
=
(cid:246) (cid:230) - (cid:247) (cid:231) k = 2, ta có: ł Ł
=
1 7.4 1 10.7
1 3 1 3
1 4 1 7
1 7 1 10
(cid:246) (cid:230) - (cid:247) (cid:231) k = 3: ta có: ł Ł
=
+
1 n 3
)1
2
1 3 ớ
……………… (cid:246) (cid:230) - (cid:247) (cid:231) k = n: - - ł Ł
n 3( ẳ +
=
=
S n
ộ
+
1 1 + n 3).(2 n 3 1 C ng các đ ng th c này v i nhau, ta đ c: ượ ứ n ++ ... + n 3
1 n 3)(2
1 5.4
1 4.1
n 3(
)1
1
. -
ọ
ng pháp quy n p toán h c là ph ươ ạ i đ ả ượ ươ ộ ộ ớ ể ạ
ạ ố ố ọ ư ọ ỉ
-> đpcm. ề ư Tuy nhiên, ph ng pháp có nhi u u c m t l p các bài toán thu c các d ng khác nhau, đi m n i tr i vì nó gi ổ ộ trong c các phân môn S h c, Đ i s và Hình h c nh đã ch ra trong các ả ph n trên. ầ
D. b xung: M t s d ng nguyên lý quy n p toán h c ọ
ộ ố ạ
ổ
ạ
Chúng ta xét m t s d ng nguyên lý quy n p khác, đ
ộ ố ạ
ạ
ạ
ượ ể
ọ
ị
ị
ng và dãy các m nh đ P(1); P(2); …; Đ nh lý 2.
ể ướ i c phát bi u d d ng cácc đ nh lý 2 và đ nh lý 3. Sau m i đ nh lý chúng tôi tuy n ch n m t s bài ộ ố ỗ ị toán minh ho . ạ ị
Cho p là s nguyên d ố ươ ề ệ
P(n); …
ế ệ ‡ ữ nhiên k ề ệ p các m nh đ P(k-p+1); P(k- ề
p+2); …; P(k) dúng, suy ra m nh đ P(k+1) cũng đúng
N u: A) P(1); P(2); …; P(p) là nh ng m nh đ đúng và B) V i m i s t ỗ ố ự ớ ề ệ Thì m nh đ P(n) đúng v i m i s nguyên d ề ệ ớ ươ
ng n. i nh đ nh lí 1.1. Sau đây ta xét Ch ng minh đ nh lí này hoàn toàn l p l ọ ố ặ ạ ư ị ứ ị
=
=
v
3
v ,2 1
0
m t s ví d s d ng d ng đ nh lí 2.1. ạ ị ụ ử ụ
=
v
1
k
k
k
nv
nhiên k có đ ng th c nh ẳ ư ứ - ớ = n - ỗ ố ự 1 sau ằ
+ 1 Gi
ộ ố Bài toán 2.1 Cho 2 v ứ ướ ơ ở và v i m i s t 2 + 3 v ệ i: ả B c c s : V i n=0 và n=1 k t lu n bài toán đúng, do đi u ki n ế ch ng minh r ng ớ ề ậ
k
=
+
=
+
k 2 1
;1
v
2
1
k
k
2(3
v k 1 + 1
+ 1
21
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
- - khi đó - bài đã cho. ướ = B c quy n p: Gi s r ng ạ ả ử ằ + -+ + = k k 1 1 kv 2(2)1 )1 2
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
= n
2 +
1
nv
đúng ạ ạ ọ ị
2
+
=
nhiên n. Theo nguyên lí quy n p toán h c d ng đ nh lí 2.1, suy ra ọ ố ự v i m i s t ớ
27
0
x
+
2x là nghi m c a ph ệ S
- Bài toán 2.2 Cho
n
1x và nhiên b t kì. Ch ng minh r ng t ng ứ
14 ế
ng trình ươ = n n x x 1 2 ; n x không chia h t cho ủ ổ ấ ằ ố ự
+
=
=
14
xx 21 2
=
x =
là s t 715.
;27 +
)
x
2
x 1 S
2
xx 21
2
=
S 1 =
)
x
.27
2
2 ( x 1 ề
701 ệ đ u không chia h t cho 715. Suy ra m nh
. = - và - ế
+ 1
+ 1
1
1
+
x
x
)
(
)
k 2
1
1
1
2
2
1
+
+
B - - ớ + - - - - - - -
]
2 )(
k 2 x
k 2 x
x
x
x
(
)
(
)
(
)
k xxx 1 21
k 2
k 2
k 2
2
2
2
2
1
1
+
=
k x 1 (378
x
)
k x 1
k 2
- - - - - - - - ề k xxx 1 21 k xxx 1 21 )
x 1 k x (715 1 + + k k 1 x x 1 2 nói cách khác m nh đ đúng v i n=k+1.
Do đó ế ế
ệ ớ
n
n
2
n
4
+
+
+
+
+
x
x
x
++ ...
n
1
4
1 n
2
x
1 n x
x
+
x
2
Bài toán 2.3 Ch ng minh v i m i s th c x > 0 và m i s t i:ả Theo công th c Viet Gi ứ B c c s ướ ơ ở: Các s ố ;7 2 ] [ + + S x x x () 687 ( xx 3 1 1 2 3 21 đ c a bài toán đúng v i n=1, 2, 3. ề ủ ớ c quy n p ạ : Gi s m nh đ đúng v i n=k-2, n=k-1, n=k ta tính ả ử ệ ướ = + + k k x x x x x ( )( 1 1 1 [ = + + x () 1 + k x 2 + 1 không chia h t cho 715, vì 378 không chia h t cho 715, ề ứ ọ ố ự ớ ấ nhiên n b t - - ‡ - - đ ng th c sau đúng ẳ ứ ọ ố ự 1 n
2 ‡
1 ‡ x -x (
0
Gi (2.2) i: ả 1a) V i n=1 b t đ ng th c (2.1) có d ng ấ ẳ ứ ạ ớ
2
b t đ ng th c (2.2) suy ra t ấ ẳ ứ ừ ấ ẳ b t đ ng th c hi n nhiên: ứ ể
x
++ 1
3
)1 1 2 x
‡ 1b) V i n=2 b t đ ng th c (2.1) có d ng (2.3) ấ ẳ ứ ạ ớ
2.
2
+
B t đ ng th c (2.2) đúng v i m i giá tr x > 0 nên nó cũng đúng cho x ấ ẳ ứ ớ ọ ị
x
2
‡ Do đó ta có đó suy ra (2.3). ; t ừ
1 2 x ả ử ấ ẳ
k
k
2
k
4
+
+
+
+
x
x
x
k
1
2
1 k
4
x
1 k x
x
2) Gi s b t đ ng th c (2.1) đúng v i n=k, v i k là m t s t ộ ố ự - - ứ + ‡ ớ ++ ... - - nhiên nào đó; t c là ta có: ứ ớ 1 k
(2.4)
+
2
2
k
k
k
+
+
+
+
3
x
x
x
k
1 + k
2
2
1 k x
x
x
+
2
k
+
ẽ ứ ớ - ứ + ‡ ấ ẳ ++ ... - (2.5) ta s ch ng minh khi đó b t đ ng th c (2.1) đúng v i n= k+2, hay là 1 k
x
2
2+kx
1 + k
2
x
‡ Th t v y, trong (2.2) thê x b ng ta nh n đ c (2.6) ậ ậ ằ ậ ượ
22
Phép quy n p và ph
C ng v t ộ ng ng c a các b t đ ng th c (2.4) và (2.6), ta s có (2.5) ứ ủ ẽ
ươ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
ế ươ ứ ạ ấ ẳ ng pháp quy n p toán h c ọ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ạ
ả
i: ạ c c s ướ ơ ở: Trong 1a) và 1b) ta đã ch ng minh b t đ ng th c đúng cho ấ ẳ ứ ứ
c quy n p thi ạ : Trong 2) ta đã ch ng minh t ứ gi ừ ả ế t đúng c a (2.1) ủ Tóm l B n=1 và n=2. B ướ
v i n=k suy ra nó đúng v i n=k+2. K t qu là: ớ ế ớ
ả + T 1a) và 2) cho ta kh ng đ nh là b t đ ng th c (2.1) đúng v i m i s ấ ẳ ứ ừ ẳ ớ ọ ố ị
l n.ẻ
+ T 1b) và 2) cho ta kh ng đ nh là b t đ ng th c (2.1) đúng v i m i s ấ ẳ ọ ố ứ ừ ẳ ớ ị
ch n n. ẵ
Nh v y, b t đ ng th c (2.1) đúng v i m i s t nhiên n. ọ ố ự ấ ẳ ư ậ ứ ớ
Đ nh lý 3. Cho dãy các m nh đ P(1); P(2); …; P(n); … ị ệ
ế ‡ ề nhiên n 1 các m nh đ P(1); P(2); …; ề ệ
P(k) dúng, suy ra m nh đ P(k+1) cũng đúng
Thì m nh đ P(n) đúng v i m i s nguyên d ng n. ề N u: A) P(1) nh ng m nh đ đúng và ệ ữ B) V i m i s t ớ ỗ ố ự ề ề ọ ố ệ ệ ớ ươ
D ng này khác v i các d ng tr t m nh h n c là gi thi ớ b ơ ở ướ ướ ế ạ
thi ả ạ ị ẳ
ể ị
c quy ả t c kh ng đ nh P(1), P(2),…,P(k) đúng suy ra P(k+1) cũng ươ ng ị áp d ng vào bài toán c th dùng đ nh lí 2.2 t t ế ấ ả ứ ng nhau. Nh ng trong th c t ụ ể ự ế ụ ị
n
x
x
ư i h n. ạ n p. Ta gi ạ đúng. D dàng ch ng minh hai cách phát bi u đ nh lý 1.1 và đ nh lí 2.2 t ễ đ ươ d dàng gi ễ ả ơ
n
1+ x
1+ x
là s nguyên thì cũng Bài toán 3.1. Ch ng minh r ng n u ứ ế ằ ố
là s nguyên v i m i s t nhiên n. ố ọ ố ự
k
x
c c s Gi ớ ướ ơ ở: Khi n=1 m nh đ hi n nhiên đúng. ệ ề ể i:ả B
k
1+ x
k
+ + 1
x
B c quy n p s v i m i s t nhiên t là ướ ạ : Gi ả ử ớ ọ ố ự ừ 1 đ n k, ế
1 + k 1
x
nh ng s nguyên. Ta c n ch ng minh r ng ứ ữ ầ ằ ố cũng là m t s nguyên. ộ ố
+ 1
k
k
k
1
+
=
+
+
+
x
xx (
)(
x
)
(
x
)
1 + k 1
1 k
1
1 x
x
1 k x
x
k
k
- + 1
x
x
x
- - - Th t v y ậ ậ
1 k
1
k
1+ x
x
1+ x
k
+ + 1
x
- , , Theo gi thi đ u bi u di n các s ả ế ả t c 3 bi u th c ể ứ ề ể ễ ố
1 + k 1
x
nguyên . V y ậ cũng là m t s nguyên. ộ ố
ứ ằ ể ể nhiên l n h n 1 có th bi u ớ ơ
23
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
di n d Bài toán 2.3. Ch ng minh r ng m i s t i d ng tích c a nh ng s nguyên t ữ ọ ố ự . ố ủ ố ễ ướ ạ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ạ
ả
Gi ệ ề ể ọ ố ố , ớ
tr ườ
ọ ố ự ề
i d ng tích các th a s s m nh đ đúng v i m i s t ễ n đ u bi u di n d ể ớ ướ ạ nhiên k, mà ừ ố ề
ướ ơ ở Hi n nhiên m nh đ đúng v i m i s nguyên t i:ả B ng h p đ c bi ợ ặ B ướ £2 k < n nguyên t
thì m nh đ đúng. ệ ề ố
n
n
1
2
c c s : t n=2. ệ c quy n p: ạ Gi ả ử ệ £2 k < . Nghĩa là m i s ọ ố ng h p ợ ườ ố 1) N u n là s nguyên t ố 2) N u n là h p s thì theo đ nh nghĩa h p s t n t i hai s . Ta xét hai tr ế ế ố ồ ố ạ ợ ố ợ ị
1n và
sao cho thi t quy n p ế ề ạ
2n đ u bi u ả ể . Do đó suy ra n cũng bi u di n đ ễ
n < di n đ ễ thành tích các s nguyên t
n = 21nn ố . ố
nguyên n < và c thành tích các s nguyên t ượ . Theo gi ố ể ượ c
ố
Ph n Iii. Hi u qu c a đ tài ả ủ ề ệ ầ
I. M t s bài ki m tra: ộ ố ể
ki m tra sau khi nghiên Chúng tôi ch n ra m t s bài toán đ các b n t ộ ố ọ
2
c u chuyên đ này, ho c có th l y làm đ ki m tra cho h c sinh. ể ấ ứ ề ặ ể ề ể ạ ự ẻ ọ
n > + n 5
n
2 2(
n 4 3.
ng án 1 . ằ ứ " : 1) Ch ng minh r ng 2) Ch ng minh r ng: ứ ố ự v i ớ
5‡n nhiên Nn ˛ . ứ ng a; b b t đ ng th c ấ ẳ
n
n 2 1 .(
)
n
n .) + 1
7(
57)
Nn ˛
ươ ứ v i các s t ớ + + n 2 1 5 37) ố ươ - ằ + " ng án 2 *Nn ˛ . " ớ > + ( ba + + n 2 2 8
Bài s 1ố : Ph ươ Ph sau đúng v i ớ
b 2) Ch ng minh r ng:
. ằ : 1) Ch ng minh r ng v i các s d n a ằ ứ v i ớ
Bài s 2ố : Ph ươ
ằ
=
++ ...
S n
+
1 7.4
n + n 3
1
)1
ứ + - . 1) Ch ng minh r ng: 1 + n 3)(2
+
=
+
ng án 1 1 1 = 4.1 10.7 2) Ch ng minh r ng:
+
+
n 3( ằ 1 + n
2(
n
2)(1
2)(1
n
)3
2(2
nn ( + n
)1 n 2)(1
)3
ứ ++ ... -
1 5.3.1 ng án 2
1 7.5.3 :
24
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
Ph ươ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
=
=
+
ằ
++ ...
S n
+
1 4)(3
n
)1
n + n
4
1
n
1 9.5 ứ
4( ằ
2
=
+
++ ...
+
ứ + -
2 1 3.1
n 2)(1
2(
)1
n
+
n
4
n
1
+
+ 3)
2
n ằ
- 1) Ch ng minh r ng: 1 1 5.1 13.9 2) Ch ng minh r ng: 2 2 5.3
nhiên n, đ ng nh t th c sau
+ nn ( )1 + 2(2 n )1 + + n 1 2 Bài s 3ố : 1) Ch ng minh r ng : 5( 2 ứ 2) Ch ng minh r ng v i m i s t ọ ố ự
Nn ˛ ấ
ứ ằ ớ v i ớ ồ ứ
n
+
=
+
(
n
)(1
n
+ nn
)
2...(5.3.1.2
n
đúng: -
n
;2
Nn
)1 ớ
2 )...( ấ ẳ +> 1 nx
1(
+
n
2
n
+
˛ ‡ 3) Ch ng minh b t đ ng th c sau đúng v i m i . ứ ọ
2(
3.
5
n
x n ) ứ
" - ứ v i x > -1 Nn ˛ :
+ ớ Bài s 4ố . 1) Ch ng minh v i ớ
+
+
25)4 + nn (
)(1
n 3)(2
)1
2
2
+
+
=
2 1.2
2.3
++ ...
(
n
n ).1
n 12
2‡n
2) Ch ng minh r ng: ứ ằ
nhiên ta có: ọ ố ự
.
1 +
1 n 2
1
n
n
ứ + ằ ++ ... 3) Ch ng minh r ng v i m i s t 1 +
n
+ 1
n
2
1
=
+
+
+
1„x
++ ...
ớ 13 > 24 ằ ứ
n
2
4
2
+ n 12
1 +
x
. v i ớ - -
2 Bài s 5ố . 1) Ch ng minh r ng: 2 + x
1
x
1 2‡n
1 :
1
2 + x 1 x 1 2) Ch ng minh v i m i s t nhiên ọ ố ự 1 1 <
+
4 + x ớ ++ ...
1 ứ +< 1
n
2
n
.
2
1-
n
-+
-+
-=
n 3 3) Tìm công th c tính t ng: ổ ứ -++ ... 654321 S
)1(
. n
n
.
II. Hi u qu c a đ tài:
ả ủ ề
ệ
ế
1) K t qu các bài ki m tra: Tôi đã ch n các bài ki m tra cho các em sau khi h c xong chuyên đ này ả ọ ể ể ề ọ
ố ớ
( tuỳ theo m c đ đ i v i t ng kh i l p ): ứ ộ ố ớ ừ ế ể : Ki m tra 20 em bài 2. K t qu : ả Kh i 6, 7 ố
ố ổ ể ể ể
25
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
T ng s 20 Đi m 9 - 10 7 Đi m 7 – 8,5 9 Đi m 5 – 6,5 3 Đi m <5 ể 1
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
Kh i 8,9ố : Ki m tra 20 em các bài 1 và bài 5. K t qu : ả ế ể
ố ổ ể ể ể
T ng s 20 Đi m 9 - 10 9 Đi m 7 – 8,5 9 Đi m 5 – 6,5 2 Đi m <5 ể 0
ườ
ọ
ả ằ
h c chính h c sôi n i h n, h c sinh r t thich thú. B n thân giáo i, đã ả ng pháp gi ng phép quy n p trong các gi ng xuyên ờ ọ ạ ổ ơ ả ấ c tâm lý cho r ng sách giáo khoa qua t ả ế ấ ệ ươ ệ ắ ớ
2) Vi c th c hi n th ệ ệ ự khoá đã làm cho các gi ờ ọ viên cũng r t ph n kh i, b đ ỏ ượ ở ấ t p trung vào vi c khai thác SGK g n v i vi c c i ti n ph ậ d y.ạ
ệ ự
ộ ệ ng đ i ngũ HSG v môn Toán c a tr ề ề ủ ườ ố ớ ng và c a thành ph ủ đ i v i HSG đã ố
3) Bên c nh đó vi c th c hi n chuyên đ nâng cao ạ góp ph n b i d ồ ưỡ ầ đ t đ ạ ượ
c thành tích cao. C th : ụ ể i c p T nh: ỉ ỏ ấ ọ ườ ạ ả
i nhì; 5/14 gi i ba và 1 H c sinh gi + C a tr ng: có 01 em đ t gi ủ + C a thành ph : 10 em, trong đó c 4/7 gi ủ ả ố ả
gi i khuy n khích ( toàn t nh không có gi ả ế ỉ ả i nhì; ố i nh t ). ấ
K t lu n
ế
ậ
I. K t lu n chung: ậ ế
Vi c th c hi n chuyên đ “ Phép quy n p và ph ng pháp quy n p toán ự ề ệ ệ ạ ươ ạ
h c ng ph thông” đã thu đ c nh ng k t qu khích l , c th là: tr ọ ở ườ ổ ượ ữ ế ả ệ ụ ể
1. Giáo viên và h c sinh đã có nh ng nh n th c đúng đ n v phép quy ữ ứ ề ậ ắ ọ
c phép quy n p hoàn toàn và ch a hoàn toàn. T đó có n p, phân bi ạ t đ ệ ượ ừ ư ạ
ng pháp d y và ph ng pháp h c. nh ng c i ti n v ph ả ế ề ươ ữ ạ ươ ọ
2. Đ c bi ặ ệ t, các em h c sinh khá, gi ọ ỏ ạ i đã hi u rõ và v n d ng sáng t o ậ ụ ể
i toán. Có th nói các em đã đ c trang b nguyên lý quy n p toán h c vào gi ạ ọ ả ể ượ ị
ng pháp m i gi m t ph ộ ươ ớ ả ọ i toán r t h u hi u đ i v i các bài toán toán h c ố ớ ấ ữ ệ
26
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
thu c đ các lo i. T đó kh i d y lòng ham mê, h ng thú tìm tòi, phát huy óc ộ ủ ơ ậ ứ ừ ạ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ả
ạ
sáng t o c a các em, qua đó rèn luy n kh năng suy lu n, phát tri n t duy ể ư ủ ệ ạ ả ậ
lôgic. Các em đã tr thành c t cán, ph i h p v i giáo viên trong vi c truy n t ố ợ ề ả i ệ ố ở ớ
và ti p thu các bài h c trên l p gi chính khoá, giúp cho gi ế ọ ớ ờ ờ ọ ộ h c sinh đ ng
h n, h p d n h n và hi u qu h n, các em cũng ph i h p v i giáo viên trong ố ợ ả ơ ệ ẫ ấ ơ ơ ớ
vi c giúp đ các b n h c sinh y u kém v n lên. ế ệ ạ ỡ ọ ươ
II. Bài h c s ph m: ọ ư ạ
1) Mu n c i ti n, đ i m i ph ố ả ế ổ ớ ươ ng pháp gi ng d y, ng ả ạ ườ ầ i giáo viên c n
ph i luôn t h c, t b i d ng đ n m v ng ki n th c c b n, có h th ng. ả ự ọ ự ồ ưỡ ứ ơ ả ệ ố ể ắ ữ ế
Đ ng th i c n n m v ng ch ng trình – SGK vì đó là tài li u v a có tính ờ ầ ữ ắ ồ ươ ừ ệ
ộ ọ pháp quy, v a mang tính linh ho t trong quá trình s d ng tuỳ theo trình đ h c ử ụ ừ ạ
sinh. M t trong nh ng con đ ng là th c hi n các chuyên đ chuyên sâu, có ữ ộ ườ ự ệ ề
tác d ng xuyên su t ch ụ ố ươ ố ng trình – SGK, đ ng th i có ph n nâng cao cho đ i ầ ồ ờ
t ng HS khá gi i nh chuyên đ mà chúng tôi th hi n trên đây. ượ ỏ ể ệ ư ề
ng pháp t 2) Đ i v i các em h c sinh c n rèn cho các em k năng, ph ầ ố ớ ọ ỹ ươ ự
ng d n các em th h c. Mu n v y c n ph i h ậ ả ướ ầ ố ọ ẫ ườ ng xuyên, c th , ph i làm ụ ể ả
cho các em hi u rõ SGK, ph i giao vi c cho các em tuỳ trình đ kh năng, t ệ ể ả ả ộ ừ
th p đ n cao. Tôi th ng đ ng viên các em: “ Không bi ế ấ ườ ộ ế ọ t m i ph i đi h c, ả ớ
h c r i thì ph i bi t, bi ọ ồ ả ế ế ồ ớ ẫ ế t r i thì ph i th o, có thành th o thì m i d n đ n ả ạ ạ
sáng t o, mà có sáng t o t s có thành công” . Vi c rèn cho h c sinh kh ạ ắ ẽ ạ ệ ọ ả
năng t ự ọ ừ h c v a ph i là m t m c đích v a là ph ộ ụ ả ờ ươ ớ ng ti n c a vi c đ i m i ệ ủ ệ ổ
ph ng pháp d y h c. ươ ạ ọ
III. M t s ý ki n đ xu t ề ấ ộ ố ế
1) M i giáo viên c n n m ch c, có h th ng ki n th c c b n và ơ ả ứ ế ệ ầ ắ ắ ỗ ố
27
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
ch ng trình – SGK hi n hành. ươ ệ
Sáng ki n đ i m i ph
ế
ổ
ớ
ươ
ng pháp gi ng d y Toán h c ọ
ạ
ả
h c là m t quá trình khó khăn, đòi 2) Vi c rèn cho h c sinh kh năng t ọ ệ ả ự ọ ộ
h i m i giáo vi n ph i kiên trì, b n b th c hi n th ng xuyên. ỉ ự ệ ề ệ ả ỏ ỗ ườ
3) Đ i v i các c p qu n lý giáo d c c n đ i m i n i dung th c hi n các ụ ầ ớ ộ ố ớ ự ệ ấ ả ổ
chuyên đ v c i ti n ph ề ề ả ế ươ ng pháp gi ng d y, ả ạ
ế Trên đây là nh ng suy nghĩ, tìm tòi c a tôi v m t v n đ liên quan đ n ủ ề ộ ấ ữ ề
vi c c i ti n ph ả ế ệ ươ ọ ng pháp gi ng d y nh m phát huy tính tích v c c a h c ự ủ ằ ạ ả
ế sinh. Do th i gian có h n và kh năng còn h n ch bên không tránh kh i thi u ế ạ ạ ả ờ ỏ
sót, mong đ ượ ự c s góp ý, đ ng viên khích l ộ ệ ủ c a các c p qu n lý và c a anh ả ủ ấ
em đ ng chí, đ ng nghi p đ đ tài ngày càng hoàn thi n h n. Chúng tôi xin ể ề ệ ệ ồ ồ ơ
Hoà Bình, tháng 5 năm 2008.
chân thành cám n.ơ
Ng i vi ườ t ế
Đ Danh Th ng
ỗ
ắ
28
Phép quy n p và ph
ạ
ươ
ng pháp quy n p toán h c ọ
ạ
tr ở ườ
ng ph thông ổ
