Sáng ki n đ i m i ph ng pháp gi ng d y Toán h cế ổ ớ ươ ả ạ ọ
Đ t v n đặ ấ ề
I, Lý do ch n đ tài:ọ ề
Toán h c là m t môn khoa h c suy di n. Các k t lu n Toán h cọ ộ ọ ễ ế ậ ọ
đ uề đ c ch ng minh m t cách ch t ch . Nh ng trong quá trình hình thành,ượ ứ ộ ặ ẽ ư
tr c khi có nh ng k t lu n mang tính t ng quát, toán h c cũng đã ph i ti nướ ữ ế ậ ổ ọ ả ế
hành xét các tr ng h p c th , riêng bi t. Ta ph i đ i chi u các quan sátườ ợ ụ ể ệ ả ố ế
đ c, suy ra các đi u t ng t , ph i th đi th l i, ... đ t đó d đoán vượ ề ươ ự ả ử ử ạ ể ừ ự ề
m t đ nh lý toán h c, tr c khi ch ng minh chúng. Bên c nh đó, ta ph i dộ ị ọ ướ ứ ạ ả ự
đoán ra ý c a phép ch ng minh tr c khi đi vào ch ng minh chi ti t. ủ ứ ướ ứ ế
Hi n nay, chúng ta đang ti n hành đ i m i giáo d c. Đ công cu c đ iệ ế ổ ớ ụ ể ộ ổ
m i thành công thì ph i g n ch t vi c đ i m i n i dung ch ng trình – SGKớ ả ắ ặ ệ ổ ớ ộ ươ
v i vi c đ i m i ph ng pháp gi ng d y. M t trong các xu h ng đ i m iớ ệ ổ ớ ươ ả ạ ộ ướ ổ ớ
ph ng pháp gi ng d y môn Toán hi n nay là d y cho h c sinh bi t d đoán,ươ ả ạ ệ ạ ọ ế ự
d y cho h c sinh bi t suy lu n có lý. ạ ọ ế ậ
Th c t là các sách giáo khoa Toán b c THCS hi n nay, c u trúc m tự ế ậ ệ ấ ộ
bài h c th ng là: ọ ườ
Ph n 1. Xét các các tr ng h p c th : tính toán, đo đ c, so sánh, …ầ ườ ợ ụ ể ạ
trên các đ i t ng khác nhau.ố ượ
Ph n 2. D đoán k t lu n khái quát: nêu ra m t m nh đ t ng quát. ầ ự ế ậ ộ ệ ề ổ
Ph n 3. Ch ng minh ( ho c công nh n ) m nh đ t ng quát, tuỳ đ iầ ứ ặ ậ ệ ề ổ ố
t ng và trình đ h c sinh.ượ ộ ọ
Ph n 4. Các ví d và bài t p v n d ng.ầ ụ ậ ậ ụ
Nh th h c sinh đ c quan sát, th nghi m, d đoán r i b ng suy lu nư ế ọ ượ ử ệ ự ồ ằ ậ
đ đi đ n ki n th c m i, sau đó v n d ng ki n th c m i vào các tình hu ngể ế ế ứ ớ ậ ụ ế ứ ớ ố
khác nhau.
Chúng ta xét m t s bài h c c th sau: ộ ố ọ ụ ể
M c 4 ( trang 13 SGK Toán 7 t p I ).Giá t tuy t đ i c a m t s …ụ ậ ị ệ ố ủ ộ ố
Sau khi đ a ra đ nh nghĩa v giá tr tuy t đ i c a m t s , SGK đ a raư ị ề ị ệ ố ủ ộ ố ư
bài t p ?1 đi n vào ch tr ng. Đ t đó phân tích, nh n xét, đ a ra k t quậ ề ỗ ố ể ừ ậ ư ế ả
t ng quát:ổ
<−
≥
=0;
0;
khixx
khixx
x
K t qu này đ c công nh n, không ch ng minh.ế ả ượ ậ ứ
Sau đó là các bài t p v n d ng. ậ ậ ụ
Phép quy n p và ph ng pháp quy n p toán h cạ ươ ạ ọ
tr ng ph thôngở ườ ổ
1
Sáng ki n đ i m i ph ng pháp gi ng d y Toán h cế ổ ớ ươ ả ạ ọ
M c 1 ( trang 106 SGK Toán 7 t p I ).T ng ba góc c a m t tam giác.ụ ậ ổ ủ ộ
SGK yêu c u h c sinh v hai tam giác b t kỳ, đo và tính t ng ba gócầ ọ ẽ ấ ổ
trong c a m i tam giác r i nêu nh n xét. T đó đ a ra d đoán v t ng ba gócủ ỗ ồ ậ ừ ư ự ề ổ
trong m t tam giác . Sau đó ch ng minh d đoán này.ộ ứ ự
Ti p theo là các bài t p v n d ng.ế ậ ậ ụ
M c 2. ( trang 8 SGK Toán 9 t p I ).Căn b c hai và h ng đ ng th cụ ậ ậ ằ ẳ ứ
AA =
2
.
Đ d n đ n đ nh lý: V i m i s a ta c : ể ẫ ế ị ớ ọ ố ố
aa =
2
, SGK yêu c u h cầ ọ
sinh đi n s thích h p vào b ng:ề ố ợ ả
a-2 -1 0 2 3
a 2
2
a
T đó nh n xét, khái quát hoá đ đ a ra đ nh lý.ừ ậ ể ư ị
Sau khi phát bi u đ nh lý, SGK ch ng minh đ nh lý b ng suy lu n ch tể ị ứ ị ằ ậ ặ
ch .ẽ
Sau đó là các bài t p v n d ng.ậ ậ ụ
Bên c nh đó, trong n i dung ôn luy n Toán cho h c sinh gi i, m t trongạ ộ ệ ọ ỏ ộ
nh ng chuyên đ không th thi u đ c là chuyên đ : “ Ph ng pháp quy n pữ ề ể ế ượ ề ươ ạ
Toán h c ”. B i vì, thông qua vi c gi ng d y chuyên đ này, ng i th y d yọ ở ệ ả ạ ề ườ ầ ạ
Toán đã:
1) Cung c p cho h c sinh m t h ng suy nghĩ trong vi c tìm tòi l i gi iấ ọ ộ ướ ệ ờ ả
các bài toán;
2) Giúp h c sinh gi i đ c m t l p các bài toán S h c, Đ i s và Hìnhọ ả ượ ộ ớ ố ọ ạ ố
h c thu c đ các d ng bài toán: chia h t, ch ng minh đ ng nh t th c, ch ngọ ộ ủ ạ ế ứ ồ ấ ứ ứ
minh b t đ ng th c, ... mà trong đó có liên quan đ n t p h p các s t nhiên;ấ ẳ ứ ế ậ ợ ố ự
3) Đ ng th i qua vi c nghiên c u các m nh đ toán h c bao hàm m tồ ờ ệ ứ ệ ề ọ ộ
s vô h n các tr ng h p riêng, mà vi c ch ng minh chúng ch c n xét m t số ạ ườ ợ ệ ứ ỉ ầ ộ ố
h u h n các tr ng h p theo m t lôgic ch t ch và chính xác, đã m r ng tữ ạ ườ ợ ộ ặ ẽ ở ộ ư
duy lôgic cho các em h c sinh, giúp các em say mê, h ng thú h c Toán h n.ọ ứ ọ ơ
Phép quy n p và ph ng pháp quy n p toán h cạ ươ ạ ọ
tr ng ph thôngở ườ ổ
2
Sáng ki n đ i m i ph ng pháp gi ng d y Toán h cế ổ ớ ươ ả ạ ọ
II. M c đích c a đ tài:ụ ủ ề
Qua nhi u năm tr c ti p gi ng d y, b i d ng h c sinh gi i các c p vàề ự ế ả ạ ồ ưỡ ọ ỏ ấ
b i d ng giáo viên thay sách, t p h p các bài gi ng l i tôi vi t chuyên đ nàyồ ưỡ ậ ợ ả ạ ế ề
nh m m c đích:ằ ụ
1) Cung c p m t s ki n th c c b n v phép quy n p, phép quy n pấ ộ ố ế ứ ơ ả ề ạ ạ
hoàn toàn, quy n p không hoàn toàn, và nguyên lý quy n p toán h c.ạ ạ ọ
2) Giúp h c sinh có thêm m t s ph ng pháp m i đ gi i m t s bàiọ ộ ố ươ ớ ể ả ộ ố
toán Toán h c khác nhau.ọ
3) Cung c p thêm m t s bài t p h p d n và nhi u v , qua đó c ng cấ ộ ố ậ ấ ẫ ề ẻ ủ ố
và m r ng thêm các ki n th c đã h c.ở ộ ế ứ ọ
4) Rèn luy n t duy, phát huy tính sáng t o và gây h ng thú h c toán choệ ư ạ ứ ọ
h c sinh.ọ
III. N i dung đ tài:ộ ề
N i dung c a đ tài này bao g m:ộ ủ ề ồ
Ph n I. M t s c s lý lu n.ầ ộ ố ơ ở ậ
Ph n II. V n d ng vào D y & H c toán tr ng ph thông.ầ ậ ụ ạ ọ ở ườ ổ
A. V n d ng phép quy n p hoàn toàn trong ch ng minh m t m nhậ ụ ạ ứ ộ ệ
đ toán h cề ọ
B. V n d ng ph ng pháp quy n p toán h c đ gi i toánậ ụ ươ ạ ọ ể ả
1. Phát hi n quy lu t và ch ng minh quy lu t đó.ệ ậ ứ ậ
2. V n d ng vào gi i toán chia h t.ậ ụ ả ế
3. V n d ng vào ch ng minh đ ng nh t th c.ậ ụ ứ ồ ấ ứ
4. V n d ng vào ch ng minh b t đ ng th c.ậ ụ ứ ấ ẳ ứ
5. V n d ng vào các bài toán hình h c.ậ ụ ọ
C. Có th có cách gi i khác? ể ả
D. B sung: M t s d ng nguyên lý quy n p Toán h c.ổ ộ ố ạ ạ ọ
Ph n III. Hi u qu c a đ tàiầ ệ ả ủ ề
Ph n IV. K t lu n - đánh giá khái quát.ầ ế ậ
V i lý do, m c đích và n i dung nh trên mong r ng chuyên đ đ cớ ụ ộ ư ằ ề ượ
đông đ o các đ ng chí giáo viên và các em h c sinh tham kh o và góp ý ki nả ồ ọ ả ế
xây d ng.ự
Phép quy n p và ph ng pháp quy n p toán h cạ ươ ạ ọ
tr ng ph thôngở ườ ổ
3
Sáng ki n đ i m i ph ng pháp gi ng d y Toán h cế ổ ớ ươ ả ạ ọ
N i dungộ
Ph n I. C s lý lu nầ ơ ở ậ
1. Quy n p hoàn toàn và không hoàn toànạ:
1.1 Danh t “quy n p”ừ ạ theo nghĩa đ u tiên c a nó đ c dùng đ ch cácầ ủ ượ ể ỉ
quy lu t nh đó mà thu đ c các k t lu n t ng quát, d a vào m t lo t cácậ ờ ượ ế ậ ổ ự ộ ạ
kh ng đ nh riêng bi t.ẳ ị ệ
Quy n p hoàn toàn ạlà m t m nh đ t ng quát đ c ch ng minh theoộ ệ ề ổ ượ ứ
t ng tr ng h p c a m t s h u h n các tr ng h p có th có.ừ ườ ợ ủ ộ ố ữ ạ ườ ợ ể
Ví d 1ụ.: Chúng ta xác l p r ng :ậ ằ
“ M i s ch n n trong kho ng ỗ ố ẵ ả
[ ]
100;4
đ u có th bi u di n d i d ngề ể ể ễ ướ ạ
t ng c a 2 s nguyên t ”.ổ ủ ố ố
Mu n v y chúng ta phân tích:ố ậ
4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 5+3
10 = 7+3
12 = 7+5
......
......
98 = 93+5
100 = 97+3
Sau khi th 49 tr ng h p, t 49 đ ng th c này ch ng t r ng, th c tử ườ ợ ừ ẳ ứ ứ ỏ ằ ự ế
m i s ch n trong kho ng xét đ c bi u di n du i d ng t ng c a 2 sỗ ố ẵ ả ượ ể ễ ớ ạ ổ ủ ố
nguyên t .ố
1.2 Quy n p không hoàn toànạ:
Trong tr ng h p k t lu n t ng quát rút ra không d a trên s ki m traườ ợ ế ậ ổ ự ự ể
t t c các tr ng h p có th x y ra mà ch trên c s m t s đ l n cácấ ả ườ ợ ể ả ỉ ơ ở ộ ố ủ ớ
tr ng h p thì ta có quy n p không hoàn toàn.ườ ợ ạ
Quy n p không hoàn toàn đ c v n d ng nhi u trong các khoa h c th cạ ượ ậ ụ ề ọ ự
nghi m. Ch ng h n b ng cách đó ng i ta đã thi t l p nên đ nh lu t c b nệ ẳ ạ ằ ườ ế ậ ị ậ ơ ả
b o toàn kh i l ng: đ nh lu t này đ c Lômônôxôp phát bi u và ch đ cả ố ượ ị ậ ượ ể ỉ ượ
th a nh n khi Lavoadiê đã ki m tra s đúng đ n c a nó v i đ chính xác đừ ậ ể ự ắ ủ ớ ộ ủ
l n và trong các đi u ki n đ khác nhau.ớ ề ệ ủ
Phép quy n p và ph ng pháp quy n p toán h cạ ươ ạ ọ
tr ng ph thôngở ườ ổ
4
Sáng ki n đ i m i ph ng pháp gi ng d y Toán h cế ổ ớ ươ ả ạ ọ
Trong toán h c, quy n p không hoàn toàn không đ c xem là m tọ ạ ượ ộ
ph ng pháp ch ng minh ch t ch , do đó nó ch đ c áp d ng r t h n ch .ươ ứ ặ ẽ ỉ ượ ụ ấ ạ ế
B i vì m t m nh đ toán h c bao hàm m t s vô h n các tr ng h p riêng,ở ộ ệ ề ọ ộ ố ạ ườ ợ
nh ng con ng i ta không th ti n hành ki m tra m t s vô h n các tr ngư ườ ể ế ể ộ ố ạ ườ
h p đ c.Ch ng h n ợ ượ ẳ ạ
sau khi có k t qu đúng v i 49 tr ng h p nh ví d 1, ta ch a th đ a raế ả ớ ườ ợ ư ở ụ ư ể ư
k t lu n r ng, m i s t nhiên ch n đ u có th phân tích đ c thành t ng c aế ậ ằ ọ ố ự ẵ ề ể ượ ổ ủ
hai s nguyên t .ố ố
Đ ng nhiên, quy n p không hoàn toàn là m t ph ng pháp “g i m ”ươ ạ ộ ươ ợ ở
r t hi u l c đ tìm ra chân lý m i. Chúng ta hãy tham kh o m t vài ví d .ấ ệ ự ể ớ ả ộ ụ
Ví d 2ụ. Xét t ng n s t nhiên l liên ti p đ u tiên.ổ ố ự ẻ ế ầ
Chúng ta hãy xét các tr ng h p riêng bi t:ườ ợ ệ
+ v i n=1 : 1=1 ớmà
2
11 =
+ v i n=2 : 1+3=4ớmà
2
24 =
+ v i n=3 : 1+3+5=9ớmà
2
39 =
+ v i n=4 : 1+3+5+7=16ớmà
+ v i n=5 : 1+3+5+7+9=25ớmà
Sau khi xét m t s tr ng h p riêng này, ta n y ra k t lu n t ng quát :ộ ố ườ ợ ả ế ậ ổ
1+3+5+7+9+...+(2n-1) =
2
n
(1)
t c là : “ t ng c a n s l liên ti p đ u tiên b ng ứ ổ ủ ố ẻ ế ầ ằ
2
n
”.
Vi c ch ng minh k t lu n này m t cách ch t ch (xem ví d 7) đãệ ứ ế ậ ộ ặ ẽ ụ
ch ng t k t lu n này là đúng.ứ ỏ ế ậ
Ví d 3ụ: Tính t ng l p ph ng các s t nhiên liên ti p đ u tiên:ổ ậ ươ ố ự ế ầ
3333 ...321 nSn++++=
Ta xét các tr ng h p riêng bi t:ườ ợ ệ
113
1==S
2
1=
921 33
2=+=S
2
)21( +=
36321 333
3=++=S
2
)321( ++=
3333
44321 +++=S
2
)4321( +++=
Do đó có th n y ra k t lu n t ng quát :ể ả ế ậ ổ
2
)...321( nSn++++=
(2)
T t nhiên, đi u nh n xét trên không ph i là s ch ng minh s đúng đ nấ ề ậ ả ự ứ ự ắ
c a các công th c (1) hay (2). ph n sau, chúng ta s làm quen v i m tủ ứ ở ầ ẽ ớ ộ
ph ng pháp giúp chúng ta ch ng minh đ c các công th c (1) và (2) là đúng.ươ ứ ượ ứ
Chúng ta cũng c n chú ý r ng, suy lu n b ng quy n p đôi khi d n đ nầ ằ ậ ằ ạ ẫ ế
k t lu n sai, nh các ví d sau:ế ậ ư ụ
Phép quy n p và ph ng pháp quy n p toán h cạ ươ ạ ọ
tr ng ph thôngở ườ ổ
5