Ế
Ệ
SÁNG KI N KINH NGHI M
Ố Ủ
Ứ
Ố
BA BÀI TOÁN CH A THAM S C A HÀM S
=y
Ệ Ố
Ứ
Ấ
Ị
ƯỜ
CH A D U GIÁ TR TUY T Đ I
( ; ) f x m TH
Ặ NG G P
Ố
Ỳ
Ệ
TRONG K THI T T NGHI P THPT QG
Ọ
Ự
LĨNH V C: TOÁN H C
Ở
Ạ
Ệ
S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O NGH AN
Ụ ƯỜ
Ỳ
TR
NG THPT TÂN K 3 ===== =====
Ế
Ệ
SÁNG KI N KINH NGHI M
Ố Ủ
Ứ
Ố
BA BÀI TOÁN CH A THAM S C A HÀM S
=y
Ệ Ố
Ứ
Ấ
Ị
ƯỜ
CH A D U GIÁ TR TUY T Đ I
( ; ) f x m TH
Ặ NG G P
Ố
Ỳ
Ệ
TRONG K THI T T NGHI P THPT QG
Ọ
Ự
LĨNH V C: TOÁN H C
ễ ả Tên tác giả : Nguy n Văn B n
ổ ộ T b môn : Toán Tin
ự Năm th c hi n ệ : 2020 2021
ố ệ ạ S đi n tho i : 0974754825
Ấ
Ặ
ề
ể
ớ ủ
Ộ
Ứ
ậ
ế
ế ủ
ự ồ ự
ấ ủ
ỏ
ị
ự
ụ
ế
ệ
ấ
ố ơ
ướ
ệ
ả
ộ
ể
ố
ấ
ố
ố
ỏ
ị
Ụ Ụ M C L C
̃
̀
Ậ ậ
Ả
Ệ
Ề I. Đ T V N Đ 4 ......................................................................................................................... ọ 1.1. Lí do ch n đ tài 4 ............................................................................................................. ứ ụ 1.2. M c đích nghiên c u 4 ....................................................................................................... ứ ố ượ 1.3. Đ i t 5 ng nghiên c u ..................................................................................................... ươ ứ 1.4. Ph 5 ng pháp nghiên c u ................................................................................................. ữ 5 .......................................................................................... 1.5. Nh ng đi m m i c a SKKN 6 II. N I DUNG NGHIÊN C U .................................................................................................. ơ ở 6 2.1. C s lí lu n .................................................................................................................... ị ố 2.1.1. S đ ng bi n, ngh ch bi n c a hàm s 6 .................................................................. ị ủ ố 7 ................................................................................................... 2.1.2. C c tr c a hàm s ấ ố ị ớ 2.1.3. Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s 7 ...................................................... ố ồ ị 2.1.4. Đ th hàm s ................................................................................................... 8 ề ướ ạ c khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m 2.2. Th c tr ng v n đ tr 8 ..................................... ệ ự ả 8 ................................................................................................. i pháp th c hi n 2.3. Các gi ệ ề ể c. 9 .......... 2.3.1. Bài toán: Tìm đi u ki n đ hàm s đ n đi u trên m t kho ng cho tr ố ể ệ ủ ề ị ự 2.3.2. Bài toán: Tìm đi u ki n c a tham s đ hàm s có đi m c c tr . 29 .................... ấ ủ ị ớ 2.3.3. Bài toán: Cho hàm s . Tìm đê giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s trên ́ ươ ạ đo n thoa man môt điêu kiên cho tr 40 ........................................................................ c. Ế III. K T LU N 48 ........................................................................................................................ ế ......................................................................................................................... 3.1. K t lu n 48 ị ế 48 ....................................................................................................................... 3.2. Ki n ngh 49 TÀI LI U THAM KH O .........................................................................................................
̉ ̉ ̣ ̣
Ặ Ấ Ề I. Đ T V N Đ
ọ ề 1.1. Lí do ch n đ tài
ể ể ọ
ự ả ố
́ ọ ấ ̀ ̃ ̀ ́ ̉ ̣ ̣ ̣ ̉ ̉ ̣
ệ Đ phát tri n các năng l c toán h c cho h c s nh, đ c bi ệ ̀ ̀ ́ ̀ ̀ ́ ươ ư ̉ ̣ ̣ ̣
́ ̀ ̀ ư ̣ ̉ ̣ ̣ ̉ c thê hiên thông qua viêc kiên th c cua ch
́ ̉ ̣ ̣ ̣
̀ ̃ ̣ ̣ ̉ ̣
́ ̀ ́ ́ ̃ ự ư ư ̣ ̣ ̉ ̉ ọ ị ớ ặ t là h c sinh l p t nghi p THPT QG. Tać ộ ế ỳ 12 giúp các em có m t k t qu cao nh t trong k thi t ́ ̀ ́ ư ươ ng ng dung đao ham đê khao sat va ve đô thi ham sô trong gia nhân thây ch ́ ́ ̀ ơ ng trinh giai tich l p 12 la nôi dung quan trong va co nhiêu ng dung trong ch ́ ̀ ́ ươ ượ ng nay bô môn toan, điêu nay đ ̀ ́ ́ ́ ̉ ở ư m c vân dung va luôn chiêm ti lê cao nhât trong đê thi THPT.QG. Sô câu hoi ̀ ́ ́ ̀ ươ ng nay cung luôn mang đên cho giao viên va hoc sinh vân dung cao cua ch ́ ́ ́ nh ng s quan tâm đăc biêt, trong đo phai kê đên cac bai toan ch a tham sô.
̀ ́ ̀ ́ ̉ ̣ ̉ ̣
́ ươ ̉ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣
̀ ̀ ̉ ̣ ̣ ̣ ̣
́ ̃ ệ ̉
́ ̀ ể ́ ọ ự ư ng cũng nh phát tri n năng l c t
́ ̀ ầ ự ươ ế
́ ́ ả ớ ̣ ̣
i tích l p 12. Cac dang toan ch a tham sô luôn đ ́ ́ ̀ ̀ ̀ ượ ̉ ̣ ̣ ̣ ̉ ̀ ̣ ươ ̣ ng THPT Tân Ky 3, tac gia nhân thây nôi Qua qua trinh giang day tai tr ́ ́ ́ ́ ̀ ư ng nay luôn tao h ng thu hoc tâp cho cac em hoc sinh, viêc hoc tôt ́ ̀ ươ ươ ng ng nay se tao đa cho viêc hoc tâp cac ch ̣ ượ c môt t nghi p THPT QG tac gia rut ra đ ế ợ duy k t h p phân ng 1 i quy t m t s bài toán trong ch ̀ c giao viên va hoc sinh qua ̀ ́ ̣ ươ ng đai
dung cua ch ́ ̃ ́ ́ ư ư va năm v ng kiên th c cua ch ́ ́ ạ ố khac rât tôt. Cac năm d y h c ôn thi t ư ả ồ ưỡ điêu la c n ph i b i d ộ ố ể ả ậ tích tr c quan và suy lu n logic đ gi ́ ́ ́ ư ượ gi ng hoc sinh kha gioi ôn thi vao cac tr tâm tim hiêu, đăc biêt la đôi t hoc.̣
̀ ̉ ở ư ̣ ̣ ̣ ̣
=
y
)
̀ ̀ ̀ ̀ ư ̣ ̣ ̉ ̣ Trong ky thi THPT. QG hang năm thi cac câu hoi ở ươ ch
́ ư ́ ́ ̀ ́ ́ ́ ư ̉ ̣ ̣ ̣ ́ ́ m c vân dung, vân dung ́ ́ ́ ng ng dung đao ham chiêm ti lê cao, trong đo cac bai toan ch a tham ̀ ̃ ươ f x m ( ; ng xuyên xuât hiên. cung th ́ cao ́ ́ ́ sô cua ham sô ch a dâu gia tri tuyêt đôi
̀ ́ ự ̀ ̃ ư ư ́ ư ̉ ̉ ̉
́ ́ ̀ ́ ́ ́ ̀ ́ ́ ̣ ̉ ̣ ̉ ̣ ̉
=
y
̣
)
̀ f x m ( ; ̃ ư ứ ấ ́ ệ ố ứ ỳ ặ ị ng g p trong k thi t
́ ̉ ̣ ̉ ̣ ợ ự T nh ng ly do nêu trên, cung s nghiên c u cua tac gia kêt h p s chia se kinh ̃ ́ ượ c ố ố ủ ệ ố t nghi p THPT ̀ ̀ ̣ ươ ng THPT Tân Ky 3. ́ nghiêm cua cac đông nghiêp la giao viên côt can tinh nghê an. Tac gia đa đuc rut đ ̀ ̀ ́ nh ng kinh nghiêm quy bau thanh đê tai “Ba bài toán ch a tham s c a hàm s ườ th ch a d u giá tr tuy t đ i QG” đê ap dung trong giang day ôn thi THPT. QG tai tr
ụ ứ 1.2. M c đích nghiên c u
ọ ạ ề ươ ướ ứ nghiên c u v ph
ể ả ề Trong đ tài tác gi ự ư ng pháp d y h c theo h ế
́ ớ ư ́ ơ ươ ả ủ ọ ả ̣ tri n năng l c t hàm s trong ch i tích l p 12 v i muc đich nh sau. ng phát duy c a h c sinh thông qua các bài toán liên quan đ n kh o sát ng trình gi
)
f x m ( ; ́
́ ̀ ̀ ́ ̉ ư ̣ ̉
́ ́ ́ ợ ươ ̀ ơ ở ̉ ̣ ̣ ́ ng đ ̣ đê đ a ra cac điêu kiên = y ́ ̉ ư ng cua bai toan giup hoc sinh linh hôi kiên th c kho tr nên đ n gian
́ ̀ ́ ́ ̃ ư ư ̣ ̣ ̣
́ ̀ ươ ng tiêp cân cho cung môt bai toan gi a trên viêc phân tich ́ ̀ ̀ ́ ̣ ̉
́ ̃ ư ̣ ̉ ̉ ̣ ̣ ̣
́ ́ ́ ́ ̀ ̀ ̀ ̀ ́ ợ ơ ̉ ̉ ̉ ̣ ̉ ̣ ố (cid:0) Kêt h p phân tich trên đô thi cua ham sô ́ ̃ ̀ ươ t h n.ơ (cid:0) Đ a ra nhiêu h ́ dâu hiêu cua bai toan đo. (cid:0) Hoc sinh năm v ng ban chât cua cac lâp luân thông qua viêc phân tich cac ́ ́ ̀ ́ ́ ươ ng h p co thê xay ra cua cac bai toan tim điêu kiên đê ham sô đ n điêu, sô tr
4
=
y
f x m ( ;
)
́ ́ ̀ ́ ́ ́ ̀ ́ ̣ ơ ̣ ̉ ̣ ̉ ̉ .
̀ ́ ́ ự ̣ ̣ ̉ ̣ ̉
́ ̣ ư ́ ̀ ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ơ ̣ ̣ ̣ ̣ ̉ ̣ ̣
́ ́ ̀ ̀ ̀ ́ ự ̣ ̉ ̣ ̣
̀ ̀ ̀ ́ ́ ư ̉ ̉ ̣ ̉ ̣ ̣ ̉
̀ ́ ự c c tri cua ham sô, gia tri l n nhât gia tri nho nhât cua ham sô (cid:0) Ren luyên cho hoc sinh năng l c giai quyêt vân đê toan hoc đê tao h ng thu ́ ̀ hoc tâp toan hoc cho hoc sinh l p 12 nhăm phat triên tri tuê va gop phân giao duc, ren luyên phâm chât, năng l c hoc sinh vê nhiêu măt. (cid:0) Kêt qua nghiên c u đê lam tai liêu giang day cho đông nghiêp trong tô toan tin tr ́ ̀ ươ ng THPT Tân Ky 3.
ố ượ ứ 1.3. Đ i t ng nghiên c u
ươ ự ủ ọ ạ ọ ể ng pháp d y h c hình thành và phát tri n năng l c c a h c sinh. Ph
ọ ố ạ ọ ể ệ t nghi p THPT QG đ xét Đ i h c. H c sinh thi t
ươ ứ 1.4. Ph ng pháp nghiên c u
ươ ứ ng pháp nghiên c u xây d ng c s lý thuy t:
ự ứ ổ ề ạ ạ ơ ở ứ ch c d y h c theo h ệ ừ ứ ế Nghiên c u tài li u t ể ướ ọ ng phát tri n
Ph sách, báo, m ng internet v cách th c t ự ủ ọ năng l c c a h c sinh.
ươ ướ ế ị ổ ng pháp phân tích t ng k t kinh nghi m: Phân tích các đ nh h
ệ ủ ả ử ụ ệ ể ọ
ự ợ ổ ủ Ph ng c a ể ừ t ng bài toán, s d ng các kinh nghi m c a b n thân đ giúp h c sinh phát tri n năng l c phân tích, t ng h p.
ươ ề ổ ng pháp đi u tra: ệ gi ng d y, trao đ i kinh nghi m
ự ế ả ể ạ ọ ậ ủ ể ọ ể Ph Tìm hi u th c t ớ v i giáo viên, thăm dò h c sinh đ tìm hi u tình hình h c t p c a các em.
ớ ủ ữ ể 1.5. Nh ng đi m m i c a SKKN
́ ̀ ̀ ̀ ̃ ̀ ượ ự ế ợ ̉ ̣ Trong đê tai nay tac gia đa nêu lên đ
=
y
̀ ậ ắ ọ ̣ ̉
ự ấ ủ ) ́ ́ ́ ̀ ́ ̉ ̣ ̣ ̣
́ ́ ̀ ̀ ́ ́ ́ ́ ́ ̣ ơ ự ̣ ̣ ̉ ậ c s k t h p tr c quan đô thi và l p ́ ư ữ ả lu n có lý giúp h c sinh dê hiêu va n m v ng b n ch t c a cac bài toán ch a ̀ ́ ́ ơ ư f x m ( ; tham sô cua ham sô ch a dâu gia tri tuyêt đôi : Bai toan đ n điêu; bai ́ ́ toan c c tri; bai toan gia tri l n nhât, gia tri nho nhât.
́ ̀ ́ ́ ́ ượ ư ̣ ̣ ̀ c nhiêu đinh
̀ ̉ ư c cac dâu hiêu cua t ng bai toan va đ a ra đ ̀ ́ ượ ̀ ̃ ̀ ́ ̣ ̉ ̀ Phân tich đ ́ ́ ́ ́ ươ ươ ng giai quyêt bai toan. ng khac nhau giup hoc sinh dê dang tim ra h h
̀ ́ ̀ ́ ́ ̀ ử ự ̣ ̉ ̣ ̉ ̣
́ ̃ ́ ư ̣ ̉ ̣ ̉ ̣ ̉
́ ́ ́ ́ ự ư ̣ ̣ ̣ ̣ ̣
́ ự ̀ ự ́ ̃ ́ ự ̉ ̣ ́ S dung mô hinh năng l c giai quyêt vân đê toan hoc đê phân tich va đinh ́ ự ự ươ ng giup hoc sinh phat triên cac năng l c đoc hiêu d liêu câu hoi; năng l c h ̀ ́ suy luân toan hoc; năng l c th c hiên tinh toan; năng l c vân dung kiên th c vao ́ th c tiên giai quyêt vân đê toan hoc.
5
Ộ Ứ II. N I DUNG NGHIÊN C U
ậ ơ ở 2.1. C s lí lu n
ế ủ ự ồ ế ị ố 2.1.1. S đ ng bi n, ngh ch bi n c a hàm s
=
y
f x ( )
ị a. Đ nh nghĩa
ặ ử ặ ạ ả ả ử ố s hàm s xác
1
2
Kí hi u ệ K là kho ng ho c đo n ho c n a kho ng. Gi ị đ nh trên
K n u v i m i c p
,x x thu c ộ K mà
<
y )
1
2
ồ ọ ặ ế ớ ả K . Ta nói = < ố f x ( 1 + Hàm s � x x 1 2 ế f x ( ) đ ng bi n trên f x ); ( 2
K n u v i m i c p
,x x thu c ộ K mà
<
= >
y )
ị ế ọ ặ ế ớ
f x ( ) f x ( 2
+ Hàm s � x x 1 2 ố f x ( 1 ngh ch bi n trên ).
=
y
f x ( )
ị b. Đ nh lý
K .
ạ có đ o hàm trên
f x đ ng bi n trên
K .
Cho hàm s ố f x (cid:0) '( ) 0 ế ớ ồ + N u ế v i m i ọ x thu c ộ K thì hàm s ố ( )
f x ngh ch bi n trên
K .
f
ế ớ ị + N u ế v i m i ọ x thu c ộ K thì hàm s ố ( )
K ).
ộ ố ữ ạ ể ( i m t s h u h n đi m trên
f x (cid:0) '( ) 0 x = ch t ỉ ạ '( ) 0 ồ ị
ố ơ ệ c. Đ th hàm s đ n đi u
ế ế ừ ả ố ồ + N u hàm s đ ng bi n trên ồ ị K thì đ th đi lên t trái sang ph i.
K thì đ th đi xu ng t
ế ế ố ị ồ ị ố ừ ả + N u hàm s ngh ch bi n trên trái qua ph i.
6
ố ự ị ủ 2.1.2. C c tr c a hàm s
=
ị
(
)
(
x 0
(cid:0) ị
) a b ; . x(cid:0)
x
f x ( )
)
;a b và đi m ể ) ( + � h h x ; 0
x 0
0
- ả ọ ớ xác đ nh và liên t c trên kho ng < x v i m i và thì
ế ồ ạ ố i s = y
)
( �
x
h
x
x(cid:0)
)
x 0
+ h x ; 0
0
i > - ọ ớ v i m i và thì
f x ( ) h > sao cho f x ( ) h > sao cho f x ( )
ế ồ ạ ố i s = y a. Đ nh nghĩa Cho hàm s ố y + N u t n t ta nói hàm s ố + N u t n t ta nói hàm s ố ụ f x ( 0 0 ạ ự ạ ạ 0x . đ t c c đ i t f x f x ( ) ( 0 0 ạ ự ể ạ 0x . đ t c c ti u t i
=
ệ ủ ể ự ố ề ị b. Đi u ki n đ đ hàm s có c c tr
K
h
(
)
x 0
+ h x ; 0
- ả ạ liên t c trên kho ng và có đ o hàm trên
f x ( ) , v i ớ
)
(
)
f
h+
;x 0
x 0
x < trên kho ng ả '( ) 0
0x
y
ố y s hàm s { \K x 0 - thì
(
(
)
f
h+
;x 0
x 0
x > trên kho ng ả '( ) 0
0x
y
ộ - thì
h x ; và 0 = f x ( ) . ) h x ; và 0 = f x ( ) .
ộ ị Đ nh lý: = ụ ả ử Gi } h > ặ K ho c trên 0. ( f x > trên kho ng ả + N u ế x '( ) 0 0 ố ự ạ ủ ể là m t đi m c c đ i c a hàm s f x < trên kho ng ả + N u ế x '( ) 0 0 ố ự ể ủ ể là m t đi m c c ti u c a hàm s
ấ ị ớ ị ỏ ấ ủ ố
=
f x ( )
̣
f x M(cid:0) ( )
2.1.3. Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s a. Đinh nghiã ̀ y ́ ̣ xac đinh trên tâp ́ Cho ham sô ̣ D .
̀ ượ ̣ ̉ trên tâp ̣ D nêu ́
= ́ ́ y c goi la gia tri l n nhât cua ham sô M= 0x D(cid:0) f x ) 0(
f x ( ) .
=
́ ̀ ̀ ̣ + Sô ́ M đ ́ơ v i moi ́ ̀ sao cho
max ( ).
D
f x m(cid:0) ( )
̣ ơ ̣ x thuôc ̣ D va tôn tai f x M ̣ ́ Ki hiêu
̀ ượ ̣ ̣ ̉ ̉ trên tâp ̣ D nêu ́
0x D(cid:0)
= y f x ( ) m= .
=
́ ̀ ̀ ́ c goi la gia tri nho nhât cua ham sô f x 0( ) ̣ ̀ ́ sao cho
min ( ).
D
̣ x thuôc ̣ D va tôn tai f x m ̣ + Sô ́ m đ ́ơ v i moi ́ Ki hiêu
̣ b. Đinh lý
́ ̀ ̀ ́ ́ ́ ́ ́ ́ ̣ ơ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̉
̣ ̀ Moi ham sô liên tuc trên môt đoan đêu co gia tri l n nhât va gia tri nho nhât trên đoan đo.́
7
=
y
f x ( )
=
= (cid:0)
y
f x ( )
( )
=
=
y
y
f x ( )
f x ( )
(cid:0) (cid:0) Ta có - (cid:0) ố ồ ị 2.1.4. Đ th hàm s f x nê u f x ( ) ´ f x nê u f x ´ ( ) 0 < ( ) 0
=
y
f x ( )
́ ̀ ̀ ̀ ượ ư ̣ ̣ ́ ̀ Do đo đô thi ham sô đ c suy ra t ư nh sau:
=
y
f x ( )
̀ ̀ ̀ ́ ̀ đô thi ham sô ̀ ̀ ư ̣ ̣ + Gi ́ ̃ nguyên phân đô thi ham sô
=
=
y
y
f x ( )
f x ( )
̀ ̀ ̀ ̀ ́ ́ ́ ̀ ư ̣ ̣ ̣ ́ + Lây đôi x ng qua truc hoanh phân đô thi ham sô ́ ươ i truc hoanh. năm trên truc hoanh ̀ năm d
̀ ồ ị ̣ ́ ̀ Đô thi ham sô ố Đ th hàm s
ự ấ ề ướ ụ ế ệ
ạ 2.2. Th c tr ng v n đ tr ự ế ạ ọ c khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m ệ ố ả ỳ Th c t
ạ ườ i tr ọ ế d y h c và k t qu k thi t ữ
ế ươ ả ấ ỳ ậ ụ t nghi p THPT QG t ọ ủ ạ ế ng hàm s d n đ n k t qu th p.
̀ ́ ̀ ́ ng THPT Tân K 3: Nh ng khó khăn c a giáo viên và h c sinh trong d y và h c các bài ố ẫ toán v n d ng cao trong ch ́ ̀ ̣ ươ ̣ Vê phia giao viên: Đa phân cac đông nghiêp tai tr
́ ̀ ̀ ở ư ự ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣
̀ ́ ́ ̀ ̀ ̀ ̀ ́ ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣
̃ ̀ ́ ́ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ̉
́ ̀ ́ ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣
̀ ́ ̀ ng THPT Tân Ky 3 rât ̀ ́ ́ ́ ̣ it khi day cac bai toan m c vân dung va vân dung cao, môt phân vi năng l c hoc ̀ sinh đai tra qua thâp môt phân vi kho khăn trong viêc tim kiêm tai liêu day hoc. ́ Điêu đo tao nên môt tâm ly e ngai khi găp phai cac bai toan kho, lâu dai dân đên viêc giang day cho hoc sinh ôn thi đai hoc găp nhiêu kho khăn. ́ ́ ́ ̀ ự ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣
̃ ́ ̀ ̃ ́ ́ ươ ̀ ư ư ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̉
̀ ́ ̀ ́ ̉ ơ ̉ ̉
̀ ́ ́ ̉ ̉
8.6 8.4 8.2 7.8 7.4 7.2 7.0 6.8 6.6 6.4 6.2 6.0 5.6 4.8 4.6 4.2 3.6
Điêm̉
1
1
2
2
4
3
3
2
3
4
1
1
2
1
2
1
1
Tâǹ
số
́ ̀ Vê phia hoc sinh: S tiêp cân cac dang toan vân dung va vân dung cao con ́ ́ ́ ̀ ́ it, tai liêu h ng dân ch a co dân đên kêt qua hoc tâp va thi ch a cao. Cu thê kêt qua thi THPT QG năm 2019: Điêm trung binh môn toan cua l n 12A1 trong ky thi TN THPT QG năm 2018 2019 la 6.5 điêm. ( thông kê điêm toan TN THPT 2018 ̉ ơ 2019 cua l p 12A1)
́ ́ ́ ươ ơ ươ ̉ ̉ ́ c đo điêm thi THPT QG cua cac l p 12A1 tr ̀ ng THPT Tân
̀ ̀ ́ ̀ Va nhiêu năm tr ̀ Ky 3 con thâp.
ả ự 2.3. Các gi ệ i pháp th c hi n
8
=
y
f x m ( ;
)
ề ệ ố ể ơ ệ ộ đ n đi u trên m t
=
ả ướ c.
(
y
) ;a b .
ế ả 2.3.1. Bài toán: Tìm đi u ki n đ hàm s kho ng cho tr 2.3.1a. Hàm s ố
f x m ( ; ́
) ̀ ng phap phat hiên va giai quyêt vân đê
ồ đ ng bi n trên kho ng ́ ̀ ́ ́ ươ ̣ ̉ Ph
́ ́ ́ươ ̣ ̣ B c 1: ̀ Phat hiên/ thâm nhâp vân đê.
=
y
́ ́ ́ ̀ ́ ́ ́ ự ̉ ̉ ̣
f x m ( ;
̀ ̉ ̣ ̉ ̉ ́ = ̀ ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ̣ ̉
y
f x m ( ;
)
́ ) ) ́ ̉ ượ ̀ ̃ ́ Chung ta đa biêt cach giai cac bai toan xet s đông biên, nghich Câu hoi 1: ̀ ́ ̀ ́ ̀ ́ ̀ ́ m đê ham sô f x ( ) ; bai toan tim điêu kiên cua tham sô biên cua cac ham sô ( ́ ́ m để ;a b . Bai toan tim điêu kiên cua tham sô y ) đông biên trên khoang ( = ́ ̀ ư ;a b co giai đ ́ c nh thê không? đông biên trên ́ ̀ ham sô
́ ̃ ư ̣ ̉ ̣ ̣ ̉
́ ́ ̃ ̀ ̀ ươ ư ̣ ̣ ̣ ̉
̀ ́ ́ ng khac nhau. Nh ng co môt vân đê đăt ra la ph ́ ̃ ́ ́ ́ ́ ư ̣ ̣ ̉ ̉
ươ ̀ ́ ́ ̃ư ̀ Sau khi tiêp cân câu hoi thi hoc sinh se co nh ng suy nghi nay sinh nhiêu ̀ ́ ng phap giai cho bai đinh h ́ ́ ̀ ́ toan nay co giông nh cac dang đa găp không? Hay co cach nao khac đê giai quyêt ̀ ̀ bai toan nay n a không?
̀ ̀ ̀ ́ươ ̉ B c 2: Tim toi h ́ ́ ươ ng giai bai toan.
̀ ́ ́ ́ ư ̣ ̉ ̣ ̃ Sau khi đăt câu hoi 1, hoc sinh đa t ́ ̀ duy va phân tich bai toan, giao viên tiêp
̣ ̣ ̉ ̣ tuc đăt câu hoi cho hoc sinh.
(
y
f x m ( ;
)
) ;a b ?
̀ ̀ ̀ ̀ ươ ̉ ̣ ̉ ̣ ́ ng cua bai toan tim điêu kiên Câu hoi 2: Hay nhăc lai điêu kiên t = ̣ ươ ̀ ̉ ̉ ̉ ́ ̃ ́ ̀ m đê ham sô ng đ ́ đông biên trên khoang cua tham sô ́
x
f
'( ;
̃ ̀ ̀ ̀ ượ ươ ươ ̣ ̣ c điêu kiên t ng đ ̀ ng la (cid:0) " (cid:0) + x m Ở ươ b ) 0; ̀ ́ c nay hoc sinh se trinh bay đ a b ( ; ).
=
y
́ ̀ ̀ ̣ ̣ ̉ ́ c đao ham cua ham sô
́ + Đên đây giao viên tiêp tuc phân tich, nêu tim đ f x m ( ; ́ ) ̀ ̀ ́ ̃ ượ ̀ ̣ ̣ ̉ ử thi chung ta se s dung điêu kiên t ̀ ́ ́ ự ̣ ươ ng t . Va đăt câu hoi 3.
=
y
́ ́ ́ ̃ ́ ̀ ̀ ượ ̉ ̉ ̣ ̣ ̉ ̣ ̉ Hay bo dâu gia tri tuyêt đôi đê lây đ ́ c đao ham cua ham sô
Câu hoi 3: f x m ( ; ) .
̃ ́ ̀ ươ ̣ ̣ + Ở ươ b ́ c nay hoc sinh se co 2 đinh h ́ ng:
)
=
= (cid:0)
y
f x m ( ;
)
(cid:0) (cid:0)
f x m nê u f x m ( ; ´ f x m nê u f x m ´
( ; ( ;
( ;
) 0 < ) 0
)
=
=
- (cid:0)
[
] 2
y
f x m ( ;
)
f x m ( ;
)
̣ Hoăc
=
=
́ ́ ̀ ́ ́ ượ ̉ ̣ + Phân tich: ́ c nay giao viên cân phân tich đê hoc sinh thây đ ̣ c viêc
y
f x m ( ;
)
f x m ( ;
)
Ở ươ b [ ̀ ] 2 ́ ̀ ̀ ̀ ̀ ́ ượ ̣ ̉ ̣ ̣ ử s dung đê tinh đao ham. Khi tim đ c đao ham thi chung
y
x
' 0;
a b ( ; ).
(cid:0) " (cid:0) ̃ ̀ ́ ̀ ta đa quy vê bai toan quen
=
=
̀ ̀ ̀ ́ươ ̉ B c 3: Trinh bay l ̀ ́ ơ i giai bai toan.
[
] 2
y
f x m (
)
f x m ( ;
)
Ta có
9
f
)
f
x m f x m
'( ;
)
=
y
'
x m f x m ). ( ; '( ; [ ] 2
). f x m ( ;
( ; )
f x m ( ;
)
=
(
"۳ � y
x
y
' 0,
a b ( ; ).
f x m ( ;
)
(cid:0) = .
) ;a b
ế ả ồ đ ng bi n trên kho ng
0
�(cid:0)
f
x m
ố ể Đ hàm s f x m (cid:0) ( ; ) ( )
,
x a b ( ; )
'( ; f x m ( ;
) 0 > ) 0
x
f x m f x m ).
'( ;
( ;
) 0,
a b ( ; ).
f
x m
,
x a b ( ; )
'( ; f x m ( ;
) 0 < ) 0
" (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
=
=
́ ̀ ́ ̀ ́ươ ư ̉ B c 4: ́ Đanh gia l ̀ ́ ơ i giai va nghiên c u sâu bai toan
[
] 2
y
f x m ( ;
)
f x m ( ;
)
"۳ � y
x
' 0,
a b ( ; ).
̀ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̃ ́ ̀ ̉ Băng cach biên đôi ́ chung ta đa quy bai toan vê bai toan
quen
́ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̉ ́ Bai toan con co cac cach giai khac:
=
y
f x m ( ;
)
ồ ị ử ụ Cách 2: S d ng đ th
ế ồ th c t tr c ị ắ ụ Ox ố ← Phân tích: N u đ hàm s
=
y
f x m ( ;
)
←
ố ồ ị Ta suy ra đ th hàm s nh sauư
10
=
(
y
f x m ( ;
)
) ;a b đ
ậ ả ơ ố Vì v y hàm s ệ không đ n đi u trên kho ng c.ượ
ồ ị ượ ườ ể ắ ụ Ox đ ỉ c, ta ch có hai tr ợ ng h p sau
ố (Nên đ th hàm s không th c t tr c đây)
11
̀ươ Tr ợ ng h p 1:
f
x m
) 0
x
a b ( ; ).
) 0
(cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) ệ ề ườ ợ Đi u ki n bài toán trong tr ng h p này là (cid:0) (cid:0)
'( ; f x m ( ; x m
f
'( ;
) 0
x
a b ( ; ).
f a
( ) 0
(cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
̀ươ Tr ợ ng h p 2:
f
x m
x
,
a b ( ; ).
) 0 ) 0
(cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) ệ ủ ề ườ ợ Đi u ki n c a bài toán trong tr ng h p này là (cid:0) (cid:0)
'( ; f x m ( ; x m
f
) 0
x
,
a b ( ; ).
f a
'( ; ( ) 0
(cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ả ử ụ ế
ệ ả ẩ ợ Trong tr
=
Cách 3: S d ng b ng bi n thiên y = nh m đ ' 0 ng h p ế ả ế ượ c các nghi m thì ta có th l p b ng bi n ể ườ ữ ề ể ậ thiên sau đó gi a vào b ng bi n thiên đ tìm đi u ki n c a bài toán.
y
f x m ( ;
)
ế ả ị ngh ch bi n trên kho ng 2.3.1b. Hàm s ố ệ ủ ) ( ;a b .
12
ươ ự ế ồ Phân tích t ng t bài toán đ ng bi n ta có:
=
=
ử ụ ố ồ ế ế ề ị Cách 1: S d ng đi u ki n đ đ hàm s đ ng bi n, ngh ch bi n
y
)
)
f x m ( ; )
f
x m f x m
'( ;
)
=
y
'
ệ ủ ể ] 2 Ta có
(cid:0) = .
[ f x m ( ; x m f x m f ). ( ; '( ; [ ] 2
). f x m ( ;
( ; )
f x m ( ;
)
=
(
" � y
x
y
' 0,
a b ( ; ).
f x m ( ;
)
) ;a b
(cid:0) ế ả ị ngh ch bi n trên kho ng
0
�(cid:0)
f
x m
ố ể Đ hàm s f x m (cid:0) ( ; ) ( )
,
x a b ( ; )
'( ; f x m ( ;
) 0 > ) 0
x
f x m f x m ).
'( ;
( ;
) 0,
a b ( ; ).
f
x m
,
x a b ( ; )
'( ; f x m ( ;
) 0 < ) 0
" (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ồ ị ử ụ Cách 2: S d ng đ th
̀ươ Tr ợ ng h p 1:
f
x m
) 0
x
,
a b ( ; ).
) 0
(cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) ệ ề ườ ợ Đi u ki n bài toán trong tr ng h p này là (cid:0) (cid:0)
'( ; f x m ( ; x
f
'( ;) 0
x
,
a b ( ; ).
f b
( ) 0
(cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
̀ươ Tr ợ ng h p 2:
13
f
x m
) 0
x
,
a b ( ; ).
) 0
(cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) ệ ề ườ ợ Đi u ki n bài toán trong tr ng h p này là (cid:0) (cid:0)
'( ; f x m ( ; x m
f
'( ;
) 0
x
,
a b ( ; ).
f b
( ) 0
(cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ử ụ
ườ ượ ả ế c các nghi m thì ta có th l p b ng bi n
ả ế Cách 3: S d ng b ng bi n thiên y = nh m đ ' 0 ả ợ ng h p ữ ệ ề ẩ ế ể
)
)
- (cid:0) - (cid:0) ể ậ Trong tr thiên sau đó gi a vào b ng bi n thiên đ tìm đi u ki n c a bài toán. )
[
]
;a +(cid:0)
;b
(
;b
ệ ợ ơ ng h p đ n đi u trên ệ ủ , [ ;a +(cid:0)
] ;a b ,
, ( , ( Ta
ự Các tr ươ phân tích t ườ ng t .
́ ̣ ́ 2.3.1c. Vi du ap d ng -
]5;5
3
=
+
+ 2
ổ ấ ả ủ ố m đ ể
m
y
x
m
x
x
(
(2
3)
1)
- - - ế ồ ả hàm s ố đ ng bi n trên kho ng c a tham s )1;5 là ( ụ Ví d 1: ụ T ng t 1 3 ộ [ ị t c các giá tr nguyên thu c 2 3
3
=
+
+ 2
- A. 1. B. 1. C. 0. D. 2.
x
m
x
m
x
f x ( )
(
1)
(2
3)
1 3
2 3
- - - L i gi ờ ả Đ t ặ i:
=
(
f x ( )
ồ ị ử ụ Cách 1: S d ng đ th
)1;5
=
(
y
)1;5 .
ổ ấ ả c t tr c hoành và có đ i d u trong kho ng
y
f x ( )
ắ ụ ồ ị ố ế y N u đ th hàm s ệ ơ ố ồ ị f x ( ) không đ n đi u trên thì đ th hàm s ( = ổ ấ Nên
y
f x ( )
)1;5 ả )1;5 x y ra hai tr (
(cid:0) không đ i d u trên kho ng = ả ồ ườ ợ ế đ ng bi n trên hàm s ố ng h p
=
(
y
f x ( )
)1;5
̀ươ Tr ợ ng h p 1:
2
ồ ị ằ ụ ế ả ồ đ ng bi n và đ th n m phía trên tr c hoành trên kho ng
+
'( ) 0
x
m
2(
+ x m 2
1)
3 0
�
�
x
x
(1;5).
(1;5).
f x
( ) 0
f
(1) 0
(cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) Hàm s ố f x " " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
14
3
+ 2
x
m
,
(1;5)
m x
x
+ x
2 (
+ (cid:0) 1)
2
3
- + x 2
x
(1;5)
0
m 3
m
13 3
13 9
(cid:0) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3
= ) 1
(
m Max [ ]1;5
- + x 2
m (cid:0)
.
13 9
m
13 9
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
=
y
f x ( )
̀ươ Tr ợ ng h p 2:
2
ồ ị ằ ế ị ướ ụ ngh ch bi n và đ th n m phía d ả i tr c hoành trên kho ng Hàm s ố )1;5 (
+
f
x
'( ) 0
x
m
2(
+ x m 2
1)
3 0
�
�
x
x
,
(1;5).
,
(1;5).
f x
( ) 0
f
(1) 0
(cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) " " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3
+ 2
x
m
,
(1;5)
m x
x
+ x
2 (
+ (cid:0) 1)
2
3
- + x 2
x
,
(1;5)
0
m 3
m
13 3
13 9
(cid:0) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3
= -
(
)
1
m Min [ ]1;5
- + x 2
m (cid:0)
1.
m
13 9
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
m
m
13 9 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ươ ượ C hai Tr ̀ ợ ng h p ta đ c (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
-
]5;5
Vì m nguyên và thu c ộ [
15
{ m - � �
} 5; 4; 3; 2; 1; 2;3; 4;5
1-
- - - -
ậ ổ ằ ỏ V y t ng các giá tr c a ị ủ m th a mãn bài toán b ng
ọ Ch n đáp án: B
16
=
=
ệ ủ ể ử ụ ố ồ ế ế ề ị Cách 2: S d ng đi u ki n đ đ hàm s đ ng bi n, ngh ch bi n
[
] 2
y
f x ( )
f x ( )
f
f
=
y
'
Ta có
'( ). [
x f x ( ) ] 2
x f x '( ). ( ) f x ( )
f x ( )
=
(
"۳ � y
x
y
' 0,
(1;5).
f x ( )
(cid:0) = .
)1;5
ế ả ồ ố Đ hàm s đ ng bi n trên kho ng
0
f
x
( ) 0,
(1;5).
ể f x (cid:0) ( ) ( (cid:0) (cid:0) " (cid:0) ) x f x '( ).
f
x
f
x
'( ) 0
x
x
,
(1;5)
,
(1;5)
f x
f
'( ) 0 > ( ) 0
(1) 0
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) ̀ươ Tr ợ ng h p 1: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
x
m
2(
+ x m 2
1)
3 0
x
,
(1;5).
f
(1) 0
(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3
+ 2
x
m
,
(1;5)
m x
x
+ x
2 (
+ (cid:0) 1)
2
3
- + x 2
x
,
(1;5)
m 3
0
m
13 3
13 9
(cid:0) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3
(
= ) 1
m Max [ ]1;5
- + x 2
m (cid:0)
.
13 9
m
13 9
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
f
x
f
x
'( ) 0
x
x
,
(1;5)
,
(1;5)
f x
f
'( ) 0 < ( ) 0
(1) 0
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) ̀ươ Tr ợ ng h p 2: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
x
m
2(
+ x m 2
1)
3 0
x
(1;5).
f
(1) 0
(cid:0) - - (cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3
+ 2
x
m
,
(1;5)
m x
x
+ x
2 (
+ (cid:0) 1)
2
3
- + x 2
x
(1;5)
m 3
0
m
13 3
13 9
(cid:0) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3
= -
(
)
1
m Min [ ]1;5
- + x 2
m (cid:0)
1.
m
13 9
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
m
m
13 9 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ươ ượ C hai tr ̀ ợ ng h p ta đ c (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
-
]5;5
Vì m nguyên và thu c ộ [
17
{ m - � �
} 5; 4; 3; 2; 1; 2;3; 4;5
- - - -
1-
ậ ổ ằ ỏ V y t ng các giá tr c a ị ủ m th a mãn bài toán b ng
ọ Ch n đáp án: B
2
ế
m
x
+ x m 2
1)
2(
3 0
f = -
Cách 3: S d ng b ng bi n thiên - = ả + -
m
x
3 2
(cid:0) Ta có x (cid:0) (cid:0) ử ụ x = (cid:0) '( ) 0 1 = - (cid:0)
m- 3 2
1
2m (cid:0)
(cid:0) - ̀ươ Tr ợ ng h p 1: (cid:0) (*)
+(cid:0)
ả ế - (cid:0)
+
+
1- 0
+(cid:0)
3 2m- 0 f
m- (3 2 )
f x ( )
- Ta có b ng bi n thiên x f x(cid:0) ( )
f
( 1)
- (cid:0) -
ừ ả
(
f
y
(1) 0
f x ( )
ế T b ng bi n thiên suy ra = (cid:0) ể ả ế ố Đ hàm s
m (cid:0)
m - 3
0
)1;5 (cid:0) 2m (cid:0)
13 3
(cid:0) (cid:0) ế ợ ượ (cid:0) k t h p (*) ta đ c
1
2m < (**)
ồ đ ng bi n trên kho ng 13 9 > - m- 3 2 ̀ươ Tr ợ ng h p 2: (cid:0)
+(cid:0)
ả ế
- (cid:0)
+
+
3 2m- 0
+(cid:0)
1- 0 f
( 1)
f x ( )
- Ta có b ng bi n thiên x f x(cid:0) ( ) -
f
m- (3 2 )
- (cid:0)
ừ ả
(
y
f x ( )
)1;5 (cid:0)
ế T b ng bi n thiên suy ra = ể ồ ế ả ư ả ố Đ hàm s đ ng bi n trên kho ng có hai kh năng nh sau
m
m
m (cid:0)
1
5 3 2 f (1) 0
m 3
0
1 13 3
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ̉ Kha năng 1: (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
m (cid:0)
1 m
1
m
1
m (cid:0)
3 2 f
(1) 0
m 3
0
13 9
13 3
m(cid:0)
- ượ ớ ế ợ k t h p v i (**) ta đ c (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ̉ Kha năng 2: (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
< 2
13 9
ượ ế ợ k t h p (**) ta đ c
18
m
m
13 9 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ươ ượ C hai tr ̀ ợ ng h p ta đ c (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
-
- - - - Vì m nguyên và thu c ộ [ { m - � �
]5;5 } 5; 4; 3; 2; 1; 2;3; 4;5
1-
ậ ổ ằ ỏ V y t ng các giá tr c a ị ủ m th a mãn bài toán b ng
ọ Ch n đáp án: B
ị M i cách làm có m t u đi m nh t đ nh, các em c n nh n đ nh đ ượ c
ỗ ệ ủ ộ ư ợ ể ể ị ậ ữ ấ ị ướ ả ố Nh n xét: ấ nh ng d u hi u c a hàm s phù h p đ đ nh h ầ ậ i nhanh. ng cách gi
=
y
1
).+(cid:0)
(1;
ươ ủ ng c a tham s ể ố m đ hàm s ố - Ví d 2: ụ + 32 x mx ị ả ế Có bao nhiêu giá tr nguyên d ồ đ ng bi n trên kho ng
=
A. 2. B. 6. C. 3. D. 4.
2
1
- L i gi ờ ả Đ t ặ i:
+ 3 f x x mx ( ) f x = nh m đ '( ) 0
ượ ử ụ ệ ấ ẩ ả c nghi m nên chúng ta s d ng cách b ng Nh n th y
ế ậ bi n thiên
f x
2 x m
= '( ) 6
0m (cid:0)
- Ta có
̀ươ ế ợ ố ồ ế Tr ng h p 1: N u thì hàm s đ ng bi n trên
=
x
m 6 6
f
x = (cid:0) '( ) 0
0m > thì
= -
x
m 6 6
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ̀ươ ế ợ Tr ng h p 2: N u (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+(cid:0)
ế ả Ta có b ng bi n thiên
x
m 6 6
- (cid:0) -
+
f x(cid:0) ( )
+
m 6 6 0
+(cid:0)
0 dcy
f x ( )
-
cty
- (cid:0)
=
ừ ả ế T b ng bi n thiên suy ra
y
+ 32 x mx
1
(1;
)+(cid:0)
- ể ế ả ồ ố Đ hàm s đ ng bi n trên kho ng
m
1
3m (cid:0)
m
6 3
f
m 6 6 (1) 0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
m (cid:0)
6 {
m (cid:0)
} 1; 2;3
ừ ườ ượ T hai tr ợ ng h p ta đ c
ươ Vì m nguyên d ng nên
19
ọ Ch n đáp án:
ẩ ậ ọ N u ế ả c nghi m các em nên ch n cách l p b ng
ượ ễ ể ậ ế ệ ấ C f x = nh m đ '( ) 0 Nh n xét: bi n thiên, đây là cách phân tích d hi u nh t.
5
=
ủ ị Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s ể ố m đ hàm s ố
m
y
x
x
5(
1)
8
(
;1)?
- - - - (cid:0) ụ Ví d 3: + 25 x ế ả ị ngh ch bi n trên kho ng
5
=
+ 2
A. 2. B. 0. C. 4. D. 1.
x
x
m
x
f x ( )
5
5(
1)
8
- - - L i gi ờ ả Đ t ặ i:
f x = không nh m đ '( ) 0
ậ ấ ẩ ượ ệ Nh n th y c nghi m nên ta không dùng cách 3 đ ể
= -
ả gi i bài toán này, mà dung cách 1
=
(
y
f x ( )
);1
f x Ta có lim ( )
x
(cid:0) - (cid:0) ế ả ị (cid:0) - (cid:0) nên hàm s ố ngh ch bi n trên kho ng (cid:0)
f
x
'( ) 0
10
+ x m 5
5 0
x
x
,
-� � (
;1)
,
-� � (
;1)
f x
( ) 0
45 x f
(1) 0
(cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) " " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+ 4
x
+ x
(
2
1)
m
2.1905...
m Max ( ;1)
+ 4
m
x
+ x
2
1
x
,
-� � (
;1)
m
m
5
17 0
m
17 5
17 5
3m =
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Vì m nguyên nên
ọ Ch n đáp án: D
ị ượ ả ặ ậ ậ Khi nh n đ nh đ
- (cid:0) ướ ụ ể ả nhánh ồ ị đ th c gi ằ f x n m d ( ) ầ i bài toán theo cách 1 ho c 2 thì các em c n i tr c hoành đ không ph i xét hai
ậ ườ Nh n xét: ấ ở nh n th y ợ ng h p. tr
20
4
3
=
ủ ị ể ỏ ơ 10 đ hàm s ố Ví d 4: ụ Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s
(
y
x
x
+ 2 x m
3
4
12
- - - (cid:0) - ố m nh h n ) ; 1 ? ế ả ị ngh ch bi n trên kho ng
4
3
A. 6. B. 4. C. 3. D. 5.
f x
x
x
+ 2 x m
= ( ) 3
4
12
- - L i gi ờ ả Đ t ặ i:
21
ồ ị
f x ấ lim ( )
x
=
ử ụ Cách 1: S d ng đ th = +(cid:0) (cid:0) - (cid:0) ậ Ta nh n th y
(
y
f x ( )
) ; 1
3
2
- (cid:0) - ế ả ị ngh ch bi n trên kho ng
x
x
x
x
12
24
0
x
x
-� � (
; 1)
-� � (
; 1)
,
,
f x
( ) 0
12 f
( 1) 0
(cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) Nên hàm s ố f '( ) 0 (cid:0) " - " - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
- + 5
0m
5m (cid:0)
{
m (cid:0)
} 5;6;7;8;9
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Vì m nguyên và nh h n ỏ ơ 10 nên
=
ọ Ch n đáp án: D
x
3
2
0 = -
x
1
x
x
f
x
12
= x 24
0
=
x
2
+(cid:0)
+
2 0
+(cid:0)
+(cid:0)
0 + 0 m
f x ( )
1- 0 5m -
32m -
ế ả (cid:0) Cách 2: S d ng b ng bi n thiên (cid:0) - - ử ụ = '( ) 12 Ta có (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ế - (cid:0) - - Ta có b ng bi n thiên x f x(cid:0) ( )
=
ừ ả T b ng biên thiên suy ra
(
y
f x ( )
m -
5 0
5m (cid:0)
(cid:0)
- (cid:0) - (cid:0) ể ế ị ố Đ hàm s ngh ch bi n trên kho ng (cid:0)
m (cid:0)
) ; 1 } 5;6;7;8;9
ả { Vì m nguyên và nh h n ỏ ơ 10 nên
ọ Ch n đáp án: D
ư ể ầ Bài toán này chúng ta có th làm b ng ba cách, nh ng các em c n
3
=
ằ ậ ậ ậ ừ ệ ấ ậ ớ ị Nh n xét: ể ả nh n đ nh các d u hi u đ gi m b t các l p lu n th a.
y
x
(0;
3( m
3
+ 2
=
- ủ ả ế ồ ố ằ t r ng - (cid:0) (cid:0) ố m đ hàm s ể Ví d 5: ụ ấ ả ị t c bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s Có t )+(cid:0) + + + 2 ế m m x m x 3 ( 2) 1) , bi đ ng bi n trên kho ng 2021 2021 ?
+ m
x
x
x
f x ( )
2)
3(
1)
2
- A. 2020. B. 2021. C. 2022. D. 2019. + m m 3 ( ị xác đ nh trên L i gi ờ ả Đăt ̣ i:
f
x
x
+ m
= '( ) 3
6(
+ + x m m 3 (
1)
2)
- Ta có
22
f
x = (cid:0) '( ) 0
+
= x m = x m
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
+(cid:0)
ế ả Ta có b ng bi n thiên - (cid:0)
+
x f x(cid:0) ( )
2m + 0
+
+(cid:0)
m 0
f x ( )
-
- (cid:0)
+ (cid:0)
ừ ả ế T b ng bi n thiên suy ra
m
2 0
=
y
(0;
)+(cid:0)
f x ( )
ể
ế
ả
ồ
m (cid:0)
ố Đ hàm s
đ ng bi n trên kho ng
(cid:0)
2.
f
(0) 0
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
m
{ m - �
2021
} 2021; 2020;...; 2
- (cid:0) (cid:0) - - Vì m nguyên và 2021 nên
f
ọ Ch n đáp án: A
x = nh m đ '( ) 0
ậ ậ ấ ẩ ượ ệ Bài này các em nh n th y ọ c nghi m nên ta ch n
Nh n xét: cách 3 đ gi
m trong đoaṇ
=
́ ́ ́ ́ ̉ ̉ ̣ ̉ ể ả i. Ví d 6: ụ
(
)
-
[
]
y
10;10
1; +(cid:0)
S =
S =
55.
54.
3.
S = 5.
̀ ́ ̉ ̉ ́ ̀ đê ham sô đông biên trên khoang . ́ S tât ca cac gia tri nguyên cua tham sô Tinh tông + mx 3 + + x m 2
S = D.
A. B. C.
+
=
̀ơ ̉ L i giai:
f x ( )
m(cid:0)
x
2.
2
- - ́ ́ ̀ Xet ham sô
=
f
x '( )
.
mx 3 + + v i ́ơ x m 2 + m m 3 2 + + 2 x m ( 2)
=
(
)
y
f x ( )
1; +(cid:0)
- Ta co ́
2
̀ ́ ươ ̉ ́ ̀ Ham sô đông biên trên khi xay ra hai tr ̀ ợ ng h p sau
>
0
f
x
3 2 2)
x
x
f x
,
+ � � (1; )
,
+ � � (1; )
> '( ) 0 � ( ) 0 m
+ m m 2 + + x m ( � f (1) 0 m
+� � 2 (1; )
2 1
3
2
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) " " (cid:0) (cid:0) ̀ươ Tr ợ ng h p 1: (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
- >
m
m
3 0
< -�(cid:0) m > m 1
0
1.m >
+ +
2 3 3
1 0 m
3
m m m
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
23
2
<
0
f
x
3 2 2)
x
x
f x
,
+ � � (1; )
,
+ � � (1; )
< '( ) 0 � ( ) 0 m
+ m m 2 + + x m ( � f (1) 0 m
+� � 2 (1; )
2 1
2
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) " " (cid:0) (cid:0) ̀ươ Tr ợ ng h p 2: (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
- <
m
m
2
3 0
2
+
- <
m
m
2
3 0
0
m �� .
+ +
3 3
1 0 m
3
m m m
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
-
[
]
)
(1;
10;10
m {
=
̀ ̣ ̣ ̣
S = + + + + + + + +
2 3 4 5 6 7 8 9 10 54.
+� � , vi ̀m nguyên va thuôc đoan } 2;3; 4;5;6;7;8;9;10 . Vây
Vây m (cid:0) ̣ Suy ra
́ ́ ̣
́ ́ ̀ ̀ Chon đap an: B. ́ ơ ́ ư ̣ ̣ ̣ ̣ ́ Đôi v i ham phân th c bâc nhât trên bâc nhât thi đao ham luôn khac
a b ( ; ).
́ ́ ́ ́ ̣ ̣ ̉ ̉ ̀ Nhân xet:́ ́ ̀ không va chu y tâp xac đinh phai ch a khoang
= + +
+(cid:0)
́ ̀ ̣ ̉ ̉ ́ Co bao nhiêu gia tri nguyên âm cua tham sô ́ m đê ham sô - ư ́ )
[
x
y
5
5;
?
m 2
̀ ́ đông biên trên - ụ Ví d 7: 1 x
A. 11. B. 10. C. 8. D. 9.
+(cid:0)
= + +
)
5;
.
x
f x ( )
5
1 x
m 2
2
̀ơ ̉ L i giai: - ́ ́ ̀ Xet ham sô trên [ -
x
3
= +
=
f
x
'( ) 1
.
2
m x
(
1 2)
+ + x m 4 2 x 2)
(
= +(cid:0)
=
)
- - Ta co ́ - -
[
.
y
f x ( )
5; +(cid:0)
f x lim ( ) (cid:0) +(cid:0) x
2
̀ ́ ̀ ̣ ̉ Ta nhân thây ́ đông biên trên khi va chi ̉
x
3
f
x
0
'( ) 0
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) " " -
[
[
x
x
) +� � 5;
.
,
,
) +� � 5;
.
f x
( ) 0
f
4 x ( (5) 0
(cid:0) (cid:0) ́ ̀ Đê ham sô + + x m 2 2) khi (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
+ + x m
x
2 4
(cid:0) - "
[ ) + � � � 5;
3 0,
+ 2
(cid:0) - - "
[
�
m
x
x
x
4
3,
) + � � 5;
1
+
m
31
10
0
m 3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+ 2
x
x
(
4
3)
m
+(cid:0)
m Max [ )
5;
m
31.
m
8 31
m
31
(cid:0) (cid:0) - - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 8 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
{ m - �
} 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1 .
- - - - - - -
́ ̣ Do m nguyên âm ta co ́ ́ Chon đap an: C
24
=
)
́ ́ ́ ươ ̣ Khi phân tich bai toan chung ta cân năm v ng ph
[
f
x
,
) +� � 5;
.
f x
( ) 0
̀ y ́ f x ( ) ự 5; +(cid:0) ̀ ́ ̀ ̀ ́ ̉ ̉ ̉ ̀ ́ ng phap cho bai ng̀ ươ khi xay ra hai tr (cid:0) (cid:0) Nhân xet:́ ́ ́ toan tông quat. Đê ham sô x '( ) 0 " đông biên trên [ (cid:0) ̀ ợ h p la tr ̀ ợ ươ ng h p 1: (cid:0) (cid:0)
f
x
'( ) 0
(cid:0) (cid:0) "
[
x
) +� � 5;
.
,
f x
( ) 0
= +(cid:0)
.
(cid:0) ̀ươ ̀ va tr ợ ng h p 2: (cid:0) (cid:0)
f x lim ( ) (cid:0) +(cid:0) x
́ ̀ ́ ượ ̣ ̀ c răng ̀ nên yêu câu bai toan chi ̉
ươ ̉ ́ Tuy nhiên chung ta phat hiên đ ̀ ợ ng h p 1. xay ra tr
x
(
(
= ́ ̀ y Cho ham sô )5;5
2 3 2 ̀
x m 3 ̃ ́
- - - ́ ̣ Ví d 8: ụ - ́ ̣ ̉ ̉ ̣ ̉ tham sô ́m thuôc khoang ́ đê ham sô đa cho nghich biên trên khoang ̉ , Co bao nhiêu gia tri nguyên cua )2;3 ?
A. 2. B. 3. C. 5. D. 9.
2
̀ơ ̉ L i giai:
x
x
2
3
2
=
=
f
x '( )
- = 2
.
)2;3 . co ́
x
f x ( )
3 2
x m 3
x 2
2
x
x
3
3
- - - - - ́ ́ ̀ Xet ham sô trên ( - -
x
0
2
=
f
x = (cid:0) '( ) 0
x = 2.
x
x
2
3
2
2
x
x
4
= 12
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - Ta co ́ (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
(
)
(
f
x
x
< '( ) 0,
2;3
f x nghich biên trên
)2;3 .
" (cid:0) ́ ( ) ́ ̣ Ta thây ́
(
)
f
2;3
(3) 0
(cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) ̀ nên ham sô f x (cid:0) ( ) 0, x ̀ ̉ ́ ̀ Suy ra yêu câu cua bai toan
(cid:0)
m
0m
6 6 3
- - - (cid:0) (cid:0) 6 6 3 (cid:0) .
(
{
m (cid:0)
)5;5
} 2; 3; 4 .
- (cid:0) ̀ ̣ ̉ Do m nguyên va thuôc khoang
=
(
y
f x ( )
́ ́ ̣ B.
x
f
)2;3 khi xay ra hai tr x '( ) 0
(
(
x
x
,
) 2;3 .
,
) 2;3 .
f x
f x
( ) 0
( ) 0
̀ ́ ươ ̣ ̉ ̉ đông biên trên ̀ ợ ng h p la ̀ Nhân xet:́ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Chon đap an: ́ ̀ Đê ham sô f '( ) 0 " (cid:0) " (cid:0) (cid:0) (cid:0) ̀ươ ̀ươ Tr ợ ng h p 1: ̀ va tr ợ ng h p 2: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(
)
f
x
x
< '( ) 0,
2;3
" (cid:0) ́ ̣ ̉ ̉ ́ Tuy nhiên ta phat hiên thây nên chi xay ra tr ̀ ợ ươ ng h p 1
́ ́ ́ ̀ ̀ ́ ự ̉ ̣ ̉
3
=
́ ̀ ́ ươ ng phap, chung ta con phai phân ̀ ́ ́ ́ ́ ̀ ̃ ư ở ơ ̉ ̣ ̣ ̉ ̣
x m
+ x
y
sin
sin
1
- ́ ́ ̀ ự ̣ ̉ Do đo khi giai môt bai toan ngoai năm v ng ph ̀ tich bai toan đê phat hiên ra nh ng điêu kiên đê bai toan tr nên ngăn gon h n. ́ ợ , goi ̣ S la tâp h p tât ca cac sô t ́ Ví d 9: ụ Cho ham sô
.S
̀ ́ ́ ̀ ́ ́ ̀ ử ̉ ̉ ̃ nhiên m sao cho ham sô đa cho đông biên trên khoang . Tinh sô phân t cua ̀ p� � 0; � � 2 � �
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
̀ơ ̉ L i giai:
(
=
x
t (cid:0)
)0;1 .
t
x
sin
p� � (cid:0) 0; � � 2 � �
(cid:0) Đăt ̣ ,
25
=
y
x
sin
p� � 0; � � 2 � �
3
=
̀ ̉ Trên khoang ́ ̀ ham sô ́ đông biên.
y
x m
+ x
sin
sin
1
p� � 0; � � 2 � �
=
- ̀ ́ ̉ ̉ ́ ́ Khi đo ham sô ̀ khi va chi khi
y
+ 3 t mt
1
- ̀ ́ ́ ̀ ham sô đông biên trên
f
+ = - 3 t mt
f
t ( )
1
= t '( ) 3
2 t m .
)0;1 co ́
=
̀ đông biên trên khoang )0;1 . ( ( - ́ ̉ ́ ̀ Xet ham sô trên khoang
f
y
f
t ( )
0m (cid:0)
(cid:0) ̀ ́ ợ Tr thi ̀ ́ ̀ ham sô đông biên.
t '( ) 0 (
y
f
f
t ( )
(0) 0
1 0(cid:0)
f
t = (cid:0)
́ ̀ ươ ng h p 1: Nêu = (cid:0) (cid:0) )0;1 (cid:0) ́ ̀ ̉ ́ ̀ Đê ham sô đông biên trên luôn đunǵ (cid:0)
0m > thi ̀
t = (cid:0) '( ) 0
m 3
ợ . Tr ́ ̀ ươ ng h p 2: Nêu
+(cid:0)
́ ́ ̉ Ta co bang biên thiên
x
- (cid:0)
+
f x(cid:0) ( )
+
m 3 0
m- 3 0
f x ( )
-
0m > (cid:0)
m < < 0 3
m 3
- ̣ Ta nhân thây ́
3
1
=
(
y
f
t ( )
)0;1 (cid:0)
m �� .
m (cid:0) 1 0
f
m 3 (0) 0
0m (cid:0)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ̀ ́ ̉ (cid:0) (cid:0) ́ ̀ Đê ham sô đông biên trên (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ư ươ ợ ̀ T hai tr ́ ̀ ng h p trên ta co
m =
0.
(cid:0) ̀ ́ ự Do m la sô t nhiên
́ ̣
̀ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ ̉
́ ̀ ̀ ̀ ́ 0m > (cid:0) ̀ ̀ ̣ ươ ̉ ̣ ử ng. Chung ta chu y điêu kiên Chon đap an: A Nhân xet:́ ́ Bai toan nay đao ham tim đ ́ ư đê phân tich va đ a ra điêu kiên t ượ ng đ
)0;1 năm trong hay
m < < 0 3
m 3
c nghiêm nên ta s dung bang biên thiên ́ ́ ươ ( - ̀ ́ ̀ ươ ợ ̉ ̉ ̉ ̀ ng h p khoang đê không phai xet nhiêu tr
m m ; 3 3
� -� � �
� . � � �
=
mx
y
- + x
ln(
2
̀ ̉ ̀ năm ngoai khoang
m <
2020.
̣
) ́
(1; 4) ? Biêt răng
́ ̀ ụ Cho ham sô Ví d 10: ̃ ̀ ̉ , co bao nhiêu gia tri nguyên cua ́ ́ ̀ ́ ̉ ̣ ̉ ́ tham sô ́m đê ham sô đa cho nghich biên trên khoang
A. 2018. B. 2019. C. 1. D. 2020.
̀ơ ̉ L i giai:
26
=
mx
- + x
)
2
́ trên (1; 4) .
̀ Xet ham sô )1; 4 ( x (cid:0) Do
m > (
x"
f
x '( )
1 0,
f x nghich biên trên
(1; 4) .
(cid:0) 0. )1; 4 . ́ ( ) ́ ̣ Ta co ́ ̀ ham sô
y
f
f x ( )
(4) 0
(1; 4) khi va chi khi
2
́ ( ) f x ln( mx > (cid:0) , 0 1 = - < x = (cid:0) ̀ ́ ̉ ̣ ̉ ́ ̀ Đê ham sô nghich biên trên
m (cid:0)
m - ln(4 ) 2 0
{
m (cid:0)
} 2;3; 4;...; 2019 .
e 4 m <
2020
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
Do m nguyên va ̀ (cid:0)
̣
̀ ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ Chon đap an: A ́ ơ ̣ ̣ ́ ơ i điêu kiên xac đinh.
x
f
x
,
(1; 4).
f x
( ) 0
́ f ̀ ́ ̣ ̉ ̉ ̣ Nhân xet:́ toan nay ta nhân thây ́ ́ ́ ́ Đôi v i ham sô lôgarit chung ta cân chu y t x < nên bai toan chi xay ra môt tr ́ '( ) 0 ̀ ̣ Ở bai ̀ ợ ươ ng h p (cid:0) (cid:0) ́ ̀ '( ) 0 " (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ậ ươ 2.3.1d. Bài t p t ng t
3
2
+ +
+
=
x m
x
x
y
(0;
)+(cid:0)
ị ươ ủ ng c a tham s ể ố m đ hàm s ố
5m < .
1 2
ế ả ồ ế ằ đ ng bi n trên kho ng ? bi t r ng ự Bài 1: Có bao nhiêu giá tr nguyên d 1 3
A. 2. B. 4. C. 6. D. 8.
( 10;10)
=
+ mx
y
32 x
(1;
2
3
- ủ ả ị để - ộ ố m thu c kho ng Bài 2: Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s )+(cid:0) ế ả ồ đ ng bi n trên kho ng ? hàm s ố
A. 12. B. 8. C. 11. D. 7.
3
=
y
+(cid:0)
+(cid:0)
ợ ả t c các giá tr c a tham s ể ố m đ hàm s ố - đ ng bi n trên kho ng
)
- (cid:0) - (cid:0)
] ; 2 .
2;
.
4;
.
)
ị ủ )+(cid:0) là ] ; 4 . D. [
3
=
y
)+(cid:0)
(2;
ả (3; C. ( ợ ấ ả ị ủ ể ố m đ hàm s ố - ậ ế ồ ấ ậ Bài 3: T p h p t + - 23 ế ồ x m x 4 A. [ B. ( ) [ a= +(cid:0) Bài 4: G i ọ S là t p h p t ; + + + 23 x mx m x 1 đ ng bi n trên kho ng t c các giá tr c a tham s . Khi đó a b ngằ ả
=
- B.1. C. 0. D. 1.
y
1
m sao
- . G i ọ S là t p t t c các s t nhiên
[
+ 3 x mx ) 1; +(cid:0)
ố ồ ế ấ ả ổ A. 3. Bài 5: Cho hàm s ố cho hàm s đ ng bi n trên ậ ấ ả t c các ph n t ố ự c a ầ ử ủ S . . Tính t ng t
=
y
A. 3. B. 1. C. 9. D. 10.
+ x m + x 1
+ (cid:0)
̀ ́ ́ ́ ̀ ̣ ự ̉ ̉ ́ m sao cho ham sô
(
1;
.
́ Bài 6: Tim tât ca cac gia tri th c cua tham sô ) ̀ ́ ̉ đông biên trên khoang
m < -
1.
1.m
< 1.m
1.m > C. 1
- < D. 1
- (cid:0) (cid:0) A. B.
27
=
y
x m ̀ + + đông biên trên x m
3
+ (cid:0)
(
)
2;
?
- ́ ́ ̀ ́ ̉ ́ m đê ham sô Bài 7: Co bao nhiêu sô nguyên
1
=
y
̉ khoang
+ (cid:0)
(
)
1;
.
̀ ́ ̀ ́ ̀ ̉ ̣ ̉ ̉ ́ m đê ham sô ́ đông biên ́ ́ Bài 8: Tim tât ca cac gia tri cua tham sô A. 4. B. 2. C. 3. D. 1. - + x m + x m
m (cid:0)
m<
m (cid:0)
2.
̉
< 2.
hoăc ̣ A. B.
m(cid:0)
2.
2.
1 2
1 2 1 2
+
y
= - + x 1
(cid:0) (cid:0) trên khoang 1 2 m< C. D.
m 2 x
1 1
+ (cid:0)
)
̀ ̣ ̉ ̉ ́ m đê ham sô ́ ́ Bài 9: Co bao nhiêu gia tri nguyên cua tham sô -
3;
?
́ [ ̀ ́ đông biên trên
y
= + - x m
A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.
2 x
+(cid:0)
)
́ ̀ ́ ́ ̀ ̣ ự ̉ ̉ ̉ ́ m đê ham sô ́ Bài 10: Tim tât ca cac gia tri th c cua tham sô
[
1;
.
̀ ́ đông biên trên
m >
1.m (cid:0)
1.m (cid:0)
- (cid:0) (cid:0) B. 1 C. D.
0. ̀
m
1
(
)
́ ́ ̀ ợ ̣ ̉ ̣ ̉ ́ m sao cho ham sô A. 1.m ́ ́ Bài 11: Biêt răng tâp h p tât ca cac gia tri cua tham sô - -
]
= + + x
y
1
2; + (cid:0)
;a b . Tinh
a b+ .
2 2 m + x 1
̀ ́ ́ đông biên trên ́ la ̀[
- - - B. 9. C. 2. D. 7.
]
[
m thuôc đoan
+ (cid:0)
= +
́ ́ ̀ ̉ ̣ ̣ ̉ ́ 0;10 đê ham sô
(
x m x
+ x
y
2 2
1;
3
?
2
+
=
x m
y
x
x
- A. 10. ́ Bài 12: Co bao nhiêu sô nguyên cua tham sô ) ̀ ́ ̉ đông biên trên khoang
2
A. 11. B. 10. C. 12. D. 9. + - + 2 ̀ ́ ự , trong đo ́m la tham sô th c. Goi ̀ ̣ ́ Bài 13: Cho ham sô
-
[
]
2020; 2020
)
- + (cid:0) 1;
.
̀ ́ ́ ̣ ̉ ̣ ̣ ̉ ́ ̀ đê ham sô
S là
́ ̀ ́ ̀ ử ̉ ̉ ̣ ́ ợ S la tâp h p tât ca cac gia tri nguyên cua ( đông biên trên khoang Sô phân t ̉ m trên đoan cua tâp
2
2
=
+ +
A. 2019. B. 2018. C. 2020. D. 4041.
y
+ x m
3 2
)
x ́
m (cid:0)
- ̀ ́ ́ ̉ ̣ ̉ ́ , tim tât ca cac gia tri cua tham + (cid:0) ̀ ́ Bài 14: Cho ham sô ̀ ́ ̃ ̉ ̉ sô ́m đê ham sô đa cho đông biên trên khoang
( (
)
m
A.
] ;0 . ) ; 2 .
3;
m 5 ( 1; m -� � B. m -� � C.
̀ . )1; 4 . ( [ +� � . C.
28
-
[
]5;5
m thuôc đoan
3
2
=
́ ̣ ̉ ̣ ̣ ̉ đê ham̀ ́ ́ Bài 15: Co bao nhiêu gia tri nguyên cua tham sô
y
x
cos
x m 3
cos
p� � ? 0; � � 2 � �
- ́ ̣ sô ́ nghic biên trên
A. 1. B. 11. C. 5. D. 6.
x
x
=
́ ̀ ươ ̣ ̉ ̉ ́ ng cua tham sô ́ m đê ham sô
[
y
- + m
9
3
1
̀ ̣ ́ Bài 16: Co bao nhiêu gia tri nguyên d + ́ đông biên trên đoan
]0;1 ? A. 1. B. 4. C. 3. D. 6.
m va nho h n
x
x
=
m
y
.2
4
2
́ ̀ ươ ̣ ̉ ̉ ơ 2020 - ̀ ́ ̉ ̉ Bài 17: Co bao nhiêu gia tri nguyên d + + + 1 ́ ̀ m đê ham sô ́ đông biên trên khoang ́ ng cua tham sô )0;1 ? (
x
x
2
+
A. 2018. B. 2019. C. 2. D. 3.
e
m
(
- ̀ ́ ́ ́ ̀ ̣ ơ ̉ ̉ ́ , gia tri l n nhât cua tham sô ́ m đê ham sô
= ́ y e Bài 18: Cho ham sô )1; 2 là ́
e
e+
2.
̃ ̀ đa cho đông biên trên
2.e D. 2.
=
A. .e B. C.
y
+ 2 x m
- ́ ̣ ̉ ́ , co bao nhiêu gia tri nguyên cua tham ́ Bài 19: Cho ham sô
x ln(3 ) 4 )
100;100
21; e� �� � ?
- ̀ ( ́ ̃ ̀ ́ ̀ ̣ ̉ ̉ ̣ sô ́m thuôc khoang đê ham sô đa cho đông biên trên đoan
=
+
y
+ 3 x mx
ln(
2)
A. 101. B. 102. C. 103. D. 100.
́ ̣ ̉ ́ Bài 20: Cho ham sô
-
[
[
)1;3 ?
̀ ]3;3 ́ ̃ ̀ ́ , co bao nhiêu gia tri nguyên cua tham ̀ ́ ử ̣ ̣ ̉ ̉ đê ham sô đa cho đông biên trên n a khoang sô ́m thuôc đoan
=
y
f x m ( ;
)
A. 7. B. 4. C. 6. D. 5.
ố ệ ủ ề ố m đ hàm s ể có n
ể 2.3.2. Bài toán: Tìm đi u ki n c a tham s ự ị đi m c c tr .
̀ ́ ́ ́ ươ ̣ ̉ 2.3.2a. Ph ̀ ng pháp phat hiên va giai quyêt vân đê
́ ́ ́ươ ̣ ̣ B c 1: ̀ Phat hiên/ thâm nhâp vân đê.
y
f x m ( ;
)
y =
f x m ( ;
)
̃ ́ ́ ̀ ự ̉ ̉ ̉ ̣ ́ = ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ̉
̀ ̀ ̣ ̣ ̉ ̉
̀ ́ ̣ ̉ ́ ́ ̀ ̉ Cac em đa biêt cach giai cac bai toan tim cac điêm c c tri cua Câu hoi 1: = co ́ n điêm̉ ́ ̀ ́ ́ ̀ m đê ham sô f x ( ) ; tim điêu kiên cua tham sô ham sô ̀ co ́ n điêm̉ ́ ̀ ́ ́ m đê ham sô ự y c c tri. Bai toan tim điêu kiên cua tham sô ̃ ư ượ ự c c tri se đ c giai nh thê nao?
́ ́ ̀ ̃ ̣ ̉ ̣ ́ c nay, sau khi tiêp nhân câu hoi thi hoc sinh se co nhiêu h
+ ́ ươ ́ ư ̉ ̣ ̣
́ Ở ươ b ư ư ́ ́ ̉ ượ ̣ ̉ ̣ ̣ ng phap giai hiên tai co giai đ ́ ̀ ̉ ng giai ̃ ̀ duy: Dang toan nay đa ̀ ́ c hay không? Nêu không thi
́ ̉ ̀ ̀ ươ ́ ́ ươ ng giai quyêt khac không? ̀ ̃ quyêt. Nh ng se lam nay sinh trong hoc sinh cac vân đê t ́ găp hay ch a? Ph ́ co h
̀ ̀ ̀ ́ươ ̉ B c 2: Tim toi h ́ ́ ươ ng giai bai toan
29
f x
( ; m)
́ ́ ̀ ́ ̣ ̣ ̣ ̉ ̣ ́ Khi hoc sinh đang phân tich bai toan, giao viên tiêp tuc đăt câu hoi cho hoc sinh.
̀ ̀ ̃ ́ ự ̉ ̣ ̣ ̉ ̉ ̣ ́ Em hay nhăc lai điêu kiên đê ham sô co ́n điêm c c tri? Câu hoi 2:
̀ ̃ ́ ̀ ươ ̣ ̉ (cid:0) ự ̉ ̣ ̣ ̀ ́ ̣ ươ ng đ c điêu kiên t ng cua bai toan = co ́ n nghiêm lam̀ ̀ x f '( ; m) 0 ng trinh
̉ ́ ơ ̣ ượ Ở ươ c nay hoc sinh se nh lai đ b + co ́ n điêm c c tri ́ ̀ ươ f x ( ; m) ph ham sô đôi dâu.́ f x ( ; m)
̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ́ ́ ̉ ợ ở ơ ̣ ̣ ̣ + Đôi v i hoc sinh yêu h n thi giao viên co thê g i m : Nhăc lai điêu kiên
̀ ́ ơ ́ ự ̉ ̉ ̣ đu đê ham sô co c c tri.
̀ ́ ́ ́ ́ ́ ̣ ̣ c dâu gia tri tuyêt đôi thi chung
=
y
f x m ( ;
)
́ ́ ̀ ́ ̀ ̀ ư ̣ ̣ ̉ ́ ́ ̉ ượ + Phân tich: Giao viên phân tich, nêu bo đ ́ ̃ f x m vê bai toan trên, giao viên tiêp tuc đăt câu hoi. ( ; ) ́ ta đa đ a bai toan
́ ́ ́ ̀ ̃ ử ̉ ̣ ̣ ̉ ́ Em hay kh dâu gia tri tuyêt đôi cua ham sô . Câu hoi 3:
̃ ́ ̀ ươ ̣ ̣ + Ở ươ b ́ c nay hoc sinh se co hai đinh h ́ ng:
)
( ;
=
= (cid:0)
y
f x
( ; m)
(cid:0) (cid:0)
( ;
( ;
)
) 0 < ) 0
=
=
f x m nê u f x m ( ; ´ f x m nê u f x m ´ ] 2
- (cid:0)
[
y
f x
( ; m)
f x m ( ;
)
Hoăc ̣
́ ́ ử ̣ ̣
=
́ ́ ̀ ̀ ́ ư ̣ ̣ ̉ nhiêu công th c thi viêc xet sô nghiêm cua hai ph ́ ở ươ ng 1 thi đao ham cho b i = và ươ f - + Phân tich: Giao viên phân tich, nêu s dung h ̀ ́ x '( ; m) 0 ́ ̀ ́ ́ ́ ng trinh ử ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ găp kho khăn trong viêc xac đinh sô nghiêm. Ta s dung h ̀ x '( ; m) 0 ́ ươ ng 2:
'y đôi dâu.́
̀ ̣ ̉
f y = co ́n nghiêm lam cho ' 0 ̀ ́ươ
̀ ̀ơ ̉ Trinh bay l i giai c 3: B
f
)
=
y
'
.
=
=
ề ử ụ ố
] 2
[
y
f x m ( ;
f x m ( ;
)
)
( ; )
=
y
f x ( )
Ta có (cid:0) suy ra ị ệ ủ ể ự (S d ng đi u ki n đ đ hàm s có c c tr ) x m f x m ). '( ; f x m ( ;
f
).
f x m f x m = '( ; ) 0 ( ;
=
ố ể ị ủ ự ơ ệ ệ ặ ố S đi m c c tr c a hàm s ộ ẻ ủ c a (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ph ng trình . (cid:0) là s nghi m đ n ho c nghi m b i l x m '( ; f x m ( ; ố = ) 0 = ) 0
=
y
ự ự
f x ( ) ớ ụ
ị ủ ể ủ ị ủ ể và s giao đi m c a ố ể chính là s đi m c c tr c a hàm ế v i tr c hoành ( không tính đi m ti p
ố ư ậ ố ể y Nh v y s đi m c c tr c a hàm s = s ố ố f x f x y ( ) ( ) xúc).
=
y
f x ( )
ọ ằ ồ ị Minh h a b ng đ th :
ồ ị Đ th
30
=
y
f x ( )
ồ ị Đ th
31
̀ ̀ ươ ư ̉ B
=
̀ ́ ơ i giai va nghiên c u sâu bai toan ́ ́ ́ ̀ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̣ ̣ ̣
] 2
[
y
f x m ( ;
)
f
'( ;
)
=
y
'
̀ ̀ ́ ́ ượ ư ư ̣ ́ ́ ́ ́ c 4: Đanh gia l ́ ̀ ư + Bai toan nay thoat nhin ham sô ch a dâu gia tri tuyêt đôi lam cho chung ta ̀ ́ c đao ham thây kho khăn, nh ng khi đ a vê ham sô ̀ ̀ va tim đ
x m f x m ). ( ; f x m ( ; )
́ ̀ ̃ ̀ ̀ thi ta đa quy vê bai toan quen.
̀ ́ ̀ ́ ̉ ử ̉ ̣ ̣ ̣ ̉
́ + Ngoai cach giai trên chung ta con co thê s dung đô thi hoăc băng biên ̀ ̀ ̣ ươ ̉ ̉ ̀ ́ ́ ươ ng cua bai toan.
=
y
ng đ ế ̀ thiên đê tim điêu kiên t ả ử ụ
'( ; ệ ươ
ạ ủ c nghi m c a đ o hàm
f x m thì chúng ta ủ ươ ng c a
) ng đ
ề ệ ẩ nh m đ ư đó phân tích và đ a ra các đi u ki n t
Cách 2: S d ng b ng bi n thiên ượ ố ế f x m ) ( ; N u hàm s ừ ế ả ậ l p b ng bi n thiên, t bài toán.
́ ̣
-
]
2020; 2020
3
y
x
ạ [ ộ m thu c đo n đ hàmể - ́ ụ 2.3.2b. Vi du ap d ng Ví d 1:ụ Có t + = 23 x m t c bao nhiêu s nguyên ự s ố ố ấ ả ị ể có ba đi m c c tr ?
3
=
A. 4038. B. 4041. C. 4037. D. 4036.
x
+ 2 x m
f x ( )
3
-
=
ị xác đ nh trên ố ờ ả Đ t ặ i: ử ụ ự ề L i gi ị Cách 1: S d ng đi u ki n đ đ hàm s có c c tr
y
'
=
=
(cid:0)
[
] 2
y
f x ( )
f x ( )
=
Ta có ệ ủ ể f x f x '( ). ( ) f x ( )
y
x
f
f x f x = ( ) 0 '( ).
f x
f x ( ) = '( ) 0 = ( ) 0
(cid:0) ố ể ị ủ ự ệ ệ ặ ố ơ ố S đi m c c tr c a hàm s là s nghi m đ n ho c nghi m b i l ộ ẻ (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ . ủ c a ph ng trình (cid:0)
=
x
0
2
3
6
=
x
2
x 3
x
= x 0 = + 2 x m
3
0
3
x
0 (*)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
ự ể ể ố ườ ợ (*) có hai tr ng h p
= + 2 x m 3 ị (cid:0) Đ hàm s có 3 đi m c c tr 0 và khác 2
ệ ộ + M t nghi m khác
0 và khác 2 nghi m còn l
ệ ệ ạ i là
3
ệ ộ 2 .
m
x
23 x
2
0 = - + 3 x
x
x g( )
- ệ + Hai nghi m trong đó m t nghi m khác ằ ặ ằ 0 ho c b ng nghi m kép b ng = - + = + 23 3 x x m
=
(cid:0) 3 Xét (*): Xét hàm s ố
0
= -
+ 2
x
= x
(cid:0)
g x '( )
3
6
0
=
x
2
(cid:0) ị xác đ nh trên x (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+(cid:0)
x f x(cid:0) ( )
+
0 0
0 0
ế ả Ta có b ng bi n thiên - (cid:0) - -
32
+(cid:0)
4
f x ( )
0
- (cid:0)
ừ ả
4
m
0
(cid:0) (cid:0) ế T b ng bi n thiên suy ra m (cid:0) (cid:0) ệ ề Đi u ki n bài toán (cid:0) (cid:0)
-
]
2020; 2020
ộ ỏ ạ [ Do m nguyên và thu c đo n suy ra có 4043 giá tr ị m th a mãn
bài toán.
3
ế ả
x
f x ( )
3
ử ụ = - Cách 2: S d ng b ng bi n thiên + 2 x m Xét
x
2
f
x
x
= x
(cid:0)
= '( ) 3
6
0
=
x
2
(cid:0) ị xác đ nh trên = 0 (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
+(cid:0)
ế ả Ta có b ng bi n thiên - (cid:0)
+
x f x(cid:0) ( )
2 0
+
+(cid:0)
0 0 m
f x ( )
-
4m -
- (cid:0)
m
m
0
0
=
y
f x ( )
m
m
4 0
4
ừ ả ế T b ng bi n thiên suy ra (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể ự ố Đ hàm s ị (cid:0) ể có 3 đi m c c tr (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
-
]
2020; 2020
ộ ỏ ạ [ Do m nguyên và thu c đo n suy ra có 4043 giá tr ị m th a mãn
bài toán.
ươ ữ ấ ậ Các em c n n m v ng ph
ờ ồ ị ể ả ậ Nh n xét: ướ h i gi ng nhanh l phép suy đ th đ gi ầ ể ệ ắ ng pháp và nh n ra các d u hi u đ đinh ể ử ụ ả ủ i c a bài toán. Ngoài hai cách trên các em có th s d ng i nhan bài toán này.
3
4
=
+ 2 x m
y
12
4
3
ủ ể ố m đ hàm s ố - - ụ Ví d 2: x x ị Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s ự ị ể có đúng 7 đi m c c tr ?
4
3
A. 3. B. 5. C. 6. D. 4.
f x
x
x
+ 2 x m
= ( ) 3
4
12
3
2
- - ị xác đ nh trên L i gi ờ ả Đ t ặ i:
f
x
x
x
= '( ) 12
24
x 12 =
- - Ta có
x
0 = -
x
f
1
(cid:0)
x = (cid:0) '( ) 0
=
x
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+(cid:0)
ả ế
+
+
2 0
+(cid:0)
+(cid:0)
0 0 m
- (cid:0) - -
1- 0
Ta có b ng bi n thiên x f x(cid:0) ( ) f x ( )
33
5m -
32m -
4
3
=
=
ừ ả ế T b ng bi n thiên suy ra
y
y
x
x
+ 2 x m
f x ( )
3
4
12
>
- - ự ể ố ồ ị đ th hàm s c tắ ố Đ hàm s
m
0
< 5m<
m
5 0
{
m (cid:0)
} 1; 2;3; 4
(cid:0) (cid:0) ụ ạ ể (cid:0) tr c hoành t i 4 đi m phân bi ệ (cid:0) t ị (cid:0) ể có 7 đi m c c tr 0 - < (cid:0)
.
f
ọ D
x = nh m đ '( ) 0
ấ ậ ẩ ượ ế bài toán này ta nh n th y ệ c h t nghi m nên ta
4
=
Do m nguyên nên Ch n đáp án: ở ậ ậ ọ ế
+ 2 x
x
m
m
2(
2
- - - ố Nh n xét: ả ch n cách l p b ng bi n thiên. y Cho hàm s . Có bao nhiêu s nguyên
3 ể
4
=
ố ể ự ố ̣ ụ Ví d 3: ủ không âm c a tham s
m
x
2(
f x ( ) 3
=
- - -
m
= x 1)
4
(
1) ố m đ hàm s đã cho có ba đi m c c tri. A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. ị xác đ nh trên 3 � 1) . �
+ 2 x m 1) 2 2 m� x x �
4( =
- - - - ờ ả Đ t ặ i: x x f 4 '( ) L i gi Ta có
x
f
x = (cid:0) '( ) 0
2
0 =
m
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
x m -
1 (cid:0)
f
(cid:0)
0
1m (cid:0) ệ
1 0 x = ( là nghi m đ n ho c nghi m b i 3)
ợ ng h p 1: x = (cid:0) '( ) 0 ệ ặ ơ ộ
+(cid:0)
+
x f x(cid:0) ( )
+(cid:0)
+(cid:0)
f x ( )
0 0 2
3m -
=
f x ( )
ế ả ̀ươ Tr Ta có Ta có b ng bi n thiên - (cid:0) -
1m (cid:0)
1m (cid:0)
2
ố ắ ụ ừ ả ể ị (cid:0) ể có ba đi m c c tr ồ ị đ th hàm s c t tr c hoành t ạ i 2 ế T b ng bi n thiên suy ra ố y Đ hàm s
m < k t h p
ế ợ ể ta đ c ượ đi m phân bi ệ (cid:0) t ự 3 2
m - < 3 0 (cid:0) m - > 1 0 = x 0
=
f
x
m
1
x = (cid:0) '( ) 0
= -
x
m
1
̀ươ Tr ợ ng h p 2: (cid:0) 1m > (cid:0) (cid:0) - (cid:0) Ta có (cid:0) - (cid:0)
+(cid:0)
1m -
+
+
0
x f x(cid:0) ( )
+(cid:0)
+(cid:0)
1m- 0
0 0 2
3m -
f x ( )
+ 2
+ 2
ế ả Ta có b ng bi n thiên - (cid:0) - - -
m
m
m
m
4
4
4
4
- - - -
ừ ả ế T b ng bi n thiên suy ra
34
=
+ 2
y
f x ( )
(cid:0)
m
m
4
4 0
2m = th a mãn đi u ề
- - (cid:0) ự ỏ ị (cid:0) ể có ba đi m c c tr
m
1
=
m
2
{
m (cid:0)
} 0;1; 2
ố ể Đ hàm s 1m > ki n ệ (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ ườ ợ T hai tr ng h p trên ta có (cid:0)
Do m nguyên và không âm nên
ọ Ta ch n đáp án: A
3
2
2
=
x
m
m
y
(2
1)
+ x m 2
9)
2
ủ ể ố m đ hàm s ố - - - - ụ Ví d 4: + + 2 m x ị Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s 9 (2 ự ể ị có 5 đi m c c tr ?
2
3
2
=
+
+ 2
A. 7. B. 5. C. 6. D. 4.
x
x
m
m
1)
(2
(2
9)
2
9
f x ( ) =
y
f x ( )
ể có 2 đi m c c tr
2
- - - - L i gi ị xác đ nh trên = ự ự ị
m
x
+ x m 2 hàm s ố ệ (cid:0) t 9 0 (*)
(2
9)
2
+ 2
+
x
x
mx m
(
1)(
2
2
= 9) 0
2
2
=
+
- =
x
- - - - ệ có 3 nghi m phân bi ệ t (cid:0) ờ ả Đ t ặ i: m ị (cid:0) ể ố ể f x y ( ) có 5 đi m c c tr Đ hàm s = ắ ụ ể ạ ồ ị y f x ( ) c t tr c hoành t i 3 đi m phân bi và đ th + = + + 2 3 2 ươ ng trình Ph m x m x m 2 2 1) (2 = x 1 (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0)
g x ( ) ệ
9 0 (**) ươ
+ mx m 2 ệ (cid:0) t ng trình (*) có 3 nghi m phân bi
2 ph
< m
3
+ > 2
D >(cid:0)
' 0
9 0
1 (cid:0)
1
17
m 2
+
g(1)
0
m
m
2
2
9 0
m
2
{ -� m -
} 2; 1;0;1; 2
ươ Ta có ph (cid:0) ệ ng trình (**) có 2 nghi m - < 3 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) ệ phân bi t và khác (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Do m nguyên (cid:0)
=
y
ọ Ch n đáp án: B
ự ố ậ Hàm s b c ba ạ i 3
f x ( ) ố t thì đ th hàm s
y
f x ( )
=
y
f x ( )
có hai c c tr và đ th c t tr c hoành t = ậ ể ồ ị ệ ồ ị ắ ụ ự ị ể Nh n xét: đi m phân bi ị có 5 đi m c c tr .
=
y
f x ( )
ồ ị Đ th
ồ ị Đ th
35
=
y
f x ( )
=
y
+ f x m
( )
́ ̀ ̀ ̀ ́ ̃ ̣ ư ̣ co đô thi nh hinh ve bên d ́ ươ i. Ví d 5: ụ Cho ham sô bâc ba
́ ́ ̀ ́ ̀ ự ̉ ̣ ̉ ̉ ̉ ̣ ́ ́ Tât ca cac gia tri cua tham sô ́ m đê ham sô
m (cid:0)
m (cid:0)
1
3.
3.
- < B. 1
- co 5 điêm c c tri la < m hoăc ̣ A.
m = -
m =
m
1
3.
3.
- (cid:0) (cid:0) hoăc ̣ C. D. 1
=
=
f x m
f
( )
g x '( )
x '( ).
̀ơ ̉ L i giai:
, co ́
=
y
.
'
=
=
́ ́ ( ) g x ̣ ̀ Xet ham sô
[
] 2
y
g x ( )
g x ( )
+ xac đinh trên ́ g x g x '( ). ( ) g x ( ) =
y
Ta co ́ (cid:0)
g x
x
g x g x = (cid:0) '( ). ( ) 0
=
g x
( )
̀ ́ ̀ ơ ̉ ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̣ ́ ự Suy ra sô điêm c c tri cua ham sô (cid:0) (cid:0) ́ f ̉ la sô nghiêm đ n hoăc nghiêm bôi le (1) (cid:0) (cid:0) ̀ ươ ̉ (cid:0) cua ph ng trinh (cid:0) (cid:0)
g x ( ) = = '( ) 0 '( ) 0 + = f x m ( ) 0 ng trinh (1) co hai nghiêm phân biêt
0 (2) 2x 1x ,
=
́ ̀ ̀ ́ ̀ ươ ư ̣ ̣ ̣ T đô thi ta co Ph
g x ( )
(cid:0) ́ ́ ̀ ự ươ ̉ ̉ ̣ ̣ co 5 điêm c c tri Ph ̣ ng trinh (2) co ba nghiêm phân biêt
̀
- < - <
f x ( )
3
1m
1x ,
2x , t
(cid:0) ́ ̀ y Đê ham sô ́ 1x , 2x va khac m= - ̀ ́ ̣ ̣ ̣ ́ co ba nghiêm phân biêt va khac ̀ư ̀ đô thi suy ra
< m
3.
- < 1
=
y
+ f x m
( )
< m
- < 1
3.
(cid:0)
́ ự ̣ ̉ ̣ Vây ́ ̀ ham sô co 5 điêm c c tri
́ ́ ̣ Chon đap an:
B. ̀ ̀ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ̉ ̣ ̣ ̉ ̣
=
Đây la bai toan điên hinh cho viêc phân tich đô thi đê xac đinh sô giao ́ ́ ̀ ̀ ự ̉ ̣ ̉ Nhân xet:́ ́ điêm va sô c c tri cua ham sô.
y
m
x
x + 2 1
- ́ ̀ ̀ ự ́ ̀ Cho ham sô ́ ( v i ́ơ m la tham sô th c) co nhiêu nhât ́ Ví d 6: ụ
ự ̉ ̣ bao nhiêu điêm c c tri?
A. 2. B. 3. C. 5. D. 4.
̀ơ ̉ L i giai:
36
=
g x ( )
.
2
x + xac đinh trên 1
x 2
=
́ ́ ̣ ́ ̀ Xet ham sô
x
=
g x '( )
g x = (cid:0) '( ) 0
2
1 = -
x
. 1
1 2 x
(
x + 1)
(cid:0) - (cid:0) Ta co ́ ; (cid:0)
+(cid:0)
x g x '( )
+
1- 0
0
1 0 1 2
( )g x
́ ́ ̉ Ta co bang biên thiên - (cid:0) - -
0
1 2
-
( )g x luôn co hai điêm c c tri
́ ̀ ự ̣ ̉ ̣ ́ Ta nhân thây ham sô
y
g x m
( )
=
=
́ = (cid:0) - ́ ̀ ́ ̀ ự ̉ ̣ ̉ ̣ ̣ ̣ ̉ phu thuôc vao sô nghiêm cua ph ươ ng
g x - ( ) m 0
= m
m
0
2
x +
x
x + 2 1
1 ́
x ̀
- ́ Sô điêm c c tri cua ham sô (cid:0) ̀ trinh (cid:0) (1).
́ ̀ ́ ́ ̀ ư ̉ ươ ̣ T bang biên thiên ta thây ph ng trinh (1) co nhiêu nhât 2 nghiêm
̀ ̀ ́ ự ̣ ̉ ̣ ́ Vây ham sô ́ f x co nhiêu nhât 4 điêm c c tri. ( )
=
y
́ ́ ̣
Chon đap an: ̀ D. ̀ ̀ ̀ ́ ̀ ́ ̣ ̣ ̉
́ ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ̣ ̉ ̉ ̣ ̉ ̣
=
g x ( )
́ ́ ́ ̀ ́ ̣ ̣ Nhân xet:́ ́ Đây la bai toan quen thuôc cua ham sô f x ( ) ́ ́ ̀ ự sô điêm c c tri cua ham sô la sô điêm c c tri cua ham sô ̀ ươ ng trinh ph ma chung ta biêt răng ́ ̉ ự f x va sô nghiêm cua ( ) f x = ( không tinh nghiêm kep) . Bai toan nay cô lâp đ ̀ ượ m nên ( ) 0 c
2
x
x + . 1
=
y
f x ( )
̀ ́ ́ ̣ ̣ ̉ ́ ta chon cach lâp bang biên thiên ham sô
=
+
y
f
+ f x m
2 ( ) x
( )
́ ̀ ̀ ̃ ̀ ́ ̣ ư ̣ co đô thi nh hinh ve bên d ́ ươ i. Ví d 7: ụ Cho ham sô bâc ba
́ ́ ̀ ́ ́ ̉ ̣ ̉ ̉ ̉ ́ m đê ham sô co đung 3 điêm
m >
m (cid:0)
.
.
1.m (cid:0)
̣ ́ ́ ̀ Tim tât ca cac gia tri cua tham sô ự c c tri.
1.m < D.
1 4
1 4
A. B. C.
̀ơ ̉ L i giai:
37
2
=
+
g
.
(x)
f +
x
̣
f x f x ( )
x ( ) x f '( )
+ f x m ( ) [ = f
=
=
g
(3)
x
1
f x
= '( ) 0
m 2
+
+
=
=
g
f
> m m
x
f
(1)
(1)
(1)
g x = (cid:0) '( ) 0
= -
f x ( )
3 = < a
x
0
1 2
=
g a m
( )
1 4
́ ̀ Xet ham sô = 2 '( ). ́ g x '( ) ́ xac đinh trên ] + f x '( ) 2 ( ) 1 . Ta co ́ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ta co ́ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
+(cid:0)
+
+
3 0
+(cid:0)
+(cid:0)
1 0 (1)g
a 0
g( )x
m
m -
1 4
́ ́ ̉ - (cid:0) - - Ta co bang biên thiên x g x '( )
=
̀ ́ ̀ ́ ự ̉ ̉ ̣ ́ ( )g x co 3 điêm c c tri. D a vao bang biên thiên, suy ra ham sô
y
g x ( )
m -
m (cid:0)
0
.
1 4
=
+
y
f
+ f x m
2 ( ) x
( )
m (cid:0)
(cid:0) (cid:0) ́ ự ̉ ̉ ̣ ́ ̀ Đê ham sô co 3 điêm c c tri (cid:0) ự 1 4
1 4
́ ́ ự ̣ ̉ ̣ Vây ́ ̀ ham sô co đung 3 điêm c c tri.
=
y
́ ́ ̣ Chon đap an: B.
̀ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ̉ ̉ ̣ ́ Ban chât cua bai toan nay la ham sô
́ ́ ̣ ̣ ̉ ̉ ̣ ̉ ̣ ̉
́ ̀ ́ ́ ̀ ́ ươ ̉ ̉ ̣ ̣ ̉ ̀ Nhân xet:́ m cô lâp nên ta f x ( ) ́ f x , sau đó ́ ự ( ) chon cach lâp bang biên thiên đê xac đinh sô điêm c c tri cua ham sô f x = ự ( ) 0. d a vao bang biên thiên đê xac đinh sô nghiêm cua ph . Nh ng ư ̀ ng trinh
3
=
ậ ươ ự 2.3.2c. Bài t p t ng t
y
x
+ 23 x m
- ấ ả ị ự ủ t c các giá tr th c c a tham s ố ố m đ hàm s ể
Bài 1: Tìm t ị ự ể
m
0.
0.
m<
m (cid:0)
4.
0.
- (cid:0) (cid:0) có 5 đi m c c tr ? - < A. 4 B. 4
4
=
C. 0
4m (cid:0) ( m -�
y
x
+ m
+ 2 x m
20; 20
(
1)
< m < D. Bài 2: Có bao nhiêu s nguyên
- ho c ặ ) ố ể ố đ hàm s
2
ự ể ị có 7 đi m c c tr ?
=
)
( m -�
y
x
2 x m
20; 20
(
2)
A. 18. B. 20. C. 19. D. 21. + - ố ố ể đ hàm s có Bài 3: Có bao nhiêu s nguyên
ự ị ể đúng 5 đi m c c tr ?
5
=
+ 3
A. 1. B. 17. C. 2. D. 16.
y
x
x
+ x m
3
25
60
- ố ể ố m đ hàm s có 7 Bài 4: Có bao nhiêu s nguyên
ể ị ự đi m c c tr ?
A. 42. B. 21. C. 44. D. 22.
38
4
=
x
m
+ 2 x
2(
1)
2
3 ể
- - - .T p h p t ị ự t c các giá tr th c Bài 5: Cho hàm s ố
y ố
ậ ự ể ợ ấ ả ị ủ c a tham s
m ố m đ hàm s đã cho có đúng 5 đi m c c tr là 3 � � . 1; � � 2 � �
3 � �+(cid:0) { } ; \ 2 . � � 2 � �
+(cid:0)
)
B. A.
1;
{ } \ 2 .
5
3
=
(cid:0) C. ( D.
y
x
x
3
15
+ x m 60
3 � � . 1; � � 2 ể m đ hàm s
- - ố ố có 5 Bài 6: Có bao nhiêu s nguyên
ể ị ự đi m c c tr ?
3
4
=
x
y
+ 25 x m
=
y
ủ ể ố m đ hàm s ố - - ự ể ị A. 289. B. 287. C. 286. D. 288. ị Bài 7: Có bao nhiêu giá tr nguyên c a tham s x có 7 đi m c c tr ?
=
y
+ f x m
( )
́ ̀ ̃ ̀ ́ ̣ ư ̣ ́ ươ i. A. 8. B. 9. C. 3. D. 4. ̀ f x co đô thi nh hinh ve bên d Bài 8: Cho ham sô bâc ba ( )
́ ́ ̀ ́ ̀ ự ̉ ̣ ̉ ̉ ̉ ̣ ́ ́ Tât ca cac gia tri cua tham sô ́ m đê ham sô co 3 điêm c c tri la
m
m
3
1 .
.
m
m
3
1
= -
(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A. B. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
m
1 .
m(cid:0)
3.
=
m
3
=
y
f x ( )
(cid:0) (cid:0) (cid:0) C. D. 1 (cid:0)
=
y
+ f x m
x
f
+ 2 ( ) 2 ( )
́ ̀ ̀ ́ ươ ̣ ̃ ̣ ư co đô thi nh hinh ve d ́ i đây. ̀ Bài 9: Cho ham sô bâc ba
́ ́ ̀ ́ ́ ̉ ̣ ̉ ̉ ́ Tim tât ca cac gia tri cua tham sô ́ m đê ham sô co đung 3
̉ ̣
m (cid:0)
m < -
1.
1.
1.m > C.
- ́ ̀ ự điêm c c tri. 1.m (cid:0) A. B. D.
39
=
)
f x m ( ; ]
̉ . Tìm m đê giá tr l n nh t, giá tr nh ị ớ ị ỏ
̃ ̀ ấ ủ ố ấ ươ ̉ ̣ ̣ ́ c.
2.3.3. Bài toán: Cho hàm s ố y ạ [ ;a b thoa man môt điêu kiên cho tr nh t c a hàm s trên đo n ́ ̀ ́ ́ ươ ̣ ̉ ̀ ng pháp phat hiên va giai quyêt vân đê
́ ́ ươ ̣ ̣ 2.3.3a. Ph ̀ ́ c 1: Phat hiên/ Thâm nhâp vân đê B
(
́ ́ ́ ̃ ̉ ̣ ̉ ̉ ́ )
]
[
̣ ̉
=
́ ́ ̉ ̣ ̉ ̉ ̣ ́ ́ ̀ ̣ ơ Chung ta đa biêt cach tim gia tri l n nhât, gia tri nho nhât cua ham ́ ́ ́ ̀ ươ ;a b . Băng ph ng phap đo cac em co ́ ́ ́ ́ ̀ m đê gia tri l n nhât, gia tri nho ̉ c bai toan tim điêu kiên cua tham sô ̀ ́ ;a b , trên khoang ̀ ( ; m) ̃ ̉ ̉ ̣ ́ Câu hoi 1: = sô ́ f x y ( ) trên đoan ́ ̀ ̉ ượ thê giai đ ́ ̀ ́ f x y nhât cua ham sô ̣ ơ ́ ươ c hay không? ̀ thoa man điêu kiên cho tr
́ ̀ ́ ̣ ̉ ̣ ̣
̃ ư ́ ́ ̀ ư ̉ ̉ ̣
́ ́ ́ ́ ̉ ươ ng khac nhau đê + Sau khi tiêp nhân câu hoi thi hoc sinh co nh ng đinh h ̀ ̀ ́ ươ ư giai quyêt. Nh ng se lam nay sinh trong hoc sinh cac vân đê cân t ng duy: Ph ̀ phap nay co giai đ ̃ ̉ ượ c không ?
̀ ̀ ươ ̉ B ̀ ́ c 2: Tim toi h ́ ́ ươ ng giai bai toan
́ ̀ ́ ̀ ́ ́ ư ̣ ̉ ̣ ̃ Sau khi đăt câu hoi sô 1, hoc sinh đa t duy va phân tich bai toan, giao viên
́ ̣ ̣ ̉ ̣ tiêp tuc đăt câu hoi cho hoc sinh.
́ ̃ ̀ ̀ ượ ư ̉ ̉ ̉ Hay trinh bai môt h ́ ̣ ươ ng giai quyêt đ ́ c cho la tôi u theo
́ ̉ Câu hoi 2: ̃ ́ ươ ng suy nghi cua cac em? h
̀ ̀ ̀ ́ ̀ ̀ ̃ ́ ̣ ̉ ̉ ̣
̀ ̀ ́ ̣ ̣ ̉ ̣ ̣ ̉ ̣
́ ́ ̀ ́ ́ ́ ́ ́ ́ ́ ̣ ơ ̣ ̉ ̣ ̣
[
́ ̉ ̉ ̣ ́ ́ Ở ươ c nay, khi hoc sinh trinh bay giai phap cua minh thi se co môt sô b + ́ ́ ươ ̣ ư ng nh sau: Hoc sinh dung bang biên thiên hoăc đô thi đê xac đinh gia tri đinh h ́ ́ ̣ ơ l n nhât, gia tri nho nhât. Hoc sinh dung quy tăc xac đinh gia tri l n nhât, gia tri ̀ ́ nho nhât cua ham sô trên đoan
] ;a b .
́ ́ ́ ́ ́ ́ ́ ̣ ̣ ̉ ̉ + Nêu dung ph [ ươ ̀ ́ ́ ́ ̣ ̣ ̣ ̉ ̉ ̣ ̀ ̀ ̣ ơ ng phap xac đinh gia tri l n nhât, gia tri nho nhât cua ham ̀ ̣ ;a b thi hoc sinh găp phai kho khăn la khi chuyên sang gia tri tuyêt
] ́
́ ́ ́ ́ ́ ́ ́ ̣ ơ ̣ ̉ ̣ ̣ ̉ sô trên đoan ́ ̀ đôi thi viêc so sanh đê xac đinh gia tri l n nhât, gia tri nho nhât.
́ ́ ́ ́ ́ ́ ̉ ̣ ̣ ̉ ̣
[
]
́ ̣ ơ ́ ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ́ ̉ ̉ ̣ ̉ ̣ ̉ ̀ ̣ + Nêu dung bang biên thiên hoăc đô thi đê xac đinh gia tri l n nhât, gia tri ̀ ;a b thi lam thê nao đê xac đinh hêt cac kha năng
́ ̉ ̉ ̀ ̀ nho nhât cua ham sô trên đoan co thê xay ra?
̀ ́ ́ ̣ ̉ ̉ ̉ ̀ + Phân tich: Giao viên dung đô thi đê phân tich cac tr
́ ́ ̀ ̣ ơ ̉ ̣ ̉ ̉ ̣ ́ ́ ̀ ́ ươ ng h p co thê xay ra [ f x trên đoan ( ) ợ ] ;a b .
p=
́ ̀ ươ ̉
=
f x ( )
0
min [ ] a b ;
p q (cid:0) .
0
ườ ́ ́ ́ cua gia tri l n nhât, gia tri nho nhât cua ham sô ̀ ́ ̀ ́ ̀ ơ c 3: Trinh bay l i giai bai toan B q= f x f x max ( ) min ( ) . ; [ + Tìm [ ]; ]; a b a b ợ ng h p: + Xét các tr (cid:0) (cid:0) (cid:0) ̀ươ ế ợ Tr ng h p 1: N u (cid:0)
{
}
f x
= ( ) max
p q ;
max [ ] a b ;
p=
f x ( )
p q+ (cid:0)
0
(cid:0) (cid:0)
max ]; a b
q=
f x ( )
+ N u ế
max ]; a b
+ N u ế thì [ p q+ < thì [ 0
40
=
q
f x ( )
(cid:0)
q > (cid:0) 0
=
p
f x ( )
�(cid:0) min [ ] a b ; max [ ] a b ;
=
= -
p
p
f x ( )
(cid:0) ̀ươ ế ợ Tr ng h p 2: N u (cid:0) (cid:0)
p < (cid:0) 0
=
= -
q
q
f x ( )
�(cid:0) min [ ] a b ; max [ ] a b ;
(cid:0) ̀ươ ế ợ Tr ng h p 3: N u (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
̀ ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ươ ư ̉ B ́ ́ c 4: Đanh gia qua trinh giai va nghiên c u sâu bai toan
)
́ ́ ́ ́ ́ ̀ ̣ ̣ ̉ ̉ ̉ ̣ ̣ ̉ + S dung đô thi giup cac em hiêu ro ban chât cua viêc so sanh gia tri đê đanh
́ ́ ́ ́ ́ ̃ ̀ ử ̣ ơ ̣ ̉ ̉ ́ ́ gia gia tri l n nhât, gia tri nho nhât cua ham sô ́ f x m . ( ;
́ ̀ ́ ́ ́ ̀ ́ ́ ́ ́ ́ ử ̉ ̣ ̉
́ ư + Bai toan con co cach giai khac đo la s dung tinh chât va cac bât đăng th c ́ ̣ ̣
ứ ̣ s dung công th c tính nhanh ̀ ̀ ́ ̀ vê gia tri tuyêt đôi. ́ ử Cach 2:
41
0,
0
+ +
p q
p q
=
=
f x ( )
f x ( )
�
nê u p q ´ . + - p q
p q
min ]; a b
>
,
nê u p q .
´
0
2
2
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) - ; [ [ max ]; a b (cid:0) (cid:0)
́ ụ ̣ ́ 2.3.3b. Vi du ap d ng
y
ả ề Ví d 1: ( Đ tham kh o THPT.QG 2018) - G i ọ S là t p h p t x ợ ấ ả + = 3 3 x m ấ ủ ị ớ ậ ố ự m sao cho giá tr l n nh t c a hàm s ố t c các giá trên
3 . S ph n t
ầ ử ủ S c a
ụ ị ủ tr c a tham s th c ]0; 2 b ng ằ đo n ạ [ ố A. 1. B. 2. C. 0. D. 6.
3
=
x
+ x m
f x ( )
3
=
2
f
x
x= '( ) 3
3
f x = (cid:0) '( ) 0
ờ ả i: - L i gi Cách 1: Đ t ặ (cid:0) ị xác đ nh trên x - (cid:0) Ta có (cid:0) (cid:0)
[
]
0; 2
(cid:0)
x m=
f
2
(2)
1 = - 1 + 2
(0) - < 2
(1) 2
- ,
m= f , + < m m { =
-
}
m
m= + m
f x ( )
2 ;
2
f Suy ra Ta có m max ] [ 0;2
(cid:0)
+ m
m
(
2m(cid:0)
0
2) 0 +
(
(m 2) 0
=
m
m
f x ( )
+ = 2
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ̀ươ ế ợ Tr ng h p 1: N u (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
2)( + m 2) + = (cid:0) 2 3
1m = th a mãn. ỏ
max ]0;2
thì [
m
+ m
(
2
0m
2) 0 < +
(
2)( + 2)
=
- (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) ̀ươ ế ợ Tr ng h p 2: N u (cid:0) - (cid:0)
m
m = m
f x ( )
- = - 2 2
3
(m 2) 0 m = -
1
max ]0;2
=
+ =
m
m
f x ( )
+ = 2
2 3
2 0
(cid:0) ỏ thì [ th a mãn.
2m > thì [
max ]0;2
ợ Tr (cid:0)
=
m
= m
f x ( )
- = - 2 2
3
m < -
2
(cid:0) ế ỏ
m + < (cid:0) 2 0
max ]0;2
ế ợ Tr thì [
m - > ̀ươ ng h p 3: N u 1m = không th a mãn. ̀ươ ng h p 4: N u m = - ỏ
1
(cid:0) không th a mãn.
ậ ỏ V y có hai giá tr c a ị ủ m th a mãn
ọ Ch n đáp án: B
3
ứ Cách 2: S d ng công th c tính nhanh
+ x m
x
f x ( )
3
=
ử ụ = - Đ t ặ ị xác đ nh trên
x
2
f
x
x= '( ) 3
3
f x = (cid:0) '( ) 0
(cid:0) - (cid:0) Ta có (cid:0) (cid:0)
[
]
0; 2
(cid:0)
f
x m=
2
(2)
1 = - 1 + 2
m= f , + < m m
(0) - < 2
(1) 2
f Suy ra Ta có m
m=
- ,
42
+
+
m
m
+ m
(
2)
(
+ 2)
(
2)
(m 2)
=
=
m = (cid:0)
1
m
+ = (cid:0) 2 3
f x ( )
max [ ]0;2
- - - (cid:0)
2 ỏ
ậ V y có hai giá tr c a ị ủ m th a mãn
3
ọ
+ x m
f x ( )
3
=
2
f
x
x= '( ) 3
3
f x = (cid:0) '( ) 0
- Ch n đáp án: B = x Cách 3: Đ t ặ (cid:0) ị xác đ nh trên x - (cid:0) Ta có (cid:0) (cid:0)
[
]
0; 2
(cid:0)
x m=
f
2
(2)
1 = - 1 + 2
m= f , + < m m
(0) - < 2
(1) 2
f Suy ra Ta có m
m=
- ,
�(cid:0) m
3
=
m
2
m
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) -
{
} =
m
+ m
f x ( )
2 ;
2
3
max [ ] 0;2
1 = -
m
1
+ = 2 + (cid:0) m 2 - =�(cid:0) m 2
3
m
+ m
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ậ ỏ V y có hai giá tr c a ị ủ m th a mãn
ọ Ch n đáp án: B
ậ ượ ấ ủ ừ ằ
ể ể Đ hi u đ ệ ố ệ ắ ả c b n ch t c a t ng TH các em nên phân tích b ng đ ể ả i nhanh cho bài thi tr c nghi m thì chúng ta nên s ồ ử
=
y
Nh n xét: ị ị th hàm tr tuy t đ i. Đ gi ứ ụ d ng công th c tính nhanh.
ụ ề ả Cho hàm s ố Ví d 2: ( Đ tham kh o THPT.QG 2020)
+ x m + ( m là x 1 ủ m sao cho t c các giá tr th c c a
f x ( )
[
ấ ợ ự ị
ậ ọ S là t p h p t ả ố ự tham s th c). G i = . S ph n t + f x 2 ( ) min max ầ ử ủ S là ố c a ]0;1 [ ] 0;1
A. 6. B. 2. C. 1. D. 4.
=
=
y
ờ ả L i gi i:
+ +
Xét
f x
x 1 x 1 f x ( )
[
1m = th a mãn ỏ
1m = ta có + ( ) min ]0;1
max [ ] 0;1
(cid:0)
=
{
y
'
} 1-
\
1m (cid:0)
2
+
1 x
(
1 = + = , 1 1 2 m 1)
- Xét ta có ổ ấ không đ i d u trên
ố ơ ệ ạ [ (cid:0) Hàm s đ n đi u trên đo n
]0;1
+
1
=
f
m=
(0)
f
(1)
m 2
=
f x ( )
0
� min [ ] 0;1
Ta có ;
+
1
m .
0
0m
1
=
m 2
f x ( )
max [ ] 0;1
+� m m ; � 2 �
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) ̀ươ Tr ợ ng h p 1: (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) � � (cid:0) (cid:0)
1m (cid:0)
0m
m+ 2
1 2
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) Do 1 ;
43
f x
f x ( )
2
< , TH này không có giá tr ị m nào th a mãn.
[
+ ( ) min ]0;1
max [ ] 0;1
>
(cid:0) ỏ
+
m
0
1
m .
> (cid:0) 0
< -
1
m 2
m +
+
1
1
=
+
=
(cid:0) (cid:0) ̀ươ Tr ợ ng h p 2: (cid:0)
f x
m
f x ( )
[
+ ( ) min ]0;1
max [ ] 0;1
m 2
m 3 2
m+ 2
=
(cid:0) cùng d u)ấ ( do m và 1
m
1
+
1
f x
f x ( )
= (cid:0) 2
= (cid:0) 2
1m = không th a mãn)
[
+ ( ) min ]0;1
max [ ] 0;1
= -
m 3 2
m
5 3
=
S
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ỏ ( (cid:0) (cid:0)
V y ậ
5 � � -� � 1; . 3 � Ch n đáp án:
ọ B
1m = .
ậ ề ầ ắ ườ Bài này nhi u em m c sai l m vì không xét tr ợ ng h p Nh n xét:
4
=
ậ
x
y
- - - ợ ấ ả 22 x m ị ự ủ ]1; 2 ị t c các giá tr th c c a tham s ổ 2 . T ng t ố m sao cho giá ấ ả t c các trên đo n ạ [ b ng ằ
Ví d 3: ụ G i ọ S là t p h p t ố ấ ủ ỏ tr nh nh t c a hàm s ầ ử ủ S b ngằ c a ph n t
4
- A. 2. B. 7. C. 14. D. 3.
=
- - -
]1; 2
x
2 x m
f x ( )
2
L i gi ờ ả Đ t ặ i:
=
x
1; 2
1
3
=
=
x
1; 2
f
x
= x
x '( )
4
4
0
0 = -
x
1; 2
1
= -
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) Có (cid:0) (cid:0) trên đo n ạ [ ] [ -� [ ] -� [ -� (cid:0)
f
f
m
(0)
( 1)
1
(2)
8
f ; = -
m= - = - + m
m
8
f x min ( )
(cid:0) - Khi đó ; - (cid:0)
] m= - + 1
f x max ( ) [
]1;2
]1;2
=
- - và [
y
0
m
m
- + 1)(
8) 0
8m
min ]1;2
- - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - ̀ươ ợ Tr ế ( ng h p 1: N u (cid:0) 1 thì [ , không th aỏ
= -
mãn bài toán
y
m
- = - m 1
1
- >
m-
m < -
1 0
1
min ]1;2
- - ̀ươ ế ợ Tr ng h p 2: N u (cid:0) thì [
y
= (cid:0) 2
- =
m-
m = -
1 2
3
min ]1;2
(cid:0) - ỏ Khi đó [ th a mãn
y
m
= - + = m 8
8
m- + <
8 0
8m > thì [
min ]1;2
- - ̀ươ ế ợ Tr ng h p 3: N u (cid:0)
y
= (cid:0) 2
m - =
8 2
10m =
min ]1;2
{ S = -
} 3;10
(cid:0) - ỏ Khi đó [ th a mãn
7.
ổ , suy ra t ng các ph n t ầ ử ủ S b ng ằ c a V y ậ
ọ Ch n đáp án: B
44
4
=
x
f x ( )
2
20; 20
+ 2 Cho hàm s ố x m ủ ị t c các giá tr nguyên c a
<
- Ví d 4: ụ - ộ ố ự ( m là tham s th c). G i [ m thu c đo n ạ ọ S là t pậ ] sao cho
f x ( ) .
4
=
ấ f x ( ) ổ T ng các ph n t ầ ử ủ S b ngằ c a ả 3min ]0;2 [ ợ h p t max ] [ 0;2
x
+ 2 x m
2
f x ( )
-
]0; 2
L i gi ờ ả Đ t ặ i:
x
3
(cid:0) (cid:0)
[ [
=
x
= x
x
f
x '( )
4
0
4
0; 2 [
- (cid:0) (cid:0) Ta có (cid:0) (cid:0)
]
0; 2
f
f
1
(0)
(cid:0) -
m= + 8
m= f (1) ; f x m= max ( ) [ ]0;2
- (cid:0) A. 63. B. 51. C. 195. D. 23. trên đo n ạ [ ] = (cid:0) 1 0; 2 ] = (cid:0) 0 = - x 1 + m= 8 (2) ; f x m= 1 min ( ) và [ ]0;2
m
+ m
1)(
< 8) 0
< 1m
- < 8
=
+
- ̀ươ (cid:0) Tr (cid:0) ợ f x ( ) ế ( ng h p 1: N u = min ] [ 0;2 (cid:0) (cid:0) thì -
} >
0 {
m
m
f x ( )
8 ;
1
0
max [ ] 0;2
<
f x
f x ( )
( ) .
(cid:0) (cid:0)
3min [ ]0;2
max ] 0;2
ề ỏ ệ [ Không th a mãn đi u ki n
(cid:0)
(cid:0)
m
m - m
m
m
1m (cid:0) = f x ( )
- = 1
1
1 0 + , [ 8
<
+ <
- ế ng h p 2: N u + = = 8 ợ f x ( ) Tr thì [ (cid:0) min ]0;2 ̀ươ max ]0;2
f x ( )
f x ( )
m
m
8 3(
1)
m >
3min [ ]0;2
max ] 0;2
11 2
(cid:0) - Khi đó [ (cid:0) .
45
m (cid:0) =
m + (cid:0) m
m
m
8
8 0 min ]0;2
<
- ̀ươ ợ = - ng h p 3: N u m f x ( ) ế - = - 1 1 (cid:0) f x ( ) thì 8 + = - 8 , [ . Tr max ]0;2 [
f x ( )
f x ( )
< - m
m
1
3(
8)
m < -
3min [ ]0;2
max ] 0;2
25 2
(cid:0) - - Khi đó [ (cid:0) .
(cid:0)
]
[ m -�
20; 20
ừ ườ ế ợ ề ệ ớ T ba tr ng h p trên k t h p v i đi u ki n
m
; 20
� -� 20; � �
11 � � � �� � . � 2 � � �
- ta có
(cid:0)
} 20; 19; 18;...; 13;6;7;8;...; 20
+ + + +
+
+
=
6 7 8 9 10 11 12 63
- - - ợ 25 2 { S = - Vì m (cid:0)
ậ ổ V y t ng các ph n t ầ ử ủ S b ng ằ c a .
ọ Ch n đáp án: A
̀ ́ ́ ́ ́ ́ ̀ ̀ ử ̣ ̣ ̉ ̣ ̉
3
=
bai toan nay s dung ca gia tri l n nhât va gia tri nho nhât nên chung ta ́ ̀ ́ ử ươ ̣ ̉ Nhân xet:́ ̀ cân phân tich va s dung ca ba tr
3 =
y
f
m
1 (2sin
+ + 1)
f x ( ) ̀
x ́ sô ́m đê gia tri nho nhât cua ham sô
10?
- ́ ̣ ơ ̀ ợ ng h p. + x ̣ ̉ ́ , co bao nhiêu gia tri nguyên cua tham Ví d 5: ụ ́ x ̀ ́ Cho ham sô ́ ́ ượ ̉ ̣ ̉ ̉ không v t qua ́
A. 45. B. 41. C. 30. D. 43.
=
̀ơ ̉ L i giai:
[ -�
t
t
x
2sin
=
y
10
y
f
t
m
+ (cid:0) 1 + t m ( )
Đăt ̣ (cid:0) =
]1;3 . - + + 3 3 t 1
min ]1;3
- Ta co ́ .
= - 3 t
g t ( )
2
- =
Ta co ́
(cid:0)
g t
t= '( ) 3
3 0
- ̀ m sao cho [ ̀ , ta cân tim ]1;3 [ ́ ̣ ́ ̀ Xet ham sô .
+ + trên đoan m t 3 1 =(cid:0) t 1 (cid:0) = - t
1
+
(cid:0)
)
g
m=
g
m=
m
+ m
(1)
1
(3)
19
- < 1
+ < m 3
19
- = Co ́ ( 1) g
+ m = g t m
3 ; + 19
min ( )
1.
; [
max ( ) [
]1;3
]1;3
=
- . ( - (cid:0) ; = g t m - -
m
m
g t min ( )
- = 1
1
m -
1 0
1m (cid:0)
]1;3
- (cid:0) - ợ Tr ́ ̀ ươ ng h p 1: Nêu (cid:0) thi ̀ [
46
=
y
10
m
m
- = 1
1 10
m(cid:0)
11m (cid:0)
11.
g t min ( ) [
min [ ]1;3
]1;3
=
+
= -
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - 1 -
m
m
g t min ( )
19
19
m +
m (cid:0)
19 0
19
]1;3
- (cid:0) - - ợ Tr ́ ̀ ươ ng h p 2: Nêu (cid:0) thi ̀ [
=
+
= -
y
10
m
m
19
19 10
m (cid:0)
m
29
29
19
g t min ( ) [
min [ ]1;3
]1;3
= (cid:0)
<
+
g t min ( )
0 10
(cid:0) - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - -
m -
1)(m 19) 0
(
< 19
< 1m
]1;3
- ́ - ợ ̉ thi ̀ [ thoa mañ Tr
29
11. } 29; 28;...;11
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) m
́ ́ ̉ co 41 gia tri ̣ m thoa mañ
̀ ươ ng h p 3: Nêu ̀ ́ ượ ợ ợ ươ ng h p ta đ Kêt h p 3 tr c { -� m - Do m nguyên (cid:0) ́ ́ ̣ Chon đap an: B.
̀ ̀ ́ ̀ ́ ́ ̀ ư ̣ ̣ ̣ ̀ Bai toan ch a ham h p nên ban đâu lam nhiêu hoc sinh găp kho khăn,
̀ ̀ ́ ̀ ́ ́ ư ̉ ̣ Nhân xet:́ ợ ̀ tuy nhiên băng cach đôi biên thi ta đ a vê bai toan quen thuôc.
4
=
x
2
2.3.3c. Bài t p t ng t - ự ậ ươ Bài 1: Cho hàm s ố - ố ự [
]
10;10
+ 2 f x x m ( ) ị các giá tr nguyên f x ( )
10.
[
3
- + 2
=
ộ , ( m là tham s th c). G i m ạ thu c đo n ọ S là t pậ sao cho (cid:0) ố S ph n t ả ấ ợ t c h p t + f x ( ) min max ]1;2 ] [ 1;2
y
x
x
3y <
- ố ự ấ ả t c bao ầ ử ủ S là c a A. 9. B. 10. C. 11. D. 12. v i ớ m là tham s th c. Có t Bài 2: Cho hàm s ố x m
min ]1;3
=
ủ ị nhiêu giá tr nguyên c a tham s ố m đ ể [ ?
y
y
y
- ợ ấ ả ị ự t c các giá tr th c
min ] 0;2
3 3 x + max [ ] 0;2
A. 21. B. 22. C. 4. D. 20. + ậ G i ọ S là t p h p t Bài 3: Cho hàm s ố x m . = S ph n t 6. ố ố m sao cho [ ầ ử ủ S là c a ủ c a tham s
=
f x ( )
+
A. 0. B. 6. C. 1. D. 2. - ố ự ( m là tham s th c). G i ậ ọ S là t p h p t ợ ấ t Bài 4: Cho hàm s ố
f x ( )
f x ( )
4.
x m 2 + x 2 ủ m sao cho [
2 min [ ]0;2
max ] 0;2
(cid:0) ự ỏ ạ H i trong đo n
- ị ả c các giá tr th c c a [
]
30;30
ố t p ậ S có bao nhiêu s nguyên?
4
3
=
A. 53. B. 52. C. 55. D. 54.
y
x
x
+ 2 x m
3
4
12
- - ể ố ố ự m đ hàm s có giá trị -
]3; 2
ấ Bài 5: Có bao nhiêu s th c 150 ? ạ [ ớ l n nh t trên đo n b ng ằ
m đ hàm s
4
+ 2
=
ậ ả ợ t c các s nguyên ố
+ x m
x
x
y
30
- ị ớ ấ ượ ố ạ [ có giá tr l n nh t trên đo n
]0; 2 không v
20 .
19 2
t quá A. 4. B. 0. C. 2. D. 6. Bài 6: G i ọ S là t p h p t ể ấ 1 4
ổ T ng các ph n t ầ ử ủ S b ngẳ c a
- - A. 195. B. 210. C. 195. D. 210.
47
Ậ Ế III. K T LU N
ậ ế 3.1. K t lu n
̀ ̀ ́ ̀ ̃ ̣ ̣ ̉ ̉
f x m ( ;
)
̀ = ư ̀ ́ ́ ̀ ̀ ̀ ́ ̣ ượ ̣ ̉ ̉ ̉ . Kêt qua đat đ
̀ ư ̀ Trong đê tai nay tôi đa nghiên c u va trinh bay lai cac kinh nghiêm cua ban ̀ ́ y thân vê ba bai toan quan trong cua ham sô c cua đê tai nh sau.
=
̃ ̀ ̀ ́ ̉ ̉ ̣ ̉
y
y
)
f x m ( ;
)
y
f x m ( ;
)
́ = ̀ ̀ ́ ́ ́ ́ ́ ́ ự ́ ̣ ơ ̣ ̉ ̣ ̉
́ ́ ́ ̣ ̣ ̣
̀ ̃ ̀ ̀ ượ ươ ̉ ư ̀ c nhiêu ph ng đ
ợ ́ ng cua t ng bai toan. Đê tai đa đ a ra đ ́ ̀ ́ , c c tri cua ham sô = ̀ ̉ ư ̀ ̀ ̀ ́ ́ ́ ươ ̣ ̣ ̣ ̣ ́ ơ 1. Phân tich lam ro ban chât cua ba bai toan: Tinh đ n điêu cua ham sô ̀ ̉ f x m ( ; , Gia tri l n nhât va gia tri nho nhât cua ̀ băng cach kêt h p đô thi va lâp luân logic đê đ a ra cac điêu ́ ươ ư ng phap ̀ ́ ̉ ư ng phap cua t ng
́ ̣ ̣ ̉ ́ ̀ ham sô ̀ ̣ ươ kiên t ̀ cho cung môt bai toan va phân tich cac dâu hiêu nhân dang ph vi du cu thê.
́ ̀ ̀ ̀ ̀ ́ ư ̉ ̉ ̣ ̣
̀ ượ ươ ̉ ̣ ̉
́ ́ ̀ 2. Kêt qua nghiên c u cua đê tai la nguôn tai liêu quan trong cho nhom toan ́ ́ ̀ ̀ ng THPT Tân Ky 3 trong giang day ôn thi TNTHPT. QG va đ c tô đanh gia ́ ự ̉ tr ́ ́ cao tinh thiêt th c cua no.
̀ ̃ ̣ ̉ ̉ ̣ ̣
́ ́ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣
̀ ́ ̀ ư ́ ự ư ươ ̉ ̣ ̣ ̉ ̉ ̣ ̣
́ ̃ ́ ượ ươ ự ̣ ̣ ̉ ̉ ̀ ng sau va đa thu đ
̀ ̀ ̀ ́ ̣ ̣ ̣
̀ ̀ ́ ự ̉ ̉ ̣
́ ̀ ́ ́ ươ ̉ ̣ ̉ ̉
̀ ́ ̀ ̉ ̉
9.6
9.4
9.2
9.0
8.8
8.6
8.4
8.2
7.8
7.6
7.4
6.8
6.6
Điêm̉
2
2
2
4
4
3
4
7
1
2
1
1
1
́ Tân sồ
́ ́ ̉ ơ ̀ ̀ ̀ ̣ ươ ng THPT Tân Ky 3 đa tao cho 3. Ap dung cua đê tai trong giang day tai tr ́ ́ ̀ ở ư m c vân dung va vân dung hoc sinh s h ng thu, niêm tin khi hoc cac dang toan ̀ ̀ ̀ ̃ ̀ ́ ́ ng ng dung đao ham đê khao sat va ve đô thi ham sô. Tao tiên đê cao cua ch ́ ̀ cho viêc hoc cac ch c nhiêu kêt qua tich c c trong giang day ôn thi TN THPT QG. Ap dung đê tai trong ky thi TN THPT QG năm hoc 2019 ̃ ̀ ́ ươ ̣ ơ ng THPT Tân Ky 3 ma ban thân tôi tr c tiêp giang day đa 2020 tai l p 12A1 tr ́ ́ ̉ ơ ̣ ượ đat đ c đo. Cu thê điêm trung binh môn toan cua c kêt qua cao h n cac năm tr ́ ơ l n 12A1 trong ky thi TN THPT QG năm 2019 2020 la 8.5 điêm. ( thông kê điêm toan TN THPT 2019 2020 cua l p 12A1)
ị ế 3.2. Ki n ngh
̀ ́ ́ ̀ ư ở ̣ ̣
+
=
y
f x m ( ;
)
́ = ́ i tôi mong muôn tiêp tuc đ f u x g x y ( ) ượ ( ( ); m) ̀ ̀ ́ ơ ơ ơ Trong th i gia t ́ ́ ́ tai đôi v i cac ham sô , ̀ c nghiên c u va m rông đê .
̀ ́ ́ ơ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ Khi ap dung đê tai vao day hoc, giao viên cân phân l p hoc sinh theo câp đô
́ ̀ ̀ ̀ ́ ́ ̀ ́ ư ́ ơ ư ợ ̉ ̣ ̣ ̣ ̀ ́ đê ra cac m c đô bai tâp phu h p v i t ng đôi t ̀ ượ ng hoc sinh.
48
́ ́ ̀ ̀ ̣ ̉ ̉
ư ́ ̀ ́ ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ̉
̀ ̀ ́ ̀ ơ ̣ ̉ ̉ ̣ ̉ ̀ Trong qua trinh nghiên c u va trinh bay kinh nghiêm cua minh, ban thân tôi ̀ ́ ượ ự con nhiêu thiêu sot va han chê. Rât mong đ c s đong gop y kiên cua cac đông ̀ nghiêp đê tôi co thê hoan thiên h n đê tai cua minh.
̀ ̉ ơ Tôi xin chân thanh cam n.
Ả Ệ TÀI LI U THAM KH O
́ ́ ̃ ̀ ̉ ̣ ̉ Trân Văn Hao; Vu Tuân ( chu biên).
[1]. GIAI TICH 12 ́ ́ ̣ ̣
[2]. TAP CHI GIAO DUC tapchigiaoduc.moet.gov.vn. ́ ̀ ́ ̀ Ư ̉ ̣
[3]. GIAI MÔT BAI TOAN NH THÊ NAO? G.Polya. ̀ ̃ ́ ƯƠ ƯƠ ̣ ̣ ́ Ự NG DÂN TH C HIÊN CH [4]. H
́ Ự ̣ ̣ ̉ ̉ NG TRINH GIAO DUC PHÔ ́ NG PHAT TRIÊN NĂNG L C
̀ ̀ ̀ ́ ̉ ̣ ̣ ̣ ̣ ̀ ƯƠ THÔNG HIÊN HANH THEO ĐINH H ́ VA PHÂM CHÂT HOC SINH Bô giao duc va đao tao.
́ Ử ƯƠ ̉ ̉ ̀ ̀ NG TRÊN TOAN [5]. ĐÊ THI THPT, ĐÊ TH THPT CUA CAC TR
̀ QUÔC.́
̃ ́ ́ Ư ̣ ̣ ̣ ̣ ̉ NG PHAP DAY HOC NH NG NÔI DUNG CU THÊ MÔN TOAN
ƯƠ [6]. PH ̀ ̣ Bui Văn Nghi.
́ ́ ̀ ƯƠ ̣ ̉ ̣ NG TRINH GIAO DUC PHÔ THÔNG MÔN TOAN Bô GD&ĐT [7]. CH
2018.
49
