MỤC LỤC
A. ĐẶT VẤN ĐỀ ................................................................................................... 2
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI. ................................................................................... 2
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. ......................................................................... 2
B. NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................................... 3
1. Cơ sở lý luận ............................................................................................... 3
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán. ................................................................. 3
1.2. Bài tập toán và phương pháp dạy học giải bài tập toán .......................... 8
2. Tình hình dạy học rèn luyện kĩ năng để giải các bài toán về cực trị hàm số ở trường THPT. ................................................................................................ 10
II. Hệ thống các kiến thức về cực trị hàm số trong sách giáo khoa giải tích lớp 12. ..................................................................................................................... 10
1. Định nghĩa cực trị hàm số. ......................................................................... 10
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị. ............................................................. 11
3. Quy tắc tìm cực trị hàm số. ........................................................................ 11
III. Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT. .................................................... 12
1. Tìm cực trị hàm số dựa vào hàm số, bảng biến thiên và đồ thị hàm số đó. . 12
1.1. Phương pháp. ...................................................................................... 12
1.2. Một số ví dụ minh họa. ........................................................................ 12
1.3. Bài tập tương tự. .................................................................................. 15
2. Tìm cực trị hàm số khi biết đạo hàm của hàm số, đồ thị của hàm số đạo hàm. ............................................................................................................... 17
2.1. Phương pháp. ...................................................................................... 17
2.2. Ví dụ minh họa. ................................................................................... 17
2.3. Bài tập tương tự. .................................................................................. 19
3. Tìm điều kiện tham số để hàm số đạt cực trị tại một điểm cho trước. ........ 20
3.1. Phương pháp. ...................................................................................... 20
3.2. Ví dụ minh họa .................................................................................... 20
3.3. Bài tập tương tự. .................................................................................. 23
4. Tìm điều kiện tham số để hàm số có điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước. .......................................................................................................... 24
4.1. Phương pháp. ...................................................................................... 24
4.2. Một số ví dụ minh họa. ........................................................................ 25
4.3. Bài tập tương tự. .................................................................................. 31
5. Cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. ............................................ 33
5.1. Phương pháp. ...................................................................................... 33
5.2. Một số ví dụ minh họa. ........................................................................ 33
5.3. Bài tập tương tự. .................................................................................. 37
6. Cực trị của hàm hợp................................................................................... 38
6.1. Phương pháp. ...................................................................................... 38
6.2. Các ví dụ minh họa. ............................................................................. 38
6.3. Bài tập tương tự. .................................................................................. 43
III. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM. ..................................................................... 44
1. Mục đích thực nghiệm. .............................................................................. 44
2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm. ............................................................. 45
C. KẾT LUẬN ..................................................................................................... 48
I. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI. ............. 48
1. Kết quả nghiên cứu. ................................................................................... 48
2. Hướng phát triển của đề tài ........................................................................ 48
1
II. KIẾN NGHỊ , ĐỀ XUẤT. ............................................................................ 48
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong chương trình Môn Toán trung học phổ thông, đạo hàm và ứng dụng đạo hàm là một trong những nội dung chính của chương trình. Các bài toán thường xuất hiện ở các kỳ thi đại học, cao đẳng trước đây củng như kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, tốt nghiệp THPT những năm gần đây. Vì vậy,ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán cực trị hàm số là rất cần thiết đối với học sinh lớp 12 trung học phổ thông.
Trải qua nhiều năm công tác, tôi nhận thấy rằng học sinh còn rất lúng túng khi giải các bài toán về cực trị hàm số đặc biệt là các em học sinh có học lực trung bình.
Trước những khó khăn của học trò, tôi tìm tòi, xâu chuổi, hệ thống lại các dạng toán cơ bản, quan trọng về cực trị hàm số để giúp các em tiếp cận loại toán này một cách hiệu quả nhất.
Kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển, vì thế việc rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hàm số củng đóng góp một phần trong vấn đề đó.
Với những lí do trình bày ở trên tôi chọn đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT" làm đề tài nghiên cứu .
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiển kĩ năng và kĩ năng giải toán từ đó đề xuất các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cực trị cho HS lớp 12 THPT.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
1. Làm rõ cơ sở lí luận để rèn luyện các kĩ năng giải toán cực trị hàm số cho học sinh 12 THPT.
2. Xác định các dạng toán cực trị hàm số lớp 12 có thể khai thác.
3. Đề xuất các biện pháp sử dụng và khai thác các bài tập về cực trị hàm số để góp phần rèn luyện kĩ năng giải toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT.
4. Kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả các dạng toán đã đề xuất.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
1. Nghiên cứu lí luận.
- Nghiên cứu các tài liệu, các công trình có liên quan đến đề tài, về kĩ năng giải toán.
- Nghiên cứu chương trình, SGK, SBT và SGV giải tích lớp 12.
2
2. Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất các biện pháp thực hiện.
3. Quan sát, dự giờ thăm lớp các tiết luyện tập, tự chọn về cực trị hàm số lớp 12 ở trường mình và các trường lân cận.
4. Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề xuất.
B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán.
1.1.1. Kĩ năng
Theo từ điển Hán Việt của Phan Văn Các, “kĩ năng là khả năng vận dụng tri
thức khoa học vào thực tiễn’’ trong đó khả năng được hiểu là sức đã có ( về mặt
nào đó ) để có thể làm tốt công việc.
Như vậy kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó
theo một mục đích trong những điều kiện nhất định.
+) Vai trò quan trọng của kĩ năng là góp phần củng cố kiến thức, cụ thể hóa,
chính xác hóa lại kiến thức. Điều này vừa là tính chất, đồng thời vừa là một mục
tiêu quan trọng trong dạy học: Chú ý đến rèn luyện và phát triển kĩ năng cho HS,
từ đó làm cơ sở cho việc kiểm tra, củng cố lại kiến thức, dần từng bước tiếp thu
kiến thức và kĩ năng mới phù hợp với sự phát triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp
với yêu cầu của cuộc sống.
+) Kĩ năng chỉ có thể hình thành trong hoạt động và bằng hoạt động. Kĩ
năng và tri thức thống nhất trong hoạt động. Tri thức là cần thiết để tiến hành các
thao tác, độ thành thạo của các thao tác được hiểu như là kĩ năng, các thao tác này
được thực hiện dưới sự kiểm tra của tri thức. Con đường đi từ chỗ có tri thức đến
chỗ có kĩ năng tương ứng là con đường luyện tập. Nói như vậy là để khẳng định vai
trò quan trọng của việc tổ chức các hoạt động học tập trong quá trình hình thành và
phát triển kĩ năng cho HS.
+) Nói đến kĩ năng ta cũng cần phân biệt với kĩ xảo. Kĩ năng và kĩ xảo có
điểm tương đồng, đều là khả năng của con người được hình thành trên cơ sở của tri
3
thức và của chủ thể trong quá trình tiến hành hoạt động và quá trình tập luyện, đều
là cách thức của hành động. Tuy nhiên kĩ năng và kĩ xảo có những điểm khác biệt
như sau: kĩ năng yêu cầu độ linh hoạt, sáng tạo của chủ thể cao trong khi kĩ xảo
thiên về khuôn mẫu, máy móc. Kĩ xảo có trước và là tiền đề để có kĩ năng.
Kĩ năng có tính ổn định nhưng không bền vững như kĩ xảo. Trong quá trình
hoạt động, qua thời gian, kĩ năng có thể được bổ sung hoặc rút ngắn đi, hoặc thay
đổi.
+) Như ta đã biết, kiến thức là cơ sở của kĩ năng, do đó tùy theo nội dung
kiến thức truyền thụ cho HS mà ta có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng.
1.1.2. Kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức toán học để giải các
bài tập toán học ( tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh…)
Kĩ năng giải toán dựa trên cơ sở của tri thức toán học bao gồm: kiến thức, kĩ
năng, phương pháp.
Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các
hoạt động Toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán. Kĩ năng có thể
được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
Cần rèn luyện cho HS những kĩ năng trên những bình diện khác nhau:
+) Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán là một sự thể hiện mức
độ thông hiểu tri thức Toán học.
+) Kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác nhau thể hiện
vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học khác, điều này cũng thể hiện
mối liên hệ liên môn giữa các môn học trong nhà trường.
+) Kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống là một mục tiêu quan trọng của
môn Toán. Nó cũng cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
Một số kĩ năng cần thiết khi giải toán:
+) Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán: Phân tích bài toán, làm rõ các dữ kiện
4
đã biết, tìm mối liên hệ giữa đại lượng chưa biết với đại lượng đã biết từ đó đi đến
một quy trình để giải quyết bài toán. Đây là kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề,
là một trong những kĩ năng quan trọng nhất khi giải các bài toán.
+) Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải bài toán: Huy động
tri thức, kinh nghiệm của bản thân có liên quan để giải bài toán.
+) Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả bài toán, tránh sai lầm
khi giải toán: Trong giải toán, việc phát hiện và sửa chữa sai lầm là một thành công
của người học toán.
+) Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của người
giải toán.
+) Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán: Kĩ năng này được rèn
luyện trong quá trình tìm tòi lời giải của bài toán.
+) Kĩ năng tính toán: đây là điều cần thiết trong thực tiễn cuộc sống. Các
đức tính để có được các kĩ năng đó là: cẩn thận, chu đáo, nhanh trí, kiên trì, luôn có
ý thức tìm tòi các phương pháp tính toán khác nhau.
Kĩ năng tính toán được rèn luyện qua các bài luyện tập, thông qua tính
nhẩm, sử dụng bảng số, máy tính, thực hiện các phép tính gần đúng.
+) Kĩ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị, đọc và
vẽ đồ thị chính xác, rõ ràng.
+) Kĩ năng ước lượng, đo đạc có ý nghĩa giáo dục và ý nghĩa thực tiễn.
+) Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn.
+) Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải toán: sắp xếp kiến thức
theo trình tự giải, nhớ lại và huy động kiến thức, kinh nghiệm hữu ích để giải toán.
Phân loại bài toán để lựa chọn phương pháp giải, tập hợp các dữ kiện, xác định ẩn,
lập mối liên hệ giữa đại lượng chưa biết với đại lượng đã biết, xác định rõ giả thiết,
kết luận.Biết sử dụng các phương pháp suy luận và các thao tác tư duy khái quát
hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa trong tiến trình giải toán.
+) Kĩ năng tổng hợp: liên kết các dữ kiện trong bài toán, tóm tắt nội dung
5
bài toán, xác định rõ giả thiết, kết luận, định hướng quy trình giải toán.
+) Kĩ năng phân tích: biết phân tích các quan hệ và cấu trúc của bài toán, dự
đoán, phân tích và khắc phục các sai lầm trong quá trình giải toán, xác định trọng
tâm cần giải quyết trong bài toán.
+) Kĩ năng mô hình hóa: mô hình hóa bài toán là chuyển bài toán thành mô
hình và phân tích quan hệ toán học cũng như các phương pháp toán học sử dụng
trên mô hình đó. Đây là một kĩ năng cần thiết để giải bài toán có ứng dụng thực
tiễn và các bài toán liên môn khác .
+) Kĩ năng sử dụng thông tin: nhận biết, thu thập và ghi nhận thông tin từ
nội dung bài toán.
1.1.3. Đề xuất các biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS
1.1.3.1 Cơ sở lý luận để xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng
giải toán cho học sịnh THPT.
a. Cơ sở tâm lý giáo dục
Quá trình học được tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy của thầy
và các hoạt động của học trò, do đó các biện pháp sư phạm phải thông qua hoạt
dộng dạy tác động vào hoạt động học của HS, làm cho HS có động cơ hoàn thiện
tri thức và kĩ năng. Vì vậy cần chú ý đến hoạt động học, các biện pháp tập trung
vào rèn luyện và phát triển các dạng hoạt động của HS, rèn luyện kĩ năng học tập
của HS: kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt động, kĩ năng
tự kiểm tra, đánh giá.
b. Cơ sở phương pháp dạy học bộ môn Toán
Thực hiện dạy học phù hợp với tiến trình nhận thức của học sinh ( đi từ cụ
thể đến trừu tượng, từ dễ đến khó ). Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung
tâm”, chú ý nhu cầu, năng lực nhận thức, cách thức học tập khác nhau của từng cá
nhân học sinh. Học sinh được tham gia tìm tòi, phát hiện, suy luận vấn đề.
HS cần được rèn luyện kĩ năng vận dụng Toán học vào việc học tập bộ môn
khác, vào thực tiễn cuộc sống. Do đó cần thiết và có thể xây dựng các biện pháp
nhằm rèn luyện các kĩ năng giải toán cho HS, góp phần thực hiện các nhiệm vụ bộ
6
môn đồng thời đảm bảo tính liên môn trong dạy học.
1.3.3.2. Giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS.
Để rèn luyện được kĩ năng giải toán cho HS ta cần phải có một giải pháp
đồng bộ, bao gồm các hoạt động sau:
a, Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc
lập của HS trong quá trình rèn luyện kĩ năng
Căn cứ vào chương trình, người GV cần phải xác định và chọn lọc các kiến
thức, kĩ năng cơ bản cần được trang bị, hình thành, phát triển cho HS.
Trên quan điểm hoạt động, định hướng đổi mới phương pháp dạy học, trong
quá trình dạy học, người GV cần tổ chức các hoạt động học tập để HS tham gia, cụ
thể là:
- Tạo những tình huống gợi ra những hoạt động tương thích với nội dung và
mục tiêu dạy học.
- HS hoạt động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo, có sự giao lưu giữa HS
với HS, giữa GV với HS.
- GV có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn: Giúp đỡ HS vượt
qua những khó khăn bằng cách phân tách một hoạt động thành những phần đơn
giản hơn, hoặc cung cấp cho HS một số tri thức phương pháp và nói chung là điều
chỉnh mức độ khó khăn của nhiệm vụ dựa vào sự phân bậc hoạt động.
- GV giúp HS xác nhận những tri thức đã đạt được trong quá trình hoạt
động, đưa ra những bình luận cần thiết để HS hiểu tri thức đó một cách sâu sắc,
đầy đủ hơn.
b. Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho HS.
Trước hết GV cần rèn luyện cho HS thực hành giải toán theo quy định 4 bước
của polya rồi từ đó hình thành kĩ năng giải toán theo quy trình này.
Khi đã có một quy trình giải toán chung nhất như trên, cộng với những tri
thức phương pháp về những nội dung toán học cụ thể HS có thể tìm tòi, khám phá
7
để tìm đến lời giải bài toán.
Riêng đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: GV cần
hướng HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Qua đó trang bị cho HS một số tri thức về
phương pháp giải toán. Thông qua dạy HS giải một số bài toán cụ thể mà dần dần
cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật giải một lớp các bài toán có
dạng quen thuộc. Từ đó hình thành kĩ năng giải quyết loại bài toán đó.
c. Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua củng cố, luyện tập
Việc củng cố tri thức kĩ năng một cách có định hướng và có hệ thống có ý
nghĩa to lớn trong việc dạy học toán. Củng cố cần được thực hiện không chỉ đối
với tri thức mà còn đối với cả kĩ năng, kĩ xảo, thói quen và thái độ.
Trong môn toán củng cố diễn ra dưới các hình thức: luyện tập, đào sâu, ứng
dụng, hệ thống hoá và ôn.
1.2. Bài tập toán và phương pháp dạy học giải bài tập toán
1.2.1. Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán, là giá mang hoạt
động của HS. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất
định, bao gồm cả nhận dạng thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc, phương pháp,
những hoạt động toán học phức tạp, những hoạt động phổ biến trong toán học,
những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ. Vai trò của bài tập thể hiện
trên 3 phương diện:
+) Đối với mục đích dạy học: bài tập toán học ở trường phổ thông là giá
mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt
mục đích. Bài tập toán học góp phần hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo;
phát triển năng lực trí tuệ; bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng hình thành
những phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
+) Đối với nội dung dạy học: bài tập toán học là giá mang những hoạt động
liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bài tập đó trở thành một phương
8
tiện để cài đặt nội dung dưới dạng những tri thức hoàn chỉnh.
+) Đối với phương pháp dạy học: bài tập toán học là giá mang những hoạt
động để người học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện
các mục đích dạy học khác.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với các dụng ý khác nhau về
phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ làm việc với nội
dụng mới, củng cố kiến thức ôn tập hay kiểm tra đánh giá kiến thức của HS, giúp
GV nắm bắt được thông tin hai chiều trong quá trình dạy và học.
1.2.2. Những yêu cầu của một lời giải bài toán
- Kết quả đúng kể cả các bước trung gian.
- Lập luận chặt chẽ.
- Lời giải đầy đủ.
- Ngôn ngữ chính xác.
- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lý.
1.2.3 Phương pháp chung để giải bài toán
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya
về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu
phương pháp chung để giải bài toán như sau:
+) Tìm hiểu nội dung đề bài: phát biểu đề bài dưới những hình thức khác nhau để
hiểu rõ nội dung, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
+) Tìm cách giải: tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm
đoán: biến đổi đại lượng đã biết, biến đổi đại lượng chưa biết hay phải chứng
minh, lập mối liên hệ giữa chúng; liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ
tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn.
+) Trình bày lời giải: Từ cách giải đã phát hiện được, sắp xếp các việc phải làm
thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các
9
bước đó.
+) Nghiên cứu sâu lời giải: nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải,
nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
2. Tình hình dạy học rèn luyện kĩ năng để giải các bài toán về cực trị hàm số ở trường THPT.
Một số năm gần đây, với sự thay đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc
nghiệm trong các kì thi THPTQG hay tốt nghiệp năm vừa rồi thì chủ đề cực trị
hàm số xuất hiện nhiều bài cực trị khó. Do vậy, nhiều học sinh không thể hoàn
thành xong phần này, kể cả học sinh có học lực khá.
Khi chưa áp dụng những nghiên cứu của đề tài, các em thường thụ động trong việc
tiếp cận bài toán, nhất là đối với những bài toán ở mức vận dụng, vận dụng
cao,chưa có ý thức tìm tòi, sáng tạo củng như tạo được niềm vui, sự hưng phấn khi
giải các bài toán nói chung củng như các bài toán về cực trị nói riêng.
Kết quả khảo sát ở một số lớp của một số giáo viên dạy khối 12 về phần giải bài
tập toán về phần cực trị hàm số, chỉ có khoảng 20% học sinh hứng thú học tập.
II. Hệ thống các kiến thức về cực trị hàm số trong sách giáo khoa giải tích lớp 12.
f x ( ) a b ( ; )
1. Định nghĩa cực trị hàm số.
y x 0
0
f x ( )
)
x
(
h
)
x
Cho hàm số ) và điểm xác định và liên tục trên khoảng ( ; )a b ( có thể a là ; b là .
x 0
h x ; 0
x 0
với mọi và thì ta
h sao cho f x đạt cực đại tại điểm ( )
( f x 0 0x .
0
f x ( )
)
x
(
h
)
x
a) Nếu tồn tại số nói hàm số
x 0
h x ; 0
x 0
với mọi và thì ta
h sao cho f x đạt cực tiểu tại điểm ( )
f x ( 0 0x .
10
b) Nếu tồn tại số nói hàm số
0x thì
))
(
f
;
f
f x đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm 0x được gọi là điểm cực ( ) f x được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) 0( được gọi là điểm cực đại (
) , còn điểm
M x ( 0
f x ( 0
CĐ
CT
Chú ý:
1. Nếu hàm số đại (điểm cực tiểu) của hàm số; của hàm số, kí hiệu là ) điểm cực tiểu ) của đồ thị hàm số.
'(
f
2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại ( giá trị cực tiểu ) còn gọi là cực đại ( cực tiểu ) và được gọi chung là cực trị hàm số.
y x . ) 0
0x thì
0
3. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số ( ; )a b và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại có đạo hàm trên khoảng ( ) f x
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
K
(
h
)
Định lí 1:
x 0
h x ; 0
và có đạo hàm trên
( ) f x , với
y 0 \K x
)
(
)
h
f
f
Giả sử hàm số K hoặc trên liên tục trên khoảng h . 0
x trên khoảng '( ) 0
x x ; 0 0
0x là
x trên khoảng a) Nếu '( ) 0 một điểm cực đại của hàm số
h x ; x ( 0 0 f x . ( )
)
(
)
h
f
f
và thì
x trên khoảng '( ) 0
x x ; 0 0
0x là
và thì
; h x x 0 0 f x . ( )
b) Nếu x trên khoảng ( '( ) 0 một điểm cực tiểu của hàm số
y
f x ( )
3. Quy tắc tìm cực trị hàm số.
ta có thể sử dụng một trong hai quy
Để tìm các điểm cực trị của hàm số tắc sau.
y
f x ( )
QUY TẮC I
f
f
f
1. Tìm TXĐ của hàm số .
x . Tìm các điểm tại đó '( )
x bằng 0 hoặc '( ) '( )
x không xác định.
2. Tính
3. Lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
y
f x ( )
(
h
)
Định lí 2:
h . 0
x 0
h x ; 0
có đạo hàm cấp hai trong khoảng , với
f
'(
0
)
''(
)
f
Giả sử hàm số Khi đó:
x ,
x thì 0
0
0
f
'(
''(
f
a) Nếu
x , ) 0
x thì ) 0
0
0
0x là điểm cực tiểu. 0x là điểm cực đại.
b) Nếu
Áp đụng định lí 2 , ta có quy tắc sau để tìm các điểm cực trị của một hàm số.
y
f x ( )
QUY TẮC II
11
1. Tìm tập xác định của hàm số .
n 1, 2,..., )
f
f
x . Giải phương trình '( )
x và kí hiệu '( ) 0
ix i (
là các nghiệm
f
''(
f
''( )
2. Tính của nó.
x và
x . )i
f
''(
3. Tính
x suy ra tính chất cực trị của điểm )i
ix .
4. Dựa vào dấu của
III. Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT.
1. Tìm cực trị hàm số dựa vào hàm số, bảng biến thiên và đồ thị hàm số đó.
1.1. Phương pháp.
y
Nếu dựa vào BBT thì cần chú ý một số điểm sau:
0x thì
0x là điểm
có đạo hàm đổi dấu từ (+) sang (-) qua điểm
y
Nếu hàm số f x ( ) cực đại của hàm số.
0x thì
0x là điểm
có đạo hàm đổi dấu từ (-) sang (+) qua điểm
)
(
)
h
0
Nếu hàm số f x ( ) cực tiểu của hàm số.
h thì
x x ; 0 0
x 0
và đi xuống trên khoảng với
)
(
)
(
h
Nếu dựa vào đồ thị thì ta cần chú ý vào tính chất: Đồ thị hàm số đi lên trên khoảng 0x là điểm cực h x ; ( 0 đại của hàm số.
h x ; 0
x x ; 0 0
x 0
và đi lên trên khoảng với
0x là điểm cực tiểu của hàm số.
Đồ thị hàm số đi xuống trên khoảng h thì 0
y
Nếu dựa vào hàm số thì cần lưu ý:
ax b cx d
3
2
y
bx
x a
0)
' 0
Đối với hàm số thì không có điểm cực trị.
thì hoặc không có cực trị hoặc có hai y có hai
4
2
y
x a
bx
c a (
0)
Đối với hàm số cx d a ( điểm cực trị. Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình nghiệm phân biệt.
C .
a b . 0
C có ba điểm cực trị .
a b ; 0
C có một điểm cực trị .
Đối với hàm số
1.2. Một số ví dụ minh họa.
y
f x ( )
có bảng biến thiên như sau. Các điểm cực trị hàm số
3
Ví dụ 1. Cho hàm số là
x .
x . 4
x
x
3,
x
A. B.
. 4
51 2
C. . D.
x
3,
x
4
x đổi dấu đan xen qua hai điểm '( ) 4
Lời giải:
f x nên hàm số có hai điểm cực trị
. Đáp án là D.
12
Ta thấy x và 3
f x ( )
y
có bảng biến thiên
Ví dụ 2. Cho hàm số như sau. Số điểm cực trị của hàm số là
A. 1. B. 2 .
C. 0 . D. 3 .
2,
3
x
x
mặc dù tại
2,
3
x
x
Lời giải.
. Đáp số B.
Ta thấy đạo hàm đổi dấu khi qua các điểm 3x đạo hàm không tồn tại. Đối với bài này thì một số học sinh sẽ nhầm là hàm số sẽ có một điểm cực trị. Do vậy, giáo viên cần phải nhấn mạnh cho học sinh nắm chắc định lí 1 để nhận ra hàm số trên có hai điểm cực trị
y
f x
( )
có bảng biến thiên như sau. Số điểm cực trị của hàm
Ví dụ 3. Cho hàm số số là
A. 1. B. 2 .
C. 0 . D. 3 .
f
2
Lời giải:
x chỉ '( ) x nên hàm số đã cho chỉ có 1 điểm cực trị. Đáp án A.
Yêu cầu HS quan sát BBT để nhận thấy đổi dấu qua điểm
f x ( )
y
liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến
Ví dụ 4. Cho hàm số thiên như hình vẽ. Xét các mệnh đề sau:
1. Hàm số có 3 điểm cực trị.
2. Hàm số có 2 điểm cực trị.
3. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 2 .
4. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là M . ( 3; 2)
5. Giá trị cực đại của hàm số bằng 2 .
Số mệnh đề đúng là
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 .
Lời giải:
Dựa vào BBT của hàm số ta thấy hàm số có hai điểm cực trị nên mệnh đề 1 sai, mệnh đề 2 đúng, mệnh đề 3, 4 đúng, mệnh đề 5 sai. Vậy số mệnh đề đúng là 3 và đáp án là B.
y
f x ( )
có đồ thị như hình bên. Số điểm cực
Ví dụ 5. Cho hàm số dương của hàm số là
A. 2 . B. 3 . C. 4 . D.1.
13
Lời giải:
Nhìn vào đồ thị thì ta nhận thấy hàm số có hai cực trị trái dấu. Do vậy, hàm số chỉ có một điểm cực trị dương. Đáp án D.
y
f x ( )
có đồ thị như hình bên. Số điểm cực đại của hàm số
Ví dụ 6. Cho hàm số là
A. 4 . B. 3 .
C. 2 . D. 5 .
)
h x ; 0
(
)
h
Lời giải:
x x ; 0 0
với
4
y
x
22 x
3
Đối với bài này thì ta có thể làm theo cách thường dùng là lập bảng biến thiên của hàm số rồi qua đó ta sẽ biết được số điểm cực đại hàm số nhưng dài dòng mà ta có và đi xuống trên thể dựa vào tính chất: Đồ thị hàm số đi lên trên khoảng x ( 0 khoảng 0x là điểm cực đại của hàm số. Vậy nhìn lên đồ thị h thì 0 ta thấy hàm số có hai điểm cực đại. Ta chọn đáp án C.
. Tìm các điểm cực tiểu của hàm số.
Ví dụ 7. Cho hàm số
Lời giải:
Đối với bài này ta có thế sử dụng hai cách sau:
3
y
x
4
x
1
0
x
x
' 4
Cách 1: ( sử dụng quy tắc I )
. 0
Ta có:
'y :
1
Bảng xét dấu của
x .
Qua bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy hàm số có hai điểm cực tiểu là
3
2
y
x
4
x
1
0
x
x
y
x
' 4
'' 12
Cách 2 ( Sử dụng quy tắc II )
; 0
4
1
y
''(0)
''( 1) 8 0
Ta có
, 4 0
y nên hàm số có hai điểm cực tiểu là
x .
Vì
y
c os2
x
1
x
Từ hai cách trên ta thấy nếu biết hàm số mà đạo hàm cấp hai tại các điểm cực trị không bị triệt tiêu thì nên hướng cho học sinh sử dụng cách 2.
. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
Ví dụ 8. Cho hàm số số
Lời giải:
x
k
y
'
2sin 2
x
sin 2
x
1 0
Đối với hàm số lượng giác thì ta nên sử dụng quy tắc II để tìm các điểm cực trị của hàm số vì sử dụng quy tắc I thì xét dấu đạo hàm của hàm số lượng giác trên các khoảng thì rất phức tạp đối với các em học sinh, dễ gây cho các mất đi sự hứng thú.
1 2
k
12 7 12
x
14
Ta có: ( k ).
y
"(
c 4 os(
k
2 3
0
k )
2 )
y
''
4 cos 2
x
y
"(
4 cos(
k
2 3
0
) k
2 )
12 7 12
6 7 6
x
k (
)
k
.
, các điểm cực tiểu hàm số là
12
x
k (
k
. )
7 12
,x x lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số
Vậy các điểm cực đại hàm số là
2
2
x
10
T
2
Ví dụ 9. Giả sử 1
x 1
x 2
y
2 x x 1
. Tính giá trị biểu thức .
Lời giải:
\ 1
D
TXĐ: .
2
x
10
Đối với hàm số như trên thì ta có thể sử dụng hai cách để thực hiện tìm các điểm cực trị hàm số. Nhưng trong đó, sử dụng quy tắc II ngắn gọn hơn.
y
1
x
'
1
y
'' y
x 2 x 1
9
1
x
9
2 1)
x (
18
3 1)
x (
y
'
x (
0
2 1)
. Suy ra x
9
4
2
x
y
''(4)
y
0;
0
2 . ''( 2) 3
2
2.( 2) 4 0
T
x , đạt cực tiểu tại
2 3 x . Vậy 4
Ta có: ;
2
2
y
x
4
x
Vậy hàm số đạt cực đại tại 1
. 3
Ví dụ 10. Tìm các điểm cực trị của hàm số
[1;3]
D
Lời giải:
TXĐ: .
2
y
'
0
x
2
Đối với hàm vô tỷ thì ta nên sử dụng quy tắc I để tìm các điểm cực trị của nó.
x 2
x
4
x
3
Ta có .
BBT của hàm số như bên.
x . 2
Điểm cực đại của hàm số là
Đối với dạng toán này được xem là dạng đơn giản nhất trong các dạng toán về cực trị hàm số.Chủ yếu ở mức nhận biết, thông hiểu.
4
y
x
x
1.3. Bài tập tương tự.
là 2 3
Câu 1. Số điểm cực trị hàm số
15
A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
y
f x ( )
có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào sau đây
Câu 2. Cho hàm số đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1 .
M . (1; 1)
C. Điểm cực tiểu của hàm số là
x . 1
2
x
1
D. Điểm cực tiểu của hàm số là
y
x x 1
Câu 3. Cho hàm số . Điểm cực
đại của hàm số là
1x .
x . 0
x . 2
3x .
y
A. B. C. D.
2 3 x x 1
Câu 4. Chàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Cực tiểu của hàm số bằng 2 . B. Cực tiểu của hàm số bằng 1.
2; 5
N
là các điểm cực trị của đồ thị hàm số
M , 0; 1
C. Cực tiểu của hàm số bằng 6 . D. Cực tiểu của hàm số bằng 3 .
2
y
ax
bx
cx d . Tính giá trị của hàm số tại
1x .
y
y
y
y
Câu 5. Biết 3
. 2
. 2
. 3
. 1
1
1
1
1
y
x
x
5
2 4
A. B. C. D.
bằng
Câu 6. Giá trị cực tiểu của hàm số
y
sin 2
x
A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 4.
là x
x
(
k
x
(
k
k
k
Câu 7. Các điểm cực đại của hàm số
. )
. )
6
6
x
(
k
x
(
k
k
k
A. B.
. )
)
3
3
3
2
y
2
x
3
x
36
x
C. D.
là 1
Câu 8. Số điểm cực trị của hàm số
A. 1. B. 3 . C. 0 . D. 2 .
y
f x ( )
Câu 9. Cho hàm số có đồ thị như hình bên. Số điểm cực
đại của hàm số là
A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
f x
( )
y
có bảng biến thiên như bên. Tổng của
Câu 10. Cho hàm số các giá trị cực trị của hàm số bằng
B. 5 . A. 6 .
16
D. 7 . C. 0 .
Đáp số:
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Câu
Đáp số D B B A C C A D D B
2. Tìm cực trị hàm số khi biết đạo hàm của hàm số, đồ thị của hàm số đạo hàm.
2.1. Phương pháp.
y
f x
( )
khi
f x : '( ) bằng tổng số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của
f x
y
( )
f x hoặc đồ thị hàm số '( ) +) Số điểm cực trị hàm số phương trình
f x . '( )
0
Một số điểm cần chú ý trong dạng toán liên quan đến cực trị hàm số biết hàm
f x
( )
y
y
f x '( )
bằng số giao điểm của đồ thị hàm
+) Số điểm cực trị hàm số với trục hoành ( trừ những điểm tiếp xúc).
f x có đạo
2.2. Ví dụ minh họa.
x x (
x 1)(
f x '( ) A. 1.
. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3 x 2) , D. 5 . B. 3 .
Ví dụ 1. ( Đề tham khảo BGD & ĐT năm 2018 – 2019 ) Cho hàm số ( ) hàm
C. 2 .
Lời giải:
.
1
0
x
x
x
0
f x '( )
x 1)(
x x (
0
f x đổi dấu qua ba '( )
3 2) 2 Ta thấy ba nghiệm trên không phải là nghiệm bội chẵn nên nghiệm đó. Do đó, hàm số có ba điểm cực trị và đáp số B.
Ta có
f x ( )
y
f x '( )
y có bao nhiêu điểm cực trị?
( ) y f x A. 2 .
Ví dụ 2. Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình bên. Hàm số
B. 3 . C. 1. D. 4 .
Lời giải:
f x '( )
y
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt (trừ
Ta thấy đồ thị điểm tiếp xúc) nên hàm số có ba điểm cực trị. Vậy đáp án B.
f x
( )
y
f x '( )
. Hàm số có đồ thị như hình
y là
f x ( )
2
Ví dụ 3. Cho hàm số bên. Điểm cực đại của hàm số
x . 5
y x .
x
2,
x
A. B.
x . 2
. 5
C. D.
17
Lời giải:
y
f x '( )
f x đổi dấu từ ( ) sang ( ) qua điểm '( )
2
ta thấy
x là điểm cực đại của hàm số. Vậy đáp án C.
f x có đạo hàm
f x '( )
x x (
, 2 1)
Nhìn vào đồ thị hàm số x nên 2
Ví dụ 4. ( Đề thi THPTQG 2019) Cho hàm số ( ) x . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là C. 3 . B. 2 . A. 1. D. 0 .
Lời giải:
0
x x (
2 1)
. 0 1
0
x
1
x là nghiệm kép nên hàm số chỉ có 1 điểm
0 0
x f x '( ) x là nghiệm đơn còn x . Đáp số A.
Ta có
Ta thấy cực trị là
f x
( )
y
f x '( )
y có bao nhiêu điểm cực trị?
( ) f x y A. 2 .
Ví dụ 5. Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình bên. Hàm số
B. 3 . C. 1. D. 4 .
Lời giải:
y
ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4
y
f x ( )
có 2 điểm cực trị. Vậy đáp
f x có đạo hàm
2 ) (3
3 x ) (
Ta thấy đồ thị f x '( ) điểm trong đó có 2 điểm tiếp xúc nên hàm số số A.
. Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là x D. C. 3x .
x (1 x . 2
4 2) , B.
x
x . 0
x
1x .
Ví dụ 6. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2018 – 2019 ) Cho hàm số ( ) f x '( ) A.
Lời giải:
. 1
2
0
3
x
x
x
x
f x '( )
0
2 ) (3
x
3 x ) (
4 2)
0
x (1 x Bảng xét dấu đạo hàm
x
0 1 2 3
Ta có
f x '( )
0
0 0 0 0
x . Vậy đáp số C.
f x có đạo hàm '( ) f x
x (
x 1)(
x 2)...(
2021)
Qua bảng xét dấu ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại
, x . Số Ví dụ 7. Cho hàm số ( ) điểm cực đại của hàm số đã cho là
A. 1011. B. 1010 . C. 2022 . D. 2021.
Lời giải:
2021
...
2
x
x
x
0
x 2)...(
2021)
0
0
1)( x 1 f x có 2021 nghiệm đơn nên hàm số có 2021 điểm cực '( )
f x x ( '( ) Ta thấy phương trình trị. Mặt khác, hệ số đứng trước x đều dương nên hàm số có 1010 điểm cực đại. Vậy đáp số B.
18
Ta có .
2
f x '( )
2 x x (
5 x 2) (
9),
x
f x có đạo hàm
. Số điểm cực
2.3. Bài tập tương tự.
Câu 1. Cho hàm số ( ) trị của hàm số đã cho là
2
f x có đạo hàm
f x '( )
x x (
x 2)(
3 4) ,
. Số điểm cực x
A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 5 .
Câu 2. Cho hàm số ( ) trị của hàm số đã cho là
A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 5 .
y
( )
y
f x '( )
. Hàm số có đồ thị như hình bên. Số điểm cực
f x là
y
Câu 3. Cho hàm số trị của hàm số
( ) f x B. 3 . C. 1.
2
f x có đạo hàm
f x '( )
( x
x 3)(
16),
. x
A. 2 . D. 0 .
3
4
4
Câu 4. Cho hàm số ( ) Điểm cực đại của hàm số là
x .
x .
x . 4
x .
A. B. C. D.
y
y
f x '( )
. Hàm số có đồ thị như hình bên. Điểm cực
f x ( ) là
y
f x ( )
Câu 5. Cho hàm số tiểu của hàm số
x . 2
1x .
2
A. B.
x . 2
x .
3 x x (
2 1) (9
x
2 3 ) ,
f x có đạo hàm
. x
C. D.
Câu 6. Cho hàm số ( ) f x '( ) Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 5 .
f x ( )
y
f x '( )
. Đồ thị hàm số như hình bên. Điểm cực đại
y là
f x
Câu 7. Cho hàm số của hàm số
x . 0
y
1x .
( )
3
A. B.
x . 3
x .
f x có đạo hàm '( ) f x
(1
x
)(2
x
)...(2021
x
)
, x . Số
C. D.
Câu 8. Cho hàm số ( ) điểm cực đại của hàm số đã cho là
3
2
A. 1011. B. 1010. C. 2022 . D. 2021.
y
f x
( )
f x '( )
x (
2 x 4 )( x
3 x 2 )
y
f x ( )
có đạo hàm , x . Số Câu 9. Cho hàm số điểm cực trị của hàm số là
B. 4 . A. 2 .
D. 3 . C. 1.
y
f x ( )
y
f x '( )
. Hàm số có đồ thị như
( )
Câu 10. Cho hàm số hình bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
y f x B. 1. C. 0 .
19
A. 3 . D. 2 .
Đáp số:
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Câu
Đáp số B C C A B C A A D D
3. Tìm điều kiện tham số để hàm số đạt cực trị tại một điểm cho trước.
3.1. Phương pháp.
0x .
y
f x
( )
có đạo hàm tại điểm
f
'(
) 0
x , từ điều kiện này ta tìm
0x là
0
Trong dạng toán này ta chỉ xét trường hợp hàm số Khi đó để giải bài toán này, ta tiến hành theo hai bước:
B1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị tại được giá trị của tham số.
B2. Kiểm tra lại bằng cách dùng một trong hai quy tắc tìm cực trị, để xem xét giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu của bài toán hay không?
y
3 x
23 x
mx
2020
3.2. Ví dụ minh họa
x . 2
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại
2
y
'
x 3
y
"
6
6
2
, x m 6 6.2 3.2
y
'(2) 0
x . m 0
Lời giải:
0m .
2
y
6 0
nên hàm số đạt cực tiểu tại
x . Vậy
0m thì thỏa mãn
Ta có TXĐ của hàm số D , x thì Hàm số đạt cực tiểu tại 2
2
2
mx 3
x 1)
m (
y
Với 0m thì ''(2) yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2. Cho hàm số 3 x 2021 cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại , m là tham số thực. Tìm tất x . 2
2
2
Lời giải:
y
m 6
'
x 3
mx m 6
2
2
y
'(2) 0
3.2
6.2
, 1 m m
.
" 6 x 1 0
2 12
m
11
0
1
m
11
m
m
Ta có TXĐ của hàm số D , y x thì Hàm số đạt cực tiểu tại 2
y
''(2)
6 0
.
1m thì
nên hàm số đạt cực tiểu tại
x nên 2
1m thỏa mãn.
y
''(2)
54
11m
11m
Với
x nên 2
thì nên hàm số đạt cực đại tại không thỏa
Với mãn.
1m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
2
4
x 2)
x 1)
m (
y
1
Vậy
Ví dụ 3. Cho hàm số m ( 2021 cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại , m là tham số thực. Tìm tất x .
20
Lời giải:
3
2
y
'
4(
m
x 1)
2(
m
x 2)
2
2
"
m
12(
x 1)
2(
m
2
y
'( 1) 0
4(
m
1) 2(
m
2) 0
m
m
2
y Hàm số đạt cực đại tại
. 2) x thì 1
. 0
''( 1) 8 0
2m thì
y nên hàm số đạt cực tiểu tại
x nên 1
2m không thỏa
, Ta có TXĐ của hàm số D ,
8 0
''( 1)
Với mãn.
0m thì
y nên hàm số đạt cực đại tại
x nên 1
0m thỏa mãn.
Với
0m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
x
1
Vậy
y
mx x m
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
1x .
đạt cực tiểu tại
2
2
x
1
D
Lời giải:
m
y
'
1
\
mx m 2 2 x m ) (
1 x m (
2 )
Ta có TXĐ của hàm số , ,
y
"
1 x m (
3 )
y
'(1)
0
1
m
m
0
0
2
.
1x thì
2
(
m
1)
1
2
y
''(1)
1 0
m thì 2
nên hàm số đạt cực đại tại
1x nên
m không thỏa
Hàm số đạt cực tiểu tại .
y
''(1) 1 0
Với mãn.
0m thì
nên hàm số đạt cực tiểu tại
1x nên
0m thỏa mãn.
Với
0m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy
y
4 x
mx
đạt cực tiểu tại điểm
1
Nhận xét: Sai lầm mà học sinh thường vấp ở các ví dụ 2, 3, 4 là bước kiểm tra lại giá trị của tham số vừa tìm được có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không? Do vậy, Gv luôn phải nhấn mạnh vấn đề đó để học sinh đỡ gặp sai lầm.
Ví dụ 5. Tìm giá trị của tham số m để hàm số x . 0
3
2
Lời giải:
'
''
x 12
y
'(0)
0
0
.
4 m y , x . m
y
''(0) 0
Ta có TXĐ của hàm số D , y x thì Hàm số đạt cực tiểu tại 0
0m thì
.
Với
3
Đến đây học sinh sẽ lúng túng và dẩn đến kết luận sai. Vậy khi gặp bài thế này thì hướng dẩn học sinh sẽ sử dụng quy tắc I để kiểm tra.
0m thì
y
'
x 4
. x
0
0
21
Với
BBT của hàm số như hình bên. Qua bảng BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x . 0
0m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
5
2
4
Vậy với
x . 0
y
m (
m (
x 4)
1
8 x
2) x B. 5 .
đạt cực tiểu tại C. 4 .
Ví dụ 6. ( THPT quốc gia 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
D. vô số. A. 3 .
7
2
4
3
3
4
2
Giải:
'
m
5(
x 8
x 2)
4)]
x 4)
x 2)
4(
4(
5(
m
m
m
x
3 x g x . ( )
x 0
x [8 y Đối ví dụ này ta không thể thực hiện cách làm như ở các ví dụ trên được vì luôn là nghiệm của phương trình
y . ' 0
0
x là nghiệm hoặc không
Ta có TXĐ của hàm số D , .
g x . ( ) 0
2
0
g x ( )
m
m
0
2
Do vậy đối với ví dụ này, ta phải xét các trường hợp phải nghiệm của phương trình
x là nghiệm của phương trình
. 4 0
7
0
y
x ' 8
2m thì
TH1:
'y đổi dấu từ ( ) sang ( ) qua
x nên 0
x là điểm
suy ra
7
4
3
0
4 x 4 (2
20
x
y
x
x
m thì 2
x là nghiệm kép , suy ra
x 0
Với cực tiểu.
5) m không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
0
g x ( )
m
m
0
2
nên 2 Với ' 8 không phải là điểm cực trị hàm số. Vậy
x không là nghiệm của phương trình
. 4 0
0
TH2:
0
y
'
3 x g x . ( )
lim ( ) g x x
2 4 0
m
m
( 2; 2)
x khi và chỉ khi 0 . m
1, 0,1
đổi dấu từ ( ) sang ( ) qua nghiệm
1, 0,1, 2
. Vậy có 4 giá trị nguyên m thỏa mãn . Mặt khác, m nên m
Kết hợp hai trường hợp ta có do đó đáp án là C.
Ngoài cách trên thì giáo viên có thể tham khảo cách sau đây:
0x là điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số
y
f x
( )
(
n
1)
f
'(
)
f
"(
)
...
f
(
)
0
2
n sao cho
và
x 0
x 0
x 0
Giả sử triệt tiêu.
0
)
x . 0(
Giả sử tồn tại số tự nhiên nf ( )
0x là một điểm cực trị của hàm số
y
f x
( )
nf ( )
Khi đó, nếu n chẵn thì .
0x là điểm cực đại nếu
x . 0( ) 0
nf ( )
0x là điểm cực tiểu nếu
x . 0( ) 0
0x không là cực trị hàm số
y
f x ( )
4
2
7
3
Nếu n lẻ thì .
y
'
x 8
5(
m
x 2)
4(
m
x 4)
22
Ta có:
3
2
6
2
y
''
x 56
20(
m
x 2)
12(
m
x 4)
5
2
2
y
'''
x 336
60(
m
x 2)
24(
m
2
(4)
4
4) x 4)
y
x 1680
120(
m
x 2)
24(
(4)
2
y
(0)
24(
m
y
'(0)
y
''(0)
y
'''(0)
0
4
(4)
Ta có
2m thì
m nên ta xét , suy ra
4) và
y
x ( )
y
x 40302
(7)(0)
y
và
0
x . 0
(8)(0)
y
40302
(7)( ) 1680 x x . Khi đó hàm số đạt cực tiểu tại
0
(4)
4
TH1: Nếu
x 1680
x 480
(5)(0)
y
480
nên hàm số
0
, suy ra
TH2: Nếu m thì 2 ( ) x y x . không đạt cực tiểu tại 0
(4)
y
m 2 2 4 0 m
số đạt cực tiểu tại
( 2; 2)
thì m TH3: 0 x Nếu (0) 0 hàm
m
1, 0,1
m
1, 0,1, 2
, kết hợp ba TH trên ta có .
Mặt khác, m nên Vậy có 4 giá trị nguyên m thỏa mãn do đó đáp án là C.
3
2
2
3.3. Bài tập tương tự.
y
x
2
x
2
m
x
3 m
đạt 4
m 3
1
1 3
1 2
3
Câu 1. Giá trị của tham số m để hàm số
x hoặc
x là 5
cực trị tại
0m .
1m .
2m .
2
2
y
2
x
m
x
3 x
m 2
A. B. C.
m 3
4
1x là
D. 3m . đạt 1 Câu 2. Giá trị của tham số m để hàm số cực đại tại
m
1
. m 3
3m .
1m D. không tồn tại m .
2
2
y
m
4
x
3
3 x mx
A. B. C.
đạt
Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
1 3
3x .
cực tiểu tại
m
1
5m .
m . 1
1m . D.
. m
4
2
2
1)
x
(
m
2)
x
2021
y m (
5 đạt
1
A. B. C.
x .
Câu 4. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số cực tiểu tại
m
0
2
. m
0m .
1m . D.
2m .
4
2
y
x
2(
m
3)
x
1
A. B. C.
đạt cực
1 4
2
Câu 5. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
x .
đại tại
2
2m .
m .
1m . D.
4m .
3
y
mx
m
8)
x
1
2 2(5
A. B. C.
.Tìm tất cả các giá trị của tham số m
2
x 3 để hàm số đạt cực tiểu tại
x . Kết quả nào sau đây đúng?
23
Câu 6. Cho hàm số
m
6 m 7
6 7
3 m 7
2
x
(
m
3 2
m
y
A. B. D. Kết quả khác. C.
1) x x m
1
Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số đạt cực
x .
đại tại
m
1
2
. m
m . 1
1m . D.
2m .
2
x
(
m
3 2
m
y
A. B. C.
x 1) x m
1
Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số đạt cực
x .
tiểu tại
m
2
1
m . 1
2m .
. m Câu 9. Có bao nhiêu giá
10
7
2
4
A. B. C.
1m . D. tham số m để hàm số x . 0
x 3)
m (
2021
y x ( m A. 4 .
9) x B. 5 .
trị nguyên của đạt cực tiểu tại
C. 6 . D. vô số.
10
7
2
4
Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của
x 1)
2(
m
y x A. 4 .
m (
1) x B. 2 .
2021
đạt cực đại tại tham số m để hàm số x . 0
C. 3 . D. 5
Đáp số:
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Câu
Đáp số C A C D D A B D C B
4. Tìm điều kiện tham số để hàm số có điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước.
3
2
y
ax
bx
0
4.1. Phương pháp.
cx d a
y
23 ax
bx 2
c
0
a.Hàm số
y có hai nghiệm phân biệt
2 3
ac
0
b
. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là :
2
y
x d
Ta có Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình
c 2 3
b 2 a 9
bc a 9
.
3
2
x i
ax
bx
23 ax
bx 2
y Ax B
c
cx d
Ai B
Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :
b a 9
y
x 3 y y . a 18
24
Hoặc sử dụng công thức .
' 0
,x x sao cho
y x . ) 0
y x ( ). ( 1
2
2
4
2
y
ax
bx
0
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung ( Oy ) khi và chỉ khi y có hai nghiệm trái dấu. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành ( Ox ) khi và chỉ khi y có hai nghiệm phân biệt 1 ' 0
c a
4
2
y
ax
bx
0
b. Hàm số
c a
C .
0
3
y
4
ax
bx y 2 ;
0
Cho hàm số: có đồ thị là
2
x
b a 2
x
0
0
0
y có 3 nghiệm phân biệt
. a b .
C có ba điểm cực trị
b a 2
C có ba điểm cực trị trong đó có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu
0
.
0
a b
C có ba điểm cực trị trong đó có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại
0
.
0
a b
A
,
B
;
,
C
;
.
0; c
b a 2
4 a
b a 2
4 a
b
ac
2 4
Khi đó ba điểm cực trị là: với
4
,
BC
2
AB AC
.
2
b a 16
b a 2
b a 2
2
2
2
AC
AB
Độ dài các đoạn thẳng: .
4
3
3
4
0
2
1
0
1 0
2
2
2 b a
b a 16
b a 2
b a 2
b a 8
b a 8
b a 16
b a 2
4
4
2
2
BC
AB
ABC
0
Các TH đặc biệt của tam giác cực trị ABC : BC ABC vuông cân
2
2
b 2 a
b a 16
b a 2
b a 16
b 3 a 2
3
3
3
0
3 0
b a 2
b a 8
b a 8
đều
4.2. Một số ví dụ minh họa.
3
2
2
y
x
x
2
m
x
3 m
có hai điểm cực trị. 10
m 3
2
2
tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
1 3
25
Ví dụ 1. Tìm 1 2
2
2
y
x
(3
m
2)
m 3
x m 2
Lời giải:
. 2
0
y có hai nghiệm phân biệt
2
2
2 4
m
m
2
2
4(2
m 3
(3
2)
m
Ta có
2) 0
. m
m
m
2
2
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi m 0 0
thì hàm số có hai điểm cực trị.
Vậy với
3
2
y
(
m
1)
x
2
x
x
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá số m để hàm số
m
m
3
1 3
trị của tham có hai điểm cực trị. 1
2
y
(
m
1)
x
2(
m
2)
x m
3
Lời giải:
.
0
y có hai nghiệm phân biệt
Ta có
m
1
m
1 0
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi 1
2
' 0
(
m
2)
(
m
1)(
m
3)
0
1 8
m m
1
.
1 8
m m
4
2
2
Vậy với thì hàm số có hai điểm cực trị.
y
x
m
2
x
2021
16
1 4
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
có ba điểm cực trị.
3
2
2
2
y
x
4(
m
16)
x
x x [
4(
m
16)]
Lời giải:
0
Ta có .
y có ba nghiệm phân biệt
0
2 16
m
m
0
4
m
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi
. 4
x 2
2
x
4(
m
16)
m
m
4
4
có ba nghiệm phân biệt
thì hàm số có ba điểm cực trị.
4
2
2
y
m
x
x
1
4
Vậy với
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số có một điểm cực trị.
3
2
2
2
y
x
2(
m
4)
x
x x 2 [2
(
m
4)]
4
Lời giải:
0
Ta có .
y có nghiệm duy nhất
0
2 4 0
m
m
( 2; 2)
Hàm số có một điểm cực trị khi và chỉ khi
x 2
2
2
x
m
4
có nghiệm duy nhất .
m
1, 0,1
26
. Vậy có ba giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Mà m nên
3
2
mx 3
m
x
y mx
1 5
Ví dụ 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số không có cực trị.
2
y
mx 3
6
(
mx m
Lời giải:
. 1)
2
y
mx 3
6
(
1) 0
0
mx m
(1) .
Ta có
Đối với bài này ta có thể sử dụng các cách sau:
Cách 1: (Làm trực tiếp)
Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Đối với ví dụ này, giáo viên cần phân tích cho học sinh để học sinh thấy cần phải xét cả hai trường hợp sau đây.
0m thì phương trình (1) vô nghiệm suy ra
0m thỏa mãn.
TH1: Nếu
(1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
2
' 0
m m 3 (
1) 0
[0;
m
]
(0;
]
9 m
m
TH2: Nếu
0m thì phương trình 1 4
1 4
[0;
]
m
suy ra .
1 4
Kết hợp hai trường hợp ta có với thì hàm số không có cực trị.
y
5
x là hàm bậc nhất nên không có
Cách 2: (Làm gián tiếp) Tìm điều kiện tham số m để hàm số có cực trị.
0m thì ta có hàm số trở thành 0m không thỏa mãn.
m m 3 (
1)
29 m
TH1: Nếu cực trị, suy ra
0m thì hàm số đã cho là hàm bậc ba. Khi đó, hàm số có cực trị 0
' 0
0
m
TH2: Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1 4
m
;0)
(
;
)
m (
.
. Suy ra, với
1 4
[0;
]
m
Kết hợp hai TH, ta có hàm số có cực trị
1 4
2
y
thì hàm số không có cực trị .
2 x mx x 1
Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có hai điểm
cực trị.
2
x
2
D
y
'
Lời giải:
\ 1 ;
2 ( x
x m 2 1)
2 2
x m
x
Ta có TXĐ: .
có 2 0
y có hai nghiệm phân biệt m
' 0
3
m 3
Hàm số có hai điểm cực trị
m
' 0 m
3
3
27
hai nghiệm phân biệt khác 1 .
3
m thì hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
2
2
Với
y
m
2
x
m
4
m
m
5
3 x
1
x 1 3 .
,x x sao cho
1
2
)
(
Ví dụ 7. Cho hàm số
x 2
x 1
1 x
1 2
2
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có hai điểm cực trị 1 x 1
2
Lời giải:
y
'
3
x
m
4
x m
m
4
2 1 .
1
Ta có
Đối với bài toán này thì trước hết ta tìm điều kiện để hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
2
2
y
3
x
4(
m
1)
4
m
1 0
x m
(1) có hai nghiệm phân biệt
2
2
2
4
m
1 0
m
2
3
m
2
3
m
' 0
4(
m
1)
3(
m
4
m
1) 0
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình
m
m
3
2
2
.
,x x với
,x x là hai
1
2
1
2
thì hàm số có hai điểm cực trị
2
4(
1)
m
m
1
;
Với 3 nghiệm của phương trình (1). Theo định lí viet ta có:
x 1
x 2
x x . 1 2
m 3
4 3
0
(
)
(
)
.
x 1
x 2
x 1
x 2
2
x 2
1 x
1 2
1 2
x 1 x x . 1 2
1 x 1
2
x x 1 2 x x . 1 2
4(
1)
0
m
m
m
5
1
1
.
2
m
m
1
2
m 3 4 3
m
m
1
5
Theo bài ra ta có
thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
3
2
Kết hợp với điều kiện ta có với
y
x
m
x
x
. m 3 1
1
m
2
1 3
1 2
Ví dụ 8. Cho hàm số
Xác định m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng ( 2;3) .
m
m
m
1;3
3; 4
1;3
3;4
m
1; 4
A. . B. . C. . D. .
2
Lời giải:
'
x
y
m
x m
2
1
2
x
x m
m
2
0
0
x
y
'
. x m
1 2 (1). 1
m 2
Ta có
3m .
1
Trước hết tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị. Điều đó xãy ra khi (1) có hai nghiệm phân biệt
nên xãy ra
28
Khi đó, theo bài ra hai điểm cực trị của hàm số nằm trong khoảng ( 2;3) các trường hợp sau đây:
m
( 1;3)
3
m
m
m
1
(3; 4)
TH1: 1 2 .
( 1;3)
(3; 4)
m
TH2: 2 2 .
Kết hợp hai trường hợp trên ta có thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
4
2
Vậy đáp án là A.
)mC
y
m
m
2
(
4 x Tìm giá trị của tham số m để (
2 mx )mC có ba điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác đều.
Ví dụ 9. Cho hàm số
3
2
Lời giải:
y
'
4
x
4
mx
4 (
x x
m ) .
y
'
4 (
2 x x m
0
)
có ba nghiệm phân biệt
)mC có ba điểm cực trị khi phương trình ( 0m .
Ta có
4
4
2
2
A m (0;
2 ),
m B m m m
(
;
m 2 )
C
(
4 m m m
;
m 2 )
Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
,
4
AB BC
m m
4
m
3 3
m
Ta thấy tam giác ABC luôn cân tại đỉnh A suy ra tam giác ABC đều
0m ).
3 3
m
( vì
d y :
vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực 3 23 x
x
Vậy thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 10. (THPT QG 2017) Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng m m 1) (2 . trị của đồ thị hàm số 3 x y 1
m .
3 m . 2
3 m . 4
1 2
1 m . 4
A. B. C. D.
Lời giải:
2
y
23 x
6
x
y
0
3
6
0
2
x
x
x
Đối với bài này ta có thể trình bày theo hai cách sau:
. x
A
(0;1);
B
(2; 3)
. Đường thẳng đi qua hai
Cách 1: Ta có ;
x
1
d
AB
2(2
m
1)
y 2
,A B có phương trình :
Đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị điểm
1
x 2
y 1 4
m . Vậy đáp án B.
3 4
3
2
2
x
3
x
1 (3
x
x 6 )(
x
) 2
y
23 x
6
x
. Khi đó
. 1
x 3
1 3
y x ( )
y x
'( )(
x
1
) 2
Cách 2: Ta có và
nên phương trình đi qua hai điểm cực trị là
x 3
1 3
y
x
2
1
29
Suy ra
d
AB
2(2
m
1)
1
m . Vậy đáp án B.
3 4
y
Khi đó
. y y a 18
Cách 3: sử dụng công thức .
Cách này thì ta sẽ sử dụng máy tính cầm tay để xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị theo các bước sau:
y
Bước 1: Vào CMPLX.
. y y a 18
''
'' ta thấy hiện ở màn hình là
Bước 2: Nhập vào máy tính biểu thức .
y
x
2
Bước 3: CALC với X i 1 2i
. 1
d
AB
2(2
m
1)
Kết quả ta thu được là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình là
1
m .
3 4
Khi đó
Vậy đáp án B.
2
3
Qua ba cách trên thì cách ba được sử dụng nhiều trong những bài toán dưới dạng trắc nghiệm vì cách này có ưu điểm là nhanh, độ chính xác cao.
mx
x
x
y
m
5
m 3
hai phía trục tung.
hàm số Ví dụ 11. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị có hai điểm cực trị nằm về 1
2
2
mx m
5
y mx
Lời giải:
.
2
y
mx
0
2
mx m
(1) . 5 0
( 5;0)
5) 0
m m (
m
Ta có
4, 3, 2, 1
mx m
23 x
2
3 x
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu . Mà m nên m . Vậy có 4 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 12. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành. y Lời giải:
Đối với bài này ta có thể sử dụng hai cách giải sau.
2
y
23 x
6
x m
y
3
0
x
6
0
x m
Cách 1:
,
(1) .
9 3
' 0
m
0
3
Ta có
. m
30
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
A x y B x y );
(
(
;
;
)
,x x là hai nghiệm
1
1
2
2
1
2
2;
Khi đó, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
x 2
x x . 1 2
3
2
2
. của phương trình (1) . Theo định lí viet ta có 1 x với m 3
x
3
x
mx m
2
(3
x
x m
)(
(
2)
x
6
2
x 3
1 ) 3
m 2 3
m 2 3
)
)(
2)
2
(
2)
Ta có
2
y 1
y x ( 1
y x '( 1
x 1
y 1
x 1
x 1 3
m 1 2 )( 3 3
m 2 3
m 2 3
m 2 3
y
)
)(
)
(
2)
2
(
2)
. 2
2
y x ( 2
y x '( 2
x 2
y 2
x 2
x 2 3
1 3
m 2 3
m 2 3
m 2 3
m 2 3
A x y B x y );
(
(
;
;
)
Suy ra
1
1
2
2
[(
2)
2][(
2)
x
0
2) 0
y y 2. 1
x 1
2
m 2 3
m 2 3
m 2 3
m 2 3
2
2
(
2)
2 2) (
)+(
2)
0
(
x x 1 2
x 1
x 2
m 2 3
2
2
(
2 2) .
(
2) (-2)+(
2)
(
2 2) (
1) 0,
m
3
0
.
m 3
m 2 3 m 2 3
m 2 3
m 2 3
m 3
m 2 3 m 2 3
3m thì đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục
Theo bài ra nằm về hai phía trục hoành nên
Vậy với hoành.
3
2
(1) .
x
3
x
mx m
2
0
2
0
x 1 2 x m x 2
2
Cách 2: Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoàng khi và chỉ khi đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
x
2
2
x m
0
0
' 0
3
m
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
có hai nghiệm phân biệt khác 1 m m
3 0
m
3 0
3
.
3m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành.
Vậy với
Ta thấy với bài toán này thì làm theo cách hai sẽ đơn giản hơn nhiều. Như vậy, khi gặp bài toán tương tự mà đồ thị đã có sẵn ít nhất một giao điểm với trục hoành rồi thì ta nên thực hiện theo cách 2 để đơn giản, ngắn gọn hơn.
3
y
x
m
7
x mx
4.3. Bài tập tương tự.
có hai cực trị khi và chỉ khi:
21
m 3
Câu 1. Hàm số
0m .
0m .
m .
1 m . 2
1 2
1 m và 2
3
2
x
3
2 x m
có các
f x
A. B. C. D.
31
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số giá trị cực trị trái dấu:
3
2
,x x thỏa mãn
mx
0
3
1
x
x 1
1
2
có hai điểm cực trị
x 24
A. – 1 và 0. B. (-;0)(-1;+ ). C. (-1;0). D. [0;1].
Câu 3. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số . Tổng các giá trị 4 y x của S là
m
6
26 x
x sao
, x 1
2
có cực đại, cực tiểu tại x m
3 x
2
. . C. 9 . A. 0 . B. 9 2 D. 9 4
x
2
y 3 thì giá trị của m là
Câu 4. Để hàm số cho
1
x 1 1 1m .
1m . C.
m . 1
3
2
A. B.
mx
y
x
2
x
m
m . D. 1 3
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có
hai điểm cực trị nằm trong khoảng (0;+)?
4
2
f x ( )
mx
2
2
x
A. m > 2. B. m < 2. C. m = 2. D. 0 < m < 2.
2
m
m 1,
Câu 6. Cho hàm số m . Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị A, B, C sao cho tam giác ABC có OA=BC (với A là điểm cực trị của đồ thị nằm trên trục tung) ?
0m . B.
. 0
1m . D.
m .
2
x
y
A. C.
x
x m 2 2
Câu 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
không có cực trị. Chọn kết quả đúng:
2m .
2m .
3
x
0m . 1m . D. 2 x mx f x ( ) 3
1
2
3
,x x thỏa 2
B. C.
x 2
m
2
A. Câu 8.Tìm các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 2 có hai điểm cực trị 1 x 1
m .
3 m . 2
3 2
1 m . 2
d y :
(2
m
1)
x
3
A. B. C. . D.
song m
3
y
x
23 x
9
x
Câu 9. Với giá trị nào của tham số m để đường thẳng
? 1
m
song với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
m . B.
m . C.
m . D.
7 2
9 2
9 16
7 2
4
y
x
2
2 2 m x
1
có ba điểm cực trị là
A. .
1
Câu 10.Tìm tất cả giá trị của m để hàm số ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
1m .
0m .
m . 1
m .
B. C. D. A.
Đáp số:
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
32
Câu
Đáp số A C A B A C D A C D
5. Cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
5.1. Phương pháp.
y
f x ( )
f x (
y
Trong dạng này ta tìm hiểu các hàm số dạng , .
) ) thì ta lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị
y
y
f x (
)
f x ( ) ) từ BBT hoặc đồ thị của hàm số
Để tìm cực trị hàm số (
y
f x ( )
)
y
f x ( )
y
f x (
. hàm số (
f x ( )
a. Hàm số
f x ( )
y
y
f x ( )
: Vẽ đồ thị hàm số
y Cách vẽ đồ thị hàm số thị hàm số hàm số
y
. Giữ nguyên phần đồ phía trên trục hoành. Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị
f x ( )
y
f x ( )
và số
0
( ) y f x nằm phía dưới trục hoành. f x ( ) Số điểm cực trị hàm số y nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của phương trình ( ) b. Hàm số
)
f x (
bằng tổng số điểm cực trị hàm số f x .
f x ( )
y
)
y
f x (
y
y Cách vẽ đồ thị hàm số thị hàm số đồ thị hàm số
: Vẽ đồ thị hàm số
nằm phía bên phải trục tung.
f x (
y
)
f x ( )
bằng hai lần số cực trị dương của hàm số
. Giữ nguyên phần đồ phía bên phải trục tung (Oy ). Lấy đối xứng qua trục tung phần f x ( ) f x y ( ) Số điểm cực trị của hàm số cộng thêm 1. y 5.2. Một số ví dụ minh họa.
y
Ví dụ 1. Cho hàm số . Số điểm cực trị của hàm số là
x 1)( x (2 B. 5 .
2 1) C. 1. Lời giải:
3
2
2
A. 3 . D. 4 .
2 1)
f x ( )
x (2
x 1)(
x 3
1
f x '( )
x 6
. x 6
0
2
Đặt
f x '( )
x 6
x 6
0
0
y
f x ( )
1
2 x x x
. Suy ra hàm số có hai điểm cực trị.
f x ( )
x (2
0
x 1)(
2 1)
0
1 2
1
x x
y
x (2
x 1)(
2 1)
Mặt khác nhưng chỉ có 1nghiệm đơn
1 x . Vậy số điểm cực trị của hàm số 2 đáp số là A.
là 3 . Vậy
y
f x ( )
có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị
f x ( )
y
33
Ví dụ 2. Cho hàm số hàm số là
A. 3 . D. 1. B. 5 . C. 4 .
Lời giải:
y
Cách 1: Từ đồ thị hàm số ta có bảng xét dấu đạo hàm của hàm số
f x ( ) ,x x là các điểm cực
1
2
f x ( )
như bên với
f x ( )
y
y f x ( ) trị hàm số y thấy hàm số Vậy đáp án B.
. Qua bảng xét dấu ta có 5 điểm cực trị.
Cách 2:
y
f x ( )
y
f x ( )
ta thấy hàm số
y
f x ( )
f x ( )
y
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Suy ra hàm số có hai điểm cực trị. Đồ thị hàm có 5 điểm
Qua đồ thị hàm số số cực trị. Vậy đáp án B.
Qua hai cách trên thì ta thấy ứng dụng của cách 2 trong làm bài tập trắc nghiệm.
y
f x ( )
Ví dụ 3. Cho hàm số có BBT như sau. Tìm số điểm cực trị của hàm số
y
f x ( )
.
A. 6 . B. 5 .
D. 7 . C. 4 .
Lời giải:
y
f x ( )
f x ( )
y
có ba điểm cực
f x ( )
y
cắt trục hoành tại có 7
Qua BBT ta thấy hàm số trị. Và đồ thị hàm số 4 điểm phân biệt. Do đó, hàm số điểm cực trị. Vậy đáp án D.
y
f x ( )
có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số
f x (
y
)
Ví dụ 4. Cho hàm số là
A. 3 . B. 4 .
D. 1. C. 2 .
Lời giải:
Cách 1: Qua đồ thị ta có bảng xét dấu đạo hàm của hàm số
y
f x (
)
như sau :
y
f x (
)
có 3 điểm cực trị.
f x ( )
y
Qua đó ta thấy hàm số Vậy đáp án A.
y
f x (
)
34
Cách 2: Ta thấy hàm số dương nên suy ra số điểm cực trị hàm số có 1 điểm cực trị
3
. Vậy đáp án A.
3
3
3 x m
m 3
|
x
.Tìm tất cả các giá trị nguyên của
3
2
3
x
f x '( )
m 3
x 3
3
0
1
x 3
3
3 x m có hai điểm cực trị. Để hàm số
( nghiệm đơn ) nên có x m 3
f x | ( ) |
|
y
x
f x ( )
y
3
| 3
m 3
bằng 2.1 1 Ví dụ 5. Cho hàm số y | tham số m để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị. Lời giải:
f x ( )
x m 3
x
m 3
3
3
x m 3
x
m 3
(1) có ba nghiệm
0
Đặt f x ( ) hàm số 5 điểm cực trị thì hàm số thì đồ thị hàm số
m
2
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt phân biệt .
)(
0 3)
2 x m x mx m (
2
2
3
0
2
2
x mx m
có hai nghiệm
3
0
( 2;2)
12
0
(1)
( 2;2) \
m
2
1
3
1
0
m m 1
x x mx m Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt phân biệt khác m 23 0 m m 3 m
0m . Vậy chỉ có duy nhất giá trị nguyên
0m thỏa mãn
.
3
3
2
f x ( )
x m 3
f x '( )
x 3
3
x
0 3
x m 3 có hai điểm cực trị. Để hàm số
y
f x ( )
(nghiệm đơn) 1 3 y
x
| 3
3 x m 3
3 | f x | ( ) | m cắt trục
f x ( )
m 3
x m 3
x
có hai điểm cực
y
f x ( )
Mặt khác m nên yêu cầu bài toán.
f
f ( 1). (1)
3
3
0 m
2 1) (
2) 0
2)(
m
m (
m 3
m 3
0
2 1) ( m 0m . Vậy chỉ có duy nhất giá trị
m nguyên
m 2)( 2) ( m . Mặt khác m nên ( 2;2) \ 1 0m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
3
2
x
|
| 3 x
. Có bao nhiêu giá trị nguyên m | 3
m
y m x | để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Cách 2: Đặt nên hàm số có 5 điểm cực trị thì hàm số thì đồ thị hàm số hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số trị nằm về hai phía trục hoành
10;10]
Ví dụ 6. Cho hàm số thuộc đoạn [
2
2
Lời giải:
0
x m 6
f x ( )
3 x
x 3
mx
m 3
f x '( )
(1)
2
m
f
y
(|
|
x 3
3 |
x
x 3 có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi | 3 0m . Mặt khác, m nên
. Vậy có 10 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đặt
3
2
|
y
x
m x |
m
. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để | 3
Để hàm số m x |) | x phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu m 10, 9,..., 1
Ví dụ 7. Cho hàm số | 3 x hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.
35
Lời giải:
2
2
f x ( )
3 x
x 3
mx
m 3
f x '( )
x m 6
(1)
0
2
m x |
x 3
m
|)
(|
3 |
y
x
f
x 3 có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi | 3
Đặt
0
0
Để hàm số | x phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt
m
(0; 3)
0
9 m 3 m
0
' S 0 P
.
m
1, 2
. Vậy có hai giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài
2
Mặt khác, m nên toán.
f x '( )
x x (2
f x ( )
y
, x m 2 3) x y |)
(|
f
có đạo hàm
có 5 điểm Ví dụ 8. Cho hàm số 2 x 1) ( x . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số cực trị.
0
0
Lời giải:
2 1)
0
f x '( )
0
2
x m 2
3
0
x
3
0
(1)
x
1 2 x m 2
x (2 x 2
x x
Ta có .
x là nghiệm đơn nên
0
0
x là nghiệm kép ,
1 2
x là một điểm cực trị bằng hai lần số điểm
y
f
x
|)
(|
có 5 điểm cực trị khi và chỉ
|)
(|
y
x
f
Ta thấy
0
'
0
của hàm số. Ta đã biết số điểm cực trị của hàm số cực trị dương cộng với 1. Do đó, hàm số khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt
m
(3; 4)
m
(3; 4)
S
0
0
0
4 m 2 0 m 3
P toán.
2
3
. Vậy, với thì thỏa mãn yêu cầu bài
a
d 0,
2021
bx
x a
f x ( )
cx
d
Ví dụ 9. Cho hàm số
0
a 8
c 2
b 4
d
2021
f x | ( )
2021 |
thỏa mãn y . Tìm số điểm cực trị của hàm số y Lời giải:
, .
f x ( )
y
với trục
3
2
Đối với bài này thì trước hết ta đi tìm số giao điểm của đồ thị hoành. Chúng ta sử dụng kiến thức chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình dựa vào tính liên tục của hàm số.
a ) 0
y
g x ( )
cx
d
2021
a 8
c 2
2021
Xét hàm số (
a x bx , (2) 2021 d g 0 , lim ( ) g x
4 b d nên tồn tại
2
g
0
0,
0 sao cho ( )
0, ( ) g
x
x
36
Ta có (0) g Vì lim ( ) g x
g
g
g
g . Mặt khác, hàm số
y
( ). (0) g
0, (2). ( )
; 0],[0;2],[2;
, (0). (2) g
g x có ba nghiệm phân biệt. Điều
0
là hàm g x 0 ( ) g x có suy ra phương trình ( ) ] 0 g x là . Mà phương trình ( ) 0
y
có hai điểm cực trị. Vậy hàm số
g x | ( ) |
2021 |
f x | ( )
y
Suy ra 0 đa thức nên liên tục trên mỗi đoạn [ ít nhất 1 nghiệm thuộc mỗi khoảng ( ; 0),(0;2),(2; ) phương trình bậc ba nên suy ra phương trình ( ) này chứng tỏ hàm số g x ( ) có 5 điểm cực trị.
2
5.3. Bài tập tương tự.
y
f x '( )
x x (2
2 x 1) (
. Số điểm cực trị
4)
có đạo hàm
f x ( ) là
f
(|
x
y
|)
Câu 1. Cho hàm số của hàm số
A. 3 . B. 5 . D. 7 . C. 4 .
f x ( )
có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị
y là
f x
| ( ) |
y A. 3 .
Câu 2. Cho hàm số của hàm số
3
B. 5 . D. 2 .
2 x x (
x 1)(
x 4 )
y
f x ( )
Câu 3. Cho hàm số C. 4 . có đạo hàm
'( ) f x là
y
f x
Số điểm cực trị tối đa của hàm số
| ( ) | C. 9 .
B. 5 .
A. 6 . D. 7 .
f x ( )
y có số điểm cực trị là
f x
| ( ) | y A. 3 .
Câu 4. Cho hàm số có BBT như sau. Hàm số
4
. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn
24 x
1
y
x
B. 5 . D. 2 . C. 4 .
m 2 của tham số m để hàm số sau có ba điểm cực trị?
Câu 5. Cho hàm số [ 10;10]
2
2
x
x
x
2
mx
9
f
với mọi
x Có .
f x
f
A. 9 . B. 8 . D. 10 . C. 7 .
x
1 có đúng 1 điểm cực trị ?
Câu 6. Cho hàm số có đạo hàm y bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số
x g x C. 4 .
4
5
3
x
A. 2 . B. 3 . D. 5 .
f x
.
3 f
1 để hàm số
x 5;5
x m x g x
với mọi có 3 x
có đạo hàm
Câu 7. Cho hàm số y f x Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn điểm cực trị ?
2
y
f
'
x
x
. Hàm 2
A. 3. B. 4 . C. 3. D. 6.
f x
x
y
|
f x |
liên tục trên và có đạo hàm Câu 8. Cho hàm số số có số điểm cực trị ít nhất là bao nhiêu?
37
A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 5 .
y
f x
y
|
Câu 9. Cho hàm số
có 5 điểm cực trị?
f x |
nhiêu giá trị nguyên m để hàm số có đồ thị như hình bên. Có bao m 3
y
A. 3 . B. 11. C.12. D. 10 .
f x
.
2
x
như
g x C. 3 .
x f y là 5 D. 1.
Câu 10. Cho hàm số bậc bốn hình vẽ bên. Số điểm cực tiểu của hàm số Đồ thị hàm số x f 2 A. 2 . B. 4 .
Đáp số:
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Câu
Đáp số A B C A B A C A B D
6. Cực trị của hàm hợp.
y
f u x [ ( )]
y
f u x [ ( )]
6.1. Phương pháp.
. Để tìm cực trị hàm số ta thực hiện theo các
y
'
u x f u x
'[ ( )]
'( ).
Cho hàm số bước:
y
u x f u x
'[ ( )]=0
'( ).
' 0
B1. Tính .
f x ( )
tìm nghiệm dựa vào BBT hoặc đồ
B2. Giải phương trình thị hàm số y .
'y .
B3. Lập BBT hàm số hoặc bảng xét dấu
y
f ax b
(
)
B4. Kết luận về các điểm cực trị.
bằng số điểm cực trị hàm số
f x ( )
Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số y .
f x ( )
y
y
f
x '( )
6.2.Ví dụ minh họa.
như
2( f x
y
có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số x 2 ) Ví dụ 1. Cho hàm số hình bên. Số điểm cực trị của hàm số là
A. 3 . B. 2 . D. 1. C. 4 .
y
f x ( )
Lời giải:
y
f x ( )
Đầu tiên ta phải xem hàm số có mấy điểm cực trị?
2
1,
2
x
y
y (2
'
'( ) f x f 2).
x 2 )
có hai điểm cực trị là
x
. Ta có
1
2
x
2 0
2
2
x
2
y
(2
x
2).
f
'(
x
x 2 )
0
' 0
2
f
'(
x
x
2 ) 0
2
x
2
x
1
x 2 x
x
1
3
x
Dựa vào đồ thị hàm số x ta thấy hàm số . x '(
2
1
1x ( nghiệm kép ).
38
+) 2 2 x x (nghiệm đơn). +) 2 2 x
1
3
2
x
2
f
'(
x
2 ) 0
2 2 x
x
nên
.
x
3
1
x
Ta thấy khi thì
'y :
y
2( f x
x 2 )
Ta có bảng xét dấu của
có ba điểm cực trị.
y
y
Qua bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy hàm số Đáp số A.
. Đồ thị hàm số
x f
2
2
x
f
như
f x g x
3
Ví dụ 2. Cho hàm số hình vẽ bên dưới. Hàm số có đạo hàm trên x 1
2
đạt cực đại tại điểm nào sau đây ?
A. B.
x . x . 0
x . 1 x . 1
C. D.
2
2
x f 2 .
x
x
x
; 1]
2 2
0
x
x f 2 [ ' 3 0 1]
Lời giải:
' 3 x f 2 [ ' 3
0
2
x
1]
0
x f 2 [ ' 3
x
1
x f ' 3
2
2
1
bằng số giao điểm của đồ thị hàm
2
x
y
f
Ta có g x ' g x '
x ' 3 y . 1
' 3
x
3
3
2
f
1
2 x 2 x
3
x
2
số +) Số nghiệm của phương trình f và đường thẳng
x
' 3
x
1
3
0 1 2
2 x
3
3
x là nghiệm kép nên
x không phải là điểm cực trị của hàm
.
2
1
x
f
1
2
Trong đó số.
x x 2
' 3 (
' 3 1
3
x
(1; 2)
Ta có , dựa vào đồ thị ta có: 2 f 0 2; 1)
g x : '( )
2
2
f
x
x
'( )
g x ta thấy hàm số
có hai điểm cực đại
g x
3
Từ đó, ta có bảng xét dấu của
x . 1
y
Qua bảng xét dấu của là
y
f
'
x
có
f x
có đạo hàm liên
39
Ví dụ 3. Cho hàm số tục trên . Hàm số
2
f x ( )
2021
đồ thị như hình bên. Số điểm cực đại của hàm số
g x
x 2
là
A. 1. B. 2 . C. 3. D. 0 .
f
x '( )
Lời giải:
g x ' f
x '( )
f
x '( )
x
(1)
0
. x x 0
g x '
f x '( )
y
Ta có:
2,
2,
x
x
x
Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số x . Dựa vào đồ thị ta thấy )C và đường thẳng ( ) :d y phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt ( 4 nghiệm đơn).
g x
x '( )
f
(
g x '
f
x '( )
x
)C nằm phía trên
g x '
0
khi và chỉ khi đồ thị ( (4;
( 2; 2)
)
x
0 đường thẳng
, còn trên các khoảng còn lại thì
g x . '
x
x '( )
Nếu bài toán chỉ hỏi số điểm cực trị thì đến đây ta có thể kết luận là hàm số có ba điểm cực trị. Nhưng bài toán hỏi số điểm cực đại thì ta phải lập y . bảng xét dấu biểu thức đạo hàm x
x
f
Từ đó, f g x '
ta thấy 2x .
ta có bảng xét dấu của như bảng bên. x '( ) g x '
y
Qua bảng xét dấu hàm số có duy nhất 1 điểm cực đại là Vậy đáp số A.
f x
f x ( )
có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm
g x
1
Ví dụ 4. Cho hàm số . số f
f
x f '( ).
f x ( )
Lời giải:
g x '
' 1
f
x '( )
0
0
f
x f '( ).
f x ( )
0
g x '
' 1
f
f x ( )
0
' 1
f
x
x
0
0
x '( )
Ta có: .
( dựa vào đồ thị ). 2 f x ( )
f x ( )
1
0
f
'(1
f x
( ))
+)
0
f x ( )
f x ( )
2
1
x
3
x là 0
x 0;
nhưng
1 1 Phương trình f x có hai nghiệm 1 nghiệm kép nên nó không phải điểm cực trị hàm số.
1
f x bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
1
+)
y . Nên phương trình
f x
f x có ba nghiệm đơn.
40
Số nghiệm của phương trình y 1 và đường thẳng
0
'g x sẽ đổi dấu qua
g x có 6 nghiệm đơn nên '
Như vậy, ta thấy phương trình các nghiệm đó. Vậy hàm số đã cho có 6 điểm cực trị.
y
Ví dụ 5. ( Đề Minh Họa 2019 – 2020 ).
3
23 x
Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình bên. Số điểm
g x
f x f x
cực trị của hàm số là
A. 5. B. 3 . C. 7 . D. 11.
3
2
u x ( )
x
3
x
Lời giải:
2
3
2
u x f u '( )
'( ).
(3
x
x f 6 ).
x
3
x
'
Đặt
g x '
Ta có: .
2
3
x
6
x
2
3
2
(3
x
x f 6 ).
x
3
x
0
'
0
g x '
3
2
f
'
x
3
x
0
0
23 x
0
x 6
2
x 0 x
3
2
u x ( )
x
3
x
+) .
3
2
x
3
x
(1)
3
2
3
2
f
'
x
0
x 3
BBT của hàm số :
3
x
t 1 t
(2)
2
3
2
x
3
x
t
(3)
3
x
0,
t
(0; 4),
4
( dựa vào đồ thị ở trên ).
+)
2
t 3
2
3
u x ( )
3
x
x
0
với 1 t
2
y
f
'
(
1)(4
x
x
)
Dựa vào BBT của hàm số ta thấy phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất, phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt, phương trình (3) có nghiệm duy nhất. Suy ra g x có 7 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số có 7 điểm cực trị và ta ' chọn đáp án C.
f x
f
(
2 x
x m 3 )
có đạo hàm
x g x
Ví dụ 6. Cho hàm số x các giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số cực trị.
, x . Tìm tất cả có 7 điểm 6
y
Lời giải:
f x
f
'
có bao nhiêu điểm cực trị? Ta tìm số nghiệm
x . 0
2
2
1 0
f
'
0
x
(
1)(4
x
x
x
6).
f
'(
x
6
) 0
( 2
x m 3 )
Đầu tiên ta tính xem hàm số đơn và nghiệm bội lẻ của phương trình
x
g x '
4
x x x
41
Ta có ;
3
6
0
x m 3
x
6 0
2
0
x
6).
f
'(
6
3 ) 0
( 2
2 x
x m
g x '
2
6
x m 3
1
f
'(
6
3 ) 0
2 x
x m
6
4
x m 3
x 2 x x 2 x
3
x
6
(1)
x m 3
2
x
6
1
(2)
x m 3
2
x
6
4
(3)
x m 3
x 2
y
.
g x
có 7 điểm cực trị thì mỗi phương trình (1), (2), (3) đều
Như vậy, để hàm số có hai nghiệm phân biệt khác 3.
2
) :
y
m 3
P y ) :
6
x
x
(
Cách 1: ( Đưa về sự tương giao )
d 1(
) :
y
,
,
y
) :
m 3
m 3
; 4
)P tại 6 điểm phân biệt
d 3(
d d d cắt ( 1 3
2
3
, 2( 1 d m 9 4
1
m . Vậy 1
m thì thỏa mãn yêu cầu
nên
5 m . Mà m 3 bài toán.
Số nghiệm của mỗi phương trình (1), (2), (3) lần lượt bằng số giao điểm của với các đường thẳng ,
0
m
m
0
(
;
m
Cách 2: ( Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ).
m
0
1 4 ; 3 3
5 3
) \ 0,
1 0,3
4 0
0,3
m
m
.
1
Mỗi phương trình (1), (2), (3) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 9 3 10 3 5 3 3 m
m . Vậy 1
m thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
nên
Mà m
y
Qua hai cách trên thì ta thấy cách 1 học sinh sử dụng hình ảnh trực quan dễ phát hiện vấn đề hơn.
2
( ) 2
f x
có đồ thị như hình bên. Số điểm
là
f x x f A. 5. B. 3 . C. 7 . D. 6 .
Ví dụ 7. Cho hàm số cực trị của hàm số g x ( )
0
Lời giải:
g x . '
f
x '( )
0
g x '( )
2 '( ).
f
f
x '( )
Bài toán yêu cầu tìm số điểm cực trị hàm số thì ta chỉ cần tìm số nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ của phương trình
x f x
f x ( )
1 2
0
42
Ta có
y
f
'
0
f x
x có hai nghiệm phân biệt
x
ta thấy phương trình
. 2
x 0,
Qua đồ thị hàm số là
f x bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
1 2
d ( ) :
y
)
Số nghiệm phương trình
y . Qua đồ thị (C) ta thấy (d) luôn cắt (C) tại
f x C (
1 2
x
và đường thẳng
x 0,
. 2
0
'g x đổi dấu qua mỗi
g x có 5 nghiệm phân biệt nên '
ba điểm phân biệt không trùng với hai nghiệm
Như vậy, phương trình nghiệm đó. Vậy hàm số có 5 điểm cực trị.
y
Từ ví dụ 7, ta phát triển lên bài toán sau:
2
y
f
f x
( ) 2 |
có đồ thị như hình bên. Số điểm
|
là
f x x
Ví dụ 8. Cho hàm số cực trị của hàm số
A. 5. B. 3 . C. 7 . D. 6 .
2
g x ( )
f
f x
( ) 2
y
. Theo ví dụ 7, ta thấy hàm số
x
g x
Lời giải:
y
|
y
Đặt có 5 điểm cực trị.
g x
bằng số điểm cực trị hàm số cộng với số
y
với trục hoành ( trừ những điểm tiếp xúc). Số điểm cực trị hàm số | g x giao điểm của đồ thị hàm số g x y
g x
với trục hoành bằng số nghiệm của
f x ( )
(1)
2
0
f
f x
( ) 2
0
g x
x
f x ( )
1 2
(2)
g x
2
( ) 2 |
( ) |
g x
f x
y
f
Số giao điểm của đồ thị hàm số g x phương trình 0
có 9 điểm cực trị.
|
|
x
Qua đồ thị ta thấy phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt, phương trình (2) có nghiệm duy nhất. Suy ra đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân y biệt. Vậy hàm số
2
x
f
x
2
1
với mọi
x
1
.
6.3. Bài tập tương tự.
x 1 f x có bao nhiêu điểm cực trị ? x
g x
có đạo hàm 1
y f x B. 2 .
y
f x
Câu 1. Cho hàm số x Hàm số A. 1. C. 3 . D. 4 .
f
'
2020
2019
2021
x
Câu 2. Cho hàm số y
. Đồ thị hàm số có đạo hàm trên như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số x x f 3
B. 2 .
là
g x A. 1.
43
C. 3 . D. 4 .
f x
y
Câu 3. Cho hàm số
y hình
. Đồ thị hàm số số Hàm
x f
3
2
x
2021
như có đạo hàm trên bên vẽ dưới.
x
g x
f x
x 3
đạt cực đại tại
B. A.
x . 1 x . 1
x . 0 x . 2 có bảng biến thiên
f x
D. C.
2
3
x
Câu 4. Cho hàm số y như hình vẽ bên dưới.
g x
f x
có bao nhiêu điểm
Hỏi hàm số cực trị ?
A. 0 . B. 1.
y
C. 2 . D. 3 .
f x
có bảng biến thiên
f
x
Câu 5. Cho hàm số như sau
|
g x
3
Số điểm cực trị của hàm số
là |
A. 7 . B. 4 .
y
C. 5 . D. 6 .
2
m
có đồ thị như hình vẽ bên. Có
2021
f x
có 5 điểm cực trị ? Câu 6. Cho hàm số f x bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g x
B. 2 . A. 1.
D. 5 . C. 4 .
Đáp số: Câu 1 2 3 4 5 6
Đáp số B A C D A B
III. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.
1. Mục đích thực nghiệm.
44
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi của việc xây dựng hệ thống bài tập trong từng dạng toán nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị lớp 12 THPT.
2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
4
2
y
2
x
3
x
Tiến hành dạy một số tiết bài tập về cực trị hàm số ở một số dạng toán đã khai thác và xây dựng. Sau khi dạy thực nghiệm, tôi đã tiến hành cho làm bài kiểm tra. Sau đây là nội dung bài kiểm tra thực nghiệm.
là 1
Câu 1. Số điểm cực trị hàm số
A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1.
y
f x
( )
Câu 2. Cho hàm số có BBT như hình bên.
Số điểm cực đại của hàm số là
A. 0 . B. 3 .
C. 1. D. 2 .
y
f x
( )
Câu 3. Cho hàm số có đồ thị như hình bên.
M
(0;1)
Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
N . ( 1; 1)
B. A. .
1y .
1x .
2
f x '( )
( 3 x
x 1)(
4),
x
f x có đạo hàm
. Điểm cực đại
D. C.
2
2
Câu 4. Cho hàm số ( ) của hàm số là
x .
x . 2
x .
1 x . 3
f x có đạo hàm ( )
f x '( )
3 x x (
2 3) (16
x
2 3 ) ,
. Số điểm x
A. B. C. D.
Câu 5. Cho hàm số cực tiểu của hàm số đã cho là
f x có đạo hàm '( ) f x ( )
x (2
x 1)(2
x 2)...(2
2021)
A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 5 .
, x . Câu 6. Cho hàm số Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
4
2
y
x
2(
m
3)
x
5
A. 1011. B. 1010 . C. 2022 . D. 2021.
đạt cực
1 4
Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
1x .
đại tại
m
m
2m .
m . 3
13 4
3
2
x
3
2 x mx
11 4 có 1
f x
A. B. C. D. . .
Câu 8. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số các cực trị trái dấu.
D.
0m
1m . B.
0m ..
1m .
A. C.
3
y
x
m
(
m
5)
x
7
có hai cực trị nằm về hai phía trục tung?
21 x
m 3
45
Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số
3
2
2
,x x thỏa mãn
mx
3
1
x
y
x
10
1
2
2 x 1
2
có hai điểm cực trị
C. 5 . D. 4 A. 2 .. B. 3 .
1 3
Câu 10. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số x . Tổng các giá
trị của S là
(
:
1)
x
m
3
d y m
C. 0 . D. 4 A. 2 .. B. 1.
3
y
x
23 x
Câu 11. Với giá trị nào của tham số m để đường thẳng
? 1
vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
m .
m .
3 2
1 2
A. B.
5 m . 2
1 m . 2
2
y
x
f
C. D.
f x
x
x x
1
x
x . có đúng
với mọi mx 9 f g x
có đạo hàm
Câu 12. Cho hàm số 2 Có bao nhiêu số nguyên dương m không quá 10 để hàm số 5 điểm cực trị ?
y
y
A. 6 . B. 7 . C. 6 . D. 8 .
x f
2
f
Đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Số
g x
f x x
Câu 13. Cho hàm số bậc bốn điểm cực trị của hàm số
. là x 1 C. 3 .
A. 5 . B. 4 . D. 2 .
5
3
2
x m x
Cho số đạo
f x . có 7 điểm cực trị ?
để hàm số hàm với mọi 3 f g x
2
y
f
'
2
x
. x
14. Câu f x x x 1 m thuộc đoạn 5;5 A. 3. B. 4 . hàm có y x Có bao nhiêu số nguyên x C. 5 . D. 6.
f x
x
y
|
liên tục trên và có đạo hàm có số điểm cực trị nhiều nhất là bao nhiêu? Câu 15. Cho hàm số Hàm số f x |
y
A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 5 .
m 2 |
có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu
f x | y
f x
Câu 16. Cho hàm số giá trị nguyên m để hàm số có 5 điểm cực trị?
y
A. 3 . B. 5 . C. 1. D. 10.
f x
f
'
f
2020
2021
có đạo hàm trên
x
x
. Đồ thị hàm số x g x
3
như hình vẽ bên dưới. Số điểm cực trị của hàm số
Câu 17. Cho hàm số y là
46
A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 .
y
f x
2
m
Câu 18. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị
g x
f x
2021
có 6
nguyên của tham số m để hàm số điểm cực trị ?
A. 1. B. 3 .
4
y
x
24 x
. Số điểm cực trị của hàm
1
C. 4 . D. 5 .
Câu 19. Cho hàm số số là
B. 3 . C. 4 .
2
A. 1. D. 5 .
f x '( )
x x (2
3 x 1) (
. Số điểm cực
4)
y
có đạo hàm
( ) f x là
y
f
(|
|)
x
Câu 20. Cho hàm số tiểu của hàm số
A. 3 . B. 5 . D. 7 . C. 4 .
Đáp án:
Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án Câu Đáp án
1 D 6 A 11 A 16 C
2 D 7 B 12 B 17 A
3 A 8 B 13 A 18 B
4 D 9 D 14 B 19 D
5 C 10 C 15 D 20 A
3. Đánh giá về kết quả thực nghiệm.
3.1. Đánh giá định tính.
Về giáo viên thực nghiệm: Trình độ chuyên môn vững vàng hơn, khả năng nhìn nhận chức năng bài tập toán chính xác, khả năng xây dựng và khai thác các bài tập toán tốt hơn nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán nói chung củng như kĩ năng giải các bài tập toán cực trị cho học sinh 12 THPT nói riêng.
Ý kiến của giáo viên thực nghiệm:
- Biết cách xây dựng hệ thống bài tập đa dạng từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp theo từng dạng toán nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị cho học sinh lớp 12 THPT.
3.2. Đánh giá định lượng.
47
Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm (12C) và lớp đối chứng (12K).
Vì bài kiểm tra dưới dạng hình thức trắc nghiệm nên tôi thống kê kết quả dưới dạng sau:
T.T Loại điểm Lớp đối chứng Lớp thực nghiệm
( sĩ số: 46 ) ( sĩ số 40 )
5 điểm.
15(32, 6%)
5(12,5%)
1
18(39,1%)
15(37, 5%)
2 Từ 5 đến 6,5 điểm.
8(17, 4%)
10(25%)
3 Từ 7, 0 đến 7,5 điểm.
5(10,9%)
9(22, 5%)
4 Từ 8,0 đến 8,5 điểm.
1(2,5%)
5 Từ 9, 0 đến 10, 0 điểm. 0(0%)
C. KẾT LUẬN
I. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI.
1. Kết quả nghiên cứu.
Xây dựng được hệ thống bài tập trong từng dạng toán nhằm rèn luyện kĩ năng giải các bài toán cực trị hàm số cho học sinh lớp 12 THPT bằng cách khai thác tài liệu từ nhiều nguồn khác nhau: Từ SGK, sách tham khảo, đề thi THPT quốc gia, đề thi tốt nghiệp THPT, tài liệu trên mạng internet,...
Sau khi áp dụng các kết quả trong nghiên cứu thì học sinh lớp 12 THPT hứng thú, chủ động và tự tin hơn khi giải các bài toán về cực trị hàm số. Phần lớn học sinh lớp 12 THPT hoàn thành tốt các bài tập về cực trị hàm số trong SGK, SBT và các sách tham khảo củng như trong kì thi THPT quốc gia, tốt nghiệp THPT,...
2. Hướng phát triển của đề tài
Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh lớp 12 THPT đang ôn thi tốt nghiệp THPT. Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên phục vụ cho việc giảng dạy môn toán.
II. KIẾN NGHỊ , ĐỀ XUẤT.
Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựng bài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán.
48
Nghệ An, ngày 22 tháng 3 ngăm 2021
