
 !!"#$!%&!!'(
1
PHN M U
1.LÝ DO CHN  TÀI.
Trong quá trình hc toán, làm toán và dy toán khi 12 tôi nhn thy c i
n v câu hi ph ca hàm s luôn là nhng bài toán hay thng xuyên
xut hin trong c thi tt nghip ng nh c  thi i c. Rt nhiu hc
sinh khi c ht chơng nh ri nhng vn cha tht ng h!p !c c phơng
"p #m i, ng nh không th#m !c i tp vcâu hi ph ca hàm s
m$c %&i tp không h'(. )*nh #+do nh vy ,tôi n i -y v.i
hy ng r/ng trong c n0m tip theo a s1nghip %y c tôi 23456p cho c
sinh khi c ph7n hàm s (tht ng h!p !c phơng "p #m i (th
8nh h.ng nhanh khi g$p m9ti tp liên quan n câu hi ph ca hàm s .
2. MC ÍCH NGHIÊN CU:
Giúp hc sinh t ng h!p !c c kin th:c liên quan t.i hàm s , nhn %ng
nhanh vi tp câu hi ph ca hàm st;(8nh h.ng !c cách 45<i và
t1 tin hơn khi g$p ph<i các bài toán hàm s.
3.NHIM V NGHIÊN CU:
Nghiên c:u c mnh v hàm s8nh h.ng ch #mi tp liên quan t.i
hàm s.
www.VNMATH.com

 !!"#$!%&!!'(
2
4.I TƯNG NGHIÊN CU:
Ch= nghiên c:u các c mnh vhàm s có trong chơng trình toán 12 va
ra c %ng bài tp liên quan t.i hàm s có th có trong  thi i hc giúp cho
nhng hc sinh yêu thích môn toán có nhiu kin th:c cơ b<n và nâng cao v
dng toán câu hi ph ca hàm s.
5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CU:
+) >a ra c mnh  vhàm sch:ng minh c mnh (.
+) T;c mnh (a ra ch 45<ii tp .
+) Gi<i các bài tp ó d1a o ch ch:ng minh mnh .
+)Gi.i thiu m9t si n vhàm s.
PHN NI DUNG
Mt s mnh  v hàm s.
Mnh  1: > th8m s
(
)
3 2
. . . 0
y a x b x c x d a
= + + + ≠
c?t trc ox ti 3 im
phân bit có hoành 9 lp thành cp s c9ng thì phơng trình hoành 9 có 3
nghim phân bit trong ó có 1 nghim là
3
b
x
−
=.
Chng minh: Gi
1 2 3
, ,
x x x
l7n l!t là hoành 9 giao im ca  th8 hàm s v.i
trc hoành, thì
1 2 3
, ,
x x x
theo th: t1 lp thành cp s c9ng
1 3 2
2
x x x
+ =
(1)
M$t khác
1 2 3
, ,
x x x
là 3 nghim ca phơng trình hoành 9 :
3 2
. . . 0
a x b x c x d
+ + + =
Theo 8nh lý viet cho phơng trình bc ba ta có: 1 2 3
b
x x x
a
−
++= (2)
Thay (1) vào (2) ta !c : 2
3
b
x
a
−
=. (iu phi chng minh )
Chú ý :Trong mnh  trình bày trên ch là iu kin cn   th hàm s bc
ba ct trc hoành ti 3 im có hoành  theo th t lp thành cp s cng vì
vy khi làm bài tp ta cn kim tra iu kin  bng vic thay giá tr ca tham
s tìm ưc vào hàm s và th li.
www.VNMATH.com

 !!"#$!%&!!'(
3
Bài tp áp dng.
Bài 1: Cho
(
)
(
)
3 2 2
3 2 4 9
y x mx m m x m m Cm
= − + − + −
. Tìm m  (Cm) c?t Ox
ti 3 im có hoành 9 theo th: t1 lp thành cp s c9ng.
Gii: Gi
1 2 3
, ,
x x x
l7n l!t là hoành 9 giao im ca  th8 hàm s v.i trc
hoành, thì
1 2 3
, ,
x x x
theo th: t1 lp thành cp s c9ng
1 3 2
2
x x x
+ =
(1)
M$t khác
1 2 3
, ,
x x x
là 3 nghim ca phơng trình hoành 9 :
(
)
3 2 2
3 2 4 9 0
x mx m m x m m
− + − + − =
Theo 8nh lý viet cho phơng trình bc ba ta có: 1 2 3
3
x x x m
++=
(2)
Thay (1) vào (2) ta !c : 2
x m
=
.
Vy ta có
(
)
(
)
(
)
3 3 2 2
2
0 3 2 4 9 0
y x y m m m m m m m
= = ⇔ − + − + − =
2
0
0
1
m
m m m
=
⇔ − = ⇔
=
Th@ li: +)V.i
3
0
m y x
==
> th8 hàm s
3
y x
=
c?t Ox ti 1 im
0
m
=
loi
+)V.i 3 2
1 3 6 8
m y x x x
== − − +
Xét phơng trình hoành 9 : 3 2
3 6 8 0
x x x
− − + =
2
1
4
x
x
x
= −
⇔ =
=
Vì x = -2; x =1; x =4 theo th: t1 lp thành cp s c9ng . vy m =1 tha mãn .
Kt lun : m =1 là giá tr8 c7n tìm.
Bài 2 : Cho
(
)
3 2
3 9
y x x x m Cm
= − − +
Tìm m  (Cm) c?t Ox ti 3 im có
hoành 9 theo th: t1 lp thành cp s c9ng.
Gii: Gi
1 2 3
, ,
x x x
l7n l!t là hoành 9 giao im ca  th8 hàm s v.i trc
hoành, thì
1 2 3
, ,
x x x
theo th: t1 lp thành cp s c9ng
1 3 2
2
x x x
+ =
(1)
M$t khác
1 2 3
, ,
x x x
là 3 nghim ca phơng trình hoành 9 :
3 2
3 9 0
x x x m
− − + =
Theo 8nh lý viet cho phơng trình bc ba ta có: 1 2 3
3
x x x
++=
(2)
Thay (1) vào (2) ta !c : 2
1
x
=
.
Vy ta có
(
)
(
)
2
1 0 1 3 9 0 11
y x y m m
= = ⇔ − − + = ⇔ =
Th@ li:
+)V.i 3 2
11 3 9 11
m y x x x
== − − +
www.VNMATH.com

 !!"#$!%&!!'(
4
Xét phơng trình hoành 9 : 3 2
3 9 11 0
x x x
− − + =
( )
( )
2
1 2 3
1 2 11 0 1
1 2 3
x
x x x x
x
= −
⇔ − − − = ⇔ =
= +
Nhn thy :
1 2 3; 1; 1 2 3
x x x= − = = + theo th: t1 lp thành cp s c9ng
vy m =11 tha mãn .
Kt lun : m =11 là giá tr8 c7n tìm.
Mnh  2: > th8m s
(
)
3 2
. . . 0
y a x b x c x d a
= + + + ≠
c?t trc ox ti 3 im
phân bit có hoành 9 lp thành cp s nhân thì phơng trình hoành 9 có 3
nghim phân bit trong ó có 1 nghim là 3
d
x
a
−
=.
Chng minh: : Gi
1 2 3
, ,
x x x
l7n l!t là hoành 9 giao im ca  th8 hàm s
v.i trc hoành, thì
1 2 3
, ,
x x x
theo th: t1 lp thành cp s nhân
2
1 3 2
.
x x x
=
(1)
M$t khác
1 2 3
, ,
x x x
là 3 nghim ca phơng trình hoành 9 :
3 2
. . . 0
a x b x c x d
+ + + =
Theo 8nh lý viet cho phơng trình bc ba ta có: 1 2 3
. .
d
x x x
a
−
= (2)
Thay (1) vào (2) ta !c : 33
2 2
d d
x x
a a
− −
= ⇔ = . (iu phi chng minh )
Chú ý :Trong mnh  trình bày trên ch là iu kin cn   th hàm s bc
ba ct trc hoành ti 3 im có hoành  theo th t lp thành cp s nhân vì
vy khi làm bài tp ta cn kim tra iu kin  bng vic thay giá tr ca tham
s tìm ưc vào hàm s và th li.
Bài tp áp dng.
Bài 3. Cho hàm s
(
)
(
)
(
)
3 2
3 1 5 4 8
y x m x m x Cm
= − + + + −
.Tìm m  hàm s
c?t Ox ti 3 im có hoành 9 theo th: t1 lp thành cp s nhân.
Gii: Gi
1 2 3
, ,
x x x
l7n l!t là hoành 9 giao im ca  th8 hàm s v.i trc
hoành, thì
1 2 3
, ,
x x x
theo th: t1 lp thành cp s nhân
2
1 3 2
.
x x x
=
(1)
M$t khác
1 2 3
, ,
x x x
là 3 nghim ca phơng trình hoành 9 :
(
)
(
)
3 2
3 1 5 4 8 0
x m x m x
− + + + − =
Theo 8nh lý viet cho phơng trình bc ba ta có: 1 2 3
. . 8
x x x
=
(2)
Thay (1) vào (2) ta !c : 3
2 2
8 2
x x
= ⇔ =
.
Vy ta có :
www.VNMATH.com

 !!"#$!%&!!'(
5
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 0 8 4 3 1 2 5 4 8
4 2 0 2
y x y m m
m m
= = ⇔ − + + + −
⇔ − = ⇔ =
Th@ li:
+)V.i 3 2
2 7 14 8
m y x x x
== − + −
Xét phơng trình hoành 9 : 3 2
1
7 14 8 0 2
4
x
x x x x
x
=
− + − = ⇔ =
=
Nhn thy :
1; 2; 4
x x x
= = =
theo th: t1 lp thành cp s nhân.
vy m =2 tha mãn .
Kt lun : m =2 là giá tr8 c7n tìm.
Mnh  3 : >ng thAng qua im c1c i ,im c1c tiu (nu có ) ca  th8
hàm bc ba (
(
)
3 2
. . . 0
y a x b x c x d a
= + + + ≠
)là ph7n d ca phép chia y cho
y
′
.
Chng minh:Xét hàm s
(
)
3 2
. . . 0
y a x b x c x d a
= + + + ≠
TX>: D = R
2
3 . 2 .
y a x b x c
′
= + +
Gi< s@ hàm s có c1c i, c1c tiu, khi ó phơng trình
0
y
′
=
có 2 nghim phân
bit là
1 2
;
x x
Gi im c1c i là: >
(
)
1 1
;
x y
; im c1c tiu là T
(
)
2 2
;
x y
Ta luôn có
(
)
(
)
(
)
. . . *
y y x x m x n
α β
′
= + + +
(
.
m x n
+
chính là phn dư ca phép chia y cho y’)
Thay ta 9 ca > vào (*) ta !c :
(
)
1 1
. 1
y m x n
= +
Thay ta 9 ca T vào (*) ta !c :
(
)
2 2
. 2
y m x n
= +
T; (1) và (2) ta suy ra phơng trình ng thAng qua im c1c i ,im c1c
tiu ca hàm s là
.
y m x n
= +
.(iu phi chng minh)
Chú ý :Khi làm bài tp vit phương trình ưng thng qua im cc i, im
cc tiu ca hàm s bc 3 ta cn tìm iu kin ca tham s hàm s có cc
i, cc tiu trưc.sau ó mi vn dng cách làm ca mnh   làm bài.
Bài tp áp dng :
Bài 4. Cho hàm s
(
)
(
)
(
)
3 2
2 3 1 6 1 2
y x m x m m x Cm
= + − + −
.
a.Tìm m  hàm s (Cm) có c1c i ,c1c tiu .
b.Vit phơng trình ng thAng qua im c1c i, im c1c tiu ca (Cm).
c.Tìm m  im c1c i, im c1c tiu ca (Cm) n/m trên ng thAng
(
)
: 4
d y x
= −
Gii :
www.VNMATH.com