SKKN: Sửa chữa những sai sót của học sinh khi khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, bài tập liên quan - Hướng khắc phục

Chia sẻ: Lê Thị Diễm Hương | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

334
lượt xem 62
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến “Sửa chữa những sai sót của học sinh khi khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, bài tập liên quan - Hướng khắc phục “ chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo. Mời quý thầy cô và các bạn tham khảo sáng kiến trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Sửa chữa những sai sót của học sinh khi khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, bài tập liên quan - Hướng khắc phục

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬA CHỮA NHỮNG SAI SÓT CỦA HỌC SINH KHI KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ, BÀI TẬP LIÊN QUAN - HƯỚNG KHẮC PHỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Trong chương trình giải tích 12, nội dung khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, cùng các bài tập liên quan bằng ứng dụng đạo hàm có một vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu hết số tiết có trong chương trình, số điểm cũng khá trong cấu trúc điểm của đề thi TN THPT hàng năm. Là một công cụ khá hữu dụng để giải quyết hầu hết những bài toán trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông cũng như trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễ sử dụng khi giải toán liên quan đến khảo sát hàm số. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh lớp 12 trường PTDTNT hay gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Học sinh thường mắc những sai lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của thầy cô giáo. 1 3 Chẳng hạn, với bài tập: Cho hàm số y = x  mx 2  (m 2  m  1)x  1 3 1.Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số với m = 1 2.Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 1. Đa số các em đã sử dụng phương pháp sai để giải, số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây: Lớp 12 A (Sĩ số Số lượng Tỷ lệ 36) Không giải được 06 16,6 % Giải sai phương pháp 24 66,8 % Giải đúng phương pháp 06 16,6 % Lớp 12 B (Sĩ số Số lượng Tỷ lệ 36) Không giải được 13 36 % Giải sai phương pháp 19 53 % Giải đúng phương pháp 04 11 %
Biểu đồ so sánh mức độ sai sót của 2 lớp 12 A, B khi giải bài tập 1 45 40 35 30 25 Không giải được 20 Sai PP 15 Giải đúng 10 5 0 12A 12B Tổng 2 lớp Nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, tôi chọn đề tài " Sửa chữa những sai sót của học sinh khi khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, bài tập liên quan - Hướng khắc phục" II. Mục đích nghiên cứu - Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề. - Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo. III. Nhiệm vụ nghiên cứu - Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán lên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan (Chương trình Giải tích 12 – Ban cơ bản) để có được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác. IV. Đối tượng nghiên cứu – Phạm vi nghiên cứu - Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Chương I, giải tích lớp 12 . - Học sinh 02 lớp phụ trách 12 A, B (tổng số học sinh 72) trường PTDT NT, năm học 2011 – 2012 và kinh nghiệm của một số năm học trước. V. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra. - Phương pháp đối chứng. - Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ PHÁP LÝ CỦA ĐỀ TÀI I. Cơ sở lý luận 1. Nội dung chương trình (Chương I - giải tích 12 - Ban cơ bản) Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài) 1.1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số: * Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng D nếu với mọi x1, x2 thuộc D, x1 < x2  f(x1) < f(x2). * Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng D nếu với mọi x1, x2 thuộc D, x1 < x2  f(x1) > f(x2). 1.2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến: * Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tổng f(x) + g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất này nói chung không đúng với hiệu f(x) - g(x). * Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tích f(x).g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D. Tính chất này nói chung không đúng với tích f(x).g(x) khi f(x) và g(x) là hai hàm số không cùng dương trên D. 1.3. Công thức tính đạo hàm: Hàm số hợp y  u  có đạo hàm y '  .u 1.u ' (*) * công thức (*) chỉ đúng với số mũ  là hằng số. * Nếu  không nguyên thì công thức (*) chỉ đúng khi u nhận giá trị dương. 1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí: * Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng K. (Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) a. Nếu f '  x   0 với x  K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b. Nếu f '  x   0 với x  K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. c. Nếu f '(x) = 0 với x  K thì hàm số f(x) không đổi trên K.
+ Quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần. 1.5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau: * Định lý 1 (Quy tắc I): Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K  (x 0  h; x 0  h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ x 0  , với h > 0. a. Nếu f '  x   0 trên khoảng (x 0  h; x 0 ) và f '  x   0 trên khoảng (x 0 ; x 0  h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x). b. Nếu f '  x   0 trên khoảng (x 0  h; x 0 ) và f '  x   0 trên khoảng (x 0  h; x 0 ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x). * Định lý 2 (Quy tắc II): Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x 0  h; x 0  h) , với h > 0. Khi đó: a. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu b. Nếu f '(x0) = 0, f ''(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại. + Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần. Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng. 1.6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D: f (x)  m , x  D f (x)  M , x  D m  min f (x)   , M  max f (x)   D x 0  D : f (x 0 )  m D x 0  D : f (x 0 )  M + Nếu f (x)  m , x  D (hay f (x)  M , x  D ) nhưng không x 0  D : f (x 0 )  m (hay x 0  D : f (x 0 )  M ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó, không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D. + Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f(x) trên miền D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép đặt t = u(x) thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương. 1.7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x): * Tiếp tuyến tại điểm M0(x0;y0)  (C) có phương trình: y = f '(x0).(x - x0) + y0. * Tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k, đi qua điểm M1(x1;y1) có phương trình: f (x)  k(x  x1 )  y1 y = k.(x - x1) + y1. Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ:  (I) f '(x)  k + Nếu điểm M1(x1;y1) nói trên thuộc (C) thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ (I). Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến. 2. Sai sót thường gặp khi giải toán 2.1. Sai sót trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn của hàm số.
2.2. Sai sót trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính xác tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến. 2.3. Sai sót trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng sai công thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực. 2.4. Sai sót trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi vận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng (a;b). 2.5. Sai sót trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D, khi chuyển đổi bài toán không tương đương. 2.6. Sai sót trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm M1(x1;y1) thuộc đồ thị (C) của hàm số. 2.7. Sai sót trong vẽ đồ thị hàm số, chính xác hóa đồ thị hàm số. II. Cơ sở pháp lý - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lý đã học trong chương I "ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ". - Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải bài tập về ứng dụng của đạo hàm. - Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lý hiển nhiên hay đã được chứng minh, thừa nhận. CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau: - Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số. - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng. - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0. - Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D. - Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ qua một điểm bất kỳ đến đồ thị hàm số đã cho.
CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI I. Biện pháp thực hiện Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau: 1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, giải thích rõ hơn các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lý đó. - Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lý. - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng. - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. 2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ... - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. - Phương pháp: phương pháp giải toán. 3. Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung tâm) - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế. - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh. - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng. 4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá - Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với các mức độ nhận thức: nhận biết - thông hiểu - vận dụng – vận dụng ở mức độ cao. - Giáo viên đánh giá học sinh. - Học sinh đánh giá học sinh. 5. Giáo viên có đổi mới phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai làm thường mắc phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, một số bài toán liên quan. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. 6. Phân loại bài tập và phương pháp giải - Hệ thống kiến thức cơ bản. Phân dạng bài tập và phương pháp giải. - Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao. - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
II. Nghiên cứu thực tế: Phân tích những sai sót thông qua một số ví dụ 1. Sai sót khi xét tính đơn điệu của hàm số * Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số. Ví dụ 1: x 1 Xét tính đơn điệu của hàm số: y  f (x)  x 1 Một số học sinh trình bày như sau: Tập xác định: D = ¡ \ { 1} - 2 Ta có: y '   0, x  D (x  1)2 Bảng biến thiên: x - ¥ -1 +¥ Y' + + +¥ 1 y 1 - ¥ Suy ra: Hàm số đồng biến trên (- ¥ ;- 1) È (- 1; + ¥ ) Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán. Chú ý rằng: nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên tập D thì với mọi x1, x2 thuộc D, x1 < x2  f(x1) < f(x2). Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1 = - 2 Î D và x 2 = 0 Î D thì x1 < x2 nhưng f(x1) = 3 > - 1 = f(x2). Lời giải đúng: Tập xác định: D = ¡ \ { 1} - 2 Ta có: y '   0, x  D (x  1)2 Bảng biến thiên: x - ¥ -1 +¥ y' + + +¥ 1 y 1 - ¥ Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ¥ ;- 1) và (- 1; + ¥ ) . * Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của hàm số: y  f (x)  4  x 2  x  1 . Học sinh trình bày x x như sau: Tập xác định: D = [ 2; 2]. Ta có: y '  1  - y '  0  1 0 4  x2 4  x2 x   2  4  x2  x  4  x2  x2   x   2 Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: x -2 - 2 2 2 y' - 0 + 0 - -3 2 2- 1 Y -1 1 Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên các khoảng (- 2; - 2) và ( 2; 2) . Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn é 2; - 2 ù giá trị của hàm số giảm từ –3 xuống – 1. Thực ra ở đây - 2 không phải - ê ë ú û là điểm tới hạn của hàm số. Lời giải đúng: x Tập xác định: D = [ 2; 2]. - Ta có: y '  1  4  x2 x x  0 y '  0  1  0  4  x2  x   x 2 4  x  x 2 2 4  x2 Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, f '(x) luôn giữ nguyên một dấu, vì f '(0) > 0 nên ta có bảng biến thiên như sau: x -2 2 2 y' + 0 - 2 2- 1 Y -3 1 Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên khoảng ( 2; 2) . 2. Sai sót khi chứng minh bất đẳng thức *Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng.
Ví dụ 3: (Bài tập 5, trang 10, SGK Giải tích 12 CB) æ pö Chứng minh rằng: tanx > x, với " x Î ç0; ÷ ç ç ÷ ÷ è 2ø Một số học sinh trình bày như sau: æ pö Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x Î ç0; ÷. ç 2÷ ç ÷ è ø 1 æ pö Ta có: f '(x) = - 1 = tan 2 x > 0 , " x Î ç0; ÷, suy ra hàm số f(x) đồng biến ç ÷ cos2 x ç 2÷ è ø æ pö trên khoảng ç0; ÷. ç ç ÷ ÷è 2ø æ pö Từ x > 0 Þ f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với " x Î ç0; ÷. ç ç ÷ ÷ è 2ø Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá khó để phát hiện sự æ pö không chặt chẽ. Sau khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng ç0; ÷ thì vì sao từ x > ç ç ÷ ÷ è 2ø 0 Þ f(x) > f(0). æ pö Sai lầm ở đây là 0 Ï ç0; ÷. ç ç 2÷÷ è ø Nhớ rằng: nếu f(x) đồng biến trên đoạn [a; b ] (tức là f(x) liên tục trên [a; b ] và f '(x)> 0 với " x Î (a; b)) thì với " x1 , x 2 Î [a; b ], x1 > x 2 Þ f (x1 ) > f (x 2 ) Lời giải đúng: é pö Xét hàm số f(x) = tanx - x, với x Î ê0; ÷. ÷ ÷ ê 2ø ë 1 é p÷ ö Ta có: f '(x) = - 1 = tan 2 x ³ 0 , " x Î ê ÷, dấu "=" xảy ra chỉ tại x = 0, suy ra 0; ÷ cos 2 x ê 2ø ë é pö hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng ê0; ÷. ÷ ÷ ê 2ø ë æ pö ç Từ x > 0 Þ f(x) > f(0) Û tanx - x > tan0 - 0 hay tanx > x, với " x Î ç0; ÷. ç ÷ ÷ è 2ø * Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến. Ví dụ 4: 1 Chứng minh rằng nếu với " x Î ¡ , x > - 1 thì x.e x > - . e Một số học sinh trình bày như sau:
Xét các hàm số f(x) = x, g(x) = ex là các hàm đồng biến trên ¡ . Suy ra hàm số h(x) = x.ex là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên ¡ . Suy ra, từ x > - 1 1 Þ f(x) > f(-1) hay x.e x > - . e Phân tích: Lời giải trên sai lầm ở chỗ: tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương (!). Lời giải đúng: Xét hàm số f(x) = x.ex, ta có f '(x)= ex(x+1) ³ 0 , " x ³ - 1 , dấu "=" xảy ra chỉ tại x= -1. Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng [ 1; + ¥ ). Từ x > - 1 Þ f(x) > - 1 f(-1) hay x.e x > - . e 3. Sai sót khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm * Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm. Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số y = (2x+1)x. Học sinh trình bày như sau: Ta có y' = x(2x + 1) x- 1 (2x + 1) ' = 2x.(2x + 1) x- 1 . Phân tích: Lời giải trên đã vận dụng công thức (u a )' = a .u a - 1.u ' . Vận dụng như vậy là sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số mũ a là một hằng số. Lời giải đúng: 1 Điều kiện: x > - , x ¹ 0 (khi đó y > 0) 2 y' 2x Từ y = (2x+1)x Þ ln y = x.ln(2x + 1) Þ (ln y) ' = (x.ln(2x + 1))' Þ = ln(2x + 1) + y 2x + 1 é 2x ù Þ y ' = (2x + 1) x . ê x + 1) + ln(2 ú ê ë 2x + 1 ú û * Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm. Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức (u a )' = a .u a - 1.u ' , a Î ¡ , nhưng quên rằng nếu như a không nguyên thì công thức này chỉ đúng khi u nhận giá trị dương. Ví dụ 6: Cho hàm số y = 3 x 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = - 1. Một số học sinh trình bày như sau: Với x = - 1 ta có y = 3 (- 1)2 = 1 2 1 2 - Ta có y = x 3 suy ra y ' = x 3 3
1 2 2 - 2 - 2 - 1 2 -1 2 y '(-1) = (- 1) 3 = (- 1) 6 = é - 1) 2 ù 6 = .1 6 = . ( 3 3 3êë ú û 3 3 2 2 5 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (x + 1) + 1 hay y = x + . 3 3 3 Phân tích: Sai sót ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ 1 - không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết (- 1) 3 là không đúng (!). Lời giải đúng: Với x = - 1 ta có y = 3 (- 1)2 = 1 2x 2 2 Ta có y3 = x2 Þ (y3)'= (x2)' Þ 3.y2 y ' = 2x Þ y ' = 2 = 3 Þ y '(-1) = - 3y 3 x 3 2 2 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = - (x + 1) + 1 hay y = - x + . 3 3 3 4. Sai sót khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số  Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số học sinh quên rằng đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần. Quy tắc:  y ' > 0 , " x Î (a; b) Þ hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)  y ' < 0 , " x Î (a; b) Þ hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) Điều ngược lại nói chung là không đúng. Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 3 - mx 2 + x - 1 đồng biến trên ¡ . Một số học sinh trình bày như sau: Tập xác định: D = ¡ . ìa > 0 ï y ' = 3x2 - 2mx + 1. Hàm số đồng biến trên ¡ Û y ' > 0 , " x Î ¡ Û ï í ï ï D '< 0 î ì ï 3 >0 Û ï 2 í Û - 3< m< 3. ï m - 3< 0 ï î Phân tích: Chẳng hạn, hàm số y = x3 đồng biến trên ¡ , nhưng y ' = 3x 2 ³ 0, " x Î ¡ , dấu "=" xảy ra chỉ tại x= 0. Nhớ rằng: nếu hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), f '(x) ³ 0 , " x Î (a; b) và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b). Lời giải đúng: ìa > 0 ï Hàm số đồng biến trên ¡ Û y ' ³ 0 , " x Î ¡ Û ï í ï D '£ 0 ï î ì ï 3 >0 Û ï 2 í Û - 3£ m£ 3. ï m - 3£ 0 ï î
* Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số, nhiều học sinh cũng quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần. Quy tắc: ì f '(x 0 ) = 0 ï +ï í Þ x 0 là điểm cực tiểu. ï f ''(x 0 ) > 0 ï î ì f '(x 0 ) = 0 ï +ï í Þ x 0 là điểm cực đại. ï f ''(x 0 ) < 0 ï î Điều ngược lại nói chung là không đúng. Do vậy khi tìm được điểm x 0 , cần thử lại. Ví dụ 8: Cho hàm số y = f(x) = mx4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại x = 0 ? Một số học sinh trình bày như sau: f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2. ì f '(0) = 0 ï ì 4m.0 = 0 ï Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: ï í Û ï í hệ vô nghiệm. ï î ï ï f ''(0) < 0 ï 12m.0 < 0 î Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0. Phân tích: Ta thấy, với m = - 1, hàm số y = - x4 có y ' = - 4x3 , y ' = 0 Û x = 0. Bảng biến thiên: x - ¥ 0 +¥ y' + 0 - y 0 - ¥ - ¥ Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0. Lời giải trên sai ở đâu? ì f '(x 0 ) = 0 ï Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn ï í Þ x 0 là điểm cực đại của hàm số, còn điều ï ï f ''(x 0 ) < 0 î ngược lại thì chưa chắc đúng . Vì nếu x0 là điểm cực đại thì vẫn có thể f ''(x0) = 0. Lý do là điều kiện f ''(x0) < 0 chỉ là điều kiện đủ để hàm số g(x) = f '(x) nghịch biến trong lân cận (x0 - h; x0 + h) (với h > 0), khi đó: ì f '(x) > f '(x 0 ) = 0, " x Î (x 0 - h; x 0 ) ï ï í Þ x 0 là điểm cực đại của hàm số. ï f '(x) < f '(x 0 ) = 0, " x Î (x 0 ; x 0 + h) ï î Lời giải đúng: Cách 1:
Ta có y ' = 4mx3. Để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y '(x) > 0, " x Î (- h;0) , với h > ì 4mx ï 3 >0 0. Tức là: ï í Þ m < 0. ï- h< x< 0 ï î Thử lại, ta thấy với m < 0 là điều kiện cần tìm. Cách 2: xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0) + m = 0: Ta có y = f(x) = 0 là hàm hằng nên hàm số không có cực trị. + m > 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = 0 Û x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là điểm cực tiểu của hàm số. + m < 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = 0 Û x = 0. Lập bảng biến thiên ta thấy x0 là điểm cực đại của hàm số. Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi và chỉ khi m < 0. Ví dụ 9: Cho hàm số y = f(x) = x4 + mx3+ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ? Một số học sinh trình bày như sau: f '(x) = 4x3 + 3mx2 , f ''(x) = 12x2 + 6mx. ì f '(0) = 0 ï ì 4.03 +3m.02 = 0 ï ï Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là: í Û ï í ï f ''(0) > 0 ï 12m.02 + 6m.0 > 0 ï î ï î hệ vô nghiệm m. Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Phân tích: Ta thấy, với m = 0, hàm số y = x4 + 1 y ' = 4x3 , y ' = 0 Û x = 0. Bảng biến thiên: x +¥ 0 +¥ y' - 0 + +¥ +¥ y 1 Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Lời giải đúng: Cách 1: ì f '(x) < 0, " x Î (- h;0) (1) ï Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 thì ï í (với h > 0) ï f '(x) > 0, " x Î ( 0 ; h) (2) ï î ì " x Î (- h;0) ï ì " x Î (- h; 0) ï ì " x Î (- h; 0) ï ï 3m (1) Û ï 3 í Û ï í Û ï í 3m Û - ³ 0 Û m £ 0 (1') ï 4x + 3mx 2 < 0 ï î ï ï 4x + 3m < 0 î ï x< - ï 4 ï î 4
ì " x Î (0; h) ï ì ï " x Î (0; h) ì ï (2) Û ï 3 Û ï " x Î (0; h) ï Û ï 3m m ³ 0 (2') í ï 4x + 3mx 2 > 0 í ï 4x + 3m > 0 í ï x> - 3m Û - £ 0 Û ï î ï î ï 4 ï î 4 Từ (1') và (2') suy ra m = 0 Vậy với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0. Cách 2: xét 3 trường hợp (m = 0, m > 0, m < 0) + m = 0: Ta có y = x4 + 1 có y ' = 4x3 , y ' = 0 Û x = 0. Bảng biến thiên: x - ¥ 0 +¥ y' - 0 + +¥ +¥ Y 1 Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 3m + m > 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m) , y ' = 0 Û x = 0 hoặc x = - . Lập bảng 4 biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm số không có cực trị tại x = 0. 3m + m < 0: Ta có y ' = x2(4x + 3m), y ' = 0 Û x = 0 hoặc x = - . Lập bảng 4 biến thiên ta thấy y ' không đổi dấu qua x = 0 (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm số không có cực trị tại x = 0. Kết luận: với m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 0. 5. Sai sót khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số * Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D. Ví dụ 10: 1 æ 1 ö ÷- 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = cos 2 x + + 2 çcosx + ç ÷ cos 2 x ç è cosx ÷ ø Một số học sinh trình bày như sau: 1 1 Đặt t = cosx + Þ cos 2 x + = t2 - 2. cosx cos 2 x Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4 ³ - 4, " t Î ¡ Vậy min f (x) = - 4 , khi t = - 1. Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương. Giá trị nhỏ nhất của hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g(t), " t Î ¡ . 1 Có thể thấy ngay khi t = - 1 thì không tồn tại giá trị của x để cosx + = - 1. cosx
f(x)  m , x  D Nhớ rằng, số m  min f(x)   D x 0  D : f(x 0 )  m Lời giải đúng: 1 ìp ü Đặt t = cosx + , với x Î D = ¡ \ ï + kp , k Î ¢ ï í ý cosx ï2 ï î ï ï þ 1 1 Þ t = cosx + = cosx + ³ 2 . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi cosx = 1 cosx cosx 1 Khi đó: cos 2 x + 2 = t 2 - 2. Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3. cos x Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với t ³ 2 ): t - ¥ -2 -1 2 +¥ g '(t) - - 0 + + +¥ +¥ G(t) 5 -3 Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: m  min f(x) = min g(t)  3 D t 2 1 Đạt được khi t = - 2 Û cosx + = - 2 Û cosx = - 1 Û x = p + k2p , k Î ¢ cosx 6. Sai sót khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Ví dụ 11: Cho hàm số y = f(x) = - x3 + 3x2, có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của y (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1;4) Một số học sinh trình bày như sau: A 4 h x = 4 2 f '(x) = - 3x + 6x. Ta có điểm A(-1;4) Î đồ thị (C). suy ra phương trình tiếp tuyến là: y = f '(-1).(x+1)+4 Û y = - 9(x + 1) + 4 x Û y = - 9x - 5 . -1 2 3 O Phân tích: qx = -9 x-5 fx = -x3 +3 x2 Phương trình tiếp tuyến y = - 9x - 5 là tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm) tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể có -5 tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A mà không nhận A làm tiếp điểm. Lời giải đúng: Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;4)
và có hệ số góc k là: y = k(x + 1) + 4 Điều kiện để đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm: ì - x 3 + 3x 2 = k(x + 1) + 4 ï ï í (I). ï ï k = - 3x 2 + 6x î ì x 3 - 3x - 2 = 0 ï é = 2, k = x 0 Hệ (I) Û ï í Û ê ï k = - 3x + 6x 2 ê = - 1, k = - 9 ëx ï î Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = 4, y = - 9x - 5 . 7. Sai sót khi vẽ và chính xác hóa đồ thị hàm số: Học sinh bỏ qua việc tìm thêm các điểm đặc biệt lân cận điểm cực trị, điểm vô định. Không tìm giao điểm của đồ thị với 2 trục tọa độ, mặc dù không phải lúc nào tìm giao điểm với trục Ox dễ dàng. Không chứng minh tính đối xứng hoặc không tìm điểm uốn. Vẽ gấp khúc hoặc vẽ đồ thi cắt 2 tiệm cận. Giải pháp: Lưu ý khi không tìm được giao điểm với Ox, cần cho y bằng những giá trị CĐ, CT để tìm x, tìm điểm uốn, cho thêm 1 vài giá trị của x để chính xác hóa điểm đồ thị đi qua. 2. Bài tập tương tự Bài 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: 2x + 1 x2 + x + 1 a. y = b. y = c. y = cosx - sinx x- 1 x+ 1 Bài 2: Xác định m để hàm số sau không có cực trị: x 2 + 2mx - 3 y= x- m Bài 3: Tìm cực trị của các hàm số sau: a. y = (7 - x) 3 x + 5 b. y = cosx - sinx c. y = sin2x Bài 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị tại x = 1: æ 2ö y = x 3 - mx 2 + çm - ÷x + 5 ç ÷ ç è 3÷ ø Bài 5: Xác định a để hàm số sau luôn đồng biến trên ¡ : (a - 1)x 3 y= + ax 2 + (3a - 2)x 3 Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a. y = x 3 + 3x 2 - 72x + 90 trên đoạn [ 5;5] - é 3p ù b. y = 2sinx + sin2x trên đoạn ê0; ú ê 2 ú ë û c. y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + 5
Bài 7: Cho hàm số y = (x + 1)2 (2 - x) , có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(2;0) Bài 8: Chứng minh các bất đẳng thức sau: x2 a. e x + cos x ³ 2 + x - , "xÎ ¡ 2 ( ) b. e x - e- x ³ 2ln x + 1+ x 2 , " x ³ 0 x c. 8sin 2 + sin 2x > 2x, " x Î é p ù 0; ë û 2 1 3 1 Bài 9: Cho hàm số y = x - (m - 1)x 2 + (m - 3)x + 4 (m là tham số) 3 2 1 Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = - 3x + 4 tại ba điểm phân biệt. 2 Bài 10: Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình: x 2 - 2 x = m( x - 1) có 4 nghiệm thực phân biệt ? Bài 11: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau 2x  3 x 1 1) y  , 2) y  , 3x  2 x 1 3) y  3x 2  x3 4) y  x3  3x 2  4 5) y  ( x 2  4) 2 6) y   x 4  5 x 2  4 III. Kết quả nghiên cứu Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt được có khả quan hơn. Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khi kiểm tra khả năng giải bài tập của học sinh 2 lớp 12 A và 12 B như sau: Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  mx 2  (m2  24)x  4 đạt cực tiểu tại x  2 . Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây: Lớp 12 A (Sĩ số 36) Số lượng Tỷ lệ Không giải được 02 5,5 % Giải sai phương pháp 04 11 % Giải đúng phương pháp 30 83,5 % Lớp 12 B (Sĩ số 36) Số lượng Tỷ lệ Không giải được 03 8,3 % Giải sai phương pháp 05 13,8 % Giải đúng phương pháp 28 77,9 %
x2 Bài 2: Xét tính đơn điệu của hàm số y  f (x)  . 1  2x Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây: Lớp 12 A (Sĩ số 36) Số lượng Tỷ lệ Không giải được 01 2,7 % Giải sai phương pháp 03 8,3 % Giải đúng phương pháp 32 89 % Lớp 12 B (Sĩ số 36) Số lượng Tỷ lệ Không giải được 02 5,5 % Giải sai phương pháp 06 16,7 % Giải đúng phương pháp 28 77,8 % x2 Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: ex + cos x ³ 2 + x - , "x Î ¡ 2 Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây: Lớp 12 A (Sĩ số 36) Số lượng Tỷ lệ Không giải được 9 25 % Giải sai phương pháp 04 11,1 % Giải đúng phương pháp 23 63,9 % Lớp 12 B (Sĩ số 36) Số lượng Tỷ lệ Không giải được 18 50 % Giải sai phương pháp 05 13,8 % Giải đúng phương pháp 13 36,2 % BIỂU ĐỒ SO SÁNH SAU KHI ĐÃ CHỈ RA SAI LẦM VÀ UỐN NẮN HỌC SINH SỬA CHỮA SAI SÓT 80 70 60 50 Không giải được 40 Sai PP 30 Giải đúng 20 10 0 Lớp 12 A Lớp 12 B Tổng 2 lớp Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo
hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan; đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh ( cả yếu kém và học sinh khá) và đem lại hiệu quả rõ rệt, học sinh hứng thú với nội dung bài học. Trong thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong nhà trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được trong quá trình thực nghiệm. PHẦN 3: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ I. Kết luận Thông qua những sai sót và cách hiểu sai các định nghĩa, khái niệm, định lý của học sinh, nếu giáo viên phát hiện ra, tìm ra nguyên nhân, kịp thời uốn nắn và sửa chữa các sai sót đó thì sẽ giúp học sinh ghi nhớ lâu hơn, hiểu đúng bản chất toán học của tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp học sinh tránh được những sai sót tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy. Thông qua bài viết này, cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, học sinh sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời, qua những sai lầm ấy mà rút ra cho mình những kinh nghiệm và phương pháp giải toán cho riêng mình ; người học có thể quay trở lại để kiểm chứng những lý thuyết đã được trang bị để làm toán. Từ đó thấy được sự lôgic của toán học nói chung và của chương ứng dụng đạo hàm nói riêng, thấy được rằng đạo hàm là một công cụ rất hữu hiệu để giải quyết rất nhiều bài toán, hơn nữa, những bài toán được giải bằng công cụ đạo hàm thì lời giải cũng tỏ ra ngắn gọn hơn, đễ hiểu. Đối với học sinh thì những kiến thức về đạo hàm cũng là tương đối khó, nhất là đối với những học sinh có lực học trung bình trở xuống. Học sinh thường quen với việc vận dụng hơn là hiểu rõ bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lý cũng như những kiến thức liên quan đã được học. Đó là chưa kể sách giáo khoa hiện nay đã giảm tải nhiều nội dung khó, mang tính trừu tượng và thậm chí mang tính hàn lâm; những nội dung này học sinh sẽ được tiếp cận thêm khi có cơ hội học sâu hơn. Ở cấp độ trường trung học phổ thông dân tộc, đề tài có thể áp dụng để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, chia sẻ cùng đồng nghiệp, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học. Giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lý cũng như những kiến thức liên quan đã được học, giúp học sinh tránh khỏi lúng túng trước một bài toán đặt ra và không mắc phải những sai lầm thường gặp. Trong khuôn khổ của bài viết này, tôi không có tham vọng sẽ phân tích được hết những sai lầm của học sinh và cũng sẽ không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của Hội đồng khoa học cấp trường , của Hội đồng khoa học Sở Giáo dục và Đào tạo và của quý thầy cô.