SKKN: Ứng dụng định lí Vi-ét trong thực hành giải Toán cấp THCS

Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS<br /> PHẦN I: MỞ ĐẦU<br /> Lý do chọn đề tài:<br /> Môn Toán  ở  THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ <br /> thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành <br /> ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và <br /> thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi <br /> vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán <br /> học.<br /> Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên  <br /> tổ  chức cho học sinh hoạt động để  chiếm lĩnh kiến thức và kỹ  năng. Mặt  <br /> khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành <br /> cho học sinh những kiến thức cơ  bản, tìm tòi đủ  cách giải bài toán để  phát <br /> huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.<br /> Trong vài năm trở lại đây, các trường Đại học, các trường PTTH chuyên thành <br /> phố... đang ra sức thi tuyển, chọn lọc học sinh  và trong các đề thi vào lớp 10 <br /> THPT, trong các đề  thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài <br /> toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi­ét khá phổ  biến. Trong khi đó nội dung  <br /> và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa  <br /> đa dang.<br /> Thế  nhưng đa số  học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng  <br /> không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không <br /> biết cách đọc thêm sách tham khảo nên không  ứng dụng hệ  thức Vi_ét để <br /> giải.<br /> Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em  <br /> học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ  thức Vi­ét để  giải các bài toán bậc  <br /> hai. Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ  thi tuyển. Bản thân tôi đã  <br /> mạnh dạn làm đề tài “ ứng dụng hệ thức Vi­et trong thực hành giải toán cấp  <br /> THCS” từ năm học 2014­2015 và đã được hội đồng khoa học ngành Giáo dục  <br /> & đào tạo  của thành phố công nhận đạt giải C. Trong năm học 2016­2017 tôi <br /> tiếp tục vận dụng đề tài của mình trong quá trình công tác giảng dạy tại đơn <br /> vị. Tuy nhiên đối với mỗi năm học và với mỗi đói tượng học sinh thì tôi cũng  <br /> điều chỉnh cho phù hợp với đối tượng học sinh để  đạt được hiệu quả  cao  <br /> nhất. Đó là lý do tôi  tiếp tục chọn đề tài này: “Ứng dụng định lí Vi­ét trong  <br /> thực hành giải Toán cấp THCS”.<br /> Mục đích nghiên cứu:<br /> <br /> Để  nhằm mục đích bổ  sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có <br /> ứng dụng hệ thức Vi­ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể làm <br /> tốt các bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển.<br /> Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ  bài <br /> toán bậc hai mà cả các dạng toán khác.<br /> <br /> 1/26<br />  Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS<br /> <br /> Nhiệm vụ nghiên cứu:<br /> <br /> Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài toán là một yêu cầu <br /> rất quan trọng đối với học sinh. Nhiệm vụ  của giáo viên phải làm cho học <br /> sinh nhận dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải.<br /> Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:<br /> Nghiên cứu các bài toán bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi­ét , tìm phương  <br /> pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để  các em biết cách <br /> tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình.<br /> Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng dụng <br /> hệ thức Vi­ét vào các bài toán bậc hai sao cho hợp lý.<br /> Điều tra   học sinh xem có bao nhiêu học sinh thích được học nâng cao, mở <br /> rộng kiến thức về  các bài toán bậc hai và có bao nhiêu học sinh có thể  tiếp  <br /> thu, nâng cao kiến thức.<br /> <br /> Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:<br /> <br /> Nghiên cứu  học sinh  đang học lớp 9 ở trường  của trường tôi đang  công tác.  <br /> Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi­ét, trong môn đại số  lớp 9, tìm hiểu <br /> các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi­ét.<br /> <br /> <br /> Phương pháp nghiên cứu:<br /> <br /> Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ  nghiên cứu, tôi sử  dụng các phương pháp  <br /> nghiên cứu sau:<br /> Phương pháp nghiên cứu tài liệu: <br /> Tôi đọc và chọn ra các bài toán bậc 2 có  ứng dụng hê thức Vi­ét, sắp xếp  <br /> thành 9 nhóm ứng dụng sau:<br /> Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.  Phân tích tam <br /> thức ra thừa số: ax2 + bx + c = a( x­x1) ( x­x2)  .<br /> Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai  một ẩn,  tìm hệ số của phương trình <br /> bậc hai một ẩn số ­ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.<br /> Ứng dụng 3: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị  của <br /> các   biểu   thức   đối   xứng   giữa   các   nghiệm.   Xác   định   dấu   các   nghiệm   của  <br /> phương trình bậc hai.<br /> Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào <br /> tham số hay tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiêm x1, x2 độc lập với tham số.<br /> Ứng dụng 5: Tìm điều kiện của tham số  để  thoả  mãn một hệ  thức giữa hai <br /> nghiệm<br /> Ứng dụng 6: Ứng dụng của định lý Vi­ét trong giải toán chứng minh.<br /> 2/26<br />  Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS<br /> Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi­ét giải phương trình và hệ phương trình.<br /> Ứng dụng 8: Định lý Vi­ét với bài toán cực trị.<br /> Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị<br /> <br /> Phương pháp phỏng vấn, điều tra: <br /> Tôi hỏi điều tra  học sinh trong lớp  sau 2 tiết dạy thực nghiệm với các câu <br /> hỏi sau:<br /> <br /> Câu 1: Em có muốn củng cố và  nâng cao kiến thức không ?<br /> <br /> Câu 2: Em thích các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi­ét  không?<br /> <br /> Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung toán không ?<br /> <br /> Câu 4: Em hãy đọc lại định lý Vi­ét. Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình <br /> sau:<br /> a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0<br /> b/   x2 + 7x + 12 = 0<br /> Câu 5: Cho phương trình: x2 – 3x + m = 0, với m là tham số, có hai nghiệm x1 , <br /> x2   (x1 > x2). Tính giá trị biểu thức  P = x13 x2 − x1 x23  theo m.<br /> <br /> Phương pháp thực nghiệm sư phạm:  <br /> Sau khi sắp xếp thành 9 nhóm ứng dụng hệ thức Vi­ét, tôi đã thực hiện <br /> lên lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên. <br />  <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 3/26<br />  Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS<br /> PHẦN II: NỘI DUNG<br /> <br /> Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài<br /> Cơ sở lý luận và thực tiễn:<br /> Mục tiêu của giáo dục THCS theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm <br /> giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có <br /> trình độ  học vấn THCS và những hiểu biết ban đầu về  kỹ  thuật và hướng  <br /> nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”.<br /> Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kế <br /> theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực  <br /> hành bảo đảm vừa sức, khả  thi, giảm số  tiết học trên lớp, tăng thời gian tự <br /> học và hoạt động ngoại khóa.<br /> Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết:<br /> 1 tiết lý thuyết : học sinh được học định lý Vi­ét và ứng dụng hệ  thức Vi­ét <br /> để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc hai <br /> và tìm hai số biết tổng và tích của chúng.<br /> 1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố  tiết lý thuyết vừa  <br /> học.<br /> Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi­ét nhưng không có <br /> nhiều tiết học đi sâu khai thác các  ứng dụng của hệ  thức Vi­ét nên các em <br /> nắm và vận dụng hệ thức Vi­ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi  <br /> dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này.<br /> Thực trạng :<br /> Thuận lợi:<br /> Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9 nhiều năm, bồi <br /> dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi  <br /> tuyển vào lớp 10 nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện đề  tài: “Ứng  <br /> dụng hệ thức Vi­ét trong thực hành giải Toán cấp THCS”.<br /> Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy.<br /> Đa số học sinh đều mong muốn được củng cố và  nâng cao kiến thức. <br /> Khó khăn:<br /> Thời lượng phân bố  tiết cho phần này còn hạn chế, cụ  thể   ở  chương trình <br /> lớp 9 chỉ có 2 tiết ( 1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Do vậy chưa khai thác <br /> hết các ứng dụng của hệ thức Vi­ét.<br /> Hầu hết số học sinh của trường đều có đầu vào cấp THCS  thấp so với mặt  <br /> bằng chung của cả quận, bố mẹ  là dân lao động thuần túy phổ thông. Do đó <br /> các em ít được chú trọng nâng cao kiến thức.<br /> Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với đề tài này tôi mong giáo viên sẽ giúp <br /> các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển.<br /> Thực trạng của giáo viên và học sinh của trường:<br /> <br /> <br /> 4/26<br />  Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS<br /> Hiện nay, việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở trường <br /> còn có một số mặt đã đạt được và chưa đạt sau:<br /> Những mặt đã đạt được:<br /> Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ  kiến thức trong chương trình. Học sinh <br /> nắm được kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS ( đạt 98%).<br /> Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm nhưng ít có học sinh  <br /> tham gia thi học sinh giỏi cấp quận môn Toán.Nhà trường có tổ chức dạy phụ <br /> đạo cho học sinh yếu, kém. Nhờ vậy học sinh đã có nhiều tiến bộ. <br /> Những mặt chưa đạt:<br /> Trường chưa tổ chức bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh các khối 6 ;  <br /> 7 ; mà mới chỉ dừng ở bồi dưỡng nâng cao kiến thức cho học sinh khối 8; 9<br /> Số  học sinh tự  học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để  nâng cao  <br /> kiến thức  chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế.<br /> <br /> Chương II: Giải pháp sư  phạm cần thực hiện để  giúp học <br /> sinh ứng dụng hệ thức Vi­ét để giải phương trình bậc hai:<br /> Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết  ở  trong chương trình cho học sinh  <br /> nắm được định lý Vi­ét:<br />                       Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) <br /> −b + ∆ −b − ∆<br />                                có 2 nghiệm : x1 = ; x2 =<br /> 2a 2a<br />      Suy ra : <br /> −b + ∆ −b − ∆ −2b −b<br /> x1 + x2 = + = =<br /> 2a 2a 2a a<br />                      <br /> x1 x2 =<br /> ( −b + ∆ ) ( −b − ∆ ) = b 2<br /> =<br /> (<br /> − ∆ b − b − 4ac<br /> 2 2<br /> ) 4ac c<br /> = 2 =<br /> 2 2 2<br /> 4a 4a 4a 4a a<br /> Đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình.<br /> −b<br />            Vậy:    S = x1 + x2 =<br /> a<br /> c<br />              P = x1.x2 =<br /> a<br /> Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần  ứng dụng hệ thức Vi­ét để <br /> giải. Trong đề tài này tôi trình bày 9 nhóm ứng dụng sau:<br /> Cụ thể như sau:<br /> Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.  Phân tích tam <br /> thức ra thừa số: ax2 + bx + c = a( x­x1) ( x­x2)  .<br /> Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai  một ẩn,  tìm hệ số của phương trình <br /> bậc hai một ẩn số ­ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.<br /> Ứng dụng 3: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị  của <br /> các   biểu   thức   đối   xứng   giữa   các   nghiệm.   Xác   định   dấu   các   nghiệm   của  <br /> phương trình bậc hai.<br /> <br /> 5/26<br />  Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS<br /> Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào <br /> tham số hay tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiêm x1, x2 độc lập với tham số.<br /> Ứng dụng 5: Tìm điều kiện của tham số  để  thoả  mãn một hệ  thức giữa hai <br /> nghiệm<br /> Ứng dụng 6: Ứng dụng của định lý Vi­ét trong giải toán chứng minh.<br /> Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi­ét giải phương trình và hệ phương trình.<br /> Ứng dụng 8: Định lý Vi­ét với bài toán cực trị.<br /> Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị<br /> Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.  Phân tích <br /> tam thức ra thừa số: ax2 + bx + c = a( x­x1) ( x­x2)<br /> Dạng đặc biệt:<br /> <br /> Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)<br /> a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = 0  hay a + b + c = 0<br /> c<br /> Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 = <br /> a<br /> b/ Nếu cho x = ­1 thay vào (*) , ta có : a.(­1)2 +b.(­1)+c = 0 hay a ­ b + c = 0<br /> −c<br /> Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = ­1 và nghiệm kia là x2 = <br /> a<br /> Ví dụ:<br /> Dùng hệ thức Vi_ét  để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:<br /> a/ 2x2 + 5x + 3 = 0   (1)<br /> b/ 3x2 + 8x ­ 11 = 0  (2)<br /> <br /> Giải:  <br />    Ta thấy:<br /> Phương trình (1) có dạng a  ­ b + c = 0, nên có một nghiệm x1 = ­1 và nghiệm <br /> −3<br /> kia là x2 = <br /> 2<br /> Phương trình (2) có dạng a  + b + c = 0, nên có một nghiệm x 1 = 1 và nghiệm <br /> −11<br /> kia là x2 = <br /> 3<br /> <br /> Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:<br /> a/ 35x2 ­ 37x + 2 = 0   <br /> b/ 7x2 + 500x ­ 507 = 0  <br /> c/ x2 ­ 49x ­ 50 = 0   <br /> d/ 4321x2 + 21x ­ 4300 = 0  <br /> Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm còn lại  <br /> và chỉ ra hệ số của phương trình:<br /> Ví dụ:  <br />  a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia.<br /> <br /> 6/26<br />  Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS<br />   b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.<br />   c/ Phương trình x2  – 7x +  q  = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm  q  và hai <br /> nghiệm của phương trình.<br /> d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2  –qx +50 = 0, biết phương trình <br /> có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.<br /> Giải:  <br /> a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2px + 5 = 0 , ta được:<br /> 1<br />                          4 – 4p + 5 = 0  p=<br /> 4<br /> 5 5<br /> Theo hệ thức Vi­ét :  x1. x2 = 5  suy ra: x2 =  x = 2<br /> 1<br /> <br /> b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x + 5x + q = 0  , ta được:<br /> 2 <br /> <br />                          25+ 25 + q = 0  q = −50<br /> −50 −50<br /> Theo hệ thức Vi­ét:  x1. x2 = ­50  suy ra: x2 =  x = 5 = −10<br /> 1<br /> <br /> c/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 ­ x2 =11 và theo hệ <br /> thức Vi­ét:  x1+ x2 = 7  ta có hệ phương trình sau: <br /> x1 − x2 = 11 x1 = 9<br /> x1 + x2 = 7 x2 = −2<br /> Suy ra: q = x1. x2 = 9.(­2)= ­18  <br /> d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2  và theo hệ <br /> thức Vi­ét:  x1. x2 = 50  ta có hệ phương trình sau: <br /> x1 = 2 x2 x2 = 5<br /> 2 x2 2 = 50 x2 2 = 52<br /> x1.x2 = 50 x2 = −5<br /> Với  x2 = 5  thì  x1 = 10  Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15  <br /> Với  x2 = −5  thì  x1 = −10  Suy ra: S = q = x1 + x2 = (­ 5) + (­10) = ­15  <br /> Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai  một ẩn, tìm hệ số của phương <br /> trình bậc hai một ẩn số ­ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.<br /> 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2<br /> Ví dụ: <br /> Cho x1= 3; x2= 2 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên<br /> Giải:  <br /> S = x1 + x2 = 5<br /> Theo hệ thức Vi­ét, ta có: <br /> P = x1.x2 = 6<br /> Vậy  x1; x2  là nghiệm của phương trình có dạng: <br />           x2 – Sx + P = 0   x2 – 5x + 6 = 0<br /> Bài tập áp dụng:  Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:<br /> a/ x1= 8 và  x2= ­ 3<br /> b/ x1= 3a và  x2= a<br /> c/ x1= 36 và  x2= ­ 104<br /> d/ x1= 1+ 2  và  x2= 1 ­  2<br /> 7/26<br />  Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS<br /> <br /> 2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai  <br /> nghiệm của một phương trìnhcho trước<br /> Ví dụ: <br /> Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không <br /> giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: <br /> 1 1<br /> y1 = x2 +  và  y2 = x1 +<br /> x1 x2<br /> Giải:  <br /> Theo   hệ   thức   Vi­ét,   ta   có: <br /> 1 1 1 1 x +x 2 9<br /> S = y1 + y2 = x2 + + x1 + = ( x1 + x2 ) + + = ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + =<br /> x1 x2 x1 x2 x1 x2 3 2<br /> 1 1 1 1 9<br /> P = y1. y2 = x2 + . x1 + = x1.x2 + 1 + 1 + = 2 +1+1+ =<br /> x1 x2 x1 x2 2 2<br /> Vậy  phương trình cần lập có dạng: <br /> 9 9<br />            y 2 − Sy + P = 0 hay  y 2 − y + = 0 2 y2 − 9 y + 9 = 0<br /> 2 2<br /> Bài tập áp dụng:  <br /> 1/ Cho phương trình 3x2  + 5x ­ 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Không <br /> giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: <br /> 1 1<br /> y1 = x1 +  và  y2 = x2 +<br /> x2 x1<br /> 5 1<br /> (Đáp số:  y 2 + y − = 0 6 y2 + 5 y − 3 = 0 )<br /> 6 2<br /> 2/ Cho phương trình: x2 ­ 5x ­ 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải <br /> phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: <br /> y1 = x14  và  y2 = x2 4  <br /> (Đáp số:  y 2 − 727 y + 1 = 0 )<br /> 3/ Cho biết phương trình x2 ­ px + q = 0 có hai nghiệm dương x 1; x2 mà x1  <br /> x2 ). Tính giá trị biểu thức :  A = x13 x2 − x1 x23  theo m.<br /> (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên của tỉnh Đồng Nai năm 2008)<br /> 3/ Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:<br /> Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình <br /> có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…<br /> <br /> Ta lập bảng xét dấu sau:<br /> <br /> Dấu   x1 x2 S   =   x1  +   P = x1 x2  Điều kiện chung<br /> nghiệm x2<br /> trái dấu m P  0<br /> cùng dương + + S > 0 P > 0   0   0 ; P > 0 ; S > 0<br /> cùng âm ­ ­ S  0   0   0 ; P > 0 ; S