SKKN: Một số ứng dụng của định lí Vi-ét trong chương trình Toán 9

MỤC LỤC<br /> <br />  MỤC LỤC                                                                                                                                   <br />  <br /> ..................................................................................................................................   <br />  1<br />  Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU                                                                                                         <br />  <br /> ........................................................................................................<br />    <br />  1<br />  I.    Đặt vấn đề                                                                                                                              <br />  <br /> .............................................................................................................................   <br />  1<br />  Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ                                                                                    <br />  <br /> ...................................................................................<br />    <br />  2<br /> I. Cơ sở lí luận của vấn đề..........................................................................2<br /> II. Thực trạng vấn đề: ................................................................................3<br /> III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: ................................4<br /> V. Hiệu quả SKKN: ..................................................................................18<br />  Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị                                                                                        <br />  <br /> .......................................................................................    <br />  19<br /> I. Kết luận: ..............................................................................................19<br /> II. Kiến nghị: ..........................................................................................20<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  1<br />  Phần thứ nhất: MỞ ĐẦU<br /> <br /> <br /> I. Đặt vấn đề<br />   Trong trường THCS môn toán được xem là môn công cụ có tác dụng rèn <br /> luyện và phát triển tư  duy, đặt nền móng và có sự  hỗ  trợ  rất nhiều cho các <br /> môn học khác. Một mặt nó phát triển, hệ thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái  <br /> độ  mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành  ở  bậc tiểu học, mặt khác nó góp <br /> phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái độ  cần thiết để  tiếp tục lên <br /> THPT, TH chuyên, học nghề  hoặc đi vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi <br /> hỏi những hiểu biết nhất định về toán học. Vì vậy trong việc dạy toán đòi hỏi <br /> người giáo viên phải chọn lọc hệ  thống kiến thức đồng thời  sử  dụng đúng <br /> phương pháp dạy học góp phần hình thành , phát triển tư  duy của học sinh.  <br /> Cùng với việc học toán học sinh được bồi dưỡng và rèn luyện về phẩm chất  <br /> đạo đức, các thao tác tư duy để giải toán. <br /> Tôi nhận thấy trong chương trình toán 9  ở  chương 4 phần đại số  thì <br /> khiến thức về hệ thức Vi­ét là rất quan trọng, nó tính ứng dụng rộng rãi trong <br /> việc giải toán. Kiến thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra chương, <br /> kiểm tra học kỳ, các đề  thi học sinh giỏi lớp 9,... Trong khi đó bài toán về <br /> phương trình bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi ­ ét  trong sách giáo khoa có nội  <br /> dung và thời lượng tương đối ít, lượng bài tập chưa đa dạng. Trong quá trình <br /> dạy toán tại trường THCS Buôn Trấp năm học 2016 ­ 2017, 2017 ­ 2018 tôi <br /> nhận thấy học sinh  vận dụng hệ thức Vi­ét vào giải toán còn rập khuôn chưa <br /> được linh hoạt, chưa vận dụng hệ thức Vi­ét vào được vào nhiều loại toán.<br />         Đứng trước thực trạng này, tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất  <br /> lượng học tập cho các em, giúp cho học sinh nắm vững kiến thức về định lí <br /> Vi­ét và sử dụng thành thạo chúng vào các dạng bài tập, qua đó làm tăng khả <br /> năng tư  duy phát triển các năng lực toán học, đồng thời kích thích hứng thú  <br /> học tập của học sinh. Đó là lý do tôi chọn nghiên cứu đề  tài: “Một số   ứng <br /> dụng của định lí Vi­ét trong chương trình toán 9” <br /> II. Mục đích nghiên cứu: <br /> Thông qua các kiến thức về ứng dụng của định lí Vi­ét sẽ giúp học sinh <br /> vận dụng thành thạo nhưng ̃ ứng dụng của hệ  thức Vi­ét trong giải phương  <br /> trình bậc hai, gây hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham <br /> khảo, giúp các em giải được một số bài tập cơ bản và nâng cao.<br /> Trang bị  cho học sinh một số  kiến thức về  ứng dụng của định lí Vi­ét  <br /> nhằm nâng cao năng lực học môn toán, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ <br /> động sáng tạo và sử  dụng các kiến thức đã học để  là công cụ  giải quyết  <br /> những bài tập có liên quan.<br /> <br /> <br />  1<br />  Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên <br /> cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:<br /> + Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.<br /> + Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.<br />            + Rèn luyện kỹ  năng nhận dạng và đề  ra phương pháp giải thích hợp <br /> trong từng trường hợp cụ thể.<br /> + Giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo.<br /> +  Kiểm tra, đánh giá mức độ  nhận thức của học sinh thông qua các bài  <br /> kiểm tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.<br /> +  Đặt ra các tình huống có vấn đề  nhằm giúp các em biết cách tìm tòi <br /> kiến thức nhiều hơn nữa không chỉ bài toán bậc hai mà cả các dạng toán khác. <br /> Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ  thống các phương pháp cơ  bản và <br /> nhận dạng, hiểu được bài toán, áp dụng thành thạo các phương pháp đó để <br /> giải bài tập.<br /> <br /> Phần thứ hai: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ<br /> <br /> <br /> I. Cơ sở lí luận của vấn đề<br /> Chương trình giáo dục phổ thông mới đã đáp ứng nhiệm vụ nêu tại Nghị <br /> quyết số 29­NQ/TW là "Xây dựng và chuẩn hóa nội dung giáo dục phổ thông  <br /> theo hướng hiện đại, tinh gọn, bảo đảm chất lượng, tích hợp cao  ở  các lớp  <br /> học dưới và phân hóa dần  ở  các lớp học trên; giảm số  môn học bắt buộc;  <br /> tăng môn học, chủ đề và hoạt động giáo dục tự chọn". Để thực hiện tốt Nghị <br /> quyết thì  Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể đã xác đinh mục tiêu của  <br /> Bậc THCSlà : giúp học sinh phát triển các phẩm chất, năng lực đã được hình <br /> thành và phát triển ở cấp tiểu học; tự điều chỉnh bản thân theo các chuẩn mực  <br /> chung của xã hội; biết vận dụng các phương pháp học tập tích cực để  hoàn <br /> chỉnh tri thức và kỹ năng nền tảng; có những hiểu biết ban đầu về các ngành  <br /> nghề  và có ý thức hướng nghiệp để  tiếp tục học lên THPT học nghề  hoặc  <br /> tham gia vào cuộc sống lao động.<br /> Nội dung của hệ thức Vi­ét và ứng dụng hệ thức Vi­ét : <br /> Hệ thức Vi­ét: <br /> Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a   0)  thì: <br /> b<br /> x1 + x2 = −<br /> a<br /> c<br /> x1.x2 =<br /> a<br /> Ứng dụng : (trường hợp đặc biệt)<br /> + Nhẩm nghiệm:  Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a   0) <br /> <br /> <br />  2<br />  c<br /> Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1, x2 = <br /> a<br /> c<br />   Nếu a ­ b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = ­1, x2 = ­<br /> a<br /> S =u+v<br /> + Nếu có hai số u và v thoã mãn:     thì u và v là hai nghiệm của <br /> P = u.v<br /> phương trình:   x2 – Sx + P = 0.  Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P   0.<br /> Nội dung của hệ thức Vi­ét và ứng dụng hệ  thức Vi­ét  nằm  ở  chương <br /> IV phần đại số 9, tiết 57 + 58 trong đó có: <br /> + Tiết lý thuyết: Học sinh được học định lí Vi­ét và ứng dụng hệ  thức  <br /> Vi­ét để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai và tìm hai số khi biết tổng và  <br /> tích của chúng.<br /> + Tiết Luyện tập : Học sinh được làm các bài tập củng cố tiết lý thuyết <br /> vừa học.<br /> II. Thực trạng vấn đề: <br /> Theo chương trình học như  trên, thì học sinh được học Định lý Vi­ét <br /> nhưng không có nhiều thời gian đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi­<br /> ét nên các em nắm và vận dụng hệ thức Vi­ét chưa linh hoạt. <br /> Qua việc dạy toán tại trường THCS Buôn Trấp tôi nhận thấy các em  <br /> học sinh còn vận dụng máy móc chưa thực sự linh hoạt, chưa khai thác và sử <br /> dụng hệ thức Vi­ét vào giải nhiều dạng toán, đặc biệt dạng phương trình bậc <br /> hai có chứa tham số. <br /> Các bài toán cần áp dụng hệ thức Vi­ét rất đa dạng có mặt trong nhiều  <br /> kỳ thi quan trọng như bài kiểm tra chương IV, thi học kỳ 2, thi học sinh giỏi,  <br /> thi vào một số trường THPT...  <br /> Số lượng học sinh tự học, tìm tòi thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,…<br /> để  nâng cao kiến thức chưa nhiều, nên khả  năng học môn Toán giữa các em <br /> trong lớp học không đồng đều. Bên cạnh đó một bộ phận không nhỏ học sinh  <br /> còn yếu trong kỹ năng biến đổi các biểu thức đã cho về dạng tổng và tích hai <br /> nghiệm của phương trình bậc hai. Vì vậy khi găp một số  bài toán dạng: Tìm <br /> giá trị của tham số để phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn điều kiện  <br /> cho trước hoặc lập hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số, ...  <br /> thì với học sinh đại trà, đa số  các em thường tỏ  ra lúng túng, không biết cách <br /> giải.<br /> Bên cạnh đó dưới tác động của xã hội đã làm một số  học sinh không <br /> làm chủ được mình nên đã đua đòi, ham chơi, không chú tâm vào học tập mà <br /> dẫn thân vào các tệ  nạn xã hội như  chơi game, bi da, đánh bài ... Một số  gia  <br /> đình có điều kiện còn mãi lo làm kinh tế, không có thời gian quan tâm đến <br /> việc học hành của con em mình dẫn đến các em có kết quả học tập không tốt.<br />  3<br />  Kết quả  bài kiểm tra liên quan đến việc  ứng dụng hệ  thức Vi­ét trong  <br /> năm học 2016 ­ 2017 của lớp 9A5,6,7 khi chưa áp dụng các nội dung của chuyên <br /> đề:<br /> Lớp Sĩ số Điể TL  Điểm  TL  Điểm  TL  Điểm  TL <br /> học sinh m  % khá % TB % dưới  %<br /> giỏi TB<br /> 9A5 40 02 5 07 17.5 11 27.5 19 47.5<br /> 9A6 35 02 5.7 05 14.3 13 37.1 15 42.9<br /> 9A7 36 04 11. 05 13.9 07 19.4 20 55.6<br /> 1<br /> Để giúp học sinh nắm vững kiến thức về việc vận dụng hệ thức Vi­ét  <br /> trong quá trình giảng dạy, tôi đã củng cố từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết <br /> và tiết luyện tập về hệ thức Vi­ét để học sinh được khắc sâu thêm, đồng thời  <br /> rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày bài toán khi gặp các dạng này. <br /> Rèn luyện các kỹ  năng nhận dạng, phân dạng toán có sử  dụng hệ  thức <br /> Vi­ét để giải nhằm giúp học sinh nắm được đề ra và đưa ra phương pháp giải <br /> thích hợp trong từng trường hợp cụ thể. <br /> Các em không còn gặp bất ngờ, khó khăn khi gặp các dạng bài toán có sử <br /> dụng hệ thức Vi­ét từ  đó các em cảm thấy dần hứng thú, say sưa khi học về <br /> chuyên đề Hệ thức Vi­ét và ứng dụng của nó.<br /> Không chỉ áp dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy của cá nhân mà tôi <br /> còn đưa nội dung chuyên đề  cho bạn đồng nghiệp trong trường tham khảo.  <br /> Kết quả  nhận được các phản hồi tích cực của các bạn đồng nghiệp. Qua áp <br /> dụng SKKN trên tôi thấy đa số học sinh đều vận dụng được hệ thức Vi­ét vào  <br /> giải các bài toán cơ bản, đạt kết quả học tập tốt hơn. <br /> III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề: <br /> Trang bị cho các em các dạng toán cơ bản, thường gặp.<br /> Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.<br /> Rèn kỹ  năng nhận dạng và đề  ra phương pháp giải thích hợp trong từng <br /> trường hợp cụ thể.<br /> Kiểm tra, đánh giá mức độ  nhận thức của học sinh thông qua các bài <br /> kiểm tra qua đó kịp thời điều chỉnh về nội dung và phương pháp giảng dạy.<br /> Tạo hứng thú qua các dạng toán áp dụng hệ  thức trong giải toán về <br /> phương trình bậc hai thông qua các bài toán có tính tư duy, g iúp học sinh có tư <br /> duy linh hoạt và sáng tạo.<br /> Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a   0) (*)<br /> Ứng dụng 1:   Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai<br /> <br />  4<br />       Trường hợp 1:  Phương trình bậc hai có các hệ  số  có quan hệ  đặc  <br /> biệt:<br /> Xét phương trình (*) ta thấy :<br /> c<br /> a) Nếu a + b + c = 0   phương trình (*) có nghiệm  x1 = 1  và  x2 =<br /> a<br /> −c<br /> b) Nếu a  −  b + c = 0   phương trình (*) có nghiệm  x1 = −1 và  x2 =<br /> a<br /> Ví dụ 1(Bài 26/53 Sgk Toán 9_tập 2):  <br /> Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:<br />   a)   35x2 ­ 37x + 2 = 0    ;       c)   x2 ­ 49 x ­ 50 = 0    <br /> Giải:<br />      a) Phương trình: 35x2 ­ 37x + 2 = 0.<br /> Ta có a + b + c = 35 + (­ 37) + 2 = 0, nên phương trình có hai nghiệm:<br /> c 2<br /> x1 = 1,  x2 =   = <br /> a 35<br />     c) Phương trình: x2 ­ 49 x ­ 50 = 0<br /> Ta có  a ­ b + c = 1 ­ 49 ­ 50 = 0, nên phương trình có hai nghiệm: <br /> c<br /> x1= ­1; x2 =  −  = 50<br /> a<br />     Lưu ý : Đối với câu a, thì HS thường hay nhầm lẫm phương trình có các  <br /> hệ số a ­ b + c = 0. Vì vậy trước hết giáo viên phải yêu cầu HS xác định rõ các  <br /> hệ số, rồi đối chiếu xem thuộc trường hợp nào? <br /> Ví dụ 2(Bài 31/54 Sgk Toán 9_tập 2):  <br /> Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:<br /> b) ( )<br /> 3x 2 − 1 − 3 x − 1 = 0 ; d)  ( m − 1) x − ( 2m + 3) x + m + 4 = 0 ( m 1)<br /> 2<br /> <br /> <br /> Giải:<br />  b) Phương trình:  3x 2 − ( 1 − 3 ) x − 1 = 0<br /> ( )<br /> Ta có  a − b + c = 3 + 1 − 3 − 1 = 0 , nên phương trình có hai nghiệm: <br /> c 1 3<br /> x1= ­1; x2 =  −  =  =<br /> a 3 3<br /> d) Phương trình:  ( m − 1) x − ( 2m + 3) x + m + 4 = 0 ( m 1)<br /> 2<br /> <br /> <br />  Phương trình đã cho là phương trình bậc hai (do m 0).<br /> Ta có   a + b + c = m − 1 − ( 2m + 3) + m + 4 = 0 , nên phương trình có hai nghiệm: <br /> c m+4<br /> x1= 1;  x2 = =<br /> a m −1<br /> Trường hợp 2: Phương trình bậc hai có nghiệm nguyên đơn giản, ta  <br /> có thể nhẩm nghiệm như sau:<br /> Phương pháp: <br /> <br />  5<br />  b c<br /> ­ Bước 1: Tính  x1 + x2 = −  và  x1.x2 =<br /> a a<br /> b c<br /> ­ Bước 2: Nếu  − Z  và  Z thì ta dễ dàng tìm được 2 nghiệm của pt.<br /> a a<br /> Ví dụ 3(Bài 31/54 Sgk Toán 9_tập 2) <br /> Nhẩm nghiệm của phương trình sau:<br /> a) x2 ­ 7x + 12 = 0 ; b) x2 + 7x + 12 = 0<br /> Giải:<br /> −b c<br /> a)  Ta có:  3 + 4 = = 7  và  3.4 = = 12 .<br /> a a<br /> Vậy ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 3, x2 = 4. <br />  b) Tương tự như câu a) ta có ­3 + (­4) = ­7 và (­3)(­4) = 12. <br />  Ta nhẩm được hai nghiệm là  x1 = −3; x2 = −4<br /> Bài tập vận dụng: Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau:<br /> 1.  7 x 2 + 500 x − 507 = 0<br /> 2.  1,5 x 2 − 1, 6 x + 0,1 = 0<br /> ( ) (<br /> 3.  2 − 3 x 2 + 2 3x − 2 + 3 = 0 )<br /> Ứng dụng 2: Tìm giá trị  của tham số  khi biết một nghiệm của <br /> phương trình đã cho và tìm nghiệm còn lại.<br /> Phương pháp: <br />       + Cách 1: Thay giá trị  nghiệm đã biết vào phương trình để  tìm tham số,  <br /> sau đó kết hợp với hệ thức Vi­ét để tìm nghiệm còn lại.<br />      + Cách 2: Thay giá trị nghiệm đã biết vào một trong hai hệ thức của Vi­ét  <br /> để tìm nghiệm còn lại, sau đó kết hợp với hệ thức Vi­ét còn lại để tìm giá trị  <br /> của tham số.<br /> Ví dụ 1:(Bài 40/57SBT , Toán 9_tập 2)<br /> Dùng hệ thức Vi – ét để  tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị <br /> của m trong mỗi trường hợp sau:  <br /> a) Phương trình x2 + mx ­ 35 = 0 (1), biết nghiệm x1=7<br /> b) Phương trình x2 ­ 13x + m = 0 (2), biết nghiệm x1=12,5<br /> Giải:  a) Phương trình x2 + mx ­ 35 = 0 (1)<br /> Cách 1: Thay x1 = 7 vào phương trình (1) ta được  m = −2  .<br /> Theo hệ thức Vi­ét, ta có :  x1.x2 = −35 .  Mà x1= 7 nên  x2 = −5  <br /> Cách   2:  Vì   phương  trình  có   nghiệm  nên   theo   hệ   thức   Vi­ét,   ta  có   : <br /> x1.x2 = − 35<br />  Mà x1 = 7 nên  x2 = −5 .<br />   Mặt khác   x1 +  x2 = − m m = −2<br /> b) Đáp số :   x2 = 0,5 , m = 6, 25<br /> <br /> <br /> <br />  6<br /> Nhận xét : Đối với ví dụ trên thì cách 2 giải nhanh hơn và gọn hơn. Tuy nhiên <br /> với ví dụ  2 thì cách một lại nhanh hơn. Vì vậy khi gặp dạng toán này thì tùy  <br /> vào vị trí của tham số mà ta chọn cách giải cho phù hợp.<br /> Bài tập vận dụng: (Bài 40/57SBT , Toán 9_tập 2)<br /> c) Phương trình  4 x 2 + 3 x − m 2 + 3m = 0 , biết nghiệm  x1 = −2<br /> 1<br /> d)  Phương trình  3 x − 2 ( m − 3) x + 5 = 0 , biết nghiệm  x1 =<br /> 2<br /> <br /> 3<br /> Hướng dẫn: <br /> −3 5<br /> c) Theo hệ thức Vi­ét:  −2 + x2 = x2 =<br /> 4 4<br /> − m + 3m<br /> 2<br /> 5 −m + 3m<br /> 2<br />     Mà  x1 x2 =  hay  −2. = m 2 − 3m − 10 = 0 .<br /> 4 4 4<br />  Suy ra  m1 = −2; m2 = 5<br /> e) Đáp số :   x2 = 5 , m = 11<br /> Ứng dụng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử<br />  Phương pháp: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a   0) có nghiệm x1 <br /> và x2 thì tam thức ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)<br /> Ví dụ : (Bài 33/54 SGK Toán 9_tập 2)<br /> Phân tích đa thức thành nhân tử<br /> a) 2x2 – 5x + 3 ; b) 3x2 + 8x + 2<br />            Giải:<br /> 3<br /> a) Phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1 = 1, x2 = <br /> 2<br /> 3<br /> 2 x 2 –  5 x   + 3  = 2 ( x − 1) x − = ( x − 1) ( 2 x − 3)<br /> 2<br /> − 4 + 10<br /> b) Phương trình 3x2 + 8x +2 = 0 có hai nghiệm x1 =  , x2 = <br /> 3<br /> − 4 − 10<br /> 3<br /> 4 − 10 4 + 10<br /> 3 x 2 +  8 x   + 2  = 3 x + x+  <br /> 3 3<br /> Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử<br /> a) x2 – 6x + 9 ; b) 2x2 + 5x + 3<br /> Ứng dụng 4:  Tìm điều kiện của tham số  để  phương trình có hai <br /> nghiệm thỏa mãn hệ thức nào đó. <br /> 4.1. Tính giá trị  của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình <br /> bậc hai đã cho.<br /> <br /> <br /> <br />  7<br />    Phương pháp: Biến đổi biểu thức về  dạng chỉ  chứa tổng và tích hai  <br /> nghiệm, áp dụng hệ thức Vi­ét ta sẽ tính được giá trị của biểu thức chứa các  <br /> nghiệm.<br /> Ví dụ 1 (Bài 6/53 Sách hướng dẫn học toán 9_tập 2,Nhà xuất bản GD)<br />           Cho phương trình  x 2 ­ 5x + 3 = 0. Gọi x 1, x2 là hai nghiệm của phương <br /> trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức sau:<br /> 1 1<br />   a)  A = x + x      ;    b)  B = x12 + x22    ; c) C = x13 + x23         <br /> 1 2<br /> <br /> Giải:<br />  x1 +  x2 = 5  <br /> Vì phương trình có nghiệm x1, x2  nên theo hệ thức Vi­ét  ta có:  x1.x2 =  3<br /> 1 1 x +x S 5<br />           a)  A = x + x = 1x x 2 = P = 3<br /> 1 2 1 2<br /> <br /> b)  B =  x12 +x2 2  = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 =  52 –  2.3  =  19<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br />           c)  C  = x13 +  x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 +  x2 ) = 53 − 3.5.3 = 80    <br /> 3<br /> <br /> <br /> 1 1<br /> ­ Mở rộng bài toán:   d)  D = x14 +  x2 4    ;   e)  E = x 2 + x 2    ;      f)  F = x1 − x2   <br /> 1 2<br /> <br /> d)  D = x14 + x24 = ( x12 + x22 ) − 2 x12 x22 = (S 2 − 2P )2 − 2P 2 = 52 − 2.3 − 2.32 = 343<br /> 2 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1 1 x12 + x22 S 2 − 2 P 52 − 2.3 19<br /> e)  E = + = 2 2 =<br /> x12 x22 x1 x2 P2<br /> =<br /> 32<br /> =<br /> 9<br /> f)  F = x1 − x2 = ( x1 −  x2 ) 2 =   ( x1 + x2 ) 2 −  4 x1 x2   =   52 −  4.3  = 13 <br /> 4.2.  Tìm điều kiện của tham số  để  hai nghiệm của phương trình  <br /> thỏa mãn đẳng thức hoặc bất bẳng thức:<br /> Phương pháp: <br />          ­ Tìm điều kiện của tham số  để  phương trình có nghiệm (hoặc nếu  <br /> nhận thấy phương trình luôn có nghiệm thì chứng minh điều đó)<br /> +Sử dụng một số hệ thức thường gặp:<br />  S = x1 +  x2    <br />   Theo hệ thức Vi­ét  ta có:  P = x1.x2<br /> <br />           x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1x2 = S 2 − 2P    ;           x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S 3 − 3PS<br /> 2 3<br /> <br /> <br /> 1 1 x + x2 S<br /> ( )<br /> 2<br /> x14 + x24 = x12 + x22 − 2 x12 x22 = (S 2 − 2P ) 2 − 2P 2 ; + = 1 =<br /> x1 x2 x1 x2 P<br /> 1 1 x12 + x22 S 2 − 2 P<br />   x2 + x2 = =   ;              x1 − x2 ( x1 −  x2 ) ( x1 + x2 )<br /> 2 2<br /> = =  −  4 x1 x2   =   S 2 −  4 P   <br /> 1 2 x12 x22 P2<br /> + Sử  dụng các hệ  thức trên biến đổi hệ  thức chứa nghiệm về  dạng chỉ  <br /> chứa tổng và tích hai nghiệm, từ  đó áp dụng hệ  thức Vi­ét ta được phương  <br /> trình có ẩn là tham số. Giải phương trình vừa lập ta tìm được giá trị của tham  <br /> số.    <br /> + Đối chiếu giá trị  tìm được của tham số  với điều kiện có nghiệm của  <br /> phương trình đã cho rồi kết luận.<br />  8<br />  Các ví dụ:   <br /> Ví dụ  1: Tìm m để  phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) (1) có <br /> hai nghiệm x1, x2 thoả mãn :<br /> 1 1<br />           a) x12 + x22 = 8   ;    b)  + =3 ; c)  x12 + x22 − 5 x1 x2 = 9<br /> x1 x2<br /> Giải:    Phương trình x2 + 2x + m = 0 là phương trình bậc hai  ẩn x nên ta có <br /> ∆ ' = 1− m<br />            Để phương trình (1) có nghiệm thì  '  0   1 − m 0   m 1 <br /> x1 + x2 = −2<br />           Theo hệ thức Vi­ét ta có: <br /> x1 x2 = m<br /> <br /> a) Ta có : x12 + x22 = (x1+ x2)2 ­ 2x1x2 = 4 ­ 2m<br />     Để  x12 + x22 = 8   4 ­ 2m = 8   m = ­2 (thoả mãn điều kiện)<br /> Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 8   m = ­2 <br /> 1 1 x + x2 −2<br /> b) Ta có  + = 1 =<br /> x1 x2 x1 x2 m<br /> 1 1 −2 −2<br /> Để  + =3 =3 m= (thoả mãn điều kiện)<br /> x1 x2 m 3<br /> 1 1 −2<br /> Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn  + =3 m=<br /> x1 x2 3<br /> <br /> ( x1 + x2 ) 4 ( −2 ) − 7m = 9<br /> 2 2<br /> c) Ta có:  x12 + x22 − 5 x1 x2 = 9 − 7 x1 x2 = 9<br /> <br />                   7m = 7 m = 1  (t/m)<br /> Vậy phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn  x12 + x22 − 5 x1 x2 = 9 m =1<br /> Nhận xét: <br /> Nếu thay đẳng thức ở hai ví dụ trên thành bất đăng thức, thì ta cũng biến <br /> đổi như phần trên và khi đó giải bất phương trình.<br />   Đối với loại hệ  thức bậc nhất giữa hai nghiệm (dạng mx 1  nx2  = p) <br /> hoặc dạng hiệu luỹ thừa của hai nghiệm (dạng x m ­ xn = p ) thì ta thường kết <br /> hợp với một trong hai hệ  thức của Vi­ét để  được hệ  phương trình. Giải hệ <br /> phương trình đó ta tìm được hai nghiệm, thay vào hệ thức còn lại của Vi­ét ta <br /> tìm được giá trị của tham số.<br /> Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số)  có hai <br /> nghiệm x1, x2 thoả mãn :<br />           a) 3x1 + 2x2 = 1       ;     b) x12 ­ x22 = 6  <br /> Giải:    Phương trình x  + 2x + m = 0 là phương trình bậc hai  ẩn x nên ta có <br /> 2<br /> <br /> ∆ ' = 1− m<br /> <br />  9<br />            Để phương trình có nghiệm thì  '  0   1 − m 0   m 1 <br /> x1 + x2 = −2<br />           Theo hệ thức Vi­ét ta có: <br /> x1 x2 = m<br /> x1 + x2 = −2 (1)<br /> a) Kết hợp giả thiết với hệ thức Vi­ét ta có hệ:   3x1 + 2 x2 = 1 (2)    <br /> x1 x2 = m (3)<br />             Giải hệ  (1), (2)  ta được  x1= 5; x2= ­7<br />             Thay vào (3) ta được m = ­35 (thoả mãn điều kiện)<br /> x12 − x22 = 6 (1)<br /> b) Kết hợp giả  thiết với hệ  thức Vi­ét ta có hệ:  x1 + x2 = −2 (2)  Giải hệ  (1), <br /> x1 x2 = m (3)<br /> 5 1 5<br /> (2) ta được x1= −   ;   x2  =   . Thay vào (3) ta được m = ­   (thoả  mãn điều <br /> 2 2 4<br /> kiện)<br /> Bài tập áp dụng:<br /> Bài tập 1: Cho phương trình  mx2 ­ 2(m + 1)x + (m ­ 4) = 0  ( m là tham số) (1)<br /> Tìm giá trị m để:<br /> a) Phương trình (1) có nghiệm.<br /> b) Phương trình (1) có các nghiệm x1, x2 thoả mãn:  x1 = 2x2<br /> c) Phương trình (1) có các nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + 4x2 = 3.<br /> d) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm  x1, x2 không phụ thuộc vào m.<br /> Bài  tập 2:  Cho phương trình    2 x 2 − 4mx + 2m 2 − 1 = 0 (2)  ( m là tham số)<br /> Tìm   m   để   phương   trình   (2)   có   hai   nghiệm   x1;   x2  thoã   mãn: <br /> 2 x1 + 4mx2 + 2m 2 − 1 > 0 .<br /> 2<br /> <br /> <br /> 4.3. Tìm điều kiện của tham số để  biểu thức chứa hai nghiệm của  <br /> phương trình đạt các giá trị cực trị:<br />     Phương pháp: <br />           +Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.<br />           + Biến đổi biểu thức về dạng chỉ chứa tổng và tích hai nghiệm, từ đó  <br /> vận dụng hệ  thức Vi­ét đưa biểu thức về  dạng chỉ  chứa tham số. Từ  đó sử  <br /> dụng các phương pháp tìm cực trị, các phương pháp chứng minh bất đẳng  <br /> thức ta sẽ giải được bài toán (chú ý điều kiện có nghiệm).<br />   Ví dụ:  Cho phương trình x2 ­ 2(m ­ 1)x + m ­ 5 = 0  (m là tham số).  <br /> Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị  nào của m thì biểu <br /> thức:<br /> a)   A = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.<br /> 2 2<br /> <br /> <br /> b)   B = x1 x2 − x1 − x2  đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.<br /> 2 2<br /> <br /> <br /> Giải:  <br />  10<br />  2<br /> 3 15<br /> Ta có  ∆ '   =   ( m − 1) − ( m   − 5 ) = m − 3m + 6 = m −<br /> 2 2<br /> + > 0 , nên phương<br /> 2 4<br /> trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.<br />      Theo hệ  thức Vi­ét ta có: x1+ x2 = 2(m ­ 1)  và x1x2 = m ­ 5<br /> a) Ta có: A = x12+ x22 = (x1+x2)2 ­ 2x1x2  = 4(m ­ 1)2 ­ 2(m ­ 5) <br /> 2<br /> 5 31<br />                                     = 4m  ­ 10m +14 =  2m −<br /> 2<br /> +<br /> 2 4<br /> 2<br /> 5 5 31 31<br /> Vì  (2m − ) 2 0∀m , nên  2m − +<br /> 2 2 4 4<br /> 5 5<br /> Dấu “=” xảy ra khi  2m − = 0 m= (t/m)<br /> 2 4<br /> 31 5<br /> Vậy Amin =    khi   m = <br /> 4 4<br /> b) Ta có:  B = x1 x2 − x12 − x22 = 3x1 x2 − ( x1 + x2 )<br /> 2<br /> <br /> <br /> 11 2 183<br /> B = 3 ( m − 5 ) − 4 ( m − 1) = −4m 2 + 11m − 19 = −4( m −<br /> 2<br />             ) −<br /> 8 16<br /> 11 2 11 2 183 183<br /> Vì  −4(m − ) 0∀m , nên  −4( m − ) − −<br /> 8 8 16 16<br /> 11 11<br /> Dấu “=” xảy ra khi  m − =0 m=  (t/m)<br /> 8 8<br /> −183 11<br /> Vậy  BMa x = m=<br /> 16 8<br /> Bài tập áp dụng:<br /> Bài tập 1: Cho phương trình: x2 ­ mx+ (m ­ 2)2 = 0. Tìm giá trị  lớn nhất và <br /> nhỏ nhất của biểu thức: A = x1x2 + 2x1 + 2x2<br /> 1<br /> Bài tập 2: Cho phương trình:  x 2 2m 1 x m 2 0      (1)<br /> 2<br /> 1) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt?<br />         2) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, <br /> x2 sao cho biểu thức  M x1 1 . x2 1  đạt giá trị nhỏ nhất? <br /> Ứng dụng  5:     Tìm   hệ  thức  liên hệ   giữa  hai  nghiệm  không phụ <br /> thuộc vào tham số<br />      Phương pháp:   <br />           + Với dạng này thì cách giải chung là theo hệ  thức Vi­ét ta có hai hệ  <br /> thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình. Từ  một trong hai hệ thức ta  <br /> biểu diễn tham số theo hai nghiệm, sau đó thế vào hệ thức còn lại ta được hệ  <br /> thức cần tìm. <br />           + Hoặc dùng quy tắc cộng để khử tham số từ hai hệ thức.<br />      (Cần chú ý đến điều kiện có hai nghiệm của phương trình).<br /> Các ví dụ:   <br />  11<br />  Ví dụ 1 :  Cho phương trình x2 ­ 2(m + 1) x + m = 0  (1).Tìm hệ thức liên <br /> hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.<br /> 2<br /> 1 3<br /> Giải:  Ta có     ' =  ( m + 1) − 1 = m + m + 1 = m +<br /> 2 2<br /> +<br /> 2 4<br /> 2 2<br /> 1 1 3<br />         Vì  m + 0∀m m+ + > 0∀m  hay  ' > 0  ∀m<br /> 2 2 4<br />        Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.<br /> x1 + x2 = 2(m + 1) (1)<br />        Theo hệ thức Vi­ét ta có  <br /> x1 x2 = m (2)<br />          Từ  (1)  và (2) ta được    x1 + x2 = 2 ( x1 x2 + 1)  là hệ  thức liên hệ  giữa hai <br /> nghiệm không phụ thuộc vào m.<br /> Ví dụ  2: Cho phương trình mx2 ­ 2(m ­ 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số  ). <br /> Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ  thức liên hệ  giữa hai nghiệm  <br /> không phụ thuộc vào m.<br /> Giải :<br />      Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm nên nó là phương trình bậc hai, <br /> do đó  m 0<br />      Theo giả thiết phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi­ét ta <br /> có:<br /> 2(m − 3) 6<br /> x1 + x2 = = 2− (1)<br /> m m<br />                                      m +1 1<br />  <br /> x1 x2 = = 1+ (2)<br /> m m<br /> 6<br /> Ta có (2)   6x1x2 = 6 +    (3).<br /> m<br /> Cộng vế với vế của (1) và (3) ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8.<br /> Vậy hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là:<br /> x1 + x2 + 6x1x2 = 8.<br /> Bài tập áp dụng : Cho phương trình  x − 2 ( m + 2 ) x + m + 4m + 3 = 0 . Tìm <br /> 2 2<br /> <br /> <br /> hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.<br /> Ứng dụng 6:  Lập phương trình bậc hai:<br /> S =u+v<br /> Phương pháp: Nếu có hai số u và v thoã mãn:     thì u và v là hai <br /> P = u.v<br /> nghiệm của phương trình:   x2 – Sx + P = 0 (1).  Điều kiện để có hai số u và v <br /> là: S2 – 4P   0.<br /> 6.1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2:<br /> Phương pháp: ­ Tính tổng và tích các nghiệm đề bài yêu cầu.<br />  12<br />                             ­ Sử dụng ứng dụng (1)  để lập phương trình <br /> Ví dụ 1: Tìm u ,v biết: u + v = 5 và uv = 6.<br /> Giải: <br /> S =u+v =5<br /> Theo hệ thức Vi­ét, ta có : . Vậy u; v là nghiệm của phương <br /> P = uv = 6<br /> trình có dạng:  x 2 –  Sx   +  P   =  0 hay x 2 –  5 x   +  6  =  0 .<br /> Giải phương trình ta tìm được u = 3, v = 2 hoặc u = 2 , v = 3<br /> Ví dụ 2(Bài 5/53 Sách hướng dẫn học toán 9_Tập 2, Nhà xuất bản GD)  <br />  Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên.<br /> 1<br /> a) – 3 và 7  b) 2 và  c)  1 − 3  và  2 + 3<br /> 3<br /> Giải: <br /> S = −3 + 7 = 4<br /> a) Ta có : (– 3) và 7 là nghiệm của phương trình có dạng: <br /> P = −3.7 = −21<br /> x 2 –  Sx   +  P   =  0 x 2 –  4 x   − 21 =  0 .<br /> 7 2<br /> b) Đán số:  x 2 − x + = 0<br /> 3 3<br /> S = 1− 3 + 2 + 3 = 3<br /> c) Ta có :   1 − 3   và   2 + 3   là nghiệm của <br /> ( )( ) (<br /> P = 1− 3 . 2 + 3 = − 3 +1 )<br /> phương trình:   x 2 − 3x + ( 3 + 1) = 0<br /> Bài tập áp dụng: Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:<br /> 1<br />      a)  ­5 và 8 ; b)   α  và  3α ; c)  3 − 2  và <br /> 3− 2<br /> 6.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức <br /> chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.<br /> Ví dụ 3(Bài 7/53 Sách hướng dẫn học toán 9_Tập 2, Nhà xuất bản GD)  <br /> Cho phương trình    2 x 2 − x − 15 = 0  có nghiệm x1, x2. Không giải phương <br /> trình, hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường  <br /> hợp sau:<br /> 1 1<br /> a) và  ; b)  1 + x1  và  1 + x2<br /> x1 x2<br /> Giải: <br /> Phương trình  2 x 2 − x − 15 = 0  có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Vi­ét ta có:<br /> 1 15<br />  và  x1 x2 = −<br /> x1 + x2 =<br /> 2 2<br /> 1 1 x1 + x2 −1 1 1 1 −2<br /> a) Ta có:  + = =  ;  . = =<br /> x1 x2 x1 x2 15 x1 x2 x1 x2 15<br /> <br /> <br /> <br />  13<br />  1 1 1 2<br /> Vậy x , x  là hai nghiệm của phương trình: x 2 + x − = 0  hay 15 x 2 + x − 2 = 0<br /> 1 2 15 15<br /> 1 5<br /> b) Ta có:  ( 1 + x1 ) + ( 1 + x2 ) = 2 + ( x1 + x2 ) = 2 + =<br /> 2 2<br /> 1 −1 43<br />         ( 1 + x1 ) . ( 1 + x2 ) = 1 + ( x1 + x2 ) + x1.x2 = 1 + + =<br /> 2 15 30<br /> 5 43<br /> Vậy 1 + x1  và 1 + x2  là hai nghiệm của phương trình: x 2 − x + =0<br /> 2 30<br /> 1 1<br /> Bài tập áp dụng:   x1 + và  x2 +<br /> x2 x1<br /> 6.3. Giải hệ phương trình: <br /> Ứng dụng (1) thường được sử  dụng vào giải hệ  phương trình đối xứng  <br /> f ( x, y ) = 0 f ( y, x) = 0<br /> hai ẩn có dạng: <br /> g ( x, y ) = 0 g ( y, x) = 0<br /> Để giải loại hệ này ta tiến hành như sau:<br /> ­ Biểu diễn từng phương trình qua x + y và xy<br /> ­ Đặt S = x + y và P = xy, ta được một hệ mới chứa hai ẩn S và P.<br /> ­ Giải hệ mới để tìm S và P.<br /> ­ Các số cần tìm là nghiệm của phương trình   t 2 − St + P = 0.<br /> Theo yêu cầu của bài mà giải phương trình tìm t hoặc biện luận phương <br /> trình chứa t để rút ra kết luận mà đề bài đặt ra.<br />  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: <br /> x+ y =3 x− y =2<br />           a)                   b)  <br /> x2 + y 2 = 5 x + y 2 = 34<br /> 2<br /> <br /> <br /> Giải:<br /> a) Đặt S = x + y;   P = xy ,  ta có hệ phương trình:<br /> S =3 S =3 x+ y =3<br />                              . Do đó ta có: <br /> S − 2P = 5<br /> 2<br /> P=2 xy = 2<br /> Suy ra x, y là nghiệm của phương trình   X2 ­ 3X + 2 = 0<br /> Giải phương trình ta được X1 = 1; X2 = 2 .       <br /> Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  là :  ( x1 ; y1 ) = ( 1; 2 ) ,  ( x2 ; y2 ) = ( 2;1)<br /> b) Đặt S = x ­ y; P = xy ta có hệ phương trình:<br /> S =2 S =2 x− y =2<br />                      Do đó ta có: <br /> S 2 + 2 P = 34 P = 15 xy = 15<br /> Suy ra   x + (­y) = 2 và  x(­y) = ­15  hay  x và (­y) là nghiệm của phương trình<br />                X2 ­ 2X ­ 15 = 0,  giải ra ta được X1 = 3; X2 = ­5<br /> Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  là :  ( x1 ; y1 ) = ( 3;5 ) ,  ( x2 ; y2 ) = ( 5;3) .<br /> Ví dụ 5:  Giải hệ phương trình:<br /> x 2 + xy + y 2 = 4 xy ( x + 1)( y − 2) = −2<br />            a)           b) <br /> x + xy + y = 2 x2 + x + y 2 − 2 y = 1<br /> <br /> <br />  14<br /> Giải:<br /> S2 − P = 4<br />       a)   Đặt S = x + y; P = xy  ta có hệ phương trình :        <br /> S+P=2<br />              S = 2 ,  P = 0 hoặc S = ­3;  P = 5<br /> x+ y = 2 x + y = −3<br /> Do đó ta có:      hoặc <br /> xy = 0 xy = 5<br /> Suy ra    x, y  là nghiệm phương trình  X2 ­ 2X = 0 (1)  hoặc  X2 + 3X + 5 = 0 <br /> (2)<br /> Giải (1) được: X1 = 0; X2 = 2.<br /> Giải (2):  ∆ = 32 − 4.1.5 = −11 < 0    phương trình (2) vô nghiệm.<br /> Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  là :  ( x1 ; y1 ) = ( 0; 2 ) ,  ( x2 ; y2 ) = ( 2;0 )<br />            b)       Đặt   x2  + x = S;     y2  ­ 2y = P ta đưa về  hệ  đối xứng hai  ẩn sau: <br /> SP = −2<br />       <br /> S + P =1<br /> Suy ra S, P là nghiệm phương trình  X2 ­ X ­ 2 = 0.<br /> S 1 S 2<br />  Giải ra ta được X1= ­1;  X2 = 2. Vậy   hoặc <br /> P 2 P 1<br /> x + x = −1<br /> 2<br /> x +x=2 2<br /> <br />  Từ đó ta có  (I)     ho ặ c  (II)<br /> y2 − 2 y = 2 y 2 − 2 y = −1<br /> Hệ (I) vô nghiệm. Hệ (II) có hai nghiệm là:  ( x1 ; y1 ) = ( 1;1) ,  ( x2 ; y2 ) = ( −2;1)<br /> Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:  ( x1 ; y1 ) = ( 1;1) ,  ( x2 ; y2 ) = ( −2;1)<br /> Bài tập áp dụng  ( Đề thi HSG tỉnh Đăklăk năm học 2010 – 2011)<br /> xy − x + y = 7<br /> Giải hê ph<br /> ̣ ương trinh : <br /> ̀     (I)<br /> x 2 + y 2 + 2 x − 2 y = 11<br /> Hướng dẫn: <br /> ( x+1) ( y −1) = 6<br /> ̣ ương trinh (I)<br /> Hê ph ̀ Đặt u = x+1; v = y­1. Ta có <br /> ( x+1) 2 + ( y −1) 2 =13<br /> ( u + v)<br /> 2<br /> = 25<br />        <br /> uv = 6<br /> Có hai trường hợp :<br /> u+v =5 u =3 u=2 x=2 x =1<br /> +Trường hợp 1:   <br /> uv = 6 v=2 v=3 y=3 y=4<br /> u + v = −5 u = −3 u = −2 x = −4 x = −3<br /> + Trường hợp 2: <br /> uv = 6 v = −2 v = − 3 y = −1 y = −2<br /> Ứng dụng 7:  Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai<br /> Phương pháp: Dựa vào quan hệ về  dấu của tổng và tích hai số  với dấu của  <br /> hai số  đó, kết hợp với hệ  thức Vi­ét thì ta sẽ  xét được dấu của hai nghiệm  <br /> hoặc tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm thoả mãn điều kiện về dấu. <br /> <br />  15<br />  Dấu nghiệm x1 x2 S P ∆ Điều kiện chung<br /> Trái dấu  m P  0 ∆ 0 ∆ 0 ; P > 0<br /> Cùng dương  + + S > 0 P > 0 ∆ 0 ∆ 0 ; P > 0 ; S > 0<br /> Cùng âm  ­ ­ S  0 ∆ 0 ∆ 0  , P > 0 và S  0<br />       c)  Ta có  S = 5 > 0 nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  <br /> P =1> 0<br /> ∆' = 2 > 0<br />        d) Ta có  S = −5 < 0  nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt<br /> P =1> 0<br /> Ví dụ 2:  Cho phương trình: x2 + (2m ­ 1)x + m ­ 1 = 0 (m tham số)  (1)<br /> Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có:<br />          a) Hai nghiệm trái dấu.<br />          b) Hai nghiệm phân biệt đều âm.<br />          c) Hai nghiệm phân biệt đều dương.<br />          d) Hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.<br /> Giải: <br /> Ta có:  ∆ = ( 2m − 1) − 4. ( m − 1) = 4m 2 − 4m + 1 − 4m + 4 = 4m 2 − 8m + 5 = 4 ( m − 1) + 1<br /> 2 2<br /> <br /> <br /> <br />               Vì  4 ( m − 1) 0∀m 4 ( m − 1) + 1 > 0∀m  với mọi m).<br /> 2 2<br /> <br /> <br />      ∆ > 0∀m  <br /> a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi P <br />                              S < 0 1 − 2m < 0 2 m > 1         <br /> P >0 m −1 > 0 m >1<br /> c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi<br /> ∆>0 ∀m 1<br /> m<<br />                        S >0 1 − 2m > 0 2 không có giá trị  nào của m thoả mãn<br /> P>0 m −1 > 0 m >1<br /> <br />  16<br /> d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau <br /> tức là phương trình có hai nghiệ