SKKN: Một vài ứng dụng của véc tơ

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

107
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là Làm tài liệu giảng dạy và tham khảo. Phát triển các hướng tư duy: phân tích, tổng hợp, sáng tạo,… cho học sinh. Thấy được mối liên hệ mật thiết giữa đại số- giải tích với hình học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Một vài ứng dụng của véc tơ

MỤC LỤC PHẦN I. LỜI GIỚI THIỆU ..................................................................................................................................................... 1 PHẦN II. TÊN SÁNG KIẾN .................................................................................................................................................... 1 1. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN ..................................................................................................................................................... 1 2. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN ............................................................................................................................. 1 PHẦN III. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN.................................................................................................................... 1 PHẦN IV. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ ......................................................... 1 PHẦN V. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN ................................................................................................................ 1 A. CƠ SỞ LÝ LUẬN................................................................................................................................................................. 1 B.CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ............................................................................................................................... 2 C. MỤC ĐÍCH........................................................................................................................................................................... 2 D. NỘI DUNG ........................................................................................................................................................................... 2 I. LÝ THUYẾT.......................................................................................................................................................................... 2 1. Các kiến thức về véc tơ trong mặt phẳng ............................................................................................................................ 2 2.Các kiến thức về véc tơ trong không gian ........................................................................................................................... 6 3.Bổ sung ................................................................................................................................................................................... 7 II.CÁC ỨNG DỤNG ................................................................................................................................................................ 8 1)CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ ĐỘ DÀI .................................................................................................................................. 8 2)CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH,GÓC,CHỨNG MINH QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG .......... 10 3)CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC................................12 4)CÁC BÀI TOÁN VỀ BĐT ĐẠI SỐ .................................................................................................................................... 15 PHẦN 6.THÔNG TIN BẢO MẬT......................................................................................................................................... 17 PHẦN VII.CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN ......................................................................... 18 PHẦN VIII. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ VÀ THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU KỂ CẢ ÁP DỤNG THỬ (NẾU CÓ) ............................................................................................ 18 PHẦN IX. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ............................................................................................................................................. 18 PHẦN X. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN ...................................................................................................................... 18 PHẦN XI. DANH SÁCH CÁC TỔ CHỨC CÁ NHÂN THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU ..................... 18
DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT Chữ viết tắt Nội dung GD&ĐT Giáo dục và đào tạo GV Giáo viên HS Học sinh SGK Sách giáo khoa THPT Trung học phổ thông
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN PHẦN I. LỜI GIỚI THIỆU Véc tơ là khái niệm mới mẻ đối với học sinh lớp 10,các nội dung về véc tơ vì thế đối với phần lớn học sinh là khó,rất trừu tượng và phức tạp,nên học sinh rất ngại học phần hình học liên quan đến khái niệm mới này.Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy môn toán, và với sự tìm tòi của bản thân,tôi lại thấy đây là một nội dung khá hay mà có thể giải quyết được nhiều bài toán mà việc giải quyết bằng phương pháp khác còn vất vả hơn nhiều.Vì vậy tôi viết chuyên đề này với mong muốn các bạn học sinh có cái nhìn thiện cảm hơn đối với khái niệm véc tơ, thấy được cái hay cái đẹp của nó đối với môn toán.Đây cũng coi như là một tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi đại học. PHẦN II. TÊN SÁNG KIẾN “ MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA VÉC TƠ” 1. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN - Họ và tên: Đường Thị Yến. - Địa chỉ: Trường THPT Yên Lạc. - Số điện thoại: 0985568523. - Email: yen0985568@gmail.com. 2. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN Tác giả sáng kiến đồng thời là chủ đầu tư của sáng kiến kinh nghiệm. PHẦN III. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Sáng kiến được áp dụng đối với dạy học véc tơ lớp 10 THPT. PHẦN IV. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC DÙNG THỬ Ngày 10 tháng 10 năm 2019. PHẦN V. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN A. CƠ SỞ LÝ LUẬN - Nội dung của chương trình toán THPT. - Một số tài liệu tham khảo. 1
B.CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết và thực tiễn. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm C. MỤC ĐÍCH : - Làm tài liệu giảng dạy và tham khảo . - Phát triển các hướng tư duy : phân tích, tổng hợp, sáng tạo,…cho học sinh. - Thấy được mối liên hệ mật thiết giữa đại số- giải tích với hình học. D. NỘI DUNG I. Lý thuyết: 1) Các kiến thức về véctơ trong mặt phẳng Oxy .(SGK HH – 10) 1. 1 c¸c ®Þnh nghÜa 1.1.1 kiÕn thøc cÇn nhí a)vect¬ lµ g× ? VÐct¬ lµ mét ®o¹n th¼ng cã ®Þnh híng:  Mét ®Çu ®îc x¸c ®Þnh lµ gèc, cßn ®Çu kia lµ ngän.  Híng tõ gèc ®Õn ngän gäi lµ híng cña vÐct¬.  §é dµi cña ®o¹n th¼ng gäi lµ ®é dµi cña vÐct¬. b)Vect¬ kh«ng §Þnh nghÜa: Vect¬ kh«ng lµ vect¬ cã ®iÓm ®Çu vµ ®iÓm cuèi trïng nhau.  Nh vËy, vÐct¬ kh«ng, kÝ hiÖu 0 lµ vect¬ cã:  §iÓm gèc vµ ngän trïng nhau.  §é dµi b»ng 0. c)Hai vect¬ cïng ph¬ng   Hai vect¬ AB , CD gäi lµ cïng ph¬ng, ký hiÖu:    AB// CD AB // CD  .  A,B,C,D th ¼ng hµng d)Hai vect¬ cïng híng, ngîc híng   a. Hai vÐct¬ AB , CD gäi lµ cïng híng , ký hiÖu:    AB // CD AB  CD   hai tia AB,CD cïng h íng .    b. Hai vÐct¬ AB , CD gäi lµ ngîc híng, ký hiÖu:    AB // CD AB  CD   hai tia AB,CD ng îc h íng .  2
e)Hai vect¬ b»ng nhau   Hai vÐct¬ AB , CD gäi lµ b»ng nhau, ký hiÖu:   AB  CD AB = CD    . AB  CD 1.1.2 tæng cña hai vect¬   a)§Þnh nghÜa: Tæng cña hai vect¬ a vµ b lµ mét vÐct¬ ®îc x¸c ®Þnh nh sau:    Tõ mét ®iÓm tïy ý A trªn mÆt ph¼ng dùng vect¬ AB = a .    Tõ ®iÓm B dùng vect¬ BC = b .     Khi ®ã vÐct¬ AC gäi lµ vect¬ tæng cña hai vect¬ a vµ b , ta viÕt    AC = a + b . b B a a b ab A C Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta ®îc quy t¾c ba ®iÓm:    AB + BC = AC , víi ba ®iÓm A, B, C bÊt k×. b)TÝnh chÊt cña phÐp céng vÐct¬    Víi mäi vÐct¬ a , b vµ c , ta cã:     TÝnh chÊt 1: (TÝnh chÊt giao ho¸n): a + b = b + a .       TÝnh chÊt 2: (TÝnh chÊt kÕt hîp): ( a + b ) + c = a + ( b + c ).      TÝnh chÊt 3: (TÝnh chÊt cña vect¬ kh«ng): a + 0 = 0 + a = a . c)Quy t¾c h×nh b×nh hµnh:    AB + AD = AC , víi ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.    Ta cã "NÕu M lµ trung ®iÓm ®o¹n th¼ng AB th× MA + MB = 0 ". Ta cã "Gäi G lµ träng t©m ABC th×:     GA + GB + GC = 0 ,        MA  MB  MC  3MG, M. + GB + GC = 0 ". 1.1.3 hiÖu cña hai vect¬ a)Hai vect¬ ®èi nhau   Hai vÐct¬ AB , CD gäi lµ ®èi nhau, ký hiÖu:   AB  CD AB =- CD     . AB  CD 3
b)HiÖu cña hai vect¬      §Þnh nghÜa: HiÖu cña hai vÐct¬ a vµ b , kÝ hiÖu a - b , lµ tæng cña vect¬ a vµ  vect¬ ®èi cña vect¬ b , nghÜa lµ:     a - b = a + (- b ). PhÐp lÊy hiÖu cña hai vect¬ gäi lµ phÐp trõ vect¬.     §Ó dùng vect¬ a - b khi biÕt c¸c vect¬ a vµ b ta lÊy ®iÓm A tuú ý, tõ ®ã dùng        vect¬ AB = a vµ AC = b , khi ®ã CB = a - b . b B a ab a A C b Tõ c¸ch dùng trªn ta ®îc quy t¾c hiÖu hai vect¬ cïng gèc:    AB - AC = CB , víi ba ®iÓm A, B, C bÊt k×. c)TÝnh chÊt cña phÐp trõ vÐct¬       a-b = c  a = b + c. 1.1.4 tÝch cña mét vect¬ víi mét sè   a)§Þnh nghÜa: TÝch cña vect¬ a víi mét sè thùc k lµ mét vect¬, kÝ hiÖu k a ®îc x¸c ®Þnh nh sau:   a. Vect¬ k a cïng ph¬ng víi vect¬ a vµ sÏ :   Cïng híng víi vect¬ a nÕu k  0.   Ngîc híng víi vect¬ a nÕu k  0.  b. Cã ®é dµi b»ng k. a . PhÐp lÊy tÝch cña mét vect¬ víi mét sè gäi lµ phÐp nh©n vect¬ víi sè (hoÆc phÐp nh©n sè víi vect¬). Tõ ®Þnh nghÜa trªn ta cã ngay c¸c kÕt qu¶:     1. a = a , (-1). a = - a . b)TÝnh chÊt cña phÐp nh©n vect¬ víi sè   Víi mäi vÐct¬ a , b vµ c¸c sè thùc m, n, ta cã:   TÝnh chÊt 1: m(n. a ) = (mn). a .    TÝnh chÊt 2: (m + n). a = m. a + n. a .     TÝnh chÊt 3: m( a + b ) = m. a + n. b .     TÝnh chÊt 4: m a = 0  a = 0 hoÆc m = 0. c)®iÒu kiÖn ®Ó hai vect¬ cïng ph¬ng  §Þnh lÝ 1 (Quan hÖ gi÷a hai vect¬ cïng ph¬ng): Vect¬ b cïng ph¬ng víi     vect¬ a  0 khi vµ chØ khi tån t¹i sè k sao cho b = k a . 4
HÖ qu¶: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ba ®iÓm A, B, C th¼ng hµng lµ tån t¹i sè k sao cho   AB = k AC . d)BiÓu thÞ mét vect¬ qua hai vect¬ kh«ng cïng ph¬ng  §Þnh lÝ 2 (Ph©n tÝch mét vect¬ thµnh hai vect¬ kh¸c 0 kh«ng cïng ph¬ng):     Cho hai vect¬ a vµ b kh¸c 0 vµ kh«ng cïng ph¬ng. Víi mäi vect¬ c bao giê còng t×m ®îc mét cÆp sè thùc m, n duy nhÊt, sao cho:    c = ma + nb. 1.1.5. HÖ to¹ ®é a)Vect¬  Cho 2 ®iÓm M1(x1; y1), M1(x2; y2) th× M1M 2 = (x2-x1; y2-y1) b)C¸c phÐp to¸n Vect¬ NÕu cã hai vect¬ v1 (x1; y1) vµ  v 2 (x2; y2) th×:   x  x (i): v1 = v2   1 2.  y1  y2   x1 y1 (ii): v1 // v 2   . x 2 y2   (iii): v1 + v 2 = (x1 + x2; y1 + y2).   (iv): v1 - v 2 = (x1-x2; y1-y2).  (v): k v1 (x1; y1) = (kx1; ky1) , k   .   (vi):  v1 +  v 2 = (x1 + x2; y1 + y2). c)Kho¶ng c¸ch  Kho¶ng c¸ch d gi÷a hai ®iÓm M1(x1; y1) vµ M1(x2; y2) lµ ®é dµi cña vect¬ M1M 2 , ®îc cho bëi:  d = | M1M 2 | = (x1  x 2 ) 2  (y1  y 2 ) 2 . d)Chia mét ®o¹n th¼ng theo mét tØ sè cho tríc   §iÓm M(x; y) chia ®o¹n th¼ng M1M2 theo mét tØ sè k (tøc lµ MM1 = k MM 2 ) ®îc x¸c ®Þnh bëi c¸c c«ng thøc:  x1  kx 2  x  1  k  .  y  y1  ky 2  1 k §Æc biÖt nÕu k = -1, th× M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng M1M2 , khi ®ã to¹ ®é cña M ®îc x¸c ®Þnh bëi:  x1  x 2  x  2  .  y  y1  y 2  2 5
e)Ba ®iÓm th¼ng hµng Ba ®iÓm A(x1; y1) , B(x2; y2) vµ C(x3; y3) th¼ng hµng khi vµ chØ khi:   x 3  x1 y 3  y1 AC // AB  = . x 2  x1 y 2  y1 2) Các kiến thức về véctơ trong không gian Oxyz.(SGK HH – 12) 2.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT:  Trong  không gian Oxyz cho: A  x A ; y A ; z A  , B  x B ; y B ; z B  và a   a1;a 2 ;a 3  , b   b1; b 2 ;b3  . Khi đó:  1. AB   x B  x A ; y B  y A ;z B  z A  2 2 2 2. AB   xB  xA    yB  yA    zB  z A     3) a  b   a1  b1 ;a 2  b 2 ;a 3  b3  4. k.a   ka1;ka 2 ; ka 3     5. a  a12  a 22  a 32 6. a  b  a1  b1 ;a 2  b 2 ;a 3  b 3  7. a.b  a1.b1  a 2 .b 2  a 3 .b 3        a a a 8. a / /b  a  k.b   a, b   0  1  2  3 b1 b 2 b 3    9. a  b  a.b  0  a1.b1  a 2 .b 2  a 3 .b3  0    a a 3 a 3 a1 a1 a 2  10. a, b    2 ; ;   b 2 b3 b3 b1 b1 b 2           11) a, b,c đồng phẳng  m, n   : a  mb  nc hay a, b  .c  0          12) a, b,c không đồng phẳng  m, n   : a  mb  nc hay a,b  .c  0 13. M chia đoạn AB theo tỉ số    x  kx B y A  ky B z A  kz B  k  1  MA  kMB  M  A ; ; .  1 k 1 k 1 k  x A  x B yA  yB zA  zB  Đặc biệt: M là trung điểm AB: M  ; ; .  2 2 2  x A  x B  x C yA  yB  yC z A  z B  z C  14. G là trọng tâm tam giác ABC: G  ; ;   3 3 3  15. G là trọng tâm tứ diện ABCD:  x  x B  x C  x D yA  yB  yC  y D z A  z B  z C  z D  G A ; ;   4 4 4  6
   16. Véctơ đơn vị: i  (1;0;0); j  (0;1;0);k  (0;0;1) 17. Điểm trên các trục tọa độ: M(x;0;0)  Ox; N(0; y;0)  Oy;K(0;0;z)  Oz 18. Điểm thuộc các mặt phẳng tọa độ: M(x; y;0)   Oxy  ; N(0; y; z)   Oyz  ; K(x;0;z)   Oxz  . 1   19. Diện tích tam giác ABC: SABC   AB, AC  2     20. Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD   AB, AC  1    21. Thể tích khối tứ diện ABCD: VABCD   AB, AC  .AD 6      22. Thể tích khối hộp ABCD.A 'B'C 'D ' : VABCD.A ' B ' C ' D '   AB, AD  .AA ' 3) Bổ sung một số kiến thức: 3.1)Trọng tâm,tâm tỉ cự  a) Định nghĩa 1: Cho hệ điểm A ,A ,...,A . 1 2 n  n   được gọi là trọng tâm của hệ điểm trên. Điểm G thỏa mãn :  GA  0 i1 i Định lí : (1) Trọng tâm của hệ điểm luôn tồn tại và duy nhất.  1 n  (2) Nếu G là trọng tâm của hệ điểm  A ,A ,...,A  thì OG  1 2 n   OA  O  n i1 i b) Định nghĩa 2: Cho hệ điểm  A ,A ,...,A  và bộ số  x ,x ,...,x  có tổng  1 2 n  1 2 n   được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm khác 0.Điểm G thỏa mãn : n x GA  =0 i=1 i i    A ,A ,...,A n  ứng với bộ số  x ,x ,...,x n  .  1 2   1 2  Định lí : (1) Tâm tỉ cự của hệ điểm luôn tồn tại và duy nhất. 7
(2) Nếu G là tâm tỉ cự của hệ điểm  A ,A ,...,A  ứng với bộ số  1 2 n    x ,x ,...,x n  .  1 2  n   x OA thì  i 1 i i OG  n O  x i 1 i   3.2) Định lí 1: Với hai vectơ bất kì u,v ta luôn có     a ) u v  u  v     b ) u.v  u . v 3.3) Định lí 2: a) Ba điểm M,A,B thẳng hàng   O, luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (x,y) thỏa mãn :    x + y = 1 và OM = xOA+ yOB b) Bốn điểm M,A,B,C đồng phẳng   O, luôn tồn tại duy nhất bộ số thực (x,y,z) thỏa     mãn : x +y +z =1 và OM = xOA + yOB+ zOC . II.CÁC ỨNG DỤNG: 1) CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ ĐỘ DÀI : Thường sử dụng điều kiện để hai vectơ cùng phương , ( điều kiện 3 điểm thẳng hàng),ba vectơ đồng phẳng (đk 4 điểm đồng phẳng),… Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho BC = 3BM, điểm N trên cạnh AM sao cho AM = 4AN. Gọi P là giao điểm của AC và BN. A Tính các tỉ số AP:AC và BI:BP P N B C M 8
Lời giải :       Đặt BA  a;BM  b và AP  xAC .         Dễ thấy u  4BN  3a  b ;v  BP  (1 x)a  3xb Hai vectơ đó cùng phương nên 1.(1-x)=3.3x hay x = 1/10 Tức là AP:AC=1:10. Từ đó BI:BP = 5:6 Chú ý : bài toán trên có thể giải bằng cách dựng hình rồi áp dụng định lí Talets. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Một điểm I bất kì chạy trên đoạn AM( khác với A), đường thẳng bất kì qua I cắt các đoạn thẳng AB,AC lần lượt tại N,P( khác A). Chứng minh rằng : BA  CA  2 AM . BN CP AI Lời giải : Đặt x = BA/BN; y = CA/CN; z = AM/AI (x,y,z > 0) Ta có       AB  AC  2AM  x.AN  y.AP  2z.AI     AI  x .AN  y .AP 2z 2z x y    1  x  y  2z( đpcm) 2z 2z Chú ý : bài toán trên có thể giải bằng cách dựng hình rồi áp dụng định lí Talets. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng (P) bất kì cắt các đoạn SA,SB,SC,SD,SO lần lượt tại A’,B’, C’, D’, O’(khác S). Chứng minh rằng : SA  SC  SB  SD SA' SC' SB' SD' Lời giải : Ta đặt x = SA/SA’; y = SB/SB’; z = SC/SC’; t = SD/SD’. Dễ thấy :      SA +SC = SB+SD (= 2SO)      xSA'+zSC'= ySB'+ tSD'     SA'= y SB'- z SC'+ t SD' x x x y z t  - + =1 (1) hay x +z = y+ t (ðpcm) x x x (Vì A’,,B’,C’,D’ đồng phẳng nên ta có (1)) 9
Nhận xét : Dễ thấy SA  SC  SB  SD  4SO SA' SC' SB' SD' SO' Có thể c/m bằng phương pháp hình học thông thường. BÀI TẬP : Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, G là trọng tâm của tam giác ABC, mp(P) cắt các đoạn SA,SB, SC, SG lần lượt tại A’, B’, C’, G’.Chứng minh rằng : a) SA  SB  SC  3 SG SA SB' SC' SG'   b) SO  3OG với O là trọng tâm của tứ diện SABC. Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Điểm C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AC’ cắt SB,SD lần lượt tại B’, D’. a) Chứng minh : SB  SD  3 SB' SD' V b) Chứng minh : 1  S.AB'C' D'  3 3 V 8 S.ABCD Bài 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’; M,N,P lần lượt nằm trên cạnh A’B’, AB, CC’ sao cho MA'  NB  PC'  1 . MB' NA PC 2 Gọi Q = (MNP)  B’C’. Tính QC' . B' C' Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. a) Chứng minh AC’ đi qua trọng tâm G1,G2 của hai tam giác A’BD và CB’D’ đông thời AG1=G1G2=G2C’. b) Gọi G là trọng tâm của tam giác AB’C.Tính BD’/BG. c) Gọi P,Q,R lần lượt là điểm đối xứng của D’ qua A,B’,C.Chứng minh B là trọng tâm của tứ diện PQRD’. d) Dựng I,J lần lượt trên DB’,AC sao cho IJ//BC’. Tính ID/IB’ 2) CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH ,GÓC, CHỨNG MINH QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐỐI TƯỢNG Thường áp dụng để tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng hay một mặt phẳng,khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Với dạng bài này , học 10
sinh lớp 11 có thể giải bằng cách sử dụng các tính chất và dựng hình, học sinh lớp 12 có thể dùng phương pháp tọa độ để giải. Ở đây tôi chỉ giới thiệu một ví dụ minh họa khá đơn giản để các thầy cô và các em học sinh tham khảo. Phương pháp chung thường dùng : (1) Chọn 2 vectơ (không cùng phương trong mp) hoặc 3 vectơ (không đồng phẳng trong KG) có mối quan hệ đặc biệt với nhau làm cơ sở để biểu diễn các vectơ khác qua chúng. (2) Biểu diễn các vectơ khác qua các vectơ cơ sở. Dùng đk thẳng hàng, đồng phẳng hay vuông góc để đưa ra kết quả. Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, M trên A’C sao cho MA’=3MC và N là trung điểm của C’D. a) Chứng minh : MN//B’D. b) Khi hình hộp là hình lập phương cạnh a. Tính các khoảng cách d(A,D’M) , d(A, (CMN)) và d(BD,CD’) Lời giải và hướng dẫn:       Đặt AB  a;AD  b;AA'  c . a)Từ đó dễ thấy :         BD'  a  b  c ;4MN  a  b  c  MN / /BD' (đpcm) b) Ta có các véctơ trên đôi một vuông góc và độ dài các vec tơ trên đều bằng a   Dựng AH vuông góc với D’M tại H và đặt D' H  x.DM . Ta tính được          u  4.DM  3a  b  3c; 4.D'H  3xa  xb  3xc ;      v  4.AH  3xa  (4  x)b  (4  3x)c.     u  v  u.v  0  x  16 19 2 2 2  d( A,D' M )  AH  a. 48 15  7 19 Để tính d(A,(CMN)) ta dựng AI vuông góc với (AMN) tại I. Ta có :           CI  xCM  yCM; AI  AC  CI. Cho AI  CM; AI  CN  x,y  AI 11
    Gọi PQ là đoạn vuông góc chung của BD và CD’: BP  z.BD; CQ  t.CD' Cho PQ vuông góc với BD và CD’ ta tìm được z,t . Từ đó tính PQ. BÀI TẬP: Bài 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có G,G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’. Gọi I là giao điểm của AB’ và A’B. a) Chứng ming : GI//CG’. b) Cho biết tam giác ABC đều cạnh a,AA’ = a 3 và hình chiếu của A’ trên (ABC) là trung điểm của BC. b1) Tính góc giữa BB’ và mặt phẳng (ABC) b2) Tính d(A’B,C’G). Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ . M và N lần lượt là các điểm chia hai đoạn thẳng AD’ và DB theo cùng tỉ số k khác 0, 1. Chứng minh : MN // (A’BC). 3) CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC VÀ LƯỢNG GIÁC Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và M trên cạnh BC. Chứng minh : OA.BC ≤ OB.AC + OC.AB. Lời giải :     Đặt BO  x.BC ( 0  x  1).Ta có OC  (1-x)BC        OA  xAC  (1 x )AB  OA  xAC  (1  x )AB Từ đó suy ra đpcm. Ví dụ 2: Cho 3 góc x,y,z có x+y+z=3600 và 1800> x,y,z>00. Chứng minh : cosx 3 + cosy + cosz ≥ - 2 Lời giải : Dựng 3 góc AOB, BOC, COA lần lượt có số đo x,y,z sao cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, OA=OB=OC=1. Ta có :    (OA  OB  OC)2  0        OA2  OB2  OC2  2(OA.OB  OB.OC  OA.OC)  0  cosx  cosy  cosz   3 2 12
Nhận xét : Với mọi điểm O trong tam giác ABC ta luôn có : cosAOB + cosBOC + cosCOA ≥ -3/2. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. a) Tìm vị trí của điểm M trên AC sao cho biểu thức P = 2MA2 + MB2 +MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. b) Tìm vị trí điểm M sao cho Q= 2 MA + MB + MC nhỏ nhất. Lời giải: a)Gọi G là trung điểm của BC và I là trung điểm của AG. Suy ra :     2.IA  IB  IC  0 Khi đó : P = 4.IM2 giá trị này nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I trên AC. Ta tìm được M chia đoạn CA theo tỉ số -3. b) Ta có :        MB  MB.AB  MB.AB  ( MA  AB ).AB  MA.AB  AB AB   AB AB AB MC  MA.AC  AC AC Do đó :    Q  AB  AC  [ 2MA  MA( AB  AC )] Đẳng thức xảy ra khi và chỉ AB AC  Q  AB  AC  MA 2(1  cos )  AB  AC khi M trùng A Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc .Tìm M để P= 3 MA + MB + MC + MD nhỏ nhất. Lời giải : Tương tự Ví dụ 3 :       MB  MA.AB  AB;MC  MA.AC  AC ; MD  MA.AD AB AC AD 13
     P  AB  AC  AD  MA( AB  AC  AD )  3MA   AB AC AD  AB  AC  AD  MAu  3MA   P  AB  AC  AD  3MA(1  cos ); ( MA,u)   )  P  AB  AC  AD Dấu đẳng thức xảy ra khi M trùng A Vậy M trùng A. Ví dụ 5: Cho tứ diện SABC có SA=a, SB=b, SC=c; Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện lần lượt cắt SA, SB, SC tại D, E, F. Tìm giá trị nhỏ nhất của : Q= 1  1  1 SD2 SE 2 SF 2 Lời giải : Ta có :      GA  GB  GC  GD  0         SG  1 ( SA  SB  SC )  1 ( SA SD  SB SE  SC SF ) 4 4 SD SE SF Vì G,D,E,F đồng phẳng nên SA/SD + SB/SE + SC/SF = 4 Áp BĐT Bunhiacopxki ta có : 42 = (SA/SD + SB/SE + SC/SF)2 ≤ (SA2 + SB2 + SC2)(1/SD2 + 1/SE2 + 1/SF2) Do đó : Q ≥ 16/(a2 + b2 + c2) Đẳng thức xảy ra khi (P)//(ABC). Ví dụ 6: Cho tứ diện A1A2A3A4 có trọng tâm G. Các đường thẳng GAi 4 6 (1=1,…,4) căt các mặt đối diện tại Bi . Chứng minh rằng :  A B .MA  1  a 2 i1 i i i 31 i ( ai là độ dài 6 cạnh) với mọi điểm M. Lời giải : Ta có : 4 MA .GA  4 MA   .GA  4    4 ( MG  GA ).GA  MA .GA  4 .GAi2  i i  i i  i i  i i  1 i1 i1 i1 i1 Mà GAi = 3AiBi/4. 4 6 Áp dụng công thức đường trung tuyến ta tính được :  GA2  1  a 2 i1 i 4 i1 i Từ đó ta suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi M trùng G. 14
BÀI TẬP: Bài 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng : a) sin A  sin B  sin C  3 2 2 2 2 b) p2≥ 16 Rr – 5r2. c) MA+MB+MC  3R (với mọi điểm M và tam giác ABC đều.) Bài 2: Cho tứ diện A1B1C1D1, M là điểm tùy ý trong tứ diện. Chứng minh : 4 MA 2 3  S i R i1 i Trong đó Si là diện tích mặt đối diện với Ai; R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Bài 3: Cho tứ diện đều ABCD.Tìm M để P = 6 MA + MB + MC + MD nhỏ nhất. Bài 4: Tìm tam giác ABC để tỉ số P là lớn nhất. R Bài 5: Cho điểm A thuộc mặt cầu (O;R) .Xét tứ diện ABCD nội tiếp (O;R) và gọi G là trong tâm của tứ diện đó. Tìm vị trí của G sao cho AB2 + AC2+AD2- BC2 – CD2 – DB2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6: Trong tất cả các tứ diện nội tiếp mặt cầu bán kính R = 1 , hãy tìm tứ diện có diện tích toàn phần lớn nhất. 4) CÁC BÀI TOÁN VỀ BĐT ĐẠI SỐ Dấu hiệu có thể dùng phương pháp vectơ: Chứa căn của các biểu thức có dạng độ dài của vectơ hoặc là tích vô hướng của hai vectơ Ví dụ 1: Chứng minh rằng : x2  y2 . z2  t 2  xy  zt Lời giải:       Xét hai vectơ u( x; y ) , v(z;t)  u . v  u.v  ðpcm Ví dụ 2: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn : x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng : x2  1  y2  1  z 2  1  82 x2 y2 z2 15
Lời giải:    Xét 3 vectơ : u( x; 1 );v( y; 1 );w( z; 1 ) x y z       uvw  u  v  w Ta có :  x2  1  y2  1  z 2  1  ( x  y  z )2  ( 1  1  1 )2 x2 y2 z2 x y z Dễ thấy : 1/x + 1/y + 1/z ≥ 9/(x+y+z). Từ đó (x+y+z)2 + (1/x +1/y +1/z)2 ≥ (x+y+z)2 + 81/(x+y+z)2 Khi đó dễ dàng suy ra đpcm. Nhận xét : Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp dùng BĐT Côsi. Ví dụ 3: Cho 4 số thực a,b,c,d. Chứng minh rằng trong sáu số sau ac+bd, a2+b2+a-b, ac+bd+a-b, ac+bd+c-d, c2 + d2 +c – d, ac+bd+a+c-b-d+2 có ít nhất một số không âm. Lời giải: Ta thấy : a2+b2+a-b = a(a+1) +b(b-1) ac+bd+a-b=a(c+1) + b(d-1) ac+bd+c-d = c(a+1) + d(b-1) c2 + d2 +c – d= c(c+1) +d(d-1) ac+bd+a+c-b-d+2=(a+1)(c+1) +(b-1)(d-1) Ta xét các điểm sau trong mặt phẳng Oxy : A(a;b), B(c;d), C(a+1;b-1), D(c+1;d- 1) 1) Nếu có 1 trong 4 điểm trùng gốc O thì hiển nhiên bài toán được chứng minh. 2) Nếu cả 4 điểm không trùng gốc O thì trong 4 vectơ     OA(a;b);OB(c;d);OC(a 1;b 1);OD(c 1;d 1) có ít nhất 2 vectơ tạo với nhau góc không tù  , tích vô hướng của hai vectơ này không âm. Mà tích vô hướng của hai vectơ bất kì trong 4 vectơ trên có giá trị là một trong sáu giá trị nêu trên . Do đó bài toán được chứng minh. Ví dụ 4: Tìm m để phương trình x 2  x 1  x 2  x 1  m(1) có nghiệm thực . 16
Lời giải : Xét hàm f(x) = VT(1). Khi đó f(x) liên tục trên R và lim f(x)  ; x f(x)  (x  1 )2  ( 3 )2  (-x  1 )2  ( 3 )2 2 2 2 2       Ta xét u(x  1 ; 3 ); v( x  1 ; 3 )  u  v  u  v  f(x)  2 x  R 2 2 2 2 Mà f(0) = 2 nên minf(x) = 2 Do đó (1) có nghiệm khi và chỉ khi m ≥2 BÀI TẬP : Bài 1: Chứng minh rằng : a 2  ab  b2  a 2  ac  c2  b2  bc  c2 a,b,c  R Bài 2: Cho a,b,c dương và ab + bc +ca = abc. Chứng minh rằng : b2  2a 2  c2  2b2  a 2  2c2  3 . ab bc ca Bài 3: Chứng minh rằng : 4cos2xcos2 y  sin 2 (x  y)  4sin 2xsin 2 y  sin 2 (x  y)  2 x,y  R E. MỘT SỐ KẾT QUẢ CỤ THỂ THU ĐƯỢC SAU KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VÀO GIẢNG DẠY vài số liệu cụ thể về giá trị lợi ích khi áp dụng sáng kiến: Kết quả sát hạch lớp 10C,10H trước khi áp dụng sáng kiến Lớp Sĩ số % HS giỏi % HS Khá % HS TB % HS yếu %HS kém 10C 48 13% 77% 8% 2% 0% 10H 47 9% 50% 32% 9% 0% Sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã tiến hành kiểm tra, sát hạch lại, kết quả đạt được rất khả quan. Cụ thể như sau: Lớp Sĩ số % HS giỏi % HS Khá % HS TB % HS yếu %HS kém 10C 48 45% 51% 4% 0% 0% 10H 47 30% 56% 14% 0% 0% PHẦN IV: THÔNG TIN BẢO MẬT: Không có thông tin bảo mật 17
PHẦN VII:CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Sáng kiến đã được áp dụng giảng dạy tại các lớp 10c,10h,10l,tại trường THPT YÊN LẠC.Ngoài ra sáng kiến còn có thể áp dụng được cho tất cả các trường THPT trong cả nước. PHẦN VIII: . ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ VÀ THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU Sáng kiến đem lại hứng thú cho học sinh đối với phần toán véc tơ,đem lại niềm yêu thích đối với phần hình học khó này.Do đó đem lại hiệu quả cao trong giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia và ôn thi HSG. PHẦN IX:ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ Qua chuyên đề này,tôi đã giúp cho học sinh tìm hiểu sâu hơn ,chi tiết hơn về ứng dụng của véc tơ trong giải toán,đồng thời tôi cũng phân loại chi tiết các ứng dụng của véc tơ trong giải các loại toán cụ thể,học sinh rất hứng thú với các phân loại như thế này.Sáng kiến đem lại sự tích cực trong việc học toán và dễ dàng tiếp thu phần kiến thức về véc tơ. PHẦN X:ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN CÓ THỂ THU ĐƯỢC DO ÁP DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TỔ CHỨC CÁ NHÂN +Nhà trường nhất trí và ủng hộ cho việc triển khai đề tài +Tổ chuyên môn đánh giá cao và áp dụng làm tư liệu dạy học PHẦN XI:DANH SÁCH CÁC TỔ CHỨC CÁ NHÂN THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU Số TT Tên tổ Địa chỉ Phạm vi lĩnh vực áp dụng sáng kiến chức/cá nhân 1 Lớp 10C Trường THPT YÊN LẠC Môn toán THPT YÊN LẠC 2 Lớp 10H Trường THPT YÊN LẠC Môn toán THPT YÊN LẠC 3 Lớp 10L Trường THPT YÊN LẠC Môn toán THPT YÊN LẠC YÊN LẠC,ngày 12 tháng 2 năm 2020 YÊN LẠC,ngày 12 tháng 2 năm 2020 Hiệu trưởng Tác giả sáng kiến (kí tên, đóng dấu) (kí ,ghi rõ họ tên) Đường Thị Yến 18