SKKN: Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán trắc nghiệm tích phân hàm ẩn và ứng dụng của tích phân

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

119
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là hướng dẫn học sinh có cách nhìn tốt để chuyển một bài toán lạ về một bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Việc làm này đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán. Ngoài ra, các em học sinh còn phải biết tư duy, phân tích, vận dụng phương pháp giải một cách khoa học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán trắc nghiệm tích phân hàm ẩn và ứng dụng của tích phân

MỤC LỤC Trang 1. Lời giới thiệu 3 2. Tên sáng kiến 3 3. Tên sáng kiến 3 4. Chủ đầu tư sáng kiến 3 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 3 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử 4 7. Mô tả bản chất sáng kiến 4 7.1. Nội dung sáng kiến 4 Chương 1. Hệ thống kiến thức cơ bản 4 1.1. Bảng công thức đạo hàm 4 1.2. Quy tắc tính đạo hàm 4 1.3. Bảng công thức tính nguyên hàm 4 1.4. Định nghĩa tích phân 5 1.5. Tính chất của tích phân 5 1.6. Phương pháp tính tích phân 6 1.7. Ứng dụng tích phân 6 Chương 2. Nội dung 8 2.1. Tính tích phân dựa vào định nghĩa và tính chất 9 2.1.1. Phương pháp giải 9 2.1.2. Bài tập áp dụng 9 2.1.2. Bài tập tự luyện 12 2.2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số 13 2.2.1. Phương pháp giải 13 2.2.2. Bài tập áp dụng 14 2.2.2. Bài tập tự luyện 18 2.3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 20 2.3.1. Phương pháp giải 20 2.3.2. Bài tập áp dụng 20 2.3.2. Bài tập tự luyện 23 2.4. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng 25 2.4.1. Phương pháp giải 25 1
2.4.2. Bài tập áp dụng 25 2.4.2. Bài tập tự luyện 27 2.5. Ứng dụng tích phân tính thể tích 30 2.5.1. Phương pháp giải 30 2.5.2. Bài tập áp dụng 30 2.5.2. Bài tập tự luyện 33 2.6. Ứng dụng tích phân giải một số bài toán khác 35 2.6.1. Phương pháp giải 35 2.6.2. Bài tập áp dụng 35 2.6.2. Bài tập tự luyện 40 2.7. Bài kiểm tra đánh giá năng lực học sinh 43 2.7.1. Ma trận đề kiểm tra 43 2.7.2. Nội dung đề kiểm tra 43 2.7.3. Đáp án đề kiểm tra 46 Chương 3. Kết quả đạt được và kết luận 47 3.1. Bài học kinh nghiệm 47 ̉ 3.2. Kêt qua và k ́ ết luận 47 7.2. Về khả năng áp dụng của sáng kiến 49 8. Những thông tin cần được bảo mật 49 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 49 10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng 49 kiến theo ý kiến của tác giả 11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng 50 sáng kiến lần đầu BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. LỜI GIỚI THIỆU 2
Bài toán tích phân là một trong những bài toán khá phong phú và đa dạng. Các em học sinh thường lúng túng hoặc bế tắc khi gặp phải các câu hỏi lạ. Qua thống kê các kỳ thi THPT Quốc gia các năm gần đây. Số câu hỏi có nội dung liên quan tới bài toán tích phân như sau: Năm 2017 2018 2019 Mã đề 101 102 103 101 102 103 101 102 103 Số câu hỏi 3 3 3 5 5 5 5 5 5 Hệ thống câu hỏi trong các mã đề sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần Các câu liên quan tới tích phân trong đề thi thường hỏi ở dạng hàm số dưới dấu tích phân là hàm số ẩn và ứng dụng của tích phân. Thực tế qua giảng dạy tôi nhận thấy đối với những bài toán tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân cho cụ thể thì đa số học sinh có thể vận dụng kiến thức cơ bản để giải quyết tốt bài toán đó. Tuy nhiên khi gặp bài toán tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân cho dưới dạng hàm số ẩn thì nhiều học sinh gặp lúng túng không biết giải quyết bài toán đó như thế nào. Chính vì lí do đó tôi đã nghiên cứu và viết đề tài: “Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán trắc nghiệm tích phân hàm ẩn và ứng dụng của tích phân” Hy vọng sẽ hướng dẫn học sinh có cách nhìn tốt để chuyển một bài toán lạ về một bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Việc làm này đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán. Ngoài ra, các em học sinh còn phải biết tư duy, phân tích, vận dụng phương pháp giải một cách khoa học. 2. TÊN SÁNG KIẾN Hướng dẫn học sinh giải môt sô bài toán tích phân hàm ̣ ́ ẩn. 3. TÁC GIẢ VIẾT SÁNG KIẾN Họ và tên: Nguyễn Trung Thanh ̀ Địa chỉ : Trường THPT Yên Lạc Số điện thoại: 0988346588 Email: nguyentrungthanh.c3yenlac@vinhphuc.edu.vn 4. CHỦ ĐẦU TƯ SÁNG KIẾN: Nguyễn Trung Thành 5. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Dành cho học sinh lớp 12 ôn tập thi THPT Quốc Gia. 6. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ Ngày 18 tháng 01 năm 2019. 3
7. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN 7.1. Nội dung của sáng kiến Chương 1: Hệ thống kiến thức cơ bản 1.1. Bảng công thức đạo hàm 1.2. Quy tắc tính đạo hàm 1.3. Bảng công thức tính nguyên hàm 1.4. Định nghĩa tích phân 1.5. Tính chất của tích phân 1.6. Phương pháp tính tích phân 1.7. Ứng dụng tích phân Chương 2: Nội dung 2.1. Tính tích phân dựa vào định nghĩa và tính chất 2.2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số 2.3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 2.4. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng 2.5. Ứng dụng tích phân tính thể tích 2.6. Ứng dụng tích phân giải một số bài toán khác 2.7. Bài kiểm tra đánh giá năng lực học sinh 2.7.1. Ma trận đề kiểm tra 2.7.2. Nội dung đề kiểm tra 2.7.3. Đáp án đề kiểm tra Chương 3: Kết quả đạt được và kết luận 3.1. Bài học kinh nghiệm 3.2. Kết quả và kết luận 4
Chương 1: HỆ THỐNG MÔT SÔ KIÊN TH ̣ ́ ́ ƯC C ́ Ơ BAN ̉ 1.1. BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN STT HÀM THÔNG THƯỜNG HÀM SỐ HỢP ( x n )' = nx n−1 , ( n �ﾥ , n > 1) �1� ' 1 (uα )' = α .uα −1.u ' � �= − 2 , ( x 0) ' �x� x �1 � u' Nhóm 1 � �= − 2 ( ) 1 �u� u ' x = , ( x > 0) 2 x ( u) u' ' = 2 u ( sin x ) = cos x ( sin u ) = u ' .cos u ' ' ( cos x ) = − sin x ( cos u ) = −u ' .sin u ' ' 1 � π � u' ( tan x ) = ( tan u ) = ' ' , �x + kπ � Nhóm 2 2 cos x � 2 � cos2 u 1 u' ( cot x ) = − 2 , ( x kπ ) ( cot u ) = − 2 ' ' sin x sin u 1 ' ( ln x ) = , ( x 0) ( ln u ) = uu ' ' x Nhóm 3 1 u' ( log a x ) = , ( 0 < a 1, x > 0 ) ( loga u ) = u ln a ' ' x ln a (e x )' = e x ( eu )' = u ' .eu Nhóm 4 (a x )' = a x ln a, ( a > 0, a 1) ( a u )' = u ' .a u .ln a 1.2. QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 1.2.1. Đạo hàm của tổng: ( u v ) = u ' ' v' 1.2.2. Đạo hàm của tích: ( uv ) = u 'v + uv ' ' ' �u � u 'v − uv ' 1.2.3. Đạo hàm của thương: � �= , ( v 0) �v� v2 1.3. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP 1) dx = x + C 6) cos x.dx = sin x + C xα + 1 2) α x dx = + C, ( α −1) α +1 7) sin x.dx = − cos x + C 1 3) dx = ln x + C 1 x 8) .dx = tan x + C cos 2 x 4) e x dx = e x + C 1 9) .dx = − cot x + C sin 2 x 5
ax 5) a dx = x + C , ( a > 0, a 1) ln a 1.4. ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên [a; b]. Hiệu số F (b) − F (a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích b phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f ( x), kí hiệu là f ( x )dx. a 1.5. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN a b a 1. f ( x)dx = 0 2. � f ( x) dx = − � f ( x)dx a a b b c c b b 3. � f ( x)dx + � f ( x) dx = �f ( x) dx ( a < b < c ) 4. � k . f ( x) dx = k .� f ( x)dx (k ﾥ) a b a a a b b b b b b 5. � [ f ( x) + g ( x )]dx = �f ( x)dx + � g ( x) dx . 6. � [ f ( x) − g ( x)]dx = � f ( x)dx − � g ( x) dx . a a a a a a 1.6. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.6.1. Phương pháp đổi biến số Định lí: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α ; β ] sao cho ϕ (α ) = a, ϕ ( β ) = b và a ϕ (t ) b với mọi t [α ; β ]. b β Khi đó: � f (ϕ (t ))ϕ '(t ) dt. f ( x )dx = � a α 1.6.2. Phương pháp tích phân từng phần Định lí : Nếu u = u ( x) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì b b b b b u ( x)v '( x)dx = ( u ( x)v ( x) ) a − � � udv = uv |ba − � u '( x)v ( x)dx , hay viết gọn là � vdu . a a a a 1.7. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1.7.1. Tính diện tích hình phẳng Bài toán 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a; b] . Gọi H là miền phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x =a , x =b thì diện tích miền b phẳng H được tính theo công thức S =ﾥ f ( x) dx a y y = f (x ) y = f (x ) b y=0 S= f ( x ) dx (H ) x=a a O a c1 c2 c3 b x x=b 6
Bài toán 2: Cho hàm số y = f1 ( x) và y = f 2 ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b] . Gọi H là miền phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó hai đường thẳng x =a , x =b thì diện tích miền b phẳng H được tính theo công thức S =ﾥ f1 ( x) - f 2 ( x) dx a y (C1): y = f1(x ) (C1) (C2 ) : y = f 2(x ) (H ) x=a (C2 ) x=b b a c1 c2 b x S= f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx O a 1.7.2. Thể tích vật thể 1.7.2.1. Thể tích của vật thể Bài toán: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S ( x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ( a x b ) Giả sử S ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] . Khi đó, b thể tích của vật thể B được tính theo công thức V =ﾥ S ( x)dx a (V ) b a x V= S ( x )dx O b x a S(x) 1.7.2.2. Thể tích khối tròn xoay Bài toán: Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox và hai đường thẳng x =a , x =b ( a < b ) quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay. b �f ( x ) �dx 2 Khi đó thể tích của nó được tính theo công thức V = π �� a 7
y y = f (x ) (C ): y = f (x ) (Ox ): y = 0 b Vx = π [ f ( x )] dx 2 O a b x x=a a x=b Chương 2: NỘI DUNG Để học sinh có thể làm tốt các dạng bài tập tích phân trong đề thi THPT QG thì cần phải hướng học sinh suy nghĩ tìm lời giải cho bài toán tích phân dựa vào kiến thức cơ bản như sau: Thứ nhất: Học sinh phải nhớ được bảng công thức đạo hàm cơ bản Thứ hai: Học sinh biết các công thức nguyên hàm của hàm số thường gặp Thứ ba: Học sinh phải luyện cho mình cách nhận dạng (loại) tích phân nhanh, vì biết được dạng tích thì sẽ dễ dàng biết cách tính. Để nhận dạng tích phân cần tính, có thể nên tạo thành thói quen tự đặt cho mình những câu hỏi về hàm số dưới dấu tích phân theo thứ tự như sau: Phương pháp đúng như câu hỏi đặt STT Câu hỏi ra 1. Có phải dạng cơ bản không Chỉ việc áp dụng công thức cơ bản Có phân tích, biến đổi đại số, biến đổi Chỉ việc phân tích, biến đổi, rồi áp 2. lượng giác,… đưa về dạng cơ bản dụng công thức được không? 3. Có tương tự dạng cơ bản, chỉ sai khác Dùng phương pháp đổi biến số hằng số hoặc chỉ sai khác hệ số của 8
biến số không? Có thừa số nào hoặc biểu thức nào là đạo hàm đúng hoặc gần đúng (chỉ sai 4. Dùng phương pháp đổi biến số khác hệ số) của biểu thức khác trong hàm số dưới dấu tích phân không? Dùng phương pháp tích phân các hàm 5. Có thuộc loại tích phân hữu tỷ không? hữu tỷ đã học Có thuộc loại tích phân hàm số lượng Dùng phương pháp tích phân các hàm 6. giác không? lượng giác đã học Có thuộc loại tích phân các hàm vô tỷ Dùng phương pháp tích phân các hàm 7. không? vô tỷ đã học Suy nghĩ tìm thêm cách biến đổi biến 8. Ngoài các loại trên? số, nếu không được, nên nghĩ đến việc dùng phương pháp tích phân từng phần 2.1. TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 2.1. 1. Ph ương pháp giải Sử dụng tính chất và công thức nguyên hàm cơ bản b a b c c 1. � f ( x)dx = −� f ( x)dx 2. � f ( x) dx + � f ( x) dx = � f ( x )dx ( a < b < c ) a b a b a b b b b b 3. � k . f ( x )dx = k .� f ( x) dx ( k ﾥ ) 4. � [ f ( x ) g ( x )]dx = � f ( x )dx � g ( x )dx . a a a a a Chú ý: 1) Định lí dấu nhị thức bậc nhất và dấu tam thức bậc 2 f ( x) , f ( x) 0 2) Biểu thức chứa ẩn trong dấu trị tuyệt đối f ( x ) = − f ( x) , f ( x) < 0 3) Định nghĩa vi phân df ( x ) = f ' ( x ) dx 4) Hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾥ và tuần hoàn với chu kì T thì a +T T �f ( x ) dx = �f ( x ) dx a 0 �f ( x ) .g ( x ) � �= f ' ( x ) .g ( x ) + f ( x ) .g ' ( x ) ' 5) Quy tắc đạo hàm của tích � 2.1. 2. Bài t ập áp dụng 0 2 2 Câu 1: Cho �f ( x)dx = 2, �f ( x)dx = 1. Tích phân −2 0 −2 f ( x )dx bằng A. 4 B. 3 C. 6 D. 1 9
Lời giải: 2 0 2 Ta có �f ( x )dx = �f ( x)dx + �f ( x )dx = 2 + 1 = 3. Chọn B. −2 −2 0 3 3 3 Câu 2: Cho f ( x ) dx = − 5, � �f ( x ) − 2 g ( x ) � ́ I = g ( x ) dx. �dx = 9. Tinh 1 1 1 A. I = 14. B. I = − 14. C. I = 7. D. I = −7. Lời giải: 3 3 3 3 −5 − 9 �f ( x ) − 2 g ( x ) � Ta co ́ � � �dx = �f ( x ) dx − 2.�g ( x ) dx = 9 � �g ( x ) dx = 2 = − 7. Chọn D. 1 1 1 1 5 �2 f ( x ) + 3g ( x ) � Câu 3 : Cho các hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên ﾥ có � �dx = − 5 ; −1 5 5 3 f ( x ) − 5g ( x ) � � � �f ( x ) + g ( x ) � �dx = 21 . Tính � �dx −1 −1 A. − 5 B. 1 C. 5 D. − 1 Lời giải: Ta có: �5 �5 5 �5 �� 2 f ( x ) + 3g ( x ) � � � �dx = −5 �2 � f ( x ) dx + 3 � g ( x ) dx = −5 �� f ( x ) dx = 2 �−1 � � � � −51 −1 �5 5 � �−51 �� 3 f ( x ) − 5g ( x ) � � � � �( ) g ( x ) dx = 21 �� ( ) � �dx = 21 3 f x dx − 5 � g x dx = −3 �−1 �−1 −1 �−1 5 5 5 � �f ( x ) dx + �g ( x ) dx = −1 � �� −1 −1 �f ( x ) + g ( x ) � −1 �dx = − 1 . Chọn D. 2019π Câu 4: Tính tích phân I = 1 − cos2 x dx. 0 A. I = 0. B. I = 2 2. C. I = 2019 2. D. I = 4038 2. Lời giải: π 2π 2019π I = 2� sin x dx + 2 �sin x dx + ... + 2 �sin x dx 0 π 2018π 10
π = 2019 2 sin xdx = 4038 2. Chọn D. 0 Câu 5: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ −6;5] có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa 5 đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị I = �f ( x ) + 2� � �dx −6 A. 3π − 12 B. 2π + 32 C. 2π + 8 D. 3π + 12 Lời giải:: Nhận xét: Ở bài toán này có thể dùng kiến thức diện tích hình phẳng tìm kết quả nhanh gọn. Tuy nhiên để rèn cho học sinh tư duy phân tích, tổng hợp tôi hướng dẫn học sinh giải bài toán theo hướng dài hơn là dùng định nghĩa và tính chất của tích phân để giải quyết bài toán. x +4 khi − 6 x −2 2 Ta có: f ( x ) = 1+ 4 − x 2 khi − 2 x 2 2 x −1 khi 2 x 5 3 5 −2 2 5 5 � I=� �f ( x) + 2� f ( x) dx + � �dx = � f ( x) dx + � f ( x) dx + � 2dx . Chọn B. −6 −6 −2 2 −6 Câu 6: Cho các hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;2] và thỏa mãn 2 2 2 f ' ( x ) g ( x ) dx = −1, f ( x ) g ' ( x ) dx = 2020. Tính tích phân I = � �f ( x ) g ( x ) � / �dx. 0 0 0 A. I = −1. B. I = 2020. C. I = 2019. D. I = 2018. 2 2 �f ( x ) g ( x ) � �f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x ) � / Lời giải:: Ta có I = � � �dx = � � �dx 0 0 2 2 f ' ( x ) g ( x ) dx + � = � f ( x ) g ' ( x ) dx = 2019. Chọn C. 0 0 Câu 7: Cho các hàm số y = f ( x ) > 0 xác định và có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn x 1 g ( x ) =1 +2018 f ( t ) dt , g ( x ) = f 2 ( x ) . Tính g ( x ) dx 0 0 11
1011 1009 2019 A. B. C. D. 505 2 2 2 x Lời giải:: Ta có g ( x ) = 1 + 2018 f ( t ) dt � g ' ( x ) = 2018 f ( x ) = 2018. g ( x ) 0 g '( x) g '( x) ( ) t t � = 2018 � � dx = 2018� dx � 2 g ( t ) −1 = 2018t (do g ( 0 ) = 1) g ( x) 0 g ( x) 0 1 1009 2 �1 1011 � � g ( t ) = 1009t + 1 � g ( t ) dt = � t + t �|0 = . Chọn A. 0 �2 � 2 Câu 8: Cho các hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên [ 0;1] đồng thời thỏa mãn f ' ( 0) = 9 �= 9 . Tính T = f ( 1) − f ( 0 ) 2 và 9 f '' ( x ) + � �f ' ( x) − x� 1 A. T = 2 + 9 ln 2 B. T = 9 C. T = + 9 ln 2 D. T = 2 − 9 ln 2 2 f '' ( x ) − 1 1 ( x) + � �f ( x ) − x � 2 �= 9 � − = '' ' Lời giải:: Ta có 9 f �f ( x ) − x � 2 � ' 9 � 1f '' ( x ) − 11 x Lấy nguyên hàm hai vế − � ' dx = �dx � ' = +C f ( x) − x 9 2 �f ( x ) − x � � 9 � 1 1 1 9 �9 � Do f ' ( 0 ) = 9 � C = � f ' ( x ) = + x � � f ' ( x ) dx = � � + x�dx 9 x +1 0 0� x +1 � 1 Vậy T = f ( 1) − f ( 0 ) = 9 ln 2 + . Chọn C. 2 2.1.3. Bài tập tự luyện 3 3 2 Câu 1: Cho f ( x ) dx = a, f ( x ) dx = b . Khi đó f ( x ) dx bằng: � � 0 2 0 A. −a − b B. b − a C. a + b D. a − b 5 2 : Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( x ) dx = 10. Tính I = � 2 Câu 2 − 4 f ( x) � � �dx. 2 5 A. I = 32. B. I = 34. C. I = 36. D. I = 40. 2019 2019 2019 Câu 3: Cho �f ( x ) dx = 2, �g ( x ) dx = −5 . Tìm J = 1 1 1 �2 f ( x ) + g ( x ) � � �dx A. J = 1 B. J = − 1 C. J = 0 D. J = 2 Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường 9 gấp khúc như hình vẽ bên. Tính f ( x ) dx . 0 A. 18 B. 2 C. 0 D. 16 12
Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ −3;5] và có đồ thị như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của ( P ) : y = ax + bx + c ). Tích phân 3 f ( x ) dx 2 −2 bằng 53 61 A. . B. . 2 3 95 97 C. . D. . 7 6 1 : Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾥ và thỏa mãn Câu 6 f ( x ) dx = 9 . Tính −5 2 �f ( 1 − 3x ) + 9 � � �dx . 0 A. 27 B. 21 C. 15 D. 75 1 3 : Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên ﾥ và thỏa mãn điều kiện f ( x ) dx = 4, f ( x ) dx = 6 . Câu 7 � � 0 0 1 Tính I = f ( 2 x +1 ) dx −1 A. I = 6 B. I = 3 C. I = 4 D. I = 5 Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số xác định và có nguyên hàm liên tục trên R, tuần 1 2 2018 hoàn có chu kì là T = 6. Biết f ( 2 x ) dx = − 1; � �f ( x + 4 ) dx = 3. Giá trị I = f ( x ) dx bằng 0 −2 0 A. 336 B. 334 C. 332 D. 338 Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 Đáp án D B B B D B A B 2.2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Ở phần này tôi hướng dẫn học sinh giải một số bài toán tích phân mà hàm số dưới dấu tích phân so với dạng cơ bản thấy chỉ sai khác ở chỗ: biến số có nhân thêm hệ số hoặc sai khác hằng số hoặc đạo hàm một biểu thức sai khác với biểu thức còn lại một hệ số thì dùng phương pháp đổi biến số đặt ngay biểu thức đó bằng t để đưa tích phân đó về dạng cơ bản. 2.2.1. Phương pháp giải b β Định lí : f ( x ) dx = � a �f ( ϕ ( t ) ) .ϕ ' ( t ) dt α a) Đổi biến số loại 1 13
Bước 1: Đổi biến số đặt x = ϕ ( t ) � dx = ϕ ' ( t ) dt Bước 2: Đổi cận x = a � t = α x = b � t = β b β Bước 3: Đổi biểu thức dưới dấu tích phân I = �f ( x ) dx = �f ( ϕ ( t ) ) .ϕ ' ( t ) dt a α b) Đổi biến số loại 2 Bước 1: Đổi biến số đặt u = ϕ ( t ) � du = ϕ ' ( t ) dt t =α � u =ϕ (α ) = a Bước 2: Đổi cận : t = β �u =ϕ( β) =b β b Bước 3: Đổi biểu thức dưới dấu tích phân I = �f ( ϕ ( t ) ) .ϕ ' ( t ) dt = �f ( u ) du α a Chú ý : Một số dạng đặc biệt của tích phân f '( x ) 1) dx = ln f ( x ) + C f ( x) 2) Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau b b �f ( x ) dx = �f ( a + b − x ) dx a a a a 3) Nếu f ( x ) là hàm chẵn và liên tục trên [ − a; a ] thì �f ( x ) dx = 2�f ( x ) dx −a 0 a 4) Nếu f ( x ) là hàm lẻ và liên tục trên [ − a; a ] thì f ( x ) dx = 0 −a a f ( x) a 5) � x dx = � f ( x ) dx , ( f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên [ − a; a ] ) −a m + 1 0 2.2.2. Bài tập áp dụng 5 2 Câu 1: Cho f ( x ) dx = 4 . Tính I = f ( 2 x + 1) dx −1 −1 5 3 A. I = 2 B. I = C. I = 4 D. I = 2 2 Lời giải: 5 1 1 Đặt 2x + 1= u � 2dx = du � I = f ( u) du = .4 = 2 2 −1 2 1 π Câu 2: Cho f ( x ) dx = 2020. Tích phân f ( sin 2 x ) cos 2 xdx bằng: 4 0 0 14
A. 2019 B. − 1009 C. − 2018 D. 1010 Lời giải: x=0�t =0 Đặt t = sin 2 x �dt = 2 cos 2 xdx, đổi cận π x = � t =1 4 π 4 1 1 1 � f ( sin 2 x ) .cos 2 xdx = f ( x ) dx = .2020 = 1010 . Chọn D. 0 20 2 2019 Câu 3: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾥ và f ( x ) dx = 2 . Tính tích phân sau 0 e 2019 −1 x I= ln ( x 2 + 1) � .f � � �dx. 0 x +12 A. I = 1. B. I = 2. C. I = 4. D. I = 5. Lời giải: x = 0�t = 0 Đặt t = ln ( x 2 + 1) , suy ra dt = 2 xdx xdx dt � 2 = . Đổi cận: x +1 2 x +1 2 x = e 2019 − 1 � t = 2019 2019 2019 1 1 1 Khi đó I = � f ( t ) dt = �f ( x ) dx = 2 .2 = 1. Chọn A. 2 0 2 0 ( x ) dx = 4, π f Câu 4: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾥ và 9 2 � f ( sin x ) cos xdx = 2. Tính tích � 1 x 0 3 phân I = f ( x ) dx. 0 A. I = 2. B. I = 6. C. I = 4. D. I = 10. Lời giải: Xét 9 f ( x ) dx = 4. Đặt t = x � t 2 = x, suy ra 2tdt = dx. 1 x x =1�t =1 { 9 f ( x ) dx = 2 3 3 Đổi cận x = 9 � t = 3 . Suy ra � 1 x �f ( t ) dt � �f ( t ) dt = 2. 1 1 π 2 Xét f ( sin x ) cos xdx = 2. Đặt u = sin x, suy ra du = cos xdx. 0 π x = 0 �u = 0 2 1 Đổi cận x = π � u = 1. Suy ra 2 = f ( sin x ) cos xdx = f ( t ) dt. 2 � 0 � 0 3 1 3 f ( x ) dx = � Vậy I = � f ( x ) dx + � f ( x ) dx = 4. Chọn C. 0 0 1 15
Câu 5: Cho các hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn m. f ( x ) + n. f ( 1 − x ) = g ( x ) 1 1 f ( x ) dx = � với m, n là số thực khác 0 và � g ( x ) dx = 1. Tính m + n. 0 0 1 A. m + n = 0. B. m + n = . C. m + n = 1. D. m + n = 2. 2 Lời giải: b b Áp dụng tính chất f ( x ) dx = � �f ( a + b − x ) dx a a Từ giả thiết m. f ( x ) + n. f ( 1 − x ) = g ( x ) , lấy tích phân hai vế ta được 1 1 � � �m. f ( x ) + n. f ( 1 − x ) � dx = � � g ( x)dx 0 0 1 1 1 Suy ra m + n f ( 1 − x ) dx = 1 (do � g ( x ) dx = 1 ). ( 1) f ( x ) dx = � 0 0 0 { 1 x = 0 �t =1 Xét tích phân f ( 1 − x ) dx. Đặt t = 1 − x , suy ra dt = − dx. Đổi cận: x = 1 � t = 0 . 0 1 0 1 1 f ( 1 − x ) dx = −� Khi đó � f ( t ) dt = � f ( x ) dx = 1. ( 2 ) f ( t ) dt = � 0 1 0 0 Từ ( 1) và ( 2 ) , suy ra m + n = 1 . Chọn C. π Câu 6: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾥ và thỏa mãn tan x. f ( cos 2 x ) dx = 1, 4 0 f ( ln x ) f ( 2x) 2 2 e2 dx = 1. Tính tích phân I = 1 x dx. e x ln x 4 A. I = 1. B. I = 2. C. I = 3. D. I = 4. Lời giải: π 4 Xét A = tan x. f ( cos 2 x ) dx = 1 . Đặt t = cos 2 x. 0 dt Suy ra dt = −2sin x cos xdx = −2 cos 2 x tan xdx = −2t. tan xdx � tan xdx = − . 2t x = 0 � t =1 Đổi cận: x = π � t = 1 . 4 2 1 1 f ( t) 1 f ( t) 1 f ( x) f ( x) 1 2 1 1 Khi đó A = − � dt = � dt = � dx � � dx = 2. 21 t 21 t 21 x 1 x 2 2 2 f ( ln x ) 2 2 e Xét B = dx = 1. Đặt u = ln 2 x. e x ln x 2ln x 2ln 2 x 2u dx du Suy ra du = dx = dx = dx � = . x x ln x x ln x x ln x 2u 16
{ x = e �u =1 Đổi cận: x = e2 � u = 4 . 1 f ( u) 1 f ( x) f ( x) 4 4 4 Khi đó B = � du = � dx � � dx = 2. 21 u 21 x 1 x 2 f ( 2x) Xét tích phân cần tính I = dx. 1 x 2 1 dx = dv 1 1 = 2 x = �v = . Đặt v 2 x , suy ra v . Đổi cận: 4 2 x= x = 2�v = 4 2 4 f ( v) 4 f ( x) 1 f ( x) 4 f ( x) Khi đó I = � 1 v dv = � dx = � dx + � dx = 2 + 2 = 4. Chọn D. 1 x 1 x x 1 2 2 2 Câu 7: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾥ và thỏa f ( x ) + f ( − x ) = 2 + 2 cos 2 x với mọi x ﾥ . 3π 2 Tính I = f ( x) d x . 3π − 2 A. I = −6 . B. I = 0 . C. I = −2 . D. I = 6 . Lời giải: 3π 3π �t = x=− Đặt t = − x � dx = −dt. Đổi cận: 2 2 . 3π 3π x= �t = − 2 2 3π 3π 3π − 2 2 2 Khi đó I = − 3π �f ( −t ) dt = �f ( −t ) dt = �f ( − x ) dx. 3π 3π − − 2 2 2 3π 3π 3π 2 2 2 Suy ra 2 I = �f ( x ) + f ( − x ) � �� dx = � 2 + 2 cos 2 xdx = 4 �cosx dx = 12 � I = 6. Chọn D. 3π 3π 0 − − 2 2 f ( 2 x ) dx Câu 8: Cho hàm số chẵn y = f ( x ) liên tục trên R và 2 f ( x ) dx 1 = 8. Tính −1 1 + 2019 x 0 A. 2. B. 4. C. 8. D. 16. Phương pháp: Đổi biến số và sử dụng tính chất của hàm số chẵn. Lời giải: Đặt t = − x � dx = −dt . Đổi cận: x = −1 � t = 1; x = 1 � t = −1 1 f ( 2 x ) dx 1 f ( − 2 ) ( − dt ) 1 2t f ( 2t ) dt I=� =� −t =� (Vì y = f ( x ) là hàm số chẵn) −1 1 + 2019 x −1 1 + 2019 −1 1 + 2019 t f ( 2 x ) dx 1 2 x f ( 2 x ) dx 1 1 1 � 2I = � +� = �f ( 2 x ) dx ��f ( 2 x ) dx = 2.8 = 16 −1 1 + 2019 x −1 1 + 2019 x −1 −1 17
� �f ( 2 x ) dx + �f ( 2 x ) dx = 16 . Do y = f ( x ) là hàm số chẵn 0 1 −1 0 0 1 1 1 � �f ( 2 x ) dx = �f ( 2 x ) dx � 2 �f ( 2 x ) dx = 16 � �f ( 2 x ) dx = 8 −1 0 0 0 1 Đặt 2 x = m � dx = dm. Đổi cận x = 0 � m = 0, x =1 � m = 2 2 2 1 1 2 � �f ( 2 x ) dx = � f ( m ) dm = 8 � �f ( x ) dx = 16 . Chọn D. 0 20 0 Câu 9: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ 0;1] , f ( x ) và f ' ( x ) đều nhận giá trị dương trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn f ( 0 ) = 2, 1 1 1 �f ' ( x ) . �f ( x ) �2 + 1� ( ) ( ) ( ) 3 � 0 � � � � dx = 2 � 0 f ' x . f x dx . Tính 0 � �f x �dx. � 15 15 17 19 A. . B. . C. . D. . 4 2 2 2 f n+1 ( x ) Phương pháp: f ( x ) . f ' ( x ) dx = n + C, ( n −1) n +1 Lời giải: 1 1 1 �f ' ( x ) . �f ( x ) �2 + 1�dx = 2 f ' ( x ) . f ( x ) dx � �f ' ( x ) . �f ( x ) �2 − 2 f ' ( x ) . f ( x ) + 1�dx = 0 � 0 � � � � � 0 � 0 � � � � 1 2 � � f ' ( x ) . f ( x ) − 1�dx = 0 � f ' ( x ) . f ( x ) − 1 = 0 � f 2 ( x ) . f ' ( x ) = 1, ∀ x �[ 0;1] � � 0 x f 3 ( x) x x f 3 ( x ) f 3 ( 0) �� f ( x ) . f ' ( x ) dx = � 2 1dx � = x� − = x 0 0 3 0 3 3 1 ( 3x + 8 ) 1 1 2 1 19 Mà f ( 0 ) = 2 � f ( x ) = 3 x + 8 �� ( ) ( ) 3 � = � + = = 3 �f x �dx 3 x 8 dx . . Chọn D. 0 0 3 2 0 2 2.2.3. Bài tập tự luyện 2 5 : Cho f ( x 2 + 1) dx = 2 . Khi đó I = Câu 1 f ( x ) dx bằng 1 2 A. 2. B. 1. C. 1. D. 4. : Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn 2f ( x ) + 3f ( 1 − x ) = 1 − x 2 . Câu 2 1 Tính I = f ( x ) dx. 0 π π π π A. . B. . C. . D. . 4 6 20 16 18
4 5 2 ln 2 f ( 4x − 3 ) dx − Câu 3 : Biết f ( x ) dx = 6 và f ( x ) dx = 10 , khi đó � f (e )e � 2x 2x dx bằng 1 4 1 0 3 13 A. . B. . C. 4 . D. 1. 2 2 Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ﾥ , thỏa f ( x5 + 4 x + 3) = 2 x + 1 với mọi 8 x ﾥ . Tích phân f ( x ) dx bằng −2 32 A. 2. B. 10. C. . D. 72. 3 π π Câu 5: Biết f ( x ) là hàm số liên tục trên ﾥ và f ( x ) dx = 4 . Khi đó � 2 4 dx bằng �f ( 2 x ) − sin x � � 0 0 2 2 2 2 A. 2 + . B. 3 − . C. 1 + . D. 2 − . 2 2 2 2 ( x ) dx = 1 . π f 2 16 cot x. f ( sin x ) dx = � Câu 6: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾥ và thỏa mãn � 2 π 1 x 4 1 f ( 4x ) Tính tích phân I = 1 x dx. 8 3 5 A. I = 3. B. I = . C. I = 2. D. I = . 2 2 ln 2 f ( e + 1) dx = 5 và 3 ( 2 x − 3) f ( x ) dx = 3 Câu 7: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾥ . Biết x 0 2 x −1 3 . Tính I = f ( x ) dx 2 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Câu 8 : Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [1;4] và thỏa mãn f ( x) = ( f 2 x −1 ) + ln x . Tính tích phân của I = f ( x ) dx . 4 x x 3 A. I = 2 ln 2. 2 B. I = 2 ln 2. C. I = 3 + 2ln 2 2. D. I = ln 2 2. �1 � Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên � ;2 �, thỏa �2 � f ( x) 2 �1 � 1 f ( x ) + f � �= x 2 + 2 + 2. Tính tích phân I = x 2 + 1 dx. �x � x 1 2 3 5 A. I = . B. I = 2. C. I = . D. I = 3. 2 2 19
Câu 10: Cho số thực a > 0 . Giả sử hàm số f ( x ) liên tục và luôn dương trên đoạn [ 0;a ] a 1 thỏa mãn f ( x ) .f ( a − x ) = 1, ∀ x [ 0;a ] . Tính tích phân I = 1+ f ( x) dx. 0 a 2a a A. I = B. I = a C. I = D. I = 2 3 3 ĐÁP ÁN Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp án D C D B A D B A A A 2.3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 2.3.1. Phương pháp giải Định lí : Nếu u = u ( x ) và v = v ( x ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ a; b ] thì 20