Sóng phẳng không chính trong môi trường đàn hồi trực hướng

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết "Sóng phẳng không chính trong môi trường đàn hồi trực hướng" được chia làm hai phần. Phần đầu sẽ đi thiết lập ma trận độ cứng của môi trường trong hệ tọa độ không chính và các phương trình chuyển động tương ứng. Sau đó, phương trình đặc trưng của các sóng khối được thiết lập để xác định giá trị của vận tốc truyền sóng và biểu đồ chậm của các sóng khối. Trong trường hợp đặc biệt khi sóng tới truyền theo phương vuông góc với bề mặt, các công thức đơn giản của vận tốc sóng và các vector trạng thái của các sóng sẽ được trình bày. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sóng phẳng không chính trong môi trường đàn hồi trực hướng

100 116 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Sóng phẳng không chính trong môi trường đàn hồi trực hướng Trương Thị Thùy Dung*, Trần Thanh Tuấn Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc Gia Hà Nội *Email: dungttt@hus.edu.vn Tóm tắt. Bài toán sóng phẳng không chính truyền trong môi trường đàn hồi trực hướng được khảo sát trong bài báo. Mặt phẳng truyền sóng được giả sử là có một trục tọa độ trùng với một phương chính vật liệu của môi trường và trục tọa độ còn lại tạo một góc so với một phương chính khác. Để nhận được các đặc trưng của các sóng khối không chính, đầu tiên ma trận độ cứng của môi trường được thiết lập với hệ tọa độ không chính bằng phép biến đổi tensor. Sau đó phương trình đặc trưng được thiết lập từ các phương trình chuyển động để nhận được phương trình xác định vận tốc của các sóng khối và từ đó thiết lập biểu đồ chậm của hệ thống sóng. Trong trường hợp đặc biệt khi góc truyền sóng bằng không, các công thức đơn giản của vận tốc sóng và các vector trạng thái tương ứng được thiết lập có dạng đơn giản. Các công thức này là cần thiết trong bài toán xác định tần số cộng hưởng của một lớp trực hướng dưới tác động của một sóng không chính truyền qua. Từ khóa: Sóng khối không chính, môi trường đàn hồi trực hướng, biểu đồ chậm. 1. Mở đầu Bài toán xác định sóng khối truyền trong môi trường đàn hồi là một bài toán cổ điển và cần thiết để sử dụng khảo sát các bài toán phản xạ, khúc xạ tại các biên của môi trường. Các công thức của vận tốc truyền sóng khối khác nhau và các biểu độ chậm của chúng đã được khảo sát kỹ càng đối với môi trường đàn hồi đẳng hướng (Achenbach [1]). Trong các môi trường bất đẳng hướng, ví dụ như trực hướng, các sóng khối truyền theo phương chính (có mặt phẳng truyền sóng trùng với một mặt phẳng theo các phương chính của vật liệu) cũng đã được khảo sát bởi Lekhnitskii [2]). Phương pháp tỷ số H/V là một phương pháp đang được sử dụng phổ biến trong lĩnh vực địa vật lý để xác định tần số cộng hưởng của một lớp địa tầng đàn hồi dưới tác dụng của sóng động đất. Phương pháp này đo phổ tỷ số H/V (tỷ số của biên độ dao động của các hạt vật chất trên bề mặt trái đất theo phương ngang và theo phương thẳng đứng) để xác định tần số cộng hưởng của lớp địa tầng từ điểm cực đại của đường cong phổ tỷ số H/V [3]. Phương pháp này được đề xuất bởi Nakamura [4,5] với quan điểm rằng tần số cộng hưởng của lớp đàn hồi chính là tần số cực đại của đường cong hàm truyền sóng khối SH của lớp. Hơn nữa, hàm truyền sóng SH này được tính toán từ bài toán phản xạ và khúc xạ của một sóng tới SH có phương vuông góc với lớp đàn hồi. Trong trường hợp đẳng hướng, công thức của hàm truyền sóng SH và công thức của tần số cộng hưởng đã được xác định trong một số công trình như [6,7] đối với các mô hình khác nhau. Các công thức này cũng đã được xác định trong trường hợp môi trường đàn hồi là trực hướng nhưng đối với trường hợp sóng tới SH là sóng chính [8]. Bề mặt trái đất nói chung là được coi là môi trường đàn hồi đẳng hướng. Tuy nhiên, trong thực tế, theo Franquet [9], các lớp đá địa tầng nói chung là có tính chất bất đẳng hướng do cấu tạo phân lớp của chúng và đôi khi là do các đứt gẫy vi mô và các rạn nứt tồn tại bên trong. Có một số vùng trên bề mặt trái đất cần thiết phải được mô hình như là những lớp trực hướng như đã được báo cáo trong các bài báo của Ekstrom và Dziewonski [10]; Forsyth [11]; Sayers và Van Munster [12]; Nishimura và Forsyth [13]. Các bài toán liên quan đến hệ số khuếch đại sóng của các lớp địa tầng bất đẳng hướng cũng đã được nghiên cứu trong nhiều tài liệu, ví dụ như trong [14-16]. Tuy nhiên bài toán khảo sát hàm truyền của sóng SH không chính hiện chưa có kết quả khảo sát nào. Bài toán sóng khối SH không chính truyền trong môi trường đàn hồi trực hướng mới được khảo sát trong tấm mỏng (edge waves) thực hiện bởi Ohyoshi [17]; Vĩnh và các cộng sự [18]; Cerv và Plesek [19]. Tuy nhiên, theo hiểu biết của các tác giả, bài toán sóng khối SH không chính trong không gian đàn
101 Sóng phẳng không chính trong môi trường đàn hồi trực hướng 117 hồi hiện chưa có kết quả. Do đó, mục đích chính của bài báo này là tìm ra các đặc trưng của sóng khối không chính, đặc biệt là sóng SH, để làm tiền đề cho các nghiên cứu tiếp theo trong việc đi xác định tần số cộng hưởng của các lớp địa tầng trực hướng dưới ảnh hưởng của sóng động đất truyền theo một phương không trùng với phương chính vật liệu của lớp địa tầng. Bài báo được chia làm hai phần. Phần đầu sẽ đi thiết lập ma trận độ cứng của môi trường trong hệ tọa độ không chính và các phương trình chuyển động tương ứng. Sau đó, phương trình đặc trưng của các sóng khối được thiết lập để xác định giá trị của vận tốc truyền sóng và biểu đồ chậm của các sóng khối. Trong trường hợp đặc biệt khi sóng tới truyền theo phương vuông góc với bề mặt, các công thức đơn giản của vận tốc sóng và các vector trạng thái của các sóng sẽ được trình bày. Các kết quả này sẽ được sử dụng để thiết lập hàm truyền của sóng SH trong những nghiên cứu tiếp theo. Cuối cùng, một số kết quả số được minh họa đối với một môi trường đàn hồi trực hướng cụ thể. Xét môi trường đàn hồi trực hướng có các trục chính vật liệu là 𝑂𝑂𝑋𝑋1 𝑋𝑋2 𝑋𝑋3 (Hình 1). Giả sử sóng 2. Sóng phẳng truyền theo phương không chính phẳng truyền trong mặt phẳng 𝑂𝑂𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 trong đó trục 𝑥𝑥2 trùng với phương chính vật liệu 𝑂𝑂𝑋𝑋2 của môi trường trực hướng, trục 𝑥𝑥1 nằm trong mặt phẳng 𝑂𝑂𝑋𝑋1 𝑋𝑋3 và tạo với phương của 𝑂𝑂𝑋𝑋1 một góc 𝜃𝜃. Trong hệ tọa độ phương chính của vật liệu 𝑂𝑂𝑋𝑋1 𝑋𝑋2 𝑋𝑋3 , ma trận độ cứng của môi trường đàn hồi có Hình 1: Hệ tọa độ phương chính của vật liệu và hệ tọa độ truyền sóng. 𝑐𝑐11 𝑐𝑐12 𝑐𝑐13 0 0 0 ⎡ 𝑐𝑐 0⎤ dạng 𝑐𝑐22 𝑐𝑐23 0 0 ⎢ 12 ⎥ 𝑐𝑐 𝑐𝑐23 𝑐𝑐33 0 0 0⎥ 𝐂𝐂 = ⎢ 13 ⎢0 0 0 𝑐𝑐44 0 0⎥ ⎢0 0 0 0 𝑐𝑐55 0⎥ (1) ⎣0 0 0 0 0 𝑐𝑐66 ⎦ Trong hệ tọa độ mới 𝑂𝑂𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 , ma trận độ cứng được tính toán lại bằng các phép biến đổi tensor khi hệ tọa độ bị quay một góc 𝜃𝜃 xung quanh trục 𝑂𝑂𝑋𝑋2 và ma trận độ cứng 𝐂𝐂 trở thành
102 118 Trương Thị Thùy Dung, Trần Thanh Tuấn 𝑄𝑄11 𝑄𝑄12 𝑄𝑄13 0 𝑄𝑄15 0 ⎡ 𝑄𝑄 𝑄𝑄22 𝑄𝑄23 0 𝑄𝑄25 0 ⎤ ⎢ 12 ⎥ 𝑄𝑄 𝑄𝑄23 𝑄𝑄33 0 𝑄𝑄35 0 ⎥ 𝐐𝐐 = ⎢ 13 ⎢ 0 0 0 𝑄𝑄44 0 𝑄𝑄46 ⎥ ⎢ 𝑄𝑄15 𝑄𝑄25 𝑄𝑄35 0 𝑄𝑄55 0 ⎥ (2) ⎣ 0 0 0 𝑄𝑄46 0 𝑄𝑄66 ⎦ trong đó, các thành phần của ma trận 𝐐𝐐 được liên hệ với các thành phần của ma trận 𝐂𝐂 và góc 𝜃𝜃 có dạng 1 như sau (xem Lekhnitskii [2]) 𝑄𝑄11 = 𝑐𝑐11 cos 4 𝜃𝜃 + ( 𝑐𝑐13 + 2𝑐𝑐55 )sin2 (2𝜃𝜃) + 𝑐𝑐33 sin4 𝜃𝜃, 2 𝑄𝑄22 = 𝑐𝑐22 , 1 𝑄𝑄33 = 𝑐𝑐33 cos 4 𝜃𝜃 + ( 𝑐𝑐13 + 2𝑐𝑐55 )sin2 (2𝜃𝜃) + 𝑐𝑐11 sin4 𝜃𝜃, 2 𝑄𝑄44 = 𝑐𝑐44 cos 2 𝜃𝜃 + 𝑐𝑐66 sin2 𝜃𝜃, 1 𝑄𝑄55 = [ 𝑐𝑐11 − 2𝑐𝑐13 + 𝑐𝑐33 + 4𝑐𝑐55 − ( 𝑐𝑐11 − 2𝑐𝑐13 + 𝑐𝑐33 − 4𝑐𝑐55 )cos(4𝜃𝜃)], 8 𝑄𝑄66 = 𝑐𝑐66 cos 2 𝜃𝜃 + 𝑐𝑐44 sin2 𝜃𝜃, 𝑄𝑄12 = 𝑐𝑐12 cos 2 𝜃𝜃 + 𝑐𝑐23 sin2 𝜃𝜃, 1 𝑄𝑄13 = [ 𝑐𝑐 + 6𝑐𝑐13 + 𝑐𝑐33 − 4𝑐𝑐55 − ( 𝑐𝑐11 − 2𝑐𝑐13 + 𝑐𝑐33 − 4𝑐𝑐55 )cos(4𝜃𝜃)], (3) 8 11 1 𝑄𝑄15 = − [ 𝑐𝑐11 − 𝑐𝑐33 + ( 𝑐𝑐11 − 2𝑐𝑐13 + 𝑐𝑐33 − 4𝑐𝑐55 )cos(2𝜃𝜃)]sin(2𝜃𝜃 ), 4 𝑄𝑄23 = 𝑐𝑐23 cos 2 𝜃𝜃 + 𝑐𝑐12 sin2 𝜃𝜃, 𝑄𝑄25 = ( 𝑐𝑐23 − 𝑐𝑐12 )cos𝜃𝜃sin𝜃𝜃, 1 𝑄𝑄35 = [−𝑐𝑐11 + 𝑐𝑐33 + ( 𝑐𝑐11 − 2𝑐𝑐13 + 𝑐𝑐33 − 4𝑐𝑐55 )cos(2𝜃𝜃)]sin(2𝜃𝜃), 4 𝑄𝑄46 = ( 𝑐𝑐44 − 𝑐𝑐66 )cos𝜃𝜃sin𝜃𝜃. Xét một sóng phẳng truyền trong mặt phẳng 𝑂𝑂𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 với vận tốc 𝑉𝑉, số sóng 𝑘𝑘0 và vector truyền sóng �𝒑𝒑 = [ 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 ] có dạng biểu diễn của chuyển dịch ⃗ � 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝑒𝑒 𝜄𝜄 𝑘𝑘0 (𝑥𝑥1 𝑝𝑝1 +𝑥𝑥2 𝑝𝑝2 −𝑉𝑉𝑉𝑉) , ( 𝑖𝑖 = 1, 2, 3) 𝑢𝑢 và ứng suất theo phương 𝑥𝑥2 như sau (4) 𝜎𝜎2𝑗𝑗 = 𝜄𝜄 𝑘𝑘0 Σ2𝑗𝑗 𝑒𝑒 𝜄𝜄 𝑘𝑘0 (𝑥𝑥1 𝑝𝑝1 +𝑥𝑥2 𝑝𝑝2 −𝑉𝑉𝑉𝑉) , ( 𝑗𝑗 = 1, 2, 3) Do đó, phương trình trạng thái liên hệ giữa ứng suất và biến dạng trong hệ tọa độ 𝑂𝑂𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 sẽ có dạng (5) 𝜎𝜎11 𝜀𝜀11 ⎡ 𝜎𝜎22 ⎤ ⎡ 𝜀𝜀22 ⎤ ⎢ 𝜎𝜎 ⎥ ⎢ 𝜀𝜀 ⎥ ⎢ 33 ⎥ = 𝐐𝐐 ⎢ 33 ⎥ ⎢ 𝜎𝜎23 ⎥ ⎢ 𝜀𝜀23 ⎥ ⎢ 𝜎𝜎31 ⎥ ⎢ 𝜀𝜀31 ⎥ (6) ⎣ 𝜎𝜎12 ⎦ ⎣ 𝜀𝜀12 ⎦ trong đó, ε ij = 1 2 ( ui, j + u j ,i ) là tensor biến dạng. 𝜎𝜎11,1 + 𝜎𝜎12,2 = 𝜌𝜌𝑢𝑢̈1 Trong trường hợp bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động sẽ có dạng 𝜎𝜎21,1 + 𝜎𝜎22,2 = 𝜌𝜌𝑢𝑢̈2 𝜎𝜎31,1 + 𝜎𝜎32,2 = 𝜌𝜌𝑢𝑢̈3 (7)
103 Sóng phẳng không chính trong môi trường đàn hồi trực hướng 119 Thay dạng biểu diễn của chuyển dịch và phương trình trạng thái vào hệ phương trình vi phân chuyển 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ( 𝑖𝑖 = 1, 2, 3) được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau động, ta nhận được một hệ phương trình đại số tuyến tính đối với các biên độ của chuyển dịch 𝐴𝐴1 0 𝐙𝐙 � 𝐴𝐴2 � = �0� 𝐴𝐴3 0 (8) trong đó ma trận hệ số 𝐙𝐙 có dạng 𝑝𝑝1 𝑄𝑄11 + 𝑝𝑝2 𝑄𝑄66 − 𝜌𝜌𝜌𝜌 2 2 2 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 ( 𝑄𝑄12 + 𝑄𝑄66 ) 𝑝𝑝1 𝑄𝑄15 + 𝑝𝑝2 𝑄𝑄46 2 2 𝐙𝐙 = � 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 ( 𝑄𝑄12 + 𝑄𝑄66 ) 𝑝𝑝2 𝑄𝑄22 + 𝑝𝑝1 𝑄𝑄66 − 𝜌𝜌𝑉𝑉 2 2 2 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 ( 𝑄𝑄25 + 𝑄𝑄46 ) � 𝑝𝑝1 𝑄𝑄15 + 𝑝𝑝2 𝑄𝑄46 2 2 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 ( 𝑄𝑄25 + 𝑄𝑄46 ) 𝑝𝑝2 𝑄𝑄44 + 𝑝𝑝1 𝑄𝑄55 − 𝜌𝜌𝑉𝑉 2 2 2 (9) Để sóng khối tồn tại thì hệ phương trình (8) có nghiệm không tầm thường, do đó ta nhận được phương Det( 𝐙𝐙) = 0 trình đặc trưng xác định vận tốc sóng khối như sau Sau khi khai triển định thức, phương trình đặc trưng là một phương trình bậc 3 của 𝑋𝑋 = 𝜌𝜌𝑉𝑉 2 , có dạng (10) 𝑋𝑋 3 + 𝐴𝐴𝑋𝑋 2 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 0 như sau (11) A = −𝑝𝑝2 ( 𝑄𝑄22 + 𝑄𝑄44 + 𝑄𝑄66 )p2 2 − 𝑝𝑝1 ( 𝑄𝑄11 + 𝑄𝑄55 + 𝑄𝑄66 ), trong đó 2 2 𝐵𝐵 = 𝑝𝑝1 [ 𝑄𝑄11 𝑄𝑄55 4 − + ( 𝑄𝑄11 +𝑄𝑄55 ) 𝑄𝑄66 ] − 𝑄𝑄15 2 − 𝑄𝑄11 ( 𝑄𝑄22 + 𝑄𝑄44 ) + +2𝑄𝑄15 𝑄𝑄46 + 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 [𝑄𝑄12 2 2 2 (12) ( 𝑄𝑄15 + 𝑄𝑄46 ) − 𝑄𝑄22 𝑄𝑄55 + 2𝑄𝑄12 𝑄𝑄66 − ( 𝑄𝑄44 + 𝑄𝑄55 ) 𝑄𝑄66 ] + 𝑝𝑝2 [𝑄𝑄44 𝑄𝑄66 − 𝑄𝑄46 + 𝑄𝑄22 (𝑄𝑄44 + 𝑄𝑄66 )], 2 4 2 𝐶𝐶 = 𝑝𝑝1 �𝑄𝑄15 − 𝑄𝑄11 𝑄𝑄55 �𝑄𝑄66 + 𝑝𝑝2 𝑄𝑄22 ( 𝑄𝑄46 − 𝑄𝑄44 𝑄𝑄66 ) + 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 {𝑄𝑄15 𝑄𝑄22 + 𝑄𝑄12 𝑄𝑄55 ( 𝑄𝑄12 + 2𝑄𝑄66 ) − 6 2 6 2 4 2 2 2𝑄𝑄15 [ 𝑄𝑄12 ( 𝑄𝑄25 + 𝑄𝑄46 ) + 𝑄𝑄25 𝑄𝑄46 ] + 𝑄𝑄11 [( 𝑄𝑄25 + 𝑄𝑄46 ) − 𝑄𝑄22 𝑄𝑄55 − 𝑄𝑄44 𝑄𝑄66 ]} + 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 [𝑄𝑄12 𝑄𝑄44 − 2 2 4 2 2𝑄𝑄12 𝑄𝑄46 ( 𝑄𝑄25 + 𝑄𝑄46 ) + 𝑄𝑄25 𝑄𝑄66 + 2𝑄𝑄12 𝑄𝑄44 𝑄𝑄66 − 𝑄𝑄22 ( 𝑄𝑄11 𝑄𝑄44 − 2𝑄𝑄15 𝑄𝑄46 + 𝑄𝑄55 𝑄𝑄66 )]. 2 Phương trình đặc trưng (11) là một phương trình bậc 3 đầy đủ đối với 𝜌𝜌𝑉𝑉 2 , do đó tồn tại một hệ thống trước hướng truyền sóng (hay là vector �𝒑𝒑 = [ 𝑝𝑝1 𝑝𝑝2 ] 𝑇𝑇 ) chúng ta có thể giải số để tính toán giá trị vận tốc ⃗ 3 sóng (gọi là qP, qSV, qSH, tương tự như trường hợp đẳng hướng) không độc lập với nhau. Khi cho truyền của từng sóng khối và tính toán vector chậm (slowness vector) có dạng   p q= (13) V Vector chậm giúp chúng ta vẽ biểu đồ chậm, là biểu đồ được sử dụng trong các bài toán phản xạ và khúc Trong trường hợp đặc biệt khi sóng tới truyền theo phương 𝑂𝑂𝑥𝑥2 , nghĩa là 𝑝𝑝1 = 0, phương trình xạ của một sóng khối nào đó. ( 𝑄𝑄22 − 𝜌𝜌𝑉𝑉 2 )[ 𝑄𝑄46 − 𝑄𝑄44 𝑄𝑄66 + ( 𝑄𝑄44 + 𝑄𝑄66 ) 𝜌𝜌𝑉𝑉 2 − 𝜌𝜌2 𝑉𝑉 4 ] = 0 đặc trưng sẽ có dạng đơn giản như sau 2 (14) Trong trường hợp này, phương trình đặc trưng là tách được và do đó tồn tại một sóng độc lập dạng qP truyền với vận tốc Q22 VP = (15) ρ và hai sóng S (dạng qSH và qSV) truyền với vận tốc là nghiệm của phương trình
104 120 Trương Thị Thùy Dung, Trần Thanh Tuấn 𝑄𝑄46 − 𝑄𝑄44 𝑄𝑄66 + ( 𝑄𝑄44 + 𝑄𝑄66 ) 𝜌𝜌𝑉𝑉 2 − 𝜌𝜌2 𝑉𝑉 4 = 0 2 (16) Do đó, ta có 𝜌𝜌𝑉𝑉𝑆𝑆𝑆𝑆 = , 𝜌𝜌𝜌𝜌𝑆𝑆𝑆𝑆 = 2 𝑄𝑄44 +𝑄𝑄66 +√Δ 2 𝑄𝑄44 +𝑄𝑄66 −√Δ 2 2 với Δ = �(𝑄𝑄66 − 𝑄𝑄44 )2 + 4𝑄𝑄46 . (17) 2 Các hệ số 𝑄𝑄44 , 𝑄𝑄66 và 𝑄𝑄46 phụ thuộc vào góc lệch 𝜃𝜃 giữa trục 𝑂𝑂𝑥𝑥1 và 𝑂𝑂𝑋𝑋1 và được cho trong (3). Thay các hệ số này vào (17), ta nhận được 𝑉𝑉𝑆𝑆𝑆𝑆 = � , 𝑉𝑉𝑆𝑆𝑆𝑆 = � 𝑐𝑐66 𝑐𝑐44 𝜌𝜌 𝜌𝜌 Chú ý rằng, trong trường hợp đặc biệt khi sóng truyền dọc theo phương 𝑂𝑂𝑋𝑋2 thì vận tốc của các sóng (18) khối cho bởi (15) và (18) không phụ thuộc vào góc 𝜃𝜃. Tuy nhiên, vector trạng thái (là vector chuyển dịch-ứng suất của chúng) vẫn phụ thuộc vào góc 𝜃𝜃 như được chỉ ra dưới đây. (8) và giải ra các giá trị của biên độ chuyển dịch 𝐴𝐴1 , 𝐴𝐴2 , 𝐴𝐴3 . Sau đó sử dụng phương trình trạng thái (6) Ứng với mỗi loại sóng (qP, qSV và qSH), ta thay giá trị vận tốc của chúng vào hệ phương trình để tìm biên độ của ứng suất, được biểu diễn dưới dạng (5), ta nhận được vector trạng thái như sau. 𝑄𝑄46 ⎡ ⎤ Sóng qSV và sóng qSH, vector trạng thái có dạng 𝐴𝐴1 𝜌𝜌𝑉𝑉 2 −𝑄𝑄66 ⎢ 1 ⎥ 𝐴𝐴 � 3 � = 𝐴𝐴3 ⎢ 𝑝𝑝 𝑘𝑘 𝜌𝜌𝑉𝑉 2 𝑄𝑄46 ⎥ 𝛴𝛴21 ⎢ 2 0 𝜌𝜌𝑉𝑉 2 −𝑄𝑄66 ⎥ 𝛴𝛴23 ⎢ ⎥ (19) 𝑝𝑝2 𝑘𝑘0 �𝑄𝑄44 + 2 46 �⎦ 𝑄𝑄 2 ⎣ 𝜌𝜌𝜌𝜌 −𝑄𝑄66 và 𝑈𝑈2 = Σ11 = Σ22 = Σ33 = Σ31 = 0 . Trong biểu thức ở trên, chúng ta thay 𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑆𝑆𝑆𝑆 và 𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑆𝑆𝑆𝑆 để của 𝑂𝑂𝑋𝑋2 thì 𝑝𝑝2 = 1 và truyền theo phương ngược lại thì 𝑝𝑝2 = −1. nhận được vector trạng thái của sóng qSH và qSV tương ứng. Nếu sóng truyền dọc theo chiều dương 𝑆𝑆11 𝑄𝑄12 Sóng qP, vector trạng thái có dạng 𝑆𝑆22 𝑄𝑄22 � � = 𝐴𝐴2 𝑝𝑝2 𝑘𝑘0 � � 𝛴𝛴33 𝑄𝑄23 𝛴𝛴31 𝑄𝑄25 (20) và 𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴3 = 𝑆𝑆32 = 𝑆𝑆31 = 0. 3. Minh họa số Để minh họa, ta xét môi trường đàn hồi trực hướng là đá Tage tuff với các hằng số vật liệu được đo đạc trong Togashi và các cộng sự [16] và được cho trong Bảng 1. 𝐸𝐸 𝑋𝑋 (MPa) 𝐸𝐸 𝑌𝑌 𝐸𝐸 𝑍𝑍 𝜈𝜈 𝑋𝑋𝑋𝑋 𝜈𝜈 𝑍𝑍𝑍𝑍 𝜈𝜈 𝑍𝑍𝑍𝑍 𝐺𝐺 𝑋𝑋𝑋𝑋 (MPa) 𝐺𝐺 𝑍𝑍𝑍𝑍 𝐺𝐺 𝑍𝑍𝑍𝑍 Bảng 1. Các hằng số vật liệu của Tage tuff (Bảng 4, [16]) 2175 1416 2381 0.11 0.21 0.22 892 46 350 Bảng 1 cho ta các thông số vật liệu kỹ thuật và các hệ số của ma trận độ cứng được tính từ các thông số 𝑐𝑐11 = 2303.57, 𝑐𝑐22 = 1481.94, 𝑐𝑐33 = 2576.03, 𝑐𝑐44 = 350, 𝑐𝑐55 = 46, kỹ thuật này có giá trị (xem Lekhitskii [2]) như sau:
105 Sóng phẳng không chính trong môi trường đàn hồi trực hướng 𝑐𝑐66 = 892, 𝑐𝑐12 = 235.02, 𝑐𝑐13 = 535.46, 𝑐𝑐23 = 375.39. 121 (21) Các giá trị của hệ số cij có đơn vị được tính bởi Mpa. hướng không chính 𝜃𝜃 bằng 0 𝑜𝑜 , 30 𝑜𝑜 , 45 𝑜𝑜 và 60 𝑜𝑜 . Khi 𝜃𝜃 = 0 𝑜𝑜 , sóng là sóng chính và vận tốc sóng SH Hình 2 đến hình 5 là các biểu đồ chậm của ba sóng khối qP, qSV và qSH ứng với các trường hợp khi đó sẽ bằng 𝑉𝑉 0 𝑆𝑆𝑆𝑆 = � 𝑐𝑐44 𝜌𝜌 . Do đó, trong các hình vẽ từ Hình 2 đến Hình 5, ta vẽ đại lượng vô hướng của độ lớn vector chậm được tính bằng 𝑟𝑟 = 𝑉𝑉 0 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑉𝑉 truyền sóng và trục 𝑂𝑂𝑋𝑋2 , được gọi là ϕ . Khi đó, vector truyền sóng p = [p1 p 2 ]T có dạng . Giá trị độ lớn này phụ thuộc vào góc giữa phương  = sin (ϕ ) , p2 cos (ϕ ) p1 = Trong hình 2, giá trị của góc truyền sóng 𝜑𝜑 biến đổi từ 0 𝑜𝑜 đến 360 𝑜𝑜 và độ dài của vector chậm được biểu thị trong miền 0 ≤ r ≤ 3 . Trong trường hợp này, do sóng là sóng chính nên các đường chậm của Khi 𝜑𝜑 = 0 𝑜𝑜 , sóng truyền dọc theo phương 𝑂𝑂𝑋𝑋2 và do đó sóng qSH có vận tốc là 𝑉𝑉 0 𝑆𝑆𝑆𝑆 . Do đó, tại 𝜑𝜑 = các sóng có dạng hình ellipse. (Trong trường hợp môi trường là đẳng hướng, chúng là các đường tròn.) 0 𝑜𝑜 , độ dài cực của vector chậm của sóng qSH sẽ bằng 1. Đây là trường hợp đặc biệt và giá trị của vector chậm bằng 1 (đường cong sóng qSH tại 𝜑𝜑 = 0 𝑜𝑜 , hình 2) minh họa tính đúng đắn của công thức tổng quát của giá trị vector chậm trong bài toán. Nói chung, vận tốc các sóng khối là khác nhau và VP > VS nên ta có đường chậm của sóng qP nằm trong cùng (đường nét liền), tiếp đến là đường chậm của sóng qSV (đường nét đứt), và ngoài cùng là đường chậm của sóng qSH (đường nét chấm-đứt). Hình 2: Biểu đồ chậm của các sóng khối trong trường hợp θ = 0 .
106 122 Trương Thị Thùy Dung, Trần Thanh Tuấn Hình 3: Biểu đồ chậm của các sóng khối trong trường hợp θ = 30 . o Hình 4: Biểu đồ chậm của các sóng khối trong trường hợp θ = 45 . o
107 Sóng phẳng không chính trong môi trường đàn hồi trực hướng 123 Khi góc lệch phương chính 𝜃𝜃 tăng dần, chúng ta thấy rằng các đường chậm bắt đầu biến đổi và có hình dạng bị méo với một số vùng bị lõm vào. Các đường cong chậm không còn lồi với mọi góc 𝜑𝜑 như trong trường hợp sóng truyền theo phương chính (Hình 2) nữa. Tại những miền giá trị của góc tới mà có đường chậm bị lõm vào, các kết quả của bài toán phản xạ và khúc xạ giữa hai môi trường đàn hồi khác nhau có thể xảy ra những trường hợp đặc biệt, khác với những tính chất thông thường của bài toán rằng đường chậm của sóng qSH bị ảnh hưởng nhiều nhất bởi góc truyền sóng không chính 𝜃𝜃. Ví dụ như phản xạ, khúc xạ trong môi trường đẳng hướng. Quan sát các hình từ Hình 2 đến hình 5, chúng ta thấy trong hình 5, với 𝜃𝜃 = 60 𝑜𝑜 , tồn tại 6 miền lõm cùa đường chậm của sóng qSH và 4 miền lõm của đường chậm của sóng qSV. Hình 5: Biểu đồ chậm của các sóng khối trong trường hợp θ = 60 . o 4. Kết luận Bài báo đã khảo sát bài toán truyền sóng khối trong môi trường đàn hồi trực hướng khi phương truyền sóng không trùng với phương chính vật liệu của môi trường. Phương trình đặc trưng xác định vận tốc truyền sóng của ba sóng khối qP, qSV và qSH đã được tìm ra bằng phương pháp truyền thống cụ thể. Trong trường hợp đặc biệt khi phương truyền sóng trùng với trục 𝑂𝑂𝑋𝑋2 , bài báo đã nhận được các và đã được dùng để khảo sát số biểu đồ chậm của các sóng đối với một môi trường đàn hồi trực hướng công thức đơn giản của vận tốc truyền sóng và các vector trạng thái tương ứng. Những kết quả này là cần thiết trong bài toán thiết lập hàm truyền đối với sóng SH không chính của một lớp trực hướng và từ đó để tìm ra tần số cộng hưởng của lớp trực hướng đó khi bị chịu tác động của sóng động đất. Lời cảm ơn Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trong đề tài mã số TN.21.03. Tài liệu tham khảo
108 124 Trương Thị Thùy Dung, Trần Thanh Tuấn [1] J. D. Achenbach, Wave Propagation in Elastic Solids, North-Holland, Amsterdam, (1973). [2] S. G. Lekhnitskii, Theory of elasticity of an anisotropic body, Mir publishers, Moscow, (1981). [3] S. Molnar, A. Sirohey, J. Assaf, P. Y. Bard et al. A review of the microtremor horizontal-to-vertical spectral ratio (MHVSR) method, Journal of Seismology, (2022), pp. 1-33. [4] Y. Nakamura. A method for dynamic characteristics estimation of subsurface using microtremor on the ground surface. Quarterly Report of RTRI, Railway Technical Research Institute(RTRI), 30, (1), (1989), pp. 25-33. [5] Y. Nakamura. Clear identification of fundamental idea of Nakamuras technique and its applications. 12WCEE Vol. 2656, (2000). [6] P. G. Malischewsky, F. Scherbaum, C. Lomnitz, T. T. Tuan, F. Wuttke, G. Shamir. The domain of existence of prograde Rayleigh-wave particle motion for simple models. Wave Motion, 45, (4), (2008), pp. 556–564. [7] T. T. Tuan, Vinh PC, Malischewsky P, Aoudia A. Approximate formula of peak frequency of H/V ratio curve in multilayered model and its use in H/V ratio technique. Pure and Applied Geophysics, 173, (2), (2016), pp. 487- 498. [8] T. T. T. Dung, T. T. Tuan, P. C. Vinh, G. K. Trung. An approximate formula of first peak frequency of ellipticity of Rayleigh surface waves in an orthotropic layered half-space model. Journal of Mechanics of Materials and Structures, 15, (1), (2020), pp. 61-74. [9] J. A. Franquet, E. F. Rodriguez. Orthotropic horizontal stress characterization from logging and core derived acoustic anisotropies. In 46th US Rock Mechanics/Geomechanics Symposium, OnePetro, (June 2012). [10] G. Ekström, A. M. Dziewonski. The unique anisotropy of the Pacific upper mantle. Nature, 394, (6689), (1998), 168-172. [11] D. W. Forsyth. The early structural evolution and anisotropy of the oceanic upper mantle. Geophysical Journal International, 43, (1), (1975), pp. 103-162. [12] C. M. Sayers, J. G. Van Munster. Microcrack‐induced seismic anisotropy of sedimentary rocks. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 96, (B10), (1991), pp. 16529-16533. [13] C. E. Nishimura, D. W. Forsyth. The anisotropic structure of the upper mantle in the Pacific. Geophysical Journal International, 96, (2), (1989), pp. 203-229. [14] M. E. Chenevert, C. Gatlin. Mechanical anisotropies of laminated sedimentary rocks. Society of petroleum engineers journal, 5, (01), (1965), pp. 67-77. [15] T. Zheng, M. Dravinski. Amplification of SH waves by an orthotropic basin. Earthquake engineering and structural dynamics, 27, (3), (1998), pp. 243-257. [16] Y. Togashi, M. Kikumoto, K. Tani, K. Hosoda, K. Ogawa. Determination of 12 orthotropic elastic constants for rocks. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, 147:104889, (2021). [17] T. Ohyoshi. The propagation of Rayleigh waves along an obliquely cut surface in a directional fiber- reinforced composite. Composites science and technology, 60, (12-13), (2000), pp. 2191-2196. [18] P. C. Vinh, N. T. K. Linh. Explicit secular equations and formulas for the velocity of Rayleigh waves in a directional fiber-reinforced composite. ECCM15 - 15th European conference on composite materials, Venice, Italy, (24-28 June 2012). [19] J. Cerv, J. Plesek. Implicit and explicit secular equations for Rayleigh waves in two-dimentional anisotropic media. Wave Motion, 50, (7), (2013), pp. 1105-1117.