Sóng Stoneley truyền trong môi trường trực hướng không nén được

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Sóng Stoneley truyền trong môi trường trực hướng không nén được nghiên cứu sóng Stoneley truyền dọc biên phân chia của hai bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được. Mục tiêu chính là tìm ra phương trình tán sắc dạng hiện của sóng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sóng Stoneley truyền trong môi trường trực hướng không nén được

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2016. ISBN : 978-604-82-1980-2 SÓNG STONELEY TRUYỀN TRONG MÔI TRƯỜNG TRỰC HƯỚNG KHÔNG NÉN ĐƯỢC Nguyễn Thị Khánh Linh, Bùi Tuấn Anh Trường Đại học Thủy lợi, email: ntklinh@tlu.edu.vn 1. MỞ ĐẦU Mục tiêu của bài toán là tìm phương trình Sóng Stoneley truyền dọc biên phân chia tán sắc dạng hiện của sóng Stoneley. Phương của hai bán không gian đàn hồi đẳng hướng pháp sử dụng để giải quyết bài toán này là nén được được Stoneley [3] nghiên cứu năm phương pháp điều kiện biên hiệu dụng. 1924. Tác giả đã thu được phương trình tán 3. ĐIỀU KIỆN BIÊN HIỆU DỤNG sắc dạng hiện của sóng bằng phương pháp truyền thống [1]. Năm 1999, Sotiropolous [3] Ta sẽ bỏ bán không gian thứ nhất x 2 ≤ 0 tìm ra phương trình tán sắc của sóng Stoneley và thay thế ảnh hưởng của nó lên bán không truyền trong các bán không gian đàn hồi trực gian thứ hai x 2 ≥ 0 bằng điều kiện biên hiệu hướng nén được cũng bằng phương pháp sử dụng tại mặt phẳng x 2 = 0 (của bán không dụng định lý Vi-et [1]. Tuy nhiên phương gian thứ hai). trình này chưa hoàn toàn tường minh. Dạng Vì bán không gian thứ nhất là đàn hồi trực hoàn toàn tường minh của nó được tìm ra bởi hướng không nén được, nên quan hệ ứng Vinh và Anh [5] năm 2016 bằng phương suất-biến dạng có dạng sau: pháp ma trận trở kháng. σ11 = − p + c11u1,1 + c12 u 2,2 Báo cáo này nghiên cứu sóng Stoneley σ 22 = − p + c12 u1,1 + c22 u 2,2 (2) truyền dọc biên phân chia của hai bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được. σ12 = c66 (u1,2 + u 2,1 ) Mục tiêu chính là tìm ra phương trình tán sắc trong đó σij là các thành phần ướng suất, dạng hiện của sóng. p = p(x1 , x 2 , t) là áp suất thủy tĩnh, cij là các 2. ĐẶT BÀI T OÁN hằng số vật liệu, dấu "," chỉ đạo hàm theo Xét sóng Stoneley truyền trong hai bán biến không gian. không gian đàn hồi trực hướng không nén Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển được. Bán không gian thứ nhất nằm trên động có dạng: miền x 2 ≤ 0 và bán không gian thứ hai chiếm .. .. miền x 2 ≥ 0 . Giả thiết hai bán không gian σ11,1 + σ12,2 = ρ u1; σ12,1 + σ 22,2 = ρ u 2 (3) này là gắn chặt. Chú ý rằng các đại lượng trong đó ρ là mật độ khối lượng của vật giống nhau của bán không gian thứ nhất và liệu, dấu "." chỉ đạo hàm theo thời gian. thứ hai có cùng kí hiệu nhưng được phân biệt Vì vật liệu là không nén được nên ta có: bằng dấu gạch ngang ở trên nếu liên quan u1,1 + u 2,2 = 0. (4) đến bán không gian thứ nhất. Xét trạng thái biến dạng phẳng với các thành phần chuyển Điều kiện tắt dần ở vô cùng: dịch có dạng: u1 = u 2 = σ12 = σ 22 = 0 t¹i x 2 = −∞ (5) u i = u i (x1 , x 2 , t), u 3 = u 3 ≡ 0 Giả sử sóng Stoneley truyền theo hướng x1 (1) u i = u i (x1 , x 2 , t), i = 1, 2, và tắt dần theo hướng x 2 .Theo Vinh và cộng trong đó t là thời gian. sự [2], chuyển dịch và ứng suất của sóng 193
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2016. ISBN : 978-604-82-1980-2 Stoneley trong bán không gian thứ nhất x 2 ≤ 0 Phương trình (15) chính là điều kiện biên thỏa mãn các phương trình (2)-(5) là [2]: hiệu dụng cần tìm, nó thay thế toàn bộ ảnh hưởng của bán không gian thứ nhất lên bán u n = U n (y) eik(x1 −ct) , không gian thứ hai. σ n 2 = ik ∑ n (y) eik(x1−ct ) (6) 4. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC y = kx 2 , n = 1, 2 Bây giờ ta có thể bỏ qua bán không gian thứ trong đó: nhất x 2 ≤ 0 và sóng Stoneley được xem như U1 (y) = (α1A1e p1y + α 2 A 2e p2 y ), là một sóng Rayleigh truyền trong bán không (7) U 2 (y) = −i(A1e p1y + A 2e p2 y ), gian thứ hai x 2 ≥ 0 theo hướng x1 , tắt dần theo hướng x 2 và chịu điều kiện biên hiệu dụng Σ1 = −i(β1A1e p1y + β2 A 2e p2 y ), (8) (15). Giả thiết bán không gian thứ hai Σ 2 = ( γ1A1e p1y + γ2 A 2e p2 y ). x 2 ≥ 0 cũng là đàn hồi trực hướng không nén A1 , A 2 là các hằng số, y = kx 2 p1 , p2 là hai được. Theo Vinh và cộng sự [2], các thành nghiệm có phần thực dương của phương trình: phần chuyển dịch và ứng suất được xác định bởi các công thức sau (tham khảo thêm [2]): γp 4 − (2β − X)p 2 + γ − X = 0 (9) 2 u n = U n (y)eik(x1−ct) , y = kx 2 với: γ = c66 , X = ρc , β = ( δ − 2 γ ) / 2, ik(x1 −ct) (16) σn2 = ikΣ n (y)e , n = 1, 2 δ = c11 − 2c12 + c22 . trong đó: và: 2 U1 (y) = −(α1B1e − p1y + α 2 B2e− p2 y ), α k = pk , βk = c66 (1 + pk ), (17) (10) U 2 (y) = −i(B1e − p1y + B2e− p2 y ) γk = (X − δ + βk )α k , k = (1, 2). Từ (9) ta có: Σ1 (y) = −i(β1B1e− p1y + β2 B2e− p2 y ), (18) 2 2 2β − X Σ 2 (y) = −( γ1B1e− p1y + γ 2 B2e − p2 y ) p1 + p2 =S= , γ trong đó: B1, B2 là các hằng số được xác định (11) 2 2 γ −X từ các điều kiện biên hiệu dụng (15), p1, p 2 là p1 p2 =P= . γ các nghiệm có phần thực dương của phương Cũng theo Vinh và cộng sự [2]: trình (9) và các đại lượng α k , βk , γ k xác định 0 < X < c66 (12) từ (10) bằng cách bỏ đi dấu gạch ngang. và: Thay thế (17), (18) với x 2 = 0 vào (15) ta nhận được phương trình tán sắc được viết P > 0, S + 2 P > 0, (13) tường minh như sau: p1p2 = P, p1 + p2 = S + 2 P . c66 [(X − δ)( P − 1) − c66 (S + P + 1)] Từ (7) và (8) ta có: + c66 [(X − δ )( P − 1) − c66 (S + P + 1)] U1(0) = (α1A1 + α2A2 ), U2 (0) = −i(A1 + A2 ) (19) (14) − 2c66 c66 (1 − P)(1 − P) Σ1(0)=− i(β1A1+β2A2 ), Σ2 (0)= ( γ1A1+ γ2A2 ). Khử A1, A 2 từ (15) và sử dụng điều kiện −c66 c66 S + 2 P S + 2 P ( P + P) = 0 liên tục tại: Đây chính là phương trình tán sắc dạng x 2 = 0 : U n (0) = U n (0), Σ n (0) = Σ n (0), n = 1, 2 hiện cần tìm của sóng Stoneley truyền trong hai bán không gian đàn hồi trực hướng không ⎧[α]Σ1 (0) + i[β ]U1 (0) − [α, β ]U 2 (0) = 0 nén được. Dạng không thứ nguyên của nó thu ⎨ (15) ⎩[α]Σ 2 (0) − [ γ ]U1 (0) − i[α, γ ]U 2 (0) = 0 2 được bằng cách chia hai vế của (19) cho c66 : 194
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2016. ISBN : 978-604-82-1980-2 (x − eδ )( P − 1) − (S + P + 1) trùng với phương trình tán sắc nhận được từ 2 2 phương trình (58) trong [5] khi các bán + rμ [(rv x − e δ )( P − 1) − (S + P + 1)] không gian trở thành đẳng hướng không (20) nén được. −2rμ (1 − P )(1 − P) 6. KẾT LUẬN −rμ S + 2 P S + 2 P ( P + P) = 0 Báo cáo trình bầy sự truyền của sóng với Stonley dọc biên phân chia giữa hai bán S = eδ − x − 2, P = 1 − x không gian đàn hồi trực hướng không nén 2 2 S = eδ − rv x − 2, P = 1 − rv x được. Trước tiên, một điều kiện biên hiệu dụng được thiết lập để thay thế toàn bộ ảnh X δ δ c x= , eδ = , eδ = , rμ = 66 , hưởng của bán không gian thứ nhất lên bán c66 c66 c66 c66 không gian thứ hai. Từ điều kiện biên hiệu c2 c c66 dụng này, báo cáo đã thu được một phương rv = , c 2 = 66 , c2 = . trình tán sắc dạng tường minh. Khi các bán c2 ρ ρ không gian là đẳng hướng, báo cáo đã thu Rõ ràng, vận tốc sóng không thứ nguyên được phương trình tán sắc của sóng Stoneley x phụ thuộc vào 4 tham số không thứ do Stoneley đã tìm ra năm 1924. Phương nguyên: eδ ,e δ , rμ , rv . trình tán sắc thu được sẽ được sử dụng như 5. TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT là cơ sở lý thuyết trong việc đánh giá các đặc trưng cơ học của các không gian từ các dữ Khi 2 bán không gian đàn hồi là đẳng hướng liệu thực nghiệm. ngang (với trục đẳng hướng là x 3 ) ta có: c11 = c22 , c11 − c12 = 2c66 , c11 7. TÀI LIỆU THAM KHẢO = c22 , c11 − c12 = 2c66 . [1] Phạm Chí Vĩnh (2015). Các phương pháp tìm phương trình tán sắc dạng hiện của sóng Khi đó: Rayleigh và ứng dụng, NXB ĐHQGHN. eδ = e δ = 4, P = 1 − x, S = 2 − x, [2] Ogden, R. W., Vinh, P. C. (2004), On 2 2 (21) Rayleigh waves in incompressible P = 1 − rv x, S = 2 − rv x orthotropic elastic solids. J. Acoust. Soc. và phương trình tán sắc của sóng Stoneley Am., 115, pp. 530- 533. có dạng (20) trong đó eδ = e δ = 4, S, S, P, P [3] Sotiropolous, D. A. (1999), The effect of anisotropy on guided elastic waves in a được tính bởi (21). Khi cả hai bán không gian layered half-space, Mech. Mater, 31, pp. là đẳng hướng, phương trình tán sắc vẫn có 215-233. dạng như vậy nhưng khi đó x = ρc2 / μ. [4] Stoneley, R. (1924). Elastic waves at the Dạng có thứ nguyên tương ứng với nó là: surface of separation of two solids.Proceedings of the Royal Society of μ[(ρc 2 − 4μ) P +ρc 2]+μ[(ρc2 −4μ) P+ρc2] London Series A – Mathematical and −2μμ(1 − P)(1 − P ) (22) Physical Sciences, 106, pp. 416–428. [5] Vinh, P.C., Anh, V. T. N. (2016), Explicit −μμ S + 2 P S + 2 P ( P + P) = 0 surface impedance matrices and their Phương trình (22) là phương trình tán sắc applications, Vietnam Journal of Mechanics, Accepted. của sóng Stoneley trong trường hợp đẳng hướng, không nén được. Phương trình này 195