Sự giãn nở tăng tốc của vũ trụ trong mô hình hấp dẫn f(R) dạng hàm mũ - đa thức

Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 4(6) - 2012<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> SÖÏ GIAÕN NÔÛ TAÊNG TOÁC CUÛA VUÕ TRUÏ TRONG MOÂ HÌNH<br /> HAÁP DAÃN f(R) DAÏNG HAØM MUÕ - ÑA THÖÙC<br /> Voõ Vaên ÔÙn(1), Traàn Troïng Nguyeân(2)<br /> (1) Trường Ñaïi hoïc Thuû Daàu Moät, (2) Trường Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï nhieân –<br /> Ñaïi hoïc Quoác gia thaønh phoá Hoà Chí Minh<br /> <br /> <br /> TOÙM TAÉT<br /> Trong baøi baùo naøy ngoaøi phaàn giôùi thieäu sô löôïc nhöõng neùt cô baûn veà haáp daãn caûi<br /> tieán f(R) vaø ñoäng löïc hoïc vuõ truï cuûa noù, chuùng toâi ñöa vaøo moät moâ hình haáp daãn f(R)<br /> vôùi lagrangian coù daïng luõy thöøa – ña thöùc cuûa ñoä cong voâ höôùng R cuûa vuõ truï. Chuùng<br /> toâi chæ ra raèng moâ hình haáp daãn naøy coù theå dieãn taû moät vuõ truï vôùi söï giaõn nôû taêng toác<br /> vaøo thôøi gian sau vaø laïm phaùt ôû giai ñoaïn ñaàu.<br /> Töø khoùa: haáp daãn caûi tieán f(R), daïng luõy thöøa-ña thöùc<br /> *<br /> 1.Môû ñaàu ngaén veà haáp daãn f(R) vaät chaát thoâng thöôøng vaø maät ñoä naêng löôïng<br /> Coù nhieàu döõ kieän quan saùt trong thôøi vacuum vaät lí, noù xaùc ñònh ñoä lôùn cuûa haèng<br /> gian gaàn ñaây chæ ra raèng vuõ truï chuùng ta soá vuõ truï, ôû thôøi ñieåm hieän taïi duø raèng toác ñoä<br /> ñang ôû trong giai ñoaïn taêng toác. Nhöõng quan thay ñoåi cuûa chuùng laø khaùc nhau trong quaù<br /> saùt naøy döïa treân sao sieâu môùi loaïi IA [1, 2, trình phaùt trieån cuûa vuõ truï) [11]. Do hai vaán<br /> 3, 4], böùc xaï neàn vuõ truï [5], söï taïo thaønh caáu<br /> ñeà nan giaûi naøy, phaàn lôùn caùc nhaø vaät lí loaïi<br /> truùc treân giai lôùn cuûa vuõ truï [6], göông haáp<br /> boû höôùng tieáp caän haèng soá vuõ truï trong söï<br /> daãn yeáu [7]. Coù ba höôùng tieáp caän lí thuyeát<br /> coù theå giaûi thích ñöôïc söï taêng toác naøy cuûa vuõ giaûi thích söï taêng toác cuûa vuõ truï.<br /> truï laø [8]: (1) moät haèng soá vuõ truï Λ, (2) naêng ÔÛ höôùng tieáp caän thöù hai, haàu heát caùc<br /> löôïng toái, vaø (3) haáp daãn caûi tieán. moâ hình ñeàu naèm trong khuoân khoå cuûa<br /> Trong höôùng tieáp caän ñaàu tieân, moät thuyeát töông ñoái toång quaùt Einstein vaø ñeàu<br /> haèng soá vuõ truï Λ ñang ñaåy vaät chaát cuûa vuõ coâng nhaän raèng coù toàn taïi moät daïng vaät chaát<br /> truï laøm cho noù taêng toác vaø xu höôùng naøy môùi trong vuõ truï goïi laø naêng löôïng toái vôùi<br /> ñang chieám öu theá trong vuõ truï hieän nay, noù phöông trình traïng thaùi P    (p laø aùp<br /> ñöa vuõ truï vaøo trong pha de Sitter taêng toác suaát,  laø maät ñoä naêng löôïng cuûa vaät chaát<br /> maõi maõi. Caùch tieáp caän naøy laø höôùng giaûi toái), noù ñang chieám öu theá trong vuõ truï trong<br /> thích roõ raøng nhaát cho söï taêng toác hieän nay, giai ñoaïn vaät chaát öu theá hieän nay, naêng<br /> tuy nhieân noù gaëp phaûi hai vaán ñeà raát nan löôïng toái thaäm chí coù theå laø naêng löôïng “ma”<br /> giaûi laø vaán ñeà haèng soá vuõ truï (söï khaùc bieät vôùi phöông trình traïng thaùi P    . Nhieàu<br /> ñeán 120 baäc ñoä lôùn giöõa giaù trò lí thuyeát vaø moâ hình naêng löôïng toái ñaõ ñöôïc nghieân cöùu<br /> giaù trò quan saùt cuûa haèng soá vuõ truï) [9,10] vaø nhöng chöa coù moâ hình naøo hoaøn toaøn thuyeát<br /> vaán ñeà truøng nhau (söï truøng nhau veà baäc ñoä phuïc hoaëc traùnh ñöôïc vaán ñeà tinh chænh ñeå coù<br /> lôùn khoâng theå giaûi thích ñöôïc giöõa maät ñoä theå ñöôïc xem laø moät moâ hình “ñuùng”.<br /> <br /> 3<br /> Journal of Thu Dau Mot university, No4(6) – 2012<br /> <br /> <br /> Vôùi höôùng tieáp caän thöù ba, ngöôøi ta thay 1<br /> ñoåi thuyeát töông ñoái toång quaùt Einstein ñeå coù<br /> S J ( g ab ) <br /> 2k 2  f ( R)  gd 4 x  S M (2)<br /> theå giaûi thích söï taêng toác cuûa vuõ truï hieän nay ÔÛû ñaây f(R) laø moät haøm phi tuyeán naøo<br /> nhöng khoâng caàn ñeán haèng soá vuõ truï hay ñoù cuûa voâ höôùng Ricci R, SM laø taùc duïng<br /> naêng löôïng toái bí aån. ÔÛ höôùng tieáp caän naøy, cuûa tröôøng vaät chaát, 2 8 G , voâ höôùng<br /> k <br /> lôùp moâ hình haáp daãn caûi tieán f(R) ñöôïc quan c4<br /> taâm ñaëc bieät. Trong lôùp moâ hình naøy, voâ Ricci ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:<br /> höôùng Ricci trong maät ñoä lagrangian Einstein R  g ab Rab , Rab  Racb<br /> c<br /> (3)<br /> – Hilbert ñöôïc thay theá baèng moät haøm f(R),<br /> taùc duïng Einstein- Hilbert kinh ñieån laø: Tenxô ñoä cong laø:<br /> 1<br /> d<br /> R  cdab  bdac  eabced  eacbe<br /> d<br /> (4)<br /> SE H <br /> 2k 2   g ( R  2)d 4 x  S M (1) abc<br /> Khi thay ñoåi taùc duïng naøy ñoái vôùi<br /> ÔÛû daïng toång quaùt, taùc duïng cuûa haáp tenxô metric gab ta ñöôïc phöông trình<br /> daãn f(R) trong frame daïng Jordan vôùi tröôøng:<br /> tröôøng vaät chaát ñöôïc vieát:<br /> 1<br /> f ( R) Rab  g ab f ( R)   a b f ( R)  g abc c f ( R)   2Tab (5)<br /> 2<br /> f '( R)  df ( R) / dR vaø Tab   SM /  g<br /> ab<br /> ÔÛ ñaây: (6)<br /> Phöông trình (5) laø phöông trình vi tröôøng voâ höôùng daãn daét cho vuõ truï laïm<br /> phaân baäc 4, raát khoù giaûi. phaùt ôû giai ñoaïn vuõ truï raát sôùm.<br /> Veà nguyeân taéc, tenxô metric coù theå goàm Chuùng ta thöïc hieän moät pheùp bieán ñoåi<br /> nhieàu baäc töï do nhö tenxô, vectô, voâ höôùng conformal ñeå chuyeån taùc duïng (2) töø frame<br /> coù khoái löôïng hoaëc khoâng khoái löôïng. Trong Jordan veà frame Einstein:<br /> E<br /> gab  e gab<br /> thuyeát haáp daãn cuûa Einstein chæ coù duy<br /> (7), ôû ñaây chuùng ta ñöa vaøo moät tham soá <br /> nhaát graviton vôùi spin 2 lan truyeàn, khi<br /> chuyeån sang haáp daãn caûi tieán f(R) ngoaøi nhö laø moät tröôøng voâ höôùng môùi thoûa<br /> graviton coøn coù theâm moät mode voâ höôùng   ln f ( R) (8).<br /> coù khoái löôïng nöõa, noù coù theå daãn daét cho vuõ Luùc naøy taùc duïng (2) trong frame<br /> truï taêng toác thôøi gian sau töông töï nhö moät Einstein thaønh:<br /> 1 E 3 <br /> 2 <br /> S E [ E gab ]  R E<br /> g aba b  V ( )   E g dx 4 (9)<br /> 2  2 <br /> ÔÛ ñaây a laø ñaïo haøm hieäp bieán öùng vôùi tenxô metric trong frame Einstein,<br /> Rf ( R)  f ( R)<br /> V ( ) laø theá hieäu duïng: V  (10)<br /> f ( R) 2<br /> E<br /> Thay ñoåi taùc duïng (9) ñoái vôùi gab ta ñöôïc:<br /> 1E 1 3 <br /> E<br /> Rab  gab E R  3a b  E gab  E g abab  V ( )  (11)<br /> 2 2 2 <br /> Khi thay ñoåi taùc duïng (9) ñoái vôùi ôû ñaây V  dV / d .<br /> V<br /> tröôøng  ta ñöôïc:  a b  0 (12) Chuùng ta xeùt vuõ truï phaúng, metric<br /> 3 FRW coù daïng:<br /> <br /> 4<br />  Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 4(6) - 2012<br /> <br /> <br /> ds2  dt 2  a2 (t )(dx2  dy2  dz 2 ) (13) Ñieàu kieän gia toác cuûa vuõ truï trong caùc<br /> moâ hình haáp daãn f(R) laø:<br /> Phöông trình Friedmann töø (11) laø:<br /> a<br /> 1 V ( )  H  H2  0 (20)<br /> H  2 <br /> 2<br /> (14) a<br /> 4 6<br /> H<br /> ôû ñaâyH a/a laø tham soá Hubble Töø ñaây:  1 (21)<br /> vaø a  da / dt . H2<br /> Laáy vi phaân H2 trong (17) vaø duøng<br /> Phöông trình chuyeån ñoäng cho tröôøng<br /> (18), ta coù:<br /> voâ höôùng thu ñöôïc töø (12) laø: 2<br /> V 1 V<br />   3H   0 H  (22)<br /> (15) 18 V<br /> 3 2<br /> 2. Ñoäng löïc hoïc vuõ truï cuûa haáp Luùc naøy (21) thaønh:     3<br /> V<br /> (23)<br /> daãn f(R) V <br /> Trong phaàn naøy ta seõ xeùt söï phaùt trieån Baát ñaúng thöùc (23) laø ñieàu kieän ñeå coù<br /> cuûa vuõ truï trong frame Einstein vôùi tröôøng söï giaõn nôû taêng toác.<br /> voâ höôùng töï haáp daãn. Chuùng ta baøn luaän cô 3. Söï giaõn nôû taêng toác cuûa vuõ truï<br /> cheá cho söï baét ñaàu, keát thuùc laïm phaùt vaø söï trong moâ hình haáp daãn f(R) daïng<br /> baét ñaàu pha taêng toác vuõ truï nhôø söï phaùt haøm muõ – ña thöùc<br /> trieån cuûa theá ñoä cong. Chuùng ta seõ khaûo saùt Chuùng toâi khaûo saùt moät lôùp moâ hình haáp<br /> cô cheá naøy töông töï vôùi cô cheá daãn daét laïm daãn f( R) vôùi lagrangian coù daïng haøm muõ –<br /> phaùt bôûi tröôøng voâ höôùng trong caùc moâ hình ña thöùc cuûa voâ höôùng Ricci R nhö sau:<br /> laïm phaùt. Chuùng ta söû duïng gaàn ñuùng laên <br /> f ( R)  R  a  (1  bR 2  cR 3 )e   R (24)<br /> n<br /> <br /> <br /> <br /> chaäm [12, 13]:   0,   V 2<br /> (16) R m<br /> <br /> <br /> Luùc naøy phöông trình Friedmann vaø ÔÛ ñaây  ,  laø nhöõng haèng soá döông,<br /> phöông trình chuyeån ñoäng cho tröôøng voâ m, n, a, b, c laø nhöõng haèng soá.<br /> V Trong tröôøng hôïp  = 0 hay R  <br /> höôùng thaønh: H  (17)<br /> 2<br /> <br /> 6 ta trôû laïi lí thuyeát Einstein.<br /> V Baøi baùo naøy chuùng toâi chæ haïn cheá<br /> 3H   (18) khaûo saùt tröôøng hôïp khi: b=c=1, a=-2Λ,<br /> 3<br /> m=n=1,   101;   104<br /> Phoái hôïp (17) vaø (18) cho ta:<br /> V Luùc naøy taùc duïng (24) thaønh:<br />  (19) 101<br /> f ( R)  R  2  m (1  R 2  R3 )e 10 . R (25)<br /> 4<br /> 3 6V<br /> R<br /> Vôùi lagrangian (25), theá hieäu duïng V(  ) töø coâng thöùc (10) trong frame Einstein thaønh:<br />  2 <br />  R <br />  3 <br />  R <br />    <br />  R   R <br />  <br />  1 (2 R  3R )e 10000  1 (1  R  R )e 10000  1 (1  R 2  R3 )e 10000   1 (1  R 2  R3 )e 10000 <br /> 2<br /> R 1      2   R <br /> 10 R 10 R2 100000 R 10 R (26)<br /> 1  <br /> <br /> V 2<br /> 2   R <br /> 2  10000 <br />  R <br /> 3  10000 <br />  R <br /> 3  10000 <br /> <br />  1 (2 R  3R )e 1 (1  R  R )e 1 (1  R  R )e <br /> 2 2<br /> <br /> 1  10 R<br /> <br /> 10 R 2<br /> <br /> 100000 R <br />  <br />  <br /> ÔÛ thôøi gian sau R laø raát nhoû neân töø bieåu thöùc ñaày ñuû cuûa V(  ) trong (26) ta ñöôïc:<br /> V (  ) ~ R3 (27)<br /> <br /> 5<br /> Journal of Thu Dau Mot university, No4(6) – 2012<br /> <br /> <br /> Trong khi ñoù:   1074 g / cm3 , ñoä cong voâ höôùng R cuûa<br /> vuõ truï laø raát lôùn R   , luùc naøy taùc duïng<br /> 3<br />  <br /> e  f ' ( R) ~ R2 neân V ( ) ~ e 2 (28)<br /> (25) cuûa moâ hình naøy trôû veà taùc duïng<br /> Ta bieát töø lí thuyeát laïm phaùt vôùi<br /> kinh ñieån trong thuyeát haáp daãn Einstein:<br /> tröôøng voâ höôùng raèng [12, 13]: neáu theá<br /> f ( R)  R  2 (31)<br /> hieäu duïng phuï thuoäc vaøo tröôøng voâ höôùng<br /> 1<br /> theo daïng V ( ) ~ exp(<br /> 2<br />  ) thì nhaân soá SE H <br /> 2k 2   g ( R  2)d 4 x  S M (32)<br /> p<br /> Vôùi taùc duïng kinh ñieån (32), vuõ truï seõ<br /> giai (coù theå xem nhö baùn kính vuõ truï) seõ<br /> laïm phaùt trong giai ñoaïn ñaàu raát sôùm<br /> phuï thuoäc vaøo thôøi gian theo daïng<br /> ngay sau khi hình thaønh theo luaät haøm<br /> a(t ) ~ t p .<br /> luõy thöøa[16, 17]: a(t ) ~ e H .t (33)<br /> Vôùi keát quaû cuûa chuùng ta ôû treân, thì<br /> ÔÛû ñaây H laø tham soá Hubble ôû giai<br /> nhaân soá giai seõ phuï thuoäc vaøo thôøi gian<br /> 4 ñoaïn raát sôùm vaø laø moät soá döông. Vôùi<br /> theo daïng: a(t ) ~ t 3<br /> (29) vieäc quay veà taùc duïng kinh ñieån Einstein<br /> Söï phaùt trieån cuûa nhaân soá giai theo – Hilbert, moâ hình naøy cuõng cho moät vuõ<br /> truï laïm phaùt ôû giai ñoaïn ñaàu raát sôùm.<br /> daïng (29) cuõng tìm thaáy ôû nhieàu moâ hình<br /> f(R) khaùc [14,15]. 5. Keát luaän<br /> Ñieàu kieän ñeå coù söï taêng toác cuûa vuõ Trong baøi baùo naøy, chuùng toâi ñöa vaøo<br /> truï (23) vieát laïi laø: moät moâ hình haáp daãn caûi tieán f(R) vôùi<br />  d  32 <br /> 2<br /> lagrangian coù daïng moät haøm luõy thöøa – ña<br />  (e )  thöùc cuûa ñoä cong voâ höôùng Ricci R; chuùng toâi<br />  d 3   3 (30); cuõng chæ ra raèng moâ hình naøy cuõng thoáng<br />     nhaát ñöôïc pha laïm phaùt vuõ truï ôû giai ñoaïn<br />  e<br /> 2<br /> <br />   ñaàu tieân vôùi pha taêng toác trong giai ñoaïn<br /> 9 sau. Daùng ñieäu phaùt trieån theo thôøi gian cuûa<br /> hay  3 : luoân ñöôïc thoûa.<br /> 4 nhaân soá giai cuøng daïng vôùi daùng ñieäu thu<br /> 4. Söï laïm phaùt cuûa vuõ truï ôû giai ñoaïn ñöôïc ôû nhieàu moâ hình f(R) ñöôïc quan taâm<br /> raát sôùm nhaát hieän nay. Caùc vaán ñeà khaùc cuûa moät moâ<br /> Laïm phaùt vuõ truï xaûy ra ôû giai ñoaïn hình haáp daãn f(R) nhö: oån ñònh vuõ truï, giôùi<br /> raát sôùm cuûa vuõ truï ngay sau khi hình haïn Newton vaø caùc kieåm chöùng trong heä<br /> thaønh, noù baét ñaàu töø thôøi ñieåm khoaûng Maët trôøi, caáu truùc vuõ truï treân giai lôùn… seõ<br /> 10-38s keùo daøi ñeán thôøi ñieåm khoaûng 10-33 ñöôïc trình baøy trong caùc nghieân cöùu khaùc.<br /> s ngay sau big bang, maät ñoä vaät chaát<br /> trong vuõ truï luùc ñoù laø raát cao<br /> *<br /> ACCELERATING EXPANSION OF THE UNIVERSE IN<br /> A POLYNOMAL- EXPONENTIAL f(R)GRAVITY MODEL<br /> Vo Van On(1), Tran Trong Nguyen(2)<br /> (1) Thu Dau Mot University, (2) University of Natural Sciences – VNU HCM<br /> ABSTRACT<br /> In this paper, we introduce a class of f (R) gravity model with Lagrangian of<br /> polynomial – exponential form of scalar curvature R. We have improved that this f(R)<br /> <br /> 6<br />  Tạp chí Đại học Thủ Dầu Một, số 4(6) - 2012<br /> <br /> <br /> gravity model describes a universe with accelerating expansion at late time and the<br /> inflation at early time.<br /> Keywords: f( R) modified gravity, polynomial – exponential form<br /> <br /> TAØI LIEÄU THAM KHAÛO<br /> <br /> [1]. V. Miranda, S. E. Jores, I. Waga and M. Quartin ,Phys. Rev.Lett., 102,<br /> 221101(2009).<br /> [2]. A.G. Reiss et al, Astron. J.,116,1009 (1998);<br /> [3]. S.Perlmutter et al, Ap.J. 517, 565 (1997);<br /> [4]. S.Perlmutter et al, Bull. Am. Astron. Soc., 29,1351 (1997)<br /> [5]. C.B. Netterfield et al, Astrophys.,571, 604 (2002).<br /> [6]. M. Tegmark et al., Phys. Rev. D69, 103501 (2004).<br /> [7]. B. Jain and A. Taylor, Phys. Rev. Lett. 91, 141302 (2003).<br /> [8]. S.Nojiri and S.D.Odintsov, [hep-th/0601213].<br /> [9]. Sean M. Caroll, [astro-ph/0004075].<br /> [10]. Sean M. Caroll, Liv. Rev. Rel., 4,1 (2001).<br /> [11]. James G. Gilson, www.maths.qmul.ac.uk/~jgg/gil107.pdf<br /> [12]. Andrew L. Liddle and David H. Lyth, Cosmological inflattion and Large Scale<br /> Structure, Cambride University Press (2000).<br /> [13]. A. Linde, Particle Physics and Inflationary Cosmology, Harwood Academic<br /> Ppublishers (1990).<br /> [14]. S.M. Carroll , V. Duvvuri, M.Trodden and M. S. Turner , Phys. Rev.D70,<br /> 043528[2004], [astro-ph/0306438].<br /> [15]. S. Capozzielo, S. Carloni, A. Troisi, [astro-ph/0303041].<br /> [16]. Andrew R. Liddle [astro-ph/9901124].<br /> [17]. Shinji Tsujikawa [hep-ph/0304257].<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 7<br />