Tác dụng của hệ nội lực lên sự chuyển động của dòng chất lỏng không nhớt - TS. Đặng Văn Ba

t¸c dông cña hÖ néi lùc lªn sù chuyÓn ®éng<br /> cña dßng chÊt láng kh«ng nhít<br /> TS. §Æng V¨n Ba<br /> Tr­êng ®¹i häc Thuû Lîi<br /> <br /> Abstract - Base on studying the influence of internal force system on the motion of an ideal fluid flow, the<br /> author of this article has found that the total work done by internal forces acting on an ideal fluid flow moving<br /> steadily through sudden transition pipelines is remarkable. This total work that can be converted to thermal<br /> energy is lost to the flow and can not be reconverted causing a significant energy loss. Therefore, in the energy<br /> equation for steady ideal fluid flow moving through sudden transition pipelines should be introduced a local<br /> head loss term in order to obtaint more suitable calculating results.<br /> <br /> I. §Æt vÊn ®Ò.<br /> <br /> ChÊt láng kh«ng nhít, hay cßn gäi lµ chÊt láng lý t­ëng, lµ chÊt láng hoµn toµn kh«ng<br /> cã tÝnh nhít vµ kh«ng nÐn ®­îc. Do kh«ng cã tÝnh nhít nªn khi chuyÓn ®éng sÏ kh«ng xuÊt<br /> hiÖn lùc ma s¸t gi÷a c¸c phÇn tö chÊt láng bªn trong néi bé cña dßng ch¶y. §ã lµ nguyªn nh©n<br /> dÔ lµm chóng ta nghÜ r»ng, sÏ kh«ng cã sù hao tæn n¨ng l­îng däc theo dßng ch¶y khi chÊt<br /> láng lý t­ëng chuyÓn ®éng æn ®Þnh trong mäi lßng dÉn.<br /> Thùc ra, mÆc dï kh«ng cã lùc ma s¸t theo ph­¬ng tiÕp tuyÕn do tÝnh nhít g©y ra,<br /> nh­ng gi÷a c¸c phÇn tö chÊt láng bªn trong néi bé dßng ch¶y vÉn cã lùc t­¬ng t¸c theo<br /> ph­¬ng ph¸p tuyÕn víi mÆt tiÕp xóc gi÷a chóng, ®ã lµ c¸c néi ¸p lùc. Nh÷ng lùc ®ã t¹o thµnh<br /> hÖ néi lùc t¸c dông lªn dßng chÊt láng kh«ng nhít. Khi chÊt láng lý t­ëng ch¶y æn ®Þnh qua<br /> lßng dÉn, mÆc dï kh«ng nÐn ®­îc nh­ng do rÊt dÔ biÕn d¹ng, nªn tæng c«ng c¸c néi lùc t¸c<br /> dông lªn dßng chÊt láng lý t­ëng nãi chung lµ kh¸c kh«ng. NÕu dßng ch¶y cã biÕn d¹ng nhá<br /> th× tæng c«ng néi lùc lµ bÐ cã thÓ bá qua ®­îc. Nh­ng khi chÊt láng lý t­ëng ch¶y qua lßng<br /> dÉn ®ét ngét thay ®æi vÒ kÝch th­íc, sù biÕn d¹ng cña néi bé dßng ch¶y t¹i nh÷ng n¬i ®ã sÏ rÊt<br /> lín, do ®ã tæng c«ng c¸c néi lùc sÏ lµ mét ®¹i l­îng ®¸ng kÓ kh«ng thÓ bá qua ®­îc. VËy<br /> trong nh÷ng tr­êng hîp ®ã, ta cã thÓ xem dßng ch¶y æn ®Þnh cña chÊt láng lý t­ëng kh«ng cã<br /> sù hao tæn n¨ng l­îng ®­îc kh«ng ? Víi nh÷ng dßng chÊt láng lý t­ëng ch¶y æn ®Þnh qua c¸c<br /> lßng dÉn ®ét ngét biÕn d¹ng nh­ ®ét ngét më réng, ®ét ngét thu hÑp, gÉy khóc hay cã van<br /> kho¸ th× ph­¬ng tr×nh n¨ng l­îng cña dßng ch¶y sÏ cã d¹ng nh­ thÕ nµo ?<br /> §ã lµ nh÷ng vÊn ®Ò mµ t¸c gi¶ muèn nªu ra ®Ó gi¶i quyÕt trong néi dung cña bµi viÕt nµy.<br /> <br /> II . T¸c dông cña hÖ néi lùc lªn dßng chÊt láng lý t­ëng .<br /> <br /> XÐt mét thÓ tÝch chÊt láng lý t­ëng chuyÓn ®éng bÞ giíi h¹n bëi mÆt kÝn . Khi ®ã, néi<br /> lùc lµ nh÷ng lùc t­¬ng t¸c gi÷a c¸c phÇn tö chÊt láng bªn trong mÆt kÝn  víi nhau tho¶ m·n<br /> nguyªn lý t¸c dông vµ ph¶n t¸c dông cña C¬ häc Newton [8], [11], [12].<br /> Ch¼ng h¹n xÐt hai ph©n tö chÊt láng bÊt kú M1 vµ M2 bªn trong . Do kh«ng cã tÝnh<br /> nhít nªn lùc t¸c dông t­¬ng hç gi÷a M1 vµ M2 kh«ng cã thµnh phÇn ma s¸t theo ph­¬ng tiÕp<br /> tuyÕn mµ chØ cã thµnh phÇn ¸p lùc theo ph­¬ng ph¸p tuyÕn cña mÆt tiÕp xóc gi÷a c¸c phÇn tö<br />  <br /> M1 vµ M2 lµ F 1 vµ F2 . Theo nguyªn lý t¸c dông vµ ph¶n t¸c dông ta cã:<br /> F1   F2 (1)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br />  u1<br /> F1 F2<br /> 1<br /> 2<br /> M1 M2<br /> u2<br /> <br /> H×nh 1<br /> Gäi u 1 , u 2 lµ l­u tèc cña ®iÓm ®Æt c¸c lùc F 1 , F 2 . Do c¸c phÇn tö chÊt láng dÔ<br /> biÕn d¹ng, nªn nãi chung c¸c vÐc t¬ l­u tèc u 1 , u 2 sÏ kh«ng song song víi nhau mµ chóng<br /> sÏ hîp víi vÐc t¬ lùc F 2 nh÷ng gãc 1, 2 nµo ®ã ( H×nh 1 ). V× thÕ tæng c«ng cña c¸c néi<br /> ¸p lùc F 1 , F 2 sinh ra trªn c¸c dÞch chuyÓn yÕu tè u 1 dt vµ u 2 dt sÏ lµ:<br /> i<br />  A  F2 .u2 .dt  F1.u1dt <br /> k<br /> <br />  F2 .u2 .dt  F2 .u1.dt  (2)<br />  F2 .dt (u 2 . cos  2  u1 . cos  1 )<br /> XÐt c¶ khèi chÊt láng bªn trong mÆt kÝn  sÏ cã v« sè cÆp néi ¸p lùc nh­ ( F1 , F2 ) ë<br /> trªn hîp l¹i thµnh hÖ néi lùc t¸c dông lªn dßng ch¶y. V× thÕ, tæng c«ng cña hÖ néi lùc sinh ra<br /> trong qu¸ tr×nh chuyÓn ®éng lµ tæng c«ng cña v« sè c¸c cÆp lùc ( F1 , F2 ) nh­ vËy t¹o nªn. Khi<br /> chÊt láng chuyÓn ®éng trong lßng dÉn, nÕu dßng ch¶y bÞ biÕn d¹ng th× trong tr­êng hîp tæng<br /> qu¸t, ta sÏ cã:<br /> u 2 . cos 2  u1 . cos 1  0 (3)<br /> Tõ c¸c biÓu thøc (2) vµ (3) ta thÊy khi c¶ khèi chÊt láng chuyÓn ®éng mµ l­u tèc cña<br /> c¸c phÇn tö trong dßng ch¶y kh¸c biÖt nhau do sù biÕn d¹ng g©y ra, th× tæng c«ng c¸c néi lùc<br /> t¸c dông lªn dßng chÊt láng lý t­ëng sÏ kh¸c kh«ng, nghÜa lµ cã  Aki  0.<br /> VËy, khi chÊt láng lý t­ëng chuyÓn ®éng æn ®Þnh trong lßng dÉn, ta thÊy cã hai tr­êng<br /> hîp sau ®©y cã thÓ x¶y ra:<br /> 1- Dßng ch¶y cã biÕn d¹ng lín do chuyÓn ®éng biÕn ®æi gÊp qua lßng dÉn ®ét ngét<br /> më réng, ®ét ngét thu hÑp, gÉy khóc, cã van kho¸... th× l­u tèc cña c¸c phÇn tö chÊt láng t¹i<br /> nh÷ng n¬i biÕn d¹ng ®ét ngét sÏ rÊt kh¸c biÖt nhau ( H×nh 1 ). Do ®ã tæng c«ng néi lùc  Aki<br /> sÏ lµ mét ®¹i l­îng ®¸ng kÓ kh«ng thÓ bá qua ®­îc, cho nªn víi dßng ch¶y cã biÕn d¹ng lín,<br /> ta ph¶i xÐt tíi ®¹i l­îng  Aki  0 th× ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng míi phï hîp.<br /> <br /> <br /> u1 u2<br /> <br /> F1 F2<br /> <br /> M1 M2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> H×nh 2<br /> <br /> <br /> 2<br />  2- Dßng ch¶y cã biÕn d¹ng bÐ do ch¶y ®Òu hoÆc ch¶y biÕn ®æi dÇn trong lßng dÉn cã<br /> kÝch th­íc vµ h×nh d¸ng Ýt thay ®æi. Khi ®ã, l­u tèc cña c¸c phÇn tö chÊt láng gÇn nh­ song song<br /> vµ b»ng nhau t¹i mäi ®iÓm trong dßng ch¶y ( H×nh 2 ), do ®ã cã thÓ coi: u1 = u2 ; 1 = 2 =  nªn<br /> tõ (2) ta cã thÓ suy ra  Aki = 0. VËy víi dßng ch¶y cã biÕn d¹ng bÐ ta kh«ng cÇn xÐt tíi tæng<br /> c«ng c¸c néi lùc, nghÜa lµ cã thÓ coi  Aki = 0 ( chó ý r»ng kÕt qu¶ nµy lµ hiÓn nhiªn ®èi víi<br /> vËt r¾n tuyÖt ®èi bëi v× nã kh«ng bao giê biÕn d¹ng [8], [11] , [12]).<br /> <br /> III. Ph­¬ng tr×nh n¨ng l­îng cña dßng chÊt láng lý t­ëng träng lùc ch¶y æn ®Þnh.<br /> <br /> XÐt mét dßng nguyªn tè chÊt láng lý t­ëng ch¶y æn ®Þnh d­íi t¸c dông cña lùc khèi lµ<br /> träng lùc. Gäi  lµ khèi l­îng riªng cña chÊt láng, v× kh«ng nÐn ®­îc nªn  = const . F  g lµ<br /> lùc khèi ®¬n vÞ. Ngoµi F , ngo¹i lùc cßn cã ¸p lùc thuû ®éng t¹i c¸c mÆt c¾t 1-1, 2-2 vµ ¸p lùc<br /> vu«ng gãc lªn c¸c mÆt xung quanh cña èng dßng nguyªn tè ( H×nh 3 ).<br /> <br /> <br /> p1 1<br /> 1’<br /> <br /> 1<br /> 1’<br /> <br /> <br /> <br /> 2 2’<br /> z1<br /> <br /> <br /> z2 p2<br /> <br /> 2 2’<br /> 0 0<br /> H×nh 3<br /> <br /> §Ó viÕt ph­¬ng tr×nh n¨ng l­îng cho dßng chÊt láng lý t­ëng, ta h·y ¸p dông ®Þnh lý ®éng<br /> n¨ng cho mét ®äan dßng nguyªn tè tõ mÆt c¾t 1-1 ®Õn 2-2, sau kho¶ng thêi gian dt, ta cã:<br /> T-T0 =  Ake +  Aki (4)<br /> Trong ®ã:<br />  T0 lµ ®éng n¨ng cña dßng nguyªn tè t¹i thêi ®iÓm t0, khi khèi chÊt láng n»m trong ®o¹n<br /> dßng tõ mÆt c¾t 1-1 ®Õn mÆt c¾t 2-2.<br />  T lµ ®éng n¨ng cña dßng nguyªn tè t¹i thêi ®iÓm t0 + dt, khi khèi chÊt láng n»m trong<br /> ®o¹n dßng tõ mÆt c¾t 1’-1’ ®Õn mÆt c¾t 2’-2’.<br />   Ake vµ  Aki lµ tæng c«ng c¸c ngo¹i lùc vµ tæng c«ng c¸c néi lùc sinh ra khi ®o¹n<br /> dßng nguyªn tè dÞch chuyÓn tõ vÞ trÝ 1-1/2-2 ®Õn vÞ trÝ 1’-1’ / 2’-2’ sau kho¶ng thêi gian dt.<br /> <br /> <br /> 3<br />  ViÖc tÝnh to¸n chi tiÕt c¸c sè h¹ng trong ph­¬ng tr×nh (4), ta ®· cã trong c¸c gi¸o tr×nh<br /> thuû lùc [5], [13] hoÆc c¬ häc chÊt láng [6], tãm l¹i nÕu thõa nhËn  Aki  0, ta sÏ nhËn ®­îc:<br /> p1 u12 p u 2 (  Aki )<br /> z1    z2  2  2  (5)<br />  2g  2 g  .dQ.dt<br /> Trong ®ã:<br />  dQ lµ l­u l­îng cña dßng nguyªn tè.<br />  p1, p2 vµ u1, u2 lµ ¸p suÊt thuû ®éng vµ l­u tèc cña träng t©m c¸c mÆt c¾t 1-1 vµ 2-2.<br /> <br /> (  Aki )<br /> NÕu ®Æt: d (6)<br />  .dQ.dt<br /> Th× ta sÏ nhËn ®­îc ph­¬ng tr×nh n¨ng l­îng cña dßng nguyªn tè chÊt láng lý t­ëng<br /> ch¶y æn ®Þnh ®«Ý víi mét ®¬n vÞ träng l­îng chÊt láng, d­íi d¹ng:<br /> p u2 p u2<br /> z1  1  1  z 2  2  2  d (7)<br />  2g  2g<br /> §Õn ®©y, dùa vµo sù ph©n tÝch tæng c«ng néi lùc  Aki ë phÇn tr­íc, ta nhËn thÊy:<br /> 1-Víi dßng chÊt láng lý t­ëng cã biÕn d¹ng lín nh­ tr­êng hîp ch¶y æn ®Þnh qua<br /> lßng dÉn ®ét ngét më réng, ®ét ngét thu hÑp, gÉy khóc hay cã van kho¸...th× tæng c«ng c¸c néi<br /> lùc  Aki  0 ®· s¶n ra nhiÖt n¨ng, mÊt ®i kh«ng lÊy l¹i ®­îc, lµm cho dßng ch¶y cã sù tæn hao<br /> n¨ng l­îng ®¸ng kÓ, thÓ hiÖn qua cét n­íc tæn thÊt côc bé d  0 cña dßng nguyªn tè. Khi ®ã,<br /> ta ph¶i dïng ph­¬ng tr×nh n¨ng l­îng (7) th× kÕt qu¶ nhËn ®­îc míi phï hîp.<br /> 2-Víi dßng chÊt láng lý t­ëng cã biÕn d¹ng bÐ nh­ tr­êng hîp ch¶y ®Òu hoÆc ch¶y<br /> biÕn ®æi dÇn qua lßng dÉn cã h×nh d¹ng vµ kÝch th­íc thay ®æi tõ tõ th× cã thÓ coi  Aki = 0,<br /> nªn d = 0, khi ®ã ph­¬ng tr×nh n¨ng l­îng (7) sÏ cã d¹ng:<br /> p u2 p u2<br /> z1  1  1  z 2  2  2 (8)<br />  2g  2g<br /> Ph­¬ng tr×nh nµy hoµn toµn t­¬ng tù Ph­¬ng tr×nh Bernoulli ®èi víi dßng nguyªn tè chÊt<br /> láng lý t­ëng ch¶y æn ®Þnh d­íi t¸c dông cña lùc khèi lµ träng lùc mµ chóng ta ®· biÕt [2].<br /> Chó ý r»ng c¸c ph­¬ng tr×nh (7) vµ (8) chØ lµ ph­¬ng tr×nh n¨ng l­îng cña dßng<br /> nguyªn tè. §Ó t×m ph­¬ng tr×nh n¨ng l­îng cho cho toµn dßng, ta h·y tÝch ph©n c¸c ph­¬ng<br /> tr×nh (7) vµ (8) trªn toµn mÆt c¾t ngang cña dßng ch¶y. §iÒu kiÖn ®Ó viÖc lÊy tÝch ph©n ®­îc<br /> dÔ dµng lµ:<br />  C¸c mÆt c¾t 1-1 vµ 2-2 ph¶i ®æi dÇn, ®Ó trªn mçi mÆt c¾t ®ã, ta lu«n lu«n cã:<br /> p<br /> z   const<br /> <br />  L­u l­îng Q = const tõ mÆt c¾t 1-1 ®Õn 2-2.<br />  C¸c vÐc t¬ l­u tèc u1 , u 2 ph©n bè ®Òu trªn c¸c mÆt c¾t 1-1, 2-2.<br /> ViÖc tÝch ph©n c¸c ph­¬ng tr×nh (7) vµ (8) ®­îc lµm hoµn toµn t­¬ng tù nh­ víi ph­¬ng<br /> tr×nh Bernoulli cña toµn dßng chÊt láng thùc [4], [5] ,[13] sau khi rót gän, cuèi cïng ta nhËn<br /> ®­îc:<br /> p u2 p u2<br /> z1  1  1  z 2  2  2  D (9)<br />  2g  2g<br /> vµ:<br /> <br /> <br /> <br /> 4<br />  p1 u12 p u2<br /> z1    z2  2  2 (10)<br />  2g  2g<br /> <br /> Trong ®ã (9) lµ ph­¬ng tr×nh n¨ng l­îng cña toµn dßng chÊt láng lý t­ëng träng lùc<br /> ch¶y æn ®Þnh qua lßng dÉn ®ét ngét biÕn d¹ng víi D lµ cét n­íc tæn thÊt côc bé cña toµn dßng<br /> ch¶y trªn mét ®¬n vÞ träng l­îng chÊt láng tõ mÆt c¾t 1-1 ®Õn 2-2; cßn (10) lµ ph­¬ng tr×nh<br /> n¨ng l­îng cña toµn dßng chÊt láng lý t­ëng träng lùc ch¶y æn ®Þnh ®Òu hoÆc biÕn ®æi dÇn do<br /> ®ã hoµn toµn kh«ng cã tæn thÊt cét n­íc.<br /> §Ó lµm vÝ dô minh ho¹, ta h·y xÐt mét dßng chÊt láng lý t­ëng ch¶y æn ®Þnh cã ¸p qua<br /> mét ®­êng èng më réng ®ét ngét ®Æt n»m ngang tõ tiÕt diÖn 1 sang 2 víi 1 < 2 nh­ h×nh<br /> vÏ 4:<br /> <br /> <br /> <br /> 1 2<br /> <br /> u1<br /> p2<br /> 1 p1 2<br /> u2<br /> <br /> <br /> 1<br /> 2<br /> H×nh 4<br /> Gäi p1, p2 lµ ¸p suÊt thuû ®éng t¹i träng t©m c¸c mÆt c¾t 1-1, 2-2, theo ®Þnh lý Belanger<br /> [1], [6], [14] ta cã:<br /> p1  p 2   .u 2 (u 2  u1 ) (11)<br /> Trong ®ã u1 , u 2 lµ l­u tèc cña c¸c phÇn tö chÊt láng n»m trªn c¸c mÆt c¾t 1-1 vµ 2-2 (c¸ch xa<br /> n¬i lßng dÉn ®ét ngét më réng), ®­îc xem lµ ph©n bè ®Òu trªn c¸c mÆt c¾t 1-1 vµ 2-2 ®ã.<br /> §Ó lùa chän ph­¬ng tr×nh n¨ng l­îng thÝch hîp, tr­íc hÕt ta h·y gi¶ thiÕt dßng chÊt láng<br /> lý t­ëng ch¶y qua ®o¹n ®ét ngét më réng trong vÝ dô nµy hoµn toµn kh«ng cã tæn thÊt cét<br /> n­íc, nghÜa lµ cã thÓ ¸p dông ph­¬ng tr×nh (10) cho ®o¹n dßng tõ mÆt c¾t 1-1 ®Õn 2-2, ta cã:<br /> p1 u12 p u2<br />   2  2 (12)<br />  2g  2g<br /> KÕt hîp (11) víi (12) ta nhËn ®­îc biÓu thøc:<br /> (u1  u 2 ) 2<br /> 0 (13)<br /> 2g<br /> BiÓu thøc (13) buéc ph¶i cã ®iÒu kiÖn u1  u 2 , nh­ng ®iÒu kiÖn ®ã hoµn toµn v« lý v× nã<br /> vi ph¹m ph­¬ng tr×nh liªn tôc:<br /> u1 . 1  u 2 . 2 (14)<br /> Tuy nhiªn nÕu thõa nhËn ®©y lµ dßng ch¶y cã biÕn d¹ng lín nªn sÏ tån t¹i cét n­íc tæn<br /> thÊt côc bé D  0 ®èi víi chÊt láng lý t­ëng ch¶y qua lßng dÉn ®ét ngét biÕn d¹ng, khi ®ã ¸p<br /> dông ph­¬ng tr×nh n¨ng l­îng (9) cho ®o¹n dßng tõ mÆt c¾t 1-1 ®Õn 2-2, ta sÏ nhËn ®­îc:<br /> <br /> <br /> <br /> 5<br />  p u2   p u2 <br /> D   1  1    2  2  (15)<br />  2g    2g <br /> KÕt hîp (15) víi (11), sau khi biÕn ®æi vµ rót gän, ta nhËn ®­îc c«ng thøc:<br /> 2<br /> D<br /> u1  u2 <br /> (16)<br /> 2g<br /> C«ng thøc nµy víi D  0 lµ hoµn toµn hîp lý v× nã sÏ tho· m·n ph­¬ng tr×nh liªn tôc<br /> (14). Chóng ta còng cã thÓ nhËn ®­îc c¸c kÕt qu¶ hîp lý ®èi víi dßng chÊt láng lý t­ëng ch¶y<br /> qua lßng dÉn ®ét ngét thu hÑp, ®ét ngét gÉy khóc hay cã van kho¸... khi ¸p dông ph­¬ng tr×nh<br /> n¨ng l­îng (9) cho nh÷ng dßng ch¶y ®ã.<br /> <br /> IV. KÕt luËn.<br /> C«ng thøc (16) t­¬ng tù c«ng thøc Borda ®Ó tÝnh cét n­íc tæn thÊt ®ét më trong dßng<br /> ch¶y thùc tÕ. §iÒu ®ã cho thÊy cét n­íc tæn thÊt côc bé hc cña dßng ch¶y thùc tÕ, nãi chung<br /> chñ yÕu do sù t¸c dông cña c¸c néi ¸p lùc g©y ra, chø kh«ng ph¶i do c¸c lùc néi ma s¸t gi÷a<br /> c¸c líp chÊt láng g©y ra. NhËn xÐt nµy kh¸ phï hîp víi c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu thùc nghiÖm<br /> vÒ hiÖn t­îng tæn thÊt cét n­íc côc bé cu¶ dßng ch¶y thùc tÕ trong c¸c lßng dÉn ®ét ngét biÕn<br /> d¹ng [4], [5], [7],[10].<br /> ViÖc ph¸t hiÖn dßng chÊt láng lý t­ëng chÈy æn ®Þnh qua lßng dÉn ®ét ngét biÕn d¹ng còng<br /> cã cét n­íc tæn thÊt côc bé, ®· gãp phÇn hoµn thiÖn ph­¬ng tr×nh n¨ng l­îng cña dßng chÊt<br /> láng lý t­ëng, mét trong nh÷ng ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n nhÊt cña C¬ häc chÊt láng. Nã cßn cho ta<br /> thªm mét c¬ së lý luËn ®Ó nghiªn cøu hiÖn t­îng tæn thÊt n¨ng l­îng côc bé trong dßng ch¶y<br /> thùc tÕ, ®iÒu mµ x­a nay ta chñ yÕu chØ dùa vµo nghiªn cøu thùc nghiÖm.<br /> <br /> <br /> Tµi liÖu tham kh¶o<br /> <br /> [1]-Bergua J. & Vecchiato C. , 1994, MÐcanique des Fluides - Exercices et ProblÌmes<br /> RÐsolus, BrÐal .<br /> [2]-Bernoulli Daniel , 1968, Hydrodynamics , Dover, New York .<br /> [3]-Bradshaw P.A., 1970, Experimental Fluid Mechanics,Pergamon,Elmsford, New York.<br /> [4]-Carlier M., 1972, Hydraulique générale et appliquée, Eyrolles .<br /> [5]-Chugaev R.R., 1975, Hydraulics , Energya, Leningrad (in Russian) .<br /> [6]-Comolet R., 1961, MÐcanique ExpÐrimentale des Fluides, Masson et Cie,Editeurs,Paris .<br /> [7]-Featherstone R.E. & Nalluri C., 1995, Civil Engineering Hydraulics, Blackwell Science<br /> Ltd, London .<br /> [8]-Ferdinand P.B., Russell E., Johnston Jr., 1962, Vector Mechanics for Engineers,<br /> Mc Graw -Hill Book Co., New York.<br /> [9]-Liggett J.A. , 1994, Fluid Mechanics, Mc Graw- Hill, Inc., New York .<br /> [10]-Mironer A., 1979, Engineering Fluid Mechanics, Mc Graw- Hill Book Co.,Tokyo.<br /> [11]-Starjinski V., 1984 , MÐcanique rationnelle, « Mir », Moscow.<br /> [12]-Targ S., 1976 , Theoretical Mechanics, Mir Publishers, Moscow.<br /> [13]-Vò V¨n T¶o & N.C. CÇm, 1987, Thuû lùc tËp I, NXB. §H & THCN., Hµ néi.<br /> [14]-White F.M., 1994, Fluid Mechanics, Mc Graw- Hill Book Co., New York.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 6<br />