Tài liệu giảng dạy môn Vi tích phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:114

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

(NB) Tài liệu giảng dạy môn Vi tích phân được tổ chức thành 5 chương, cung cấp cho người học những kiến thức về: Đạo hàm và vi phân của hàm một biến, tích phân của hàm một biến số, lý thuyết chuỗi, đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến, phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm các nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu giảng dạy môn Vi tích phân

Phụ lục 5 TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN TÀI LIỆU GIẢNG DẠY MÔN VI TÍCH PHÂN GV biên soạn: Nguyễn Văn Tiên Trà vinh, tháng 2 năm 2013 Lƣu hành nội bộ
MỤC LỤC Nội dung Trang Chƣơng 1. Đạo hàm và vi phân của hàm một biến ............................................................... 1 1.1. Hàm số ............................................................................................................................ 1 1.2. Giới hạn của dãy số ........................................................................................................ 3 1.3. Giới hạn của hàm số ....................................................................................................... 5 1.4. Hàm số liên tục ............................................................................................................. 11 1.5. Đạo hàm ........................................................................................................................ 13 1.6. Vi phân ......................................................................................................................... 16 1.7. Đạo hàm và vi phân cấp cao ......................................................................................... 17 1.8. Một số định lý cơ bản về hàm khả vi............................................................................ 18 1.9. Quy tắc De L/ hopital .................................................................................................... 20 1.10. Công thức Taylor ........................................................................................................ 21 Bài tập củng cố chương 1 .................................................................................................... 23 Chƣơng 2. Tích phân của hàm một biến.............................................................................. 27 2.1. Tích phân bất định ........................................................................................................ 27 2.2. Tích phân xác định ....................................................................................................... 35 2.3. Tích phân suy rộng ....................................................................................................... 40 Bài tập củng cố chương 2 .................................................................................................... 44 Chƣơng 3. Lý thuyết chuỗi .................................................................................................... 47 3.1. Chuỗi số ........................................................................................................................ 47 3.2. Chuỗi lũy thừa .............................................................................................................. 54 Bài tập củng cố chương 3 .................................................................................................... 58 Chƣơng 4. Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến ......................................................... 60 4.1. Các khái niệm cơ bản ................................................................................................... 60 4.2. Đạo hàm và vi phân ...................................................................................................... 67 4.3. Cực trị và GTLN, GTNN của hàm số........................................................................... 75 Bài tập củng cố chương 4 .................................................................................................... 84 Chƣơng 5. Phương trình vi phân ............................................................................................. 88 5.1. Tổng quan về phương trình vi phân ............................................................................. 88 5.2. Phương trình vi phân cấp 1 ........................................................................................... 90 5.3. Phương trình vi phân cấp 2 ........................................................................................... 97 Bài tập củng cố chương 5 .................................................................................................. 109 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................... 114 Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân
Chƣơng 1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN -------  Mục tiêu học tập: Sau khi học xong bài này, người học có thể: - Tìm giới hạn, xét tính liên tục của hàm số. - Tính đạo hàm, vi phân của hàm. 1.1. Hàm số 1.1.1. Khái niệm hàm số Cho D   . Ánh xạ f : D   được gọi là một hàm số xác định trên D Tập D gọi là miền xác định của f. T   f ( x) x  D gọi là miền giá trị của f. G   x, f ( x)  x  D gọi là đồ thị của hàm số. Ví dụ: Hàm số f :  x  y  f  x   x2  1 Tập xác định D   , tập giá trị T  1;   . 1.1.2. Tính chất Cho các hàm số y=f(x) , y=g(x) và y=F(x). a/ f  g khi và chỉ khi f, g có cùng miền xác định D và x  D : f(x)=g(x) . b/ f>g khi và chỉ khi f, g có cùng miền xác định D và x  D : f(x)  g(x) . c/ F=f+g  x  D là miền xác định của F thì F(x)=f(x)+g(x) . d/ Hiệu, tích, thương của f, g được định nghĩa tương tự. e/ Hàm số y=f(x) gọi là tăng hay đồng biến  x1,x 2  D:x1
j/ Hàm số y=f(x) có tập xác định D   , hàm số f gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số l  0 sao cho nếu x  D thì x  l  D và f(x+l)=f(x) , số dương bé nhất trong các số l trên gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn y=f(x) . Ví dụ: Hàm số y=sinx, y=cosx tuần hoàn với chu kỳ 2 . Hàm số y=tanx, y=cotx tuần hoàn với chu kỳ  . 1.1.3. Hàm số hợp. 1.1.3.1. Khái niệm Cho hàm số: f : X  Y và g : Y  Z . Hàm số h : X  Z gọi là hàm số hợp của f , g ký hiệu: h  f  g xác định bởi  f  g  x   f  g  x   1.1.3.1. Ví dụ 1 Cho f ( x)  x2  1, g ( x)  sin 2 x thì  f  g  ( x)  f ( g ( x))  ( g ( x))2  1  sin 2 2x 1 .  g  f  ( x)  g ( f ( x))  sin 2( f ( x))  sin 2( x2  1)  sin  2x 2  1 . 1.1.4. Hàm số ngƣợc Cho hàm số f : X  Y , nếu f là một song ánh thì f 1 : Y  X là hàm số ngược của f . y2 x2 Ví dụ: Hàm số y  2 x  2 , hàm số ngược của nó là x  ( hoặc y  ). 2 2 1.1.5. Một số hàm số sơ cấp cơ bản  Hàm số y  x ,  R , miền xác định của nó phụ thuộc vào  . - Nếu   N thì D  R . - Nếu   Z  thì D  R \ 0 . - Nếu   Q  thì D  R . - Nếu   Q  thì D  R  \ 0 .  Hàm số y  a x , a  0, a  1 , xác định x  R  \ 0, hàm số tăng khi a  1 , giảm khi 0  a  1.  Hàm số y  log a x, a  0, a  1 , là hàm số ngược của y  a x xác định khi x  0 , hàm số tăng khi a  1 , giảm khi 0  a  1 .  Hàm số lượng giác: - y  sin x, y  cos x miền xác định là R . Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 2
 - y  tan x, xác định khi x  (2k  1) ,k Z . 2 - y  cot x, xác định khi x  k , k  Z .  Hàm số lượng giác: - y  arcsin x là hàm số ngược của y  sin x . - y  arccos x là hàm số ngược của y  cos x . - y  arctan x là hàm số ngược của y  tan x . - y  arc cot x là hàm số ngược của y  cot x .  Hàm số hyperbol e x  e x - shx  (sin hyperbol) 2 e x  e x - chx  (cosin hyperbol) 2 shx - thx  (tan hyperbol) chx chx - cothx  (cotan hyperbol) shx Ta có các công thức: ch2 x  sh2 x  1 sh2x  2shx.chx ch2x  ch2 x  sh2 x sh  x  y   shx.chy  chx.shy ch  x  y   chx.chy  shx.shy sh  x  y   shx.chy  chx.shy ch  x  y   chx.chy  shx.shy ;… 1.2. Dãy số và giới hạn của dãy số 1.2.1. Khái niệm  Định nghĩa 1. Hàm số u : N *  R ( N * là tập các số nguyên dương). Những giá trị của hàm số ứng với n  1,2,3,..., n,... gọi là một dãy số. Đặt u1  u(1), u2  u(2),..., un  u(n),... , dãy số được viết dưới dạng un  hoặc u1 , u2 , u3 ,..., un ,... , Các số ui gọi là các số hạng của dãy, un gọi là số hạng tổng quát của dãy.  n   Ví dụ: Dãy un    1 2 n  là dãy số : , ,..., ,...  n  1 2 3 n 1 Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 3
 Định nghĩa 2. Số a được gọi là giới hạn của dãy số un  khi n   , ký hiệu lim un  a hay un  a khi n   , nếu   0, N    0 : n  N thì un  a   . n  Dãy số có giới hạn thì gọi là dãy số hội tụ, ngược lại gọi là dãy phân kỳ. n Ví dụ: Chứng minh rằng lim  1 . Thật vậy, n  n  1 1   0 bé tùy ý, ta có thể chọn một số rất bé cụ thể nào đó, chẳng hạn   . 104 n 1 1 1 Muốn cho un  a    1  4   4  n  104  1 . Thì ta phải chọn n 1 10 n  1 10 N  104  1 , lúc này ta sẽ có un 1   .  Định nghĩa 3. Dãy un  dần dến vô cùng khi n tiến đến vô cùng nếu với M  0 lớn tùy ý, có số nguyên dương N sao cho với mọi n  N , ta luôn có un  M . Ký hiệu: lim un   . n   Ví dụ: Chứng minh rằng lim n   . Thật vậy: nếu chọn M  105 , muốn cho n  n  105  n  1010 thì ta chọn N  1010 . Lúc này n  1010  n M.  Định nghĩa 4. Dãy un  gọi là vô cùng lớn nếu lim un   ; dãy un  gọi là vô cùng bé n  1 nếu lim un  0 . Lưu ý rằng nếu un  là vô cùng lớn thì   là vô cùng bé và ngược lại. n   un  1.2.2. Các định lý về giới hạn của dãy 1.2.2.1. Các tính chất - Nếu dãy un  có giới hạn là a và a  p  a  p  thì tồn tại N sao cho với mọi n  N  un  p (un  p) . - Nếu dãy un  có giới hạn là a và un  p (un  p), n thì a  p (a  p). - Nếu dãy un  có giới hạn là a thì a là duy nhất. - Nếu dãy un  có giới hạn thì nó bị chặn, tức là k  0 : un  k , n . 1.2.2.2. Các định lý  Định lý 1. Cho lim un  a, lim vn  b n n - Nếu un  vn , n thì a  b - Nếu un  vn , n thì a  b Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 4
 Định lý 2. Nếu un  vn  wn và lim un  lim wn  a thì lim vn  a . n  n  n  1 1 1 1 Ví dụ: Tính I  lim (   ...  ) n  n 12 n 2 2 n 3 2 n n 2 1 1 1 1 Đặt vn     ...  n 1 2 n 2 2 n 32 n n 2 n n Và  vn  n 1 2 n n 2 n n Mặt khác lim  lim 1 n  n2  1 n  n2  n Theo định lý trên thì lim vn  1 . n  1.2.2.3. Các phép tính của giới hạn dãy số Nếu các dãy un  , vn  hội tụ thì - Dãy un  vn  cũng hội tụ và lim un  vn   lim un  lim vn . n  n  n  - Dãy un .vn  cũng hội tụ và lim un .vn   lim un . lim vn . Hơn nữa lim k.vn   k. lim vn n  n  n  n  n  u   u  lim un - Dãy  n  cũng hội tụ và lim  n   n  , lim vn  0 . n  v vn n   vn   n  nlim * Một số công thức giới hạn dãy số thường gặp: 0 0  a  1 a. lim a n   , n     a 1 b. lim n a  1, a  0 , n  c. lim n n  1 , n  1 d. lim (1  ) n  e . n  n 1.3. Giới hạn của hàm số 1.3.1. Khái niệm  Định nghĩa 1. Cho hàm số f xác định trên tập D. Số L được gọi là giới hạn của hàm số y=f(x) khi x dần về x0 nếu:   0,   0 : x  x0    f ( x)  L   . Ký hiệu lim  L . x x0 Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 5
x2  4  Ví dụ: Chứng minh rằng lim  4. x2 x  2 1 Ta chọn một  bé tùy ý cụ thể, chẳng hạn   . 106 x2  4 1 1 1 Muốn cho  4  6  x  2  6 thì ta chọn     6 . Lúc này ta sẽ có x2 10 10 10 x2  4 1 x2  4  4  6 và lim  4. x2 10 x2 x  2  Định nghĩa 2. Ta gọi L là giới hạn của y=f(x) khi x   nếu   0, A  0 : x  A  f ( x)  L   . Ký hiệu: lim f ( x)  L . x Đặc biệt: + lim f ( x)  a    0, A  0 : x  A  f ( x)  a   . x + lim f ( x)  a    0, A  0 : x   A  f ( x)  a   . x x Ví dụ: Chứng minh rằng: lim  1. x   x  1 1 1 1 Vì x  0, f ( x)  1    . Ta chọn A là số dương lớn hơn thì x  A  x   x  f ( x)  1   . Vậy lim  1. x   x  1  Định nghĩa 3. Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn bằng vô cùng khi x  x0 nếu: M  0,  : x    f ( x)  M . Ký hiệu lim f ( x)   . x  x0 Đặc biệt; + lim f ( x)    M  0,   0 : x  x0    f ( x)  M . x  x0 + lim f ( x)    M  0,   0 : x  x0    f ( x)  M . x  x0 1 Ví dụ: lim . x 1 1  x  Định nghĩa 4. Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn bằng vô cùng khi x   nếu: M  0, A : x  A  f ( x)  M . Ký hiệu lim f ( x)   . x  Đặc biệt: Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 6
+ lim f ( x)    M  0, A  0 : x  A  f ( x)  M . x + lim f ( x)    M  0, A  0 : x   A  f ( x)  M . x   + lim f ( x)    M  0, A  0 : x   A  f ( x)  M . x   + lim f ( x)    M  0, A  0 : x  A  f ( x)  M . x   Ví dụ: lim ln x   . x   1.3.2. Một số công thức giới hạn: sin x tan x a. lim 1 b. lim 1 x 0 x x 0 x arcsin x arctan x c. lim 1 d. lim 1 x 0 x x 0 x ax 1 ex  1 e. lim  ln a, a  0 f. lim 1 x 0 x x 0 x (1  x)  1 ln(1  x) g. lim  h. lim 1 x 0 x x 0 x 1 1 i. lim (1  x) x  e j. lim (1  ) x  e x 0 x  x 1.3.3. Giới hạn một phía  Định nghĩa: Số a được gọi là giới hạn phải (trái) của hàm số f (x) tại x0 khi x tiến về bên phải (trái) x0 . Ký hiệu: lim f ( x)  a ( lim f ( x)  a ) x  x0 x  x0  Ví dụ: 1 1 a. Dễ thấy lim   và lim   . x0 x x0 x sin x b. Xét hàm số f ( x)  tại x  0 , ta có: x sin x sin x sin x sin x lim  lim  1 và lim  lim  1 x 0 x x 0 x x 0 x x 0  x  Định lý: Điều kiện cần và đủ để  lim f ( x) là: x x 0 +  lim f ( x),  lim f ( x) x x0 x x0 + lim f ( x)  lim f ( x) . x  x0 x  x0 Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 7
1.3.4. Các định lý và tính chất về giới hạn của hàm số 1.3.4.1. Tính chất a/ Nếu f ( x)  C thì lim f ( x)  C . x  x0 b/ Giới hạn a nếu có của hàm số là duy nhất. 1.3.4.2. Các định lý về phép tính giới hạn Giả sử lim f ( x)  C , lim g ( x)  B thì: x  x0 x  x0 a/ lim ( f ( x)  g ( x))  C  B x  x0 b/ lim ( f ( x).g ( x))  C.B x  x0 f ( x) C c/ lim ( )  ,B  0 x  x0 g ( x) B * Hệ quả: a/ lim k. f ( x)  k.C x  x0 n n b/ lim ( fi ( x))   lim fi ( x) x  x0 x  x0 i 1 i 1 c/ lim ( f1 ( x). f 2 ( x). f3 ( x)..... f n ( x))  lim f1 ( x). lim f 2 ( x). lim f3 ( x)..... lim f n ( x) x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 Đặc biệt: lim ( f ( x))n  ( lim f ( x))n . x  x0 x  x0 1.3.4.3. Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn  Tiêu chuẩn Cauchy ( Tiêu chuẩn 1). Điều kiện cần và đủ để tồn tại giới hạn của f (x) khi x  x0 là:   0,   0 sao cho x1 , x2 thỏa 0  x1  x0   , 0  x2  x0   thì f ( x1 )  f ( x2 )   .  Tiêu chuẩn 2. Cho f (x) xác định x  0 . Nếu f (x) đơn điệu tăng và f (x) bị chặn trên thì  lim f ( x) . x x 0  f ( x )  h( x )  g ( x )  Tiêu chuẩn 3. Nếu  lim f ( x)  lim g ( x)  a thì lim h( x)  a x  x0   x  x0 x  x0 sin 2 (n! x) Ví dụ: Tính lim . x  x2 sin 2 (n! x) 1 1 sin 2 (n! x) Ta có 0   và lim  0 , suy ra lim  0. x2 x2 x x 2 x  x2 Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 8
1.3.5. Vô cùng bé và vô cùng lớn 1.3.5.1. Vô cùng bé  Khái niệm. Hàm số f (x) gọi là vô cùng bé (VCB) khi x  x0 nếu lim f ( x)  0 . x  x0  Ví dụ: a. lim sin x  0  f ( x)  sin x là VCB. x 0 b. lim tan x  0  f ( x)  tan x là VCB. x 0 1 1 c. lim  0  f ( x)  là VCB. x  x x  Định lý.  lim f ( x)  a  f ( x)  a là VCB khi x  x0 , hay là f ( x)  a   ( x) ,  (x) x  x0 là VCB khi x  x0 . * Tính chất: a. VCB.C=VCB b. VCB  VCB=VCB c. VCB.BC=VCB d. VCB.HT=VCB Trong đó C- hằng số, BC- đại lượng bị chặn, HT- đại lượng hội tụ. sin x 1 Ví dụ: lim  lim .sin x  0 với sin x là đại lượng bị chặn. x x x x  So sánh các vô cùng bé. Cho f ( x), g ( x) là hai VCB khi x  x0 . Giả sử tồn tại f ( x) lim  A, 0  A   . Khi đó x  x0 g ( x) a. Nếu A  0 thì ta nói f (x) là VCB bậc cao hơn g (x) hay g (x) là VCB bậc thấp hơn f (x) , khi đó ta ký hiệu f ( x)  O( g ( x)) . b. Nếu 0  A   thì ta nói f (x) và g (x) là hai VCB cùng hay cùng cấp, đặc biệt khi A  1 ta nói f (x) và g (x) là hai VCB tương đương, khi đó ta ký hiệu f ( x) ~ g ( x) . c. Nếu A   thì ta nói g (x) là VCB bậc cao hơn f (x) hay f (x) là VCB bậc thấp hơn g (x) , khi đó ta ký hiệu g ( x)  O( f ( x)) . Ngược lại nếu giới hạn trên không tồn tại thì ta nói g (x) và f (x) không so sánh được.  Định lý. a. Nếu f ( x) ~ g ( x), h( x) ~ t ( x) trong đó f ( x), g ( x) là hai VCB khi x  x0 thì Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 9
f ( x) g ( x) lim  lim . x  x0 h( x) x x0 t ( x) b. Giả sử fi ( x), g j ( x), i  1, n; j  1, m là các VCB khi x  x0 . Khi đó f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x) fi ( x) lim  lim 0 . Trong đó fi0 ( x) là VCB bậc thấp nhất trong x x0 g1 ( x)  g 2 ( x)  ...  g m ( x) x x0 g j0 ( x) các fi (x) và g j0 ( x) là VCB bậc thấp nhất trong các g j (x) .  Ví dụ: a. Khi x  0 thì các VCB sau là tương đương: sin x ~ x, tan x ~ x, arcsin x ~ x, arctan x ~ x, ln( x  1) ~ x, e x 1 ~ x,(1  x)a 1 ~ ax, a x 1 ~ x ln a . sin 5 x b. Tính lim . x 0 e2 x  1 Ta có khi x  0 thì sin 5x ~ 5x, e2 x  1 ~ 2 x . sin 5 x 5x 5 Vậy lim  lim  . x 0 e 2 x  1 x 0 2 x 2 l n 1  2 x  2x 2 c. lim  lim  x0 e3x  1 x0 3x 3 1.3.5.2. Vô cùng lớn  Khái niệm. Hàm số f (x) gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x  x0 nếu lim f ( x)   x  x0  Ví dụ: a. lim tan x    f ( x)  tan x là VCL.  x 2 b. lim cot x    f ( x)  cot x là VCL. x0 1 1 c. lim    f ( x)  là VCL. x 0 x x *Tính chất a. VCL.VCL=VCL. b. VCL+BC=VCL. c. VCL+HT=VCL. d. Tổng hai VCL có thể không là VCL, nhưng tổng hai VCL cùng dấu là VCL. 1 1 e.  VCB,  VCL . VCL VCB Trong đó BC- đại lượng bị chặn, HT- đại lượng hội tụ. Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 10
 So sánh các vô cùng lớn. Cho f ( x), g ( x) là hai VCL khi x  x0 . Giả sử tồn tại f ( x) lim  A, 0  A   . Khi đó x  x0 g ( x) a. Nếu A  0 thì ta nói f (x) là VCL bậc thấp hơn g (x) hay g (x) là VCL bậc cao hơn f (x) . b. Nếu 0  A   thì ta nói f (x) và g (x) là hai VCL cùng hay cùng cấp, đặc biệt khi A  1 ta nói f (x) và g (x) là hai VCL tương đương, khi đó ta ký hiệu f ( x) ~ g ( x) . c. Nếu A   thì ta nói f (x) là VCL bậc cao hơn g (x) hay g (x) là VCL bậc thấp hơn f (x) . Ngược lại nếu giới hạn trên không tồn tại thì ta nói g (x) và f (x) không so sánh được. * Định lý. a. Nếu f ( x) ~ g ( x), h( x) ~ t ( x) trong đó f ( x), g ( x) là hai VCL khi x  x0 thì f ( x) g ( x) lim  lim . x  x0 h( x) x x0 t ( x) b. Giả sử fi ( x), g j ( x), i  1, n; j  1, m là các VCL khi x  x0 . Khi đó f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x) fi ( x) lim  lim 0 . Trong đó fi0 ( x) là VCL bậc cao nhất x x0 g1 ( x)  g 2 ( x)  ...  g m ( x) x x0 g j0 ( x) trong các fi (x) và g j0 ( x) là VCL bậc cao nhất trong các g j (x) . 0  Lưu ý: Trong quá trình giải các bài tập ta sẽ gặp các dạng vô định: , , 0.,   , 0  00 , 0 ,0 ,1 . Khi đó ta phải khử các dạng vô định. 1.4. Hàm số liên tục 1.4.1. Khái niệm  Định nghĩa. Cho hàm số y  f (x) xác định trên miền D , x0  D . Hàm số y  f (x) được gọi là liên tục tại x  x0 nếu lim f ( x)  f ( x0 ) . x  x0 Nếu y  f (x) không liên tục tại x  x0 ta nói hàm số y  f (x) gián đoạn tại x  x0 .  s inx  ,x  0  Ví dụ: Xét hàm số f  x    x  1, x  0 s inx Ta có lim  1  f (0) . Vậy f ( x) liên tục tại x  0 . x 0 x Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 11
 Định nghĩa. Cho hàm số y  f (x) xác định trên miền D , x0  D . Khi đó hàm số y  f (x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x  x0 nếu: lim f ( x)  f ( x0 _ ) ( lim f ( x)  f ( x0 )) . x  xx0 x  xx0 Hàm số y  f (x) được gọi là liên tục trong (a; b) nếu y  f (x) liên tục tại mọi điểm của (a; b) . 1.4.2. Các tính chất và định lý  Định lý. Hàm số y  f (x) liên tục tại x  x0 khi và chỉ khi y  f (x) liên tục trái và liên tục phải tại x  x0 .  s inx  ,x  0 Ví dụ: Xét hàm số y   x  1, x  0  Ta có s inx s inx f (0 )  lim  lim  1  f (0) x 0 x x 0 x s inx s inx f (0 )  lim   lim  1  f (0) x 0 x x 0 x Vậy f ( x) liên tục phải tại x  0 , nhưng không liên tục trái tại x  0 .  Định nghĩa. Cho hàm số y  f (x) xác định trên D . Khi đó tập hợp các điểm M ( x,( f ( x)) trong mặt phẳng tọa độ Oxy , khi x thay đổi trong D được gọi là đồ thị của hàm số y  f (x) trên D .  Định lý. Đồ thị của hàm số liên tục là một đường liền nét.  Định lý. Nếu y  f (x) liên tục trên đoạn  a; b thì y  f (x) bị chặn trên  a; b , tức là M  0 : f ( x)  M , x  D .  Định lý. Nếu y  f (x) liên tục trên đoạn  a; b thì y  f (x) đạt giá trị lớn nhất và giá  f ( x1 )  f ( x), x  D trị nhỏ nhất trên  a; b , tức là x1 , x2 :   f ( x2 )  f ( x), x  D  Định lý. Nếu y  f (x) liên tục trên đoạn  a; b thì y  f (x) nhận mọi giá trị trung gian giữa f (a) và f (b) .  Định lý. Nếu y  f (x) liên tục trên đoạn  a; b và f (a). f (b)  0 thì có c  (a; b) để f (c)  0 , nói cách khác phương trình f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm trong  a; b  . Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 12
Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình x9  3x4  1  0 có ít nhất một nghiệm trong (0;1) . 1.4.3. Phân loại điểm gián đoạn: Cho hàm số y  f (x) . Điểm x0 là điểm gián đoạn của y  f (x) khi: a. y  f (x) không xác định tại x0 b. Không tồn tại giới hạn của y  f (x) khi x  x0 c. Tồn tại giới hạn của y  f (x) khi x  x0 , nhưng giới hạn này khác f ( x0 ) . Như vậy ta có thể phân loại các điểm gián đoạn như sau: + Điểm x0 là điểm gián đoạn loại 1 khi f ( x0 ), f ( x0 ) . Đặc biệt khi f ( x0 )  f ( x0 ) thì ta nói x0 là điểm gián đoạn có thể bỏ được. + Các trường hợp khác gọi là điểm gián đoạn loại 2. 1.5. Đạo hàm 1.5.1. Khái niệm 1.5.1.1. Bài toán mở đầu Xét đường cong (C ) : y  f ( x) , một điểm M 0 ( x0 , y0 ) cố định trên (C ) và một cát tuyến MM 0 . Nếu M ( x, y) chạy trên đường cong (C ) đến điểm M 0 ( x0 , y0 ) mà cát tuyến MM 0 dần tới một vị trí tới hạn TM 0 , thì đường thẳng TM 0 gọi là tiếp tuyến của đường cong (C ) tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) . Vậy khi nào thì (C ) : y  f ( x) có tiếp tuyến tại M 0 ( x0 , y0 ) và hệ số góc của tiếp tuyến đó được tính như thế nào? y  M(x,y)  T M0(x0,y0)  x O Đặt  x  x  x0  y  y  y0  f ( x)  f ( x0 )  f ( x0  x)  f ( x0 ) y f ( x0  x)  f ( x0 ) thì hệ số góc của cát tuyến MM 0 là tan    . x x Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 13
Cho điểm M 0 ( x0 , y0 ) tiến dần đến M dọc theo đường cong (C ) , khi đó x  0 , nếu tỉ y số dần tới một giới hạn xác định thì  cũng dần đến một góc xác định là  , nghĩa là x cát tuyến MM 0 dần tới vị trí tới hạn TM 0 và tạo với Ox một góc  . y Từ đó, nếu tỉ số dần tới một giới hạn xác định khi x  0 thì đường cong x (C ) : y  f ( x) có tiếp tuyến tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) và hệ số góc của tiếp tuyến là: y f ( x0  x)  f ( x0 ) tan  lim tan   lim  lim x  0 x  0 x x  0 x 1.5.1.2. Định nghĩa Cho hàm số y  f (x) xác định trên miền D , x0  D . Cho biến x số gia x thỏa f x0  x  D . Xét số gia hàm số: f  f ( x0  x)  f ( x0 ) . Ta gọi giới hạn lim  I (nếu x  0 x tồn tại hữu hạn) là đạo hàm của y  f (x) tại x0 và ta cũng nói y  f (x) có đạo hàm tại x0 . y f ( x0  x)  f ( x0 ) Ký hiệu: f / ( x0 )  lim  lim I x  0 x x  0 x f ( x)  f ( x0 ) Nhận xét: nếu đặt x  x0  x thì f / ( x0 )  lim I. x  x0 x  x0 Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y  x 2 bằng định nghĩa y  x 2 : Giải y f ( x0  x)  f ( x0 ) f / ( x0 )  lim  lim x0 x x0 x ( x0  x)2  x02 x.  2x 0  x   lim  lim  lim  2x 0  x   2x 0 x0 x x0 x x0 1.5.1.3. Đạo hàm một phía Cho hàm số y  f (x) xác định trên miền D , x0  D . f f Ta gọi giới hạn lim  I ( lim   I ) ( nếu tồn tại hữu hạn) là đạo hàm phải (trái) x  0 x x  0 x của y  f (x) tại x0 . Ký hiệu: + Đạo hàm phải I  f / ( x0 ) + Đạo hàm trái I  f / ( x0 ) Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 14
f / ( x ), f  / ( x0 ) *Định lý. f / ( x0 )   / 0  f  ( x0 )  f  ( x0 ) / 1.5.2. Các quy tắc tính đạo hàm (c ) /  0 (u  v) /  u /  v / (cu ) /  c(u ) / (u.v) /  u / .v  u.v / u u / .v  u.v / ( )/  (v  0) v v2 1.5.3. Đạo hàm hàm hợp, hàm ngƣợc: 1.5.3.1. Đạo hàm hàm hợp Giả sử hàm số u  u(x) có đạo hàm u / ( x0 ) tại x0 và u0  u( x0 ) . Tại u0  u( x0 ) hàm y  y(u) có đạo hàm y / (u0 ) đối với biến u . Khi đó tại x0 hàm số y  y(u( x)) có đạo hàm yx ( x0 ) theo biến x và yx ( x0 )  yu/ (u0 ).ux/ ( x0 ) hay yx  yu/ .ux/ . / / / 1.5.3.2. Đạo hàm hàm ngƣợc Giả sử các điều kiện sau được thỏa: a/ Hàm số y  f (x) có đạo hàm y / ( x0 )  0 tại x0 b/ Hàm số y  f (x) là đơn ánh . c/ Hàm ngược x  g ( y) liên tục tại y0  f ( x0 ) Khi đó hàm số ngược của hàm số y  f (x) sẽ có đạo hàm x y/ ( y0 ) tại y0 và 1 x y/ ( y0 )  / . y ( x0 ) x 1 Ta thường ký hiệu hàm ngược là g ( y) là f 1 ( x) và khi đó ( f 1 ) /  . f/ 1.5.3. Các công thức đạo hàm cơ bản (c ) /  0 ( x n ) /  nx n 1 (e x ) /  e x (a x ) /  a x ln a 1 (log ax ) /  (sin x) /  cos x x ln a 1 (cos x) /   sin x (tan x) /  2  1  tan 2 x cos x 1 1 (cot x) /    (1  cot 2 x) (arcsin x) /  sin 2 x 1  x2 Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 15
1 1 (arccos x) /   (arc cot anx) /   1 x 2 1  x2 1 (arctan x) /  1  x2 Ví dụ: a. (( x3  4)5 )/  5.( x3  4)4 .3x2 1 b. (sin 4 (ln x))  4sin 3 (ln x). x 1.5.3. Định lý (Tính có đạo hàm của hàm của hàm số sơ cấp) Hàm số sơ cấp có đạo hàm trên miền xác định của nó. 1.5.4. Định lý Nếu hàm số y  f (x) có đạo hàm tại x  x0 thì f (x) liên tục tại x  x0 . 1.6. Vi phân 1.6.1. Khái niệm Cho hàm số y  f (x) xác định trên miền D , x0  D . Cho biến x số gia x thỏa x0  x  D . Xét số gia hàm số: f  f ( x0  x)  f ( x0 ) . Nếu f biểu diễn được dưới dạng: f  f / ( x).x   ( x) trong đó  ( x) là vô cùng bé bậc cao hơn x khi x  0 thì y  f (x) được gọi là khả vi tại x  x0 và biểu thức f / ( x).x gọi là vi phân của y  f (x) tại x  x0 . Ký hiệu: df  f / ( x)dx df với dx  x hay  f / ( x) . dx 1.6.2. Định lý Hàm số sơ cấp khả vi trên miền xác định của nó. Nghĩa là nó có đạo hàm trên miền xác định của nó. 1.6.3. Các quy tắc tính vi phân. d (u  v)  du  dv dC  0 d (Cv)  Cdv d (uv)  vdu  udv u vdu  udv d( )  v v2 Ví dụ: Tính vi phân của các hàm số: a. y=sinx Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 16
Ta có: dy=d(sinx)=(sinx)’dx=cosxdx. b. y  x dy  d  x    x  dx  2 1 x dx . 1.6.4. Ứng dụng vi phân để tính gần đúng: Nếu y  f (x) khả vi tại x  x0 thì f  f / ( x).x   ( x) . Vì vậy khi x khá bé ta có công thức xấp xỉ như sau: f ( x0  x)  f / ( x0 ).x  f ( x0 ) . Ví dụ: Tính gần đúng biểu thức A  4 15,8 Xét hàm số y  4 x . 3 1 1 1 Ta có y  x 4  . 4 4 4 x3 Chọn x 0  16  x  x  x0  15,8 16  0, 2 . Áp dụng công thức f ( x0  x)  f / ( x0 ).x  f ( x0 ) 1 1 1 1 319 A  4 16  0, 2   0, 2   4 16  . .  0, 2   2  . 4 4 163 4 8 160 1.7. Đạo hàm và vi phân cấp cao 1.7.1. Đạo hàm cấp cao  Định nghĩa. Gọi đạo hàm của y  f ( x) là f / ( x) thì f / ( x) là một hàm số theo biến x . Nếu f / ( x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm cấp hai của y  f ( x) . Ký hiệu f // ( x)  ( f / ( x)) / . Tương tự ta cũng định nghĩa được đạo hàm cấp ba của y  f ( x) và f /// ( x)  ( f // ( x)) / . Đạo hàm của đạo hàm cấp  n  1 của y  f ( x) được gọi là đạo hàm cấp n của f  x  . Ký hiệu: f ( n) ( x)  ( f ( n1) ( x))/ .  Ví dụ: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số: 1 a. y  sinx b. y  . x Giải   a. y  s inx  y=cosx  sin  x    2 Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 17
    y  cos  x    sin  x  2.   2  2     y  cos  x  2.   sin  x  3   2  2 …   y   sin  x  n  . n  2 b. 1 y  y   1 x 2 x y   1 2  x 3  1.2.x 3 y   1 2  3 .x 4 ...  1 n n!  n   1 1.2.3...n.x  n 1 n y  n 1 x  Công thức Lepnit: n Nếu u, v là các hàm khả vi n lần thì:  u.v    n C u .v k 0 k n k nk  . Ví dụ: Cho hàm số y  x 2 .e x . Tính y   0  . 20 Giải Đặt u  x2  u  2x  u  2  u  0 . v  ex  v  ex ...  v   e x . 20 20 y   0   20 C k 0 k k  20u  0  .v nk   0   C18 20 .2.1  380 . 1.7.2. Vi phân cấp cao  Định nghĩa. Ta cũng lý luận tương tự như trên và nếu df  f / ( x)dx là vi phân cấp một của y  f ( x) thì d 2 f  f // ( x)d 2 x là vi phân cấp hai của y  f ( x) . Hơn nữa, ký hiệu d n f  f ( n) ( x)d n x là vi phân cấp n của f ( x) .  1 n! Ví dụ: a. d n s inx=sin(x+n )d n x b. d n  (1)n n 1 d n x . 2 x x 1.8. Các định lý cơ bản về hàm khả vi Tài liệu giảng dạy Môn Vi tích phân 18