Thiết bị tiêu tán năng lượng - Giảm dao động: Phần 2

Chia sẻ: Hoa La Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:256

Thêm vào BST

Báo xấu

143
lượt xem 40
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 Tài liệu Giảm dao động bằng thiết bị tiêu tán năng lượng tiếp tục giới thiệu đến bạn đọc nội dung phần còn lại từ chương V đến chương VIII về TBTTNL khối lượng TMD, ứng dụng của thiết bị TMD, TBTTNL chất lỏng, các phần tử TTNL trong phương pháp phần tử hữu hạn. Tài liệu là Tài liệu tham khảo cho bạn đọc nghiên cứu lĩnh vực này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Thiết bị tiêu tán năng lượng - Giảm dao động: Phần 2

Chương V TBTTNL KHỐI LƯỢNG TMD 5.1. Giới thiệu TBTTNL khối lượng TMD (tuned mass damper) thực chất là một hệ tích hợp giữa khối lượng, lò xo với các TBTTNL khác như TBTTNL đàn nhớt hoặc TBTTNL chất lỏng nhớt (chương 3). Như đã thấy trong chương 3, các TBTTNL ma sát, kim loại, đàn nhớt hay chất lỏng nhớt đều là các TBTTNL lắp trong, năng lượng dao động được tiêu tán qua chuyển động tương đối giữa các phần khác nhau bên trong kết cấu. Trong trường hợp kết cấu khá rắn, chuyển động tương đối giữa các phần trong kết cấu không lớn thì sử dụng các TBTTNL lắp trong tỏ ra không hiệu quả. TBTTNL TMD là một giải pháp thay thế vì đây là một thiết bị lắp ngoài, tiêu tán năng lượng qua chuyển động tương đối giữa kết cấu với một khối lượng phụ. Nguyên nhân tạo ra chuyển động tương đối này là quán tính (tính ì) của khối lượng phụ. Quán tính của khối lượng phụ càng lớn thì chuyển động tương đối cũng càng lớn. Thiết bị TMD cũng được ứng dụng cho nhiều lĩnh vực khác như giao thông vận tải, máy móc thiết bị..., trong đó vật cần giảm dao động chuyển động như một vật rắn. Vì vậy, trong chương này, để trình bày những ứng dụng khác nhau, ta sử dụng thuật ngữ hệ chính để chỉ các hệ kỹ thuật cần được giảm dao động còn hệ phụ để chỉ TMD được lắp vào hệ chính với mục đích làm giảm dao động. Thiết bị TMD sử dụng khối lượng của bản thân để tạo ra chuyển động tương đối nên ưu điểm của TMD là không cần thay đổi hay bổ xung những yếu tố bên trong hệ chính. Do yêu cầu kỹ thuật khối lượng TMD không được ảnh hưởng nhiều đến hệ chính (thường không quá 3-5% khối lượng hệ chính). Thiết bị TMD nói chung có hiệu quả giảm dao động rõ rệt khi hệ chính có cản yếu. Để có được chuyển động tương đối lớn giữa hệ chính với khối lượng phụ, thiết bị TMD cần phải có đặc tính được lựa chọn thích hợp. Do đó trong tên gọi TMD có thêm từ "điều
166 Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt chỉnh" (tuned) để phân biệt với các loại thiết bị điều khiển tích cực và điều khiển ghép cũng dùng khối lượng. Trên thực tế, ý tưởng sử dụng TMD đã được sử dụng từ khá sớm trong lĩnh vực giảm dao động với tên gọi bộ hấp thụ động lực (dynamic absorber). Hình 5.1 là mô hình cho thấy sự lắp đặt của bộ hấp thụ động lực khối lượng md nhằm giảm dao động cho hệ chính khối lượng m. Mô hình này đã được Frahm (1909) đưa ra lần đầu tiên. f(t) k kd m md Hình 5.1: Mô hình bộ hấp thụ động lực của Frahm (1909) Bằng cách điều chỉnh độ cứng kd và khối lượng md sao cho tần số riêng của bộ hấp thụ bằng đúng tần số kích động điều hòa f(t), người ta có thể làm tắt dao động của khối lượng m. Sau đó Den Hartog (1956) đã phát triển lý thuyết bộ hấp thụ động lực có cản trong trường hợp kích động điều hòa và hệ chính không cản. Áp dụng quy trình tính toán của Den Hartog, các tác giả khác đã đưa ra lời giải cho nhiều trường hợp khác nhau về mục tiêu điều khiển và dạng kích động. Warburton (1982) là người đã tiến hành thống kê và lập bảng các tham số tối ưu của bộ hấp thụ động lực cho nhiều trường hợp. Khi chuyển sang lĩnh vực điều khiển kết cấu, bộ hấp thụ động lực thường được gọi với tên TMD. Vì hệ kết cấu thường có nhiều bậc tự do và có cản nên lời giải giải tích cho hệ một bậc tự do không cản chỉ là lời giải gần đúng ban đầu. Những nghiên cứu về TMD cho hệ nhiều bậc tự do chịu kích động ngẫu nhiên đã được phát triển theo hướng sử dụng các phương pháp số [Casciati 2002, Anh vcs 2000b, 2001, 2003, 2004b, Nguyễn Đông Anh vcs 2001, Nguyễn Chỉ Sáng 2002]. Ngoài ra, một số nghiên cứu về TMD phi tuyến, TMD va chạm cũng đáng chú ý. Để tăng hiệu quả của TMD, những công nghệ hiện đại còn sử dụng các bộ điều khiển tích cực
Chương V. TBTTNL khối lượng TMB 167 lắp đặt vào TMD. Kỹ thuật này được sử dụng tương đối phổ biến ở Nhật Bản với tên gọi thiết bị HMD (Hybrid Mass Damper). Việc tích hợp thiết bị TMD trong thực tế cũng mở ra nhiều nghiên cứu. Khi lắp đặt vào kết cấu, thường thiết bị TMD có biên độ dao động lớn hơn nhiều lần dao động của kết cấu. Vấn đề nghiên cứu đặt ra là thiết kế hình dạng của thiết bị sao cho có thể sử dụng không gian một cách tối ưu. Vì kiến trúc của kết cấu rất đa dạng nên hình dạng cấu trúc của thiết bị TMD cũng không kém phần phong phú. Trong thực tế thiết bị TMD đã được áp dụng nhiều trong nhiều lĩnh vực cần giảm dao động. Với kết cấu, áp dụng đầu tiên của thiết bị TMD vào năm 1975. Đến nay, việc sử dụng thiết bị TMD để giảm dao động của kết cấu đã trở thành một khái niệm quen thuộc. Trong phần đầu của chương này sẽ trình bày một số lời giải kinh điển và các công thức kinh nghiệm đối với TMD. Để thống nhất với các TBTTNL khác, các công thức tuyến tính hóa tương đương đối với TMD sẽ được trình bày trong chương này, còn vấn đề tính toán hệ nhiều bậc tự do có lắp TMD trên miền thời gian sẽ được trình bày trong chương 8. Việc đề cập đến một số yêu cầu của thực tế và một số ví dụ lắp đặt TMD vào kết cấu sẽ trình bày trong chương sau. 5.2. Phương pháp giải tích chọn tham số tối ưu của TMD khi hệ chính không cản có 1 bậc tự do Đối với hệ chính 1 bậc tự do không cản, có thể thu được lời giải giải tích cho các tham số tối ưu của TMD. Trong phần đầu, phương trình chuyển động của hệ 1 bậc tự do tổng quát dạng con lắc - lò xo có lắp TMD sẽ được thành lập. Sau đó, ta trình bày một số phương pháp tính toán TMD cho lời giải giải tích. Hai phương pháp cực tiểu mômen bậc 2 và cực đại độ cản tương đương có liên quan đến một số khái niệm của dao động ngẫu nhiên đã được trình bày trong chương 1. Bạn đọc chưa quen với dao động ngẫu nhiên có thể bỏ qua phần này. Các phương pháp ở đây được trình bày dưới dạng đường lối thực hiện. Các mục 5.3, 5.4 và 5.5 sẽ áp dụng phương pháp vào những hệ cụ thể. Ngoài ra, độc giả có thể tham khảo thêm các phương pháp khác [Falcon vcs 1967, Fujino vcs 1993, Nguyen Van Khang vcs 2006, Nguyen Van Dao vcs 2004].
168 Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt 5.2.1. Phương trình chuyển động của hệ con lắc - lò xo Mục đích của phần này là thiết lập phương trình chuyển động của hệ con lắc - lò xo 1 bậc tự do, được lắp đặt TMD cũng có dạng con lắc - lò xo. Đây là hệ tổng quát mang tính lý thuyết, có thể không tồn tại trong thực tế. Tuy nhiên, các trường hợp riêng của nó (như sẽ thấy trong các mục 5.3, 5.4 và 5.5) có xuất hiện trong thực tế. Ta xét hệ cơ học như trên Hình 5.2. Hệ chính bao gồm con lắc có khối lượng m, chiều dài l, khối lượng riêng của thanh treo là ρ, góc dao động là θ và nối với một điểm cố định bởi lò xo có độ cứng k. TMD cũng là một hệ con lắc - lò xo với khối lượng md, chiều dài ld, góc dao động so với hệ chính là θd, nối với hệ chính bởi lò xo có độ cứng kd và bộ cản có độ cản là cd. Điểm treo TMD cách điểm treo hệ chính một khoảng d. Giả sử hệ chính chịu lực kích động f(t) theo phương ngang (phương Ox) còn điểm treo hệ chính O dịch chuyển với gia tốc ag(t) cũng theo phương ngang. ld θd O x d θ cd md y kd k l m Hình 5.2: Hệ con lắc - lò xo không cản được lắp TMD Xét hệ trục tọa độ như trên Hình 5.2. Các tọa độ của các khối lượng m và md là:
Chương V. TBTTNL khối lượng TMB 169 x = l sin θ , y = l cos θ xd = ld sin (θ + θ d ) − d sin θ , yd = ld cos (θ + θ d ) − d cos θ (5.1) Ngoài ra để tính động năng và thế năng của thanh đỡ hệ chính, ta còn cần đến các tọa độ của các điểm thuộc thanh. Xét một yếu tố chiều dài vi phân ds của thanh treo hệ chính, có khoảng cách s tính từ điểm treo O. Khi đó vị trí và khối lượng của yếu tố chiều dài này là: xb ( s ) = s sin θ , yb ( s ) = s cos θ , dmb = ρ ds. Động năng của hệ có dạng l T= 1 2 ( ) 1 ( ) 1 m x& 2 + y& 2 + md x&d2 + y& d2 + ∫ ⎡( x&b ( s ) ) + ( y&b ( s ) ) ⎤ ρ ds 2 2 ⎣⎢ 2 2 ⎦⎥ 0 1 ( = ⎛⎜ ml 2θ& 2 + md d 2θ& 2 + md ld2 θ& + θ&d ⎞⎟ ) 2 (5.2) 2⎝ ⎠ 1⎛ 1 ⎞ 2⎝ ( ) + ⎜ −2md dld θ& θ& + θ&d cos θ d + ρ l 3θ& 2 ⎟ 3 ⎠ Thế năng của hệ có dạng: l kl 2θ 2 + kd ld2θ d2 V = −mgy − md gyd + − ∫ ρ gyb ( s ) ds = 2 0 1⎛ 2 2 ⎛ ρl 2 ⎞ ⎞ ⎜ kl θ + kd ld2θ d2 − 2 ⎜ ml − md d + ⎟ g cos θ ⎟ 2 ⎜⎝ ⎜ 2 ⎟⎠ ⎟ ⎝ ⎠ −md ld g cos (θ + θ d ) (5.3) Hàm tiêu tán có dạng 1 ( ) 2 F = cd lθ&d (5.4) 2
170 Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt Công sinh ra trên một dịch chuyển khả dĩ là: δ A = ⎡⎣ f ( t ) − mag ( t ) ⎤⎦ δ x − md ag ( t ) δ xd = ⎡ f ( t ) − mag ( t ) ⎤ l cos θδθ ⎣ ⎦ − md a g ( t ) ( ld cos (θ + θ d )(δθ + δθ d ) − d cos θδθ ) (5.5) Từ đó ta suy ra các lực suy rộng là: Qθ ( t ) = l cos θ f ( t ) − ( ml cosθ + md ld cos (θ + θd ) − md d cosθ ) ag ( t ) (5.6) Qθ d ( t ) = −md ld cos (θ + θ d ) a g ( t ) (5.7) Thay vào phương trình chuyển động Lagrange: d ⎛⎜ ∂ (T − V ) ⎞⎟ ∂ (T − V ) ∂F − + . = Qθ dt ⎜⎝ ∂ θ. ⎟⎠ ∂θ ∂θ (5.8) ⎛ ⎞ d ⎜ ∂ (T − V ) ⎟ ∂(T − V ) ∂F − + . = Qθ d dt ⎜⎜ ∂ θ. ⎟⎟ ∂θ d ∂θd ⎝ d ⎠ Ta thu được phương trình chuyển động: ρ l 3 && ml 2θ&& + 3 ( ) θ + md ld2θ&&d + md d 2 + ld2 θ&& − md dld cos θ d ( 2θ&& + θ&&d ) + ⎛ ρl 2 ⎞ ( ) md dld 2θ& + θ&d θ&d sin θ d + ⎜ ml − md d + ⎜ ⎟ g sin θ + 2 ⎟⎠ ⎝ md ld g sin (θ + θ d ) + kl 2θ = l cos θ f ( t ) − ( ml cos θ + md ld cos (θ + θ d ) − md d cos θ ) ag ( t ) , (5.9)
Chương V. TBTTNL khối lượng TMB 171 ( md ld2 − md dld cosθd )θ&& + md ld2θ&&d + md dldθθ& &d sin θd + kd ld2θd ( ) − md ld dθ& θ& + θ&d sin θ d + md ld g sin (θ + θ d ) + cd ld2θ&d = − md ld cos (θ + θ d ) a g ( t ) (5.10) Hệ phương trình (5.9) và (5.10) là một hệ phương trình vi phân phi tuyến. Giả sử hệ tuyến tính hóa có thể mô tả được bản chất của phương trình phi tuyến này. Để tuyến tính hóa giả thiết các góc lệch θ và θd là nhỏ, bỏ qua các đại lượng bậc cao, ta có: sin θ ≈ θ , sin θ d ≈ θ d , sin (θ + θ d ) ≈ θ + θ d , cos θ ≈ cos θ d ≈ cos (θ + θ d ) ≈ 1 Phương trình chuyển động tuyến tính hóa dưới dạng ma trận: ⎡ 2 ρl3 2 ⎤ ⎢ ml + + md ( ld − d ) md ld2 − md dld ⎥ ⎡ θ&& ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡ θ& ⎤ + ⎢ 3 ⎥ ⎢θ&&d ⎥ ⎢0 c l 2 ⎥ ⎢θ&d ⎥ ⎢⎣ 2 md ld − md dld md ld2 ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ d d⎦⎣ ⎦ ⎡ 2 ρ gl 2 ⎤ ⎢ kl + mgl + + md g ( ld − d ) md gld ⎥⎡θ ⎤ = + 2 ⎢ ⎥ ⎢⎣θ d ⎥⎦ ⎢⎣ md gld kd ld2 + md gld ⎥⎦ ⎡lf ( t ) − ( ml + md ld − md d ) ag ( t ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −md ld ag ( t ) ⎥⎦ (5.11) Đưa vào các đại lượng sau: md l −d k g ( m + ρl / 2) μ= ,γ = d , ωs = + , m + ρl / 3 l m + ρ l / 3 l ( m + ρ l / 3) kd g cd ω g ωd = + ,ξ = ,α = d ,η = 2 , md ld 2md ωd ωs ωs l x = lθ , xd = ld θ d (5.12)
172 Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt Trong đó μ là tỷ số các khối lượng, γ là tỷ số xác định vị trí lắp đặt TMD, ωs là tần số riêng của hệ chính, ωd là tần số riêng của TMD, ξ là tỷ số cản của TMD, α là tỷ số các tần số riêng, η là tham số xác định sự phân bố khối lượng của con lắc, x là chuyển dịch của hệ chính, xd là chuyển dịch tương đối của TMD so với hệ chính. Phương trình chuyển động được viết thành ⎡1 + μγ 2 μγ ⎤ ⎡ && x⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡ x& ⎤ ⎢ μγ ⎥ ⎢⎣ && ⎥⎦ + ω s ⎢⎣0 2ξαμ ⎥⎦ ⎢⎣ x&d ⎥⎦ + ⎣ μ ⎦ x d ⎡ f (t ) ⎤ 2 ⎡1 + μγη μη ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ − (1 + μγ ) a g ( t ) ⎥ ωs ⎢ = m ⎣ μη μα 2 ⎥⎦ ⎢⎣ xd ⎥⎦ ⎢ − μ ag ( t ) ⎥ ⎣ ⎦ (5.13) Phương trình này là cơ sở cho các phương pháp giải tích sẽ được trình bày tiếp theo. 5.2.2. Phương pháp điểm cố định Phương pháp điểm cố định được đề xuất bởi Den Hartog 1956 với mục đích hạ thấp tối đa đỉnh của đáp ứng hệ chính khi chịu kích động điều hòa. Với kết cấu, có 2 đáp ứng hay được xét đến là chuyển dịch (liên quan đến đến độ an toàn của kết cấu) và gia tốc (liên quan đến độ an toàn của các thiết bị và con người trong kết cấu). Giả sử kích động có dạng điều hòa, biểu diễn kích động dưới dạng phức ˆ iωt a g ( t ) = aˆ g eiωt f ( t ) = fe , (5.14) trong đó fˆ và aˆ g là các biên độ phức. Đáp ứng bình ổn có dạng iωt ˆ iωt , xd = xˆd e x = xe (5.15) với xˆ và xˆd lần lượt là các biên độ phức của chuyển dịch hệ chính và TMD. Thay (5.14) và (5.15) vào phương trình (5.13),
Chương V. TBTTNL khối lượng TMB 173 loại bỏ thành phần chứa thời gian, chia cho ωs2, ta thu được phương trình: ⎛ 2 ⎡1 + μγ 2 μγ ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡1 + μγη μη ⎤ ⎞ ⎡ xˆ ⎤ ⎜ −β ⎢ ⎥ + 2i β ⎢ +⎢ ⎟ = ⎝ ⎣ μγ μ⎦ ⎣0 ξαμ ⎥⎦ ⎣ μη μα 2 ⎥⎦ ⎠ ⎢⎣ xˆd ⎥⎦ ⎡1 ⎤ fˆ ⎡1 + μγ ⎤ aˆ g ⎢⎣0 ⎥⎦ k − ⎢⎣ μ ⎥⎦ ω 2 s (5.16) Trong đó ký hiệu: ω β= = tỷ số giữa tần số kích động và tần số kết cấu. ωs Nếu aˆ g = 0 , giải (5.16) thu được biên độ phức của chuyển dịch hệ chính có dạng: H1 + iH 2ξ ˆ xˆ = f H 3 + iH 4ξ (5.17) Trong đó i là số ảo, ξ là tỷ số cản của TMD, Hi (i = 1,..4) là các hàm thực của α, β và một số tham số khác ngoại trừ ξ. Các hàm Hi (i = 1,..4) sẽ được tính cho từng trường hợp cụ thể trong các mục 5.3, 5.4 và 5,5. Trong trường hợp fˆ = 0 và aˆ g ≠ 0 thì ta cũng thu được biểu thức tương tự như (5.17) nhưng thay fˆ bởi aˆ g . Trường hợp chỉ tiêu gia tốc cũng có biểu thức tương tự (5.17) nhưng thay biên độ của chuyển dịch bằng biên độ của gia tốc. Từ (5.17), biên độ thực của đáp ứng có dạng: H12 + H 22ξ 2 xˆ ( t ) = fˆ ( t ) = H fˆ ( t ) H 32 + H 42ξ 2 (5.18)
174 Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt Trong đó H được gọi là hàm khuyếch đại giữa biên độ đáp ứng và biên độ kích động. Mục đích của phương pháp điểm cố định là hạ thấp nhất một cách có thể đỉnh của hàm khuyếch đại H trong toàn bộ miền biến thiên của tần số kích động. Khi cố định các tham số ngoại trừ tham số ξ, đồ thị H theo β với một số giá trị của ξ có dạng như trên Hình 5.3 Hình 5.3: Dạng biến thiên của hàm khuyếch đại theo tần số kích động ngoài Trên Hình 5.3 ta thấy, với 2 trường hợp tới hạn ξ = 0 (không cản) và ξ = 1 (cản tới hạn) đều dẫn tới đỉnh của đồ thị tiến ra vô cùng. Điều đó cho thấy giữa 2 giá trị này tồn tại một giá trị tối ưu nào đó của tỷ số cản thiết bị ξ. Ngoài ra, tính chất không cản của hệ chính dẫn tới sự tồn tại của 2 điểm cố định P, Q không phụ thuộc vào tỷ số cản ξ của TMD. Bước đầu tiên của phương pháp điểm cố định là tìm 2 điểm cố định P, Q. Giả sử 2 điểm P, Q có hoành độ là β1 và β2. Để H không phụ thuộc vào ξ thì: ∂H ∂H |β = β1 = |β = β 2 = 0 ∂ξ ∂ξ (5.19)
Chương V. TBTTNL khối lượng TMB 175 Từ biểu thức của H trong (5.18), rút ra các phương trình: H1 H |β = β1 = 2 |β = β1 H3 H4 (5.20) H1 H |β = β 2 = 2 | β = β 2 H3 H4 (5.21) Và ta cũng thu được giá trị của H tại 2 điểm này: H2 H H |P = |β = β1 H |Q = 2 |β = β 2 H4 H4 , (5.22) Sau đó, Den Hartog (1956) lý luận rằng muốn đồ thị H không thay đổi lớn trong khoảng giữa 2 đỉnh thì trước hết cần phải cho 2 điểm P và Q có độ cao bằng nhau, từ đó ta có thêm một phương trình: H2 H H |P = H |Q ⇒ |β = β1 = 2 |β = β 2 H4 H4 (5.23) Như vậy ta đã có 3 phương trình (5.20), (5.21) và (5.23) cho 3 ẩn β1, β2 và α. Chú ý rằng tính chất không cản của hệ chính làm cho các hàm Hi (i = 1,..4) không phụ thuộc vào ξ. Do đó hệ (5.20), (5.21) và (5.23) là hệ 3 phương trình đóng với 3 ẩn β1, β2 và α. Hệ này có lời giải không phụ thuộc ξ. Kết quả cho nghiệm tối ưu của α là α*. Bước thứ hai của phương pháp điểm cố định là tìm thêm một phương trình nữa cho ẩn ξ. Sau khi đã có 2 điểm cố định P, Q cao bằng nhau, nếu vẽ đồ thị H theo tỷ số tần số với các giá trị ξ khác nhau, ta lại có dạng trên Hình 5.4.
176 Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt Hình 5.4: Dạng biến thiên của hàm khuyếch đại khi α đã được chỉnh đến giá trị tối ưu Khi ξ còn nhỏ thì có 2 đỉnh của đồ thị cao hơn P và Q. Khi ξ tăng dần thì 2 đỉnh đó thấp dần xuống. Đến một giá trị ξ* thì 2 đỉnh này đã thấp khá gần P,Q. Nếu lại tăng tiếp cản thì 2 đỉnh tiến tới chập làm một và đỉnh duy nhất này lại cao lên. Như vậy tồn tại một giá trị ξ* mà ta cần tìm sao cho P và Q gần với các đỉnh của đồ thị nhất. Trước hết ta tìm giá trị ξ1 sao cho P là một đỉnh của đồ thị. Khi P là đỉnh của đồ thị thì đạo hàm của H theo β tại đó (tại β = β1) bằng 0. Xuất phát từ biểu thức (5.18) của hàm khuyếch đại H có: ( ) ( H 2 H 32 + ξ 2 H 42 = H12 + ξ 2 H 22 ) (5.24) Lấy đạo hàm 2 vế (5.24) theo β tại β = β1 và chú ý tới điều kiện ∂H/∂β = 0 tại β1 thì ta thu được ∂H1 ∂H 2 H1 + ξ 2H2 ∂β ∂β H2 = ∂H 3 ∂H 4 H3 + ξ 2H4 ∂β ∂β (5.25) Dẫn tới:
Chương V. TBTTNL khối lượng TMB 177 ∂H1 ∂H 3 H1 − H 2 H3 ∂β ∂β ξ2 = − ∂H 2 ∂ H4 H2 − H 2H4 ∂β ∂β (5.26) Thay các giá trị α* và β1 vào đây có thể tính được ξ1. ∂H1 ∂H 3 H1 − H 2 H3 ∂β ∂β ξ12 = − ∂H 2 ∂ H4 H2 − H 2H4 ∂β ∂β tại α = α* và β = β1 (5.27) Với cách làm tương tự ta tính được giá trị ξ2 để Q là một đỉnh của đồ thị. ∂H1 ∂H 3 H1 − H 2 H3 ∂β ∂β ξ 22 = − ∂H 2 ∂H 4 H2 − H 2H4 ∂β ∂β tại α = α* và β = β2 (5.28) Do ξ1 và ξ2 khác nhau nên P và Q không thể đồng thời cùng là đỉnh. Giá trị tối ưu sẽ tương ứng với trường hợp P và Q gần các đỉnh nhất như đã thấy trên Hình 5.4. Giá trị sẽ được lấy là giá trị trung bình bình phương của ξ1 và ξ2 [Brock 1946]: ξ12 + ξ 22 ξ* = 2 (5.29) Tóm lại phương pháp điểm cố định được thực hiện bằng việc giải 6 phương trình (5.20), (5.21), (5.23), (5.27), (5.28) và (5.29), trong đó 3 phương trình đầu được giải độc lập không phụ thuộc vào cản của TMD.
178 Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt 5.2.3. Phương pháp cực tiểu mômen bậc 2 Phương pháp cực tiểu mômen bậc 2 dựa trên việc tính mômen bậc 2 đã được trình bày trong chương 1. Bạn đọc có thể tham khảo Warburton (1982). Phương trình chuyển động (5.13) được viết dưới dạng phương trình trạng thái (5.40) (chương 1): z& ( t ) = Az + H f f ( t ) + H a ag ( t ) (5.30) Trong đó z(t) là vectơ trạng thái chứa đáp ứng của hệ chính z = [ x xd x& x&d ] T (5.31) A là ma trận hệ thống ⎡ 0 0 1 0 ⎤ ⎢ 0 0 0 1 ⎥ A = ⎢ −ω 2 ⎥ ⎢ ⎢ 2 s ( μωs γα 2 − η 2 ) 0 2ξμγαωs ⎥ ⎥ ⎣⎢ωs ( γ − η ) (−α − μγ α + μγη )ωs 2 2 2 2 2 0 −2ξ (1 + μγ )αωs ⎦⎥ (5.32) Còn Hf và Ha là các ma trận định vị của kích động 1 Hf = [0 0 1 −γ ]T , H a = [0 0 −1 γ − 1]T m (5.33) Ma trận mômen bậc hai P là nghiệm của phương trình ma trận Lyapunov (5.62) được thành lập trong chương 1: AP + PAT + H f H Tf S f + H a H aT Sa = 0 (5.34) Trong đó giả sử rằng f(t) và ag(t) là kích động ồn trắng có cường độ lần lượt là Sp và Sa. Đối với hệ 2 bậc tự do, số ẩn cần giải là 16. Tuy nhiên nếu chú ý thêm tính đối xứng của ma trận mômen bậc 2 thì số ẩn còn lại là 10. Các phương trình này được giải trong từng
Chương V. TBTTNL khối lượng TMB 179 trường hợp cụ thể ở các mục 5.3, 5.4 và 5.5. Các giá trị tối ưu của α và ξ được tìm làm tối ưu mômen bậc 2 của đáp ứng hệ chính P11. Điều kiện cực tiểu là: ∂P11 ∂P11 |α =α * = 0 |ξ =ξ * = 0 ∂α , ∂ξ (5.35) Như vậy để thu được tham số tối ưu với chỉ tiêu cực tiểu mômen bậc 2 thì ta cần giải hệ (5.34) và (5.35). Trong trường hợp hệ chính là hệ 1 bậc tự do không cản thì hệ phương trình trên có lời giải giải tích. Ngoài ra cũng có thể xét thêm trường hợp chỉ có 1 tham số được điều chỉnh. Trong thực tế, do nguyên nhân kỹ thuật có thể xảy ra các trường hợp tham số α hoặc ξ đã được chọn cố định. Khi đó ma trận mômen bậc 2 chỉ còn là hàm một biến. Lúc đó ta vẫn tìm điều kiện cực trị và tìm ra giá trị tối ưu của tham số còn lại. 5.2.4. Phương pháp cân bằng cực Phương pháp này tìm các tham số của TMD để tăng các đặc trưng cản của hệ (Korenev vcs 1993, Matsuhisa vcs 2001, Chen vcs 2003). Xét phương trình trạng thái (5.30). Đa thức đặc trưng của ma trận hệ thống S có dạng: Poly ( λ ) = λ 4 + a1λ 3 + a2λ 2 + a3λ + a4 (5.36) Trong đó ai (i = 1,..4) là các hệ số thực tính theo các công thức ( ) ( a1 = 2α 1 + μγ 2 ξωs , a2 = 1 + α 2 + α 2 μγ 2 − μγη ωs2 , ) ( a3 = 2αξωs3 (1 + μγη ) , a4 = ωs4 α 2 + μηγα 2 − μη 2 ) (5.37) Các nghiệm của đa thức (5.36) được gọi là các cực của hệ thống. Để hệ ổn định thì các cực này phải có phần thực âm, tức là nằm ở nửa trái mặt phẳng phức. Như nhiều người đã biết, phần thực của các cực thể hiện độ tắt dần của dao động tự do còn phần ảo của các
180 Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt cực thể hiện số lần dao động. Do đó, muốn dao động hệ tắt nhanh và êm thì độ lớn của các phần thực càng lớn càng tốt và độ lớn của phần ảo càng bé càng tốt. Ký hiệu 4 nghiệm của (5.36) là λi (i = 1,..4). Dựa vào định lý Vieta có: 4 ( −∑ Re ( λi ) = a1 = 2α 1 + μγ 2 ξωs i =1 ) (5.38) Đẳng thức này dẫn tới 2 bất đẳng thức ( min Re ( λi ) ≤ i =1,..4 ) a1 4 (5.39) 4 ⎧ ⎫ ∑ ⎨⎩− Re ( λi ) − imin =1,..4 ( Re ( λi ) )⎬⎭ = a1 − 4 imin =1,..4 ( Re ( λi ) ) i =1 (5.40) Các biểu thức phi thứ nguyên (5.12) cho thấy vế phải của (5.39) chỉ phụ thuộc vào độ cản cd mà không phụ thuộc vào độ cứng kd của TMD. Do vế trái của (5.39) lại phụ thuộc vào độ cứng của TMD nên để môđun của phần thực là lớn nhất có thể thì độ cứng của TMD phải được chọn sao cho (5.39) trở thành đẳng thức. Khi (5.39) trở thành đẳng thức thì vế phải của (5.40) triệt tiêu, dẫn tới tất cả các phần thực của các cực là bằng nhau. Ta ký hiệu giá trị chung này là δ0. Do các phần thực đã bằng nhau nên các nghiệm phải là cặp nghiệm phức liên hợp mà ta ký hiệu là λ1,2 = δ0±δ1 và λ3,4 = δ0±δ2. Khi đó có: ( 2 P ( λ ) = ( λ − δ 0 ) + δ12 ) (( λ − δ ) 0 2 + δ 22 ) (5.41) Khai triển (5.41) và so sánh với (5.36) dẫn tới:
Chương V. TBTTNL khối lượng TMB 181 ( −4δ 0 = 2α 1 + γ 2 μ ξωs ) 6δ 02 + δ12 + δ 22 ( = 1 + α 2 + α 2 μγ 2 − μγη ωs2 ) ( ) −4δ 03 − 2δ 0 δ12 + δ 22 = 2αξωs3 (1 + μγη ) (δ02 + δ12 )(δ 02 + δ 22 ) = ωs4 (α 2 + μηγα 2 − μη 2 ) (5.42) Khử ξ, α và δ0 từ (5.42), sau một số biến đổi ta thu được ωs2 (1 + γημ ) 6 ( ) − 2 δ12 + δ 22 − (1 − γημ ) ωs2 (1 + γ μ ) 2 = ⎛ 2 2 ⎞⎛ 2 2⎞ ⎜ ωs (1 + γημ ) + δ1 − δ 2 ⎟⎜ ωs (1 + γημ ) + δ 2 − δ1 ⎟ + η 2 μω 4 2 2 ⎝ ( ⎜⎜ 1 + γ 2 μ ) 2 ⎟⎜ ⎟⎜ 1 + γ 2 μ ⎠⎝ ( 2 ⎟⎟ ⎠ s ) 2 1+ γ μ ( ) (1 + ηγμ ) ωs2 (5.43) Sử dụng bất đẳng thức hiển nhiên sau: 2 ⎛ 2 2 ⎞⎛ 2 2⎞ ⎡ 2 ⎤ ⎜ ωs (1 + γημ ) + δ1 − δ 2 ⎟ ⎜ ωs (1 + γημ ) + δ 2 − δ1 ⎟ ≤ ⎢ ωs (1 + γημ ) ⎥ 2 2 ( ⎜⎜ 1 + γ 2 μ ⎝ ) 2 ⎟⎟ ⎜⎜ 1 + γ 2 μ ⎠⎝ ( 2 ⎟⎟ ⎢ 1 + γ 2 μ ⎥ ⎠ ⎣⎢ )⎦⎥ ( ) Sau một số biến đổi (5.43), ta thu được bất đẳng thức có dạng: 2 2 4 (1 + γημ ) − μ ( γ − η ) δ12 + δ 22 ≥ ωs2 ( 2 1 + γ μ (1 + γημ ) 2 ) 2 2 4 (1 + γημ ) − μ ( γ − η ) ⇒ max ( )≥ δ i2 ωs2 i =1,2 ( 4 1 + γ μ (1 + γημ ) 2 ) (5.44)
182 Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt Ta thấy rằng vế phải của (5.44) không phụ thuộc vào độ cứng kd hay độ cản cd của TMD. Chú ý rằng kd đã được chọn để các phần thực bằng nhau. Để môđun của phần ảo là nhỏ nhất thì độ cản cd ảnh hưởng tới vế trái của (5.44) cần được chọn sao cho (5.44) trở thành đẳng thức. Với cách lý luận tương tự như với phần thực, ta có thể suy ra độ lớn các phần ảo cũng bằng nhau, tức là δ1 = δ2. Từ (5.44) ta tính được giá trị chung là: 2 2 4 (1 + γημ ) − μ ( γ − η ) δ1 = δ 2 = ωs ( ) 4 1 + γ 2 μ (1 + γημ ) (5.45) Thay (5.45) vào (5.42) ta thu được phần thực δ0, tỷ số tần số tối ưu α* và tỷ số cản tối ưu ξ* như sau: 2 ωs μ (γ −η ) δ0 = − 2 (1 + γημ ) (1 + γ 2 μ ) (5.46) (1 + γημ )2 + μη 2 (1 + γ 2 μ ) 2 α* = , (1 + γ 2μ ) 1 + γημ (5.47) 2 μ (γ −η ) ξ* = (1 + γ 2μ ) ⎡⎢⎣(1 + γημ )2 + μη 2 (1 + γ 2μ ) ⎤⎥⎦ 2 (5.48) Khi các cực đã cân bằng thì 4 tỷ số cản của hệ đều bằng nhau. Tỷ số cản được tính theo công thức (1.48) trong chương 1:
Chương V. TBTTNL khối lượng TMB 183 2 Re λi −δ 0 −δ 0 μ (γ −η ) ξi = − = = = . (i = 1,..4) λi δ 02 + δ12 δ 02 + δ 22 2(1 + μγη ) (5.49) Tóm lại, phương pháp cân bằng cực có mục đích làm tăng môđun của phần thực và làm giảm môđun của phần ảo một cách nhiều nhất có thể. Điều này thu được bằng cách cho các cực cân bằng với nhau. Từ đó tìm được lời giải tối ưu (5.47) và (5.48). 5.2.5. Phương pháp cực đại độ cản tương đương Như đã trình bày trong chương 1 và chương 3, cũng như với các TBTTNL khác, phương pháp độ cản và độ cứng tương đương có thể được dùng để tuyến tính hóa đặc trưng của TBTTNL TMD. Mục tiêu của phương pháp dùng trong mục này là cực đại độ cản tương đương (Luft 1979). Độ cản và độ cứng tương đương được tính theo các công thức (1.32) và (1.33) ở chương 1. Trong mục này, ta tính các giá trị trung bình trong các công thức (1.32) và (1.33) với trường hợp kết cấu dao động ngẫu nhiên chịu kích động ồn trắng. Trước hết cần xác định lực do thiết bị TMD tác động vào hệ chính. Xét hệ phương trình (5.13), nhân hàng thứ 2 với -γ rồi cộng với hàng thứ nhất, sau đó nhân với m ta được mx&& + mωs2 x = 2mξαμγωs x&d + mμωs2 γα 2 − η xd + ( ) f ( t ) − m (1 + μ − μγ ) ag ( t ) Vậy lực do TMD tác động vào hệ chính là: F = 2mωsξαμγ x&d + mμωs2 γα 2 − η xd ( ) Thay vào các công thức (1.32) và (1.33), ta có ctd = − Fx& =− 2mωsξαμγ x&d x& + mμωs2 γα 2 − η ( ) xd x& x& 2 x& 2 (5.50)
184 Nguyễn Đông Anh, Lã Đức Việt ktd = − Fx =− 2mωsξαμγ x&d x + mμωs2 γα 2 − η ( ) xd x x2 x2 (5.51) Nếu giả sử kích động ngoài là ồn trắng giống như trong mục 5.2.3, các giá trị trung bình trong (5.50) và (5.51) là các thành phần của ma trận mômen bậc hai P trong (5.34): ctd = − Fx& =− ( 2mωsξαμγ P34 + mμωs2 γα 2 − η P32 ) x& 2 P33 (5.52) ktd = − Fx =− ( 2mξαμγωs P13 + mμωs2 γα 2 − η P12 ) x2 P11 (5.53) Thông thường ktd rất bé so với độ cứng của hệ chính trong khi ctd lại có cỡ lớn hơn vài lần đến vài chục lần cản của hệ chính. Vì vậy độ cứng tương đương ít quan trọng hơn nhiều so với độ cản tương đương. Để cực đại ctd, điều kiện cực đại của hàm hai biến được áp dụng vào (5.52) để tìm tham số tối ưu cho TMD. 5.2.6. Phương pháp cực tiểu sai số bình phương Đối với các đáp ứng của hệ trên miền thời gian, ta có thể sử dụng chỉ tiêu sai số bình phương (Muller vcs 1997). Có thể có nhiều dạng chỉ tiêu sai số khác nhau phụ thuộc vào đại lượng cần quan tâm. Đối với chuyển dịch, phiếm hàm chỉ tiêu có dạng ∞ IE = ∫ xT (τ ) x (τ ) dτ 0 (5.54) Đối với gia tốc, chỉ tiêu có dạng: