Thiết lập đầu vào bằng phương pháp ghép nối khâu cho phần mềm tự động phân tích động lực học hệ nhiều vật

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Báo cáo "Thiết lập đầu vào bằng phương pháp ghép nối khâu cho phần mềm tự động phân tích động lực học hệ nhiều vật" giới thiệu cách mô tả một hệ nhiều vật có cấu trúc bất kỳ thông qua hai nhóm thông tin cơ bản. Nhóm thông tin thứ nhất là vị trí của các khớp trên từng khâu. Nhóm thông tin thứ hai là các khâu được ghép với nhau thông qua khớp nào. Hai nhóm thông tin này là đầu vào đầy đủ để có thể thiết lập các quan hệ động học của hệ. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Thiết lập đầu vào bằng phương pháp ghép nối khâu cho phần mềm tự động phân tích động lực học hệ nhiều vật

251 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Thiết lập đầu vào bằng phương pháp ghép nối khâu cho phần mềm tự động phân tích động lực học hệ nhiều vật Nguyễn Thái Minh Tuấn* Đại học Bách khoa Hà Nội *Email: tuan.nguyenthaiminh@hust.edu.vn Tóm tắt. Báo cáo này giới thiệu cách mô tả một hệ nhiều vật có cấu trúc bất kỳ thông qua hai nhóm thông tin cơ bản. Nhóm thông tin thứ nhất là vị trí của các khớp trên từng khâu. Nhóm thông tin thứ hai là các khâu được ghép với nhau thông qua khớp nào. Hai nhóm thông tin này là đầu vào đầy đủ để có thể thiết lập các quan hệ động học của hệ. Một phần mềm đang được phát triển sẽ xử lý các đầu vào này và đưa ra các ma trận biến đổi thuần nhất toàn cục của từng khâu và các phương trình ràng buộc nếu có. Nếu có thêm các thông số phù hợp, phần mềm có thể tiếp tục giải quyết các bài toán động lực học, dao động và điều khiển. Ưu điểm của phương pháp đề xuất trong báo cáo này là nó có phạm vi ứng dụng rộng cho hệ nhiều vật có cấu trúc chuỗi, cây hoặc mạch vòng và có thể chứa các loại khớp quay, khớp tịnh tiến, khớp trụ, khớp Cardan và khớp cầu. Từ khóa: hệ nhiều vật, ghép nối khâu, phần mềm tính toán ký hiệu. 1. Mở đầu Trên thế giới đã có nhiều phần mềm tính toán động lực học hệ nhiều vật được nhiều người sử dụng, ví dụ như ADAMS, NewEul, Autolev, DADS, … [1]. Mỗi phần mềm có đặc điểm riêng về cách nhập đầu vào, giới hạn áp dụng, phương pháp tính toán và mức độ thân thiện với người sử dụng. Chính vì vậy, mỗi phần mềm cũng có những hạn chế riêng mà phổ biến nhất là sự phức tạp của việc nhập đầu vào và khả năng giao tiếp với các công cụ phần mềm khác, do vào thời kỳ phát triển của các phần mềm đó thì sự phổ biến của máy tính cá nhân đang ở mức thấp và thường chỉ có các nhà nghiên cứu và các chuyên gia về cơ học quan tâm đến việc sử dụng các phần mềm này. Với mục đích phục vụ từ những người dùng ít kinh nghiệm, ví dụ như sinh viên hay các nhà nghiên cứu trong các lĩnh vực khác nhau muốn thực hiện các nghiên cứu liên ngành, đến các chuyên gia trong lĩnh vực động lực học hệ nhiều vật, tác giả đang phát triển một phần mềm tính toán động lực học có tính phổ quát, thích ứng với các loại đầu vào đa dạng, tích hợp nhiều phương pháp mới trong động lực học và giải quyết được nhiều bài toán khác nhau. Sơ đồ sơ bộ các module cần phát triển cho phần mềm này được thể hiện trên Hình 1. Một công cụ xây dựng trong Matlab đã được tác giả hoàn thiện với các chức năng cơ bản từ đầu vào là kiểu khớp và bảng các tham số Denavit-Hartenberg sẽ có đầu ra là các kết quả động học, động lực học và các file tương ứng có thể tiếp tục sử dụng cho các bài toán mô phỏng và điều khiển. Tuy nhiên, sử dụng các tham số Denavit-Hartenberg kinh điển thường chỉ hiệu quả với các hệ dạng chuỗi toàn khớp quay và tịnh tiến. Các tham số Denavit-Hartenberg có thể được cải tiến để mở rộng phạm vi ứng dụng, chẳng hạn như bổ sung thêm một tham số để xác định vị trí ghép nối giữa các khâu [2]. Một hạn chế khác của các tham số Denavit-Hartenberg đó là các tham số không được gắn với từng khâu hoặc khớp cụ thể mà đòi hỏi phải biết ít nhất hai khâu và ba khớp liên tiếp nhau để xác định được một bộ tham số cho một khớp. Sự thay đổi của một khâu hoặc một khớp có thể dẫn tới những thay đổi rất lớn đến mô tả của các khâu và khớp khác. Lưu ý rằng người dùng phần mềm có thể lựa chọn cách nhập đầu vào phù hợp với kinh nghiệm và nhu cầu của bản thân, trong khi một người mới học cần được hướng dẫn tỉ mỉ khi nhập đầu vào với những lời dẫn cụ thể, một nhà nghiên cứu đang tìm kiếm những cái mới thường thích sử dụng các file văn bản hoặc file dữ liệu để có thể nhanh chóng tùy chỉnh và thử nghiệm, các nhà kỹ thuật lại ưu tiên những phần mềm có tích hợp vẽ hoặc có khả năng đọc các file
252 Nguyễn Thái Minh Tuấn hình vẽ để giải quyết những vấn đề cụ thể. Do đó việc có thể xử lý nhiều kiểu đầu vào sẽ làm tăng tính thân thiện với người dùng của phần mềm. Báo cáo này sẽ tập trung vào việc phát triển kiểu đầu vào dựa trên việc ghép nối khâu, qua đó có thể dễ dàng mô tả các hệ mạch vòng, mạch nhánh và có chứa các loại liên kết khác như khớp cầu, khớp Cardan. Các module giao diện đầu vào File văn bản Bàn phím/chuột Phần mềm vẽ hoặc dữ liệu Các module xử lý đầu vào Module tự động thiết lập tọa độ suy rộng Tùy chỉnh thuật Tọa độ suy Cấu trúc và tham số của hệ toán, đầu ra và các rộng và các tùy chỉnh khác đạo hàm Thư viện hàm toán học Phương Các module động học trình ràng Thư viện thuật toán và buộc kinh nghiệm tối ưu Thư viện kết quả sẵn có Vị trí, vận Các ma trận tốc, gia tốc Jacobi, Hesse (dài và góc) Thư viện người dùng Các module động M, C, K, D, Các module các bài toán học lực học f, N, G, … chuyên biệt Equations, ODEs, DAEs Các module giao tiếp Các module giao diện với phần mềm khác đầu ra Hình 1. Sơ đồ khối các module cần phát triển cho một phần mềm phân tích động lực học hệ nhiều vật
253 Thiết lập đầu vào bằng phương pháp ghép nối khâu cho phần mềm tự động phân tích động lực học hệ nhiều vật 2. Các tham số xác định vị trí tương đối giữa hai hệ trục tọa độ không có chuyển động tương đối Xét hai hệ trục tọa độ không có chuyển động tương đối so với nhau O 1 x 1 y 1 z 1 và O 2 x 2 y 2 z 2 . Ta cần ít nhất sáu hằng số để xác định vị trí tương đối của O 2 x 2 y 2 z 2 so với O 1 x 1 y 1 z 1 . Trong đó có ba hằng số xác định vị trí của gốc tọa độ O 2 và ít nhất ba hằng số chỉ hướng của hệ trục. Việc chọn ba 𝒓𝒓21 , trong đó chỉ số phía trên bên phải thể hiện rằng vector đại số này được xác định trong hệ trục (1) hằng số xác định vị trí của O 2 khá đơn giản, ta có thể chọn tọa độ của O 2 so với hệ trục O 1 x 1 y 1 z 1 : điểm riêng. Giả sử rằng ma trận cosine chỉ hướng của hệ trục O 2 x 2 y 2 z 2 đối với O 1 x 1 y 1 z 1 là 𝑨𝑨2 , khi (1) O 1 x 1 y 1 z 1 . Đối với việc xác định hướng, có nhiều lựa chọn hơn, và mỗi cách lựa chọn có ưu nhược 𝑬𝑬 𝒓𝒓21 � � 𝑨𝑨2 𝟎𝟎� � 𝑨𝑨2 𝒓𝒓21 �. đó ma trận biến đổi thuần nhất giữa hai hệ trục là (1) (1) (1) (1) 𝑻𝑻2 = � = (1) 𝟎𝟎T 1 𝟎𝟎T 1 𝟎𝟎T 1 (1) khi đã biết 𝒓𝒓21 và 𝑨𝑨2 nên phần mềm chỉ cần lưu trữ sẵn cách tính ma trận cosine chỉ hướng từ các (1) (1) Công thức (1) cho thấy việc xác định ma trận biến đổi thuần nhất giữa hai hệ trục rất đơn giản tham số xác định hướng là đủ. Một số ví dụ về cách chọn tham số xác định hướng là các góc Euler, các góc Cardan, các tham số Euler [3], [4]. Trong trường hợp ta dùng 3 tham số xác định hướng như các góc Euler hay các góc Cardan, tổng tối đa số tham số cần để xác định vị trí tương đối giữa hai hệ trục là 6, trong trường hợp ta dùng 4 tham số xác định hướng như các tham số Euler thì tổng tham số cần thiết có thể lên đến 7. 3. Các tham số xác định khâu Một cách tổng quát, ta chọn một hệ trục cố định chung O 0 x 0 y 0 z 0 và gắn vào khâu thứ i một hệ trục khâu O i x i y i z i và r hệ trục khớp O ik x ik y ik z ik (k nhận các giá trị nguyên từ 1 đến r) với r là số khớp của khâu đó. Lưu ý rằng các hệ trục này không có chuyển động tương đối so với nhau vì chúng đều gắn vào khâu thứ i. Như vậy, ta cần tối đa 6r hoặc 7r tham số để xác định hoàn toàn một khâu có r 1) hoặc 7(r–1). Từ các tham số này, ta xác định được các ma trận biến đổi thuần nhất 𝑻𝑻 𝑖𝑖 𝑖𝑖 giữa hệ trục (𝑖𝑖) khớp. Nếu ta chọn hệ trục khâu trùng với một hệ trục khớp thì số tham số cần thiết chỉ còn lại là 6(r– khâu và các hệ trục khớp như đã phân tích ở phần trước. Ta cũng xác định được ma trận biến đổi thuần nhất giữa các hệ trục khớp như sau Nếu muốn mở rộng hơn nữa các loại khớp có thể xuất hiện trong hệ, ví dụ như khớp xoắn ốc hay khớp bánh răng, hoặc muốn xét đến ma sát trong khớp thì ta có thể phải bổ sung thêm các tham số 𝑻𝑻 𝑖𝑖 𝑖𝑖 = 𝑻𝑻 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑻𝑻 𝑖𝑖 𝑖𝑖 ; 𝑘𝑘, 𝑙𝑙 = 1, 𝑟𝑟. (𝑖𝑖) −1 (𝑖𝑖) khác phù hợp. (𝑖𝑖 𝑖𝑖 ) (2) Để có thể dễ dàng thực hiện việc ghép nối sau này, việc chọn hệ trục khớp cần tuân theo một quy tắc nhất định. Bảng 1 là các quy tắc chọn hệ trục khớp cho khớp quay, tịnh tiến, khớp trụ, khớp Cardan và khớp cầu. Bảng 1. Quy tắc chọn hệ trục khớp Loại Quy tắc chọn thành phần hệ trục Descartes thuận khớp Gốc tọa độ Trục x Trục y Trục z Khớp Tại điểm dự định Tùy ý, vuông Thuận theo hai Dọc trục quay ghép nối hai khâu góc với z trục còn lại khớp Khớp Dọc theo đường Thuận theo hai Dọc trục tịnh Tùy ý trên trục z dự định ghép nối trục còn lại khớp tiến hai khâu
254 Nguyễn Thái Minh Tuấn Khớp Tùy ý, vuông Thuận theo hai Dọc trục Tùy ý trên trục z trụ góc với z trục còn lại khớp Dọc trục Khớp Tại điểm dự định Tùy ý, vuông Thuận theo hai khớp quay Cardan ghép nối hai khâu góc với z trục còn lại nối trực tiếp với khâu Khớp Tại điểm dự định Tùy ý, vuông Thuận theo hai Tùy ý cầu ghép nối hai khâu góc với z trục còn lại 4. Ghép nối các khâu Khi phân tích động học hệ nhiều vật có cấu trúc cây, mỗi khớp sẽ ứng với một hoặc một vài biến khớp. Khi đó, ma trận biến đổi thuần nhất giữa hai khâu ghép với nhau thông qua một khớp sẽ xuất hiện biến khớp tương ứng. Khi phân tích động học hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng sử dụng phương pháp tách cấu trúc [3], một số khớp sẽ được tách ra để phân tách hệ thành các cấu trúc con, và ở các khớp được tách này sẽ không có biến khớp xuất hiện trong kết quả động học. Thay vào đó, mỗi khớp được tách này sẽ có các phương trình ràng buộc tương ứng và phản lực liên kết tương ứng. Chú ý rằng, với một mục đích nào đó (ví dụ như cần xét đến ma sát trong khớp) thì phương pháp tách cấu trúc cũng có thể áp dụng cho hệ nhiều vật có cấu trúc cây. Thông thường, các khớp cầu, khớp trụ và khớp Cardan chỉ xuất hiện trong các hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng và các khớp này sẽ được ưu tiên chọn để tách. Chú ý rằng trong mọi trường hợp, việc chọn biến khớp có thể thực hiện theo nhiều cách khác nhau; có những trường hợp như đối với khớp Cardan và khớp cầu, việc hiểu và xác định các biến khớp không phải dễ dàng cho những người chưa có kinh nghiệm. Tuy nhiên, với việc sử dụng phần mềm đang được xây dựng, người dùng không cần phải tự tay làm những việc này mà phần mềm sẽ tự động chọn và tạo biến khớp cũng như tính toán các ma trận biến đổi thuần nhất của khớp. Tương tự như vậy, người dùng không cần biết cách viết các phương trình ràng buộc khi sử dụng phương pháp tách cấu trúc như thế nào mà việc này cũng sẽ được thực hiện hoàn toàn tự động. 4.1. Nguyên tắc ghép nối, biến khớp và ma trận biến đổi thuần nhất của khớp Ở đây, ta xét việc ghép nối giữa khớp k của khâu i và khớp m của khâu j. Khi ghép nối, cần chú trận biến đổi thuần nhất 𝑻𝑻𝑗𝑗𝑗𝑗 . (𝑖𝑖 𝑖𝑖) ý đến nguyên tắc về vị trí tương đối giữa hai hệ trục khớp O ik x ik y ik z ik và O jm x jm y jm z jm cũng như ma 4.1.1. Khớp quay Nguyên tắc ghép nối: Điểm ghép nối, tức gốc tọa độ, và trục z của hai hệ trục khớp trùng nhau, nghĩa là: O ik z ik ≡ O jm z jm . Biến khớp: góc quay q quanh trục z để O ik x ik trùng với O jm x jm . cos 𝑞𝑞 −sin 𝑞𝑞 0 0 Ma trận biến đổi thuần nhất của khớp: sin 𝑞𝑞 cos 𝑞𝑞 0 0 𝑻𝑻𝑗𝑗𝑗𝑗 =� �. (𝑖𝑖 𝑖𝑖) 0 0 1 0 0 0 0 1 (3) 4.1.2. Khớp tịnh tiến Nguyên tắc ghép nối: Trục z của hai hệ trục khớp trùng nhau; và các trục x và y của hai hệ trục song song và cùng chiều với nhau.
255 Thiết lập đầu vào bằng phương pháp ghép nối khâu cho phần mềm tự động phân tích động lực học hệ nhiều vật Biến khớp: đoạn tịnh tiến q dọc trục z để O ik trùng với O jm . 1 0 0 0 Ma trận biến đổi thuần nhất của khớp: 0 1 0 0 𝑻𝑻𝑗𝑗𝑗𝑗 =� �. (𝑖𝑖 𝑖𝑖) 0 0 1 𝑞𝑞 0 0 0 1 (4) 4.1.3. Khớp trụ Nguyên tắc ghép nối: Trục z của hai hệ trục khớp chung giá và cùng chiều. Biến khớp: Có hai biến khớp. Biến khớp thứ nhất là góc quay q 1 quanh trục z để O ik x ik song song và cùng chiều với O jm x jm , và biến khớp thứ hai là đoạn tịnh tiến q 2 dọc trục z để O ik trùng với O jm . cos 𝑞𝑞1 − sin 𝑞𝑞1 0 0 Ma trận biến đổi thuần nhất của khớp: sin 𝑞𝑞1 cos 𝑞𝑞1 0 0 𝑻𝑻𝑗𝑗𝑗𝑗 =� �. (𝑖𝑖 𝑖𝑖) 0 0 1 𝑞𝑞2 0 0 0 1 (5) 4.1.4. Khớp Cardan Nguyên tắc ghép nối: Điểm ghép nối, tức gốc tọa độ, của hai hệ trục khớp trùng nhau O ik ≡ O jm ; và hai trục z của hai hệ trục khớp vuông góc với nhau. Biến khớp: Để xác định các biến khớp, trước hết ta xét các phép biến đổi để có thể đưa hệ trục O ik x ik y ik z ik trùng với hệ trục O jm x jm y jm z jm . Đầu tiên quay O ik x ik y ik z ik quanh O ik z ik một góc q 1 để trục một góc − để trục O a z a trùng với trục O jm z jm , ta gọi hệ trục thu được là O b x b y b z b . Cuối cùng, quay 𝜋𝜋 O ik y ik trùng với trục O jm z jm , ta gọi hệ trục thu được là O a x a y a z a . Sau đó quay hệ trục này quanh O a x a 2 hệ trục này quanh O b z b một góc q 2 để nó trùng hoàn toàn với O jm x jm y jm z jm . Như vậy ta có hai biến khớp là q 1 và q 2 . cos 𝑞𝑞1 − sin 𝑞𝑞1 0 0 1 0 0 0 cos 𝑞𝑞2 − sin 𝑞𝑞2 0 0 Ma trận biến đổi thuần nhất của khớp: sin 𝑞𝑞1 cos 𝑞𝑞1 0 0 0 0 1 0 sin 𝑞𝑞2 cos 𝑞𝑞2 0 0 𝑻𝑻𝑗𝑗𝑗𝑗 =� �� (𝑖𝑖 𝑖𝑖) 0 0 1 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 cos 𝑞𝑞1 cos 𝑞𝑞2 − cos 𝑞𝑞1 sin 𝑞𝑞2 −sin 𝑞𝑞1 0 sin 𝑞𝑞1 cos 𝑞𝑞2 − sin 𝑞𝑞1 sin 𝑞𝑞2 cos 𝑞𝑞1 0 =� �. −sin 𝑞𝑞2 − cos 𝑞𝑞2 0 0 0 0 0 1 (6) 4.1.5. Khớp cầu Nguyên tắc ghép nối: Điểm ghép nối, tức gốc tọa độ, của hai hệ trục khớp trùng nhau O ik ≡ O jm . Biến khớp: Có rất nhiều cách chọn biến khớp cho khớp cầu. Số biến khớp tối thiểu cần thiết là 3, tuy nhiên cũng có thể chọn 4 tham số Euler chẳng hạn làm các biến khớp dư. Ở đây ta xét trường hợp sử dụng ba góc Euler [3] q 1 , q 2 , q 3 lần lượt là các góc quay tương đối theo thứ tự quanh các trục z, x’ và z”. Ma trận biến đổi thuần nhất của khớp:
256 Nguyễn Thái Minh Tuấn cos 𝑞𝑞1 cos 𝑞𝑞3 − sin 𝑞𝑞1 cos 𝑞𝑞2 sin 𝑞𝑞3 − cos 𝑞𝑞1 sin 𝑞𝑞3 − sin 𝑞𝑞1 cos 𝑞𝑞2 cos 𝑞𝑞3 sin 𝑞𝑞1 sin 𝑞𝑞2 0 sin 𝑞𝑞1 cos 𝑞𝑞3 + cos 𝑞𝑞1 cos 𝑞𝑞2 sin 𝑞𝑞3 − sin 𝑞𝑞1 sin 𝑞𝑞3 + cos 𝑞𝑞1 cos 𝑞𝑞2 cos 𝑞𝑞3 − cos 𝑞𝑞1 sin 𝑞𝑞2 0 𝑻𝑻𝑗𝑗𝑗𝑗 =� �.(7) (𝑖𝑖 𝑖𝑖) sin 𝑞𝑞2 sin 𝑞𝑞3 sin 𝑞𝑞2 cos 𝑞𝑞3 cos 𝑞𝑞2 0 0 0 0 1 4.2. Phương trình ràng buộc và phản lực liên kết Ở đây, ta xét đến phương pháp tách cấu trúc đòi hỏi việc tách khớp k của khâu i và khớp m của khâu j. Thay cho việc ghép khớp với các biến khớp và ma trận biến đổi như trình bày ở phần trước, ta sẽ có các phương trình ràng buộc và các phản lực liên kết. Các phản lực liên kết được trình bày dưới đây đều được xét trong trường hợp lý tưởng khi không có ma sát tại khớp và khối lượng của bản thân các chi tiết của khớp chưa được tính vào các lực liên kết 𝒇𝒇 𝑐𝑐 và ngẫu lực liên kết 𝒎𝒎 𝑐𝑐 thì khâu j chịu lực liên kết −𝒇𝒇 𝑐𝑐 và ngẫu lực liên kết −𝒎𝒎 𝑐𝑐 . khâu có giá trị không đáng kể. Các phản lực liên kết tuân theo định luật 3 Newton, tức là khâu i chịu 4.2.1. Khớp quay 𝒓𝒓 𝑖𝑖(𝑘𝑘) = 𝒓𝒓𝑗𝑗(𝑚𝑚) Các phương trình ràng buộc khi tách khớp quay như sau: (0) (0) 𝒛𝒛 𝑖𝑖(𝑘𝑘) = 𝒛𝒛𝑗𝑗(𝑚𝑚) (0) (0) , (8) trong đó 𝒓𝒓 𝑖𝑖(𝑘𝑘) và 𝒓𝒓𝑗𝑗(𝑚𝑚) là vector vị trí của O ik và O jm trong hệ trục cố định chung, 𝒛𝒛 𝑖𝑖(𝑘𝑘) và 𝒛𝒛𝑗𝑗(𝑚𝑚) là các (0) (0) (0) (0) vector đơn vị ứng với trục O ik z ik và O jm z jm . Dòng đầu tiên trong (8) là 3 phương trình thể hiện việc điểm ghép nối trên hai khâu trùng nhau. Dòng thứ hai trong (8) là 3 phương trình thể hiện việc hai trục z trùng nhau, tuy nhiên trong 3 phương Các phản lực liên kết xuất hiện khi tách khớp quay là một vector lực 𝒇𝒇 𝑐𝑐 = [ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ]T và trình này chỉ có 2 phương trình độc lập. (0) một vector ngẫu lực 𝒎𝒎 𝑐𝑐 = [ 𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑐𝑐 0]T . (𝑖𝑖 𝑖𝑖) 4.2.2. Khớp tịnh tiến 1 0 0 (0) T (0) 1 0 0 (0) T (0) Các phương trình ràng buộc khi tách khớp tịnh tiến như sau: � � 𝑨𝑨 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝒓𝒓 𝑖𝑖(𝑘𝑘) = � � 𝑨𝑨 𝒓𝒓 0 1 0 0 1 0 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗(𝑚𝑚) , 𝑨𝑨 𝑖𝑖 𝑖𝑖 = 𝑨𝑨𝑗𝑗𝑗𝑗 (0) (0) (9) trong đó 𝑨𝑨 𝑖𝑖 𝑖𝑖 và 𝑨𝑨𝑗𝑗𝑗𝑗 là ma trận cosine chỉ hướng của các hệ trục O ik x ik y ik z ik và O jm x jm y jm z jm so với hệ (0) (0) trục cố định chung. Dòng thứ hai trong (9) là 9 phương trình thể hiện việc hướng của hai hệ trục trùng nhau, tuy Các phản lực liên kết xuất hiện khi tách khớp là một vector lực 𝒇𝒇 𝑐𝑐 = [ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 0]T và một nhiên trong 9 phương trình này chỉ có 3 phương trình độc lập. (𝑖𝑖 𝑖𝑖) vector ngẫu lực 𝒎𝒎 𝑐𝑐 = [ 𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑐𝑐 ]T . (𝑖𝑖 𝑖𝑖) 4.2.3. Khớp trụ Các phương trình ràng buộc khi tách khớp trụ như sau:
257 Thiết lập đầu vào bằng phương pháp ghép nối khâu cho phần mềm tự động phân tích động 1 0 0 (0) T (0) 1 0 0 (0) T (0) � � 𝑨𝑨 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝒓𝒓 𝑖𝑖(𝑘𝑘) = � � 𝑨𝑨 𝒓𝒓 lực học hệ nhiều vật 0 1 0 0 1 0 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑗𝑗(𝑚𝑚) . 𝒛𝒛 𝑖𝑖(𝑘𝑘) = 𝒛𝒛𝑗𝑗(𝑚𝑚) (0) (0) (10) Dòng thứ hai trong (10) là 3 phương trình thể hiện việc hai trục z cùng chiều, tuy nhiên trong 3 Các phản lực liên kết xuất hiện khi tách khớp trụ là một vector lực 𝒇𝒇 𝑐𝑐 = [ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 0]T và phương trình này chỉ có 2 phương trình độc lập. (𝑖𝑖 𝑖𝑖 ) một vector ngẫu lực 𝒎𝒎 𝑐𝑐 = [ 𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑐𝑐 0]T . (𝑖𝑖 𝑖𝑖) 4.2.4. Khớp Cardan 𝒓𝒓 𝑖𝑖(𝑘𝑘) = 𝒓𝒓𝑗𝑗(𝑚𝑚) Các phương trình ràng buộc khi tách khớp Cardan như sau: (0) (0) 𝒛𝒛 𝑖𝑖(𝑘𝑘) 𝒛𝒛𝑗𝑗(𝑚𝑚) = 0 (0) T (0) . (11) Các phản lực liên kết xuất hiện khi tách khớp Cardan là một vector lực 𝒇𝒇 𝑐𝑐 = [ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ]T (𝑖𝑖 𝑖𝑖) và một vector ngẫu lực 𝒎𝒎 𝑐𝑐 = �𝒛𝒛 𝑖𝑖(𝑘𝑘) × 𝒛𝒛𝑗𝑗(𝑚𝑚) � 𝑚𝑚 𝑐𝑐 . (0) (0) (0) 4.2.5. Khớp cầu 𝒓𝒓 𝑖𝑖(𝑘𝑘) = 𝒓𝒓𝑗𝑗(𝑚𝑚) . Các phương trình ràng buộc khi tách khớp cầu như sau: (0) (0) Phản lực liên kết xuất hiện khi tách khớp cầu là một vector lực 𝒇𝒇 𝑐𝑐 = [ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ]T . (12) (𝑖𝑖 𝑖𝑖) 5. Nhập đầu vào và quá trình tính toán động học Để tính toán động lực học thì ta sẽ cần nhiều thông số đầu vào hơn, còn để tính toán động học ta cần các đầu vào sau đây: - Thông số từng khâu: loại khớp và vị trí tương đối của các khớp trong khâu so với hệ trục khâu, - Thông tin từng khớp: số thứ tự của hai khâu và số thứ tự của khớp trong hai khâu này. Loại khớp có thể dùng các ký tự như ‘R’ cho khớp quay, ‘P’ cho khớp tịnh tiến, ‘C’ cho khớp trụ, ‘U’ cho khớp Cardan và ‘S’ cho khớp cầu. Tham số vị trí tương đối của khớp thứ k trong khâu i T 𝒑𝒑 𝑖𝑖 𝑖𝑖 = � 𝒓𝒓(𝑖𝑖) 𝜓𝜓 𝑖𝑖 𝑖𝑖 � , nếu dùng các góc Euler là 𝜑𝜑 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝜃𝜃 𝑖𝑖 𝑖𝑖 T 𝑖𝑖 𝑖𝑖 trong đó 𝜑𝜑 𝑖𝑖 𝑖𝑖 , 𝜃𝜃𝑖𝑖 𝑖𝑖 , 𝜓𝜓 𝑖𝑖 𝑖𝑖 là các góc Euler quay tương đối quanh các trục z-x’-z” để hệ trục O i x i y i z i trùng (13) với hệ trục khớp O ik x ik y ik z ik . Trong trường hợp hệ đang xét có cấu trúc mạch vòng hoặc cấu trúc cây, khi nhận được đầu vào, trước hết phần mềm sẽ phân tích xem cần tách hệ đang xét thành bao nhiêu cấu trúc con, mỗi cấu trúc con đều có dạng chuỗi. Chú ý rằng khâu cố định cũng là một khâu cần được xét đến. Trong trường hợp hệ đang xét vốn đã có dạng chuỗi thì ta coi như cả hệ là một cấu trúc con dạng chuỗi. Đối với mỗi cấu trúc con, phần mềm sẽ tự động thực hiện các bước sau đây: - Tính ma trận biến đổi thuần nhất giữa hệ trục khâu và các hệ trục khớp của khâu, - Tạo ra các biến khớp,
258 Nguyễn Thái Minh Tuấn - Tính ma trận biến đổi thuần nhất địa phương giữa hai hệ trục khâu liên tiếp 𝑻𝑻𝑗𝑗 = 𝑻𝑻 𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑻𝑻𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑻𝑻𝑗𝑗𝑗𝑗 (𝑖𝑖) (𝑖𝑖) (𝑖𝑖 𝑖𝑖 ) (𝑗𝑗) −1 , (14) - Tính ma trận biến đổi thuần nhất toàn cục của từng khâu. Sau đó, phần mềm tiếp tục tự động thiết lập và đơn giản hóa các phương trình ràng buộc, và tạo ra các biến phản lực liên kết tương ứng với sự ghép nối giữa các cấu trúc con với nhau. Sau khi có các ma trận biến đổi thuần nhất toàn cục, các phương trình ràng buộc và các biến phản lực liên kết, các bài toán động học, động lực học sẽ tiếp tục được phần mềm giải quyết theo nhu cầu của người dùng bằng các phương pháp đã được nghiên cứu [3], [4]. 6. Ví dụ Do hạn chế về độ dài của báo cáo, ở đây ta sẽ chỉ xét một ví dụ. Xét robot song song phẳng 3- RRR [5] như trên Hình 2. C(xC,yC) l5 l6 P y' M l4 P(xP,yP) l2 N y l3 l1 B(xB,yB) x x' A(0,0) M(0,0) N(xN,0) a) b) Hình 2. a) Robot song song phẳng 3RRR, b) Kích thước bàn máy động y03 x03 C≡O03 y73 y02 P≡O73 x73 y71 y72 yi1 yi2 y01 x02 x01 x72 B≡O02 M≡O71 x71 N≡O72 Oi1 xi1 Oi2 xi2 A≡O01 a) Bàn máy cố định b) Bàn máy động c) Các khâu có hai khớp quay Hình 3. Các hệ trục khâu và khớp Hệ nhiều vật đang xét gồm có 8 khâu, trong đó có một bàn máy cố định mang số thứ tự 0 có 3 khớp quay, một bàn máy động mang số thứ tự 7 có 3 khớp quay và 6 khâu động có 2 khớp quay mang số thứ tự ứng với chỉ số chiều dài khâu như trên hình 2. Các hệ trục khâu, khớp được chọn như trên Hình 3. Từ đó, ta có đầu vào cho phần mềm như trong Bảng 2 và Bảng 3. Chú ý rằng để đơn giản, ta
259 Thiết lập đầu vào bằng phương pháp ghép nối khâu cho phần mềm tự động phân tích động lực học hệ nhiều vật chọn O i0 x i0 y i0 z i0 ≡ O i1 x i1 y i1 z i1 với tất cả các khâu (i=0,1,…,7). Với các khâu có hai khớp quay, khớp gần với khâu cố định hơn theo thứ tự ghép nối được đánh số 1. Bảng 2. Thông số các khâu Thông số Khâu Khớp 1 Khớp 2 Khớp 3 thứ i Loại p i1 Loại p i2 Loại p i3 0 R 0 R [x B ,y B ,0,0,0,0]T R [x C ,y C ,0,0,0,0]T 1 R 0 R [l 1 ,0,0,0,0,0]T 2 R 0 R [l 2 ,0,0,0,0,0]T 3 R 0 R [l 3 ,0,0,0,0,0]T 4 R 0 R [l 4 ,0,0,0,0,0]T 5 R 0 R [l 5 ,0,0,0,0,0]T 6 R 0 R [l 6 ,0,0,0,0,0]T 7 R 0 R [x N ,0,0,0,0,0]T R [x P ,y P ,0,0,0,0]T Bảng 3. Thông tin các khớp Thông tin các khâu ghép nối bởi khớp Khớp Khâu thứ nhất Khâu thứ hai thứ Số thứ tự Số thứ tự khớp Số thứ tự Số thứ tự khớp khâu trong khâu khâu trong khâu 1 0 1 1 1 2 1 2 2 1 3 0 2 3 1 4 3 2 4 1 5 0 3 5 1 6 5 2 6 1 7 2 2 7 1 8 4 2 7 2 9 6 2 7 3 Sau khi xử lý đầu vào, phần mềm sẽ tự động tách hệ ra thành ba cấu trúc con và sinh ra các biến khớp (Hình 4). q6 q5 q3 q4 q2 q7 q1 a) Cấu trúc con thứ nhất b) Cấu trúc con thứ hai c) Cấu trúc con thứ ba Hình 4. Các cấu trúc con và biến khớp Kết quả ma trận biến đổi thuần nhất toàn cục của bàn máy động do phần mềm tính ra như sau.
260 Nguyễn Thái Minh Tuấn cos(𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞3 ) − sin(𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞3 ) 0 𝑙𝑙1 cos( 𝑞𝑞1 ) + 𝑙𝑙2 cos( 𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 ) ( ) ( ) 𝑻𝑻7 = � sin(𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞3 ) cos(𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞3 ) 0 𝑙𝑙1 sin 𝑞𝑞1 + 𝑙𝑙2 sin 𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 �. (15) (0) 0 0 1 0 0 0 0 1 Có tổng cộng 10 phương trình ràng buộc sinh ra do tách hai khớp quay, phần mềm xác định 𝑙𝑙1 cos(𝑞𝑞1 ) + 𝑙𝑙2 cos(𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 ) + 𝑥𝑥 𝑁𝑁 cos(𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞3 ) − 𝑥𝑥 𝐵𝐵 − 𝑙𝑙3 cos(𝑞𝑞4 ) − 𝑙𝑙4 cos(𝑞𝑞4 + 𝑞𝑞5 ) = 0 rằng 6 trong số đó tự thỏa mãn và còn lại 4 phương trình ràng buộc như sau 𝑙𝑙1 sin(𝑞𝑞1 ) + 𝑙𝑙2 sin(𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 ) + 𝑥𝑥 𝑁𝑁 sin(𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞3 ) − 𝑦𝑦 𝐵𝐵 − 𝑙𝑙3 sin(𝑞𝑞4 ) − 𝑙𝑙4 sin(𝑞𝑞4 + 𝑞𝑞5 ) = 0 𝑙𝑙1 cos(𝑞𝑞1 ) + 𝑙𝑙2 cos(𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 ) + 𝑥𝑥 𝑃𝑃 cos(𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞3 ) − 𝑦𝑦 𝑃𝑃 sin(𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞3 ) − 𝑥𝑥 𝐶𝐶 − 𝑙𝑙5 cos(𝑞𝑞6 ) − 𝑙𝑙6 cos(𝑞𝑞6 + 𝑞𝑞7 ) = 0 𝑙𝑙1 sin(𝑞𝑞1 ) + 𝑙𝑙2 sin(𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 ) + 𝑥𝑥 𝑃𝑃 sin(𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞3 ) + 𝑦𝑦 𝑃𝑃 cos(𝑞𝑞1 + 𝑞𝑞2 + 𝑞𝑞3 ) − 𝑦𝑦 𝐶𝐶 − 𝑙𝑙5 sin(𝑞𝑞6 ) − 𝑙𝑙6 sin(𝑞𝑞6 + 𝑞𝑞7 ) = 0 .(16) Kiểm tra lại các kết quả trên, ta có thể xác nhận rằng phương pháp và phần mềm có hiệu quả đối với hệ đang xét. Có thể thấy rằng việc xác định Hình 2 cũng như Bảng 2 và Bảng 3 rất đơn giản bởi theo như Bảng 1, không có nhiều quy tắc phải tuân theo như khi sử dụng các quy tắc Denavit-Hartenberg. 7. Kết luận Báo cáo đã giới thiệu một phương pháp ghép nối khâu để mô tả một hệ nhiều vật. Theo phương pháp này, mỗi khâu, bao gồm cả khâu cố định, sẽ được mô tả bởi vị trí tương đối giữa các khớp trong khâu với một hệ trục gắn với khâu. Sau đó, toàn hệ được mô tả bởi sự ghép nối các chỉ số của các khớp giữa từng hai khâu có kết nối với nhau. Hai nhóm thông tin này được mã hóa thành đầu vào cho một công cụ phần mềm đang được phát triển. Từ đó, người dùng sẽ nhận được các kết quả động học cần thiết. Do số lượng khớp trong mỗi khâu không bị hạn chế nên phương pháp này có thể áp dụng cho hệ có cấu trúc chuỗi, cây hoặc mạch vòng đều được. Khác với các quy tắc Denavit-Hartenberg gốc chỉ áp dụng được cho các hệ chỉ có khớp quay và tịnh tiến, phương pháp này áp dụng được cả khi có khớp trụ, khớp Cardan và khớp cầu. Trong tương lai gần, phần mềm phân tích động lực học thân thiện với người dùng và có đầy đủ chức năng giải quyết các bài toán cơ bản của tĩnh học, động học, động lực học, dao động và điều khiển sẽ chính thức được chia sẻ rộng rãi. Phần mềm cũng sẽ liên tục được phát triển, cập nhật những phương pháp mới nhằm giải quyết những vấn đề thời sự của động lực học hệ nhiều vật. Tài liệu tham khảo [1] W. Schiehlen (Ed.). Multibody systems handbook. Springer, Berlin, (1990). [2] C. Y. Tsai, P. D. Lin. The mathematical models of the basic entities of multi-axis serial orthogonal machine tools using a modified Denavit–Hartenberg notation. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 42, (9), (2009), pp. 1016-1024. [3] Nguyễn Văn Khang, Động lực học hệ nhiều vật (In lần 2), Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, (2017). [4] W. Schiehlen, P. Eberhard. Applied dynamics. Springer, Berlin, (2014). [5] H. M. Daniali, P. J. Zsombor-Murray, J. Angeles. Singularity analysis of planar parallel manipulators. Mechanism and Machine Theory, 30, (5), (1995), pp. 665-678.