Thủy lực đại cương

Chia sẻ: 2 2 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:145

Thêm vào BST

Báo xấu

83
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo sách 'thủy lực đại cương', kỹ thuật - công nghệ, cơ khí - chế tạo máy phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Thủy lực đại cương

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC TOÂN ÑÖÙC THAÉNG ThS Leâ Minh Löu GIAÙO TRÌNH THUÛY LÖÏC _Tp.Hoà Chí Minh 2007 _
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU CHƯƠNG 1 MỞ ĐẦU §1.1 – Định nghĩa môn học. Thủy lực học còn được gọi là Cơ học chất lỏng ứng dụng, là một môn khoa học ứng dụng. Thủy lực nghiên cứu: − Các quy luật cân bằng và chuyển động của chất lỏng − Các biện pháp ứng dụng các quy luật đó vào thực tiễn Thuỷ lực học được chia thành hai nội dung lớn: − Thuỷ lực đại cương: hình thành trên cơ sở các quy luật chung (phần nội dung này của môn học có trong tất cả các chương trình đào tạo của tất cả các chuyên ngành kỹ thuật có liên quan đến chất lỏng). − Thuỷ lực chuyên môn như: Thủy lực đường ống; Thuỷ lực lòng dẫn hở: Thuỷ lực công trình; Thuỷ lực sông ngòi; Thủy lực dòng thấm. ...v ...v.. Hệ đo lường dùng trong Thuỷ lực là: hệ kỹ thuật MkGS (m, kG, sec) và SI (hệ đo lường quốc tế) – m, kg, sec. Quan hệ giữa các đơn vị: − Lực: đo bằng Niutơn, ký hiệu N và cũng được đo bằng kilogam lực, ký hiệu bằng kG hoặc đo bằng đyn. 1 N = 1 kg.1m/s2 = 1mkgs-2; 1 kG = 9,807 N; 1 N = 0,102 kG; 1 dyn = 10-5 N = 1,02.10-6 kG − Áp suất: đo bằng Pascal (Pa); đyn/cm2; kg/cm2 (atm); atm tuyệt đối; mm Hg. 1 Pa = 1 N/m2 = 10 dyn/cm2 = 1,02.10-5 kG/cm2 = 9,87.10-6 atm tuyệt đối = 7,50.10-3 mmHg. − Khối lượng: đo bằng kilogram khối lượng (kg); gam khối lượng (g); kGs /m4. 2 1 kg = 103g = 0,102 kGs2/m4. §1.2 – Lịch sử phát triển. Cơ học chất lỏng ứng dụng - thủy lực – có một quá trình phát triển lâu đời. Một số nguyên lý về thủy tĩnh (lý thuyết cân bằng của chất lỏng) đã được Asimed xác lập trong tác phẩm nỗi tiếng từ năm 250 trước công nguyên và sau đó là Xtevin (1548 – 1620), Galile (1564 – 1642) và Pascal (1623 – 1662) phát triển. _1_
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU Giữa thế kỷ XV Leonar de Vanhxi (1452 – 1519) đặt nền móng cho thực nghiệm thủy lực. Ống đã tiến hành nghiên cứu trong phòng thí nghiệm một số vấn đề về chuyển động của nước trong kênh, qua lỗ vòi và đập tràn. Torixeli (1608 – 1647) đã đề xuất công thức nổi tiếng về vận tốc của chất lỏng chảy qua lỗ, còn Niutơn (1642 – 1724) đã phát biểu quy luật cơ bản về ma sát trong của chuyển động của chất lỏng. Trong thế kỷ XVIII Danhin Becnui (1700 – 1782) và Leona Ơle (1707 – 1783) đã đề xuất phương trình tổng quát về chuyển động của chất lỏng lý tưởng và có thể coi các ông là những người đặt nền móng cho cơ học chất lỏng lý thuyết. Cuối thế kỷ XVIII nhiều bác học và kỹ sư (Sêdi, Đacxi, Badanh, Vâyxbắc) trong các trường hợp cụ thể khác nhau và họ đã nhận được một số lượng lớn các công thức kinh nghiệm. Sự hình thành thủy lực "thực dụng" cứ như vậy càng ngày càng rời xa cơ học chất lỏng lý thuyết. Thế kỷ XX với sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật hàng không, thủy lợi, nhiệt năng, máy thủy lực đã phát triển như vũ bão của cơ học chất lỏng kỹ thuật được dựa trên các tiền đề lý thuyết và các phương pháp nghiên cứu thực nghiệm. §1.3 – Khái niệm chất lỏng trong thủy lực. Việc nghiên cứu môn thủy lực dựa vào khái niệm phần tử chất lỏng. Phần tử chất lỏng được coi là vô cùng nhỏ, tuy nhiên kích thước nó cũng còn vượt rất xa kích thước của phần tử. Giả thiết phần tử chất lỏng là đồng chất, đẳng hướng và liên tục và không xem xét đến cấu trúc phân tử, chuyển động phân tử ở nội bộ. Chất lỏng và chất khí khác chất rắn ở chổ mối liên kết cơ học giữa các phần tử chất lỏng và chất khí rất yếu nên chất lỏng và chất khí có tính di động dễ chảy hoặc nói cách khác có tính chảy. Chất lỏng khác chất khí ở chổ khoảng cách giữa các phần tử trong chất lỏng so với chất khí rất nhỏ nên sinh ra sức dính phân tử rất lớn; tác dụng của sức dính phân tử này làm cho chất lỏng giữ được thể tích hầu như không thay đổi dẫu có thay đổi về áp lực, nhiệt độ, chất lỏng chống lại được sức nén, không co lại, trong khi chất khí dễ dàng co lại khi bị nén. Vì thế chất lỏng là chất chảy không nén được và chất khí là chất chảy nén được. Tính không nén được của chất lỏng cũng là tính không giãn ra của nó, nếu chất lỏng bị kéo thì khối liên tục của chất lỏng bị phá hoại, trái lại chất khí có thể giản ra chiếm hết thể tích của bình chứa nó. Tại mặt tiếp xúc giữa chất lỏng và chất khí hoặc với chất rắn hoặc với một chất lỏng khác, do lực hút đẩy các phần tử sinh ra sức căng mặt ngoài, nhờ có sức căng mặt ngoài một thể tích nhỏ của chất lỏng đặt ở trường trọng lực sẽ có dạng từng hạt. Vì vậy chất lỏng còn được gọi là chất chảy dạng hạt, tính chất này không có ở chất khí. Trong thuỷ lực, chất lỏng được coi như môi trường liên tục, tức là những phần tử chất lỏng chiếm đầy không gian mà không có chổ nào trống rỗng. Với giả thiết này ta có thể coi những đặc trưng cơ bản của chất lỏng như vận tốc, mật độ, áp suất..v...v..là hàm số của toạ độ điểm và thời gian và trong đa số trường hợp hàm số đó được coi là liên tục và khả vi. _2_
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU §1.4 – Những tính chất vật lý cơ bản của chất lỏng. (1). Đặc tính thứ nhất của chất lỏng, cũng như mọi vật thể là có khối lượng, được biểu thị bằng khối lượng đơn vị (khối lượng riêng) ρ. Đối với chất lỏng đồng chất, khối lượng đơn vị ρ bằng tỷ số khối lượng M với thể tích W; tức là: M ρ= (1 – 1) W Thứ nguyên của khối lượng đơn vị là: [ρ ] = [M ] = M [W ] L3 Ns 2 3 kGs 2 Đơn vị của ρ là kg/m hoặc 4 . Theo hệ MKS, đơn vị của ρ là m m4 Đối với nước đơn vị khối lượng của nước lấy bằng khối lượng của đơn vị thể tích nước cất ở nhiệt độ +40C; ρ = 1000kg/m3. (2). Hệ quả của đặc tính thứ nhất là đặc tính thứ hai của chất lỏng, có trọng lượng; biểu thị bằng trọng lượng đơn vị hoặc trọng lượng riêng. Đối với chất lỏng đồng chất, trọng lượng đơn vị bằng tích số của khối lượng đơn vị với gia tốc rơi tự do g (g = 9,81m/s2): M .g γ = ρ .g = (1 – 2) W Thứ nguyên của trọng lượng đơn vị là: [γ ] = [Mg ] = F [W ] L3 kg N kG Đơn vị của γ là 2 2 hoặc 3 . Theo hệ MKS, đơn vị của γ là 3 m s m m N kG Đối với nước ở nhiệt độ +40C; γ = 9810 3 = 1000 3 ; với thủy ngân m m N kG γ = 134000 3 = 13600 3 m m (3). Đặc tính thứ ba của chất lỏng là tính thay đổi thể tích vì thay đổi áp lực hoặc vì thay đổi nhiệt độ. Trong trường hợp thay đổi áp lực, ta dùng hệ số co thể tích βw để biểu thị sự giảm tương đối của thể tích chất lỏng W ứng với sự tăng áp suất p lên một đơn vị áp suất; hệ số βw biểu thị bằng công thức sau: 1 dW βw = − . m2/N (1 – 3) W dp Thí nghiệm chứng tỏ trong phạm vi áp suất từ 1 đến 500 a1tt-mốt-phe và nhiệt độ từ 0 đến 200C thì hệ số co thể tích của nước β = 0,00005cm2/kG ≈ 0. Như vậy trong thủy lực, chất lỏng thường coi như không nén được. Số đảo của hệ số co thể tích βw gọi là mô-đuyn đàn hồi K: 1 dp K= = −W . N/m2 (1 – 4) βw dW _3_
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU Trong trường hợp thay đổi nhiệt độ, ta dùng hệ số giãn vì nhiệt βt, để biểu thị sự biến đổi tương đối của thể tích chất lỏng W ứng với sự tăng nhiệt độ t lên 10C, hệ số βt biểu thị bằng công thức: 1 dW βt = (1 – 5) W dt Thí nghiệm chứng tỏ trong điều kiện áp suất không khí thì ứng với t = 4~100C ta có βt = 0,00014(1/t0) và ứng với t = 10~200C ta có βt = 0,00015(1/t0). Như vậy trong thủy lực chất lỏng coi như không co giản dưới tác dụng của nhiệt độ. Tính chất này còn được thể hiện bằng đặc tính: mật độ giữ không đổi, tức ρ = const. (4). Đặc tính thứ tư của chất lỏng là có sức căng mặt ngoài, tức là khả năng chịu được ứng suất kéo không lớn lắm tác dụng lên mặt tự do phân chia chất lỏng với chất khí hoặc trên mặt tiếp xúc chất lỏng với chất rắn. Do sức căng mặt ngoài mà giọt nước có dạng hình cầu. Trong ống có đường kính nhỏ cắm vào chậu nước có hiện tượng mức nước trong ống dâng cao hơn mặt nước tự do ngoài chậu; nếu chất lỏng là thủy ngân thì lại có hiện tượng mặt tự do trong ống hạ thấp hơn mặt thủy ngân ngoài chậu; đó là hiện tượng mao dẫn, do tác dụng sức căng mặt ngoài gây nên. Mặt tự do của chất lỏng trong trường hợp đầu là lõm, trong trường hợp sau là mặt lồi. Sức căng mặt ngoài đặc trưng bởi hệ số sức căng mặt ngoài σ, biểu thị sức kéo tính trên một đơn vị dài của đường tiếp xúc. Hệ số σ phụ thuộc vào loại chất lỏng và nhiệt độ. Trong trường hợp nước tiếp xúc với không khí ở 200C ta thấy σ = 0,0726N/m = 0,0074kG/m. Nhiệt độ tăng lên, σ giảm đi. Đối với thủy ngân cũng trong những điều kiện trên, ta có σ = 0,540N/m, tức là gần bằng 7,5 lần đối với nước. (5). Đặc tính thứ năm của chất lỏng là có tính nhớt. Trong thuỷ lực tính nhớt rất quan trọng, vì nó là nguyên nhân sinh ra tổn thất năng lượng khi chất lỏng chuyển động. Khi các lớp chất lỏng chuyển động, giữa chúng nảy sinh ra sức ma sát tạo nên sự chuyển biến một bộ phận cơ năng thành nhiệt năng mất đi không lấy lại được. Sức ma sát này gọi là sức ma sát trong. Tính chất nảy sinh ra sức ma sát trong hoặc nói một cách khác, tính chất nảy sinh ra ứng suất tiếp giữa các lớp chất lỏng chuyển động gọi là tính nhớt của chất lỏng. Năm 1686, Niutơn đã nêu lên giả thiết về quy luật ma sát trong, tức là ma sát chất lỏng: "sức ma sát giữa các lớp của chất lỏng chuyển động tỷ lệ với diện tích tiếp xúc của các lớp ấy, không phụ thuộc áp lực, phụ thuộc gradiên vận tốc theo chiều thẳng góc với phương chuyển động, phụ thuộc loại chất lỏng". Định luật ma sát trong của Niutơn viết dưới biểu thức: du F = μ.S (1 – 6) dn Trong đó: F - sức ma sát giữa hai lớp chất lỏng. _4_
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU S - diện tích tiếp xúc u - vận tốc, u = f(n) – quy luật phân bố vận tốc theo phương n. μ - hằng số tỷ lệ, phụ thuộc loại chất lỏng, được gọi là hệ số nhớt hoặc hệ số động lực nhớt. F Gọi τ là ứng suất tiếp, τ = , công thức (1 – 6) S có thể viết dưới dạng: du τ =μ (1 – 7) dn Công thức (1 – 6) hoặc (1 – 7) dùng cho chuyển động tầng của chất lỏng. Tính nhớt của chất lỏng được đặc trưng bởi hệ số nhớt μ mà thứ nguyên là: Hình 1 – 1. [μ ] = [F ] , [μ ] = FT = M ⎡ du ⎤ L 2 LT ⎢ S dn ⎥ ⎣ ⎦ Ns kg Đơn vị đo hệ số nhớt μ trong hệ đo lường hợp pháp là 2 hoặc ; đơn vị ứng m ms 1 Ns với gọi là poazơ (p). 10 m 2 Tính nhớt còn được đặc trưng bởi hệ số: μ ν= (1 – 8) ρ trong đó ρ - khối lượng đơn vị; ν gọi là hệ số động học nhớt; thứ nguyên của ν là: [ν ] = [μ ] ; hoặc [ν ] = L 2 [ρ ] T m2 Đơn vị đo hệ số động học nhớt ν trong hệ đo lường hợp pháp là ; đơn vị s cm 2 được gọi là stốc. s Bảng (1 – 1) hệ số nhớt của một vài chất lỏng. Tên chất lỏng t0C (poa-zơ) Dầu xăng thường 18 0,0065 Nước 20 0,0101 Dầu hoả 18 0,0250 Dầu mỏ nhẹ 18 0,2500 Dầu mỏ nặng 18 0,4000 Dầu tuyếc-bin 20 1,5280 Dầu nhờn 20 1,7200 Glixêrin 20 8,7000 _5_
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU Sau đây là bảng cho trị số của hệ số nhớt động học ν của nước, phụ thuộc nhiệt độ: Bảng 1 – 2. t0C ν, cm2/s t0C ν, cm2/s 0 0,0178 20 0,0101 5 0,0152 30 0,0081 10 0,0131 40 0,0065 12 0,0124 50 0,0056 15 0,0114 Trong những đặc tính vật lý cơ bản nói trên của chất lỏng, quan trọng nhất trong môn thủy lực là đặc tính có khối lượng, có trọng lượng, có tính nhớt. §1.5 – Lực tác dụng. Tất cả những lực tác dụng lên những phần tử ở bên trong ω chia thành hai loại sau đây: ω (1). Những lực trong (nội lực): những phần tử bên trong ω tác dụng lên nhau những lực từng đôi một cân bằng nhau (theo nguyên lý tác dụng và phản tác dụng), những lực đó tạo thành một hệ lực tương đương với số không. (2). Những lực ngoài (ngoại lực): Hình 1 – 2. − Những phần tử ở ngoài mặt ω tác dụng lên những phần tử ở trong mặt ω những lực ngoài. Giả thiết rằng những lực đó chỉ tác dụng lên những phần tử của mặt ω và gọi chúng là những lực mặt. − Những trường lực (trọng lực, từ trường, điện trường...v...v..): có những tác động lên những phần tử ở trong mặt ω, tỷ lệ với những yếu tố thể tích. Đó là những lực thể tích hoặc còn gọi là lực khối. §1.6 – Ứng suất tại một điểm. (1). Xét một phân tố diện tích dω lấy trên một mặt ω, bao quanh điểm I của mặt ω (hình 1 – 3) Hệ lực mặt tác dụng lên dω thu được về một lực duy nhất dF đặt tại I và một mô men dM . Vì có thể coi dF là vô cùng nhỏ bậc nhất so với dω ω ω và dM là vô cùng nhỏ bậc cao hơn. Khi dω tiến tới số không, xung quanh điểm I cố Hình 1 – 3. _6_
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU dF định, véc tơ tiến tới một véc tơ T gọi là ứng suất tại I trên phân tố ω. dω Như vậy ở giới hạn ta viết được: dF = T .dω Véc tơ T có thể có một hướng tùy ý đối với dω. (2). Cũng bằng cách như vậy, ta có thể định nghĩa ứng suất trên một phân tố diện tích tuỳ ý bao quanh điểm I lấy trong chất lỏng (chỉ cần tưởng tượng một mặt ω chứa đựng phân tố đó). Vì chất lỏng là môi trường liên tục, đẳng hướng ta chứng minh rằng muốn biết ứng suất tại I trên một Hình 1 – 4. phân tố diện tích dω chỉ cần biết những ứng suất trên ba phân tố diện tích đôi một vuông góc với nhau và đều đi qua I. Giả sử đã biết những ứng suất của phân bố diện tích đi qua I và đôi một vuông góc với nhau (hình 1 – 4). Cắt tam diện vuông góc đó bởi một mặt phẳng mà ta muốn biết ứng suất, mặt này tạo nên mặt thứ tư ABC. Gọi F1 , F2 , F3 và F là những lực mặt tác dụng riêng biệt lên bốn mặt của tứ diện IABC. Những lực đó đều tỷ lệ với diện tích của những tam giác tương ứng. Đó là những vô cùng nhỏ bậc hai so với những độ dài của tứ diện. Tứ diện phải được cân bằng dưới tác dụng của F1 , F2 , F3 , F và dưới tác dụng của những lực thể tích. Nhưng những lực thể tích này là những lực vô cùng nhỏ bậc ba so với những độ dài của tứ diện, chúng có thể bỏ đi không tính đến so với những lực mặt. Do đ1o chỉ tồn tại có một phương và một độ lớn cho lực F để cân bằng được với tập hợp ba lực F1 , F2 , F3 . Lực F này chia cho diện tích tam giác tương ứng được ứng suất đặt lên mặt ABC mà ta phải tìm. Đến giới hạn ta sẽ có ứng suất tác dụng lên một phân tố diện tích bất kỳ đi qua điểm I. Với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, ứng suất tại điểm I trên phân tố dS sẽ được xác định nếu ta biết: − Hướng của dω. − 9 hình chiếu lên các trục toạ độ, của những ứng suất lên ba phân tố diện tích song song với ba mặt phẳng toạ độ và đi qua I. Ta chỉ cần nghiên cứu những ứng suất tác dụng lên những phân tố diện tích vuông góc với những trục toạ độ (hình 1 – 5). Thí dụ lên một phân tố diện tích vuông góc với Ox, ta có: − Một thành phần σxx song song với trục Ox mà ta giả thiết là có trị số dương khi thành phần đấy hướng vào trong thể tích phân tố. − Một thành phần σxy song song với Oy Hình 1 – 5. _7_
MỞ ĐẦU ThS LÊ MINH LƯU − Một thành phần σxz song song với Oz Trong ký hiệu này, chỉ số thứ nhất liên quan đến phân tố diện tích, chỉ số thứ hai đến hướng của thành phần. Như vậy ta có bảng sau đây của 9 thành phần đó: Bảng (1 – 3) Các thành phần theo trục Phân tố diện tích Ox Oy Oz Vuông góc trục x σxx σxy σxz Vuông góc trục y σyx σyy σyz Vuông góc trục z σzx σzy σzz Người ta chứng minh rằng 6 thành phần không ở trên đường chéo trong bảng trên từng đôi một bằng nhau; đó là những thành phần có chỉ số giống nhau. Ví dụ σxy = σyx; σxz = σzx..v.. Như vậy 9 thành phần thu lại còn 6: − 3 thành phần vuông góc mà ta gọi là σ1, σ2, σ3; − 3 thành phần tiếp tuyến mà ta gọi là τ1, τ2, τ3. Vậy ta có bảng sau đây về những ứng suất, đối xứng đối với đường chéo thứ nhất: σ1 τ3 τ2 τ3 σ2 τ1 τ2 τ1 σ3 Bảng này còn được gọi là tensơ ứng suất. §1.7 – Chất lỏng lý tưởng và chất lỏng thực. Chất lỏng thực có tất cả những tính chất như trên. Chất lỏng lý tưởng: bao gồm những tính chất sau: − Không có tính nhớt: μ = 0 − Di động tuyệt đối. − Không chống được lực kéo và cắt. − Không nén được. Chất lỏng ở trạng thái tĩnh rất gần với chất lỏng lý tưởng. Ðể có kết quả chất lỏng lý tưởng phù hợp chất lỏng thực, người ta dùng thực nghiệm để rút ra hệ số hiệu chỉnh. Ngoài ra một số vấn đề thủy lực, chưa có phương pháp lý luận giải quyết được, mà phải dùng phương pháp thực nghiệm. _8_
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU CHƯƠNG 2 THỦY TĨNH HỌC §2.1 – Áp suất thủy tĩnh –Áp lực. Lấy một khối chất lỏng W đứng cân bằng (hình 2 – 1). Nếu chia cắt khối đó bằng một mặt phẳng tuỳ ý ABCD và vứt bỏ phần trên, thì muốn giữ phần dưới khối đó ở trạng thái cân bằng như cũ ta phải thay thế tác dụng của phần trên lên phần dưới bằng một hệ lực tương đương. Trên mặt phẳng ABCD, xung quanh một điểm O tuỳ ý ta lấy một diện tích ω; gọi P là lực của phần trên P ω tác dụng lên ω, tỉ số = Ptb gọi là áp suất thủy tĩnh ω ω P trung bình. Nếu diện tích ω tiến tới số 0, thì tỉ số ω tiến tới giới hạn p , gọi là áp suất thủy tĩnh tại một điểm, hoặc nói gọn là áp suất thuỷ tĩnh. ⎛P⎞ lim ⎜ ω ⎟ = p ⎜ ⎟ ω →0 ⎝ (2 – 1) Hình 2 – 1 ⎠ Áp suất thủy tĩnh p là ứng suất tác dụng lên một phân tố diện tích lấy trong nội bộ môi trường chất lỏng đang xét. Trong thuỷ lực, lực P tác dụng lên diện tích ω gọi là áp lực thủy tĩnh lên diện tích ấy. Chú ý: người ta thường gọi trị số p của p là áp suất thủy tĩnh và trị số P của P N kg là áp lực thủy tĩnh. Áp suất có đơn vị là 2 hoặc . m m.s 2 Trong kỹ thuật, áp suất còn được đo bằng átmốtphe (at) 1 at = 9,81.104 (N/m2) 1 at = 1(kG/cm2) Áp lực có đơn vị là Niutơn (N) Áp suất còn được đo bằng chiều cao cột nước. §2.2 – Hai tính chất cơ bản của áp suất thủy tĩnh. Tính chất 1: Áp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực và hướng vào diện tích ấy. Áp suất thủy tĩnh tại điểm O lấy trên mặt phân chia ABCD (hình 2 – 2) là một lực có thể chia làm hai thành phần: pn theo hướng pháp tuyến tại điểm O của mặt _9_
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU ABCD và τ theo hướng tiếp tuyến. Thành phần τ có tác dụng làm mặt ABCD di chuyển, tức chất lỏng có thể chuyển động tương đối, nhưng như đã giả thiết ban đầu, chất lỏng đang xét ở trạng thái tĩnh nên phải có τ = 0 và chỉ còn lại thành phần pháp tuyến pn. Thành phần pn không thể hướng ra ngoài được vì chất lỏng không chống lại được sức kéo mà chỉ chịu được sức nén. Vậy áp suất p tại điểm O chỉ có thành phần pháp tuyến và hướng vào trong. t α Hình 2 – 2 Hình 2 – 3 Tính chất 2: Trị số áp suất thủy tĩnh tại một điểm bất kỳ không phụ thuộc hướng đặt của diện tích chịu lực tại điểm này. Lấy một phân tố diện tích ds có tâm I và một hình trụ vô cùng nhỏ có tiết diện thẳng ds (hình 2 – 3). Đáy kia hình trụ có diện tích dS' và tâm I', đáy này có hướng bất kỳ xác định bởi góc α. Những kích thước về chiều dài là những vô cùng nhỏ. Gọi p và p' là những áp suất, chúng vuông góc với những mặt tương ứng. Theo định nghĩa, ta có các trị số áp lực dF và dF' như sau: dF = p.dS dF' = p'.dS' Hình trụ này đứng cân bằng dưới tác dụng của những lực mặt là vô cùng nhỏ bậc hai và của những thể tích là những vô cùng nhỏ bậc ba. Do đó ta có thể bỏ qua những lực thể tích. Phương trình này chiếu lên trục II', cho ta: dF − dF ' cos α = 0 (2 – 2) Vì những lực mặt tác dụng lên mặt bên và vuông góc với II', đã triệt tiêu nhau. Vậy: pdS = p'.dS'cosα; vì dS = dS'cosα nên ta rút ra: p = p' (2 – 3) Vậy áp suấtt thủy tĩnh tại điểm I là một đại lượng vô hướng p, chỉ phụ thuộc vị trí của điểm I, nghĩa là trong hệ tọa độ vuông góc Oxyz thì: p = f(x, y, z) (2 – 4) Từ hai tính chất trên của áp suất thủy tĩnh, ta thấy rõ các thành phần tiếp tuyến đều bằng số không và các thành phần pháp tuyến đều bằng nhau và bằng p. Vì vậy tensơ ứng suất viết cho áp suất thủy tĩnh có dạng p 0 0 0 p 0 0 0 p _ 10 _
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU §2.3 – Phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng cân bằng Xét khối chất lỏng hình hộp vô cùng nhỏ ABCDEFGH có cạnh δx, δy, δz (hình 2 – 4) đứng cân bằng. Điều kiện cân bằng là tổng số hình chiếu trên các trục của các lực mặt và lực thể tích tác dụng lên khối đó bằng không. Hình 2 – 4. Gọi p là áp suất tại trọng tâm M của hình hộp, thì áp suất at5i trọng tâm mặt ⎛ ∂p δx ⎞ ⎛ ∂p δx ⎞ ADHE bằng ⎜ p − . ⎟ , tại trọng tâm mặt BCGF bằng ⎜ p + . ⎟ ; gọi Fx là ⎝ ∂x 2 ⎠ ⎝ ∂x 2 ⎠ thành phần trên trục Ox của lực thể tích F tác dụng lên lên một đơn vị khối lượng chất lỏng, ta có thể viết điều kiện cân bằng của hình hộp theo phương x như sau: ⎛ ∂p δx ⎞ ⎛ ∂p δx ⎞ ⎜ p − . ⎟δyδz − ⎜ p + . ⎟.δyδz + ρFx δxδyδz = 0 ⎝ ∂x 2 ⎠ ⎝ ∂x 2 ⎠ ∂p 1 ∂p rút gọn ta có: − + ρFx = 0 hoặc Fx − =0 ∂x ρ ∂x Suy luận tương tự đối với những hình chiếu các lực trên các trục Oy, Oz và viết toàn bộ hệ thống phương trình biểu thị sự cân bằng của khối hình hộp, ta có: 1 ∂p Fx − =0 ρ ∂x 1 ∂p (2 – 5) Fy − =0 ρ ∂y 1 ∂p Fz − =0 ρ ∂z 1 hoặc F− gradp = 0 ρ Đó là hệ phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng và còn gọi là hệ phương trình Ơle (do Ơle tìm ra năm 1755). Phương trình này biểu thị quy luật chung về sự phụ thuộc áp suất thủy tĩnh đối với toạ độ: p = f(x, y, z) _ 11 _
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU Hệ (2 – 5) có thể viết dưới dạng vi phân toàn phần của p như sau: nhân những phương trình trong hệ (2 – 6) riêng biệt với dx, dy, dz rồi công vế đối vế, ta có: (F dx + F dy + F dz ) − 1 ⎛ ∂p dx + ∂p dy + ∂p dz ⎞ = 0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ (2 – 6) ρ ⎝ ∂x x y z ∂y ∂z ⎠ Vì p = f(x, y, z) chỉ là hàm số của toạ độ, nên ta co thể viết được: (F dx + F dy + F dz ) − 1 dp = 0 ρ x y z hoặc dp = ρ(Fxdx + Fydy + Fzdz) (2 – 7) Phương trình (2 – 7) gọi là phương trình vi phân cân bằng của chất lỏng. §2.4 – Mặt đẳng áp. Mặt đẳng áp là mặt có áp suất thủy tĩnh tại mọi điểm đều bằng nhau, tức là mặt có p = const, do đó dp = 0. Phương trình vi phân của mặt đẳng áp: Fxdx + Fydy + Fzdz = 0 (2 – 8) Tính chất 1: Hai mặt đẳng áp khác nhau không thể cắt nhau. Tính chất 2: Lực thể tích tác dụng lên mặt đẳng áp thẳng góc với mặt đẳng áp. §2.5 – Sự cân bằng của chất lỏng trọng lực Khi lực thể tích tác dụng vào chất lỏng chỉ là trọng lực thì chất lỏng được gọi là chất lỏng trọng lực. Trong hệ tọa độ vuông góc mà trục Oz đặt theo phương thẳng đứng hướng lên trên, thì đối với lực thể tích F tác dụng lên một một đơn vị khối lượng của chất lỏng trọng lực, ta có Fx = 0, Fy = 0 và Fz = -g (g là gia tốc rơi tự do) (hình 2 – 5) Hình 2 – 5. 1. Phương trình cơ bản của chất lỏng ở trạng thái cân bằng. Từ (1 – 7), thay Fx = 0, Fy = 0, Fz = -g ta có: dp = -ρgdz (2 – 9) Sau khi tích phân và chia cho ρg ta có: p z+ = const (với γ = ρg) (2 – 10) ρg _ 12 _
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU Từ (2 – 10) xét tại hai điểm A và A0 ta được: p p0 z+ = z0 + = const (2 – 11) γ γ hoặc p = p0 + γ(z0 – z) (2 – 11)' Gọi z0 là tung độ của điểm ở trên mặt tự do và h là độ sâu của điểm đang xét có tung độ z, ta có: h = z0 – z. Nên (2 – 11)' co thể viết: p = p 0 + γh (2 – 12) Phương trình (2 – 11); (2 – 12) là phương trình cơ bản của thủy tĩnh học, biểu p thị quy luật phân bố áp suất thủy tĩnh trong chất lỏng đứng cân bằng. Số hạng γ có thứ nguyên là độ dài. 2. Mặt đẳng áp của chất lỏng trọng lực. Trong trường hợp đang xét lực khối là lực trọng trường, gia tốc là gia tốc rơi tự do g, vì vậy trong hệ tọa độ đã chọn hình chiều của lực khối đơn vị trên trục Ox, Oy, Oz sẽ là: Fx = 0, Fy = 0, Fz = -g, còn phương trình mặt đẳng áp được viết dưới dạng: - g.dz = 0; do g ≠ 0 nên z = const. Do vậy mặt đẳng áp trong chất lỏng tĩnh đồng nhất sẽ là các mặt nằm ngang bất kỳ, trong đó có cả mặt thoáng, không phụ thuộc vào hình dạng bìng chứa chất lỏng. Mặt nằm ngang cũng sẽ là mặt phân cách của hai loại chất lỏng cùng chứa trong một bình. Ví dụ 1: Tìm áp suất tại một điểm ở đáy bể đựng nước sâu 4m, trọng lượng đơn vị của nước γ = 9810 N/m3 (γ = 1000kG/m3). Áp suất tại mặt thoáng p0 = 98100N/m2 (p0 = 10.000kG/m2). Giải: Áp dụng công thức (2 – 12) ta có: p = p0 + γh = 98100 + 9810x4 = 137.340 N/m2 ( = 14.000kG/m2) 3. Định luật bình thông nhau. Hai bình thông nhau chứa đựng chất lỏng khác nhau và có áp suất trên mặt thoáng bằng nhau, độ cao của chất lỏng ở mỗi bình tính từ mặt phân chia hai chất lỏng đến mặt thoáng sẽ tỷ lệ nghịch với trọng lượng đơn vị của chất lỏng, tức là: h1 γ 2 = (2 – 13) h2 γ 1 Trong đó h1, h2 là những độ cao nói trên ứng với những chất lỏng có trọng lượng đơn vị γ1, γ2. Thực vậy, áp suất p1, p2 trên cùng mặt phân chia A – B (hình 2 – 6) bằng nhau. _ 13 _
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU h1 γ 2 Theo (2 – 12): p1 = p0 + γ1.h1; p2 = p0 + γ2.h2 nên γ1.h1 = γ2.h2 ⇒ = h2 γ 1 Nếu chất lỏng chứa ở hai bình cùng một loại (γ1 = γ2) thì mặt tự do của chất lỏng ở hai bình cùng một độ cao; tức h1 = h2. 4. Định luật Patscan. Gọi p0 là áp suất tại mặt ngoài của một thể tích chất lỏng cho trước đứng cân bằng (hình 2 – 7a), áp suất tại một điểm A ở độ sâu h trong chất lỏng đó là: p = p0 + γh. Hình 2 – 6. Hình 2 – 7. Nếu tăng áp suất ở ngoài lên một trị số Δp thì áp suất mới p' tại A sẽ là: p' = (p0 + Δp) + γh; vậy áp suất mới tại A sẽ tăng lên một lượng bằng p' – p = Δp. Như vậy: "Độ biến thiên của áp suất thủy tĩnh trên mặt giới hạn một thể tích chất lỏng cho trước được truyền đi nguyên vẹn đến tất cả các điểm của thể tích chất lỏng đó". Kết luận đó là định luật Patscan. Máy ép thủy lực làm việc theo định luật Patscan: máy gồm hai xi lanh có diện tích khác nhau, chứa cùng chất lỏng và có píttông di chuyển (hình 2 – 8). Khi một lực F nhỏ tác dụng lên đòn bẩy thì lực tác dụng lên pittông nhỏ sẽ được tăng lên P1 thành P1, áp suất xi lanh nhỏ là p1 = . Theo định luật Patscan, áp suất tại xi lanh ω1 lớn cũng tăng lên p1; vậy tổng áp lực p2 tác dụng lên pittông lớn là: P1 P2 = p1 .ω 2 = ω 2 . ω1 Nếu coi P1, ω1 không đổi, muốn tăng P2 phải tăng ω2. Thí dụ 1: P1 = 98,1N (10kG), d1 = 2cm d2 = 20cm, ta tính được: 2 ⎛ 20 ⎞ P2 = 98,1⎜ ⎟ = 9810 N (hoặc 1000kG) ⎝ 2 ⎠ Thực tế giữa xilanh và pi1ttông có ma sát Hình 2 – 8. _ 14 _
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU ω2 nên: P2 = η.P1 ω1 trong đó η hiệu suất máy ép thủy lực. 5. Áp suất tuyệt đối – áp suất dư – áp suất chân không. Áp suất tuyệt đối ptuyệt hoặc áp suất toàn phần là áp suất p xác định bởi công thức cơ bản (2 – 12) p = p0 + γ.h (2 – 14) Nếu áp suất tuyệt đối ptuyệt ta bớt đi áp suất khí quyển thì hiệu số đó là áp suất dư pdư hoặc áp suất tương đối, tức là: pdư = ptuyệt – pa (2 – 15) Nếu áp suất mặt thoáng là áp suất khí quyển pa thì: pdư = γ.h (2 – 16) Áp suất tuyệt đối bao giờ cũng là một số dương, còn áp suất dư có thể dương hoặc âm: pdư > 0 khi ptuyệt > pa pdư < 0 khi ptuyệt < pa Trong trường hợp áp suất dư âm thì hiệu số của áp suất không khí và áp suất tuyệt đối gọi là áp suất chân không pck, hoặc gọi tắt là chân không. pck = pa – ptuyệt (2 – 17) Áp suất chân không là trị số áp suất còn thiếu để làm cho áp suất tuyệt đối bằng áp suất khí quyển. Do đó có thể gọi áp suất chân không là áp suất thiếu. So sánh (2 – 15) và (2 – 17) thì thấy áp suất chân không là trị số âm của áp suất dư, tức là: pck – pdư (2 – 18) Áp suất tại một điểm có thể đo bằng chiều cao cột chất lỏng. Vậy có thể biểu thị các áp suất như sau: p tuyet ptuyệt bằng htuyệt = γ p du pdư bằng hdư = (2 – 19) γ p ck pck bằng hck = γ Ta gọi những độ cao htuyệt, hdư, hck là những độ cao dẫn xuất của những áp suất ptuyệt, pdư, pck. Trong điều kiện bình thường, áp suất khí quyển tại mặt thoáng thường lấy bằng áp suất của cột thuỷ ngân cao 760mm. Người ta quy ước lấy pa = 98100N/m2 (=1kG/cm2) và gọi là átmốtphe kỹ thuật. Át mốt phe kỹ thuật tương đương với cột nước cao: pa 98100 h= = = 10m γ 9810 _ 15 _
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU Hình (2 – 9) cho biết về cách đo áp suất tại một điểm bằng chiều cao cột chất lỏng. Muốn đó áp suất tuyệt đối tại điểm A, nối bình chứa thông với một ống kín 1; chổ nối đặt dưới mặt thoáng của chất lỏng trong bình, có thể đặt ngang, trên hoặc đặt dưới điểm A (hình 2 – 9 thì chổ nối đặt ngang điểm A). Trong ống kín phải hút hết không khí để áp suất tại mặt tự do của chất lỏng trong ống bằng không; khi đó khoảng cách thẳng đứng htuyệt từ mặt nước tự do trong ống đến đường nằm ngang đi qua điểm A biểu thị áp suất tuyệt đối tại điểm A. Trị số áp suất đó là: ptuyệt = γ.htuyệt. Nếu ống nối trên không bịt kín (hình 2 – 9) mà để hở ra không khí (ống 2) thì khoảng cách thẳng đứng hdư kể từ mặt tự do trong ống hở đến đường nằm ngang đi qua A biểu thị áp suất dư tại A; trị số đó là: pdư = γ.hdư. γ γ γ γ Hình 2 – 9. Thí dụ 2: Tìm áp suất tuyệt đối ptuyệt và áp suất dư pdư tại đáy nồi hơi sâu 1,2m, áp suất tại mặt thoáng là p0 = 196.200N/m2 (p0 = 21.200kG/m2), nước có γ = 9.810N/m3 (γ = 1000kG/m3). Giải: Áp suất tuyệt đối tính theo (2 – 12): ptuyệt = p0 + γh = 198.200 + 9.810x1,2 = 207.972N/m2 (=22.460kG/m2) p tuyet 207.972 htuyet = = = 22,40m cột nước γ 9.810 pdư = ptuyệt – pa = 207.972 - 98.100 = 109.872N/m2 p du 109.872 hdu = = = 11,20m cột nước γ 9.810 _ 16 _
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU Thí dụ 3: Tại mặt cắt trước khi bơm áp suất chân không là: pck = 68.670N/m2. Xác định áp suất tuyệt đối tại mặt cắt đó: Giải: Theo (2 – 17): ptuyệt = pa – pck = 98.100 – 68.670 = 29.430N/m2. 6. Ý nghĩa hình học và năng lượng của phương trình cơ bản của thủy tĩnh học. p − Ý nghĩa hình học: Từ phương trình z + = const , có thể nói rằng tổng số γ p độ cao hình học (z) đối với mặt chuẩn nằm ngang và độ cao áp suất ( ) là một γ hằng số đối với tại bất kỳ điểm nào trong chất lỏng. − Ý nghĩa năng lượng: Ta thấy rằng khối chất lỏng đang xét mang một thế năng bằng tổng số vị năng và áp năng. p Đối với một đơn vị trọng lượng, thế năng đó bằng: z + h hoặc z + và gọi γ p là thế năng đơn vị; z gọi là vị năng đơn vị; gọi là áp năng đơn vị. γ 7. Đồ phân bố áp suất thủy tĩnh. Đồ áp lực. Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học (2 – 12) chứng tỏ rằng đối với một chất lỏng trọng lực nhất định, trong điều kiện áp suất mặt tự do p0 cho trước, áp suất p là hàm số bậc nhất của độ sâu h; như vậy trong hệ toạ độ p, h phương trình (2 – 12) được biểu diễn bằng một đường thẳng. Để đơn giản ta giả thiết p0 = pa khi đó pdư = γh. Sự biểu diễn bằng đồ thị hàm số (2 – 12) trong hệ toạ độ nói trên gọi là đồ phân bố áp suất thuỷ tĩnh (hình 2 – 10a). γ α 45 γ. γ γ γ. γ Hình 2 – 10 _ 17 _
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU Muốn có đồ phân bố áp suất tuyệt đối chỉ cần tịnh tiến đường OA' theo phương thẳng góc Oh một đoạn p0 và được O''A''. Đồ phân bố áp suất tuyệt đối là hình thang vuông góc OO''AA". Nếu đường thẳng đứng trên đó xét sự phân bố áp suất thủy tĩnh không bắt đầu từ mặt tự do , mà bắt đầu từ một độ sâu h' (điểm B – hình 2 – 10b), thì đồ áp lực sẽ là hình thang vuông BB'A'A (áp suất dư) hoặc BB"A"A (áp suất tuyệt đối). Sau khi xét đồ áp lực trên những đường thẳng đứng, ta có thể vẽ đồ áp lực trên đường thẳng nghiêng hoặc đường gãy không khó khăn gì lắm. Trong trường hợp này đồ áp lực cũng là tam giác vuông hoặc hình thang vuông; (hình 2 – 11) là thí dụ về vẽ đồ áp lực trên đường thẳng gãy OAB: Hình 2 – 11. Tam giác vuông OAA' và hình thang vuông AA1'B'B là những đồ áp lực dư tương ứng với đoạn thẳng OA và AB. Muốn vẽ đồ áp lực tuyệt đối, chỉ cần tịnh tiến những cạnh OA', A1'B' theo phương thẳng góc với OA và AB đi một đoạn p0 thẳng và có được những hình thang OO"A"A và AA1"B"B. γ Còn vẽ đồ phân bố áp suất trên đường cong ta phải biểu diễn bằng đồ thị trị số áp suất tại từng điểm theo phương trình (2 – 12) rồi nối lại thành đường cong của đồ phân bố. §2.6 – Sự cân bằng của chất lỏng trong bình chứa chuyển động. Nghiên cứu sự cân bằng của chất lỏng trong trường hợp các phần tử chất lỏng không có chuyển động tương đối với nhau nhưng có chuyển động đối với quả đất: khi đó cả khối chất lỏng chuyển động như một vật rắn, ta gọi trạng thái này là trạng thái tĩnh tương đối của chất lỏng, nó xuất hiện khi bình chứa chuyển động với một gia tốc không đổi, lực khối tác dụng vào chất lỏng không chỉ có trọng lực mà còn có cả lực quán tính. Ta nghiên cứu hai trường hợp tĩnh tương đối của chất lỏng: 1. Khi bình chứa chuyển động thẳng với gia tốc không đổi. _ 18 _
THỦY TĨNH HỌC ThS LÊ MINH LƯU 2. Khi bình chứa hình trụ tròn quay đều quanh trục thẳng đứng của bình, hệ toạ độ gắn chặt với bình chứa. 1. Sự cân bằng của chất lỏng đựng trong bình chuyển động thẳng với gia tốc không đổi. Trường hợp này thường gặp ở các xe chở dầu, nước. Giả thiết bình chứa đang chuyển động thẳng với gia tốc không đổi a. Mỗi phần tử chất lỏng chịu tác dụng của hai lực khối: trọng lực G = mg và lực quán tính R = – ma, trong đó m là khối lượng của phần tử chất lỏng. Với hệ toạ độ như hình 2 – 12, hình chiếu Fx, Fy, Fz của các lực khối lên các trục là: Fx = – a; Fy = 0; Fz = – g Mặt đẳng áp: Theo (2 – 8); phương trình vi phân mặt đẳng áp viết thành: – a.dx – g.dz = 0 Tích phân ta co phương trình mặt đẳng áp: a.x + gz = const Mặt đẳng áp như vậy là mặt phẳng nghiêng, ta có một họ các mặt đẳng áp song song lập thành một góc α đối với mặt nằm Hình 2 – 12. a ngang theo tgα = . g Sự phân bố áp suất: Theo (2 – 7); có thể viết: dp = ρ( – adx – gdz) Sau khi tích phân, ta được p = – ρax – ρgz + C (C là hằng số tích phân). Tại x = 0, z= H, có p = p0 (p0 là áp suất tại mặt thoáng), hằng số tích phân sẽ là: C = p0 + ρgH Phương trình xác định áp suất tĩnh tương đối tại điểm viết được dưới dạng: p = – ρax – ρgz + p0 + ρgH Thay trong phương trình này γ = ρg và gh' = ax, ta được: p = p0 + γ(H – z) - γh' Gọi h là độ sâu của điểm N tuỳ ý trong chất lỏng kể từ mặt thoáng nghiêng, ta có: h = H – (z + h') Cuối cùng ta viết p = p0 + γh. Như vậy trở về công thức cơ bản tính áp suất thuỷ tĩnh, chỉ cần chú ý rằng h là độ sâu kể từ mặt thoáng trong điều kiện cân bằng tương đối. _ 19 _