Thuần nhất hóa biên phân chia độ nhám hai chiều của lý thuyết đàn hồi xốp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu chính trong bài viết này là tìm các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi xốp đẳng hướng. Để đạt được mục đích này, tác giả sử dụng phương pháp thuần nhất hóa cùng các phương trình cơ bản dạng ma trận của lý thuyết đàn hồi xốp đẳng hướng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Thuần nhất hóa biên phân chia độ nhám hai chiều của lý thuyết đàn hồi xốp

Thuần nhất hóa biên phân chia độ nhám cao hai chiều của lý thuyết đàn hồi xốp Homogenization of very rough two-dimensional interfaces for the poroelasticity theory Nguyễn Thị Kiều Tóm tắt 1. Giới thiệu Bài báo nghiên cứu sự thuần nhất hóa biên Thuần nhất hóa biên, biên phân chia độ nhám cao được sử dụng để phân tích các ứng xử tiệm cận của các lý thuyết khác nhau của cơ học môi trường liên tục phân chia độ nhám cao của lý thuyết đàn hồi trong miền chứa biên hay biên phân chia độ nhám cao [1] . Ý tưởng của phương xốpđẳng hướng trong miền hai chiều theo mô pháp thuần nhất hóa là thay biên phân chia độ nhám cao bởi biên phẳng bằng hình của Biot. Sử dụng phương pháp thuần cách thay miền chứa biên phân chia độ nhám cao bởi lớp vật liệu mới có biên nhất hóa, viếtcác phương trình cơ bản của lý là phẳng. Về mặt toán học, ta cần tìm các phương trình vi phân đạo hàm riêng thuyết đàn hồi xốp dưới dạng ma, tác giả thu mô tả chuyển động của lớp vật liệu mới. Các phương trình này được gọi là các được các phương trình thuần nhất hóa dạng phương trình thuần nhất hóa. hiện. Do các phương trình thuần nhất hóa thu Năm 1997, Nevard và Keller [2] nghiên cứu thuần nhất hóa biên phân chia có được là dạng hiện nên rất thuận tiện để giải độ nhám cao trong miền ba chiều dao động giữa hai mặt phẳng song song của các bài toán thực tế. hai vật thể đàn hồi dị hướng tuyến tính. Các tác giả đã thu được các phương trình Từ khóa: sự thuần nhất hóa, phương trình thuần thuần nhất hóa dưới dạng ẩn.Năm 2003, Gilbert và Ou [3] nghiên cứu sự thuần nhất hóa, đàn hồi xốp, đẳng hướng nhất hóa đối với biên phân chia độ nhám cao ba chiều phân chia hai vật thể đàn hồi xốp và các phương trình thuần nhất hóa thu được cũng ở dạng ẩn. Từ năm 2010, Vinh và Tung [4], đã sử dụng các phương trình cơ bản và điều kiện biên Abstract dạng ma trận để tìm các phương trình thuần nhất hóa. Với cách tiếp cận này, In this paper, the homogenization of very rough các tác giả đã tìm được các phương trình thuần nhất hóa dạng hiệnđối với bài two-dimensional interfaces separating two toán biên phân chia có độ nhám cao dao động giữa hai đường thẳng song song, isotropic poroelasticity solids modeled by Biot’s hai đường tròn đồng tâm của các lý thuyết đàn hồi, đàn điện và đàn nhiệt. Các theory is investigated. Using the homogenization phương trình thuần nhất hóa dạng hiện nghĩa là các hệ số của chúng là các hàm method with the matrix formulation of the isotropic hiển của các tham số vật liệu và đặc trưng hình học của biên phân chia. Vì vậy, poroelasticity theory, explicit homogenized các kết quả đạt được rất thuận tiện để giải quyết các bài toán thực tế khác nhau. equations have been derived. Since the obtained Tuy nhiên, theo hiểu biết của tác giả, đến nay chưa có kết quả nào về sự equations are explicit, they are very convenient for thuần nhất hóa biên phân chia độ nhám cao nằm giữa hai vật thể đàn hồi xốp solving practical problems. đẳng hướng. Có hai mô hình mô tả chuyển động của vật thể đàn hồi xốp: mô Key words: homogenization, homogenized hình của Biot [5] và mô hình của Auriault [6]. Trong mô hình của Biot, các hệ số equation, poroelasticity, isotropic của phương trình cơ bản là đã biết. Trong khi đó, theo mô hình của Auriault, các hệ số của phương trình cơ bản là chưa biết. Chúng được xác định bằng cách giải các bài toán biên trên nhân tuần hoàn. Do đó, sử dụng mô hình của Biot sẽ thuận tiện hơn.Trong bài báo này, các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi xốp sẽ viết theo mô hình của Biot. Mục tiêu chính trong bài báo này là tìm các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi xốp đẳng hướng. Để đạt được mục đích này, tác giả sử dụng phương pháp thuần nhất hóa cùng các phương trình cơ bản dạng ma trận của lý thuyết đàn hồi xốp đẳng hướng.Bài báo thu được các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng thành phần của lý thuyết đàn hồi xốp đẳng hướng. 2. Các phương trình cơ bản và điều kiện liên tục dạng ma trận ThS. Nguyễn Thị Kiều Bộ môn Cơ học lý thuyết, Khoa Xây dựng ĐT: 0363.441.889 Email: kieumt@gmail.com Hình 1. Biên phân chia độ nhám cao Ngày nhận bài: 24/2/2021 Giả sử biên phân chia độ nhám cao l phân chia hai vật thể đàn hồixốp đẳng Ngày sửa bài: 16/3/2021 hướng. Khi đó biên phân chia được biểu diễn bởi x3 = h( x1 / ε ), 0 < ε
KHOA H“C & C«NG NGHª Xét môi trường đàn hồi xốp đẳng hướng với các lỗ chứa ˆ 0 0 α11   0 0 0 0 0  chất lỏng là Newton. Theo mô hình của Biot (1956), các  phương trình cơ bản của môi trường đàn hồi xốp với các  0 = 0 0 0 0   ,D 0 0 0  , = B chuyển động là điều hòa theo thời gian có dạng [5]:  0 0 0 0  0 0 0 ˆ α 33      div ∑ +f = −ω 2[ ρ u + ρ L w],  −iωα11 0 0 0  0 0 −iωα 33 0  ˆ i ˆ  ρ11 0 0 0  w =−iωρ L u + gradp], K[ 0 ρ ω ˆ 22 0 0  = Ce(u) − α p, ∑ E = ω2  . 0 ˆ 0 ρ33 0  divw =u) − β p, −α : e(   (1) 0 0 0 −iβ / ω  (6) trong đó ∑ =(σ mn ) là tensơ ứng suất, C = (c mn ) là tensơ trong đó, đàn hồi của nền, α = (α ij ) là tensơ hệ số ứng suất hiệu dụng α11 = ˆ= α 33 ˆ ˆ1 ˆ ˆ = α 33 , k11 k 33 , α1= iωρ L k11 Biot, β là nghịch đảo của mô đun Biot tương ứng với hệ số nén của chất lỏng và của nền, p là áp suất chất lỏng, u = (u m ) ˆ= ˆ ˆ ˆ ρ11 ρ 22= ρ33= ρ − ρ Lα11 là véctơ dịch chuyển của chất rắn, w f ( U L − u) là vận tốc = c11 =λ + 2 µ , c13 = =c66 = λ, μ là c33 = λ , c 44 c55 =µ với tương đối của chất lỏng đối với phần chất rắn, w = (w m ), UL 1 các hệ số Lame được xác định như sau: là véctơ dịch chuyển của chất lỏng,= 2 (u m,n + u n,m ), là tensơ e mn biến dạng : e mn 1 2 (u m,n + u n,m ), dấu “,” chỉ đạo hàm theo = λ ( + ) , µ ( + ) , x3 > h( x1 / ε )  λ, µ =  f, f là tính xốp, ρ =− f ) ρs + fρ L là mật độ khối lượng của (1 λ , µ , x3 < h( x1 / ε ) (−) (−)  (7) composite, ρL là mật độ khối lượng của lỗ chất lỏng, ρs là = ˆ mn ) ˆ mật độ khối lượng của nền, K (k= [K + iωρ w I ] , mật −1 −1 λ ( + ) , µ ( + ) , λ ( − ) , µ ( − ) là các hằng số. độ khối lượng ρ w = f ρ L , K = (k mn ) là tensơ thấm Darcy −1 Chú ý rằng các ma trận và phụ thuộc vào ω, f = (f m ) là lực thể tích tác dụng lên  A (hk ), B ( + ) , D( + ) , E( + ) x3 > h( x1 / ε ) +  phần rắn. A hk , B, D, E =  ( − ) ( − ) ( − ) ( − )  A hk , B , D , E  x3 < h( x1 / ε ) Từ phương trình thứ 2 của (1) suy ra: (8) i ˆ Trong đó, A (hk ), B ( + ) , D( + ) , E( + ) ( A (hk ), B ( − ) , D( − ) , E( − ) ) được + − ˆ −α mn w m =u n + k mn p,n , α mn =ˆ mn = ˆ iωρ L k ˆ α nm cho trong (6) với các thành phần λ, μ được thay tương ứng ω (2) bằng λ ( + ) , µ ( + ) ( λ ( − ) , µ ( − ) ) . Giả sử Ω , Ω gắn chặt với nhau. Khi đó các điều kiện Xét trạng thái biến dạng phẳng suy rộng, các thành phần + − chuyển dịch và áp suất không phụ thuộc vào x 2 . liên tục trên biên phân chia L phải thỏa mãn: p=p(x1 ,x 3 ), u m =u m (x1 ,x 3 ), m=1,2,3. (3) [v] = 0, L Thay (2) vào phương trình thứ nhất và thứ tư trong (1) và chú ý đến (3), ta được bốn phương trình bốn ẩn số [(A v + A 11 ,1 12 v ,2 + A13 v ,3 + A14 v)n1 u1 , u 2 , u 3 , p : +( A v + A v ,2 + A 33 v ,3 + A 34 v)n3 ]L = 0 ˆ ˆ σ mn,n + ω 2 ρ mn u n + α mn p,n + f m = 0, m = 1, 2,3 31 ,1 32 (9) với nk là thành phần theo phương L của véctơ pháp tuyến [k (p ˆ mn ,n − ω 2 ρ L u n )],m =ωα mn u m,n + iωβ p. i (4) đơn vị của đường cong L và [ϕ ]L là bước nhảy của φ qua L. Các phương trình (4) được viết dưới dạng ma trận như sau: Theo Bensoussan và các cộng sự, giả sử v (x1 , x 2 , x 3 ,  ) = U(x1 , y, x 2 , x 3 ,  ) và U được biểu diễn như (A v + A v + A v) 11 ,1 13 ,3 14 ,1 sau [4]: + (A v + A v + A v) 31 ,1 33 ,3 34 ,3 + Bv ,1 + Dv ,3 + Ev + F = 0. U =  ( N1V + N11V,1 + N13 V,3 ) V+ (5) = [u1 u 2 u 3 p]T , F [f1 f 2 f 3 0]T và các ma trận trong đó v = +  2 ( N 2 V + N 21V,1 + N 23 V,3 + N 211V,11 + N 213 V,13 + N 233 V,33 ) A hk , B, D, E có dạng: + O( 3 ) (10) c11 0 0 0 0 0 c13 0 0 c 0 0 = 66 0 ,A  0 0 0 , trong đó V = V ( x1 , x3 , t ) (không phụ thuộc vào y) và A11 0 0 c55 0  13 c55 0 0 0 N1 ; N11 ; N13 ; N 2 ; N 21 ; N 23 ; N 211 ; N 213 ; N 233 là ma trận 2 × 2 của     0 0 ˆ 0 k11  0 0 0 0 các hàm y và x3 (không phụ thuộc vào x1), và chúng là các    0 0 0 −α11  0 0 c55 0 hàm tuần hoàn với chu kỳ 1. Các ma trận N1 ;.....N 233 cần  0 0 0 0  0 0 0 0 được xác định sao cho phương trình (5) và điều kiện liên tục A14 =  , A 31 , (9) được thỏa mãn.  0 0 0 0  c13 0 0 0     Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa [4], ta thu được ˆ iωα11 0 0 0  0 0 0 0 các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng ma trận c55 0 0 0  0 0 0 0  như sau: 0 c 0   0  , A = 0 0 0 0  Với x3 > 0 : A 33 =  , 44 0 0 c33 0  34 0 0 0 −α 33       0 0 ˆ 0 k 33  0 0 ˆ iωα 33 0    (6) 32 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C & XŸY D¼NG
( A ( + ) V, kh + A14 ) + B( + ) V,1 hk (+ ) ( 〈 (λ + 2 µ ) −1〉 −1V1,11 + 〈 µ −1〉 −1V1,3 ) ,3 (34 ) + A ( + ) + D( + ) V,3 + E( + ) V + F ( + ) = 0 (11) ( ˆ− ) +ω 2 〈 ρ 〉 − iω 〈 k111〉 −1 〈 ρ L 〉 2 V1 + 〈 (λ + 2 µ ) −1〉 −1 〈 λ +λ2µ 〉V 3,13 Với − A < x3 < 0 : 〈 A11 〉 −1 V,11 −1 + 〈 A11 〉 −1 〈 A11 A13 〉 V,13 −1 −1 + [〈 A31A11 〉〈 A11 〉 −1 V,1 ,3 −1 −1 ] ( + 〈 µ −1〉 −1V3,1 ) − (〈(λ + 2µ ) ,3 −1 −1 〉 〈 λ α 2µ 〉 − iω 〈kˆ + 11 −1 −1 11 〉 〈 ρ L 〉 )P ,1 +〈 f1〉 = 0, +[(〈 A 〉 + 〈 A A 〉〈 A 〉 〈 A A 〉 − 〈 A A A −1 −1 −1 −1 −1 〉)V ] ( ) ( ) 33 31 11 11 11 13 31 11 13 ,3 ,3 〈 µ −1〉 −1V2,11 + + 〈 µ 〉V2,3 ˆ 2 + ω 2 〈 ρ 〉 − iω 〈 k11ρ L 〉 V2 + 〈 f 2 〉 =0, +[〈 BA 〉〈 A 〉 + 〈 A 〉 〈 A A 〉]V −1 −1 −1 −1 −1 −1 ,3 11 11 11 11 14 ,1 +[〈 D〉 + 〈 BA 〉〈 A 〉 〈 A A 〉 − 〈 BA A 〉]V −1 11 −1 −1 11 −1 11 13 −1 11 13 ,3 ( 〈 µ −1〉 −1V1,13 + 〈 (λ + 2 µ ) −1〉 −1 〈 λ +λ2µ 〉V ) 1,1 ,3 + 〈 µ −1〉 −1V3,11 +[(〈 A A 〉〈 A 〉 〈 A A 〉 − 〈 A A A 〉 + 〈 A 〉)V] 31 −1 11 −1 −1 11 −1 11 14 31 −1 11 14 34 ,3 +{(〈(λ + 2µ ) 〉 〈 λ +λ2µ 〉 + 〈((λ + 2µ ) − λ ) / (λ + 2µ )〉)V } −1 −1 2 2 2 3,3 ,3 +[〈 E〉 + 〈 BA 〉〈 A 〉 〈 A A 〉 − 〈 BA A 〉]V + 〈 F〉 = 0 −1 −1 −1 −1 −1 +ω (〈 ρ 〉 − iω 〈 k ρ 〉)V + iω 〈 k ρ 〉 P 11 11 11 14 11 14 2 ˆ ˆ 2 11 L 3 11 L ,3 (12) +{(〈 〉 − 〈(λ + 2µ ) 〉 〈 λ +λ2µ 〉〈 λ α 2µ 〉 − 〈α 〉)P} α λ Với x3 0 :  2 (−) ˆ(−) ( (−) 2 (−) ˆ(−) − ω ρ L k11 + iωα11 V1,1 − ω ρ L k11 + iωα11 V3,3 (−) ) ( ) (  ) 1,11 1,33 ( L ˆ  λ ( + ) + 2 µ ( + ) V + µ ( + )V + ω 2 ρ ( + ) − iωρ ( + )2 k ( + ) V 11 1 )  (−) ˆ ˆ(−) + k11 P,11 + k11 P,33 − iωβ P = (−) 0.  + ( λ + µ )V3,13 − (α11 − iωρ L k11 ) P,1 + f1 =  (+) (+) (+) (+) ˆ(+) (+) 0,  (19)  µ ( + )V2,11 + µ ( + )V2,33 + ω 2 ( ρ ( + ) − iωρ L+ )2 k11 ) )V2 + f 2( + ) = ( ˆ(+ 0  trong đó V1, V2, V3 và P là các thành phần của véctơ V. ( λ + µ )V1,13 + µ V3,11 + ( λ + 2µ )V3,33  (+) (+) (+) (+) (+) Điều kiện liên tục:  ˆ Các đại lượng V , V , V , P, σ , σ , σ , w liên tục trên 0 0 0 0 +ω 2 ( ρ ( + ) − iωρ ( + )2 k ( + ) )V3 − (α11( + ) − iωρ ( + ) k ( + ) ) P,3 + f ( + ) = ˆ ˆ 0, 1 2 3 13 23 33 3  L 11 L 11 3 − A, các đường: x3 =x3 = đó: 0 trong − (ω ρ L k11 + iωα11 )V1,1 − (ω ρ L k11 + iωα11 )V3,3 σ13 =55 〉 −1(V1,3 + V3,1), σ 23 =44 〉V2,3 ,  2 (+) ˆ(+) (+) 2 (+) ˆ(+) (+) 0 〈 c −1 0 〈c  (+) ˆ ˆ(+) (+) + k11 P,11 + k11 P,33 − iωβ P =  0. (17) 〈 c 〉V + (〈c 〉 〈 c 〉 σ 33 =11 〉 −1 0 〈 c −1 c 13 c 1,1 −1 −1 11 13 2 Với − A < x3 < 0 : 11 11 +〈 (c c − c ) / c 〉)V 11 33 2 13 11 3,3 +(〈 〉 − 〈c 〉 〈 c 〉〈α 〉 − 〈α 〉)P, α c11 13 −1 −1 13 11 11 33 c 11 c c 11 11 ˆ0 ˆ 2 ˆ w3 = −ω 〈 k33 ρ L 〉V3 + 〈 k33 〉 P,3 (20) (Xem tiếp trang 67) S¬ 47 - 2023 33
4. Kết luận Bài báo cung cấp các biểu thức về các đặc trưng của Như vậy bài báo đã trình bày tổng quan về dữ liệu đặc đất nền là các giá trị tham khảo rất hữu ích trong nghiên cứu trưng đất nền, mối liên hệ giữa các kết quả thí nghiệm trong cũng như thiết kế tính toán bài toán công trình ngầm./. phòng và hiện trường liên hệ với các tham số được sử dụng trong tính toán công trình ngầm chịu tải động đất. T¿i lièu tham khÀo 5. Schmertman, J. H. (1975), Measurement of In-Situ Shear Strength. Proceeding. ASCE Specialty Conference on In-Situ Measurement 1. Duncan J. M. and Chang C. Y. (1970), Nonlinear Analysis of Stress of Soil Propertyes, Vol. 2, Raleigh, pp. 57-138. and Strain in Soils. Journal of the Soil Mechanics and Foundation Division, ASCE, Vol. 96, pp 1629-1653. 6. Terzaghi, K. and Peck, R. B. (1967), Soil Mechanics in Engineering Pratice, 2nd Ed., Jonh Wiley and Sons, New York. 2. Kempfert, H.and Gebreselassie, B. (2006),Excavation and 729p. Foundation in Soft Soils. Springer. 7. PGS. TS. Vương Văn Thành, Bài giảng cơ học đất. Trường đại học 3. Kulhawy F. H., and Mayne, P. W. (1990), Manual on Estimating Kiến trúc Hà Nội Soil Properties for Foundation Design. EPRI EL-6800 Project 1493-6, Final Report. 4. Peck, R. B., Hanson, W. E., and Thornburn, T. H. (1974), Foundation Engineering. 2nd Ed., Jonh Wiley and Sons, New York. 514p. Đào tạo kiến trúc sư trong bối cảnh... (Tiếp theo trang 21) cũng như thẩm mỹ của mỗi cá nhân đã có những công cụ hỗ toàn diện với các triết lý, quan điểm và giải pháp sáng tạo trợ đắc lực. Nhưng như vậy là chưa đủ để tham gia vào cuộc đột phá mới có thể tạo ra một môi trường đào tạo mới – môi cách mạng 4.0 toàn cầu. Cần phải phát triển có hệ thống, trường đào tạo số hóa./. T¿i lièu tham khÀo 6. Hội thảo quốc tế. Cuộc cách mạng công nghiệp 4.0 và ứng dụng tại các trường đại học, cao đẳng Việt Nam, 24-25.2.2017, Hutech, 1. Schwab, Klaus. The Fourth Industrial Revolution: what it means, TPHCM. how to respond, World Economic Forum. Retrieved 2017-06-29. 7. Hội thảo Đào tạo nhân lực chất lượng cao thời kỳ cách mạng công 2. Trần Việt Dũng, Quản trị nhân sự doanh nghiệp ở Việt Nam thời kỳ nghiệp 4.0, Đại học Công nghiệp Hà Nội, 2017. Cách mạng công nghiệp 4.0, 2019 8. Parag Diwan, Is Education 4.0 an imperative for success of 4th 3. http://www.top10onlinecolleges.org/work-skills-2020/ Industrial Revolution?, Davos, 2017 4. Canberra Accord on Architecture Education 5. https://www.weforum.org/agenda/2016/01/the-10-skills-you-need- to-thrive-in-the-fourth-industrial-revolution/ Đào tạo kiến trúc sư trong bối cảnh... (Tiếp theo trang 33) Nhận xét: hóa dạng hiện đối với biên phân chia độ nhám cao giữa hai (+) (−) Nếu hai miền Ω + , Ω − giống nhau = φ= φ , thì các φ miền đàn hồi xốp đẳng hướng. Các phương trình thuần nhất phương trình (17), (18), (19) trùng nhau. hóa dạng hiện và các điều kiện liên tục tương ứng được viết cụ thể dưới dạng thành phần. Các phương trình thuần nhất 4. Kết luận hóa dạng hiện thu được rất thuận tiện để nghiên cứu bài Trong bài báo này, tác giả đã sử dụng phương pháp toán phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên phân chia độ thuần nhất hóa để thu được các phương trình thuần nhất nhám cao trong môi trường đàn hồi xốp đẳng hướng./. T¿i lièu tham khÀo 4. Vinh P.C., Tung D.X. (2010), “Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough 1. Kohler W., Papanicolaou G.C., Varadhan S. (1981), “Boundary interfaces”, Mechanics Research Communications 37, pp. 285- and interface problems in regions with very rough boundaries. 288. Multiple Scattering and Waves in Random Media”, North-Holland, Ambsterdam, pp. 165-197. 5. Biot M.A. (1956), “Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low-frequency range”, J. Acoust. 2. Nevard J., Keller J.B. (1997), “Homogenization of rough Soc. Am 28, pp. 168-191. boundaries and interfaces”, SIAM J Appl Math 57, pp. 1660-1686. 6. Auriault J.L., (1980), “Dynamic behavior of a porous medium 3. Gilbert R., Ou M., (2003) “Acoustic wave propagation in a saturated by a Newtonian fluid”,Int J Engng Sci 18, pp. 775-785. composite of two different poroelastic materials with a very rough periodic interface: A homogenizationapproach”, International Journal for Multiscale Computtational Engineering 1, pp. 431- 440. S¬ 47 - 2023 67