BË GI(cid:129)O DÖC V€ (cid:30)€O T„O
TR×ÍNG (cid:30)„I HÅC QUY NHÌN
D× THÀ HÁA BœNH
(cid:30)A THÙC MA TRŠN: SÜ PH…N BÈ GI(cid:129) TRÀ RI–NG,
C(cid:129)C (cid:30)ÀNH LÞ BIšU DI™N D×ÌNG V€ MËT SÈ V‡N
(cid:30)— LI–N QUAN
CHUY–N NG€NH: (cid:30)„I SÈ V€ LÞ THUY˜T SÈ
M‚ SÈ: 9460104
TÂM T(cid:141)T LUŠN (cid:129)N TI˜N Sž TO(cid:129)N HÅC
BœNH (cid:30)ÀNH - N‹M 2018
Cæng tr¼nh (cid:31)÷ñ ho n th nh t¤i:
Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy Nhìn
Tªp thº h÷îng d¨n:
TS. L¶ Cæng Tr¼nh
TS. (cid:30)inh Trung Háa
Ph£n bi»n 1: PGS. TS. Ph¤m Ti¸n Sìn - Tr÷íng (cid:30)¤i hå (cid:30) L¤t
Ph£n bi»n 2: TS. Hç Minh To n - Vi»n To¡n hå (cid:21) Vi»n H n l¥m KHCN Vi»t Nam
Ph£n bi»n 3: TS. L¶ (cid:30)ù Thoang - Tr÷íng (cid:30)¤i hå Phó Y¶n
Luªn ¡n s³ (cid:31)÷ñ b£o v» tr÷î Hëi (cid:31)çng (cid:31)¡nh gi¡ luªn ¡n t¤i
Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy Nhìn v o ló 14 gií 00 ng y 19 th¡ng 01 n«m 2019
Câ thº t¼m hiºu luªn ¡n t¤i:
-Th÷ vi»n Què gia Vi»t Nam
-Trung t¥m thæng tin t÷ li»u Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy Nhìn
Líi am (cid:31)oan
Luªn ¡n n y (cid:31)÷ñ ho n th nh t¤i Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n õa TS. L¶ Cæng
Tr¼nh v TS. (cid:30)inh Trung Háa. Tæi xin am (cid:31)oan (cid:31)¥y l æng tr¼nh nghi¶n ùu õa tæi. C¡ k¸t qu£ trong
Luªn ¡n l trung thü , (cid:31)÷ñ ¡ (cid:31)çng t¡ gi£ ho ph²p sû döng v h÷a tøng (cid:31)÷ñ ai æng bè tr÷î (cid:31)â.
T¡ gi£
D÷ Thà Háa B¼nh
Líi £m ìn
Luªn ¡n n y (cid:31)÷ñ ho n th nh trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu t¤i Khoa To¡n, Tr÷íng (cid:30)¤i hå
Quy Nhìn d÷îi sü h÷îng d¨n õa Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh v Ti¸n s¾ (cid:30)inh Trung Háa. Tr÷î ti¶n, tæi xin
b y tä láng bi¸t ìn s¥u s (cid:31)¸n Ti¸n s¾ L¶ Cæng Tr¼nh. Thy (cid:31)¢ h¿ b£o tªn t¼nh v h÷îng d¨n tæi tø
nhúng b÷î (cid:31)u l m nghi¶n ùu. Thy t¤o ho tæi mët mæi tr÷íng hå tªp v nghi¶n ùu ði mð, th¥n
thi»n nh÷ng ng r§t nghi¶m tó . Thy luæn (cid:31)ëng vi¶n, gióp (cid:31)ï (cid:31)º tæi tøng b÷î ti¸n bë trong nghi¶n
ùu khoa hå . (cid:30)÷ñ hå tªp, l m vi» vîi thy l (cid:31)i·u may m n v h¤nh phó (cid:31)èi vîi tæi.
Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s (cid:31)¸n Ti¸n s¾ (cid:30)inh Trung Háa. Thy luæn (cid:31)ëng vi¶n, kh½ h l», gióp
(cid:31)ï v theo s¡t qu¡ tr¼nh nghi¶n ùu õa tæi. M° dò thy khæng ð trong n÷î , nh÷ng thy v¨n th÷íng
xuy¶n trao (cid:31)êi khoa hå vîi tæi. C¡ hëi th£o do thy tê hù (cid:31)¢ gióp tæi tr÷ðng th nh r§t nhi·u £ v·
khoa hå l¨n uë sèng.
Tæi xin £m ìn Ti¸n s¾ Hç Minh To n. C£m ìn anh v¼ nhúng buêi th£o luªn r§t húu ½ h v· ¡ v§n
(cid:31)· li¶n quan (cid:31)¸n (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng v B i to¡n mæmen.
Tæi xin gûi líi £m ìn h¥n th nh (cid:31)¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy Nhìn, Pháng (cid:30) o t¤o
sau (cid:31)¤i hå (cid:31)¢ t¤o (cid:31)i·u ki»n tèt nh§t (cid:31)º tæi hå tªp t¤i tr÷íng. (cid:30)° bi»t, tæi xin gûi líi £m ìn (cid:31)¸n Ban
Chõ nhi»m Khoa To¡n òng ¡ thy gi¡o, æ gi¡o trong Khoa (cid:31)¢ t¤o ra mët mæi tr÷íng hå tªp th¥n
thi»n, ði mð v r§t huy¶n nghi»p. (cid:30)i·u n y gióp tæi â (cid:31)ëng lü (cid:31)º ph¡t triºn b£n th¥n.
Tæi xin gûi líi £m ìn (cid:31)¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng Cao (cid:31)¯ng S÷ ph¤m H T¥y, Pháng Tê hù ¡n bë
(cid:31)¢ t¤o (cid:31)i·u ki»n tèt nh§t ho tæi (cid:31)i hå . Tæi ng xin gûi líi £m ìn (cid:31)¸n Ban Chõ nhi»m Khoa Tü nhi¶n
v ¡ b¤n b± (cid:31)çng nghi»p (cid:31)¢ luæn õng hë, (cid:31)ëng vi¶n, hia s´ ¡ æng vi» (cid:31)º tæi â thíi gian tªp trung
nghi¶n ùu t¤i Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy Nhìn.
Tæi xin £m ìn ¡ b¤n nghi¶n ùu sinh t¤i Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy Nhìn (cid:31)¢ luæn (cid:31)ëng vi¶n, hia s´ gióp
(cid:31)ï tæi trong qu¡ tr¼nh hå tªp v nghi¶n ùu.
Tæi xin gûi líi bi¸t ìn (cid:31)¸n gia (cid:31)¼nh hai b¶n nëi ngo¤i. Nhúng ng÷íi th¥n (cid:31)¢ luæn õng hë, (cid:31)ëng vi¶n
tæi. Hå l hé düa tinh thn vúng h (cid:31)º tæi y¶n t¥m hå tªp v nghi¶n ùu khi xa nh . (cid:30)° bi»t, tæi
xin gûi líi bi¸t ìn s¥u s (cid:31)¸n ng÷íi mµ th¥n y¶u õa m¼nh. C£m ìn sü hy sinh ao £ ng nh÷ t¼nh y¶u
væ h¤n õa mµ d nh ho on. T¼nh th÷ìng bao la õa mµ luæn õ §m tr¡i tim on.
Cuèi òng, tæi xin d nh t¼nh £m (cid:31)° bi»t (cid:31)¸n hçng v hai on th¥n y¶u õa m¼nh. C£m ìn anh v
hai on (cid:31)¢ (cid:31)¸n b¶n (cid:31)íi em, gióp (cid:31)ï, (cid:31)ëng vi¶n em. Gia (cid:31)¼nh luæn l nìi b¼nh y¶n õa em.
i
MÖC LÖC
Mð (cid:31)u
1
Ch÷ìng 1. Mët sè k¸t qu£ hu©n bà
8
1.1. Sü ph¥n bè nghi»m õa ¡ (cid:31)a thù mët bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. B i to¡n thù 17 õa Hilbert v mët sè (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1. B i to¡n thù 17 õa Hilbert v (cid:31)ành lþ Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2. Mët sè (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. B i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù v b i to¡n mæmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. B i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. B i to¡n mæmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. H¼nh hå (cid:31)¤i sè thü ho (cid:31)a thù ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5. T½nh x¡ (cid:31)ành d÷ìng õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn v thun nh§t hâa õa hóng . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6. Chu©n ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Ch÷ìng 2. Sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn
14
2.1. D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Enestr(cid:4)om-Kakeya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. C¡ (cid:31)ành lþ d¤ng Cau hy ho (cid:31)a thù ma trªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. So s¡nh ¡ h°n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Ch÷ìng 3. C¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù ma trªn
18
3.1. D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Putinar-Vasiles u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2. D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Di kinson-Povh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3. D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Handelman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1. D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Handelman tr¶n n-(cid:31)ìn h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
i
3.3.2. D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Handelman tr¶n ¡ (cid:31)a di»n lçi, ompa t . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.3. Mët thuªt to¡n t¼m biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù ma trªn d÷ìng
tr¶n mët (cid:31)a di»n lçi ompa t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
K¸t luªn
23
T i li»u tham kh£o
24
Danh mö ¡ æng tr¼nh õa t¡ gi£ li¶n quan (cid:31)¸n Luªn ¡n
ii
Mð (cid:31)u
Kþ hi»u K[X] := K[X1,
, Xn] l v nh ¡ (cid:31)a thù n bi¸n X1, · · · · · ·
di¹n d÷îi d¤ng mët (cid:31)a thù n ©n X1,
Mt(K), trªn A , Xn vîi h» sè trong K. Kþ hi»u Mt(K[X]) ln l÷ñt l v nh ¡ ma trªn vuæng §p t vîi ¡ phn tû trong K v K[X]. Méi ma ∈ Mt(K[X]) (cid:31)÷ñ gåi l mët ma trªn (cid:31)a thù ho° mët (cid:31)a thù ma trªn, bði v¼ nâ â thº biºu
, Xn vîi h» sè tr¶n Mt(K) nh÷ sau: · · ·
d
A = AαX α,
, |
Nn , αn) := α1 + X|α|=0 + αn , X α := X α1 1 α | · · · · · · · · · ∈
n , Aα ∈ Mt(K), d l bª ao X αn trong (cid:31)â, α = (α1, nh§t õa ¡ (cid:31)ìn thù trong A. Do (cid:31)â, (cid:31)º thèng nh§t ¡ h gåi trong to n Luªn ¡n, méi ma trªn trong Mt(K[X]) (cid:31)÷ñ gåi l mët (cid:31)a thù ma trªn.
(cid:30)èi t÷ñng nghi¶n ùu h½nh õa Luªn ¡n l ¡ (cid:31)a thù ma trªn, v (cid:31)èi vîi méi tr÷íng hñp õa sè
bi¸n, hóng tæi quan t¥m (cid:31)¸n ¡ b i to¡n kh¡ nhau. Do (cid:31)â, (cid:31)º thuªn ti»n ho ng÷íi (cid:31)å , hóng tæi t¡ h
v tr¼nh b y ¡ b i to¡n li¶n quan trong hai phn ri¶ng bi»t nh÷ sau.
1. C¡ (cid:31)a thù ma trªn mët bi¸n
Trong phn n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n (cid:31)· li¶n quan (cid:31)¸n ¡ (cid:31)a thù ma trªn mët bi¸n, tù l
x²t ¡ (cid:31)a thù ma trªn â d¤ng
+ A1z + A0, P (z) = Adzd + · · ·
trong (cid:31)â, z l bi¸n sè v Ai ∈ Mt(C), õa (cid:31)a thù (cid:31)° tr÷ng λIt −
∀ A õa mët ma trªn A
N¸u Ad 6
thù ma trªn moni .
i = 0, ..., d. C¡ (cid:31)a thù ma trªn mët bi¸n l sü mð rëng tü nhi¶n ∈ Mt(C), trong (cid:31)â It l ma trªn (cid:31)ìn và trong Mt(C). = 0, th¼ P (z) (cid:31)÷ñ gåi l mët (cid:31)a thù ma trªn bª d. Khi Ad = It , P (z) (cid:31)÷ñ gåi l mët (cid:31)a
N¸u tçn t¤i mët v² tì kh¡ khæng x
v λ ri¶ng õa P (z), v khi (cid:31)â x (cid:31)÷ñ gåi l mët v² tì ri¶ng õa P (z) t÷ìng ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ.
Nh÷ vªy, méi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) l mët nghi»m õa (cid:31)a thù (cid:31)° tr÷ng det(P (z)). Tªp hñp ¡ gi¡
trà ri¶ng õa P (z) (cid:31)÷ñ kþ hi»u bði σ(P (z)) v (cid:31)÷ñ gåi l phê õa (cid:31)a thù ma trªn P (z).
Ct C sao ho P (λ)x = 0, th¼ λ (cid:31)÷ñ gåi l mët gi¡ trà ∈ ∈
mët v² tì kh¡ khæng x
B i to¡n gi¡ trà ri¶ng (cid:31)a thù (Polynomial Eigenvalue Problem - PEP) l t¼m mët gi¡ trà ri¶ng λ v sao ho P (λ)x = 0. Trong tr÷íng hñp d = 1 hóng ta â b i to¡n gi¡ trà
ri¶ng têng qu¡t
Ct ∈
Hìn núa, n¸u A1 = It th¼ hóng ta â b i to¡n gi¡ trà ri¶ng hu©n
Ax = λBx.
B i to¡n gi¡ trà ri¶ng bª hai (Quadrati Eigenvalue Problem - QEP) t÷ìng ùng vîi tr÷íng hñp d = 2.
(cid:30)a thù ma trªn mët bi¸n â nhi·u ùng döng trong ¡ l¾nh vü nh÷ ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, lþ thuy¸t
h» thèng, kÿ thuªt Wiener-Hopf, ì hå v lþ thuy¸t rung, gi£i t½ h sè, ... Hai æng tr¼nh (cid:31)u ti¶n vi¸t
1
Ax = λx.
(cid:31)y (cid:31)õ nh§t v· (cid:31)a thù ma trªn l õa Frazer, Dun an v Collar [15℄ n«m 1955 v Lan aster [26℄ n«m
1966.
B¶n ¤nh (cid:31)â, b i to¡n gi¡ trà ri¶ng QEP â nhi·u ùng döng v o khoa hå v kÿ thuªt. Mët têng quan
v· nhúng ùng döng õa QEP (cid:31)÷ñ tr¼nh b y trong uèn s¡ h õa Gohberg, Lan aster v Rodman [16℄,
Hamarling, Munro v Tisseur [18℄ v Zeng v Su [56℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra nhúng thuªt to¡n (cid:31)º gi£i b i to¡n QEP.
B i to¡n (cid:31)u ti¶n m hóng tæi tªp trung nghi¶n ùu trong Luªn ¡n nh÷ sau.
B i to¡n 1. Cho P (z) = Adzd +
sao ho
+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn. Ch¿ ra ¡ sè m v M "(cid:31)õ tèt" · · ·
m λ M, λ σ(P (z)), | ≤ ≤ | ∀
Trong tr÷íng hñp t = 1, tù l tr÷íng hñp õa ¡ (cid:31)a thù mët bi¸n vîi h» sè phù , B i to¡n n y (cid:31)¢
(cid:31)÷ñ nghi¶n ùu bði nhi·u nh to¡n hå , â thº kº ra (cid:31)¥y ¡ k¸t qu£ õa Cau hy [31, 33℄, Enestr(cid:4)om v
Kakeya [31, 33℄, Joyal, Labelle v Rahman [24℄, Datt v Govil [8℄, ...
Trong tr÷íng hñp t > 1, vi» t¼m ¡ h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn P (z) theo hu©n
(to¡n tû) õa ¡ ma trªn h» sè (cid:31)¢ (cid:31)÷ñ thü hi»n v tr¼nh b y trong b i b¡o õa Higham v Tisseur
[22℄. Mö (cid:31)½ h h½nh (cid:31)u ti¶n õa hóng tæi trong Luªn ¡n l gi£i quy¸t B i to¡n 1, (cid:31)÷a ra ¡ h°n mîi
"(cid:31)õ tèt" ho gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn, tø (cid:31)â so s¡nh vîi ¡ h°n (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra bði Higham v
Tisseur.
2. C¡ (cid:31)a thù ma trªn nhi·u bi¸n
Trong phn n y hóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n (cid:31)· li¶n quan (cid:31)¸n ¡ (cid:31)a thù ma trªn â sè bi¸n lîn hìn
1. Tr÷î ti¶n, x²t tr÷íng hñp t = 1, tù l x²t ¡ (cid:31)a thù â sè bi¸n lîn hìn mët.
Cho f
∈ tù l h¿ ra ¡ h°n "(cid:31)õ tèt" ho gi¡ trà ri¶ng õa P (z).
R[X]. Kþ hi»u R[X] := R[X1, ..., Xn], G = ∈ g1, ..., gm} ⊆ {
n
tªp hñp ¡ têng b¼nh ph÷ìng õa ¡ (cid:31)a thù trong R[X];
N , R[X], n R[X]2 = f 2 fi ∈ i | ∈ ) ( Xi=1 X
tªp nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n trong Rn
x¡ (cid:31)ành bði G;
Rn KG = 0, ..., gm(x) x { ∈ g1(x) | ≥ , 0 } ≥
m
R[X]2, i = 0, ..., m MG = , } tigi| ti ∈ t0 + { X
Xi=1 mæ(cid:31)un bª hai nhä nh§t tr¶n R[X] hùa G;
R[X]2 TG = tσgσ1
1 ...gσm m |
ti·n thù tü nhä nh§t tr¶n R[X] hùa G.
tσ ∈ , } { Xσ=(σ1,...,σm)∈{0,1}m X
Chó þ MG ⊆
2
R[X]2. TG , v khi G = ∅ ta â K∅ = Rn, M∅ = T∅ = P
D¹ th§y n¸u f
l¤i õa (cid:31)i·u n y â (cid:31)óng khæng? Tù l ,
TG (hay MG) th¼ f 0 tr¶n KG . Do (cid:31)â, mët ¥u häi tü nhi¶n (cid:31)°t ra l hi·u ng÷ñ ∈ ≥
N¸u ¥u tr£ líi l (cid:31)óng, hóng ta â (cid:31)÷ñ mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng (Positivstel lensatz), hay (cid:30)ành lþ
biºu di¹n khæng ¥m (Ni htnegativstel lensatz). Trong mët sè t i li»u ( h¯ng h¤n, [32℄), ¡ t¡ gi£ sû döng
thuªt ngú hung l "Positivstellensatz". Do (cid:31)â, trong to n bë luªn v«n hóng tæi thèng nh§t dòng thuªt
ngú Positivstel lensatz ((cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng).
Trong tr÷íng hñp (cid:31)° bi»t, G =
f f 0 tr¶n KG = TG (hay MG)? ≥ ⇒ ∈
C¥u tr£ líi ho ¥u häi n y (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra bði Hilbert (1888), h¿ ra r¬ng ¥u häi tr¶n h¿ (cid:31)óng trong ba
tr÷íng hñp (cid:31)° bi»t õa sè bi¸n v bª õa f . Sau (cid:31)â, t¤i (cid:30)¤i hëi To¡n hå th¸ giîi tê hù t¤i Paris n«m
1900, Hilbert (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët danh s¡ h gçm 23 "B i to¡n th¸ k(cid:27)", trong sè (cid:31)â, B i to¡n thù 17 trong
danh s¡ h n y (cid:31)÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:
B i to¡n thù 17 õa Hilbert: Cho f
f f ∅, ta â ¥u häi: 0 tr¶n Rn = R[X]2? ≥ ⇒ ∈ X
R[X]. Kþ hi»u R(X) l tr÷íng ¡ th÷ìng õa v nh (cid:31)a thù ∈ R[X]. Kþ hi»u
k
2
?
N¸u f
Vi» nghi¶n ùu ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng (cid:31)âng vai trá quan trång trong b i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù
v b i to¡n mæmen. Cö thº hìn, b i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù l b i to¡n t¼m
(0.1)
, k . = 0, i = 1, R(X)2 = k | ∈ N, fi, gi ∈ R[X], gi 6 · · · ) ( fi gi (cid:19) Xi=1 (cid:18) X , â suy ra (cid:31)÷ñ hay khæng f 0 tr¶n Rn R(X)2 ≥ ∈ P
, b i to¡n tr¶n (cid:31)÷ñ gåi l
vîi f
f (x), f ∗ = inf x∈KG
b i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù khæng r ng buë .
B i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù (cid:31)÷ñ nhi·u nh nghi¶n ùu quan t¥m tø ¡ l¾nh vü kh¡ nhau nh÷ (cid:31)¤i sè
thü , quy ho¤ h nûa x¡ (cid:31)ành v lþ thuy¸t to¡n tû. Trong né lü gi£m bît (cid:31)a thù nhi·u bi¸n, Lasserre
[27℄ l ng÷íi (cid:31)u ti¶n (cid:31)¢ ¡p döng ¡ k¸t qu£ (cid:31)¤i sè thü gn (cid:31)¥y õa Putinar [39℄ (cid:31)º thi¸t lªp mët d¢y
¡ nîi läng hëi tö (cid:31)¸n gi¡ trà tèi ÷u õa mët b i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù . Sau (cid:31)¥y hóng tæi minh håa rã hìn
v· ùng döng õa ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong vi» gi£i quy¸t b i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù (xem, h¯ng
h¤n, [28℄).
Biºu thù (0.1) â thº vi¸t l¤i d÷îi d¤ng
R[X], G v KG x¡ (cid:31)ành nh÷ tr¶n. Trong tr÷íng hñp G = ∈ , KG = Rn ∅
f (x), x f ∗ = inf x∈KG λ f (x) = sup { λ | ≤ KG} ∈
λ 0, x − ∈ ≥ λ > 0, x λ = sup { λ = sup { f (x) | f (x) | − ∈
Nh÷ th¸, vi» t¼m f ∗ λ khæng ¥m (ho° d÷ìng) tr¶n KG . (cid:30)º gi£i quy¸t b i to¡n khâ n y, mët trong nhúng þ t÷ðng l thay th¸ (cid:31)i·u ki»n khæng ¥m bði
3
KG} . KG} (cid:31)÷ñ huyºn sang t¼m supremum õa ¡ sè λ sao ho f −
mët (cid:31)i·u ki»n n o (cid:31)â (cid:31)ìn gi£n hìn, trong (cid:31)â â hùa ¡ têng b¼nh ph÷ìng, (cid:31)º â thº ti¸p ªn b¬ng ¡ h
sû döng Quy ho¤ h nûa x¡ (cid:31)ành (SDP).
Vîi þ t÷ðng (cid:31)â, mët trong nhúng ¡ h (cid:31)º nîi läng (cid:31)i·u ki»n "f
d÷îi d¤ng
λ λ 0 tr¶n KG" l x²t biºu di¹n f − ≥ −
m
. Tù l , nîi läng (cid:31)i·u ki»n "f
f tigi, λ = t0 + −
trong (cid:31)â ti ∈
d¨n (cid:31)¸n vi» x²t b i to¡n
(0.2)
. Hìn núa, n¸u ta â mët (cid:30)ành lþ
.
Rã r ng, n¸u f biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù f
khæng d¨n (cid:31)¸n mët Quy ho¤ h nûa x¡ (cid:31)ành, bði v¼ hóng ta khæng h°n
Tuy nhi¶n vi» t¼m f sos,G
λ Xi=1 λ R[X]2 0 tr¶n KG " th nh "f MG ". (cid:30)i·u n y − ∈ − ≥ P λ f sos,G = sup λ { − ∈ λ f ∗ λ . MG} f | 0 tr¶n KG . Do (cid:31)â f sos,G MG th¼ f ≥ ≤ − ∈ − λ tr¶n KG th¼ f sos,G = f ∗ −
(cid:31)÷ñ bª õa ¡ (cid:31)a thù ti trong biºu di¹n õa f ta x²t ¡ sè nguy¶n k vîi
λ. (cid:30)º nhªn (cid:31)÷ñ mët Quy ho¤ h nûa x¡ (cid:31)ành, hóng −
X²t b i to¡n
2k max . deg(f ), deg(g1), . . . , deg(gm) } { ≥
m
(0.3)
(cid:31)÷ñ t½nh qua mët Quy ho¤ h nûa x¡ (cid:31)ành. Hìn núa,
Khi (cid:31)â f sos,G
2k R[X]2, deg(t0), deg(tigi) λ = t0 + f sos,G k tigi, ti ∈ . } ≤ λ = sup { f | − Xi=1 X
k
.
f sos,G f ∗ f sos,G k f sos,G k+1 ≤ ≤ ≤
v lim k→∞
Ti¸p theo hóng tæi giîi thi»u vai trá õa ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng trong vi» gi£i quy¸t b i to¡n
mæmen. D¤ng thù nh§t õa b i to¡n mæmen (cid:31)÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau.
= f sos,G f sos,G k
. Cho L : R[X1, ..., Xn]
B i to¡n mæmen (d¤ng 1). Cho K l mët tªp on (cid:31)âng trong Rn phi¸m h m tuy¸n t½nh. Häi li»u â tçn t¤i mët (cid:31)ë (cid:31)o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f
R l mët →
R[X1, ..., Xn], ∈ f dµ? L(f ) =
Haviland (1935, [20℄) (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët (cid:31)i·u ki»n n v (cid:31)õ ho sü tçn t¤i õa (cid:31)ë (cid:31)o d÷ìng µ, ö thº nh÷
sau.
(cid:30)ành lþ 1 (Haviland, [20℄). (cid:30)i·u ki»n n v (cid:31)õ (cid:31)º tçn t¤i mët (cid:31)ë (cid:31)o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f
ZK
R[X1, ..., Xn] ta â ∈
f dµ L(f ) =
l L(f )
ZK
â d¤ng K = KG , vîi G l mët tªp on húu h¤n n o (cid:31)â trong
v nh (cid:31)a thù R[X], mët d¤ng kh¡ õa b i to¡n mæmen (cid:31)÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau.
4
0 vîi måi f 0 tr¶n K . ≥ ≥ (cid:30)èi vîi ¡ tªp tªp on (cid:31)âng trong Rn
B i to¡n mæmen (d¤ng 2). Cho G = L(f )
R[X]; KG, TG (cid:31)÷ñ (cid:31)ành ngh¾a nh÷ tr¶n. N¸u g1, ..., gm} ⊆ { f 0, TG th¼ â tçn t¤i mët (cid:31)ë (cid:31)o Borel d÷ìng µ â gi¡ hùa trong KG sao ho ≥ ∀ ∈
f dµ L(f ) =
vîi måi f
ZKG
R[X] hay khæng?
(cid:31)÷ìng vîi nhau (qua (cid:30)ành lþ Haviland). .
C¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù (cid:31)¢ nhªn (cid:31)÷ñ nhi·u sü quan t¥m õa ¡ nh to¡n hå .
Krivine (1964) v Stengle (1974) [25, 54℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra biºu di¹n " â m¨u thù " ho ¡ (cid:31)a thù d÷ìng (t÷ìng
ùng, khæng ¥m, b¬ng khæng) tr¶n mët tªp nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n. Vi» t¼m ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng
"khæng m¨u thù " hi»n v¨n (cid:31)ang thu hót sü quan t¥m õa nhi·u ng÷íi.
N«m 1991, S hm(cid:4)udgen [46℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n tªp ompa t. Cö thº,
S hm(cid:4)udgen kh¯ng (cid:31)ành r¬ng: N¸u f > 0 tr¶n KG v KG l tªp ompa t th¼ f
∈ Chó þ r¬ng vîi f TG th¼ f ≥ ∈ 0 tr¶n KG . Do (cid:31)â b i to¡n mæmen d¤ng 2 y¸u hìn b i to¡n mæmen d¤ng 1. Tuy nhi¶n, n¸u hóng ta â mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n KG th¼ hai b i to¡n tr¶n t÷ìng
Mët tr÷íng hñp (cid:31)° bi»t õa (cid:30)ành lþ S hm(cid:4)udgen (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra tr÷î (cid:31)â bði Handelman [19℄, biºu di¹n
¡ (cid:31)a thù d÷ìng tr¶n mët (cid:31)a di»n lçi, ompa t.
TG . ∈
Vi» (cid:31)÷a ra mët (cid:31)i·u ki»n (cid:31)º (cid:31)£m b£o ¡ (cid:31)a thù d÷ìng tr¶n KG thuë v o MG khâ hìn so vîi thuë v o TG . Mët (cid:31)i·u ki»n nh÷ th¸ (cid:31)÷ñ Putinar [39℄ (cid:31)÷a ra n«m 1993, vîi (cid:31)i·u ki»n a simet õa mæ(cid:31)un bª hai MG . Nh l¤i, mët mæ(cid:31)un bª hai M trong v nh (cid:31)a thù R[X] (cid:31)÷ñ gåi l a simet n¸u tçn t¤i sè tü nhi¶n k
M . N sao ho k (X 2
1 + ... + X 2 n)
(cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar (cid:31)÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau: Gi£ sû MG a simet. Khi (cid:31)â, n¸u f > 0
tr¶n KG th¼ f
∈ ∈ −
Chó þ r¬ng, MG a simet th¼ TG a simet. Hìn núa, TG a simet t÷ìng (cid:31)÷ìng vîi KG ompa t. Hìn núa, n¸u f â nghi»m trong KG th¼ ¡ (cid:31)ành lþ õa S hm(cid:4)udgen v Putinar â thº khæng án (cid:31)óng. Do
(cid:31)â, S heiderer [42, 43℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët ti¶u hu©n Hessian (cid:31)º (cid:31)£m b£o ho ¡ (cid:31)a thù khæng ¥m (tù l
â nghi»m) tr¶n KG thuë v o TG (t÷ìng ùng, MG ) vîi (cid:31)i·u ki»n KG ompa t (t÷ìng ùng, MG a simet).
Trong tr÷íng hñp KG khæng ompa t, S hweighofer (2006, [50℄) kh¯ng (cid:31)ành r¬ng: Gi£ sû f
MG . ∈
∈
Nh l¤i r¬ng, tªp hñp
R[X] bà h°n tr¶n KG , v f h¿ â húu h¤n gi¡ trà ti»m ªn trong KG v to n bë (cid:31)·u d÷ìng. Khi (cid:31)â, n¸u f > 0 tr¶n KG th¼ f TG . ∈
l tªp ¡ gi¡ trà ti»m ªn õa f .
Pâlya [37℄ â k¸t qu£ sau (cid:31)¥y, biºu di¹n ¡ (cid:31)a thù d÷ìng tr¶n Rn
R y R∞(f, KG) := , f (xk) y { ∈ xk ∈ KG, xk → ∞ |∃ } →
, xn)
+ =
}, trong (cid:31)â Rn 0 +\{ (x1, { · · · ∈
0 }: Rn : xi ≥ Cho f l mët (cid:31)a thù thun nh§t. N¸u f > 0 tr¶n Rn } th¼ tçn t¤i mët sè tü nhi¶n N (cid:31)õ lîn sao ho 0 + \ {
N
n
(cid:31)a thù
f â t§t £ ¡ h» sè kh¡ khæng (cid:31)·u d÷ìng. Xi (cid:18) (cid:19)
i=1 P
5
N«m 1995, Rezni k (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng biºu di¹n th nh têng ¡ b¼nh ph÷ìng
ho ¡ (cid:31)a thù thun nh§t d÷ìng tr¶n Rn Rn
thun nh§t bª h®n vîi f (x) > 0,
x }. (cid:30)ành lþ Rezni k nâi r¬ng: Cho f l mët (cid:31)a thù 0 \ { }. Khi (cid:31)â, tçn t¤i mët sè tü nhi¶n N (cid:31)õ lîn sao ho 0 \ { ∀ ∈
N
n
.
f R[X]2 X 2 i ∈ (cid:19) (cid:18) P
i=1 P
Têng qu¡t ho k¸t qu£ õa Rezni k, Putinar v Vasiles u [40℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng
. Gn (cid:31)¥y, n«m 2015, Di kinson v Povh [10℄ (cid:31)¢ k¸t hñp
tr¶n mët tªp nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n trong Rn
(cid:30)ành lþ Pâlya v (cid:30)ành lþ Putinar-Vasiles u (cid:31)º (cid:31)÷a ra mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n ho ¡ (cid:31)a thù d÷ìng tr¶n
.
mët tªp on nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n trong Rn
Tr÷íng hñp t > 1, x²t biºu di¹n õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn x¡ (cid:31)ành d÷ìng (t÷ìng ùng, nûa x¡ (cid:31)ành . Kþ hi»u St(R[X]) l tªp hñp ¡ (cid:31)a thù ma trªn (cid:31)èi xùng §p t trong
d÷ìng) tr¶n mët tªp on õa Rn Mt(R[X]). Vîi méi F
=
tªp nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n trong Rn
(cid:31)¥y, vîi méi (cid:31)a thù ma trªn G
∈ St(R[X]) v G KG := G1, ..., Gm} ⊆ St(R[X]), kþ hi»u { Gi(x)< 0, i = 1, ..., m Rn x | { , } ∈
x¡ (cid:31)ành bði G . ∈ St(R[X]) v vîi méi x
, G(x)< 0 (cid:31)÷ñ dòng (cid:31)º kþ hi»u ho 0 (cid:31)÷ñ hiºu
Rn
ma trªn G(x) l nûa x¡ (cid:31)ành d÷ìng, tù l vîi måi v l ma trªn G(x) l x¡ (cid:31)ành d÷ìng, tù l vîi måi v
Kþ hi»u
∈ Rt, vT G(x)v 0. Kþ hi»u G(x) ≻ ∈ Rt ≥ , vT G(x)v > 0. 0 } \ { ∈
AT ij MG := Gi ∈ G ∪ { It} , Aij ∈ Mt(R[X]) , } { Xi,j
GiAij| mæ(cid:31)un bª hai nhä nh§t tr¶n Mt(R[X]) hùa G .
=
t
Ti·n thù tü nhä nh§t hùa G s³ (cid:31)÷ñ kþ hi»u bði TG . Trong tr÷íng hñp G
l tªp hñp ¡ têng húu h¤n õa nhúng phn tû â d¤ng AT A, trong (cid:31)â A bª hai nhä nh§t trong Mt(R[X]).
Rã r ng, n¸u F
∅, M∅ = P R[X] := T∅ ∈ Mt(R[X]), v nâ l mæ(cid:31)un
Luªn ¡n nh÷ sau
∈ TG ho° MG th¼ F < 0 tr¶n KG . V§n (cid:31)· h½nh ti¸p theo hóng tæi quan t¥m trong
B i to¡n 2. Cho F ∈ TG ho° F th¼ F
= 0 tr¶n KG . Vîi (cid:31)i·u ki»n n o G1, ..., Gm} ⊆ St(R[X]). Gi£ sû F { ≻ G
Li¶n quan (cid:31)¸n b i to¡n n y, S herer v Hol [44℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët d¤ng ma trªn biºu di¹n ¡ (cid:31)a thù
∈ St(R[X]), ∈ MG.
n
ma trªn x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n ∆n ng nh÷ ¡ (cid:31)a thù ma trªn x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n KG m MG a simet (x1, ..., xn) ho (cid:31)ành lþ Pâlya v (cid:31)ành lþ Putinar; trong (cid:31)â ∆n = {
Rn 0, xi = 1 xi ≥ | ∈ }.
i=1 P
Cimpri(cid:7) [6℄ (cid:31)÷a ra d¤ng ma trªn ho (cid:31)ành lþ Krivine-Stengle; Cimpri(cid:7) v Zalar [7℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët d¤ng
ma trªn ho (cid:31)ành lþ S hm(cid:4)udgen; L¶ Cæng Tr¼nh [29℄ (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët d¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n
d÷ìng õa Krivine-Stengle, S hweighofer, S heiderer,...
D¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya [37℄ (cid:31)âng mët vai trá quan trång trong lþ thuy¸t
(cid:31)i·u khiºn. Hu h¸t ¡ b i to¡n (cid:31)i·u khiºn tuy¸n t½nh (cid:31)·u d¨n (cid:31)¸n ¡ b§t (cid:31)¯ng thù ma trªn. R§t nhi·u
trong sè ¡ b i to¡n n y â thº gi£i (cid:31)÷ñ khi ¡ b§t (cid:31)¯ng thù ma trªn l tuy¸n t½nh. Rã hìn, mët b§t
(cid:31)¯ng thù ma trªn tuy¸n t½nh (Linear Matrix Inequality - LMI) â d¤ng
(0.4)
6
0, L(X) := A0 + A1X1 + ... + AnXn ≻
trong (cid:31)â X = (X1, ..., Xn) l n bi¸n thü v A0, A1, ..., An ∈ B§t (cid:31)¯ng thù (0.4) h¿ ra L(x) x¡ (cid:31)ành d÷ìng, tù l , vT L(x)v > 0,
(cid:31)ành õa LMI l
Rn v Sn(R) l ¡ ma trªn (cid:31)èi xùng ho tr÷î . 0 }. Khi (cid:31)â, mi·n x¡ \ { ∈ ∀
(cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Pâlya ho (cid:31)a thù ma trªn [44℄ kh¯ng (cid:31)ành r¬ng: Gi£ sû F l mët (cid:31)a thù ma trªn (cid:31)èi xùng thun nh§t bª d. N¸u F
Rn := x { ∈ G L(x) | . 0 } ≻
trong (cid:31)â, Aα l ¡ ma trªn nûa x¡ (cid:31)ành d÷ìng, X α = X α1
≻ + Xn)N F = (X1 + 0 tr¶n △n th¼ tçn t¤i sè tü nhi¶n N sao ho AαX α, · · · X|α|≤N +d
n . (cid:30)º rã hìn v· ¡ ùng döng n y, â
1 ...X αn
thº xem hi ti¸t trong b i b¡o õa S herer v Hol [44℄.
Mö (cid:31)½ h h½nh ti¸p theo õa hóng tæi trong Luªn ¡n l gi£i quy¸t B i to¡n 2, (cid:31)÷a ra d¤ng ma trªn
ho ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u, Di kinson-Povh v Handelman.
Ngo i Mö lö , Danh mö ¡ kþ hi»u, Líi mð (cid:31)u, Danh s¡ h ¡ æng tr¼nh õa t¡ gi£ li¶n quan
(cid:31)¸n Luªn ¡n, T i li»u tham kh£o v K¸t luªn, nëi dung h½nh õa Luªn ¡n (cid:31)÷ñ hóng tæi tr¼nh b y trong
ba h֓ng.
Trong Ch÷ìng 1 hóng tæi ung §p nhúng kh¡i ni»m v k¸t qu£ ì b£n (cid:31)÷ñ sû döng trong Luªn ¡n.
Trong Ch÷ìng 2 hóng tæi (cid:31)÷a ra mët sè h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn.
Trong Ch÷ìng 3 hóng tæi nghi¶n ùu ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho ¡ (cid:31)a thù ma trªn.
C¡ k¸t qu£ h½nh õa Luªn ¡n (cid:31)÷ñ hóng tæi æng bè trong ¡ b i b¡o [12, 30℄, ti·n §n ph©m [13℄
v (cid:31)¢ (cid:31)÷ñ b¡o ¡o t¤i:
14/08/2015;
• Hëi th£o (cid:16)To¡n hå Mi·n Trung-T¥y Nguy¶n ln I(cid:17), Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy Nhìn, B¼nh (cid:30)ành, 12-
Tr÷íng (cid:30)¤i hå Duy T¥n, (cid:30) N®ng, 15-18/06/2017;
• Hëi th£o què t¸ (cid:16)The 6th International Conferen e on Matrix Analysis and Appli ations (ICMAA)(cid:17),
• Hëi th£o què t¸ (cid:16)String-Math 2018(cid:17), Tr÷íng (cid:30)¤i hå Tohoku, Sendai, Nhªt B£n, 18-22/06/2018;
2018)(cid:17), Tr÷íng (cid:30)¤i hå Shinshu, Nagano, Nhªt B£n, 22-25/06/2018;
• Hëi th£o què t¸ (cid:16)The 7th International Conferen e on Matrix Analysis and Appli ations (ICMAA
• Seminar Khoa To¡n, Tr÷íng (cid:30)¤i hå Quy Nhìn, B¼nh (cid:30)ành;
B¼nh (cid:30)ành, th¡ng 12 n«m 2018
T¡ gi£
D÷ Thà Háa B¼nh
7
• (cid:30)¤i hëi To¡n hå Vi»t Nam ln thù IX, Tr÷íng (cid:30)¤i hå Thæng tin Li¶n l¤ , 14-18/08/2018.
Ch֓ng 1
Mët sè k¸t qu£ hu©n bà
1.1 Sü ph¥n bè nghi»m õa (cid:31)a thù mët bi¸n
(cid:30)ành lþ 1.1.1 (Enestr(cid:4)om-Kakeya, d¤ng 1, [53, Corollary 3℄). Cho f (z) l mët (cid:31)a thù bª d
Gi£ sû r¬ng
R, i = 0, ..., d. f (z) = adzd + ad−1zd−1 + + a1z + a0, ai ∈ · · · ∀
N¸u z
0, v ad > 0.
ad ≥ C l mët nghi»m õa f (z) th¼ ∈ | ≤ a0 ≥ ad−1 ≥ · · · ≥ a0 z 1. 2ad ≤ |
(cid:30)ành lþ 1.1.2 (Enestr(cid:4)om-Kakeya, d¤ng 2, [3℄). Cho f (z) = adzd + ad−1zd−1 + thù thü vîi ai, i = 0, ..., d, l ¡ sè thü d÷ìng. Kþ hi»u
+ a1z + a0 l mët (cid:31)a · · ·
. α := min , β := max
0≤i≤d−1
0≤i≤d−1
Khi (cid:31)â, måi nghi»m z
ai ai+1 (cid:27) ai ai+1 (cid:27) (cid:26)
(cid:26) C õa f (z) thäa m¢n ∈
(cid:30)èi vîi ¡ (cid:31)a thù phù , (cid:31)ành lþ Cau hy h¿ ra mët (cid:31)¾a trán hùa ¡ nghi»m õa nâ, ö thº nh÷
sau.
α β. z ≤ | | ≤
d
l mët (cid:31)a thù phù bª d. Khi (cid:31)â, måi
(cid:30)ành lþ 1.1.3 (Cau hy, d¤ng 1, [31, 33℄). Cho f (z) =
nghi»m õa (cid:31)a thù f (z) n¬m trong (cid:31)¾a
aizi
C
i=0 P 1 + M
vîi M = max
, } z { ∈ z | | | ≤ . , j = 0, 1, ..., d − aj ad 1 (cid:27)
(cid:26)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
d
l mët (cid:31)a thù phù bª d. Gåi r
(cid:30)ành lþ 1.1.5 (Cau hy, d¤ng 2, [19, Se tion 27℄). Cho f (z) =
v R t÷ìng ùng l nghi»m d÷ìng õa ¡ (cid:31)a thù
aizi
i=0 P
8
h(z) = zd + zd−1 + + ad| | ad−1| | z a1| | , a0| − | · · ·
v
Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa (cid:31)a thù f (z) thäa m¢n
zd zd−1 g(z) = ad| | ad−1| − | − · · · − | z a1| . a0| − |
r R. z ≤ | | ≤
d
l mët (cid:31)a thù phù bª d. Kþ hi»u
(cid:30)ành lþ 1.1.9 (Joyal, Labelle, Rahman, [24℄). Cho f (z) =
aizi
i=0 P .
α := max
i=0,...,d−2
ai ad
Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa f (z) thäa m¢n
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
2
. 1 + 1 + + 4α − z | | ≤ ad−1 ad ad−1 ad s(cid:18) (cid:19) 1 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:30)ành lþ 1.1.16 (Datt-Govil,[8 , Theorem 1℄). Cho mët (cid:31)a thù phù f (z) = adzd +ad−1zd−1 + bª d. Kþ hi»u
+a1z +a0 · · ·
. A := max
i=0,...,d−1
Khi (cid:31)â, måi nghi»m õa f (z) thäa m¢n
ai ad
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
a0| | 1 + x0A, z (1 + A)d−1(Ad + 1) ≤ | | ≤ ad| 2 |
1
trong (cid:31)â, x0 l mët nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh x = 1
(Ax+1)d n¬m trong (0, 1).
1.2 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v mët sè (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng
1.2.1 B i to¡n thù 17 õa Hilbert v (cid:31)ành lþ Artin
B i to¡n Hilbert thù 17. Cho f
th¼ â suy ra (cid:31)÷ñ f l têng b¼nh
−
ph÷ìng õa ¡ h m ph¥n thù hay khæng? Tù l ,
R[X]. N¸u f khæng ¥m tr¶n Rn ∈
2
N«m 1927, Artin [1℄ (cid:31)¢ gi£i quy¸t (cid:31)÷ñ B i to¡n thù 17 õa Hilbert, ö thº nh÷ sau.
(cid:30)ành lþ 1.2.2 (Artin, [1℄). Cho f
th¼ f biºu di¹n (cid:31)÷ñ th nh têng b¼nh
f 0 tr¶n Rn = f = R[X]? ≥ ⇒ , fi, gi ∈ fi gi (cid:19) X (cid:18)
ph÷ìng õa ¡ h m ph¥n thù .
1.2.2 Mët sè (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng
R[X]. N¸u f khæng ¥m tr¶n Rn ∈
(cid:30)ành lþ 1.2.6 (Krivine-Stengle, [25, 54℄). Cho mët tªp on G = f
9
R[X] v mët (cid:31)a thù g1, ..., gm} ⊆ { R[X]. Khi (cid:31)â: ∈
(i) f (x) > 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i p, q
(ii) f (x)
TG sao ho pf = 1 + q ; ∈
0 v p, q 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i mët sè nguy¶n m TG sao ho pf = f 2m + q ; ≥ ≥
(iii) f (x) = 0 tr¶n KG n¸u v h¿ n¸u tçn t¤i mët sè nguy¶n m
f 2m TG ; ∈ 0 sao ho − ≥ ∈
(iv) KG =
(cid:30)ành lþ 1.2.7 (S hm(cid:4)udgen, [46, Corollary 3℄). Gi£ sû KG ompa t. N¸u f > 0 tr¶n KG th¼ f
1 TG . ∅ n¸u v h¿ n¸u − ∈
TG . ∈
(cid:30)ành lþ 1.2.8 (Handelman, [19℄). Cho (cid:31)a di»n P nh÷ tr¶n v gi£ sû (cid:31)a thù f Khi (cid:31)â, tçn t¤i mët sè tü nhi¶n m
R[X] l d÷ìng tr¶n P . ∈ N sao ho ∈
f = bαλα1
1 ...λαk k ,
X|α|≤m
vîi måi α.
trong (cid:31)â, | (cid:30)ành lþ 1.2.10 (Putinar, [39℄). Gi£ sû MG Ar himedean. N¸u f > 0 tr¶n KG th¼ f
R+ = α1 + α | + αk, bα ∈ · · ·
(cid:30)ành lþ 1.2.11 (S hweighofer, [50℄). Gi£ sû
(i) f > 0 tr¶n KG ;
(ii) f bà h°n tr¶n KG ;
(iii) R∞(f, KG) l mët tªp on húu h¤n õa R+ .
Khi (cid:31)â, f
MG . ∈
(cid:30)ành lþ 1.2.14 (Pâlya, [37℄). Cho (cid:31)a thù thun nh§t f bª d v d÷ìng tr¶n ∆n . Khi (cid:31)â, tçn t¤i sè tü nhi¶n N sao ho t§t £ ¡ h» sè õa (cid:31)a thù (X1 +
TG . ∈
+ Xn)N f (cid:31)·u d÷ìng. · · ·
(cid:30)ành lþ 1.2.15 (Rezni k, [41℄). Cho (cid:31)a thù thun nh§t f th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r sao ho
.
R[X] â bª h®n. N¸u f > 0 tr¶n Rn ∈ 0 } \ {
R[X]2 (X 2 + X 2
n)rf
1 +
R[X] l ¡ (cid:31)a thù thun nh§t bª h®n v gi£ P ∈ , gm ∈ 0 sao ho · · · (cid:30)ành lþ 1.2.16 ([40, Theorem 4.2℄). Cho f, g1, }, trong (cid:31)â G = sû f > 0 tr¶n KG \ { 0 ≥ g1, { (X 2 + X 2 MG .
n)rf
· · · 1 + · · · , gm}. Khi (cid:31)â, tçn t¤i mët sè nguy¶n r · · ·
(cid:30)ành lþ 1.2.17 (Di kinson-Povh, [10℄). Cho f, g1, N¸u f > 0 tr¶n Rn } th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r v ¡ (cid:31)a thù thun nh§t h1, KG \ { 0
· · · ∈ , gm ∈ R[X] l ¡ (cid:31)a thù thun nh§t bª h®n. , hm
+ ∩
vîi h» sè khæng ¥m sao ho
· · ·
m
10
gihi. (X1 + + Xn)rf = · · · Xi=1
1.3 B i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù v b i to¡n mæmen
1.3.1 B i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù
B i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù l b i to¡n t¼m
(1.1)
f (x), f ∗ = inf x∈KG
, b i to¡n tr¶n (cid:31)÷ñ gåi l b i to¡n tèi ÷u (cid:31)a thù khæng r ng buë .
trong (cid:31)â, f G =
Rn R[X], G = R[X], KG = 0, ..., gm(x) ∈ g1, ..., gm} ⊆ { x { ∈ g1(x) | ≥ 0 }. Trong tr÷íng hñp ≥
Biºu thù (1.1) â thº (cid:31)÷ñ vi¸t l¤i d÷îi d¤ng
, KG = Rn ∅
f (x), x f ∗ = inf x∈KG λ f (x) = sup { λ | ≤ KG} ∈
λ 0, x − ∈ ≥ λ > 0, x λ = sup { λ = sup { f (x) | f (x) | − ∈
Nh÷ th¸, vi» t¼m f ∗ tr¶n KG . (cid:30)º gi£i quy¸t b i to¡n khâ n y, mët trong nhúng ¡ h (cid:31)º nîi läng (cid:31)i·u ki»n "f KG " l x²t biºu di¹n f
KG} . KG} (cid:31)÷ñ huyºn sang t¼m supremum õa ¡ sè λ sao ho f λ khæng ¥m (ho° d÷ìng) − λ 0 tr¶n − ≥ λ d÷îi d¤ng −
m
. (cid:30)i·u n y d¨n (cid:31)¸n vi» x²t b i to¡n
f tigi, λ = t0 + − Xi=1
trong (cid:31)â ti ∈
R[X]2
(1.2)
. Hìn núa, n¸u ta â mët (cid:30)ành lþ
P λ f sos,G = sup λ { f | − ∈
.
Rã r ng, n¸u f biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a thù f
1.3.2 B i to¡n mæmen
D¤ng thù nh§t ( ê (cid:31)iºn) õa b i to¡n mæmen (cid:31)÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau:
λ f ∗ λ . MG} 0 tr¶n KG . Do (cid:31)â f sos,G MG th¼ f ≥ ≤ − ∈ − λ tr¶n KG th¼ f sos,G = f ∗ −
. Cho L : R[X]
B i to¡n mæmen (d¤ng 1). Cho K l mët tªp on (cid:31)âng trong Rn h m tuy¸n t½nh. Câ tçn t¤i hay khæng mët (cid:31)ë (cid:31)o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f
R l mët phi¸m →
R[X], ∈ L(f ) = f dµ?
Haviland (1935, [20℄) (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra mët (cid:31)i·u ki»n n v (cid:31)õ ho sü tçn t¤i õa (cid:31)ë (cid:31)o d÷ìng µ, ö thº nh÷
sau.
(cid:30)ành lþ 1.3.2 (Haviland, [20℄). (cid:30)i·u ki»n n v (cid:31)õ (cid:31)º tçn t¤i mët (cid:31)ë (cid:31)o Borel d÷ìng µ vîi gi¡ hùa trong K sao ho vîi måi f
ZK
R[X] ta â ∈ f dµ L(f ) =
11
ZK
l L(f )
Mët d¤ng kh¡ õa b i to¡n mæmen (cid:31)÷ñ ph¡t biºu nh÷ sau.
0 vîi måi f 0 tr¶n K . ≥ ≥
B i to¡n mæmen (d¤ng 2). Cho G = vîi måi f f
R[X]. Kþ hi»u KG, TG nh÷ tr¶n. N¸u L(f ) g1, ..., gm} ⊆ { ≥ 0 TG th¼ â tçn t¤i hay khæng mët (cid:31)ë (cid:31)o Borel d÷ìng µ â gi¡ hùa trong KG sao ho vîi måi ∈ R[X] ta â ∈ f dµ? L(f ) =
Chó þ r¬ng, vîi f
ZKG
(cid:31)÷ìng vîi nhau (qua (cid:31)ành lþ Haviland).
1.4 H¼nh hå (cid:31)¤i sè thü ho (cid:31)a thù ma trªn
Bê (cid:31)· 1.4.4 ([6, Proposition 5℄). Cho G ⊆ St(R[X]). Khi (cid:31)â, tçn t¤i mët tªp on G õa R[X] â nhúng
t½nh h§t sau:
(i) KG = KG ;
(ii) (MG)t
TG th¼ f ≥ ∈ 0 tr¶n KG . Do (cid:31)â b i to¡n mæmen d¤ng 2 y¸u hìn b i to¡n mæmen d¤ng 1. Tuy nhi¶n, n¸u hóng ta â mët (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng tr¶n KG th¼ hai b i to¡n tr¶n t÷ìng
(iii) (TG)t
⊆ MG ;
⊆ TG .
Hìn núa, n¸u G l tªp hñp húu h¤n th¼ tªp hñp G (cid:31)÷ñ hån â thº l húu h¤n. Bê (cid:31)· 1.4.5 ([48, Corollary 9℄). Cho A R[X], j = 1,
∈ St(R[X]). Khi (cid:31)â, tçn t¤i ¡ (cid:31)a thù kh¡ khæng b, dj ∈ , r , r · · ·
t, v ¡ ma trªn X+, X− ∈ Mt(R[X]) sao ho ≤ X+X− = X−X+ = bIt, b2A = X+DXT
+, D = X−AXT −,
trong (cid:31)â, D = D(d1,
1.5 T½nh x¡ (cid:31)ành d÷ìng õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn v thun nh§t hâa
õa hóng
t. , dr) l ma trªn (cid:31)÷íng h²o §p t · · · ×
M»nh (cid:31)· 1.5.1. Cho G = l thun nh§t hâa õa ¡ (cid:31)a thù f, g1, Kþ hi»u d′ := max
R[X]. Cho g1, { · · · ∈ · · · , ˜gm ∈ R[X0, X] t÷ìng ùng , m. i = 1, · · · ∀ , m R[X] v f , gm} ⊆ , gm ∈ · · · ˜G := ˜g1, · · · { di, i = 1, { · · · },
Rn m i = 1, (KG)2d′ = . } · · · ∈
(cid:31)¥y, (gi)2d′ = 0 n¸u d′ > di . Khi (cid:31)â, tr¶n (KG)2d′
˜f , ˜g1, R[X], vîi deg(f ) = 2d, deg(gi) = 2di, , ˜gm}, v 0, x (gi)2d′ ∀ ≥ { | ˜f > 0 tr¶n K ˜G \ { } n¸u v h¿ n¸u f > 0 tr¶n KG v f2d > 0 0
12
0 }. \ {
M»nh (cid:31)· 1.5.2. Vîi nhúng kþ hi»u nh÷ trong M»nh (cid:31)· 1.5.1,
˜f > 0 tr¶n Rn+1 K ˜G \ { 0 } n¸u v h¿
+ ∩
n¸u f > 0 tr¶n Rn
KG v f2d > 0 tr¶n Rn (KG)2d′ 0 }. \ {
+ ∩
+ ∩
B¥y gií hóng ta giîi thi»u nhúng k¸t qu£ t÷ìng tü ho (cid:31)a thù ma trªn. Cho
= · · · G
, m , Gm} ⊆ St(R[X]) v F G1, { Gi£ sû deg(F) = 2d, deg(Gi) = 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u d′ := max · · · }, v
Cho
Rn , m ∈ St(R[X]). i = 1, di| { i = 1, (KG )2d′ := · · · . } ∀ x { ∈ (Gi)2d′ (x) < 0, |
, ˜Gm t÷ìng ùng l thun nh§t hâa õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn F, G1, , Gm . Kþ hi»u · · · · · · , ˜Gm = ˜F, ˜G1, ˜G1, { · · · }, v G
Rn+1 e , m i = 1, ∈ (x0, x) { ∀
M»nh (cid:31)· 1.5.5.
M»nh (cid:31)· 1.5.6.
˜F 0 tr¶n (KG)2d′ ≻ ˜F . · · · } 0 tr¶n KG v F2d ≻ 0 tr¶n Rn ˜Gi(x0, x) < 0, K eG = | 0 tr¶n K ˜G \ { } n¸u v h¿ n¸u F 0 ≻ } n¸u v h¿ n¸u F 0 tr¶n Rn+1 K ˜G \ { 0
+ ∩
≻ 0 }. \ { 0 tr¶n KG v F2d ≻
+ ∩
≻ Rn (KG )2d′ 0 }. \ {
+ ∩
1.6 Chu©n ma trªn
: R (cid:31)÷ñ gåi l mët hu©n ma trªn tr¶n Mt×s(C) n¸u vîi → Mt×s(C) C, ¡ (cid:31)i·u ki»n sau thäa m¢n: . (cid:30)ành ngh¾a 1.6.1. H m sè || || ∈ Mt×s(C), vîi måi α måi A, B ∈
(a) ||
A A = 0 n¸u v h¿ n¸u A = 0; 0, || ≥ || ||
(b) ||
αA A = || α | ; || |||
( ) ||
, kþ hi»u
(cid:30)ành ngh¾a 1.6.2. Cho p l mët sè tü nhi¶n kh¡ 0. Vîi méi v² tì v = (v1, ..., vt)
A B A + B + || ≤ || || . || || Ct ∈
1/p
t
p
Vîi A
. vi| | v || ||p := ! Xi=1
∈ Mt(C), ta (cid:31)ành ngh¾a . Ax x
||x||p6=0
Tø (cid:31)ành ngh¾a tr¶n ta â thº vi¸t l¤i
A ||p := max || ||p ||p || ||
= max Ax x Ax x
||x||p6=0
||
|| || Ay A ||p := max = max
p || (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
||x||p6=0 (cid:13) || (cid:13) Ct. (cid:13) (cid:13)
||y||p=1 ||
13
||p ||p ||p, vîi y ∈
Ch֓ng 2
Sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù ma trªn
Trong h÷ìng n y hóng tæi nghi¶n ùu sü ph¥n bè gi¡ trà ri¶ng õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn mët bi¸n
phù . C¡ h°n (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra ð (cid:31)¥y (cid:31)÷ñ thi¸t lªp düa v o hu©n õa ¡ ma trªn h» sè õa (cid:31)a thù ma
trªn (cid:31)¢ ho. C¡ k¸t qu£ h½nh trong h÷ìng n y (cid:31)÷ñ hóng tæi æng bè trong ti·n §n ph©m [13℄.
2.1 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Enestr(cid:4)om-Kakeya
(cid:30)ành lþ 2.1.2. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + h» sè Ai ∈ Mt(C) thäa m¢n
+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn vîi ¡ ma trªn · · ·
Khi (cid:31)â, méi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n
0. Ad < Ad−1 < < A0 < 0; Ad ≻ · · ·
trong (cid:31)â, λmin(A0) l gi¡ trà ri¶ng nhä nh§t õa A0 v λmax(Ad) l gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t õa Ad .
λ 1, | ≤ λmin(A0) 2λmax(Ad) ≤ |
(cid:30)ành lþ 2.1.3. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + h» sè Ai ∈ Mt(C) thäa m¢n
+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn vîi ¡ ma trªn · · ·
0. A0 < A1 < · · ·
< Ad ≻ 1. | ≥
+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn â ¡ ma trªn · · · C l mët gi¡ trà ri¶ng õa P (z), th¼ ∈
14
λ . max i=0,...,d−1 min i=0,...,d−1 ≤ | | ≤ λ Khi (cid:31)â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n | (cid:30)ành lþ 2.1.4. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + h» sè Ai ∈ Mt(C) l x¡ (cid:31)ành d÷ìng. N¸u λ λmin(Ai) λmax(Ai+1) λmax(Ai) λmin(Ai+1) (cid:27) (cid:27) (cid:26) (cid:26)
2.2 C¡ (cid:31)ành lþ d¤ng Cau hy ho (cid:31)a thù ma trªn
(cid:30)ành lþ 2.2.1. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + v A0 kh£ nghà h. Cho r, R t÷ìng ùng l nghi»m d÷ìng õa (cid:31)a thù
+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn vîi ma trªn Ad · · ·
−1
v
z h(z) = zd + zd−1 + + A−1 0 Adk k Ad−1k k A1k k − · · ·
(cid:13) (cid:13)
−1 zd
Khi (cid:31)â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n
zd−1 . g(z) = A−1 d Ad−1k − k − · · · − k (cid:13) (cid:13) A0k
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
r λ R. ≤ |
(cid:30)ành lþ 2.2.2. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 +
kh£ nghà h. Kþ hi»u
| ≤ + A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn vîi ma trªn Ad · · ·
Khi (cid:31)â, t§t £ ¡ gi¡ trà ri¶ng õa P (z) n¬m trong (cid:31)¾a mð
M := max i=0,...,d−1 k . Aik A−1 d k k
C K o(0, 1 + M ) = < 1 + M z { z | | . } |
(cid:30)ành lþ 2.2.4. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + kh£ nghà h. Khi (cid:31)â, måi gi¡ trà ri¶ng õa P (z) (cid:31)÷ñ hùa trong (cid:31)¾a (cid:31)âng
∈ + A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn vîi ma trªn Ad · · ·
trong (cid:31)â, M (cid:31)÷ñ x¡ (cid:31)ành nh÷ trong (cid:30)ành lþ 2.2.2, v r1 l nghi»m d÷ìng lîn nh§t õa ph÷ìng tr¼nh
C K(0, r1) = z { ∈ z | | | ≤ , r1}
(cid:30)ành lþ 2.2.6. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 +
zd+1 (1 + M )zd + M = 0. −
kh£ nghà h. Kþ hi»u
+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn vîi ma trªn Ad · · ·
. α′ := max AiA−1 d
i=0,...,d−2
Khi (cid:31)â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
1 2
2
kh£ nghà h. Kþ hi»u
. 1 + + 1 + 4α′ Ad−1A−1 d Ad−1A−1 d 1 2 − λ | | ≤ (cid:26) i (cid:1) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:30)ành lþ 2.2.8. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + (cid:27) + A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn vîi ma trªn Ad h(cid:0) · · ·
Khi (cid:31)â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
, A−1 := 0. Ad−i−1)A−1 d γ := max i=1,...,d
(Ad−i − (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
1 2
2
kh£ nghà h. Kþ hi»u
. 1 + 1 + + 4γ Ad−1)A−1 d Ad−1)A−1 d 1 2 λ | | ≤ (Ad − (Ad − − (cid:27) i (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:1) (cid:13) (cid:26) (cid:30)ành lþ 2.2.10. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + + A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn â ma trªn Ad h(cid:0) · · ·
δ′ := max Ai−1 , A−1 := 0. (Ad−1A−1 A−1 d
i=0,...,d−1
d )Ai −
15
(cid:0) (cid:1) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
Khi (cid:31)â, måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) thäa m¢n
(cid:30)ành lþ 2.2.12. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 +
(1 + √1 + 4δ′). 1 2 λ | | ≤
kh£ nghà h. Kþ hi»u
+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn â ma trªn Ad · · ·
ǫ′ := max , A−1 := 0. Ad−1A−1 A−1 d
d )Ai + Ai−1
i=0,...,d−1
Khi (cid:31)â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
(It − (cid:17) (cid:16) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
1 + √ǫ′. λ |
+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn vîi ma trªn Ad · · · | ≤ (cid:30)ành lþ 2.2.14. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + v A0 kh£ nghà h. Kþ hi»u . A′ := max AiA−1 d
i=0,...,d−1
Khi (cid:31)â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
(cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
−1
AdA−1 0 λ 1 + λ0A′, | ≤ 2(1 + A′)d−1(A′d + 1) ≤ | (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
1
trong (cid:31)â, λ0 l mët nghi»m õa ph÷ìng tr¼nh x = 1
(A′x+1)d n¬m trong kho£ng (0, 1).
−
+ A1z + A0 l mët (cid:31)a thù ma trªn â ma trªn Ad
1
(cid:30)ành lþ 2.2.17. Cho P (z) = Adzd + Ad−1zd−1 + v A0 kh£ nghà h. Cho p, q > 1 sao ho
p + 1
· · · q = 1. Kþ hi»u
1 p
1 p
d−1
d
p
p
, M ′ . Mp :=
p :=
Khi (cid:31)â, vîi måi gi¡ trà ri¶ng λ õa P (z) ta â
Aik k Aik k ! ! Xi=0 Xi=1
−q
1
1 q
q
q .
< < 1 + Mp
−q
2.3 So s¡nh ¡ h°n
Trong Mö 2.1 v Mö 2.2 hóng tæi (cid:31)¢ thi¸t lªp mët sè h°n ho gi¡ trà ri¶ng õa ¡ (cid:31)a thù ma
trªn. Trong phn n y hóng tæi lªp ¡ b£ng v· h°n tr¶n v h°n d÷îi ho ¡ gi¡ trà ri¶ng õa (cid:31)a thù
ma trªn. Tø (cid:31)â, hóng ta â thº so s¡nh ¡ h°n n y vîi ¡ h°n (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra bði Higham-Tisseur [22℄
tr¶n òng ¡ v½ dö. C¡ t½nh to¡n n y (cid:31)÷ñ thü hi»n thæng qua phn m·m m¢ nguçn mð OCTAVE,
version 4.4.0.
X²t mët (cid:31)a thù ma trªn P (z) â ï 5
A−1 d λ | | (M ′ # " h i A−1 0 p)q + (cid:13) (cid:13) (cid:0) (cid:1) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) A−1 (cid:13) 0 (cid:13) (cid:13) (cid:13)
5, bª d = 9 v ¡ ma trªn h» sè l ×
trong (cid:31)â rand(5) kþ hi»u ho mët ma trªn ng¨u nhi¶n ï 5
Ai = 10i−3rand(5), i = 0, , 8; A9 = rand(5), · · ·
16
5 tø ph¥n phèi hu©n N(0, 1). ×
Bê (cid:31)·
Gi¡ trà
(cid:129)p döng
2.3 (2.3)
hu©n 2
3.284676 ×
2.11 (2.18)
hu©n 2
3.281052 ×
3.1
13.8757 ×
3.1
(cid:30)ành lþ Cau hy ¡p döng ho P , hu©n 2 (cid:30)ành lþ Cau hy ¡p döng ho PU , hu©n 2
3.277426 ×
4.1
hu©n 2
14.129079 ×
B£ng 2.1: C¡ h°n tr¶n (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ bði Higham v Tisseur
(cid:30)ành lþ/H» qu£ Gi¡ trà
(cid:129)p döng
2.2.2, 2.2.4
hu©n 2
13.875701 ×
2.2.3, 2.2.5
hu©n 2
13.875567 ×
2.2.6
hu©n 2
2.324721 ×
2.2.8, 2.2.15
hu©n 2
2.324722 ×
2.2.10, 2.2.12
hu©n 2
106 106 106 106 106
1.674829 ×
B£ng 2.2: C¡ h°n tr¶n (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ trong Luªn ¡n
Bê (cid:31)·
Gi¡ trà
(cid:129)p döng
2.2
hu©n 2
7.9837 ×
2.3 (2.3)
hu©n 2
8.6528 ×
2.4 (2.7)
hu©n 2
106 106 106 106 106
8.6519 ×
2.6 (2.14)
10−10 10−10 10−10
hu©n 2, ¡p döng ho CL
1.49 ×
B£ng 2.3: C¡ h°n d÷îi (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ bði Higham v Tisseur
(cid:30)ành lþ
Gi¡ trà
(cid:129)p döng
2.2.7, 2.2.9
hu©n 2
3.9052 ×
2.2.11
hu©n 2
0.893 ×
2.2.13
hu©n 2
10−7
0.895 ×
B£ng 2.4: C¡ h°n d÷îi (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ trong Luªn ¡n
17
10−5 10−5 10−5
Ch֓ng 3
(cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa (cid:31)a thù ma trªn
C¡ k¸t qu£ h½nh trong h÷ìng n y (cid:31)÷ñ hóng tæi æng bè trong hai b i b¡o [12, 30℄.
3.1 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Putinar-Vasiles u
H» qu£ 3.1.1 ((cid:30)ành lþ Putinar-Vasiles u, d¤ng khæng thun nh§t). Cho G = f
R[X] v g1, { · · · , gm} ⊆ R[X]. Gi£ sû deg(f ) = 2d, deg(gi) = 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u ∈
, m d′ := max i = 1, · · ·
N¸u f > 0 tr¶n KG v f2d > 0 tr¶n (KG)2d′
(3.1)
0 sao ho ≥
+ X 2 (1 + X 2 di| . { } }, th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n r 0 \ { MG.
n)rf
1 +
(cid:30)ành lþ 3.1.2. Cho G 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u
= G1, { · · · · · · , Gm} ⊆ St(R[X]) v F ∈ ∈ St(R[X]). Gi£ sû deg(F) = 2d, deg(Gi) =
Gi£ sû r¬ng F
, m i = 1, d′ := max . }
mët tªp on húu h¤n G
(i) mët (cid:31)a thù ma trªn X
di| { 0 tr¶n (KG )2d′ · · · }. Khi (cid:31)â, tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r , 0 \ { 0 tr¶n KG v F2d ≻ ≻ R[X] v ⊆
+ X 2 (MG)t
n)rXFXT
1 +
(ii) mët (cid:31)a thù kh¡ khæng b
∈ Mt(R[X]) sao ho (1 + X 2 · · · ∈ ⊆ MG ;
∈ R[X] sao ho b2(1 + X 2 + X 2 (MG)t
n)rF
1 +
∈ ⊆ MG . · · ·
= R[X], trong (cid:31)â,
t
Trong tr÷íng hñp G
∅, th¼ M∅ = T∅ =:
k
P R[X] = AT i Ai : Ai ∈ Mt(R[X]), i = 1, ..., k, vîi k l sè tü nhi¶n n o (cid:31)â ) (
t X
Khi (cid:31)â, hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ mët h» qu£ l d¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ biºu di¹n d÷ìng Rezni k ([40,
Corollary 4.3℄).
18
Xi=1
v
H» qu£ 3.1.3. Cho F 0 tr¶n Rn F2d ≻
0 tr¶n Rn St(R[X]) l mët (cid:31)a thù ma trªn (cid:31)èi xùng bª 2d. Gi£ sû F ∈ ≻
(i) mët (cid:31)a thù ma trªn X
}. Khi (cid:31)â, tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r v 0 \ {
+ X 2 R[X];
n)rXFXT
1 +
t
(ii) mët (cid:31)a thù kh¡ khæng b
∈ Mt(R[X]) sao ho (1 + X 2 · · · ∈ P R[X] sao ho ∈ R[X]. + X 2 b2(1 + X 2
n)rF
1 +
t
3.2 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Di kinson-Povh
· · · ∈ P
R[X] v
, m R[X]. Gi£ sû deg(f ) = 2d, deg(gi) = 2di, g1, · · · { , m. Kþ hi»u d′ := max i = 1, di| { , gm} ⊆ · · · ∈ KG v f2d > 0 tr¶n Rn ∀ (KG)2d′ i = 1, · · · }. N¸u }, th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r v ¡ (cid:31)a 0 \ {
+ ∩
H» qu£ 3.2.1 ((cid:30)ành lþ Di kinson-Povh, d¤ng khæng thun nh§t). Cho G = f f > 0 tr¶n Rn thù h1,
R[X] vîi ¡ h» sè khæng ¥m sao ho
+ ∩ , hm ∈
· · ·
m
gihi. (1 + X1 + + Xn)rf = · · ·
= , Gm} ⊆ St(R[X]) v F 0 tr¶n Rn , m · · · := max i = 1, }. N¸u F di| { ≻ (KG)2d′ Xi=1 G1, ∈ St(R[X]). Gi£ sû deg(F) = 2d, deg(Gi) = (cid:30)ành lþ 3.2.2. Cho G { 0 tr¶n 2di, i = 1, ..., m. Kþ hi»u d′ + ∩ · · · R[X] Rn }, th¼ tçn t¤i mët sè nguy¶n khæng ¥m r , v mët tªp on húu h¤n G = 0 \{
+∩
v
(i) ¡ (cid:31)a thù ma trªn nûa x¡ (cid:31)ành d÷ìng H1,
KG v F2d ≻ , gk} ⊆ g1, · · · {
, Hk ∈ St(R[X]) v mët (cid:31)a thù ma trªn X ∈ · · ·
Mt(R[X]) sao ho
k
(ii) ¡ (cid:31)a thù ma trªn nûa x¡ (cid:31)ành d÷ìng H′
Hjgj; (1 + X1 + + Xn)rXFXT = · · · Xj=1
, H′
1,
· · ·
k ∈ St(R[X]) v mët (cid:31)a thù kh¡ khæng
b R[X] sao ho ∈
k
H′
jgj.
3.3 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Handelman
l mët (cid:31)a di»n lçi, ompa t vîi phn trong kh¡ réng, vîi bi¶n x¡ (cid:31)ành bði ¡ (cid:31)a thù
b2(1 + X1 + + Xn)rF = · · · Xj=1
Cho P tuy¸n t½nh λ1,
(3.7)
Rn ⊆ R[X]. B¬ng ¡ h hån d§u õa λi , hóng ta gi£ sû r¬ng , λm ∈ · · ·
19
Rn , m P = 0, i = 1, x { ∈ λi(x) | ≥ . } · · ·
3.3.1 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Handelman tr¶n n-(cid:31)ìn h¼nh
â ¡ (cid:31)¿nh {
Trong phn n y hóng ta x²t ¡ P l mët n-(cid:31)ìn h¼nh trong Rn , λn} l h» tåa (cid:31)ë trång t¥m õa P , tù l méi λi ∈
v0, v1, , vn} v gåi · · · R[X] l tuy¸n t½nh v · · · λ0, λ1, {
n
n
(3.8)
X = λi(X) = 1, λi(vj) = δij. λi(X)vi,
Cho F
Xi=0 Xi=0
∈ St(R[X]) l mët (cid:31)a thù ma trªn bª d > 0. Chóng ta â thº vi¸t F nh÷ sau F(X) = AαX α,
trong (cid:31)â, Aα ∈ Mt(R).
X²t d¤ng Bernstein-B²zier õa F t÷ìng ùng vîi P
X|α|≤d
n
n
d−|α|
α
(3.9)
D¹ d ng th§y r¬ng
h» (3.8) h¿ ra r¬ng
. Yi Yivi , Yn) := Aα Fd(Y ) := Fd(Y0, · · · (cid:17) (cid:16) (cid:16) Xi=0 Xi=0 X|α|≤d e e Fd(Y ) (cid:17) ∈ St(R[Y ]) l mët (cid:31)a thù ma trªn thun nh§t bª d. Hìn núa, tø nhúng quan
, hóng ta kþ hi»u
Theo S herer-Hol [44℄, vîi méi tªp (cid:31)a h¿ sè α = (α1,
e , λn) = F(X). Fd(λ0, · · · Nn , αn) e ∈
α! := α1! · · · αn!; Dα := ∂α1 ∂αn n . · · ·
1 · · ·
Nh÷ vªy, hóng ta â thº vi¸t l¤i F nh÷ sau
(3.6)
X α. F(X) = DαF(0) α! X|α|≤d
Vîi hu©n phê k·k, theo S herer-Hol [44℄, hóng ta (cid:31)ành ngh¾a DαF(0) k k α ! | |
. L(F) := max |α|≤d
l mët n-(cid:31)ìn h¼nh (cid:31)÷ñ ho nh÷ tr¶n v F
(cid:30)ành lþ 3.3.1. Gi£ sû P thù ma trªn bª d > 0. Gi£ sû r¬ng F < λIt tr¶n P vîi λ > 0. Kþ hi»u L := L(
Rn ⊆ ∈ St(R[X]) l mët (cid:31)a Fd). Khi (cid:31)â, vîi d(d 1) d, F â thº (cid:31)÷ñ biºu di¹n N > e − 2 L λ −
F = Bαλα0 λαn n ,
0 · · ·
trong (cid:31)â, méi Bα ∈ St(R) l x¡ (cid:31)ành d÷ìng.
20
X|α|=N +d
3.3.2 D¤ng ma trªn õa (cid:31)ành lþ Handelman tr¶n ¡ (cid:31)a di»n lçi, ompa t
Trong phn n y hóng tæi x²t ¡ (cid:31)a di»n P lçi, ompa t vîi phn trong kh¡ réng (cid:31)÷ñ ho bði (3.7).
m
Theo [49℄, tçn t¤i sè thü d÷ìng ci ∈
R sao ho ciλi(X) = 1. Thay méi λi bði ciλi hóng ta â thº
gi£ sû r¬ng
Xi=1
m
(3.12)
λi(X) = 1.
Hìn núa, d¹ d ng kiºm tra (cid:31)÷ñ r¬ng vîi méi i = 1,
ho
(3.13)
Xi=1 , m sao R, j = 1, , n, tçn t¤i ¡ sè thü bij ∈ · · · · · ·
Kþ hi»u R[Y ] := R[Y1,
BT . X = λ ·
, Ym], v x²t (cid:31)çng §u v nh · · ·
, m. ϕ : R[Y ] R[X], i = 1, λi(X), → Yi 7−→ ∀ · · ·
m
(3.12) h¿ ra r¬ng
¡ (cid:31)a thù r1(Y ),
1
i=1 Yi − , rs(Y ) P · · ·
∈ Ker(ϕ). Do (cid:31)â, hóng ta â thº gi£ sû i(cid:31)¶an I := Ker(ϕ) (cid:31)÷ñ sinh bði R[Y ], ∈
, I := Ker(ϕ) = r1(Y ), h · · · , rs(Y ) i
s
m
trong (cid:31)â,
1 l mët trong ¡ ri n o (cid:31)â. Kþ hi»u r(Y ) := r2 i (Y ).
i=1 Yi −
Chó þ r¬ng (cid:31)çng §u ϕ £m sinh mët (cid:31)çng §u v nh
Xi=1 P
Vîi méi g(X) =
Mϕ : (ϕ(gij (Y ))). Mt(R[Y ]) 7−→
−→ Mt(R[X]), G = (gij(Y )) R[X], kþ hi»u
|α|≤d aαX α
∈
m
P
d−|α|
(3.14)
g(Y ) := BT )α R[Y ]. Yi aα(Y · ∈ Xi=1 X|α|≤d (cid:0) (cid:1) e
méi
Cho F = (fij) fij (cid:31)÷ñ x¡ (cid:31)ành bði (3.14)
F := ( fij) ∈ St(R[X]) l mët (cid:31)a thù ma trªn bª d > 0. Kþ hi»u ∈ St(R[Y ]), trong (cid:31)â
Bê (cid:31)· 3.3.3. Cho F = (fij) Gi£ sû F
Chó þ r¬ng F :=
e fij) f 0 tr¶n P . Khi (cid:31)â tçn t¤i mët sè tü nhi¶n (cid:31)õ lîn c sao ho F := ( ∈ St(R[Y ]). 0 tr¶n m-(cid:31)ìn h¼nh ti¶u e f ≻ hu©n ∆m . f ∈ St(R[X]) l mët (cid:31)a thù ma trªn bª d > 0. Kþ hi»u F + crIt ≻ e
m
F + crIt khæng ph£i l mët (cid:31)a thù thun nh§t. Tuy nhi¶n, thun nh§t hâa F bði Yi , hóng ta nhªn (cid:31)÷ñ mët (cid:31)a thù ma trªn thun nh§t â òng bª vîi F. Cö thº, n¸u hóng ta e
Xi=1 biºu di¹n F nh÷ sau
21
F = BβY β, Bβ ∈ St(R), X|β|≤d
m
th¼ thun nh§t hâa õa nâ bði
Yi l
Xi=1
m
(3.15)
Fh = Yi)d−|β|. BβY β(
Xi=1
(cid:30)ành lþ 3.3.2. Cho P , ϕ, Mϕ , r , F, F, Fh Fh < λIt tr¶n ∆m vîi λ > 0 n o (cid:31)â. (cid:30)°t d := deg(F) v L := L(Fh
â thº (cid:31)÷ñ biºu di¹n d÷îi d¤ng
(3.16)
X|β|≤d nh÷ ð tr¶n, trong (cid:31)â, F l x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n P . Gi£ sû r¬ng d(d 1) d, F ). Khi (cid:31)â, vîi N > − 2 L λ −
F = Cαλα1 λαm m ,
1 · · ·
trong (cid:31)â, méi Cα ∈ St(R) l x¡ (cid:31)ành d÷ìng.
3.3.3 Mët thuªt to¡n t¼m biºu di¹n d÷ìng ho da thù ma trªn d÷ìng tr¶n mët (cid:31)a
di»n lçi ompa t
Cho mët (cid:31)a di»n lçi ompa t P vîi phn trong khæng réng, bà h°n bði nhúng (cid:31)a thù tuy¸n t½nh
X|α|=N +d
R[X], â d¤ng λ1, , λm ∈ · · · Rn 0, i = 1, P = λi(x) | · · · ≥ ∈
Cho mët (cid:31)a thù ma trªn F = (fij) õa (cid:30)ành lþ 3.3.2 v [19℄, hóng ta (cid:31)÷a ra ¡ b÷î (cid:31)º t¼m biºu di¹n ho F nh÷ sau:
x , m . { } ∈ St(R[X]) â bª d > 0 v x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n P . Theo hùng minh
R sao ho
m i=1 ciλi(X) = 1. Vi» t¼m ci d¨n (cid:31)¸n gi£i mët h» ph÷ìng tr¼nh
(1) T¼m sè tü nhi¶n ci ∈
tuy¸n t½nh.
(2) Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh
P
m
, n, i = 1, bijλi(X), Xi = · · ·
(3) Sû döng (3.14) (cid:31)º t¼m
Xj=1 (cid:31)º t¼m ma trªn B = (bij)i=1,··· ,n;j=1,··· ,m .
, t. fij), i, j = 1, · · ·
(4) Sû döng ì sð Gr(cid:4)obner (cid:31)º t¼m mët ì sð { (5) T¼m mët sè c (cid:31)õ lîn sao ho
r1, f , rs} ho h¤t nh¥n Ker(ϕ) õa (cid:31)çng §u v nh ϕ.
(6) Sû döng (3.15) (cid:31)º x¥y düng (cid:31)a thù ma trªn thun nh§t Fh
õa F :=
· · · 0 tr¶n ∆m .
(7) T¼m mët sè tü nhi¶n λ sao ho Fh
F + crIt . F + crIt ≻ e
(8) (cid:129)p döng æng thù (3.10) (cid:31)º t¼m L := L(Fh
(y) < λIt vîi måi y ∆m . e ∈
).
(9) T¼m mët sè tü nhi¶n N >
d(d 1) d. − 2 L λ −
m
(10) T¼m ¡ ma trªn h» sè õa (cid:31)a thù ma trªn (
i=1 Yi)N Fh
nhªn (cid:31)÷ñ mët biºu di¹n ho F.
22
∈ St(R[Y ]), thay Yi v o λi(X), hóng ta P
K¸t luªn
Trong Luªn ¡n hóng tæi (cid:31)¢ (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ ¡ k¸t qu£ h½nh sau:
(1) Thi¸t lªp (cid:31)÷ñ mët sè h°n tr¶n v h°n d÷îi ho gi¡ trà ri¶ng õa ¡ (cid:31)a thù ma trªn mët bi¸n.
Cö thº, hóng tæi (cid:31)¢ (cid:31)÷a ra d¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ Enestr(cid:4)om-Kakeya (xem ¡ (cid:31)ành lþ 2.1.2, 2.1.3,
2.1.4). (cid:30)çng thíi, hóng tæi (cid:31)÷a ra mët sè d¤ng ma trªn ho ¡ (cid:31)ành lþ d¤ng Cau hy (xem ¡ (cid:31)ành lþ
2.2.2, 2.2.4, 2.2.6, 2.2.8, 2.2.10, 2.2.12, 2.2.14, 2.2.16, 2.2.17). B¶n ¤nh (cid:31)â, hóng tæi so s¡nh ¡ h°n (cid:31)¢
(cid:31)¤t (cid:31)÷ñ trong Luªn ¡n vîi ¡ h°n (cid:31)÷ñ (cid:31)÷a ra bði Higham v Tisseur [22℄ (xem Mö 2.3).
(2) (cid:30)÷a ra mèi li¶n h» giúa t½nh d÷ìng õa mët (cid:31)a thù ma trªn tr¶n mët tªp nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n
vîi thun nh§t hâa õa nâ (xem ¡ M»nh (cid:31)· 1.5.1, 1.5.2, 1.5.5, 1.5.6).
(3) (cid:30)÷a ra mët d¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u (xem (cid:30)ành lþ 3.1.2), tø
(cid:31)â suy ra mët d¤ng ma trªn õa (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Rezni k (xem H» qu£ 3.1.3).
(4) (cid:30)÷a ra mët d¤ng ma trªn ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Di kinson-Povh (xem (cid:30)ành lþ 3.2.2).
(5) (cid:30)÷a ra mët d¤ng ma trªn ho (cid:31)ành lþ Handelman, biºu di¹n mët (cid:31)a thù ma trªn x¡ (cid:31)ành d÷ìng
tr¶n mët (cid:31)ìn h¼nh (xem (cid:30)ành lþ 3.3.1) v x¡ (cid:31)ành d÷ìng tr¶n mët (cid:31)a di»n lçi, ompa t (xem (cid:30)ành lþ
3.3.2). Tø (cid:31)â, hóng tæi (cid:31)· xu§t mët thõ tö t¼m biºu di¹n n y ho ¡ (cid:31)a thù ma trªn (xem Mö 3.3.3).
C¡ k¸t qu£ h½nh trong Luªn ¡n (cid:31)÷ñ t¡ gi£ æng bè trong 02 b i b¡o [12, 30℄ v ti·n §n ph©m [13℄.
C¡ k¸t qu£ tr¶n l mîi, v (cid:31)âng gâp th¶m v o h÷îng nghi¶n ùu ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng ho (cid:31)a
thù v (cid:31)a thù ma trªn, ng nh÷ ùng döng õa hóng trong Tèi ÷u (cid:31)a thù , Lþ thuy¶t (cid:31)i·u khiºn v
B i to¡n mæmen.
Mët sè v§n (cid:31)· nghi¶n ùu ti¸p theo:
1. T¼m ¡ (cid:31)i·u ki»n (cid:31)º â biºu di¹n "khæng m¨u thù " trong ¡ d¤ng ma trªn (cid:31)÷a ra trong Luªn ¡n
ho (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng õa Putinar-Vasiles u v õa Di kinson-Povh. Nguy¶n nh¥n xu§t hi»n "m¨u
thù " trong ¡ biºu di¹n nâi tr¶n l do hóng tæi (cid:31)¢ ¡p döng thõ tö " h²o hâa" õa S hm(cid:4)udgen (cid:31)èi
vîi ¡ (cid:31)a thù ma trªn (Bê (cid:31)· 1.4.5). Do (cid:31)â, mët æng ö mîi (cid:31)º biºu di¹n ¡ (cid:31)a thù ma trªn d÷ìng
(khæng ¥m) tr¶n mët tªp nûa (cid:31)¤i sè (cid:31)âng ì b£n thay th¸ ho æng ö h²o hâa tr¶n (cid:31)¥y õa S hm(cid:4)udgen
l n thi¸t ph£i nghi¶n ùu.
2. T¼m ¡ ùng döng õa ¡ (cid:30)ành lþ biºu di¹n d÷ìng (cid:31)¢ (cid:31)¤t (cid:31)÷ñ ho (cid:31)a thù ma trªn trong Lþ thuy¸t
(cid:31)i·u khiºn v trong ¡ l¾nh vü kh¡ , t÷ìng tü nh÷ ¡ h S herer-Hol [44℄ (cid:31)¢ thü hi»n.
23
T i li»u tham kh£o
(cid:4)
[1℄ E. Artin (1927),
Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Abh. Math. Sem. Univ. Ham-
burg 5, 100-115.
[2℄ R. Bhatia (2001), Matrix Analysis, Springer, New York.
[3℄ P. Borwein and T. Erd±lyi (1995), Polynomials and Polynomial Inequalities, Springer-Verlag, New
York.
[4℄ M.D. Choi and T.-Y. Lam (1977), Extremal positive semi-definite forms, J. Math. Ann. 231, 1-18.
[5℄ J. Cimpri(cid:7) (2009), A representation theorem for Ar himedean quadrati modules on ∗-rings , Canad.
Math. Bull 52(1), 39-52.
[6℄ J. Cimpri(cid:7) (2012), Real algebrai geometry for matri es over ommutative rings, J. Algebra 359,
89-103.
[7℄ J. Cimpri(cid:7) and J. Zalar (2013), Moment problems for operator polynomials, J. Math. Anal. Appl.
401(1), 307-316.
[8℄ B. Datt and N. K. Govil (1978), On the lo ation of the zeros of a polynomial, J. Approx. Theory 24,
78-82.
[9℄ M. Dehmer (2006), On the lo ation of zeros of omplex polynomials, J. Inequal. Pure Appl. Math.
7(1), 1-13.
[10℄ P. Di kinson, J. Povh (2015), On an extension of Pâlya's Positivstel lensatz, J. Global Optim. 61(4),
615-625.
[11℄ G. Dirr and H. K. Wimmer (2007), An Enestr(cid:4)om-Kakeya theorem for hermitian polynomial matri es,
IEEE Trans. Automat. Control 52, 2151(cid:21)2153.
[12℄ T. H. B. D÷ (2017), A Note on Positivstel lens(cid:4)atze for Matrix Polynomials, East-West J. Math.,
19(2), 171-182 .
[13℄ T. H. B. D÷, C. T. L¶, T. (cid:30). Nguy¹n (2018), On the Lo ation of Eigenvalues of Matrix Polynomials
(submitted).
[14℄ M. Fiedler (2011), Metri es and Graphs in Geometry, Cambridge Univ. Press, New York.
[15℄ R. A. Frazer, W. J. Dun an and A. R. Collar (1955), Elementary matri es, 2nd ed., Cambridge Univ.
Press, London and New York.
24
[16℄ I. Gohberg, P. Lan aster and L. Rodman (1982), Matrix Polynomials, A ademi Press, New York.
[17℄ H.-V. Ha, T.-M. Ho (2016), Positive polynomials on nondegenerate basi semi-algebrai sets, Advan es
in Geometry, 16(4), 497-510.
[18℄ S. Hamarling, C. J. Munro and F. Tisseur (2013), An algorithm for the omplete solution of quadrati
eigenvalue problems, ACM Trans, Math. Softw. 39(3), Arti le 18.
[19℄ D. Handelman (1988), Representing polynomials by positive linear fun tions on ompa t onvex poly-
hedra, Pa ifi J. Math. 132, 35-62.
[20℄ E. K. Haviland (1935), On the momentum problem for distribution fun tions in more than one
dimension, Amer. J. Math. 57, 562-572.
[21℄ N. J. Higham and F. Tisseur (2001), Stru tured pseudospe tra for polynomial eigenvalue problems,
with appli ations, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 23(1), 187-208.
[22℄ N. J. Higham and F. Tisseur (2003), Bounds for eigenvalues of Matrix Polynomials, Linear Algebra
Appl. 358, 5-22.
(cid:4)
[23℄ D. Hilbert (1888),
Uber die Darstel lensatz definiter Formen als Summe von Formenquadraten, Math.
Ann. 32, 342-350.
[24℄ A. Joyal, G. Labelle and Q. I. Rahman (1967), On the lo ation of zeros of polynomials, Cand. Math.
Bull. 10, 53-63.
[25℄ J. L. Krivine (1964), Anneaux pr²ordonn²s, J. Analyse. Math. 12, 307-326.
[26℄ P. Lan aster (1966), Lambda-matri es and vibrating systems, Pergamon Press, Oxford.
[27℄ J. B. Lasserre (2001), Global optimization with polynomials and the problem of moments, SIAM J.
Optim. 11(3), 796-817.
[28℄ M. Laurent (2009), Sums of squares moment matri es and optimization over polynomials, in: Emerg-
ing Appli ations of Algebrai Geometry, New York:Springer, 149, 157-270.
[29℄ C. T. L¶ (2014), Some Positivstel lens(cid:4)atze for polynomial matri es, Positivity. 19(3), 513-528.
[30℄ C. T. L¶, T. H. B. D÷ (2017), Handelman's Positivstel lensatz for Polynomial Matri es Positive Def-
inite on Polyhedra, Positivity. 22(2), 449(cid:21)460.
[31℄ M. Marden (1966), Geometry of polynomials, Mathemati al Surveys. Amer. Math. So ., Rhode Island,
3.
[32℄ M. Marshall (2010), Positive polynomials and sums of squares, Springer.
[33℄ G. V. Milovanovi(cid:1) , D. S. Mitrinovi and Th. M. Rassias (1994), Topi s in polynomials, Extremal
problems, Inequalities, Zeros, World S ientifi , Singapore.
[34℄ G. V. Milovanovi(cid:1) and Th. M. Rassias (2000), Inequalities for polynomial zeros, In: Survey on Clas-
si al Inequalities (Th. M. Rassias, ed.), Mathemati s and Its Appli ations. 517, 165-202, Kluwer,
Dordre ht.
25
[35℄ T. Motzkin (1967), The arithmeti -geometri inequalities, In: Inequalities (0. Shisha, ed.), Pro .
Symp. Wright-Patterson AFB, August 19-27, 1965, A ademi Press, 205-224.
[36℄ Y. Nesterov (2000), Squared fun tional systems and optimization problems , in J.B.G. Frenk, C. Roos,
T. Terlaky, and S. Zhang, editors, High Performan e Optimization, 405-440. Kluwer A ademi Pub-
lishers.
(cid:4)
[37℄ G. Pâlya (1928),
Uber positive Darstel lung von Polynomen, Vierteljs hr. Natur-fors h. Ges. Zuri h.
73, 141-145.
[38℄ V. Powers, B. Rezni k (2001), A new bound for Pâlya's theorem with appli ations to polynomials
positive on polyhedra, J. Pure Appl. Algebra. 164, 221-229.
[39℄ M. Putinar (1993), Positive polynomials on ompa t semialgebrai sets, Indiana Univ. Math. J. 43(3),
969-984.
[40℄ M. Putinar and F.H. Vasiles u (1999), Solving moment problems by dimensional extension, Ann. of
Math. (2), 149(3), 1087-1107.
[41℄ B. Rezni k (1995), Uniform denominators in Hilbert's seventeenth problem, Math. Z. 220, 75-98.
[42℄ C. S heiderer (2003), Sums of squares on real algebrai urves, Math. Z. 245, 725-760.
[43℄ C. S heiderer (2005), Distinguished representations of non-negative polynomials, J. Algebra. 289,
558-573.
[44℄ C. W. S herer, C. W. Hol (2006), Matrix sum-of-squares relaxations for robust semi-definite programs,
Math. Program. 107 (1,2), 189-211.
[45℄ K. S hm(cid:4)udgen (1990), Unbounded operator algebras and representation theory. Operator Theory ,
Advan es and Appli ations, 37. Birkh(cid:4)auser Verlag, Basel-Boston-Berlin.
[46℄ K. S hm(cid:4)udgen (1991), The K-moment problem for ompa t semialgebrai sets, Math. Ann. 289,
203-206.
[47℄ K. S hm(cid:4)udgen (2005), A stri t Positivstel lensatz for the Weyl algebra , Math. Ann. 331, 779-794.
[48℄ K. S hm(cid:4)udgen (2009), Non ommutative real algebrai geometry - some basi on epts and first ideas.
In: Emerging Appli ations of Algebrai Geometry, IMA Vol. Math. Appl. Springer, New York, 149,
325-350.
[49℄ M. S hweighofer (2002), An algorithmi approa h to S hm(cid:4)udgen's Positivstel lensatz, J. Pure Appl.
Algebra. 166(3),307-319.
[50℄ M. S hweighofer (2006), Global optimization of polynomials using gradient tenta les and sums of
squares, SIAM J. Optim. 17(3), 920-942.
[51℄ N. Z. Shor (1987), Class of global minimum bounds of polynomial fun tions , Cyberneti s. 23(6),
731-734.
26
[52℄ V. Simon ini, F. Perotti (2006), On the numeri al solution of (λ2A + λB + C)x = b and appli ation
to stru tural dynami s, SIAM J. S i. Comput. 23, 1875-189.
[53℄ G. Singh and W. M. Shah (2011), On the Lo ation of Zeros of Polynomials, Amer. J. Comp. Math.
1(1), 1-10.
[54℄ G. Stengle (1974), A Nul lstel lensatz and a Positivstel lensatz in semialgebrai geometry, Math. Ann.
207, 87-97.
[55℄ M. Zedek (1965), Continuity and Lo ation of Zeros of Linear Combinations of Polynomials, Pro .
Amer. Math. So . 16, 78-84.
[56℄ L. Zeng and Y. Su (2014), A ba kward stable algorithm for quadrati eigenvalue problems, SIAM J.
Matrix Anal. Appl. 35(2), 499-516.
27
Danh mö ¡ æng tr¼nh õa t¡ gi£ li¶n quan (cid:31)¸n Luªn ¡n
(1) D÷ Thà Háa B¼nh (2017), (cid:16)A Note on Positivstellens(cid:4)atze for Matrix Polynomials(cid:17) , East-West Journal
of Mathemati s. 19(2), 171-182.
(2) L¶ Cæng Tr¼nh v D÷ Thà Háa B¼nh (2018), (cid:16)Handelman's Positivstellensatz for Polynomial Matri es
Positive Definite on Polyhedra(cid:17) , Positivity. 22(2), 449-460.
(3) D÷ Thà Háa B¼nh, L¶ Cæng Tr¼nh v Nguy¹n Trn (cid:30)ù (2018), (cid:16)On the Lo ation of Eigenvalues of
Matrix Polynomials(cid:17) (submitted).
