Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứng dụng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

71
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích xây dựng của luận án nhằm xây dựng một số tích chập suy rộng Hartley. Nghiên cứu các tính chất của các tích chập suy rộng này và ứng dụng trong giải phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel; nghiên cứu một số bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Hartley, chẳng hạn như bất thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh và các ứng dụng liên quan.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứng dụng

1 MỞ ĐẦU 1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lí do chọn đề tài Phép biến đổi tích phân Phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò quan trọng trong lý thuyết cũng như trong ứng dụng đối với nhiều ngành khoa học, đặc biệt là các ngành Vật lý như: quang học, điện, cơ học lượng tử, xử lý âm thanh, xử lý ảnh,... Phép biến đổi tích phân đầu tiên được nghiên cứu xuất phát từ bài toán thực tế, khi Fourier J. nghiên cứu về quá trình truyền nhiệt, phép biến đổi này có dạng Z∞ 1 (F f )(x) = √ e−ixy f (y)dy, y ∈ R, f ∈ L1 (R). (1) 2π −∞ Năm 1942, phép biến đổi tích phân Hartley đã được đề xuất như một thay thế cho phép biến đổi Fourier bởi tác giả Hartley R.V.L., nhằm giải quyết các bài toán thực tế với những ưu điểm trong một số lĩnh vực như: xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, xử lý âm thanh,... Phép biến đổi Hartley của hàm f ∈ L1 (R) được cho bởi các công thức sau Z∞ 1 (H1 f )(y) = √ f (x) cas(xy)dx, (2) 2π −∞ Z∞ 1 (H2 f )(y) = √ f (x) cas(−xy)dx, (3) 2π −∞ trong đó cas u = cos u + sin u là nhân của phép biến đổi tích phân Hartley. Trong thời gian gần đây, đã có nhiều nghiên cứu mới về phép biến đổi tích phân Hartley và ứng dụng. Năm 2014 tác giả Bouzeffour F. nghiên cứu về phép biến đổi Hartley suy rộng trên L1α (R) và các ứng dụng liên quan. Cũng trong năm 2014, nhà toán học Yakubovich S.B. nghiên cứu về phép biến đổi tích phân Hartley và biến đổi ngược của nó trên nửa trục trong không gian L2 (R+ ). Để nghiên cứu không gian tuyến tính, người ta thường đưa vào phép nhân chập hay còn gọi là tích chập, khi cố định một hàm ta có một lớp biến đổi tích phân gọi là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập. Việc nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, có thể giải quyết những bài toán ứng dụng thực tế có nhiều ý nghĩa khoa học hơn, chẳng hạn đối với những bài toán có nguồn thông tin dữ liệu đa dạng hơn (vì trong đẳng thức nhân tử hóa của tích chập suy rộng được kết hợp bởi nhiều phép biến đổi tích phân hơn). Tuy vậy, cho đến nay vẫn chưa có nhiều nghiên cứu về phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, có thể kể tên những công trình nghiên cứu gần đây, chẳng hạn
2 • Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng không có hàm trọng: Năm 2000, các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine, Fourier sine trong không gian hàm Lp (R+ ), (1 < p < 2) được nghiên cứu bởi tác giả Tuan V.K. và các cộng sự. Năm 2013, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine và Kontorovich- Lebedev được nghiên cứu bởi Hong N.T., Tuan T. và Thao N.X.. • Đối với phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng có hàm trọng: Năm 2007, kết quả điển hình nghiên cứu về phép biến đổi này đối với tích chập suy rộng Fourier cosine và sine, được công bố bởi nhóm tác giả Thao N.X., Tuan V.K. và Hong N.T.. Như vậy có thể thấy rằng, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley cho đến nay chưa có nhiều nghiên cứu đề cập đến, mặc dù các ứng dụng của nó khá phong phú và xuất phát từ những vấn đề khác nhau của các bài toán thực tế. Vì vậy, nghiên cứu về phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley cũng như cấu trúc toán tử của nó là một mục đích của luận án. Tích chập và tích chập suy rộng Theo lịch sử phát triển thì các khái niệm về tích chập lần lượt được xuất hiện với những tên gọi khác nhau như: tích chập (không có hàm trọng và có hàm trọng), tích chập suy rộng (không có hàm trọng và có hàm trọng) và tiếp đến là đa chập. Đối với tích chập mà trong đẳng thức nhân tử hóa của nó có nhiều hơn một phép biến đổi tích phân được gọi là tích chập suy rộng. Khi đó, tích chập suy rộng được gọi tên theo thứ tự các phép biến đổi tích phân lần lượt xuất hiện. Cho đến nay có rất ít công trình nghiên cứu về tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Hartley (có trọng và không có trọng), mặc dù hướng nghiên cứu này mang lại nhiều ứng dụng hữu ích. Do đó, vấn đề xây dựng các tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley và các ứng dụng của nó là một nội dung có ý nghĩa khoa học và là mục đích nghiên cứu của luận án. Bất đẳng thức kiểu tích chập và tích chập suy rộng Chúng ta biết rằng, những ưu điểm của tích chập và tích chập suy rộng trong các ứng dụng là việc giải một số bài toán phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, các bài toán Toán-Lý,... Việc giải các bài toán đó thường nhận được nghiệm biểu diễn dưới dạng tích chập, vì vậy xây dựng các bất đẳng thức tích chập và các bất đẳng thức tích chập suy rộng để thuận tiện cho việc đánh giá nghiệm là một hướng nghiên cứu được nhiều nhà toán học quan tâm. Những nghiên cứu về lĩnh vực này ở trong và ngoài nước có thể thấy như sau: • Đối với tích chập Fourier: Một kết quả nổi tiếng là bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier. Mặc dù đây là một kết quả đẹp, nhưng khi p = q = 2 thì nó không
3 còn đúng nữa. Cũng trong năm 2000, các tác giả Saitoh S., Tuan V.K., Yamamoto M. đã khắc phục được hạn chế của bất đẳng thức trên bằng việc xây dựng một bất đẳng thức đối với tích chập Fourier trong không gian Lp (R, ρ), p > 1 với hàm trọng ρ(x) và đưa ra một số ứng dụng. Hơn nữa, nhóm nghiên cứu Tuan V.K., Duc D.T. và Nhan N.D.V. đã mở rộng bất đẳng thức kiểu tích chập đối với tích chập Fourier sang nhiều chiều. Nhận được các bất đẳng thức Saitoh ngược trong không gian R2 , Rn và một số ứng dụng. Ngoài ra, bất đẳng thức đối với tích chập Laplace cũng được tác giả Tuan V.K. và các cộng sự nghiên cứu, nhận được bất đẳng thức ngược đối với tích chập này và cho ứng dụng trong giải bài toán truyền nhiệt ngược. • Gần đây, nghiên cứu về bất đẳng thức đối với tích chập Fourier cosine của tác giả Hong N.T. đã công bố năm 2010, nhận được các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh và các ứng dụng. Đây là kết quả mới mở rộng sang tích chập khác, nhưng đối với bất đẳng thức ngược dạng này vẫn chưa được nghiên cứu. Đối với bất đẳng thức tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley như: bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh, kiểu Saitoh ngược, cho đến nay chưa có công trình nào công bố, mặc dù các ứng dụng của nó có vai trò quan trọng khi nghiên cứu những vấn đề nảy sinh từ một số bài toán thực tiễn. Do đó, mục tiêu được quan tâm nghiên cứu là các bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley và một số ứng dụng, đây cũng là một phần quan trọng trong mục đích nghiên cứu của luận án. Một ứng dụng có ý nghĩa khoa học đối với hướng nghiên cứu này là việc giải phương trình Toeplitz-Hankel tổng quát có dạng Z∞ f (x) + [k1 (x + y) + k2 (x − y)]f (y)dy = g(x), x > 0, (4) 0 trong đó g, k1 , k2 là những hàm đã biết, và f là ẩn hàm. Gần đây, sử dụng công cụ tích chập, một số lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel (4) trong trường hợp đặc biệt có thể giải được và cho nghiệm dưới dạng đóng. Cho đến nay, ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt, bài toán tìm nghiệm đóng cho phương trình (4) trong trường hợp tổng quát vẫn đang là bài toán mở. Do đó, các ứng dụng theo hướng này cũng là một vấn đề cần được tiếp tục quan tâm nghiên cứu và đây cũng là một mục tiêu đặt ra khi nghiên cứu các ứng dụng của Luận án. Vì các lí do trên và để tiếp nối, phát triển hướng nghiên cứu này, chúng tôi đã định hướng vấn đề, mục tiêu cần nghiên cứu và lựa chọn đề tài cho Luận án với tên gọi "Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley và ứng dụng". 2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4 • Mục đích: - Xây dựng một số tích chập suy rộng Hartley. Nghiên cứu các tính chất của các tích chập suy rộng này và ứng dụng trong giải phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel. - Nghiên cứu một số bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Hartley, chẳng hạn như bất thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh và các ứng dụng liên quan. - Xây dựng một số phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley, nghiên cứu các tính chất toán tử của các phép biến đổi tích phân này trong các không gian hàm L2 (R), Lp (R), với 1 6 p 6 2 và một số ứng dụng. • Đối tượng: Xây dựng các tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine, Hartley- Fourier sine. Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, các bất đẳng thức kiểu tích chập suy rộng và một số ứng dụng. • Phạm vi nghiên cứu: Là các phép biến đổi tích phân, các tích chập và các tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine, Fourier sine, các bất đẳng thức tích chập và tích chập suy rộng, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, kiểu tích chập suy rộng. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong Luận án này, đã sử dụng các phương pháp liên quan đến lý thuyết giải tích hàm, phương pháp tích chập và tích chập suy rộng để xây dựng, nghiên cứu các tích chập suy rộng mới, chứng minh sự tồn tại của các tích chập suy rộng này cũng như tính bị chặn của chúng. Ngoài ra, còn sử dụng phương pháp biến đổi tích phân để đánh giá và đưa ra các tính chất toán tử của những kết quả nghiên cứu mới, nhằm mục đích giải một số phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel, phương trình và hệ phương trình tích phân, phương trình và hệ phương trình vi-tích phân. Sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳng thức tích phân trong không gian để chứng minh các bất đẳng thức tích phân đối với tích chập suy rộng và xây dựng các đánh giá nghiệm. 4. Cấu trúc và các kết quả của Luận án Luận án được trình bày trong 125 trang. Ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo, luận gồm bốn chương: Chương 1 : Nhắc lại những kiến thức liên quan đến hướng nghiên cứu. Chương 2 : Xây dựng các tích chập suy rộng Hartley mới là tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine, Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier, Hartley H1 và H2 . Chứng minh các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, định lý kiểu Titchmarch. Áp dụng giải một lớp phương trình và hệ phương trình tích phân, phương trình và hệ phương trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel.
5 Chương 3 : Nghiên cứu một số bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley như bất đẳng thức kiểu Hausdorff-Young, kiểu Young, kiểu Saitoh và kiểu Saitoh ngược. Áp dụng những kết quả đạt được đánh giá nghiệm của phương trình tích phân kiểu Toeplitz-Hankel, phương trình vi phân và một số bài toán Toán-Lý. Chương 4 : Xây dựng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Hartley. Chứng minh định lý kiểu Watson, thiết lập điều kiện cần và đủ cho tính unita của các phép biến đổi tích phân mới xây dựng trong không gian L2 (R). Nhận được định lý Plancherel, định lý về tính bị chặn của toán tử vi-tích phân, cho minh hoạ về sự tồn tại của các phép biến đổi tích phân trên bằng một số ví dụ cụ thể. Vận dụng kết quả mới nhận được cho việc tìm nghiệm đóng của lớp phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, phương trình parabolic một chiều. 5. Ý nghĩa các kết quả đạt được trong Luận án Các kết quả nghiên cứu nhận được là mới, có ý nghĩa khoa học trong lĩnh vực phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng, góp phần làm phong phú thêm lý thuyết tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân, bất đẳng thức tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine, Fourier sine. Các kết quả này cho ứng dụng trong việc tìm nghiệm đóng của một lớp các phương trình và hệ phương trình tích phân Toeplitz-Hankel, phương trình và hệ phương trình vi-tích phân, nhận được các biểu diễn và đánh giá nghiệm trong một số bài toán Toán-Lý. Các kết quả và ý tưởng của luận án có thể sử dụng trong nghiên cứu các tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân khác, và nghiên cứu bài toán quang phổ, xử lý ảnh. Nội dung chính của Luận án dựa trên bốn công trình nghiên cứu được liệt kê ở "Danh mục các công trình đã công bố của Luận án". Trong đó có 03 công trình trong danh mục các tạp chí quốc tế uy tín ISI, 01 công trình trong kỷ yếu Hội nghị Toán học Quốc tế. Các kết quả này đã được báo cáo toàn bộ hay từng phần tại các Hội nghị khoa học và các Seminar sau: • Các hội nghị khoa học: - Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng (ICFIDCAA), tháng 7 năm 2012 tại Hà Nội. - Hội nghị toán học Việt Pháp lần thứ 8, tháng 8 năm 2012 tại Huế. - Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013 tại Nha trang. - Hội nghị Toán học Quốc tế lần thứ III, tháng 12 năm 2013 tại Thành phố Hồ Chí Minh. • Các seminar: - Seminar Giải tích và Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà Nội. - Seminar Giải tích, trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
6 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại những kiến thức đã biết được sử dụng cho nghiên cứu của luận án như: • Trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về tích chập và tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân, cũng như quá trình phát triển của hướng nghiên cứu. • Nhắc lại một số định lý liên quan đến các kết quả nghiên cứu trong luận án, chẳng hạn là Định lý Wiener-Lévy, Định lý nội suy Riesz. • Nhắc lại một số bất đẳng thức tích phân đã biết, các định lý về bất đẳng thức đối với tích chập liên quan đến hướng nghiên cứu của luận án. Các bất đẳng thức quan trọng được sử dụng trong chứng minh một số kết quả nghiên cứu và ứng dụng của luận án là bất đẳng thức H¨older và bất đẳng thức H¨older ngược sau đây 1 Định lý 1.0.1 (Bất đẳng thức H¨ older). Giả sử p, q > 1 sao cho + p 1 = 1. Khi đó với mọi f ∈ Lp (X), g ∈ Lq (X), ta có q Z Z ! p1 Z ! 1q |f (x)g(x)|dµ 6 |f |p dµ · |g|q dµ . (1.1) X X X Hay ta có: kf gkL1 (X) 6 kf kLp (X) · kgkLq (X) . Định lý 1.0.2 (Bất đẳng thức H¨ older ngược). Cho hai hàm dương f và g thỏa mãn f 0 < m 6 6 M < ∞, (1.2) g 1 1 trên tập X, cho các số thực p, q > 1 sao cho + = 1. Khi đó, ta có bất p q đẳng thức sau là đúng nếu vế phải hội tụ: Z ! p1 Z ! 1q mZ 1 1 f dµ gdµ 6 Ap,q f p g q dµ, (1.3) M X X X trong đó, 1 − p1 − 1q t− pq (1 − t) Ap,q (t) = p q p1 1q . 1 1 1 − tp 1 − tq • Nhắc lại các hàm đặc biệt được sử dụng trong nghiên cứu.
7 Chương 2 TÍCH CHẬP SUY RỘNG HARTLEY Mục đích của chương này là xây dựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng Hartley mới như: Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier cosine. Nghiên cứu các tính chất tương ứng của nó, chẳng hạn như các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, định lý Titchmarch,... Trong phần ứng dụng sẽ xây dựng và giải một số phương trình và hệ phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel. Nội dung chính của chương này là kết quả của các bài báo [1, 2] trong "Danh mục các công trình đã công bố của Luận án", đây là hai kết quả được công bố trong các tạp chí quốc tế uy tín ISI. 2.1 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine 2.1.1 Định nghĩa và các tính chất Định nghĩa 2.1.1. Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier sine ký hiệu là (f ∗ g) được định nghĩa bởi công 1 thức Z∞ 1 (f ∗ g)(x) := √ f (u)[g(x − u) − g(x + u)]du, x ∈ R. (2.1) 1 2π 0 Định lý 2.1.1. Giả sử f ∈ L1 (R+ ) và g ∈ L1 (R). Khi đó, tích chập suy rộng Hartley–Fourier sine (2.1) thuộc không gian L1 (R) ∩ C0 (R) và có các đẳng thức nhân tử hóa sau luôn đúng. H1 (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y) · (H2 g)(y), ∀y ∈ R; 1 H2 (f ∗ g)(y) = −(Fs f )(y) · (H1 g)(y), ∀y ∈ R, (2.2) 1 ở đây (Fs f )(−y) = −(Fs f )(y), với y < 0. Hơn thế, ta nhận được bất đẳng thức k(f ∗ g)kL1 (R) 6 kf kL1 (R+ ) · kgkL1 (R) . (2.3) 1 Đặc biệt, nếu g ∈ L1 (R) ∩ L2 (R), thì ta có các đẳng thức Parseval sau Z∞ 1 (f ∗ g)(x) = √ (Fs f )(y) · (H2 g)(y) cas(xy)dy, (2.4) 1 2π −∞ Z∞ 1 (f ∗ g)(x) = − √ (Fs f )(y) · (H1 g)(y) cas(−xy)dy, (2.5) 1 2π −∞ tích phân trong các đẳng thức Parseval trên được hiểu là giá trị chính Cauchy.
8 Định lý 2.1.2. Giả sử f là hàm thuộc không gian Lp (R+ ), g là hàm thuộc 1 1 không gian Lq (R), và + = 1, p, q > 1. Khi đó tích chập suy rộng (2.1.1) p q tồn tại với mọi x ∈ R trong không gian Lα,β,γ r (R), α > −1, β > 0, γ > 0, r > 1 thỏa mãn bất đẳng thức sau k(f ∗ g)(x)kLα,β,γ r (R) 6 C kf kLp (R+ ) · kgkLq (R) , (2.6) 1 1 2 q −1 −α+1 1r α+1 ở đây, C = √ 2γ β γ Γ γ . 2π Bổ đề 2.1.1. Nếu f (x) ∈ L1 (R) và (H2 f )(y) = 0, ∀y ∈ R, thì ta có f (x) = 0 hầu khắp nơi. Định lý 2.1.3 (Định lý kiểu Titchmarch). Giả sử f và g là các hàm liên tục thỏa mãn f ∈ L1 (R+ , ex ), g ∈ L1 (R, e|x| ). Nếu (f ∗ g)(x) ≡ 0 hầu khắp nơi 1 trên R, thì ta có f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R+ , hoặc g(x) ≡ 0, ∀x ∈ R. 2.1.2 Tích chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Hartley Định nghĩa 2.1.2. Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier ký hiệu là (f ∗ g), được xác định bởi công HF thức Z∞ 1 (f ∗ g)(x) = √ g(y)[f (x + y) + f (x − y) + if (−x − y) − if (−x + y)]dy. (2.7) HF 2 2π −∞ Định lý 2.1.4. Giả sử các hàm f, g ∈ L1 (R). Khi đó, tích chập suy rộng Hartley-Fourier (2.7) thuộc không gian L1 (R) và thỏa mãn các đẳng thức nhân tử hóa sau H1 (f ∗ g)(y) = (H1 f )(y) · (F g)(y), ∀y ∈ R, HF (2.8) H2 (f ∗ g)(y) = (H2 f )(y) · (F g(−t))(y), ∀y ∈ R. HF Định nghĩa 2.1.3. Các tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các phép biến đổi tích phân Hartley H1 , H2 tương ứng ký hiệu là f ∗ g và f ∗ g H11 H12 lần lượt xác định bởi Z∞ 1 (f ∗ g)(x) = √ f (t)[g(x + t) + g(−x + t) + g(−x − t) − g(x − t)]dt, (2.9) H11 2 2π −∞ Z∞ 1 (f ∗ g)(x) = √ f (t)[g(x + t) + g(x − t) + g(−x − t) − g(−x + t)]dt. (2.10) H12 2 2π −∞
9 Định lý sau đây cho phép ta xác định được các đẳng thức nhân tử hóa của hai tích chập suy rộng này. Định lý 2.1.5. Giả sử các hàm f, g ∈ L1 (R). Khi đó, các tích chập suy rộng (2.9) và (2.10), thuộc không gian L1 (R), và thỏa mãn các đẳng thức nhân tử hóa sau H1 (f ∗ g)(y) = (H2 f )(y) · (H2 g)(y), ∀y ∈ R, H11 H2 (f ∗ g)(y) = (H1 f )(y) · (H1 g)(y), ∀y ∈ R; (2.11) H11 H1 (f ∗ g)(y) = (H2 f )(y) · (H1 g)(y), ∀y ∈ R, H12 H2 (f ∗ g)(y) = (H1 f )(y) · (H2 g)(y), ∀y ∈ R. (2.12) H12 2.1.3 Ứng dụng 2.1.3.1. Phương trình tích phân a) Phương trình tích phân loại một Xét phương trình tích phân Z∞ 1 √ f (u)[k(x − u) − k(x + u)]du = h(x), x ∈ R, (2.13) 2π 0 trong đó k, h là những hàm cho trước thuộc không gian L1 (R), f là ẩn hàm. Bổ đề 2.1.2. Giả sử k và h là các hàm thuộc không gian L1 (R) sao cho (H1 h)(y) (H2 k)(y) 6= 0, ∀y. Khi đó là một hàm lẻ khi và chỉ khi (h ∗ k)(y) ∈ (H2 k)(y) H Ker Tc . Định lý 2.1.6. Giả sử rằng k, h ∈ L1 (R), sao cho (H2 k)(y) 6= 0, ∀y, và (h ∗ k)(y) là một hàm lẻ. Khi đó, điều kiện cần và đủ để phương trình tích phân H (2.13) có nghiệm duy nhất trong không gian L1 (R+ ) là (H1 h)(y) (H1 h)(y) ∈ L1 (R) và F −1 ∈ L1 (R+ ), (H2 k)(y) (H2 k)(y) và nghiệm của phương trình được xác định bởi công thức (H1 h)(y) f (x) = F −1 (x). (2.14) (H2 k)(y)
10 b) Phương trình tích phân loại hai Xét phương trình tích phân có dạng Z∞ 1 f (|x|) sign x + √ [k(x − y) − k(x + y)]f (y)dy = h(x), x ∈ R, (2.15) 2π 0 trong đó k và h là những hàm cho trước, f là ẩn hàm. Bổ đề 2.1.3. Giả sử các hàm k, h ∈ L1 (R) sao cho 1 + (Hj k)(y) 6= 0, ∀y ∈ R (j = 1, 2), và q là một hàm lẻ thuộc không gian L1 (R) xác định bởi (H1 q)(y) = (H1 h)(y)[1 + (H2 k)(y)]. (2.16) (H1 h)(y) Khi đó, cũng là một hàm lẻ. 1 + (H2 k)(y) Định lý 2.1.7. Giả sử k, h ∈ L1 (R) sao cho 1 + (H2 k)(y) 6= 0, ∀ y ∈ R và h + (h ∗ k) là hàm lẻ thuộc không gian L1 (R), p ∈ L1 (R) thỏa mãn H (H2 k)(y) (F p)(y) = (2.17) 1 + (H2 k)(y) Khi đó, phương trình tích phân (2.15) có nghiệm duy nhất trong không gian L1 (R), xác định bởi công thức f (|x|) = [h(x) − (h ∗ p)(x)] sign x, x ∈ R. HF Từ Định lý 2.1.7, ta nhận được hệ quả sau Hệ quả 2.1.1. Với giả thiết tương tự định lý 2.1.7 và p là hàm thỏa mãn công thức (2.17). Khi đó, ta có f (x) = h(x) − (h ∗ p)(x), x > 0, HF là nghiệm trong L1 (R+ ) của phương trình tích phân sau Z∞ 1 f (x) + √ f (y)[k(x − y) − k(x + u)]dy = h(x), x ∈ R+ , (2.18) 2π 0 trong đó k và h là những hàm đã biết, f là ẩn hàm. Bổ đề 2.1.4. Giả sử k ∈ L1 (R) thỏa mãn 1 + (H2 k)(y) 6= 0, ∀y ∈ R và q là một hàm lẻ sao cho q, h ∈ L1 (R) xác định bởi (H1 q)(y) = (H1 h) (y) · [1 + (H2 k)(y)]. (2.19) (H2 h)(y) Khi đó, cũng là một hàm lẻ. 1 + (H2 k)(y)
11 2.1.3.2. Hệ phương trình tích phân Trong phần này, ta xét hệ phương trình sau f (x) + (g ∗ h)(x) = p(x) 1 (2.20) g(x) + (f ∗ k)(x) = q(x), x ∈ R+ . 1 Định lý 2.1.8. Giả sử rằng h, k ∈ L1 (R+ ), p, q ∈ L1 (R) sao cho điều kiện sau được thỏa mãn 1 + (H1 k)(y) · (H2 h)(y) 6= 0, ∀y ∈ R, (2.21) l ∈ L1 (R) xác định bởi công thức (H1 k)(y) · (H2 h)(y) (F l)(y) = . (2.22) 1 + (H1 k)(y) · (H2 h)(y) Khi đó, hệ phương trình (2.20) có nghiệm duy nhất (f, g) ∈ L1 (R+ ) × L1 (R+ ) xác định bởi f (x) =p(x) − (q ∗ h)(x) − (p ∗ l(−t))(x) + [(q ∗ h) ∗ l(−t)](x), ∀x ∈ R+ H11 HF H11 HF g(x) = − q(x) + (k ∗ p)(x) + (q ∗ l(−t))(x) − [(k ∗ p) ∗ l(−t)](x), ∀x ∈ R+ . H11 HF H11 HF 2.2 Tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine 2.2.1 Định nghĩa và các tính chất toán tử Định nghĩa 2.2.1. Tích chập suy rộng của hai hàm f ∈ L1 (R+ ) và g ∈ L1 (R) đối với phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier cosine ký hiệu là (f ∗ g) được 2 định nghĩa bởi Z∞ 1 (f ∗ g)(x) := √ [g(x + u) + g(x − u)] f (u) du, x ∈ R, (2.23) 2 2π 0 Định lý 2.2.1. Tích chập suy rộng Hartley-Fourier cosine (2.23) của các hàm f ∈ L1 (R+ ), g ∈ L1 (R) thuộc không gian L1 (R) và có các đẳng thức nhân tử hóa sau luôn đúng Hj (f ∗ g)(y) = (Fc f )(y) · (Hj g)(y), ∀y ∈ R, j = 1, 2, (2.24) 2 ở đây (Fc f )(−y) = (Fc f )(y), với y < 0. Hơn thế, ta có bất đẳng thức r 2 k(f ∗ g)kL1 (R) 6 kf kL1 (R+ ) · kgkL1 (R) . (2.25) 2 π
12 Đặc biệt, khi f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) ta nhận được các đẳng thức Parseval có dạng Z∞ 1 (f ∗ g)(x) = √ (Fc f )(y) · (Hj g)(y) cas(±xy)dy, j = 1, 2. (2.26) 2 2π −∞ tích phân trong công thức (2.26) được hiểu là giá trị chính Cauchy như sau Z∞ Z N f (x) dx = lim f (x) dx. N →∞ −N −∞ Từ bất đẳng thức (2.25), ta nhận được bất đẳng thức đúng trong không gian Lα,β,γ r (R) với α > −1, β > 0, γ > 0, r > 1. Định lý 2.2.2 (Định lý kiểu Titchmarch). Cho f và g là các hàm liên tục sao cho f ∈ L1 (R+ , ex ), g ∈ L1 (R, e|x| ). Nếu (f ∗ g)(x) ≡ 0 hầu khắp nơi trên 2 R, thì ta có f (x) ≡ 0, ∀x ∈ R+ , hoặc g(x) ≡ 0, ∀x ∈ R. Mệnh đề 2.2.1. Cho f ∈ L1 (R+ ), g ∈ L1 (R) và h ∈ L1 (R+ ). Khi đó các phép toán của các tích chập suy rộng (2.1) và (2.23) là không có tính giao hoán và cũng không kết hợp, tuy nhiên chúng thỏa mãn các đẳng thức sau a) f ∗ (g ∗ h) = −(f ∗ g) ∗ h, 1 1 Fs Fs 2 b) f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h, 2 2 Fc 2 c) f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h. 1 2 Fs Fc 1 2.2.2 Ứng dụng Trong phần này ta xét phương trình Toeplitz-Hankel (4), đối với trường hợp nhân k1 = k2 , và điều kiện nhân k2 là hàm chẵn, đây cũng là phương trình Toeplitz- Hankel lần đầu tiên được xét trên toàn trực thực. Xét các phương trình Z∞ 1 f (|x|) + √ [k(x + y) + k(x − y)]f (y)dy = g(x), x ∈ R, (2.27) 2π 0 Z∞ 1 f (x) + √ [f (x + y) + f (x − y)]k(y)dy = g(x), x ∈ R. (2.28) 2π 0 Định lý 2.2.3 (Định lý kiểu Wiener-Lévy). Giả sử f ∈ L1 (R). Khi đó, 1 + (Hj f )(y) 6= 0, ∀y ∈ R, (j = 1, 2) là điều kiện đủ để tồn tại hàm l ∈ L1 (R) sao cho (Hj f )(y) (Hj l)(y) = . (2.29) 1 + (Hj f )(y)
13 Nhận xét rằng, do tính tuyến tính nên từ Định lý 2.2.3, với f ∈ L1 (R) sao cho 1 − (Hj f )(y) 6= 0, ∀y ∈ R, (j = 1, 2), l ∈ L1 (R), ta nhận được công thức sau (Hj f )(y) (Hj l)(y) = . (2.30) 1 − (Hj f )(y) 2.2.2.1. Phương trình Toeplitz-Hankel trên R Định lý 2.2.4. Cho k, g ∈ L1 (R) là những hàm đã biết và thỏa mãn các điều kiện dưới đây a) 1 + (H1 k)(x) 6= 0 với bất kỳ x ∈ R. b) g(x) − (g ∗ l)(x) là hàm chẵn, trong đó l là hàm xác định bởi H (H1 k)(y) l(x) = H1 (x). (2.31) 1 + (H1 k)(y) Khi đó, phương trình (2.27) có nghiệm duy nhất f ∈ L1 (R+ ), được cho bởi công thức sau f (x) = g(x) − (g ∗ l)(x), x ∈ R+ . H Định lý 2.2.5. Cho k ∈ L1 (R+ ), g ∈ L1 (R) là những hàm đã biết, ta giả sử 1 + (Fc k)(x) 6= 0, x ∈ R, và l(x) là hàm thuộc không gian L1 (R) sao cho (Fc k)(y) l(x) = Fc (x) ∈ L1 (R+ ). (2.32) 1 + (Fc k)(y) Khi đó phương trình (2.28) có nghiệm duy nhất f ∈ L1 (R+ ) xác định bởi f (x) = g(x) − (l ∗ g)(x), x ∈ R. (2.33) 2 2.2.2.1. Hệ phương trình Toeplitz - Hankel trên R Ta xét hệ gồm hai phương trình tích phân Toeplitz - Hankel  Z∞   1 f (|x|) + √ g(u)[k1 (x + u) + k1 (x − u)]du = p(x), x ∈ R,      2π 0 Z∞ (2.34)   1   g(|x|) + √ f (u)[k2 (x + u) + k2 (x − u)]du = q(x), x ∈ R, 2π    0 trong đó p, q, k1 , k2 ∈ L1 (R) là các hàm đã biết, f, g ∈ L1 (R+ ) là các ẩn hàm.
14 Định lý 2.2.6. Giả sử rằng điều kiện sau luôn đúng 1 − (H1 k1 )(y) · (H1 k2 )(y) 6= 0, ∀y ∈ L1 (R), (2.35) và các hàm sau là những hàm chẵn p(x) − (q ∗ k1 )(x) + (p ∗ l)(x) − (q ∗ k1 ∗ l)(x); H H H H q(x) − (p ∗ k2 )(x) + (q ∗ l)(x) − (p ∗ k2 ∗ l)(x), H H H H trong đó, l(x) là một hàm thuộc không gian L1 (R) sao cho (H1 k1 )(y) · (H1 k2 )(y) l(x) = H1 (x). (2.36) (1 − H1 k1 )(y) · (H1 k2 )(y) Khi đó hệ phương trình (2.34) có nghiệm duy nhất f, g ∈ L1 (R) được xác định bởi công thức sau f (x) = p(x) − (q ∗ k1 )(x) + (p ∗ l)(x) − (q ∗ k1 ∗ l)(x), x > 0, H H H H g(x) = q(x) − (p ∗ k2 )(x) + (q ∗ l)(x) − (p ∗ k2 ∗ l)(x), x > 0. (2.37) H H H H Kết luận chương 2 Chương này đã đạt được một số kết quả sau: • Xây dựng các tích chập suy rộng mới Hartley-Fourier sine (f ∗ g), Hartley- 1 Fourier cosine (f ∗ g), Hartley-Fourier (f ∗ g) và các tích chập suy rộng 2 HF Hartley (f ∗ g), (f ∗ g). H11 H12 • Chứng minh các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức Parseval, tính không có ước của không như định lý kiểu Titchmarch, ... của các tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine, Hartley-Fourier cosine. • Nhận được định lý kiểu Wiener-Lévy đối với phép biến đổi tích phân Hartley. • Trong phần ứng dụng, xây dựng và giải một số lớp phương trình và hệ phương trình tích phân, phương trình và hệ phương trình tích phân nhân Toeplitz-Hankel.
15 Chương 3 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH CHẬP SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Mục đích của chương 3 là xây dựng một số bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng f ∗ g và f ∗ g, chứng minh bất đẳng thức ngược đối với tích 1 2 chập suy rộng Hartley-Fourier cosine. Áp dụng kết quả nhận được để đánh giá nghiệm của một số bài toán Toán-Lý. Nội dung của chương này dựa vào các kết quả nghiên cứu [3, 4], trong "Danh mục các công trình đã công bố của Luận án", trong đó có một kết quả được công bố trong tạp chí quốc tế uy tín ISI. 3.1 Bất đẳng thức Hausdorff - Young Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức Hausdorff - Young đối với phép biến đổi tích phân Hartley. Định lý 3.1.1 (Bất đẳng thức kiểu Hausdorff - Young). Giả sử f ∈ Lp (R), với 1 < p ≤ 2 và q là số liên hợp của p. Khi đó, ta có các bất đẳng thức sau kHj f kLq (R) ≤ kf kLp (R) , j = 1, 2. (3.1) trong đó Hj , j = 1, 2 là các phép biến đổi tích phân Hartley. Từ Định lý 3.1.1, ta chứng minh được định lý kiểu Hausdorff - Young đối với các tích chập suy rộng Hartley-Fourier sine và Hartley-Fourier cosine sau Định lý 3.1.2. Giả sử rằng f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R) và p1 , q1 , r1 là các số liên hợp tương ứng của p, q, r sao cho 1 1 1 = + , với 1 6 p, q 6 2, và 1 6 r 6 2. r p1 q1 Khi đó, các bất đẳng thức dưới đây là đúng kf ∗ gkLr1 (R) 6 2kf kLp (R+ ) · kgkLq (R) , 1 kf ∗ gkLr1 (R) 6 2kf kLp (R+ ) · kgkLq (R) . (3.2) 2 3.2 Bất đẳng thức tích chập suy rộng Hartley- Fourier cosine Định lý 3.2.1 (Định lý kiểu Young). Giả sử p, q, r > 1, thoả mãn điều 1 1 1 kiện + + = 2, sao cho f ∈ Lp (R+ ), g ∈ Lq (R) và h ∈ Lr (R). Khi đó ta p q r
16 có bất đẳng thức sau
∞
Z