Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Nghiên cứu xây dựng các thành phần mật mã cho thuật toán mã khối hạng nhẹ

ii BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ -----------------------

NGUYỄN BÙI CƯƠNG

NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG CÁC THÀNH PHẦN MẬT MÃ CHO THUẬT TOÁN MÃ KHỐI HẠNG NHẸ

Chuyên ngành: Cơ sở toán học cho tin học Mã số: 9460110

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2018

Công trình được hoàn thành tại:

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ

BỘ QUỐC PHÒNG

Người hướng dẫn khoa học:

1. TS. Trần Duy Lai

2. PGS. TS. Bạch Nhật Hồng

Phản biện 1:

PGS. TS. Lê Mỹ Tú

Học viện Kỹ thuật mật mã

Phản biện 2:

PGS. TS. Nguyễn Trần Lý Viện Khoa học và Công nghệ Quân sự

Phản biện 3:

TS. Lưu Hồng Dũng

Học viện Kỹ thuật Quân sự

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án

cấp Viện họp tại Viện KH&CN quân sự vào hồi …..

ngày ….. tháng ….. năm ......

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

- Thư viện Viện KH&CN quân sự

- Thư viện Quốc gia Việt nam

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết

Nhu cầu sử dụng ngày càng nhiều các thiết bị có kích cỡ nhỏ,

khả năng tính toán thấp, phục vụ cho những công việc/bài toán chuyên

dụng. Trong khi, các mã khối truyền thống khó có thể sử dụng đa năng

cho mọi kiểu thiết bị được. Vì vậy nhu cầu cần có các hệ mã (mã khóa

công khai, mã khối, mã dòng, hàm băm, ...) riêng sử dụng cho các thiết

bị/hệ thống bị hạn chế (và thông tin cần phải bảo vệ không quá mật) đã

và đang được đặt ra trong những năm qua. Hiện nay, trên thế giới đã có

nhiều mã khối hạng nhẹ với các thiết kế khác nhau đã được đề xuất như

Skipjack, NOEKEON, mCrypton, DESL, DESX, DESXL; PRESENT,

KATAN và KATANTAN; Hummingbird, LED, TWIS, PICCOLO,...

Năm 2012, hai mã khối hạng nhẹ PRESENT và CLEFIA chính thức

được chọn là chuẩn mã khối hạng nhẹ ISO/IEC 29192-2:2012.

Xây dựng một thuật toán mã khối hạng nhẹ mà luận án hướng

tới theo nghĩa thiết kế một hệ mật không quá yếu (và không thay thế các

thuật toán mã truyền thống khác), nhưng phải đủ an toàn (tất nhiên

không thể kháng lại được các đối phương có đủ mọi điều kiện), chi phí

(cài đặt, sản xuất) thấp. Tóm lại, ta cần có một hệ mật cân bằng giữa yêu

tố chi phí, hiệu suất và độ an toàn để đạt được mục đích phù hợp một

cách tốt nhất cho thiết bị có tài nguyên hạn chế. Do đó, các thành phần

mật mã sử dụng trong mã khối hạng nhẹ thực sự đòi hỏi những yêu cầu

an toàn đặc biệt và phải xem xét đánh giá kỹ lưỡng theo những tiêu chí

mà người thiết kế hướng tới.

2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của Luận án: Luận án tập trung vào hai

đối tượng nghiên cứu đóng vai trò quan trọng trong xây dựng một thuật

toán mã khối là:

- Các S-hộp đóng vai trò xáo trộn trong thuật toán.

- Tầng tuyến tính sử dụng ma trận có tính chất MDS đóng vai

trò khuếch tán trong thuật toán.

Phạm vi nghiên cứu của Luận án: Luận án thực hiện trong phạm

vi nghiên cứu các thuật toán mã khối hạng nhẹ phù hợp cho các thiết bị

có tài nguyên hạn chế.

3. Mục tiêu nghiên cứu

Xây dựng thành phần phi tuyến S-hộp 4-bit cho các thuật toán

mã khối hạng nhẹ.

Xây dựng thành phần tuyến tính với ma trận biểu diễn kích

 có tính chất MDS phù hợp cho các thuật toán

thước 4×4 trên trường

mã khối sử dụng trong môi trường có tài nguyên hạn chế.

4. Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận án gồm phân

tích và tổng hợp các kết quả đã có trên thế giới, xin ý kiến các chuyên

gia trong cùng lĩnh vực hẹp, mở rộng và phát triển các kết quả đã có cho

bài toán của luận án, sử dụng ngôn ngữ lập trình C để nhận các kết quả

thực nghiệm. Các phương pháp thu thập số liệu gồm thu thập số liệu

bằng cách tham khảo tài liệu, thu thập số liệu từ những thực nghiệm.

5. Nội dung nghiên cứu

Nghiên cứu tổng quan nhu cầu sử dụng của thuật toán mật mã

hạng nhẹ và khái lược các nội dung cần nghiên cứu.

Nghiên cứu đảm bảo cơ sở toán học cho việc sinh các S-hộp 4

bit có tính chất mật mã tốt. Một số nghiên cứu về S-hộp 4 bit cho độ an

toàn cài đặt của mã pháp dạng SPN. Phân tích sự ảnh hưởng của độ dư

thừa tuyến tính của S-hộp trong mã pháp dạng SPN.

Nghiên cứu đánh giá độ an toàn của mô hình mã pháp dạng AES

có kích cỡ khối 64-bit sử dụng phép biến đổi TranCells. Xây dựng các ma trận MDS có kích thước 4×4 trên trường (cid:2418)(cid:2870)(cid:3120) có tính chất MDS theo một số cách tiếp cận được đề xuất gần đây.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học:

Nghiên cứu chuyên sâu và có hệ thống về một số tiêu chí an toàn

cho các S-hộp 4 bit. Phân tích rõ cơ sở đánh giá và xây dựng các S-hộp

thỏa mãn các tiêu chí này. Đưa ra một số kết quả lý thuyết mới cho việc

đánh giá độ an toàn và lập trình thực nghiệm lại các kết quả nhận được.

Nghiên cứu phân tích chi tiết mô hình tầng tuyến tính dạng AES dựa trên ma trận MDS có kích thước 4×4 trên trường (cid:2418)(cid:2870)(cid:3120). Đưa ra một số kết quả mới cho việc đánh giá an toàn của các ma trận này và xây dựng

các ma trận MDS cho mô hình này theo một số phương pháp gần đây.

Ý nghĩa thực tiễn: Đáp ứng nhu cầu bảo mật thông tin trong môi

trường có tài nguyên hạn chế trong các lĩnh vực kinh tế xã hội và an ninh

quốc phòng.

7. Bố cục của luận án

Luận án gồm 03 chương cùng với các phần mở đầu, kết luận,

danh mục các công trình, bài báo khoa học đã được công bố của tác giả

và phần phụ lục.

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ THUẬT TOÁN MÃ KHỐI HẠNG NHẸ

1.1. Tổng quan về nguyên lý thiết kế mã khối

Phần này trình bày sơ lược về một số cấu trúc mã khối và các

thành phần mật mã của một mã khối cụ thể là S-hộp và tầng tuyến tính.

1.2. Phân tích một số đặc điểm của thuật toán mã khối hạng nhẹ

Xu thế và sự bùng nổ của tính toán khắp nơi (UbiComp) đã được

ứng dụng và sử dụng phổ biến trong xã hội hiện đại.

1.2.1. Động lực thúc đẩy sự phát triển của mã khối hạng nhẹ

Bên cạnh các lợi ích của UbiComp đem lại cũng có nhiều rủi ro

vốn có sẵn trong các tính toán phổ thông như có nhiều ứng dụng có tính

nhạy cảm cần phải có giải pháp mật mã đảm bảo an toàn như mạng cảm

biến không dây cho quân sự, ứng dụng tài chính hoặc ứng dụng tự động.

1.2.2. Các yêu cầu trong thiết kế mã khối hạng nhẹ

Trong thiết kế và đánh giá một hệ mã hạng nhẹ ta cần phải xem

xét hai yêu cầu quan trọng độ an toàn và hiệu quả trong cài đặt.

1.2.3. Chiến lược thiết kế mã khối hạng nhẹ

Mọi nhà thiết kế mã khối hạng nhẹ đều phải tập trung cân bằng

giữa độ an toàn, chi phí cài đặt và hiệu suất.

Hình 1.1. Sự thỏa hiệp trong thiết kế mã khối hạng nhẹ

Nói chung, có ba cách tiếp cận để đưa ra một nguyên thủy mật mã

cho các ứng dụng hạng nhẹ như các thẻ RFID như sau: tối ưu hóa các cài

đặt cho các thuật toán được tin cậy và đã được chuẩn hóa, thay đổi một

chút với một mã pháp đã được tin cậy và đã được nghiên cứu, thiết kế

các mã pháp mới với mục tiêu chi phí cài đặt phần cứng thấp.

1.3. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

1.3.1. Tình hình nghiên cứu ngoài nước.

Để xây dựng được một mã khối hạng nhẹ hiệu quả và đủ an toàn

thì bài toán nghiên cứu xây dựng thành phần mật mã như S-hộp và tầng

tuyến tính là cấp thiết. Gần đây, các nhà thiết kế mã khối trên thế giới đã

đưa ra nhiều phương pháp và kết quả lý thuyết lẫn thực hành để giải

quyết bài toán này, cụ thể là hàng loạt công trình về xây dựng S-hộp 4

bit và tầng tuyến tính dựa trên ma trận MDS.

1.3.2. Tình hình nghiên cứu trong nước

Các kết quả về xây dựng các thành phần cho mã khối trong nước

còn hạn chế. Chủ yếu tập trung cho các mã khối có độ mật cao không

phù hợp với các thiết bị có tài nguyên hạn chế.

1.4. Khái lược về nội dung nghiên cứu

Trong phần này, luận án khái lược về mô hình mã pháp có cấu

trúc SPN dạng AES, tầng phi tuyến sử dụng các S-hộp 4 bit, tầng tuyến

tính dựa trên các ma trận MDS.

1.5. Kết luận chương 1

Trong chương này, luận án đã phân tích một số đặc điểm yêu

cầu cũng như nhu cầu sử dụng của mật mã hạng nhẹ hiện nay. Từ cơ sở

đó kết hợp với các kết quả đã được nghiên cứu trên thế giới, các S-hộp 4

bit và các ma trận MDS hạng nhẹ cho thuật toán mã khối được lựa chọn

cho việc nghiên cứu định hướng xây dựng một mã khối hạng nhẹ dạng

SPN đảm bảo độ an toàn và có hiệu quả cao.

CHƯƠNG 2

NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG CÁC HỘP THẾ 4 BIT

CHO MÃ KHỐI HẠNG NHẸ

2.1. Cơ sở sinh cho việc sinh các S-hộp có tính chất mật mã tốt

Đầu tiên, các ký hiệu và một số khái niệm sử dụng trong luận án được

trình bày. Sau đó, luận án trình bày các quan hệ tương đương được sử

dụng trong khảo sát các S-hộp, cụ thể là quan hệ tương đương affine

tương đương tuyến tính, quan hệ tương đương hoán vị, ... Cuối cùng, các

tính chất mật mã quan trọng của S-hộp S được định nghĩa là bậc tuyến

tính Lin(S), đặc trưng lượng sai Diff(S), bậc đại số deg(S), bậc vào\ra

degIO(S), bậc trong suốt , độ dư thừa tuyến tính và một số tính chất khác (số nhánh, điểm bất động, tính chất cuộn).

2.2. Phân tích một số kết quả nghiên cứu đã có cho S-hộp 4 bit

2.2.1. Các S-hộp 4 bit tối ưu chống lại thám mã lượng sai và tuyến tính

Phần này, luận án phân tích về cận dưới của Lin(S), Diff(S) với S là

một S-hộp 4 bit bất kì nhằm đưa ra được các giá trị tối ưu cho khả năng

chống lại thám mã tuyến tính và lượng sai cho các S-hộp này, các kết

quả này đã có song chưa được chi tiết, cụ thể bậc phi tuyến của một S-

hộp 4 bit song ánh sẽ thỏa mãn Lin(S)8 (Mệnh đề 2.3), còn đối với đặc

trưng lượng sai thỏa mãn Diff(S)  4 (Nhận xét 2.2) với mọi S-hộp 4 bit.

Như vậy, các S-hộp 4 bit có các giá trị tối ưu nhất để chống lại tấn công

tuyến tính sẽ được định nghĩa như sau:

 là một S-hộp. Nếu S thỏa mãn các

2

4 2

Định nghĩa 2.14. Giả sử S:

điều kiện sau thì ta gọi S là một S-hộp tối ưu chống lại thám mã tuyến

tính và lượng sai: 1. S là một song ánh. 2. Lin(S) = 8. 3. Diff(S) = 4.

Ta có:

2 . Giả sử S:

2

4 2

Mệnh đề 2.6. Giả sử A, B  GL(4, 2) là 2 ma trận khả nghịch 44 và  là một S-hộp tối ưu chống lại thám mã a,b tuyến tính và lượng sai. Khi đó, S-hộp S’ với S’(x)=B(S(A(x)a)b cũng

2

4 2

là một S-hộp tối ưu chống lại thám mã tuyến tính và lượng sai.

 , S là tối ưu chống lại thám mã tuyến Mệnh đề 2.7. Giả sử S: tính và lượng sai khi và chỉ khi S-1 là tối ưu chống lại thám mã tuyến tính và lượng sai.

Bằng thực hành, luận án đã nhận được 16 lớp tương đương affine

cho các S-hộp tối ưu chống lại thám mã tuyến tính và lượng sai, giống

như các kết quả đã có.

2.2.2. Tính Serpent của S-hộp 4 bit

Ngoài các tính chất Diff(S)=4 và Lin(S)=8 ra, ta xem xét một tính chất

quan trọng có trong các S-hộp của thuật toán Serpent

2  4

2 là một S-hộp. Nếu S thỏa mãn các

Định nghĩa 2.15. Giả sử S:

điều kiện sau ta gọi S là một S-hộp kiểu Serpent.

1. S là tối ưu chống lại thám mã tuyến tính và lượng sai.







2. Diff1(S) = 0, tức là sai khác đầu vào 1 bit bất kỳ gây ra sai khác



  S x

 S x

 a  

Diff 1

n  2

với đầu ra ít nhất 2 bit. 



 b

 1

max n  b a 0,   2     t b t a w 

Để khảo sát giá trị này, ta sử dụng quan hệ tương đương hoán vị. Khi

đó, phép tương đương hoán vị bảo toàn tính chất kiểu Serpent của S-hộp

4 bit (Bổ đề 2.2), số nhánh (Bổ đề 2.3), quan hệ nghịch đảo (Bổ đề 2.4),

tính chất không cuộn của các S-hộp kiểu Serpent (Hệ quả 2.1). Để thực

hành phân lớp các S-hộp dạng này, luận án sử dụng thuật toán 2 và nhận

được 2.211.840 S-hộp Serpent được phân theo 20 lớp tương đương hoán

vị.

2.2.3. Các S-hộp 4 bit tối ưu có tính chất cuộn

Một số kết quả đánh giá tính tối ưu chống lại thám mã lượng sai và tuyến

tính trong bài báo [45] được giới thiệu; cụ thể là không có S-hộp kiểu

Serpent nào có tính chất cuộn và khi có số điểm bất động lớn hơn 5 thì

S-hộp có tính chất cuộn sẽ không đạt được tính tối ưu. Sau đó, luận án

cũng đã thực hành sinh các S-hộp 4 bit có tính chất cuộn theo các kết quả

nghiên cứu trong bài báo [45].

2.3. Các kết quả phát triển mới trong luận án

2.3.1. Một số đặc trưng đại số của S-hộp 4-bit

Luận án trình bày một số kết quả liên quan tới hai đại lượng bậc đại số

deg(S) và bậc vào ra degIO(S) của một S-hộp. Đầu tiên, số lượng các phương trình vào/ra của một S-hộp được đánh giá thông qua kết quả sau:

Mệnh đề 2.8. Cho một S-hộp bất kì có kích thước n×m và tập  gồm t

 (cid:0) 



g 1,...,

SL t

rank

 là

phần tử là các đơn thức cho trước như sau , khi đó số



0,...,2



)

lượng các phương trình đa biến độc lập tuyến tính có các đơn thức trong có kích thước 2n×t

,  i j t . j 1,...,

  i

trong đó

  M , với ma trận n   1; g i S i ( , Hệ quả 2.2. Cho một S-hộp bất kì có kích thước n×m, khi đó số lượng

,...,

x y , 1 n

y trên m d

rank











2 là:  m n  i 

   Tiếp theo, luận án xem xét một số tính chất đại số của các S-hộp kích

các phương trình đa biến độc lập tuyến tính có bậc không quá d từ m+n x biến 1

thước nm đối với quan hệ tương đương affine như sau:

Bổ đề 2.7. Cho f là hàm Bool n biến, A là ma trận tuyến tính khả nghịch

2 n . Khi đó, ta có:

kích cỡ nn trên trường F2, còn b

deg f(x) = deg f(Ax  b).

Mệnh đề 2.10. Bậc đại số của một S-hộp là bất biến đối với quan hệ 2 m

tương đương affine. Hơn nữa, tập đa giá trị (multiset) D={deg(Sc)|c } cũng bất biến khi chịu tác động của phép biến đổi affine.

Mệnh đề 2.11. Bậc vào/ra của một S-hộp là bất biến dưới quan hệ tương

đương affine. Tức là, degIOS1 = degIOS2 với S1 tương đương affine với S2. Hơn nữa, số lượng các phương trình vào/ra độc lập tuyến tính cũng bất

biến qua quan hệ tương đương affine.

2n  2

 là song ánh thì degIO(S) = degIO(S-1). Hơn nữa, số lượng các phương trình vào/ra độc lập tuyến tính là không

Mệnh đề 2.12. Nếu S:

đổi.

Đối với các S-hộp 4-bit, ta có :

Nhận xét 2.4. Số lượng các phương trình vào/ra bậc hai độc lập tuyến

tính của S-hộp 4 bit bất kỳ ít nhất bằng 21. Như vậy, đối với các S-hộp

này, bậc vào\ra của chúng lớn nhất là bằng 2, tức là degIOS  2. Tiếp theo, bậc vào/ra của 16 lớp S-hộp được xem xét trên dựa theo kết

quả lý thuyết sau:

Bổ đề 2.9. Bậc vào/ra của S-hộp 4 bit tối ưu ít nhất bằng 2.

Hệ quả 2.5. Cả 16 lớp S-hộp 4 bit tối ưu chống thám mã lượng sai và

tuyến tính có bậc vào/ra là 2 và số lượng các phương trình vào/ra bậc

hai độc lập tuyến tính đạt giá trị tối ưu, tức là bằng 21.

2.3.2. Khảo sát bậc trong suốt của các S-hộp 4-bit kiểu Serpent

Trong phần này, luận án trình bày một số kết quả nghiên cứu về bậc trong

a  

n 2  1



suốt, là đại lượng định lượng cho khả năng chống lại tấn công DPA đối

  \ 0 ,

S sẽ đạt cực đại tại

n  2

 1

 i 

; hàm Si thỏa mãn với mã pháp dạng SPN. Đầu tiên, chúng ta có kết quả mở rộng sau, Bổ đề 2.10. Đối với các S-hộp có phổ tự tương quan của hàm thành phần  



n

  0

   S

 S





β {0, 2n-1}, tức là .

 1

Từ kết quả này, ta có:

   2

  2 \ 0 ,

 1

 S 

Mệnh đề 2.13. Cho S-hộp S1 thỏa mãn điều kiện phổ tương quan của các   n hàm thành phần thỏa mãn và S-

 1

hộp S2 tương đương hoán vị với S1. Khi đó,

   2

  2 \ 0 ,

 1

 S 



1. S-hộp S2 cũng thỏa mãn điều kiện phổ tương quan của các hàm   n thành phần thỏa mãn .

S

 . S 2

Khi đó ta có thể xác định được bậc trong suốt của toàn bộ các S-hộp

kiểu Serpent như sau:

Lớp

Đại diện S (0123456789ABCDEF)

Số lượng

03567ABCD4E9812F 035869A7BCE21FD4 …………. 0358BC6FE9274AD1 035A7CB6D429E18F

Bậc trong suốt 3.53 73728 147456 3.40 ……….. …… 3.33 73728 3.27 73728

R0 R1 … R18 R19

Bảng 2.3: Bậc trong suốt của các S-hộp 4-bit kiểu Serpent

2.3.3. Một số nghiên cứu về độ dư thừa tuyến tính

Trong phần này, một số nghiên cứu về độ dư thừa tuyến tính của S-hộp



và sự ảnh hưởng của nó lên hàm vòng được trình bày.



 S 1

Mệnh đề 2.14. Cho hai hộp thế tương đương affine S1, S2 có kích thước  . n×n bit. Khi đó,

Như vậy, các S-hộp trong cũng một lớp tương đương affine sẽ

cùng có độ dư thừa tuyến tính. Khảo sát cho 16 lớp tương đương affine

tối ưu chống thám mã tuyến tính và lượng sai của S-hộp 4 bit, ta nhận

được kết quả sau:

Tên lớp LS1 LS2 LS3 LS4 LS5 LS6 LS7 LS8

Phần tử đại diện (0123456789ABCDEF) 0123469A8BCE7FD5 0123469A8BCED57F 0123469A8BCE5DF7 0123469A8CBD7EF5 0123469A8C5D7EFB 0123469A8CBDE57F 0123469A8CBD5FE7 0123469C85BFED7A

Phần tử đại diện (0123456789ABCDEF) 0123469A8BCEF75D 0123469A85CEBDF7 0123469C85DAE7BF 0123469C85FDB7AE 0123469A8C5DBEF7 0123469A85CE7DFB 0123469A85CFDBE7 0123469A85CE7FDB

S  69 85 85 105 105 105 105 105

S  83 92 92 105 105 34 100 100

Tên lớp LS9 LS10 LS11 LS12 LS13 LS14 LS15 LS16 Xuất phát từ các kết quả về độ dư thừa tuyến tính của S-hộp sử

Bảng 2.4: Độ dư thừa tuyến tính của 16 lớp S-hộp 4 bit tối ưu

dụng trong hàm vòng dạng SPN, luận án đưa ra một số phân tích tính

tương đương affine của các hàm Bool là tổ hợp tuyến tính của các hàm

tọa độ đầu ra của hàm vòng dạng SPN.

Với hàm vòng dạng SPN sử dụng hộp thế sở hữu độ dư thừa

tuyến tính hoàn toàn, ta có kết quả sau:

Mệnh đề 2.15. Tất cả hàm tọa độ của hàm vòng SPN khi sử dụng các

hộp thế có độ dư thừa tuyến tính hoàn toàn đều thuộc cùng một lớp

tương đương affine. Hơn nữa, tổ hợp tuyến tính của chúng cũng cùng

thuộc một lớp tương đương affine đó.

Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét trường hợp S-hộp chỉ sở hữu một số

cặp hàm Bool thành phần là tương đương affine. Ta có thuật toán xác

định 3.

Như vậy, luận án đã chỉ ra sự ảnh hưởng của độ dư thừa tuyến tính

của S-hộp lên tính tương đương affine của các hàm tọa độ đầu ra của

hàm vòng của các mã pháp dạng SPN. Với việc sử dụng các hộp thế có

độ dư thừa hoàn toàn sẽ khiến cho các hàm Bool tọa độ đầu ra cũng như

tổ hợp tuyến tính của chúng đều thuộc cùng một lớp tương đương affine.

Còn trong trường hợp các hộp thế có độ dư thừa tuyến tính với số lượng

lớn các hàm thành phần tương đương affine thì khả năng cao chúng ta sẽ

chỉ ra tồn tại và xác định được hàm tọa độ đầu ra tương đương affine. Do

đó, khi xây dựng một mã pháp an toàn người thiết kế nên quan tâm đến

độ dư thừa tuyến tính và có thể xem xét nó như là một tiêu chí cho việc

m .

t t



sinh các hộp thế có tính chất mật mã tốt.

Thuật toán 3: Kiểm tra tính tương đương affine của hai hàm tọa độ trong hàm vòng SPN Đầu vào: Chỉ số t, t’ của hai hàm tọa độ với , ' 1,..., Đầu ra: Trả về 1 khi tương đương cùng với tập D = {D1, ... , Dk, a = {a1,...,ak}, b = {b1,...,bk}, c}; ngược lại trả về 0 khi không tương đương.

       ,

Các bước của thuật toán: c 1.



2. For i=1 to k do

 S X



t n /



t n '/



h  

 

h  

 

 Tr   t

   S X , 

 Tr   t

 

2.1. If (checkafffine( ))



2.1.1. Di  Dtemp; ai  atemp; bi  btemp; ci  cctemp;

 S X



t n '/

t n /



h  

 

 Tr   t

 

hai hàm Bool ) ( Dtemp, atemp, btemp, ctemp đầu ra của thuật toán 1 với đầu vào là    S X , 

else Return 0 3. Return 1

j 2 |



2.3.4 Kết quả mở rộng cho việc phân loại các S-hộp 4 bit bất kỳ

n luôn tồn tại một hộp 2   0

i với

( ) 

S i

Mệnh đề 2.16. Mọi lớp tương đương affine trên thế S thỏa mãn S(i) = i với i∈    1 Dựa vào kết quả trên, ta có thể thực hiện phân lớp tất cả các hộp

j 2 |







thế n bit bất kỳ trên tập các hộp thế thỏa mãn i . Tiếp theo, để giảm chi phí tính toán cho việc xác

 1



định các phần tử trong một lớp, ta xem xét một kết quả lý thuyết sau:

Mệnh đề 2.17. Cho A và B là hai nhóm con của nhóm G và g∈G. Khi đó

tập

  

 c B g c A g (2.26)  



A g B









. là nhóm con của B và ta có đẳng thức sau: # A  C #

Để chứng minh mệnh đề này, ta sẽ chứng minh hai Bổ đề sau:

Bổ đề 2.11. Tập C cho bởi (2.26) là nhóm con của nhóm B.

 



A g b khi và chỉ khi

' 

b C .

Bổ đề 2.12. Cho A và B là hai nhóm con của nhóm G và nhóm C được



 ' A g b Từ Mệnh đề 2.9, ta có hệ quả sau:

 s s A g C  

 



 s s A g B .

xác định theo (2.26) . Khi đó ∀g∈G và ∀ b, b’ ∈ B, ta có: 

Hệ quả 2.7. Cho A và B là hai nhóm con của nhóm G, C là nhóm con được xác định trong (2.26) và g∈G, C là tập đại diện của các lớp kề trái của C trong B. Ta có: 

  

Dựa trên các kết quả nhận được, luận án đưa ra một số thuật toán xác

định các phần tử của một lớp tương đương affine với một phần tử cho

trước, cùng một số đánh giá độ phức tạp và thực hành. Luận án đã thực

hành và xác định được các đại diện của 302 lớp tương đương affine cùng

số lượng các phần tử trong mỗi lớp của các S-hộp 4 bit.

2.4. Kết luận của chương 2

Trong chương này, luận án đã tập trung xem xét các S-hộp 4

bit. Cụ thể:

 Về mặt lý thuyết, ngoài việc phân tích chi tiết một số kết quả đã có,

luận án đã nghiên cứu đánh giá về mặt lý thuyết các tích chất mật

mã quan trọng của S-hộp như bậc tuyến tính, đặc trưng lượng sai,

đặc trưng đại số (Mệnh đề 2.10, Mệnh đề 2.11, Mệnh đề 2.12), bậc

trong suốt (Mệnh đề 2.13), độ dư thừa tuyến tính (Mệnh đề 2.14).

Ngoài ra, luận án cũng đã phân tích sự ảnh hưởng của độ dư thừa

tuyến tính của S-hộp lên tính tương đương affine của các hàm đầu

ra của hàm vòng SPN đảm bảo độ an toàn dự phòng cho các mã

khối được thiết kế (Mệnh đề 2.15, Thuật toán 3). Hơn nữa, luận án

đã chứng minh một số kết quả lý thuyết mới đảm bảo cho việc thực

hiện phân lớp được toàn bộ các S-hộp 4 bit theo quan hệ tương

đương affine (Mệnh đề 2.16, Mệnh đề 2.17).

 Về mặt thực hành, luận án đã xây dựng được đầy đủ các S-hộp

trong 16 lớp tối ưu cũng như trong một lớp bất kì bằng các thuật

toán đề xuất (Thuật toán 4, Thuật toán 5, Thuật toán 6). Ngoài ra,

cũng đã thực hành việc khảo sát bậc trong suốt của các S-hộp 4 bit

dạng Serpent.

Các kết quả nhận được cho phép người thiết kế chủ động lựa chọn

các S-hộp 4 bit phù hợp với thiết bị mà mình hướng tới. Cụ thể, nếu thiết

bị có tài nguyên rất hạn chế, đòi hỏi các thuật toán mã khối siêu nhẹ

(ultralightweight block cipher), thì khi đó người thiết kế có thể sử dụng

các S-hộp tối ưu có tính chất cuộn vì sẽ giảm được chi phí cài đặt; còn

khi thiết bị hạn chế nhưng vẫn đủ chi phí cài đặt cho phép chúng ta tăng

cường độ an toàn thì khi đó ta cần phải xem xét thêm các tính chất mật

mã đối với các lớp S-hộp 4 bit tối ưu nhằm tăng cường độ an toàn của

thuật toán như tính Serpent, bậc trong suốt, độ dư thừa tuyến tính.

Người thiết kế cần cân nhắc lựa chọn các S-hộp 4 bit phù hợp với thiết

kế của mình nhằm đạt được sự tối ưu giữa chi phí cài đặt, độ an toàn và

hiệu quả thực thi. Hơn nữa, với sự phát triển không ngừng của khoa học

thám mã đòi hỏi người thiết kế luôn luôn phải xem xét cập nhật các tiêu

chí cho S-hộp 4 bit đảm bảo cho mã khối hạng nhẹ được thiết kế có đủ

độ an toàn đối với nhu cầu người sử dụng.

CHƯƠNG 3

NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG TẦNG TUYẾN TÍNH

CHO MÃ KHỐI HẠNG NHẸ

3.1. Cơ sở xây dựng tầng tuyến tính trong mã khối hạng nhẹ

Phần này sẽ xem xét một số khái niệm và kí hiệu liên quan tới

tầng tuyến tính. Những khái niệm này là cơ sở cho việc nghiên cứu và

lựa chọn các phép biến đổi tuyến tính cụ thể nhằm hướng một tầng tuyến

tính an toàn và hiệu quả cho một thuật toán mã khối hạng nhẹ.

3.2. Mô hình tầng tuyến tính hạng nhẹ dạng AES

Các mã pháp sử dụng cấu trúc SPN dạng AES là các mã pháp có

các phép toán xử lý định hướng theo khối bit (cụ thể trong trường hợp 64

bit là các “mẩu” (nibble) có kích thước là 4 bit, mà ta gọi là cell) gồm

các phép biến đổi AddRoundKey, SubCells, ShiftRows, MixColumns.

Tầng khuếch tán đề xuất sẽ bao gồm hai biến đổi chính, đó là biến đổi

chuyển vị các ô nhớ, ký hiệu là TranCells, biến đổi này được minh họa

như hình 3.2 (Tranposition là chuyển vị, một dạng đặc biệt của hoán vị)

và biến đổi MixColumns, cái mà được xây dựng trực tiếp trên cơ sở ma

 . 42

trận MDS 44 trên

Hình 3.2: Biến đổi TranCells lên khối dữ liệu 64 bit

Độ an toàn chống thám mã lượng sai và tuyến tính của mã pháp

dạng AES sử dụng mô hình đề xuất được đánh giá dựa trên các kết quả

lý thuyết sau:

Mệnh đề 3.1. Số lượng các cell chủ động của hai vòng mã liên tiếp nhau

bị chặn dưới bởi 5Q, trong đó Q là số lượng các cột chủ động ở đầu vào

của vòng thứ 2.



Bổ đề 3.1. Trong hai vòng mã liên tiếp, tổng số cột chủ động ở đầu vào

  W a W a 





col

và đầu ra không nhỏ hơn 5. Nói một cách khác .

Mệnh đề 3.2. Bốn vòng mã liên tiếp bất kỳ có số cell chủ động nhỏ nhất

bằng 25.

Hình 3.3: Mô tả sự thay đổi các byte dưới tác động của tầng khuếch tán

trong AES(a) và mô hình đề xuất (b)

Về điểm bất động của mô hình tầng tuyến tính đề xuất, ta có đánh giá

Nhận xét 3.1. Phép biến đổi TranCells (cũng như ShiftRows) không ảnh

hưởng đến số lượng điểm bất động của của tầng khuếch tán mà nó tham

gia vào.

Nhận xét 3.2. Nếu biến đổi tuyến tính có ma trận biểu diễn M có N điểm bất động thì biến đổi MixColumns có số điểm bất động là N4 cũng chính là số lượng điểm bất động của tầng khuếch tán.

Trong phần tiếp, luận án cũng đã phân tích một số lợi thế về cài đặt của

cấu trúc này trên các nền tảng 32 bit và 64 bit.

3.3. Xây dựng ma trận MDS cho tầng tuyến tính của mã khối hạng

nhẹ dạng AES Trong phần trước, ta đang xét xét mô hình tầng tuyến tính cho mã khối hạng nhẹ có kích thước 64 bit dạng AES với phép MixColumns

 thực hiện biến đổi

4  4 2

4 4 2

là một biến đổi tuyến tính từ không gian

một véc tơ cột biểu diễn trạng thái có dạng (x3,x2,x1,x0)T thành véc tơ cột biểu diễn trạng thái tiếp theo bằng cách nhân véc tơ này với một ma trận A (là ma trận biển diễn của phép biến đổi tuyến tính có kích thước 4×4  ). Do đó, trong phần này trọng tâm sẽ hướng tới việc xem trên trường

 . 42

xét và chọn lựa các ma trận MDS có kích thước 4 4 trên trường

Xây dựng ma trận MDS 4x4 trên  có dạng dịch vòng. 42

Những ma trận này là phù hợp cho phép biến đổi MixColumns đối với mô hình tầng tuyến tính này dựa trên một số chiến lược xây dựng các ma trận MDS cho mã khối hạng nhẹ như sau:

Các tiêu chi lựa chọn

Xây dựng ma trận MDS 4x4 trên  có dạng đồng hành. 42

Ma trận dùng cho phép biến đổi MixColumns

 Số nhánh  Số điểm bất động  Khả năng cài đặt

Xây dựng ma trận MDS 4x4 trên  có dạng Hadamard. 42

Hình 3.7: Định hướng xây dựng các ma trận MDS.

Để có một độ đo cho hiệu quả cài đặt phần cứng của phép biến

đổi đang xét, luận án sử dụng khái niệm số cổng XOR mà ta sẽ sử dụng

như một độ đo để đánh giá tính “nhẹ” của một ma trận cho trước và là cơ

sở cho việc lựa chọn các ma trận MDS phù hợp.

3.3.1. Xây dựng các ma trận MDS dựa trên các ma trận đồng hành

...

 0

   0 1 ...

...

z 1

 1

       

       

  ...

d 1 

d x và kí hiệu là Serial(z0,z1,…,zd-1).

z x   1

z x 2

z d

 1

Ma trận

được gọi là ma trận đồng hành (companion matrix) của đa thức z 0 Bảng 3.3: Liệt kê và đánh giá các ma trận Serial(z1,z2,z3,z4) có lũy thừa

 42

bậc 4 là ma trận MDS trên

Lớp

Lớp con

Tổng XOR

Số điểm bất động

Số lượng

Lớp con

Tổng XOR

Số điểm bất động

Số lượng

Số xung nhịp

180

1

186

19

251

2

265

20

………………………

33

15

34

115

35

125

16

36

Đối với trường hợp mà luận án xem xét, ta có thể tiến hành tìm

kiếm toàn bộ các ma trận đồng hành thỏa mãn lũy thừa bậc 4 của nó là

 với đa thức khả quy là

những ma trận MDS trên trường

  

  f x

thì có tất cả 3.660 ma trận thỏa mãn. Dễ thấy, việc cài

đặt ma trận MDS nhận được khi lũy thừa các ma trận đồng hành không

phụ thuộc vào các phần tử của ma trận này vì đơn giản nó có thể được

cài đặt truy hồi qua ma trận đồng hành. Cho nên khi lựa chọn ta chỉ cần

quan tâm đến các hệ số trong ma trận đồng hành. Từ việc đánh giá các

cổng XOR cài đặt cho các phép toán nhân được thực hiện, tất cả 3.660

ma trận đồng hành tìm được được thống kê trong bảng 3.3 dựa trên tiêu

chí về điểm bất động, số lượng các cổng XOR và số xung nhịp trong cài

đặt các phép toán thực hiện ma trận. Luận án cũng đã xem xét ma trận có

cài đặt và các tham số mật mã tốt nhất tìm được là Serial(2,1,1,4).

3.3.2. Xây dựng các ma trận MDS dựa trên ma trận Hadamard

H H

Ma trận Hadamard được định nghĩa như sau:

   

Định nghĩa 3.3. Một ma trận Hadamard trường hữu hạn là một ma trận kk với k=2s có thể được biểu diễn bởi hai ma trận con H1 và H2 mà chúng cũng là ma trận Hadamard như sau:   

2 Mệnh đề 3.3. Tầng khuếch tán gồm 2 biến đổi TranCells và MixColumns, trong đó biến đổi MixColumns sử dụng ma trận Hadamard

 , có số điểm bất động là 232. 42

MDS cuộn kích thước 44 trên trường

Để xem xét phân loại các ma trận Hadamard, ta có xem xét một

,...,

quan hệ tương đương sau:

. Kí hiệu, HH’. Định nghĩa 3.4. Cho hai ma trận Hadamard kích cỡ kk là ' ' ' h ), hai ma trận này được gọi h h , H=had(h0,h1,…,hk-1) và H’=had( 1 0 k 1 là có quan hệ tương đương khi tồn tại một hoán vị k phần tử  sao cho h i h   i

Nhận xét 3.3. Cho hai ma trận Hadamard tương đương H  H’. Khi đó,

hai ma trận H, H’ có cùng tính cuộn, cùng số nhánh, cùng số điểm bất

động, cùng số cổng XOR cài đặt.

Như vậy, dựa trên tính chất này, ta có thể giảm được độ phức tạp khi

xem xét số lượng các ma trận Hadamard bằng cách chỉ xem xét các phần

tử đại diện (có xét thứ tự) trong mỗi lớp tương đương hoán vị vì trong

mỗi lớp các phần tử đều có cùng tính chất mật mã và cài đặt. Bảng 3.3 là

kết quả phân lớp theo thứ tự tăng dần theo số cổng XOR cần thiết khi cài

đặt phần cứng của toàn bộ các ma trận Hadamard MDS 44 này, trong

đó “+” – là ký hiệu các ma trận có tính cuộn còn “-” – là không có tính

cuộn. Như vậy, trong số 22680 ma trận Hadamard MDS cuộn

Had(1,4,9,13) là đại diện của lớp 1 trong bảng 3.4 có cài đặt tốt nhất với

 42

các tính chất mật mã cần thiết. Bảng 3.4: Liệt kê và đánh giá các ma trận Hadamard MDS 44 trên

Lớp

Tổng XOR 17

Tính cuộn +

Số lượng theo lớp 24

Tổng XOR 40

Tính cuộn -

Số lượng theo lớp 144

11

1

192

12

2

192

13

3

240

14

4

192

480

15

5

120

816

16

6

120

1104

17

7

[25…31]

912

1104

18

8

1728

Số điểm bất động 1 1 1 1 1 1 1 1 1

19

9 Số điểm bất động 232 232 232 232 232 232 232 232 1 1

15024

20 [49…64]

10 Tổng số: 22680

Ma trận Hadamard MDS cuộn Had(1,4,9,13) tốt nhất được đánh

giá và phân tích.

3.3.4. Xây dựng các ma trận MDS dựa trên các ma trận vòng

 1

 

a 0 a

a 1 a

a a

 

0  a

d  1  a 1

d   a 0

     

     

Ma trận dịch vòng được định nghĩa như sau: Định nghĩa 3.5. Ma trận d có dạng:

 .  n 2

ia Bảng 3.5: Liệt kê và đánh giá các ma trận MDS dịch vòng 44

trên

 42

được gọi là ma trận dịch vòng và kí hiệu là Circ(a0,..., ad-1) với

STT

Tổng XOR

Số xung nhịp

Số điểm bất động

Số lượng theo lớp

Tổng XOR

Số lượng theo lớp

Số xung nhịp

Số điểm bất động 1

16

1

840

17

2

1 24

18

3

1 24

19

4

20

5

21

6

22

7

23

8

24

9

160

24 1 24 1

25

10

26

11

296

27

12

(520,72)

28

13

232

560

29

14

(72,8)

30

15

24 1 24 24

(1,24) (1128,40) (1,24) (1392,120) (1,24) (1592,104) (1,24) (1760,160) (1,24) (1640,160) (1,24) (1672,128) (1,24) (1408,48) (1,24) (1184,80) (1,24) (816,24) (1,24) 1 (1,24) Tổng số: 16560

31

,...,

' c k 1

Tương tự như ma trận Hadamard, các ma trận dịch vòng này

c i c   i

cũng có quan hệ tương đương như sau: Định nghĩa 3.6. Cho hai ma trận dịch vòng kích cỡ kk là C=Circ(c0,c1,… ,ck-1) và C’=Circ( ' ' c c , ), hai ma trận này được 0 1 gọi là có quan hệ tương đương khi tồn tại một hoán vị k phần tử  sao cho . Kí hiệu, CC’.

Khi đó, ta cũng có nhận xét sau để giảm độ tính toán là:

Nhận xét 3.4. Cho hai ma trận dịch vòng tương đương C C’. Khi đó,

hai ma trận C, C’ có cùng tính cuộn, cùng số nhánh, cùng số điểm bất

động, cùng số cổng XOR cài đặt.

Tuy nhiên, đối với tính cuộn của ma trận dịch vòng ta có kết quả sau:

Bổ đề 3.2. Các ma trận dịch vòng có kích thước 4×4 có tính chất cuộn

thì không MDS.

Luận án nhận được 16560 ma trận dịch vòng có tính chất MDS,

với số lượng cổng XOR dùng cho cài đặt từ 15 đến 34. Bảng thống kê

các tính chất mật mã của các ma trận dịch vòng có tính chất MDS. Trong

các ma trận nhận được, tám ma trận thuộc lớp tương đương chứa ma trận

Circ(1,1,4,9) có các tham số tốt nhất có số cổng XOR là 15, không có

điểm bất động khác 0, số xung nhịp thực hiện phép biến đổi MixColumns

đầy đủ sẽ là 16×3 = 48 (xung nhịp) do đó tốc độ tính toán sẽ rất cao.

3.3.5. Một số thảo luận về các kết quả nhận được Bảng 3.6: Độ phức tạp trong cài đặt phần cứng cho các mô hình

Tham số

STT

Các ma trận

Ghi chú

XOR

GE

1 2 3

16/18 15/16 17

41,6/46,8 39,0/41,6 45,05

Số xung nhịp đồng hồ 48/64 48/48 64

Dạng đồng hành Dạng đồng hành Dạng Hadamard

15/31

39,0/82.15

48/64

Dạng dịch vòng

M1/(M1)-1 (LED) M2/(M2)-1 M3=Had(1,4,9,13) M4=Circ(1,1,4,9) (M4)-1=Circ(8,7,7,12)

Bảng 3.6 tổng hợp các ma trận tốt nhất theo các tiếp cận được đề

xuất trong luận án, so sánh với cài đặt ma trận đồng hành trong mã pháp

LED. Ở đây, luận án so sánh cả quá trình mã và giải mã (với quy đổi 1

GE = 2,65 XOR). Như vậy, các ma trận MDS dạng Hadamard có chi phí

cài đặt tốt nhất nếu xét trên tiêu chí cài đặt, do nó chỉ cần 45,05 GE cho

cả cài đặt mã hóa và giải mã, tuy nhiên tầng tuyến tính của ma trận này lại tồn tại tới 232 điểm bất động. Trong trường hợp chế độ sử dụng chỉ cần mỗi mã hóa, các ma trận vòng chính là sự lựa chọn phù hợp nhất do M4 chỉ cần có 39 GE. Còn trường hợp cần cả mã hóa và giải mã, chúng ta nên lựa chọn các ma trận dạng đồng hành.

3.4. Kết luận của chương 3

Trong chương này, luận án đã thực hiện việc phân tích và xây

dựng tầng tuyến tính cho mã khối hạng nhẹ có cấu trúc SPN dạng AES

với kích thước khối 64 bit. Cụ thể:

 Đã phân tích và đánh giá mô hình mã pháp hạng nhẹ có kích cỡ

khối 64 bit có dạng AES sử dụng tầng tuyến tính được sửa đổi.

Trong đó, phép biến đổi ShiftRows được thay thế bởi TranCells.

Mệnh đề 3.2 đã chỉ ra độ an toàn của mã pháp này đạt được mức an

toàn theo đánh giá của chiến lược vệt lan rộng trong mã khối AES.

Hơn nữa, các cấu trúc này cho phép cài đặt phần mềm với chi phí

thấp và đạt được hiệu quả thực thi nhanh.

 Để hướng tới việc xây dựng thuật toán mã khối hạng nhẹ theo mô

hình trên, luận án đã xây dựng các ma trận MDS phù hợp với phép

biến đổi MixColumns theo các phương pháp tiếp cận được đề xuất

gần đây như dựa trên ma trận đồng hành, ma trận Hadamard, ma

trận vòng. Hơn nữa, luận án cũng đã định hướng việc sử dụng các

ma trận nhận được trong những trường hợp cụ thể.

KẾT LUẬN

A. Các kết quả đạt được của Luận án 1. Cơ sở lý thuyết cho việc xây dựng các S-hộp 4 bit sử dụng cho mã

khối hạng nhẹ.

2. Một số kết quả lý thuyết cũng như thực hành về đánh giá đặc trưng đại số, bậc trong suốt và độ dư thừa tuyến tính của các S-hộp 4 bit.

3. Cơ sở lý thuyết về tiêu chí đánh giá tầng tuyến tính. 4. Đề xuất và đánh giá độ an toàn của mô hình tuyến tính dạng AES cho mã khối hạng nhẹ có kích cỡ khối 64 bit. Phân tích cài đặt hiệu quả phần mềm trên một số nền tảng cho mô hình cài đặt mới này. 5. Xây dựng và phân tích ma trận MDS cho phép MixColumns trong mô hình tầng tuyến tính đề xuất theo một số tiếp cận gần đây như dựa trên ma trận đồng hành, ma trận Hadamard, ma trận dịch vòng.

B. Những đóng góp mới của Luận án 1. Đề xuất phương pháp xây dựng các hộp thế 4 bit cho mã khối hạng nhẹ với các kết quả chính sau: đưa ra cách tiếp cận mới hiệu quả phân lớp toàn bộ các S-hộp 4 bit theo quan hệ tương đương affine; đánh giá đặc trưng đại số, bậc trong suốt của các S-hộp 4 bit. Phân tích sự ảnh hưởng của độ dư thừa tuyến tính của S-hộp lên tính tương đương affine trong hàm vòng dạng SPN.

2. Góp phần xây dựng tầng tuyến tính cho mã khối hạng nhẹ bao gồm: chứng minh độ an toàn và phân tích cài đặt hiệu quả của mô hình tầng tuyến tính dạng AES cho mã khối hạng nhẹ có kích thước 64 bit; Xây dựng các ma trận MDS an toàn và hiệu quả cho mô hình tầng tuyến tính đề xuất. C. Hướng nghiên cứu tiếp theo 1. Cập nhật các tiêu chí mới cho các S-hộp 4 bit được đề xuất.

2. Cập nhật phương pháp sinh các ma trận MDS cho mã khối hạng nhẹ.

3. Nghiên cứu mô hình mã pháp hạng nhẹ có cấu trúc Feistel, ARX.

2. Nguyễn Bùi Cương, Nguyễn Văn Long, Trần Duy Lai (2012) "Một số đặc trưng đại số của các S-hộp 4×4 bit tối ưu chống thám mã lượng sai và tuyến tính". Tạp chí ứng dụng toán học, số 10 (1-2012), 1-18.

3. Nguyễn Văn Long, Nguyễn Bùi Cương, Trần Duy Lai (2012) "Về định nghĩa S-hộp tối ưu chống thám mã tuyến tính và lượng sai". Tạp chí Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ Quân sự, Số đặc san/tháng 5-2012, tr. 62-70.

4. Trần Duy Lai, Nguyễn Bùi Cương (2013) "Phân loại các S-hộp 4 bit kiểu Serpent". Tạp chí Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ Quân sự, Số đặc san/tháng 5-2013 (tuyển tập các công trình nghiên cứu khoa học về an toàn thông tin năm 2013), tr. 14-24.

5. Bạch Nhật Hồng, Trần Duy Lai, Nguyễn Bùi Cương (2014) "Đề xuất các ma trận đồng hành xây dựng tầng tuyến tính trong mã khối hạng nhẹ". Tạp chí Nghiên cứu Khoa học Công nghệ Quân sự, số đặc san/tháng 4- 2014, tr. 76-84.

6. Nguyễn Văn Long, Trần Duy Lai, Nguyễn Bùi Cương (2015) "Một số nghiên cứu cho một thay thế của phép biến đổi ShiftRows trong các mã pháp hạng nhẹ dạng AES". Tạp chí Nghiên cứu Khoa học Công nghệ Quân sự, số đặc san/tháng 10-2016, tr. 182-190.

7. Cuong Nguyen, Lai Tran, Khoa Nguyen (2014) On the resistance of Serpent-type 4 bit S-boxes against differential power attacks. Communications and Electronics (ICCE), 2014 IEEE Fifth International Conference on. IEEE, pp 542-547.

8. Tran Duy Lai, Nguyen Van Long, Nguyen Bui Cuong (2015) "Some evaluations for involutory diffusion layer of 64-bit AES-like block ciphers based on the Hadamard Matrices". Chuyên san nghiên cứu khoa học và công nghệ trong lĩnh vực an toàn thông tin, tạp chí an toàn thông tin, số 1, CS(02) . tr. 25-31.

9. Nguyễn Bùi Cương (2016) “Một số kết quả mở rộng về phân loại các hộp thế 4-bit”, Tạp chí Nghiên cứu Khoa học Công nghệ Quân sự, số 46/tháng 12-2016, tr 124-132.

10. Nguyen Bui Cuong, Nguyen Van Long, Hoang Dinh Linh (2017) “Analyzing the influence of linear redundancy in S-boxes on the affine equivalence within XSL-like round functions”, Математические вопросы криптографии, T. 8, No 1, C. 5–22.

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ 1. Nguyễn Bùi Cương, Trần Hồng Thái (2011) "Về một phương pháp phương trình hóa chuẩn mã hóa dữ liệu trong thám mã đại số". Tạp chí Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ Quân sự, số đặc san/tháng 11-2011, tr. 60-69.