Tổng quan về mô hình Randall-Sundrum

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

63
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tổng quan về mô hình randall-sundrum', tài liệu phổ thông, vật lý phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng quan về mô hình Randall-Sundrum

T ng quan v mô hình Randall-Sundrum Võ Qu c Phong Ngày 14/10/2009 M cl c 1 M đu 2 2 D ng tác d ng và metric c a mô hình RSI và RSII 4 3 Phương trình trư ng h p d n 5D 5 3.1 Phương trình trư ng h p d n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 Gi i phương trình Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4 H th ng th b c và v n đ v h ng s vũ tr 16 5 H p d n 4D trên Brane trong không gian Bulk 5D 19 6 Năng-xung lư ng trong mô hình Randall-Sundrum 22 7 L m phát trong mô hình Randall-Sundrum 24 8 Giãn n tăng t c trong RS 30 9 Shortcut c a h p d n trong không-th i gian 5 chi u c a mô hình RS 34 9.1 Metric trong Bulk c a mô hình Randall-Sundrum: . . . .... ..... 34 9.2 Metric trong Brane c a mô hình Randall-Sundrum . . .... ..... 35 9.3 Chân tr i đi n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ..... 35 9.4 Chân tr i h p d n trong mô hình RS . . . . . . . . . . .... ..... 35 9.5 N u ta s dung metric tĩnh thì s không có shortcut . . .... ..... 38 10 Vi ph m b t bi n Lorentz trong mô hình RS 40 11 Nh ng v n đ th c nghi m 44 12 T ng k t 44 1
1 M đu T nh ng năm cu i th k 20 đ n nay, hi n tư ng vũ tr giãn n tăng t c luôn là hi n tư ng thúc đ y vũ tr h c cũng như v t lý h c phát tri n nh ng mô hình lý thuy t phù h p đ gi i thích. Hi n t i, hi n tư ng này đư c l t t b ng nhi u mô hình cũng như d li u th c nghi m, tuy có nh ng thành công r t đáng k nhưng chưa có mô hình nào đ t đư c l i gi i thích tri t đ . Chúng tôi th y có hai hư ng ti p c n chính đ gi i thích hi n tư ng này. M t là, hư ng ti p c n không dùng extra dimension (chi u ngo i ph ) như các mô hình trư ng vô hư ng (quintessence, K-essence,...), và hư ng thêm vào b ng tay m t h ng s vũ tr bé trong hình th c h p d n Einstein 4D đ gây ra s giãn n và ch p nh n fine-tuning. Hai là, các mô hình s d ng chi u ngo i ph g i là các mô hình Braneworld, hư ng này có đi m l i th là cho th y vũ tr t giãn n không như lý thuy t v h ng s vũ tr . Trong quá trình tìm hi u rõ hơn v vũ tr đ gi i thích cho s giãn n tăng t c, chúng ta ph i đ i m t v i nh ng v n đ : • V n đ h ng s vũ tr : Năng lư ng chân không quá nh so v i k t qu tính toán c a v t lý h t cơ b n ( kho ng 120 b c v đ l n). • V n đ trùng h p ng u nhiên: Hi n t i, m t đ năng lư ng t i (ρΛ ) cùng b c v i m t đ v t ch t (ρm ) và s vư t tr i hoàn toàn trong tương lai. • V n đ v h th ng th b c: T n t i ít nh t 2 thang năng lư ng cơ b n trong t −1/2 nhiên - Thang đi n y u mEW = 103 GeV và thang Planck Mpl = GN = 1018 GeV - T s gi a thang đi n y u và kh i lư ng Planck quá nh mEW /M pl ∼ 10−16 . Các mô hình lý thuy t Braneworld là nh ng mô hình đang r t đư c chú ý. H u h t các mô hình Braneworld đ u l y ý tư ng chính t lý thuy t nhi u chi u c a Kaluza- Klein, và g i không-th i gian (3+1) chi u c a chúng ta là Brane, không th i gian nhi u chi u hơn là Bulk, t c là vũ tr c a chúng ta hành x như m t siêu m t trong m t không th i gian nhi u chi u hơn. Theo tinh th n c a các mô hình Braneworld thì v t ch t b c m tù trong Brane, riêng h p d n có th thoát ra kh i Brane và truy n đư c trong Bulk. Tính ch t rò r c a h p d n là m t h qu c a viêc ngu n h p d n (v t ch t) ch t n t i h n ch trong Brane, đ ng th i là m t tính ch t khơi ngu n cho các v n đ như vi ph m b t bi n Lorentz, hay v n đ v shortcut, và tr ng y u là gây ra s gi n n tăng t c c a vũ tr . Hi n t i, chúng tôi phân chia các mô hình Braneworld theo các tính ch t c a chi u ngo i ph (extra dimension) là: tính compact, tính flat hay tính warp. Chúng tôi th y r ng các mô hình Braneworld hi n t i ch có (4+1) hay (5+1) chi u t c là ch có 1 hay 2 chi u ngo i ph , và theo tiêu chí trên, t m th i chia thành nh ng mô hình Braneworld như sau: 2
+Mô hình Braneworld ph ng (flat) và chi u ngo i ph compact như mô hình ADD. +Mô hình Braneworld có h s warp và chi u ngo i ph compact như mô hình RSI. +Mô hình Braneworld có h s warp và chi u ngo i ph noncompact, đơn c như mô hình DGP, RSII. Mô hình Braneworld Randall-Sundrum (RS)[3, 4] kh o sát không-th i gian 5 chi u đư c làm đ y b i h ng s vũ tr âm. Tùy vào đ c đi m c a chi u th 5 compact hay vô h n mà mô hình này đư c chia thành hai lo i: Mô hình RSI và mô hình RSII. Mô hình RSI[3] đưa ra cách gi i quy t v n đ v h th ng th b c. Trong mô hình này, chi u th 5 thêm vào compact trên Orbifold S 1 /Z2 bán kính R. Hai Brane 3 chi u đư c đ t t i các đi m c đ nh φ = 0 và φ = π . Brane φ = 0 là Brane n hay Brane Planck năng lư ng cao. Brane φ = π là Brane quan sát đư c hay Brane TeV năng lư ng th p. Áp su t trên hai Brane l n lư t là σ và −σ v i σ là m t h ng s dương. Mô hình RSII[4] kh o sát cách khôi ph c l i h p d n 4 chi u trên Brane g n trong không-th i gian Bulk 5 chi u. Trong mô hình này, chi u thêm vào đư c m r ng t i vô h n, t c là Brane có áp su t âm trong RSI b d ch chuy n ra vô h n. Còn l i m t Brane, vì v y, mô hình RSII đư c g i là mô hình RS m t Brane, trong khi mô hình RSI đư c g i là mô hình RS 2 Brane. Đ i v i mô hình RS, th c ch t ng ý hai tiên đ . M t là, tiên đ v hàm tác d ng trong 5 chi u. Hai là tiên đ v d ng t ng quát c a metric như chúng ta s th y trong m c 1 dư i đây. Thông qua mô hình RS, các v n đ như gi i phương trình trư ng h p d n 5 chi u, v n đ h ng s vũ tr , v n đ v l m phát vũ tr h c và giãn n tăng t c c a vũ tr đã đư c kh o sát và gi i thích. Chúng ta s l n lư t xem xét chúng. Hai y u t cơ b n nh t đ kh o sát m i hi n tư ng h c c a đ ng l c hoc vũ tr là tác d ng và metric. Tác d ng mô t trư ng h p d n l n ngu n sinh ra h p d n, metric là ph n ánh c a trư ng h p d n lên không-th i gian. M t mô hình v vũ tr h c c n ph i có hai y u t tiên quy t trên. Vì v y, vi c kh o sát mô hình RS, c n ph i hi u t t tác d ng c a mô hình này. Sau đây là ph n tóm t t l i nh ng v n đ cơ b n nh t c a tác d ng và metric c a mô hình RS. 3
2 D ng tác d ng và metric c a mô hình RSI và RSII Năm 1999, Raman Sundrum và Lisa Randall đã đưa ra m t mô hình 5 chi u theo xu th Braneworld nh m gi i quy t bài toàn th b c v i chi u th 5 compact, mô hình này đư c g i là mô hình RSI. Và v sau mô hình này đư c c i ti n thành mô hình RSII khi cho chi u th 5 nocompact. Các tác d ng mà hai tác gi này đưa ra có d ng sơ khai như sau: S = Sgravity + Svis + Shid , d4 x dφ −g (5) −Λ + 2M 3 R(5) , Sgravity = √ (2.1) d4 x −gvis {Lvis − Vvis } , Svis = √ d4 x −ghid {Lhid − Vhid } , Shid = Trong đó: -Sgravity : hàm tác d ng c a trư ng h p d n. -Svis : hàm tác d ng trong Brane mà ta có th quan sát đư c. -Shid : hàm tác d ng trong Brane mà ta không th quan sát đư c. Có m t nh n xét nh là tác d ng trên th c ch t là m t m r ng v i c a tác d ng Hilbert-Einstein 4 chi u trong lý thuy t c a tương đ i r ng c a Einstein. M là kh i lư ng Planck 5 chi u, Λ là h ng s vũ tr 5 chi u. Chúng ta dùng nguyên lý tác d ng t i thi u áp lên tác d ng trên chúng ta s d n ra đư c phương trình h p d n 5 chi u tương t như h phương trình Einstein trong lý thuy t tương đ i r ng. Trong mô hình RS, metric có d ng như sau: ds2 = e−2σ(φ) ηµν dxµ dxν + rc dφ2 . 2 (2.2) ng d ng metric trên chúng ta s gi i đư c phương trình trư ng 5 chi u s tìm đư c d ng c th c a metric hay cho ta bi t đư c d ng c th c a không-th i gian. Tuy nhiên, metric trong bi u th c bình phương kho ng (2.2) này đư c hai tác gi đưa ra đ u tiên th hi n mô hình vũ tr tĩnh không mô t đư c s giãn n c a vũ tr , mà hai tác gi ch nh m m c đích gi i quy t bài toán vi ph m th b c như trình bày trong m c 4. V sau, có nh ng tác gi khác ch ch p nh n tiên đ th nh t v tác d ng c a mô hình RS, nhưng cho metric ph thu c vào th i gian đ kh o sát 4
hi n tư ng giãn n , hay v n đ v shortcut như đư c chúng tôi trình bày trong m c 8, 9. 3 Phương trình trư ng h p d n 5D Trong m c này, chúng tôi s d n ra phương trình trư ng h p d n 5 chi u và gi i c th chúng. 3.1 Phương trình trư ng h p d n L y bi n phân c a hàm tác d ng S: δS = δSgravity + δSvis + δShid (3.1) • Tính δSgravity Ta có: √ π 4 dφ −G −Λ + 2M 3 R . Sgravity = dx −π √ π d4 x dφ −G −Λ + 2M 3 R → δSgravity = δ −π (3.2) √ π 4 3 −G −Λ + 2M R = dx dφ δ . −π Ta có: √ Λ√ Λ −GGAB δGAB . δ −Λ −G = √ δG = (3.3) 2 2 −G √ √ π π 4 4 dφδ (GAB RAB −G) dφδ (R −G) = dx dx −π −π √ π 1 d4 x RAB − GAB R δ GAB −G = dφ (3.4) 2 −π √ π d4 x dφGAB δRAB −G. + −π Ta đ t: √ π 4 dφGAB δRAB −G. I= dx −π 5
Ta có: ∂ ∂ GAB δRAB = GAB δ ΓC − B δ ΓB AB AC C ∂x ∂x ∂ ∂ = GAB C δ ΓC − GAC C δ ΓB AB AB ∂x ∂x C ∂w = . ∂xC Vi wC = GAB δ ΓC − GAC δ ΓB . AB AB ∂√ 1 → GAB δRAB = √ −GwC . ∂xC −G Như v y, ta có: √ √ −GwC π π ∂ 4 AB 4 δRAB −G = dx dφG dx dφ . (3.5) ∂ xC −π −π Theo đ nh lý Gauss khi chuy n t tích phân kh i sang tích phân m t ta đư c: √ √ −GwC π ∂ d4 x dF −GwC . dφ = (3.6) C ∂x −π F Trong đó: m t F là m t gi i n i, ch a toàn b không-th i gian c a vũ tr . V i gi thuy t trư ng h p d n h u h n các đi m t i h n ta có: √ dF −GwC = 0. (3.7) F Th (3.7) vào (3.5) và (3.6) ta đư c: √ π d4 x dφGAB δRAB −G = 0. I= −π Th vào phương trình (3.4) ta đư c: √ √ π π 1 d4 x d4 x RAB − GAB R δ GAB −G . dφδ (R −G) = dφ 2 −π −π (3.8) 6
Th (3.3) và (3.8) vào (3.2) ta đư c: √ π d4 x dφ −G −Λ + 2M 3 R δSgravity = δ −π √ π d4 x −G −Λ + 2M 3 R = dφ δ (3.9) −π √ π 1 Λ d4 x dφ 2M 3 RAB − GAB R + GAB δ GAB −G. = 2 2 −π • Tính δSvis : √ d4 x −gvis {Lvis − Vvis } Svis = (3.10) √ 1 µν 4 d x −gvis − gvis ∂µ χ∂ν χ − Vvis (χ) . = 2 Tương t chúng tôi thu đư c: √ 1 µν d4 x − ⇒ δSvis = −gvis δA δB δ (φ − π ) ∂µ χ∂ν χ 2 (3.11) 1 αβ δ GAB . − Gµν g ∂α χ∂β χ + Vvis (χ) 2 Trư ng h p th năng vư t tr i đ ng năng (Lvis Vvis , coi Lvis = 0) ta thu đư c: √ 1 µν d4 x Vvis −gvis δA δB δ (φ − π )δGAB . δSvis = (3.12) 2 • Tính δShid √ d4 x −ghid {Lhid − Vhid } Shid = √ 1 d4 x −ghid − ( χ)2 − Vhid (χ) = (3.13) 2 √ 1 µν d4 x −ghid − ghid ∂µ χ∂ν χ − Vhid (χ) . = 2 Tương t , chúng tôi thu đư c: 7
√ 1 µν d4 x − ⇒ δShid = −ghid δA δB δ (φ) ∂µ χ∂ν χ 2 (3.14) 1 αβ δ GAB . − Gµν G ∂α χ∂β χ + Vhid (χ) 2 Trư ng h p th năng vư t tr i đ ng năng (Lhid Vhid , coi Lhid = 0) ta có: √ 1 µν d4 x Vhid −ghid δA δB δ (φ)δGAB . δShid = (3.15) 2 chú thích: √ 1√ 1 −ggµν δg µν −g = − √ δg = δ 2 −g 2 Th các phương trình (3.9), (3.11), (3.14) vào phương trình (3.1) ta đư c: √ π 1 1 d4 x − dφ −4M 3 RAB − GAB R − ΛGAB δ GAB −G δS = 2 2 −π √ 1 αβ µν δ GAB −gvis δA δB δ (φ − π ) ∂µ χ∂ν χ − Gµν + G ∂α χ∂β χ + Vvis (χ) 2 √ 1 αβ µν δ GAB . −ghid δA δB δ (φ) ∂µ χ∂ν χ − Gµν + G ∂α χ∂β χ + Vhid (χ) 2 (3.16) Trong trư ng h p th năng vư t tr i đ ng năng, ta có: δS =δSgravity + δSvis + δShid √ π 1 Λ d4 x 2M 3 RAB − GAB R + GAB −G = dφ 2 2 −π √ √ 1 1 vis µ ν hid µ ν + Vvis −gvis gµν δM δN δ (φ − π ) + Vhid −ghid gµν δM δN δ (φ) δ GAB = 0. 2 2 Vì tính tùy ý c a δGAB nên ta có: √ √ √ 1 1 RAB − GAB R −G ≡ GAB −G = − ΛGAB −G + 4M 3 2 (3.17) √ √ µν hid µ ν vis + Vvis −gvis gµν δM δN δ (φ − π ) + Vhid −ghid gµν δM δN δ (φ) . Phương trình (3.17) chính là phương trình Einstein trong extra-dimension ( trong trư ng h p th năng vư t tr i đ ng năng). 8
3.2 Gi i phương trình Einstein Xét nghi m c a phương trình Einstein có d ng: ds2 = e−2σ(φ) ηµν dxµ dxν + rc dφ2 . 2 (3.18) Trong đó: Trong đó e−2σ(φ) v i 0 ≤ φ ≤ π là h s "warp", rc là bán kính "compact", ηµν là tensor Minkowsky. Qui ư c: - Các ch s µ, ν có th nh n các giá tr t 0 đ n 3 - Các ch s A, B, C có th nh n các giá tr t 0 đ n 4 Ch n c=1. Như v y ta có các thành ph n c a tensor metrix là:  −2σ(φ)  −e 0 0 0 0 e−2σ(φ) 0 0 0 0    e−2σ(φ) GAB =  0. 0 0 0   e−2σ(φ) 0 0 0 0  2 0 0 0 0 rc √ −G = rc e−4σ(φ) → (3.19) Hay −e2σ(φ)   0 0 0 0 e2σ(φ) 0 0 0 0   GAB eσ(φ) = 0 0 . 0 0   eσ(φ) 0  0 0 0 − rc 2 0 0 0 0 Suy ra −e−2σ(φ)   0 0 0 e−2σ(φ) 0 0 0  gµν (xµ ) ≡ Gµν (xµ , φ = π ) =  vis . e−2σ(φ) 0 0 0  e−2σ(φ) 0 0 0 √ −gvis = e−4σ(φ) → (3.20)  −2σ(φ)  −e 0 0 0 e−2σ(φ) 0 0 0  gµν (xµ ) ≡ Gµν (xµ , φ = 0) =  hid . −2σ (φ) 0 0 e 0  e−2σ(φ) 0 0 0 9
√ −ghid = e−4σ(φ) . → (3.21)  0   x t  x1   x1    xA ≡  x2  ≡  x2   3  3 x  x  x4 φ 1. Các s h ng Christoffel: 1 ∂ gDB ∂gDC ∂gBC ΓA = g AD − + . (3.22) BC C B ∂xD 2 ∂x ∂x Khai tri n (3.22) ta đư c: 1 ∂ g0B ∂g0C ∂gBC 1 A1 ∂ g1B ∂g1C ∂gBC ΓA = g A0 − − + + g + BC ∂xC ∂xB C B ∂x1 2 ∂t 2 ∂x ∂x 1 ∂ g2B ∂g2C ∂gBC 1 ∂ g3B ∂g3C ∂gBC + g A2 + g A3 − − + + ∂xC ∂xB ∂x2 C B ∂x3 2 2 ∂x ∂x 1 ∂ g4B ∂g4C ∂gBC + g A4 − + . ∂xC ∂xB 2 ∂φ (3.23) Nh n xét: T d ng khai tri n c a các s h ng Christoffel cùng v i các thành ph n c a Tensor metrix ta có: ΓA ch khác 0 n u ch có 1 trong 3 ch s A, BC b ng 4 và BC ph i có 2 ch s trùng nhau. Do đó ta có: • ∂ e−2σ(φ) 1 ∂ g00 ∂g04 ∂g04 1 ∂g00 1 Γ0 = g 00 = g 00 = e2σ(φ) − + , 04 2 ∂φ ∂t ∂t 2 ∂φ 2 ∂φ Γ0 = −σ (φ) 04 • 1 2σ(φ) ∂ e−2σ(φ) 1 ∂ g04 ∂g00 ∂g40 1 00 ∂g00 Γ0 = g 00 − + =g =e , 40 2 ∂t ∂φ ∂t 2 ∂φ 2 ∂φ Γ0 = −σ (φ), 40 10
• ∂ e−2σ(φ) 1 ∂ g11 ∂g14 ∂g14 1 ∂g11 1 Γ1 = g 11 = g 11 = e2σ(φ) − + 14 ∂x1 ∂x1 2 ∂φ 2 ∂φ 2 ∂φ Γ1 = −σ (φ), 14 • ∂ e−2σ(φ) 1 ∂ g14 ∂g11 ∂g41 1 ∂g11 1 Γ1 = g 11 = g 11 = e2σ(φ) − + , 41 ∂x1 ∂x1 2 ∂φ 2 ∂φ 2 ∂φ Γ1 = −σ (φ). 41 • ∂ e−2σ(φ) 1 ∂ g22 ∂g24 ∂g24 1 ∂g22 1 Γ2 = g 22 = g 22 = e2σ(φ) − + , 24 ∂x2 ∂x2 2 ∂φ 2 ∂φ 2 ∂φ Γ2 = −σ (φ), 24 • ∂ e−2σ(φ) 1 ∂ g24 ∂g22 ∂g42 1 ∂g22 1 Γ2 = g 22 = g 22 = e2σ(φ) − + , 42 ∂x2 ∂x2 2 ∂φ 2 ∂φ 2 ∂φ Γ2 = −σ (φ), 42 • ∂ e−2σ(φ) 1 ∂ g33 ∂g34 ∂g34 1 ∂g33 1 Γ3 = g 33 = g 33 = e2σ(φ) − + , 34 ∂x3 ∂x3 2 ∂φ 2 ∂φ 2 ∂φ Γ3 = −σ (φ), 34 • 1 2σ(φ) ∂ e−2σ(φ) 1 ∂ g34 ∂g33 ∂g43 1 33 ∂g33 Γ3 = g 33 − + =g =e , 43 ∂x3 ∂x3 2 ∂φ 2 ∂φ 2 ∂φ Γ3 = −σ (φ), 43 • 1 ∂ e−2σ(φ) 1 ∂ g40 ∂g40 ∂g00 1 44 ∂g00 Γ4 = g 44 − =− g + =2 , 00 ∂x0 ∂x0 2 ∂φ 2 ∂φ 2rc ∂φ 1 −2σ(φ) Γ4 = − e σ (φ), 00 2 rc 11
• 1 ∂ e−2σ(φ) 1 ∂ g41 ∂g41 ∂g11 1 44 ∂g11 Γ4 = g 44 − =− g =− 2 + , 11 ∂x1 ∂x1 2 ∂φ 2 ∂φ 2rc ∂φ 1 −2σ(φ) Γ4 = e σ (φ), 11 2 rc • 1 ∂ e−2σ(φ) 1 ∂ g42 ∂g42 ∂g22 1 ∂g22 Γ4 = g 44 = − g 44 − =− 2 + , 22 ∂x2 ∂x2 2 ∂φ 2 ∂φ 2rc ∂φ 1 −2σ(φ) Γ4 = e σ (φ), 22 2 rc • 1 ∂ e−2σ(φ) 1 ∂ g43 ∂g43 ∂g33 1 ∂g33 Γ4 = g 44 = − g 44 − =− 2 + , 33 ∂x3 ∂x3 2 ∂φ 2 ∂φ 2rc ∂φ 1 −2σ(φ) Γ4 = e σ (φ). 33 2 rc 2. Tensor Ricci ∂ ΓC ∂ ΓC AB AC + ΓC Γσ − Γσ ΓC − RAB = AB Cσ AC Bσ C B ∂x ∂x ∂ Γ4 ∂ Γ0 0 ∂ Γ1 1 ∂ Γ2 2 ∂ Γ3 3 AB A A A A − − − − = ∂xB ∂xB ∂xB ∂xB ∂φ (3.24) + Γ4 Γ0 + Γ4 Γ1 + Γ4 Γ2 + Γ4 Γ3 AB 40 AB 41 AB 42 AB 43 − Γ0 0 Γ0 0 + Γ0 4 Γ4 0 + Γ1 1 Γ1 1 + Γ1 4 Γ4 1 A B A B A B A B − Γ2 2 Γ2 2 + Γ2 4 Γ4 2 + Γ3 3 Γ3 3 + Γ3 4 Γ4 3 A B A B A B A B − Γ4 0 Γ0 4 + Γ4 1 Γ1 4 + Γ4 2 Γ2 4 + Γ4 3 Γ3 4 + Γ4 4 Γ4 4 . A B A B A B A B A B Nh n xét: N u A = B thì RAB =0 • ∂ Γ4 00 + Γ4 Γ0 + Γ4 Γ1 + Γ4 Γ2 + Γ4 Γ3 R00 = 00 40 00 41 00 42 00 43 ∂φ − Γ0 Γ4 + Γ4 Γ0 , 04 00 00 04 1 4e−2σ(φ) σ (φ)2 − e−2σ(φ) σ (φ) . R00 = 2 rc 12
• ∂ Γ4 11 + Γ4 Γ0 + Γ4 Γ1 + Γ4 Γ2 + Γ4 Γ3 R11 = 11 40 11 41 11 42 11 43 ∂φ − Γ1 Γ4 + Γ4 Γ1 , 14 11 11 14 1 −4e−2σ(φ) σ (φ)2 + e−2σ(φ) σ (φ) . R11 = 2 rc • ∂ Γ4 22 + Γ4 Γ0 + Γ4 Γ1 + Γ4 Γ2 + Γ4 Γ3 R22 = 22 40 22 41 22 42 22 43 ∂φ − Γ2 Γ4 + Γ4 Γ2 , 24 22 22 24 1 −4e−2σ(φ) σ (φ)2 + e−2σ(φ) σ (φ) . R22 = 2 rc • ∂ Γ4 33 + Γ4 Γ0 + Γ4 Γ1 + Γ4 Γ2 + Γ4 Γ3 R33 = 33 40 33 41 33 42 33 43 ∂φ − Γ3 Γ4 + Γ4 Γ3 , 34 33 33 34 1 −4e−2σ(φ) σ (φ)2 + e−2σ(φ) σ (φ) . R33 = 2 rc ∂ Γ0 ∂ Γ1 ∂ Γ2 ∂ Γ3 40 41 42 43 R44 = − − − − ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ − Γ0 Γ0 + Γ1 Γ1 + Γ2 Γ2 + Γ3 Γ3 , 40 40 41 41 42 42 43 43 R44 = −4σ (φ)2 + 4σ (φ). 3. S h ng Ricci vô hư ng R = RAB GAB , 1 − 4σ (φ)2 + 4σ (φ) − e2σ(φ) 4e−2σ(φ) σ (φ)2 − e−2σ(φ) σ (φ) ⇒R= 2 rc + 3e2σ(φ) −4e−2σ(φ) σ (φ)2 + e−2σ(φ) σ (φ) 1 = 2 −20σ (φ)2 + 8σ (φ) . rc 4. Thành ph n Tensor Einstein 13
• 1 G00 =R00 − RG00 2 1 −2σ (φ) (σ (φ))2 − e−2σ(φ) σ (φ) = 2 4e rc (3.25) 1 1 + e−2σ(φ) 2 −20(σ (φ))2 + 8σ (φ) 2 rc 3 = 2 e−2σ(φ) −2(σ (φ))2 + σ (φ) . rc Tương t ta có th tính các thành ph n còn l i c a tensor Einstein • 1 G11 =R11 − RG11 2 1 = 2 −4e−2σ(φ) (σ (φ))2 + e−2σ(φ) σ (φ) rc (3.26) 1 1 − e−2σ(φ) 2 −20(σ (φ))2 + 8σ (φ) 2 rc 3 = 2 e−2σ(φ) 2(σ (φ))2 − σ (φ) , rc • 1 G22 =R22 − RG22 2 1 = 2 −4e−2σ(φ) (σ (φ))2 + e−2σ(φ) σ (φ) rc (3.27) 1 1 − e−2σ(φ) 2 −20(σ (φ))2 + 8σ (φ) 2 rc 3 −2σ(φ) 2(σ (φ))2 − σ (φ) , = 2e rc • 1 G33 =R33 − RG33 2 1 = 2 −4e−2σ(φ) (σ (φ))2 + e−2σ(φ) σ (φ) rc (3.28) 1 1 − e−2σ(φ) 2 −20(σ (φ))2 + 8σ (φ) 2 rc 3 = 2 e−2σ(φ) 2(σ (φ))2 − σ (φ) , rc 14
• 1 G44 = R44 − RG44 2 1 (3.29) = −4σ (φ)2 + 4σ (φ) − −20σ (φ)2 + 8σ (φ) rc 2 2 2rc 2 = 6 (σ (φ)) . Chú thích: σ (φ) là đ o hàm c a σ theo φ. T các phương trình (3.17) và (3.29) ta có: (khi A=4, B=4) √ √ 1 G44 −G = − ΛG44 −G + 3 4M √ √ vis µ ν hid µ ν + Vvis −gvis gµν δ4 δ4 δ (φ − π ) + Vhid −ghid gµν δ4 δ4 δ (φ) √ 1 =− ΛG44 −G, 4M 3 1 2 ⇔G44 = − ΛG44 = 6 (σ (φ)) 4M 3 (3.30) 2 −Λrc 2 ⇔ (σ (φ)) = . 24M 3 −Λ → σ = rc 24M 3 Nghi m c a phương trình trên là b t bi n v i phép bi n đ i φ → −φ nên ta có: −Λ σ = rc |φ| (3.31) 24M 3 T phương trình (3.17) V i A=0, B=0 √ √ √ √ 1 vis hid G00 −G = − ΛG00 −G + Vvis −gvis g00 δ (φ − π ) + Vhid −ghid g00 δ (φ) . 3 4M 1 −2σ(φ) 1 ⇔ rc e−4σ(φ) Λe−2σ(φ) rc e−4σ(φ) −6σ (φ)2 + 3σ (φ) = e 2 3 rc 4M (3.32) −4σ (φ) −2σ (φ) δ (φ − π ) + Vhid e−4σ(φ) e−2σ(φ) δ (φ) . + Vvis e e −6 3 1 (σ (φ))2 − σ (φ) = ⇔ [Λrc + Vvis δ (φ − π ) + Vhid δ (φ)]. 4M 3 rc rc Th (3.30) vào ta đư c 2 −6 −Λrc 3 1 [Λrc + Vvis δ (φ − π ) + Vhid δ (φ)]. + σ (φ) = rc 24M 3 rc 4M 3 15
3 Vvis Vhid ⇒ δ (φ − π ) + σ (φ) = δ (φ) 3 4M 3 rc 4M Vvis rc Vhid rc ⇒ σ (φ) = δ (φ − π ) + δ (φ). (3.33) 3 12M 3 12M Như v y, đ o hàm c p hai c a σ (φ) ph thu c vào th năng Vvis và Vhid trong Brane. Đ o hàm (t i c p 2) 2 v c a phương trình (3.31) ta đư c: −Λ (δ (φ) − δ (φ − π ).) σ (φ) = 2rc (3.34) 24M 3 K t h p (3.33) v i (3.34) v i gi thuy t Vvis , Vhid , Λ ph thu c vào cùng m t thang k. Khi đó, ta có: −Λ Vhid = −Vvis = 24M 3 = 24M 3 k. (3.35) 24M 3 Như v y, ta có nghi m c a phương trình Einstein (trong trư ng h p th năng vư t tr i đ ng năng) : ds2 = e−2krc |φ| ηµν + rc dφ2 . 2 (3.36) 4 H th ng th b c và v n đ v h ng s vũ tr Bài toán th b c đư c gi i quy t khá t t trong mô hình RSI[3], không-th i gian Bulk 5D, v i chi u th 5 (chi u ngo i ph ) compact, đư c mô t b i metric dS5 = e−2krc |φ| ηµν dxµ dxν + rc dφ2 , 2 2 (4.1) Vi µ, ν = 0, 1, 2, 3; k là m t h ng s , b c c a thang kh i lư ng Planck 5 chi u M ηµν là metric Minkowski 4D và rc là bán kính c a chi u thêm vào. H s e−2krc |φ| đư c g i là h s warp. Hàm tác d ng 5D c a RSI khi b qua h ng s vũ tr có d ng sau: M3 (5) dx5 −g (5) R(5) . Sg = (4.2) 16π Đ thu đư c h th c gi a thang Planck 5D M và thang Planck 4D Mpl , chúng ta kh o sát nh ng nhi u lo n h p d n cho b i dS5 = e−2krc |φ| [ηµν + hµν (xλ )]dxµ dxν + rc dφ2 2 2 (4.3) = g (4) (x, φ)(dxµ + N µ dφ)(dxν + N ν dφ) + N 2 dφ2 , 16
Trong đó, N µ = N ν = 0, N 2 = rc . 2 T bi u th c kho ng trên ta d n ra metric có d ng như sau: g (4) g (4) N µ g (4) g0ν AB g (5) = = = (4.4) g (4) N ν N 2 + g (4) N µ N ν CD gµ0 g55 Ta có: det(g (5) ) = det(A)det(D − CA−1 B ) = N 2 det(g (4) ), (4.5) ta suy ra: −g (5) = rc −g (4) . (4.6) −2krc |φ| ηµν dxµ dxν , Xem xét metric (4.1), chúng ta chi t su t ra metric 4 chi u có d ng e ch t l v i metric Minlowski m t thành ph n e−2krc |φ| . Nên trong mô hình RSI, ta có nh n xét là tensor Ricci 4 chi u lúc này hơn kém e−2krc |φ| so v i tensor Ricci tính t metric Minkowski. V i d ng tác d ng (4.2) và (4.6) cùng v i nh n xét v metric c a mô hình RSI trên ta thu g n tác d ng 5D thành 4D có d ng sau: π M3 dφrc e−2krc |Φ| −g (4) R(4) (4) dx4 Sg = 16π −π (4.7) 3 M1 dx4 R4 1 − e−2krc π , = 16π k v i g 4 = ηµν + hµν . So sánh (4.7) v i tác d ng Hilbert- Einstein 4D thông thư ng có d ng 2 Mpl 4 d4 −g (4) R(4) , Sg = (4.8) 16π ta suy ra đư c M3 1 − e−2krc π . 2 Mpl = (4.9) k Phương trình (4.9) cho th y Mpl ch ph thu c r t nh vào rc trong gi i h n krc l n. Mô hình RSI d đoán M và Mpl cùng b c:M ∼ Mpl ∼ 1016 T eV . H th ng th b c gi a tham s kh i lư ng v t lý m và tham s kh i lư ng cơ b n m0 có th phát sinh m = e−krc π m0 N u ekrc π b c 1015 , khi đó cơ ch này sinh ra thang kh i lư ng v t lý TeV t các tham s kh i lư ng cơ b n không khác nhi u so v i thang Planck, 1019 GeV. 17
Giá tr nh quan sát đư c c a h ng s vũ tr làm n y sinh v n đ h ng s vũ tr . Có r t nhi u n l c trong vi c gi i quy t v n đ này thông qua các mô hình Braneworld. Trong mô hình RS, h ng s vũ tr hi u d ng 4 chi u trên Brane đư c sinh ra b i h ng −Λ s vũ tr Bulk 5 chi u Λ [5]. T phương trình (4.9) v i k = và ràng bu c 24M 3 Mpl ∼ M , ta có 3 Mpl 1 − e−2krc π 2 Mpl = −Λ 3 24Mpl (4.10) −Λ = Mpl 1 − e−2krc π ⇔ 3 24Mpl 2 ⇒ −Λ ∼ Mpl 1 − e−2krc π 5 = Mpl 2 , 5 V i = 1 − e−2krc π . Tr l i tác d ng c a h p d n 5D πrc √ d4 x dy −G(−Λ + 2M 3 R) S= −πrc và metric dS 2 = e−2k|y| ηµν dxµ dxν + dy 2 , đây, y = rc φ là chi u thêm vào. Th c hi n tính tích phân tác d ng S theo chi u th 5, ta đư c √ SΛ = d4 x −6M 3 Λ 1 − e−4krc π . (4.11) N u chúng ta đ xu t thang kh i lư ng 4 chi u Mpl như là thang kh i lư ng cơ b n, t c là n u chúng ta đ t Mpl ∼ M , khi đó, h ng s vũ tr Bulk l y giá tr trong phương trình (4.10). Th (4.10) vào (4.11), ta đư c 1 − e−4krc π d4 x 6Mpl Mpl 3 5 2 SΛ ∼ (4.12) −4krc π 4 4 1−e d xMpl . ∼ So sánh k t qu này v i tác d ng hi u d ng 4 chi u trên Brane quan sát đư c đ t t i y = rc π v i tensor metric gµν = e−2krc π ηµν vis √ d4 xe−4krc π (−Λvis ) d4 x −gvis (−Λvis ) = Sef f = (4) (4) 18
ta suy ra đư c 1 − e−4kπrc −Λvis ∼ Mpl 4 4 e4kπrc − 1 = Mpl δ. 4 = Mpl (4.13) (4) e−4kπrc Ta th y r ng, n u δ b c 10−120 , khi đó, −Λvis ∼ (1018 )4 .10−120 . Như v y, mô (4) hình này sinh ra m t h ng s vũ tr hi u d ng 4D nh −Λvis ∼ 10−47 GeV 4 (4) Tương t v i Brane n đ t t i y = 0, tác d ng hi u d ng là √ d4 x −ghid (−Λhid ) Sef f = (4) hid v i gµν = ηµν . Trên Brane này, h ng s vũ tr r t nh và b ng −Λhid ∼ Mpl (1 − e−4kπrc ) 4 (4) Như v y, đ sinh ra th b c l n δ = (1 − e−2krc π ) e4kπrc − 1 = 10−120 gi a giá tr b n ch t và giá tr quan sát đư c c a h ng s vũ tr đòi h i rc ph i c c nh . Khi đó, chúng ta có th thu đư c h ng s vũ tr hi u d ng nh trên c hai Brane. V n đ v h ng s vũ tr đã đư c gi i quy t trong mô hình RS. Ta chú ý r ng, trong RS, đ sinh ra h th ng th b c d ng hàm e-mũ ekπrc gi a thang TeV và thang Planck đòi h i krc ∼ 10 đ đ l n c a chi u thêm vào là rc ∼ 1018 GeV ∼ 10−34 m V i giá tr rc c c nh đ gi i quy t v n đ v h ng s vũ tr s là quá nh đ gi i quy t v n đ v h th ng th b c. Đi u này có nghĩa r ng trong mô hình RS, khi gi i quy t đư c bài toán th b c v thang đo planck lai sinh ra m t bài toán th b c khác, bài toán th b c gi a bán kính cong (rc ) hay đ cong µc = r1c và thang đo plack (ho c thang đi n-y u). 5 H p d n 4D trên Brane trong không gian Bulk 5D Trong các mô hình Braneworld, trư ng h p d n có th truy n trong không-th i gian Bulk nhi u chi u, có nghĩa là h p d n đã b bi n đ i. Mô hình RSII kh o sát cách khôi ph c l i h p d n 4 chi u trên Brane g n trong không-th i gian Bulk 5 chi u. Mô hình này d a trên các thành ph n cơ b n sau[2]: 19
• Không-th i gian Bulk 5 chi u tr ng r ng nhưng đóng góp m t h ng s vũ tr âm 6 Λ=− l2 l là kích thư c c a chi u thêm vào. • M t Brane t h p d n, đóng góp m t áp su t dương σ và có tính đ i x ng Z2 Phương trình Einstein 5D đư c cho b i GM N + ΛgM N = κ2 TM N κ là h ng s liên k t h p d n. Kh i lư ng Planck 5 chi u M đư c đ nh nghĩa κ2 = M −3 Phương trình Einstein 5D th a nh n nghi m tĩnh sau[2, 4, 6] dS 2 = a2 (y )ηµν dxµ dxν + dy 2 (5.1) = a2 (z )(ηµν dxµ dxν + dy 2 ). 1 a(y ) = e−l|y| , a(z ) = là h s warp theo t a đ v t lý và t a đ conformal 1 + l|z | dy z= [6]. Kh o sát mô hình RSII, chúng ta s chúng t r ng đ nh lu t Newton a(y ) v h p d n đư c khôi ph c trên Brane có áp su t dương g n trên chi u thêm vào vô −Gm1 m2 h n, t c ta s thu l i đư c th h p d n V (r) ∼ như trong h p d n 4D chu n. r Chúng ta b t đ u v i hai Brane: Brane quan sát đư c đ t t i y = yr , z = zr và Brane n đ t t i y = z = 0. Áp su t trên hai Brane l n lư t là σ và −σ . Đ kh o sát sâu hơn tính ch t c a h p d n và tìm ra th hi u d ng c a m t v t đi m trên Brane, chúng ta ph i xét đ n các nhi u lo n gM N = ηM N + hM N , trong đó hyy = 0, hyµ = 0, ∂µ hµ = 0, hν = 0. T đây, phương trình Einstein tuy n tính hóa rút g n thành [2, 4] ν µ 4 4 a− 2∂(4) + ∂y − 2 2 + δ (y ) hµν = 0. (5.2) l2 l Nghi m c a phương trình có th đư c vi t dư i d ng ch ng ch p c a các mode riêng µ h(xµ , y ) = Φm (y )eipµ x v i pm upµ = −m2 là kh i lư ng 4 chi u c a kích thích Kaluza-Klein. S ph thu c vào chi u th 5 c a các mode b chi ph i b i phương trình g n gi ng phương trình Schrodinger d2 ψm − V (z )ψm = −m2 ψm dz 2 20