Ứng dụng mô hình ARIMA-GARCH để dự báo chỉ số VN-INDEX

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

49
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu xây dựng mô hình ARIMA và GARCH để tiến hành dự báo với bộ dữ liệu VNindex hằng ngày được thu thập từ sở giao dịch chứng khoán thành phố Hồ Chí Minh trong vòng 12 năm từ 28/7/2000 tới 29/7/2012.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng mô hình ARIMA-GARCH để dự báo chỉ số VN-INDEX

HỘI THẢO "NGÂN HÀNG VIỆT NAM: BỐI CẢNH VÀ TRIỂN VỌNG" ỨNG DỤNG MÔ HÌNH ARIMA-GARCH ĐỂ DỰ BÁO CHỈ SỐ VN-INDEX ThS. Bùi Quang Trung Trường Đại học Kinh tế - Đại học Đà Nẵng qtrung8x@gmail.com TÓM TẮT Trong các vấn đề mà con người phải đối mặt, ảnh hưởng của sự biến động của chỉ số chứng khoán đến các thị trường tài chính cũng như nền kinh tế thế giới là một trong những chủ đề rất được quan tâm nhất, đặc biệt là đối với một thị trường mới nổi như Việt Nam. Do đó, việc dự báo xu hướng biến động trong tương lai của các chỉ số chứng khoán là cần thiết đối không những với các nhà đầu tư mà còn với các nhà quả lý thị trường. Nghiên cứu xây dựng mô hình ARIMA và GARCH để tiến hành dự báo với bộ dữ liệu VNindex hàng ngày được thu thập từ sở giao dịch chứng khoán thành phố Hồ Chí Minh trong vòng 12 năm từ 28/7/2000 tới 29/7/2012. 1. Giới thiệu Trong những năm gần đây, dự báo và phân tích sử dụng phương pháp chuỗi thời gian đã được thực hành rộng rãi.Trong nông nghiệp, phương pháp này đã được sử dụng để dự báo năng suất lúa (Shabri et al., 2009) và giá hạt ca cao (Assis et al., 2010). Trong kinh doanh, nó đã được áp dụng để dự báo các biến động của tỷ giá hối đoái (Zhang, 2001;.Fahimifard và cộng sự, 2009) và giá dầu thô (Kumar, 1992). Trong hai thập kỷ qua, phương pháp dự báo dựa vào chuỗi thời gian cho giá cổ phiếu, lãi suất trái phiếu và biến động tỷ giá đã được khái quát thành hai loại đó là phân tích cơ bản (Edward, 1998; Kenneth, 1994) sử dụng các biến kinh tế vĩ mô và phân tích kỹ thuật sử dụng dữ liệu lịch sử và đồ thị (Harvey, 1990; Diebold, 1989). Về những thay đổi tronla2phan6 tích cơ bản, giá cổ phiếu là quá trình có sự biến động cao.Trong khi đó phương pháp phân tích kỹ thuật chỉ sử dụng dữ liệu lịch sử, chẳng hạn như giá cổ phiếu trong quá khứ, để tìm ra xu hướng và biến động của chuỗi dữ liệu đó trong tương lai.Nếu như các nhà đầu tư có thể dự báo được xu hướng biến động của giá cổ phiếu, họ sẽ có thể đưa ra quyết định để tối đa hóa lợi nhuận của mình hoặc giảm thiểu thiệt hại càng nhiều càng tốt hơn. Nghiên cứu này tập trung vào dự báo chuỗi thời gian của chỉ số chứng khoán Việt Nam (VN-Index), bằng cách sử dụng mô hình ARIMA và GARCH.Mặc dù phương pháp phương pháp Box-Jenkins rất được phổ biến và mạnh mẽ nhưng nó không thể xử lý các biến đông trong 1 chuỗi thời gian như VN-Index.Sự biến động này có thể được xử lý bằng cách sử dụng mô hình GARCH. Các dự báo thu được từ GARCH sẽ được so sánh với kết quả dự báo điểm chuẩn từ mô hình ARIMA. với kết quả dự báo điểm chuẩn từ mô hình ARIMA. 2. Cơ sở lý luận 2.1. Mô hình ARIMA Một chuỗi thời gian Yt được mô tả tổng quát như sau: Yt= {Yt-1, Yt-2,..,Y0} Box và Jenkins (1976) đề xuất sử dụng mô hình ARIMA cho các chuỗi thời gian.Mô hình này sau đó được ứng dụng rộng rãi cho các chuỗi thời gian trên nhiều lĩnh vực khác nhau. Chúng được sử dụng trong trường hợp dữ liệu là một chuỗi dừng hoặc các đặc tính không dừng của nó có thể được loại bỏ. Quy trình ngẫu nhiên của Yt được xem là dừng nếu trung bình và phương sai của quá trình không thay đổi theo thời gian và hiệp phương sai giữa hai thời đoạn chỉ phụ thuộc vào khoảng cách độ trễ về thời gian giữa các thời đoạn này chứ không phụ thuộc vào thời điểm thực tế mà đồng phương sai được tính. Có ba cách để nhận biết tính dừng của một chuỗi thời gian là dựa 453
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG vào trên đồ thịcủa chuỗi thời gian, đồ thị của hàm tự tương quan mẫu hay kiểm định Dickey – Fuller (ADF). Mô hình tự hồi quy p - AR(p): trong mô hình tự hồi quy quá trình phụ thuộc vào tổng trọng số của các giá trị quá khứ và số hạng nhiễu ngẫu nhiên Yt= c + φ1yt-1 + φ2yt-2 + …+ φt-pyt-p+ εt = Mô hình trung bình trượt q – MA(q): trong mô hình trung bình trượt, quá trình được mô tả hoàn toàn bằng tổng trọng số của các ngẫu nhiên hiện hành có độ trễ: Mô Hình Hồi Quy Kết Hợp Trung Bình Trượt - ARMA(p,q): Mô hình ARMA giả định rằng các chuỗi thời gian là dừng.Tuy nhiên, các quy trình trong thực tế thường là không dừng. Các nhà nghiên cứu thường dung sai phân để mang lại tính dừng một chuỗi thời gian không dừng. Mô hình ARMA, có chuỗi dữ liệu thời gian mang tính dừng được tạo ra bằng cách lấy sai phân chuỗi dữ liệu gốc, được gọi là mô hình ARIMA. Do đó, mô hình ARIMA có các bậc tự hồi quy và trung bình trượt giống như của mô hình ARMA gốc. Tuy nhiên, nó cũng bao gồm một tham số bổ sung, cụ thể là, d lần thứ tự sai phân. Mô hình này sử dụng dữ liệu trong quá khứ cho một quá trình tự hồi quy (AR) có lưu trữ sự kiện trước đó.Một quá trình tích hợp (I) làm cho dữ liệu có tính dừng để dư báo và một trung bình trượt trượt (MA) để xác định sai số dự báo. Box-Jenkins đã xác định bốn bước để xây dựng một mô hình ARIMA: • Nhận dạng mô hình: Nhận dạng mô hình ARMA(p,d,q) là tìm các giá trị thích hợp của p, d, q. Với d là bậc sai phân của chuỗi thời gian được khảo sát, p là bậc tự hồi qui và q là bậc trung bình trượt. • Ước lượng mô hình: Các hệ số và của mô hình ARIMA được xác định bằng phương pháp ước lượng thích hợp cực đại. Sau đó chúng ta kiểm định và bằng thống kê t. Ước lượng sai số bình phương trung bình của phần dư: S2 • Kiểm định mô hình: xem xét liệu các mô hình phù hợp với các dữ liệu hay không, nếu không. • Dự báo bằng mô hình tốt nhất. 2.2. Mô hình GARCH Mô hình GARCH đã được sử dụng rộng rãi trong nhiều nghiên cứu để giải thích sự biến động của thị trường tài chính.Sự tự hồi quy và trung bình trượt tồn tại trong phương sai thay đổi của mô hình GARCH.Trong quá trình lỗi trong GARCH có thể được viết như sau. Mô hình GARCH(p,q) có thể được viết như sau: 454
HỘI THẢO "NGÂN HÀNG VIỆT NAM: BỐI CẢNH VÀ TRIỂN VỌNG" Trong đó: - p, q là số bậc của GARCH và ARCH . - không đổi. Các thông số trong mô hình GARCH có thể được ước tính bằng cách sử dụng phương pháp ước lượng hợp lý cực đại (MLE). Một đặc điểm quan trọng của mô hình GARCH là phương sai có điều kiện của các nhiễu của chuỗi yt là một quá trình ARIMA. Trong các mô hình họ GARCH, GARCH (1,1) là phổ biến và thường được sử dụng nhất vì nó rất dễ dàng để áp dụng cho nhiều chuỗi dữ liệu. Mô hình GARCH(1,1) có thể được khái quát như sau: yt = µ + εt εt = ξtσt ξt~ iid N(0,1) σt =α0 + α1 ε2t-1 + β1σ2t-1 2 α0> 0; α1, β1 ≥ 0 Trong đó: yt là biến phụ thuộc trong chuỗi thời gian t µ là giá trị trung bình không thay đổi theo thời gian σt2 phương sai có điều kiện 2.3. Các chỉ tiêu đánh giá sự chính xác của dự báo Có rất nhiều cách để đánh giá tính chính xác của các mô hình dự báo. Tuy niên, trong nghiên cứu này tôi chỉ sử dụng 3 chỉ tiêu là sai số trung bình tuyệt đối (MAE), sai số trung bình tuyệt đối (RMSE) và sai số phần trăm trung bình tuyệt đối (MAPE) để làm tiêu chuẩn đánh giá. Các sai số thống kê này được sử dụng để so sánh độ chính xác của mô hình ARIMA và GARCH trong nghiên cứu này. Sai số tuyệt đối trung bình (MAE), là một thước đo độ chính xác thường được sử dụng để xác định độ chính xác của các kết quả dự báo so với kết quả thực tế. MAE được ước tính từ như sau: Trong đó: là giá trị dự báo của Sai số trung bình tuyệt đối (RMSE) là một trong những trị thống kê phổ biến để xác định khả năng dự báo của một mô hình. RMSE có thể được tính như sau: Tương tự như MAE, RMSE cũng phụ thuộc vào số lược của các biến phụ thuộc. Tuy nhiên, với cùng một số lượng các sai số, RMSE luôn lớn hơn MAE vì tính chất căn bậc hai của nó. Sai số phần trăm trung bình tuyệt đối là giá trị trung bình của sự khác biệt giữa kết quả dự báo và số liệu thực tế theo tỉ lệ phần trăm của sự. Chỉ tiêu này có thể được ước tính như sau: 455
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Chỉ tiêu MAPE có thể được xem chính là MAE đượct tính theo tỷ lệ phần trăm. Chỉ tiêu thống kê này sẽ rất hữu ích trong việc đưa ra so sánh giữa các dự báo khác khích thước mẫu. 3. Xây dựng mô hình 3.1. Dữ liệu Trong nghiên cứu này, dữ liệu của VN-index được lấy từ website của sở giao dịch chứng khoán thành phố Hồ Chí Minh từ 28/7/2000 tới ngày 30/7/2012.Bộ dữ liệu được chia làm hai phần.Phần đầu tiên từ ngày 28/8/2000 đến ngày 29/6/2012, được sử dụng để xác định và ước tính mô hình ARIMA và mô hình GARCH.Thứ hai thay đổi từ ngày 30 Tháng Sáu năm 2023 để 30 Tháng Bảy 2012.Tập dữ liệu này là một tiêu chuẩn để đánh giá cho kết quả dự báo out-of-sample mong đợi từ mô hình ARIMA và mô hình GARCH thích hợp. 3.2. ARIMA model Kết quả của kiểm định nghiệm đơn vị chỉ ra rằng chuỗi VN-index gốc là một chuỗi không dừng, do đó tính dừng của chuỗi sai phân bậc nhất của VN-index sẽ được kiểm tra. Chuỗi sai phân bậc nhất của chuỗi VN-index gốc cũng chính là chuỗi lợi tức của VN-index. Kiểm định ADF của chuỗi lợi tức của VN-index cho thấy rằng trị thống kê t của chuỗi sai phân bậc nhất là -18,81547 nhỏ hơn giá trị kiểm định tại mức mức ý nghĩa 1%. Trong khi đó, khi tiến hành kiểm định PP trên chuỗi lợi tức của VN-Index, trị thống kê t điều chỉnh của chuỗi logarit tự nhiên ở độ trễ thứ nhất là -40,5632, là rất nhỏ so với ý nghĩa 1% là-3,4324. Giá trị P-value bằng không nhau chỉ ra rằng kiểm định PP là tốt. Do đó, có thể kết luận rằng chuỗi lợi tức của VN- Index có tính dừng. 600 Series: R Sample 7/28/2000 6/29/2012 500 Observations 2805 400 Mean 0.000514 Median 0.000000 Maximum 0.077407 300 Minimum -0.076562 Std. Dev. 0.017334 200 Skewness -0.170726 Kurtosis 5.173466 100 Jarque-Bera 565.7384 Probability 0.000000 0 -0.075 -0.050 -0.025 0.000 0.025 0.050 0.075 Hình 1: Kiểm định phân phối chuẩn cho chuỗi lợi tức của VN-Index Hình 1 mô tả kiểm định thống kê về phân phối chuẩn của chuỗi lợi tức VN-Index. Ta thấy rằng, đồ thị nằm chính giữa và đạt cực đại tại zero. Với các giá trị của kiểm định, ta có thể khẳng định chuỗi lợi tức VN-Index là một chuỗi dừng. Để định dạng cho mô hình ARIMA ta sử dụng đồ thị tự tương quan và tự tương quan riêng phần. Theo đồ thị ở hình 2, tại k=1 SAC và PAC đạt cực đại 0.325 và sau đó giảm mạnh xuống nên p và q của mô hình ARIMA(p,1,q) có thể nhận các giá trị là 1. Do đó ta chọn mô hình ARIMA (1,1,1) để ước lượng các hệ số tương quan. 456
HỘI THẢO "NGÂN HÀNG VIỆT NAM: BỐI CẢNH VÀ TRIỂN VỌNG" Hình 2: Đồ thị tương quan của chuỗi lợi tức VN-Index Hệ số tương quan của mô hình ARIMA(1,1,1) được ước lượng bằng phương pháp bình phương bé nhất (OLS). Thực hiện ước lượng bằng phần mềm eview ta có kết quả như sau: Để kiểm tra sự tương quan chuỗi của mô hình ARIMA(1,1,1) ước lượng được ta dùng kiểm định Breusch – Godfrey LM. Ta có kết quả kiểm định (bảng 1) như sau các trị kiểm định F- statistic, trị kiểm định Breusch – Godfrey LM lượt là 8.0648 và 16.0658; cùng với giá trị p-value xấp xỉ bằng không. Điều này có nghĩa là mô hình ước lượng được có thể dùng để dự báo cho chuỗi lợi tức VN-Index. Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic 8.064791 Prob. F(2,2799) 0.0003 Obs*R-squared 16.06581 Prob. Chi-Square(2) 0.0003 Bảng 1: Kiểm định Breusch-Godfrey LM cho mô hình ARIMA(1,1,1) 3.3. GARCH(1,1) Trước khi tiến hành ước lượng các hệ số của mô hình GARCH(1,1), sự tốn tại của phương sai thay đổi trong chuỗi lợi tức VN-Index cần được xác định. Phương sai thay đổi có thể được xác định bởi kiểm định ARCH LM hoặc đồ thị tự tương quan của bình phương phần dư của mô hình ARIMA(1,1,1) ước lượng được ở trên. Cả hai hình thức kiểm định đều cho thấy có tồn tại hiệu ứng ARCH trong mô hình ARIMA(1,1,1). Do đó, mô hình GARCH có thể được ước lượng từ phần dư của mô hình ARIMA(1,1,1). Sadorsky (2006) chỉ ra rằng mô hình GARCH (1,1) cung cấp các kết quả dự báo out-sample tốt nhất trong lớp mô hình GARCH. Thêm vào đó, Ashley và Patterson (2010), trong nghiên cứu của họ, kết luận rằng GARCH (1,1) là mô hình rất phù hợp với chuỗi lợi tức hàng ngày của cổ phiếu. Do đó, trong số các mô hình thuộc lớp ARCH / GARCH, mô hình GARCH(1,1) được sử dụng để dự báo lợi tức của VN-Index. 457
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Các hệ số tương quan của phương trình trung bình và phương sai có điều kiện có thể được xác định bằng phương pháp hợp lý cực đại (maximum likelihood). Các hệ số tương quan của của mô hình GARCH(1,1) được thu thập và trình bày trong bảng 2. Dependent Variable: R Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution Date: 08/23/12 Time: 10:26 Sample (adjusted): 7/31/2000 6/29/2012 Included observations: 2805 after adjustments Convergence achieved after 14 iterations Presample variance: backcast (parameter = 0.7) GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*GARCH(-1) Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C -0.000181 0.000155 -1.164238 0.2443 Variance Equation C 2.55E-06 3.42E-07 7.457645 0.0000 RESID(-1)^2 0.289383 0.019469 14.86376 0.0000 GARCH(-1) 0.738268 0.012737 57.96329 0.0000 R-squared -0.001606 Mean dependent var 0.000514 Adjusted R-squared -0.002679 S.D. dependent var 0.017334 S.E. of regression 0.017357 Akaike info criterion -5.860273 Sum squared resid 0.843844 Schwarz criterion -5.851804 Log likelihood 8223.034 Hannan-Quinn criter. -5.857217 Durbin-Watson stat 1.347857 Bảng 2: Các hệ số ướng lượng được của mô hình GARCH(1,1) Theo kết quả ước lượng trên, mô hình GARCH(1,1) có dạng như sau: 4. Dự báo bằng mô hình ARIMA(1,1,1) và GARCH(1,1) 4.1. Kết quả dự báo Sử dụng mô hình ARIMA(1,1,1) và GARCH(1,1) đã ước lượng được để tiến hành dự báo out-of-sample từ ngày 29/06/2012 tới ngày 28/07/2012. 458
HỘI THẢO "NGÂN HÀNG VIỆT NAM: BỐI CẢNH VÀ TRIỂN VỌNG" 4.2. Đánh giá kết quả dự báo Để đánh giá khả năng dự báo của mô hình ARIMA(1,1,1) và GARCH(1,1) đối với chuỗi lợi tức VN-Index, nghiên cứu sử dụng chỉ tiêu so sánh RMSE, MAE, MAPE và Theil-U của hai mô hình. Giá trị của các chỉ tiêu đánh giá này càng nhỏ cho thấy lỗi dự báo là không đáng kể bởi vì giá trị dự báo sẽ càng giống với giá trị thực tế. Do đó, mô hình nào có giá trị của các chỉ tiêu này nhỏ hơn thì khả năng dự báo sẽ tốt hơn. Forecast: RF Actual: R Forecast sample: 7/02/2012 7/30/2012 Included observations: 21 Root Mean Squared Error 0.010992 Mean Absolute Error 0.008626 Mean Absolute Percentage Error 9.413.334 Theil Inequality Coefficient 0.779181 Bias Proportion 0.008628 Variance Proportion 0.370032 Covariance Proportion 0.621339 Hình 3: Kết quả dự báo bằng mô hình ARIMA(1,1,1) Forecast: RF Actual: R Forecast sample: 7/02/2012 7/30/2012 Included observations: 21 Root Mean Squared Error 0.010398 Mean Absolute Error 0.008711 Mean Absolute Percentage Error 1.003.677 Theil Inequality Coefficient 0.981686 Bias Proportion 0.004037 Variance Proportion 0.995963 Covariance Proportion 0.000000 Hình 4: Kết quả dự báo bằng mô hình GARCH(1,1) Bảng 3 các chỉ tiêu đánh giá khả năng dự báo của mô hình, ngoài trừ RMSE, các chỉ tiêu đánh giá khác là MAE, MAPE và Thiel-U của mô hình ARIMA(1,1,1) đều nhỏ hơn GARCH(1,1). Do đó, có thể nói mô hình ARIMA(1,1,1) có khả năng dự báo tốt hơn GARCH(1,1) đối với chuỗi lợi nhuận VN-Index. 459
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Chỉ tiêu ARIMA(1,1,1) GARCH(1,1) RMSE 0.010992 0.010398 MAE 0.008626 0.008711 MAPE 94.13334 100.3677 Theil-U 0.779181 0.981686 Bảng 3:Các chỉ tiêu đánh giá khả năng dự báo của mô hình ARIMA và GARCH 5. Kết luận Bài viết này nhằm mục tiêu xác định mô hình ARIMA-GARCH phù hợp để dự báo cho chỉsố VN-Index.Cả hai phương pháp tiếp cận đều là hai mô hình dự báo chuỗi thời gian phổ biến và được sử dụng rộng rãi. Trong nghiên cứu này, mô hình đã được chọn để dự báo cho chuỗi VN- Index là ARIMA (1,1,1) và GARCH(1,1). Thông thường mô hình ARIMA không dự báo tốt cho các chuỗi thời gian có biến động. Tuy nhiên, khi dự báo chuỗi lợi tức của VN-Index trong bài viết, mô hình ARIMA(1,1,1) cho thấy khả năng dự báo tốt hơn so với GARCH(1,1). Điều này có thể là do thị trường chứng khoán Việt Nam là một thị trường đang phát triển và thường phản ánh tâm lý bầy đàn của các nhà đầu tư. Ngoài ra, cuộc khủng hoảng tài chính năm 2008 cũng có thể là một yếu tố đáng kể DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Anderson Assis, K., Amran, A., Remali, Y. & Affendy, H. (2010). ‘A comparison of Univariate Time Series Methods for Forecasting Cocoa Bean Prices’, Trends in Agricultural Economics, vol. 3(4), pp. 207-215. [2] Ashley, R.A. and Patterson, D.M., (2010) ‘A Test of the GARCH(1,1) Specification for Daily Stock Returns’, Macroeconomic Dynamics, vol. 14(1), pp. 137-144. [3] Bollerslev, T. (1986) ‘Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity’, Journal of Econometrics, vol 31(3), pp. 307-327. [4] Box, G. E. P, Jenkins, G. M., (1976) Time series analysis forescasting and control, 1st edition, Wiley. [5] Chen, C., Hu, J., Meng, Q. & Zhang, Y. (2011). Short-time traffic flow prediction with ARIMA-GARCH model. 2011 IEEE Intelligent Vehicles Symposium (IV), Baden-Baden, Germany, June 5-9. [6] Edwards, S. (1998) ‘Interest Rate Volatility, Capital Controls, and Contagion’, NBER Working Paper, No. W6756. [7] Fahimifard, S.M., Homayounifar, M. Sabouhi, M. and Moghaddamnia, A.R. (2009) ‘Comparison of ANFIS, ANN, GARCH and ARIMA techniques to exchange rate forecasting’, Journal of Applied Sciences, vol. 9(20), pp. 3641-3651. [8] Fadhilah, Y., Ibrahim, L. K., Zulkifli Y. (2013). Hybrid of ARIMA-GARCH Modeling in Rainfall Time Series. Jurnal Teknologi, 63:2, 27-34 [9] Kumar, M. S. (1992), ‘The Forecasting Accuracy of Crude Oil Futures Prices’, staff papers - International Monetary Fund, vol 39(2), 432-461. [10] Sadorsky, P. (2006) ‘Modeling and Forecasting Petroleum Futures Volatility’, Energy Economics, vol. 28(4), pp. 467–488. 460
HỘI THẢO "NGÂN HÀNG VIỆT NAM: BỐI CẢNH VÀ TRIỂN VỌNG" [11] Shabri, A., Samsudin, R. and Ismail, Z. (2009) ‘Forecasting of the rice yields time series forecasting using artificial neural network and statistical model’, Journal of Applied Sciences, vol 9(23), pp. 4168-4173. [12] Tan, Z., Zhang, J., Wang, J. & Xu, J. (2010). Day-ahead electricity price forecasting using wavelet transform combined with ARIMA and GARCH models. Applied Energy, 87, 3603- 3610. [13] Zou, B., He, D. & Sun, Z. (2006). Traffic predictability based on ARIMA/GARCH model. Modeling and Simulation Tools for Emerging Telecommunication Networks, 101-121. 461