Ứng dụng thể tích - Huỳnh Đoàn Thuần

Chia sẻ: Nguyễn Anh Phú | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

90
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để tính thể tích của một khối đa diện bất kì, chúng ta chia khối đa diện đó thành các khối đa diện đơn giản đã biết công thức tính ( Khối lăng trụ V B.h , Khối chóp V B.h , Khối hộp chữ nhật V abc , …) rồi cộng các kết quả lại. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và khối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được đường cao hay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng thể tích - Huỳnh Đoàn Thuần

www.laisac.page.tl ỨN Ứ ỤN DỤ NG D TÍ HỂ T TH NG T CH ÍC Huỳnh Đoàn Thuần I/ Cơ sở lý thuyết: Để tính thể tích của một khối đa diện bất kì, chúng ta chia khối đa diện đó thành các khối đa diện đơn giản đã biết công thức tính ( Khối lăng trụ V  B.h , 1 Khối chóp V  B.h , Khối hộp chữ nhật V  abc , …) rồi cộng các kết quả lại. 3 Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và khối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được đường cao hay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính thể tích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối. Sau đây ta sẽ xét một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ Bài toán1: (Bài4 sgk HH12CB trang25) Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC ' A’, B’, C’ khác điểm S. CMR:  . . (1) VS . ABC SA SB SC Giải: A Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc A' của A và A’ lên (SBC) Ta có AH//A’H’. Ba điểm S, H, H’ cùng thuộc hai mp (AA’H’H) và (SBC) nên chúng thẳng hàng. Xét B B' S SA ' A ' H '  SAH ta có  (*) SA AH H H' C' Do đó 1 A ' H '.S ' SC ' C VS . A ' B ' C ' A ' H ' SB '.SC '.sin B  3 SB ' C '  . (**) VS . ABC 1 AH .S AH SB .SC .sin BSC 3 SBC Từ (*) và (**) ta được đpcm □ Trong công thức (1), đặc biệt hoá, cho B’  B và C’  C ta được VS . A ' B ' C ' SA '  (1’) VS . ABC SA Ta lại có VS . ABC  VS . A ' BC  VA '. ABC SA ' (1')  VS . ABC  .VS . ABC  VA '. ABC SA GV: Huúnh §oμn ThuÇn Trang 2
VA '. ABC SA ' A ' A   1  VS . ABC SA SA V A' A Vậy: A '. ABC  (2) VS . ABC SA Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây: Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2…An ( n  3) , trên đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1. Khi đó ta có VA1 '. A1 A2 ... An A1 ' A1  (2’) VS . A1 A2 ... An SA1 Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp S.A1A2…An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2) II/ Các dạng toán: Dựa vào hai bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ số thể tích của các khối đa diện và một số ứng dụng của nó DẠNG1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN Ví dụ1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung điểm của CD và I là giao điểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.ICM và S.ABCD S Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác BCD, do đó 1 1 1 1 1 1 VISCM  VB.SCM  . .VD.SBC  . . VS . ABCD A 3 3 2 3 2 2 D V 1 O Vậy ISCM  M VS . ABCD 12 I Ví dụ2: B C Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm S của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi C' mp(AB’D’) D' B' I Giải: O' Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao D điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC tại C’ A O Ta có B C GV: Huúnh §oμn ThuÇn Trang 3
VS . AB ' C ' SB ' SC ' 1 SC ' VS . AC ' D ' SC ' SD ' 1 SC '  .   .  VS . ABC SB SC 2 SC VS . ACD SC SD 2 SC 1 SC ' 1 SC ' Suy ra VS . AB ' C '  VS . AC ' D '  . (VS . ABC  VS . ACD )  . .VS . ABCD 2 SC 2 SC Kẻ OO’//AC’ ( O '  SC ) . Do tính chất các đương thẳng song song cách đều nên ta có SC’ = C’O’ = O’C 1 1 VS . A ' B ' C ' D ' 1 Do đó VS . A ' B ' C ' D '  . .VS . ABCD Hay  2 3 VS . ABCD 6 * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP VH .MNP 1 ĐS:  VS . ABC 32 Bài2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt SM phẳng (  ) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính để mặt phẳng (  ) SC chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. SM 3 1 ĐS:  SC 2 DẠNG2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH Ví dụ1: (ĐH khối B – 2008 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, BAD  ABC  900 , AB  BC  a, AD  2a, SA  ( ABCD ) và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a Giải: Áp dụng công thức (1) ta có S VS . BCM SM 1   VS . BCA SA 2 M 2a N VS .CMN SM SN 1  .  2a D VS .CAD SA SD 4 Suy ra a A B C GV: Huúnh §oμn ThuÇn Trang 4
1 1 VS . BCNM  VS . BCM  VS .CNM  VS . BCA  VS .CAD 2 4 3 3 a 2a a3    2.3 4.3 3 Ghi chú: 1 1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức V  B.h gặp nhiều 3 khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều 2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN Ví dụ2: (ĐH khối A – 2007 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a Giải: Ta có S VCMNP CN CP 1  .  (a) VCMBD CB CD 4 M VCMBD VM . BCD MB 1    (b) A VCSBD VS . BCD SB 2 B Lấy (a) x (b) vế theo vế ta được H N VCMNP 1 1   VCMNP  .VS . BCD VS . BCD 8 8 D P C Gọi H là trung điểm của AD ta có SH  AD mà ( SAD )  ( ABCD ) nên SH  ( ABCD) . 1 1 a 3 1 2 a3 3 Do đó VS .BCD  .SH .SBCD  . . a  3 3 2 2 12 a3 3 Vậy: VCMNP  (đvtt) 96 D Ví dụ3: (ĐH khối D – 2006 ) Cho khối chóp D.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, DA = 2a và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần 2a N lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng DB và DC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a Giải: M a A C V DM DN Ta có DAMN  . a a VDABC DB DC AM và AN lần lượt là các đường cao trong các tam B GV: Huúnh §oμn ThuÇn Trang 5
giác vuông DAB và DAC bằng nhau nên ta có DM DA2 4a 2 DM 4  2  2 4  MB AB a DB 5 DN 4 Tương tự  DC 5 4 4 16 9 Do đó VD.AMN = . .VD.ABC = .VD.ABC. Suy ra VA.BCMN = .VD.ABC 5 5 25 25 1 a 2 3 a3 3 3a 3 3 Mà VD.ABC = .2a.  . Vậy VA.BCMN = (đvtt) 3 4 6 50 Ghi chú: A Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC b ' b2 c b sau đây  c ' c2 c' b' ( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng) B H C Ví dụ4: (ĐH khối B – 2006 , Đề GVDG cấp trường 2009 – 2010 ) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a 2 SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a Giải: S Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC, do đó AI 2 AI 1 a    AO 3 AC 3 V AI AM 1 1 1 A Ma 2 nên AIMN  .  .  (1) a I D VACDN AC AD 3 2 6 V NC 1 O Mặt khác ACDN   (2) VACDS SC 2 B C V 1 Từ (1) và (2) suy ra AIMN  S VACDS 12 1 1 a 2a a 3 2 Mà VSACD  .SA.SACD  a.  . Vậy 3 3 2 6 1 a3 2 M VAIMN  .VSACD  (đvtt) 12 72 A B Ví dụ5: (ĐH khối D – 2010) H Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H D C GV: Huúnh §oμn ThuÇn Trang 6
AC thuộc đoạn thẳng AC sao cho AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. 4 Chứng minh rằng M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. Giải: a 2 a 14 3a 2 Từ giả thiết ta tính được AH  , SH  , CH  , SC  a 2  SC  AC . 4 4 4 Do đó tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA. VS .MBC SM 1 1 Ta có    VS .MBC  VS . ABC VS . ABC SA 2 2 1 1 a 2 a 14 a 3 14 VS . ABC  .SH .SABC  . .  (đvtt) 3 6 2 4 48 * Bài tập tham khảo: Bài1: Cho khối tứ diện ABCD có ABC  BAD  900 , CAD  1200 , AB  a, AC  2a, AD  3a . Tính thể tích tứ diện ABCD. a3 2 ĐS: VABCD  2 Bài2: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a 16a 3 ĐS: VS . A ' B ' C ' D '  45 Bài3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng. Gọi M, P lần lượt là trung điểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N. Tính theo a thể tích khối chóp S.DMNP a3 2 ĐS: VS .DMNP  36 Bài4: (ĐH khối B – 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. 3a 3 3 7a ĐS: VABC . A' B 'C '  và R  8 12 DẠNG3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác định chân đường cao. Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách GV: Huúnh §oμn ThuÇn Trang 7
thông qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường cao của khối đa diện. Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: (ĐH khối D – 2002 ) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD). Giải: Ta có AB2 + AC2 = BC2  AB  AC D 1 Do đó VABCD  AB. Ac. AD  8cm2 6 4 I Mặt khác CD = 4 2 , BD = BC = 5 5 Nên BCD cân tại B, gọi I là trung điểm của CD 4 1 2 2 A C  S BCD  DC.BI  5  (2 2) 2  2 34 2 2 3 5 3V 3.8 6 34 Vậy d ( A,( BCD))  ABCD   B S BCD 2 34 17 Ví dụ2: (ĐH khối D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang, ABC  BAD  900 , AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) Giải: S VS . HCD SH Ta có  VS . BCD SB SAB vuông tại A và AH là đường cao nên H SH SA2 2a 2 SH 2 2a D Ta có  2  2 2  a A HB AB a SB 3 2 2 1 a 2 a3 2 Vậy VS.HCD = VS.BCD = . a 2. = 3 3 3 2 9 B C 1 Mà VS .HCD  d ( H ,( SCD)).SSCD . 3 SCD vuông tại C ( do AC2 + CD2 = AD2), 1 1 3a 3 2 a do đó SSCD  CD.SC  .a 2.2a  a 2 . Vậy d ( H ,( SCD))  2 2  2 2 9a 2 3 Ví dụ3: (ĐH khối D – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C Giải: GV: Huúnh §oμn ThuÇn Trang 8
Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’ Suy ra B’C //(AME) nên d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME)) VC . AEM MC 1 Ta có   VC . AEB CB 2 1 1 1 a 2 a 2 a3 2 A'  VC . AEM  VEACB  . . .  C' 2 2 3 2 2 24 3V B' Ta có d (C ,( AME ))  C . AEM SAEM a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, ta có BH  AE E Hơn nữa BM  ( ABE )  BM  AE , nên ta H được AE  HM A a 6 a a C Mà AE = , ABE vuông tại B nên M 2 B 1 1 1 3 a 3 2  2  2  2  BH  BH AB EB a 3 a 2 a 2 a 21 BHM vuông tại B nên MH    4 3 6 2 1 1 a 6 a 21 a 14 Do đó SAEM  AE.HM  . .  2 2 2 6 8 3 3a 2 a 7 Vậy: d (C ,( AME ))   a 2 14 7 24. 8 Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông để tính SAEM Ví dụ4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC  a 3 và hình chiếu vuông góc B' C' của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC. Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’) Giải: A' Theo giả thiết ta có A’H  (ABC). 2a Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến 1 nên AH = BC = a. A ' AH vuông tại H nên ta có 2 B C K H A ' H  A ' A  AH  a 3 2 2 a a 3 1 a.a 3 a 3 Do đó VA '. ABC  a 3  . A 3 2 2 GV: Huúnh §oμn ThuÇn Trang 9
VA '. ABC 1 Mặt khác  VABC . A ' B ' C ' 3 2 2 a3 Suy ra VA '.BCC ' B '  VABC . A ' B ' C '  .3.  a3 3 3 2 3VA '. BCC ' B ' Ta có d ( A ',( BCC ' B '))  S BCC ' B ' Vì AB  A ' H  A ' B '  A ' H  A ' B ' H vuông tại A’ Suy ra B’H = a 2  3a 2  2a  BB ' .  BB ' H cân tại B’. Gọi K là trung điểm a 14 của BH, ta có B ' K  BH . Do đó B ' K  BB '2  BK 2  2 a 14 Suy ra S BCC ' B '  B ' C '.BK  2a.  a 2 14 2 3 3a 3 14a Vậy d ( A ',( BCC ' B '))  2  a 14 14 * Bài tập tương tự: Bài 1: (ĐH khối D – 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC) 2a 5 ĐS: d ( A,( IBC ))  5 Bài2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M thuộc AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C) a ĐS: d ( A,( AB ' C ))  2 Bài3: Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), ABC  900 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = b ab ĐS: d ( A,( BCD))  a 2  b2 Bài4: Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a, M là 1 điểm ở miền trong của tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện 3VABCD 2 ĐS: h1  h2  h3  h4  a S ACB 3 GV: Huúnh §oμn ThuÇn Trang 10
Bài5: Cho tứ diện ABCD và điểm M ở miền trong của tứ diện. Gọi r1, r2, r3, r4 lần lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện. Gọi h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối r1 r2 r3 r4 diện của tứ diện. CMR:    1 h1 h2 h3 h4 DẠNG4: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Việc tính diện tích đa giác phẳng được quy về việc tính diện tích tam giác theo 1 công thức S  ah , trong đó h – chiều cao và a là độ dài cạnh đáy. 2 Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, đặc biệt là việc tính diện tích của các đa giác phẳng trong không gian, tính trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn. Khi đó có thể tính diện tính đa giác thông qua thể tích của các khối đa diện. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ Ví dụ1: (ĐH khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết rằng ( AMN )  ( SBC ) Giải: S Gọi K là trung điểm của BC và I là trung VS . AMN SM SN 1 N điểm của MN. Ta có  .  (1) VS . ABC SB SC 4 I Từ ( AMN )  ( SBC ) M C và AI  MN (do AMN cân tại A ) nên AI  ( SBC )  AI  SI A Mặt khác, MN  SI do đó SI  ( AMN ) O K SI .S AMN 1 1 SO Từ (1)    S AMN  .S ABC (O SO.S ABC 4 4 SI B là trọng tâm của tam giác ABC) Ta có ASK cân tại A (vì AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến) nên a 3 a 15 AK = AS =  SO  SA2  OA2  2 6 1 a 2 1 a 15 a 2 3 a 2 10 Và SI = SK  Vậy SAMN  . .  (đvdt) 2 4 4 6a 2 4 16 4 GV: Huúnh §oμn ThuÇn Trang 11
* Bài tập tham khảo: Bài1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = b, AA’ = c (c2  a 2  b 2 ). Một mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với CA’cắt lăng trụ theo một thiết diện. a) Xác định thiết diện đó b) Tính diện tích thiết diện xác định ở câu a) ab a 2  b 2  c 2 ĐS: Thiết diện AMN có diện tích S AMN  2c Bài2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB = x, AC = y, AD = z, các góc BAC  CAD  DAB  900 . Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) 1 1 1 1 a) Chứng minh rằng: 2  2 2 2 AH x y z b) Tính diện tích tam giác BCD 1 2 2 ĐS: S BCD  x y  y 2 z 2  z 2 x2 2 GV: Huúnh §oμn ThuÇn Trang 12