1
CHƯƠNG 9. ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ
9.1. Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai, median,
mod và xác suất
9.2. Ước lượng khoảng (Khoảng tin cậy)
9.3. Độ chính xác của ước lượng, độ tin cậy và số phép
thử cần thiết
Bài 9.1. Ước lượng điểm cho kỳ vọng,
phương sai, median, mod và xác suất
1.Khái niệm về ước lượng điểm cho tham số:
Giả sử X là ĐLNN có tham số đặc trưng nào đó (chưa
biết) mà ta đang quan tâm. Vấn đề đặt ra là: căn cứ trên n
giá trị x1, x2, …, xn của X được quan trắc trên một mẫu
ngẫu nhiên (MNN) cỡ n lấy ra từ tập chính, cần đưa ra
một giá trị gần đúng
của .
Định nghĩa 1. Một hàm
)...,,,( 21 n
nXXX
của n giá
trị X1, X2, …, Xn được gọi là một ước lượng điểm cho .
Để khảo sát về mặt toán học, ta coi (x1, x2, …, xn) là giá
trị quan sát được là một thể hiện của MNN cỡ n (X1, X2,
…, Xn), trong đó X1, X2, …, Xn là các BNN độc lập cùng
phân phối với X.
Như vậy,
)...,,,( 21 n
nXXX
là 1 hàm của n BNN X1,
X2, …, Xn và do đó cũng là 1 BNN. Giá trị của ước
lượng cũng thay đổi từ mẫu quan sát này tới mẫu quan
sát khác.
Việc lựa chọn một ước lượng nào là “tốt” được căn cứ
trên các tiêu chuẩn sau:
2
2. Các tính chất của ước lượng điểm:
Định nghĩa 2.
1.Ước lượng
n
gọi là ước lượng không chệch cho
nếu
)( n
E
.
Tính chất không chệch có nghĩa là ước lượng
n
không
có sai số hệ thống.
2. Ước lượng
n
gọi là ước lượng vững nếu với mọi
0
.
Hay
1
lim
n
n
P
3. Ước lượng hiệu quả: Đó là ước lượng không chệch có
phương sai nhỏ nhất trên lớp các ước lượng không chệch
của .
3.Ước lượng điểm của giá trị trung bình:
Giả sử X là BNN với giá trị trung bình với E(X)= μ
(chưa biết), μ được gọi là giá trị trung bình của tập hợp
chính.
Ước lượng điểm của kỳ vọng là trung bình mẫu:
N
ir
xr
i
Nn
k
k
n
k
kk
xx
1
1
1
1
Định lý 1. Trung bình mẫu là ước lượng không chệch và
vững cho giá trị trung bình μ của tập chính.
3
4.Ước lượng điểm của phương sai:
Ước lượng điểm của phương sai là phương sai mẫu:
2 2 2
11
11
11
( ) ( )
nm
i k k
nn
ik
s x x r x x



Định lý 2. Phương sai mẫu là ước lượng không chệch và
vững cho giá trị phương sai σ2 của tập chính.
5. Ước lượng điểm của xác suất:
Giả sử A là biến cố mà ta quan tâm với p=P(A)
chưa biết. Tiến hành quan sát n lần độc lập, ký hiệu m là
tần số xuất hiện của A. Khi đó,
/p m n
là ước lượng
điểm của p.
Định lý 3.
/p m n
là ước lượng này không chệch và
vững cho giá trị xác suất p=P(A).
6. Ước lượng điểm của Median:
Ước lượng điểm của Median là Median mẫu được xác
định như sau:
Với một mẫu, trung vị mẫu là là giá trị nằm giữa dãy giá
trị quan trắc theo thứ tự tăng hay giảm.
Nếu dãy quan trắc có 2n+1 số liệu sắp xếp theo thứ tự
tăng dần thì giá trị thứ n+1 là trung vị, nếu dãy quan trắc
gồm 2n số liệu thì trung vị là giá trị trung bình của giá trị
thứ n và n+1.
Nếu các giá trị xi có tần số ri, gọi k là chỉ số bé nhất để
r1+r2+…+rk≥n/2. Khi đó ta định nghĩa Med(X)=xk.
Ví dụ: Cho bảng phân bố tần số của đại lượng X như sau:
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ri
6
15
43
53
85
72
55
33
18
10
7
3
Kích thước mẫu là 400
Hãy tính trung bình mẫu và trung vị mẫu.
4
Giải
Trung bình mẫu
645.4x
Ta thấy số giá trị của mẫu bé hơn hay bằng 3 là:
3+15+43+53=117<200
Số giá trị của mẫu bé hơn hay bằng 4 là:
3+15+43+53+85=202>200
Vậy Med(X)=4.
Trong trường hợp mẫu được cho dưới dạng phân bố ghép
lớp ta định nghĩa trung vị như sau:
Giả sử ta có m khoảng với các điểm chia là:
a0<a1< …<am
C1= a0, a1), C2= a1, a2), …, Cm= am-1, am. Trong đó
khoảng Ci có tần số ri.
Khoảng Ck được gọi là khoảng trung vị nếu k là chỉ số bé
nhất sao cho r1+r2+…+rk≥n/2.
Số trung vị Med(X) là số mà tại đó đường thẳng
x=Med(X) chia đôi diện tích của tổ chức đồ tần số (tần
suất).
Med(X)=ak-1+(n/2 )–( r1+r2+…+rk-1)/hk, hk – là chiều
cao của hình chữ nhật thứ k.
5
Bài 9.2. Ước lượng khoảng
Định nghĩa 2. Khoảng có 2 đầu mút a(X1, X2, …, Xn) và
b(X1, X2, …, Xn) gọi là khoảng tin cậy với độ tin cậy
=1- của
, nếu:
baP
1. Ước lượng khoảng của kỳ vọng:
A. Khi X là BNN chuẩn
),( 2
N
:
A1. Ước lượng khoảng của kỳ vọng khi phương sai
2
0
2
đã biết:
1
00
2/2/ nn zxzxP
Tra bảng Excel z/2 =NORMSINV(1-/2)
z0.05==NORMSINV(1-0.05)
Ví dụ 1. Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho chiều cao
trung bình của sinh viên dựa trên một mẫu kích thước
n=36 với trung bình mẫu
inchesx 66
. Giả sử rằng độ
lệch tiêu chuẩn σ của chiều cao người lớn là 3 inches.
Giải
Ta có σ0 =3, n=36, γ=95%, zα/2=1.96.
Vậy khoảng tin cậy 95% là :
98.066)5.0(96.16696.166 36
3
2/
0 n
zx
hay
98.66;02.65
.
Vậy với độ tin cậy 95%, chiều cao trung bình μ nằm giữa
65.02 và 66.98 (inches).
Ví dụ 2. Cũng câu hỏi như trên nhưng cần tìm khoảng tin
cậy 99%.
Giải
Ta có σ=3, n=36, γ=99%, zα/2=2.58.
Vậy khoảng tin cậy 99% là :