Về môđun đối cốt yếu đơn và môđun nâng đơn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một môđun con N của M được gọi là đối cốt yếu trong M, ký hiệu N = M, trong trường hợp với mọi môđun con L < = M : N + L suy ra L = M. Bài viết đưa ra khái niệm môđun đối cốt yếu đơn, môđun nâng đơn và áp dụng của chúng trong một số lớp vành và môđun đã biết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về môđun đối cốt yếu đơn và môđun nâng đơn

UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.4, NO.1 (2014) VỀ MÔĐUN ĐỐI CỐT YẾU ĐƠN VÀ MÔĐUN NÂNG ĐƠN ON MONO SMALL AND MONO LIFTING MODULES Nguyễn Thị Thu Sương Nguyễn Thị Nhành Trường ĐH Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Trường ĐH Đồng Tháp Email: nttsuong.hlp@gmail.com TÓM TẮT Một môđun con N của M được gọi là đối cốt yếu trong M, ký hiệu N = M , trong trường hợp với mọi môđun con L  M : N + L = M suy ra L = M . Một môđun M được gọi là nâng nếu mọi môđun con N của M, tồn tại sự phân tích M = M 1  M 2 : M 1  N , M 2  N = M . Lớp các môđun này đã được nghiên cứu trong các năm gần đây. Hơn nữa người ta đã chứng minh được một vành là hoàn chỉnh phải nếu mọi môđun phải M, thì tồn tại toàn cấu :P→M với P xạ ảnh và Ker( ) = P. Đồng thời một vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu mọi môđun phải (trái) đơn M, thì tồn tại toàn cấu  : P → M với P xạ ảnh và Ker( ) = P. Từ các tính chất quan trọng đó, trong bài báo này chúng tôi đưa ra khái niệm môđun đối cốt yếu đơn, môđun nâng đơn và áp dụng của chúng trong một số lớp vành và môđun đã biết. Từ khóa: đối cốt yếu; nâng; đối cốt yếu đơn; nâng đơn. ABSTRACT A submodule N is called superfluous in M, write N= M, if for any submodule L  M :N+L=M L = M . A module M is called lifting if for any submodule N of M, implies that there is a decomposition M = M1  M 2 : M1  N , M 2  N = M . Recently, this classes are studied by the authors. A ring R is called right perfect if for every right R-module M, there exists an epimorphism  : P → M with P is projective and Ker( ) = P. A ring R is called right smiperfect if for every simple right R-module M, there exists an epimorphism  : P → M with P is projective and Ker( ) = P. In this paper, we study some generalizations of superfluous submodules and lifting modules and their applications for classes rings and modules. Key words: small; lifting; mono-small; mono-lifting. 1. Giới thiệu A  M ( A  M ), A  d M để chỉ A là môđun Trong bài báo này, vành R đã cho luôn được con (t.ư., thực sự), hạng tử trực tiếp của M. giả thiết là vành kết hợp có đơn vị 1  0 và mọi Một vài năm gần đây, hướng nghiên cứu mở R-môđun được xét là môđun unita. Trong mục rộng của môđun nâng được nhiều người quan tâm này, chúng tôi giới thiệu những khái niệm cơ bản và nghiên cứu. Năm 2006, các tác giả Clark, được sử dụng trong bài báo. Một số khái niệm Lomp, Vanaja và Wisbauer đã đưa ra và nghiên khác liên quan đến bài báo chúng ta có thể tham cứu lớp môđun nâng. Năm 2005, Kosan đã nghiên khảo trong Wisbauer ([5]). Với vành R đã cho, ta cứu về điều kiện của môđun nâng và môđun con viết M R (tương ứng, R M ) để chỉ M là một R- bất biến hoàn toàn. Cũng theo đó, chúng tôi đã môđun phải (t.ư, trái). Trong một ngữ cảnh cụ thể nghiên cứu môđun đối cốt yếu đơn và áp dụng của của bài báo, khi không sợ nhầm lẫn về phía của nó trong lý thuyết vành và môđun; cụ thể là áp môđun, để đơn giản ta viết môđun M thay vì M R . dụng chúng vào lớp môđun mở rộng của lớp Chúng ta dùng các ký hiệu môđun nâng, đó là môđun nâng đơn. Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh 12
TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 4, SỐ 1 (2014) được rằng một môđun con N của M được gọi là Lại có: I1 = M , I 2 = M ,..., I k = M . Nên đối cốt yếu đơn trong M nếu và chỉ nếu N  Rad ( M ) (Mệnh đề 2.2). Hơn nữa chúng tôi (I1 + I 2 + ... + I k ) = M . (2.2.2) còn chứng minh được các lớp môđun nâng đơn là Từ (2.2.1) và (2.2.2) ta có K = M . Điều đóng dưới tổng trực tiếp và một môđun M gọi là này mâu thuẫn vì K  M . Mâu thuẫn này chứng nâng đơn nếu và chỉ nếu với mọi A  M , tồn tại tỏ rằng nR + K  M . Suy ra nR = M , với A = N  S sao cho N  d M và S = m M n  N. Như vậy N = m M. (Mệnh đề 3.2). Từ đó chúng tôi còn chứng minh Ví dụ 2.3. (1) Với mọi môđun M thì được: Cho M là môđun nâng đơn và X  M . Nếu Rad ( M ) = M. m mọi hạng tử trực tiếp K của M, ( X + K ) / X là (2) Nếu Rad ( M ) = M thì mọi môđun con hạng tử trực tiếp của M / X , thì M / X là môđun của M là đối cốt yếu đơn trong M. nâng đơn (Định lý 3.7). Ngoài ra một số tính chất khác của môđun đối cốt yếu đơn và môđun nâng (3) Nếu M là môđun địa phương thì mọi đơn và các ví dụ của chúng cũng được xét đến. môđun con thực sự của M là đối cốt yếu đơn trong M. 2. Môđun đối cốt yếu đơn (4) Mọi môđun con của môđun hổng, không địa phương M là đối cốt yếu đơn trong M. Định nghĩa 2.1. Một môđun con N của M được gọi là đối cốt yếu đơn trong M, ký hiệu (5) M là Z-môđun tự do. Từ Rad(Z) = 0 ta N= M nếu với mọi n  N , M  nR + K , với có Rad (M) = 0 . Khi đó 0 là môđun con đối cốt m mọi K là môđun con thực sự của M, tức là với mọi yếu đơn duy nhất của M. n  N , nR = M . Từ bổ đề trên, chúng ta bắt đầu với một vài tính chất về môđun đối cốt yếu đơn, và các tính chất Mệnh đề 2.2. Cho N là môđun con của này thường được sử dụng cho các kết quả về sau. môđun M. Khi đó N = m M khi và chỉ khi Bổ đề 2.4. Cho A, B và C là các môđun con N  Rad ( M ). của R-môđun M. Chứng minh. () Với mọi n  N . Ta có : (1) Nếu A = m B và B  C thì A = m C N= m M nên nR = M . Khi đó : . n  nR  Rad ( M ). Điều này chứng tỏ (2) Nếu A = m M , A  B và B d M thì N  Rad ( M ). A= B. m () Với mọi n  N . Do N  Rad ( M ) (3) Nếu A = m M và f : M → N là một nên n  Rad ( M ) , suy ra n  I1 + I 2 + ... + I k với đồng cấu thì f ( A) = f (M). m I i = M , i = 1, k . Khi đó tồn tại (4) Cho A  B. Khi đó B = m M nếu i1 , i2 ,..., ik  I1 , I 2 ,..., I k : n = i1 + i2 + ... + ik . Vì và chỉ nếu A = m M và B / A = m M / A. thế nR  I1 + I 2 + ... + I k . Gọi K là môđun con (5) Cho A1 , A2 ,..., An là các môđun con thực sự của M. Ta phải chỉ ra rằng nR + K  M . đối cốt yếu đơn của M. Khi đó: Giả sử ngược lại nR + K = M . Khi đó: A1 + A2 + ... + An = m M . (I1 + I 2 + ... + I k ) + K = M . (2.2.1) (6) A + B = m M nếu và chỉ nếu 13
UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.4, NO.1 (2014) A= m M và B = m M. Định nghĩa 3.1. Môđun M được gọi là nâng đơn nếu, với mọi N  M tồn tại sự phân tích (7) Cho N là một môđun con của môđun M, Rad ( M ) = M . Khi đó N = m M nếu và M = A  B sao cho A  N và N  B là đối cốt yếu đơn trong M có nghĩa là với mọi N  M , tồn chỉ nếu N = M . tại sự phân tích M = A  B sao cho A  N và Chứng minh. (1) Từ A = m B và do N  B  Rad (M ). B  C , ta có A  Rad ( B)  Rad (C ). Vì vậy Mệnh đề dưới đây cho ta biết một điều kiện A= m C tương đương của một môđun nâng đơn. (2) Từ A = M và A  B d M , ta có Mệnh đề 3.2. (1) Các điều kiện sau đây là m tương đương đối với môđun M R : A  Rad (M )  B . (i) M là nâng đơn. Nhưng ( Rad ( M )  B) = Rad ( B) khi đó (ii) Với mọi A  M , tồn tại A = N  S A  Rad (B) . Vậy A = B m sao cho N  d M và S = m M . (3) Từ A = m M nên A  Rad (M ) , do f (iii) Với mọi A  M , tồn tại N  d M là một đồng cấu nên f ( A)  f ( Rad ( M )). Nhưng sao cho N  A và A / N = m M /N. f ( Rad (M ))  Rad ( f ( M )) . (iv) Với mọi A M , tồn tại Khi đó f ( A)  Rad ( f ( M )) . e = e2  End ( M ) sao cho e(M)  A và Điều này kéo theo f(A) = m f ( M ). (1 − e) A  Rad (1 − e)M . (4) () Từ A  B và B = m M ta có (2) Các lớp môđun nâng đơn là đóng dưới A  B  Rad ( M ) , nên A  Rad (M ) , suy ra tổng trực tiếp. A  Rad (M ) . Mặt khác B = M thì Chứng minh. (1) (i)  (ii) Với mọi m A  M , từ (i) ta có M là nâng đơn nên tồn tại f ( B) = f ( M ) hay B / A = M / A. M = N  N ' sao cho N  A và N '  A = m m m M. () Từ A = M và B / A = M / A ta m m Khi đó N  ( N '  A) = A (Luật Modular), nên có được A  Rad (M ) và B / A  Rad (M / A) . N '  A = S . Do đó S = M. Mà ta lại có Rad ( M / A)  Rad(M) / A . Từ đây m ta suy ta B  Rad (M) . Vì vậy ta đã chứng minh (ii)  (iii) Với mọi A  M , do (ii) nên được B = M. tồn tại A = N  S sao cho N  d M và m S= M . Với mọi a + N  A / N , a  A ; ta có (7) () Vì N = m M và Rad (M) = M m (a + N ) R = M / N . Vậy nên A / N = M /N. nên N  Rad (M) = M . Do đó N = M . m (iii)  (iv) Với mọi A  M , do (iii) ta có () Rõ ràng. N  d M nên tồn tại 3. Môđun nâng đơn Trong phần này chúng tôi đưa ra và nghiên e = e2  End ( M ) : e( M ) = N và (1 − e) M = N ' . cứu lớp môđun mở rộng của lớp môđun nâng là Do N  A nên e( M )  A . Tiếp theo chúng ta sẽ lớp môđun nâng đơn. chứng minh (1 − e) A  Rad ((1 − e)M ) . Thật vậy 14
TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 4, SỐ 1 (2014) với mọi a  A , M1  ( M 2  K ) = K và H  (1 − e)M : (1 − e)aR + H = (1 − e)M . Do đó L  (M 2  K ) = L  M 2 = M . Theo Bổ đề m (a + e( M )) R + H = (1 − e) M , ta suy ra được (2.4)(2) suy ra ( M 2  K )  L = m K . Vậy ta đã (a + e( M )) R + ( H + e( M )) / e( M ) chứng minh được K là nâng đơn. = (1 − e) M + e( M ) Ví dụ 3.3. Rõ ràng môđun nâng là một Vì vậy môđun nâng đơn. (a + e(M)) R + (H+ e(M)) / e(M) = M / e(M) Từ Định nghĩa 3.4. M được gọi là môđun hổng (iii) ta có A/ e(M) = m M / e( M ). Vậy nên nếu mọi môđun con thực sự của M là đối cốt yếu trong M. H + e(M ) = M .Suy ra: Định nghĩa 3.5. M  0 được gọi là môđun ( H + e(M ))  (1 − e( M )) = M  (1 − e) M . Hơn địa phương nếu tồn tại một môđun con lớn nhất nữa dùng luật Modular ta chứng mình được khác M. H = (1 − e)M . Do đó với mọi Mệnh đề tiếp theo ta cũng chứng minh các a  A,(1 − e)aR = (1 − e) M . Vậy điều kiện tương đương của môđun nâng đơn, (1 − e) A  Rad (1 − e)M . nhưng là môđun không phân tích được (iv)  (i) Với mọi A  M , từ (iv) ta có Mệnh đề 3.6. Cho M là môđun khác không, không phân tích được. Các điều kiện sau là tương e = e2  End ( M ) , e(M )  A nên ta có đương: M = M 1  M 2 . Khi đó M 1 = e( M )  A và (1) M là môđun nâng đơn. M 1  A . Vì (1 − e) A  M nên (2) Mọi môđun con thực sự là đối cốt yếu đơn (1 − e) A  Rad ((1 − e)M )  Rad (M ) . Bây giờ ta trong M. cần chứng minh (1 − e) M  A = (1 − e) A và (3) Rad(M) là tổng của tất cả các môđun (1 − e) M = M 2 . Thật vậy, với mọi con thực sự của M. (1 − e)a  (1 − e) A, do e(M )  A nên ta có (4) Rad (M ) = M hoặc M là môđun địa (1 − e)a = a − ea  A . Lại có phương. (5) M là nửa hổng. (1 − e)a  (1 − e) M  A.  Chứng minh : (1 − e) A  ((1 − e) M A). Tiếp đến y  (1 − e)M  A tồn tại (i)  (ii) Với mọi N  M , N  M , do M m  M , a  A : (1 − e)m = a  m = em + a  A. là nâng đơn nên tồn tại sự phân tích M = C  D sao cho C  N , D  N = M . Do M không phân Do đó y  (1 − e) A . Suy ra m ((1 − e) M  A)  (1 − e) A. Vì thế tích được nên C = 0 hoặc C = M . Chúng ta chú ýM  N , nên ta có C = 0, D = M . Vậy M2  A = m M . Vậy M là nâng đơn. N= m M. (2) Giả sử M là nâng đơn, K là hạng tử trực tiếp của M. Với mọi L  K  M , vì M là nâng (ii)  (iii) Đặt E =  I , với I là các đơn nên tồn tại sự phân tích M = M 1  M 2 sao môđun con thực sự của môđun M. Ta có cho M1  L và M 2  L = M . Ta có E  M,E  M, theo (ii) ta có m 15
UED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.4, NO.1 (2014) E= m M  E  Rad ( M ) . Mặt khác d  D, d '  D ' sao cho d + X = d ' + X , suy ra Rad (M )  E , vì vậy ta đã chứng minh được d − d '  X . Do M là môđun phân phối nên Rad (M ) = E . X = ( D I X )  ( D'  X ) nên (iii)  (iv) Giả sử Rad (M )  M . Khi đó d − d '  ( D I X )  ( D '  X ) , suy ra y  X . M là môđun địa phương. Khi đó M / X = ( X + D) / X  ( X + D ' ) / X . (iv)  (i) Hiển nhiên. Theo (1) thì M / X là môđun nâng đơn. (v)  (iv) Nếu Rad (M ) = M thì chứng (3) Hoàn toàn tương tự như chứng minh ở ta có điều cần chứng minh. Bây giờ nếu (2). Vì eX  X với mọi e2 = e  End ( M ) nên Rad(M)  M thì Rad ( M ) là môđun con thực sự ( X + D) / X  ( X + D ' ) / X = X . Khi đó ta có của M. Vì Rad(M) là môđun con lớn nhất. Nên M điều phải chứng minh. là một môđun địa phương. Bổ đề 3.8. Cho M là một môđun. Nếu M là Các định lý sau đây đưa ra một vài điều kiện nửa hổng thì khi đó mọi môđun thương của M là để đảm bảo một môđun thương của một môđun nửa hổng. nâng đơn sẽ là một môđun nâng đơn. Chứng minh. Bổ đề này được chứng minh Định lý 3.7. (1) Giả sử rằng M là môđun dễ dàng. nâng đơn và X  M . Nếu mọi K là hạng tử trực tiếp của M, ( X + K ) / X là hạng tử trực tiếp của Cho M là một môđun, M = iI M i , M i là M / X . Khi đó M / X là môđun nâng đơn. các môđun con của M. Nếu N là một môđun con bất biến hoàn toàn của M thì N = iI ( N  M i ). (2) Nếu M là môđun phân phối, thì M / X là môđun nâng đơn với X  M . Bổ đề 3.9. Cho M là một môđun đối ngẫu và (3) Cho X  M và eX  X với mọi M = M 1  M 2 . Khi đó M là môđun nâng đơn nếu e2 = e  End ( M ) . Khi đó M / X là nâng đơn. và chỉ nếu M 1 và M 2 là các môđun nâng đơn. Chứng minh. (1) Với mọi A / X  M / X , Chứng minh : () Hiển nhiên. suy ra X  A  M . Do M là môđun nâng đơn nên () Giả sử M 1 và M 2 là các môđun nâng tồn tại M = K  K sao cho K  A và ' đơn. Với mọi K  M , ta có M = M 1  M 2 . Do A / K = m M / K . Vì (X + K) / X là hạng tử trực M là đối ngẫu nên ta có tiếp của M/ X , nên ( X + K ) / K  A / X và K = ( M1  K )  ( M 2  K ) . Từ M 1  K và A / (K + X ) = m M / ( K + X ). Vậy M/ X là M 2  K là môđun con của M 1 và M 2 . Lúc đó môđun nâng đơn. tồn tại A1 , B1  M 1 sao cho A1  (M1  K ) và (2) Với mọi D là hạng tử trực tiếp của M, có M 1 = A1  B1 để mà nghĩa là M = D  D' . Ta có B1  ( K  M1 ) = B1  K = B1 và M / X = ( X + D) / X + ( X + D ' ) / X . Ta cần m A2 , B2  M 2 sao cho A2  ( M 2  K ) và chứng minh ( X + D) / X  ( X + D ' ) / X = X . Thật vậy với mọi M 2 = A2  B2 để y  ( X + D) / X  ( X + D ' ) / X , khi đó tồn tại B2  ( K  M 2 ) = B2  K = m B2 . Lúc đó 16
TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 4, SỐ 1 (2014) M = A1  A2  B1  B2 , A1  A2  K và Vậy M là môđun nâng đơn. ( B1  B2 )  K  ( B1  K )  ( B2  K ) = m M1  M 2 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F.W.Anderson and K.R.Fuller (1974), Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag, New York. [2] J.Clark, C.Lomp, N.Vanaja and R.Wisbauer (2006), Lifting Modules, Frontiers in Mathematics, Birkhauser. [3] M.T.Kosan (2005), The Lifting Condition and Fully Invariant Submodules, East-West Journal of Math, 7(1) (2005) 99-106. [4] Y. Wang and N. Ding (2006), Generalized Supplemented Modules, Taiwanese J. Mathematics, 10 (2006), 1589-1601. [5] Wisbauer R. (1991), Foundations of Module and Ring Theory; Gordon and Breach: Reading. 17