Vòng tròn l ng giác ượ
VÒNG TRÒN L NG GIÁCƯỢ
I.Đ t v n đ .ặ ấ ề
- Gi i bài t p v dao đ ng đi u hòa áp d ng vòng tròn l ng giác (VTLG) chính là s d ngả ậ ề ộ ề ụ ượ ử ụ
m i quan h gi a chuy n đ ng th ng và chuy n đ ng tròn.ố ệ ữ ể ộ ẳ ể ộ
- M t đi m d.đ.đ.h trên m t đo n th ng luôn luôn có th đ c coi là hình chi u c a m tộ ể ộ ạ ẳ ể ượ ế ủ ộ
đi m M chuy n đ ng tròn đ u lên đ ng kính c a đo n th ng đó.ể ể ộ ề ườ ủ ạ ẳ
II.Vòng tròn l ng giác.ượ
- M t v t dao đ ng đi u hòa theo ph ng trình : x = Acos(ωt + φ)cm ; (t đo b ng s) , đ cộ ậ ộ ề ươ ằ ượ
bi u di n b ng véct quay trên VTLG nh sau:ể ễ ằ ơ ư
B1: V m t vòng tròn có bán kính b ng biên đ R = Aẽ ộ ằ ộ
B2: Tr c Ox n m ngang làm g c. ụ ằ ố
B3: Xác đ nh pha ban đ u trên vòng tròn (v trí xu tị ầ ị ấ
phát).
Quy c :ướ
Chi u d ng t trái sang ph i.ề ươ ừ ả
- Chi u ềquay là chi u ềng cượ chi u kim đ ng h .ề ồ ồ
- Khi v t chuy n đ ng ậ ể ộ ở trên tr c Ox : theo chi uụ ề
âm.
- Khi v t chuy n đ ng ậ ể ộ ở d iướ tr c Ox : theo chi uụ ề
d ng.ươ
- Có b nố v trí đ c bi t trên vòng tròn: ị ặ ệ
M : v trí biên d ng xị ươ max = +A đây φ = 0 ; (đây là v trí m c l y gócở ị ố ấ
φ)
N : v trí cân b ng theo chi u âm đây φ = + π/2 ho c φ = – 3π/2ị ằ ề ở ặ
P : v trí biên âm xịmax = - A đây φ = ± πở
Q : v trí cân b ng theo chi u d ng đây φ = – π/2 ho c φ = +3π/2ị ằ ề ươ ở ặ
Ví d : ụ
Bi u di n ph ng trình sau b ng véct quay : ể ễ ươ ằ ơ
a. x = 6cos(ωt + π/3)cm b.x = 6cos(ωt – π/4)cm
Gi i:ả
III.D ng bài t pạ ậ
1.D ng m t : Xác đ nh trong kho ng th i gian Δt v t qua m t ví trí cho tr c m y l n.ạ ộ ị ả ờ ậ ộ ướ ấ ầ
Ph ng pháp : ươ
+ Bi u di n trên vòng tròn , xác đ nh v trí xu t phát.ể ễ ị ị ấ
1
M c l y góc φố ấ
φ > 0
φ < 0
O x
A
-A VTCB +A
O +
P M
N
Q
-6 0 +6
600
a
.M(t = 0)
-6 0 +6
450
N(t = 0)
b.
Vòng tròn l ng giác ượ
+ Xác đ nh góc quét Δφ = Δt.ωị
+ Phân tích góc quét Δφ = n1.2π + n2.π + Δφ’ ;
n1 và n2 : s nguyên ; ví d : Δφ = 9π = 4.2π + πố ụ
+ Bi u di n và đ m trên vòng tròn.ể ễ ế
- Khi v t quét m t góc Δφ = 2π (m t chu kỳ thì qua m t v trí b t kỳ 2 l n , m t l n theoậ ộ ộ ộ ị ấ ầ ộ ầ
chi u d ng , m t l n theo chi u âm )ề ươ ộ ầ ề
Ví d : ụV t d.đ.đ.d v i ph ng trình : x = 6cos(5πt + π/6)cm (1)ậ ớ ươ
a.Trong kho ng th i gian 2,5s v t qua v trí x = 3cm m y l n.ả ờ ậ ị ấ ầ
b.Trong kho ng th i gian 2s v t qua v trí x = 4cm theo chi u d ng m y l n.ả ờ ậ ị ề ươ ấ ầ
c.Trong kho ng th i gian 2,5s v t qua v trí cân b ng theo chi u d ngả ờ ậ ị ằ ề ươ
m y l n.ấ ầ
d.Trong kho ng th i gian 2s v t qua v trí cân b ng m y l n.ả ờ ậ ị ằ ấ ầ
Gi i:ả
Tr c tiên ta bi u di n pt (1) trên vòng tròn, v i φ = π/6(rad)ướ ể ễ ớ
-V t xu t phát t M , theo chi u âm. (Hình 1 )ậ ấ ừ ề
a.Trong kho ng th i gian Δt = 2,5s ả ờ
=> góc quét Δφ = Δt.ω = 2,5.5π = 12,5π = 6.2π + π/2
T vòng tròn ta th y: (Hình 2)ừ ấ
- trong m t chu kỳ v t qua x = 3cm đ c 2 l n t i Pộ ậ ượ ầ ạ (chi u âm ) ềvà Q(chi u d ng ) ề ươ
- trong Δφ1 = 6.2π ; 6 chu kỳ v t qua x = 3cm đ c 6.2 = 12 l nậ ượ ầ
- còn l i Δφạ2 = π/2 t M →N v t qua x = 3cm m t l n t i Pừ ậ ộ ầ ạ (chi u âm ) ề
V y: Trong kho ng th i gian Δt = 2,5s v t qua x = 3cm đ c 13 l nậ ả ờ ậ ượ ầ
b.Trong kho ng th i gian Δt = 2 s ả ờ
=> góc quét Δφ = Δt.ω = 2.5π = 10π = 5.2π
V t th c hi n đ c 5 chu kỳ (quay đ c 5 vòng)ậ ự ệ ượ ượ
T vòng tròn ta th y: (Hình 3)ừ ấ
- trong m t chu kỳ v t quaộ ậ v trí x = +4cm theo chi u d ng đ c m t l n , t i Nị ề ươ ượ ộ ầ ạ
V y : trong 5 chu kỳ thì v t quaậ ậ v trí x = 4cm theo chi u d ng đ c 5 l nị ề ươ ượ ầ
c.Trong kho ng th i gian Δt = 2,5s ả ờ
=> góc quét Δφ = Δt.ω = 2,5.5π = 12,5π = 6.2π + π/2
T vòng tròn ta th y: (Hình 4)ừ ấ
- Trong m t chu kỳ v t qua v trí cân b ng theo chi u d ng 1 l n t i N.ộ ậ ị ằ ề ươ ầ ạ
- Trong Δφ1 = 6.2π ; 6 chu kỳ v t qua v trí cân b ng theo chi u d ng 6ậ ị ằ ề ươ
l n t i N.ầ ạ
- Còn l i Δφạ2 = π/2 t M →P v t qua không qua v trí cân b ng theoừ ậ ị ằ
chi u d ng l n nào.ề ươ ầ
V y trong kho ng th i gian Δt = 2,5s v t qua v trí cân b ng theo chi u d ng 6 l n.ậ ả ờ ậ ị ằ ề ươ ầ
d.Trong kho ng th i gian Δt = 2s ả ờ
=> góc quét Δφ = Δt.ω = 2.5π = 10π = 5.2π
V t th c hi n đ c 5 chu kỳ (quay đ c 5 vòng)ậ ự ệ ượ ượ
T vòng tròn ta th y: (Hình 5)ừ ấ
- Trong m t chu kỳ v t qua v trí v trí cân b ng 2 l n t i Pộ ậ ị ị ằ ầ ạ (chi u âm ) ềvà
Q(chi u d ng ) ề ươ .
- V y trong kho ng th i gian Δt = 2s v t qua v trí v trí cân b ng 10ậ ả ờ ậ ị ị ằ
l n . ầ
2. D ng hai: Xác đ nh th i đi m v t qua m t v trí có li đ b t kỳ cho tr c.ạ ị ờ ể ậ ộ ị ộ ấ ướ
2
-6 0 3 +6
M
P
Q
N
300
-6 0 +4 +6
M
N
-6 0 +6
M
N
P
Hình 2
Hình 3
Hình 4
-6 0 +6
M
Hình 5
P
Q
-6 0 +6
M
300
Hình 1
Vòng tròn l ng giác ượ
Ph ng pháp : ươ
+ Bi u di n trên vòng tròn , xác đ nh v trí xu t phát.ể ễ ị ị ấ
+ Xác đ nh góc quét Δφ ị
+ Th i đi m đ c xác đ nh : Δt = ờ ể ượ ị
ϕ
ω
∆
(s)
VD1 : V t d.đ.đ.d v i ph ng trình : x = 8cos(5πt – π/6)cm (1)ậ ớ ươ
Xác đ nh th i đi m ị ờ ể đ u tiênầ :
a.v t qua v trí biên d ng.ậ ị ươ
b.v t qua v trí cân b ng theo chi u âm.ậ ị ằ ề
c. v t qua v trí biên âm.ậ ị
d. v t qua v trí cân b ng theo chi u d ng.ậ ị ằ ề ươ
Gi i:ả
Tr c tiên ta bi u di n pt (1) trên vòng tròn, v i φ = – π/6(rad) = – 30ướ ể ễ ớ 0
-V t xu t phát t M , theo chi u d ng. (Hình 1 )ậ ấ ừ ề ươ
a. Khi v t qua v trí biên d ng ậ ị ươ l n m tầ ộ : t i v trí N ạ ị
=> góc quét : Δφ =300 = π/6(rad) => Δt =
ϕ
ω
∆
=
1
6( )
5 30 s
π
π
=
b.Khi v t qua v trí cân b ng theo chi u âm l n m t :t i v tríậ ị ằ ề ầ ộ ạ ị
P => góc quét :
Δφ =300 + 900 = 1200 = 2π/3(rad)
=> Δt =
ϕ
ω
∆
=
2
2
3( )
5 15 s
π
π
=
c. Khi v t qua v trí biên âm l n m t : t i v trí Q ậ ị ầ ộ ạ ị
=> góc quét :
Δφ =300 + 900 +900 = 2100 = 7π/6(rad) => Δt =
ϕ
ω
∆
=
7
7
6( )
5 30 s
π
π
=
d.Khi v t qua v trí cân b ng theo chi u d ng l n m t : t i v trí K => góc quét : ậ ị ằ ề ươ ầ ộ ạ ị
Δφ = 300 + 900 + 900 +900 = 3000 = 5π/3(rad) => Δt =
ϕ
ω
∆
=
5
1
3( )
5 3 s
π
π
=
VD2 : V t d.đ.đ.d v i ph ng trình : ậ ớ ươ
x = 5cos(5πt – 2π/3)cm. Xác đ nh th i đi m th 5 v t qua vị ờ ể ứ ậ ị
trí có li đ x = – 2,5cm theo chi u âm.ộ ề
Gi i : ả
Tr c tiên ta bi u di n pt trên vòng tròn, ướ ể ễ
v i φ = – 2π/3(rad) = -120ớ0
-V t xu t phát t M , theo chi u d ng. (Hình 1 )ậ ấ ừ ề ươ
Th i đi m ờ ể đ u tiên ầv t qua v trí có li đ x = – 2,5cm theoậ ị ộ
chi u âm : t i v trí N : Δφề ạ ị 1 = 2π/3 + π/2 + π/6 = 4π/3(rad)
Th i đi m ờ ể th hai : ứΔφ2 = 2π(rad), (vì quay thêm m t vòng)ộ
Th i đi m ờ ể th ba: ứΔφ3 = 2π(rad)
Th i đi m ờ ể th t : ứ ư Δφ4 = 2π(rad)
Th i đi m ờ ể th năm :ứ Δφ5 = 2π(rad)
3
-8 0 +8
M
N
P
Q
K
300
-8 0 +8
-300
M
Hình 1
-5 -2,5 0 +5
Hình 1M
-1200
N
π/6
Vòng tròn l ng giác ượ
- Góc quét t ng c ng : ổ ộ
Δφ = 4π/3 + 4.2π = Δφ1 + Δφ2 + Δφ3 + Δφ4 + Δφ5 = 28π/3(rad) => Δt =
ϕ
ω
∆
=
28 ( )
15 s
VD3 : M t v t dao đ ng đi u hòa có ph ng trình x ộ ậ ộ ề ươ = 8cos10πt. Th i đi m v t đi qua v trí ờ ể ậ ị
x = 4 l n th 2009 k t th i đi m b t đ u dao đ ng là :ầ ứ ể ừ ờ ể ắ ầ ộ
A.
6025
30
(s). B.
6205
30
(s) C.
6250
30
(s) D.
6,025
30
(s)
Gi i:ả
V t xu t phát t biên d ng (xậ ấ ừ ươ max = +8).
Trong m t chu kỳ thì v t qua v trí x ộ ậ ị = 4 đ c 2 l n t i Mượ ầ ạ (chi u âm) ềvà
N(chi u d ng)ề ươ đ ng th i góc quét là : Δφ = 2π(rad)ồ ờ
V y khi quay đ c 1004 vòng (quanh +8) thì qua x ậ ượ = 4 đ cượ
1004.2 = 2008 l n, góc quét : ầ
Δφ1 = 1004.2π = 2008π(rad)
Còn l i m t l n : t +8 đ n M : góc quét : Δφạ ộ ầ ừ ế 2 = π/3(rad)
V y góc quét t ng c ng là: Δφ = Δφậ ổ ộ 1 + Δφ2 = 2008π + π/3 = 6025π/3(rad)
Th i đi m : Δt = ờ ể
ϕ
ω
∆
=
6025
30
s => ý A
BÀI T P V N D NG D NG 2:Ậ Ậ Ụ Ạ
1. M t v t dao đ ng đi u hoà v i ph ng trình x ộ ậ ộ ề ớ ươ = 4cos(4πt + π/6) cm. Th i đi m th 3 v tờ ể ứ ậ
qua v trí x ị= 2cm theo chi u d ng.ề ươ
A. 9/8 s B. 11/8 s C. 5/8 s D.1,5 s
2.V tậ dao đ ngộ đi u hòa có ptrình : x ề= 5cosπt (cm).V tậ qua VTCB l n th 3 vào th i đi m :ầ ứ ờ ể
A. 2,5s. B. 2s. C. 6s. D. 2,4s
3. V tậ dao đ ngộ đi u hòa ềcó ph ng trình : x ươ = 4cos(2πt - π) (cm, s). V tậ đ n đi m biênế ể
d ng B(ươ +4) l n th 5 vào th i đi m :ầ ứ ờ ể
A. 4,5s. B. 2,5s. C. 2s. D. 0,5s.
3. M t ộv tậ dao đ ngộ đi u hòa ềcó ph ng trình : x ươ = 6cos(πt − π/2) (cm, s). Th i gian ờv tậ đi từ
VTCB đ n lúc qua đi m ế ể có x = 3cm l n th 5 là :ầ ứ
A. 61/6s. B. 9/5s. C. 25/6s. D. 37/6s.
4. M t v t DĐĐH v i ph ng trình x ộ ậ ớ ươ = 4cos(4πt + π/6)cm. Th i đi m th 2009 v t qua v trí ờ ể ứ ậ ị
x = 2cm, k t t ể ừ = 0, là
A.
s. B.
12061s
24
C.
12025 s
24
D. Đáp án khác
5. M t v t dao đ ng đi u hòa có ph ng trình x ộ ậ ộ ề ươ = 8cos10πt. Th i đi m v t đi qua v trí x ờ ể ậ ị = 4
l n th 2008 theo ầ ứ chi u âm k t th i đi m b t đ u dao đ ng là :ề ể ừ ờ ể ắ ầ ộ
A.
12043
30
(s). B.
10243
30
(s) C.
12403
30
(s) D.
12430
30
(s)
6. Con l c lò xo dao đ ng đi u hoà trên m t ph ng ngang v i chu kì T ắ ộ ề ặ ẳ ớ = 1,5s, biên đ A ộ=
4cm, pha ban đ u là 5π/6. ầTính t lúc t ừ= 0, v t có to đ x ậ ạ ộ = −2 cm l n th 2005 vào th iầ ứ ờ
đi m nào: ể
A. 1503s B. 1503,25s C. 1502,25s D. 1503,375s
3. D ng ba: ạXác đ nh quãng đ ng v t đi đ c t th i đi m tị ườ ậ ượ ừ ờ ể 1 đ n tế2 .V n t c c aậ ố ủ
v t.ậ
4
-8 0 4 +8
M
N
600
Vòng tròn l ng giác ượ
a.Quãng đ ng:ườ
Ph ng pháp : ươ
+ Bi u di n trên vòng tròn , xác đ nh v trí xu t phát.ể ễ ị ị ấ
+ Xác đ nh góc quét Δφ = Δt.ω ; v i Δt = ị ớ t2 – t1
+ Phân tích góc quét : (Phân tích thành các tích s nguyên c a 2π ho c π) ố ủ ặ
Δφ = n1.2π + n2.π + Δφ’ ; n1 và n2 : s nguyên ; ví d : Δφ = 9π = 4.2π + πố ụ
+ Bi u di n và đ m trên vòng tròn và tính tr c ti p t vòng tròn.ể ễ ế ự ế ừ
+ Tính quãng đ ng: ườ
- Khi quét Δφ1 = n1.2π thì s1 = n1.4.A
- Khi quét Δφ2 thì s2 tính tr c ti p t vòng tròn.ự ế ừ
- Quãng đ ng t ng c ng là : s = sườ ổ ộ 1+ s2
Khi v t quay m t góc : Δφ = n.2π (t c là th c hi n n chu kỳ) thì quãng đ ng là : s = n.4.Aậ ộ ứ ự ệ ườ
Khi v t quay m t góc : Δφ = π thì quãng đ ng là : s = 2Aậ ộ ườ
Các góc đ c bi t : ặ ệ
cos300 =
3
2
; cos600 = 0,5 ; cos450 =
2
2
*Tính quãng đ ng l n nh t và nh nh t v t đi đ c trong kho ng th i gian 0 < ườ ớ ấ ỏ ấ ậ ượ ả ờ
∆
t <
T/2.
Góc quét ∆ϕ = ω.∆t đv: rad
Quãng đ ng l n nh t : ườ ớ ấ
ax
2A sin 2
M
S
ϕ
∆
=
Quãng đ ng nh nh t : ườ ỏ ấ
2 (1 os )
2
Min
S A c
ϕ
∆
= −
b.V n t c:ậ ố
5
V n t c trung bình và t c đ trung bìnhậ ố ố ộ
a. V n t c trung bình :ậ ố
2 1
2 1
tb
x x
vt t
−
=−
trong đó:
2 1
x x x∆ = −
là đ d i.ộ ờ
-V n t c trung bình trong m t chu kỳ luôn b ng khôngậ ố ộ ằ
b. T c đ trung bình : luôn khác 0 ;ố ộ
2 1
tb
S
vt t
=−
trong đó S là quãng đ ng v t đi đ c t tườ ậ ượ ừ 1 đ n tế2.
L u ý:ư + Trong tr ng h p ườ ợ ∆t > T/2 ;
Tách
'
2
T
t n t
∆ = +∆
trong đó
*
;0 ' 2
T
n N t
∈ < ∆ <
;
Trong th i gian ờ
2
T
n
quãng đ ng luôn là 2nA ; ườ
Trong th i gian ờ∆t’ thì quãng đ ng l n nh t, nh nh t tính nh trên. ườ ớ ấ ỏ ấ ư
+ T c đ trung bình l n nh t và nh nh t c a trong kho ng th i gian ố ộ ớ ấ ỏ ấ ủ ả ờ ∆t:
ax
ax
M
tbM
S
vt
=∆
và
Min
tbMin
S
vt
=∆
v i SớMax; SMin tính nh trên.ư