Xác định miền cường độ của vật liệu không đồng nhất sử dụng lý thuyết phân tích giới hạn và kỹ thuật đồng nhất hóa

1<br /> <br /> Tạp chí Khoa học & Công nghệ Số 1<br /> <br /> Xác định miền cường độ của vật liệu không đồng nhất<br /> sử dụng lý thuyết phân tích giới hạn và kỹ thuật đồng nhất hóa<br /> Nguyễn Hoàng Phương<br /> Khoa Kiến trúc - Xây dựng - Mỹ thuật ứng dụng, Đại học Nguyễn Tất Thành<br /> nhphuong@ntt.edu.vn<br /> <br /> Tóm tắt<br /> Bài báo này trình bày phương pháp xác định miền giới hạn vật liệu không đồng nhất bằng sự<br /> kết hợp thuật đồng nhất hóa và lý thuyết phân tích giới hạn. Bài toán phân tích giới hạn cho<br /> một phần tử đại diện (RVE) được xem xét nhằm tìm được tải trọng giới hạn của các trường<br /> hợp tải trọng khác nhau. Miền tải trọng biến thiên đại diện cho các trường hợp ứng suất tương<br /> ứng của một điểm vật liệu được khảo sát. Việc áp dụng rời rạc hóa miền chuyển vị biến thiên<br /> trong bài toán phân tích giới hạn nhằm taọ điều kiện thuận lợi trong việc khai báo điều kiện<br /> biên tuần hoàn cho bài toán. Bài toán phân tích giới hạn tích hợp lý thuyết đồng nhất hóa được<br /> triển khai dưới dạng bài toán tối ưu hình nón bậc hai (SOCP). Các trường hợp tải trọng giới<br /> hạn của phần tử đaị diện hình thành miền giới hạn của một vật liệu không đồng nhất. Ví dụ số<br /> được thực hiện và so sánh với các nghiên cứu của các tác giả khác về cường độ vật liệu không<br /> đồng nhất nhằm thể hiện sự hiệu quả của phương pháp.<br /> <br /> Nhận<br /> Được duyệt<br /> Công bố<br /> <br /> 27.12.2017<br /> 21.01.2018<br /> 01.02.2018<br /> <br /> Từ khóa<br /> <br /> Phân tích giới hạn, kỹ thuật<br /> đồng nhất hóa, miền cường<br /> độ của vật liệu không đồng<br /> nhất, chương trình tối ưu<br /> hóa hình nón bậc hai<br /> ® 2018 Journal of Science and Technology - NTTU (SOCP)<br /> <br /> 1. Giới thiệu<br /> Việc trộn l n các vật liệu khác nhau để tạo thành các vật<br /> liệu mới, vật liệu không đồng nhất, đang ngày càng trở nên<br /> ph biến trong các cấu kiện của công trình. Qua đó, nhu cầu<br /> về việc xác định các tiêu chu n d o của các vật liệu mới<br /> này chiếm vai tr quan trọng trong việc t nh toán và ước<br /> lượng khả n ng làm việc của kết cấu. Hiện nay, hầu hết các<br /> t nh chất này được thống kê và t nh toán thông qua các th<br /> nghiệm thực tế. Việc này s d n đến chi ph cho việc xác<br /> định t nh chất của vật liệu là rất lớn. Vì vậy, các mô ph ng<br /> số được thực hiện nhằm giảm thiểu các chi ph th nghiệm<br /> này. Hơn thế nữa, ch ng ta cần các phương pháp hiệu quả<br /> và nhanh chóng để có thể tiết kiệm về thời gian t nh toán.<br /> Các nghiên cứu trước đ y đ chứng t được sự hiệu quả về<br /> nghiệm và thời gian t nh toán của bài toán ph n t ch giới<br /> hạn trong việc xác định cường độ của vật liệu không đồng<br /> nhất [1,2]. Tuy nhiên, m t hạn chế về các v ng l p làm thời<br /> gian t nh toán khá lớn. Việc kết hợp giữa lý thuyết đồng<br /> nhất hóa và ph n t ch giới hạn có thể giải quyết được yêu<br /> cầu này.<br /> Trong những n m gần đ y, các nghiên cứu xác định cường<br /> độ của vật liệu không đồng nhất, ph n t ch giới hạn của kết<br /> cấu vi mô, ngày càng phát triển và được ch trọng. Lý<br /> thuyết đồng nhất hóa kết hợp ph n t ch giới hạn được đề<br /> xuất trong việc xác định cường độ vật liệu v mô của vật<br /> liệu cốt sợi [4-6 . Một ph n t ch giới hạn đồng nhất hóa dựa<br /> <br /> trên phần tử hữu hạn và phương trình tuyến t nh được đề<br /> xuất trong [7 để t nh toán cường độ vật liệu v mô theo tiêu<br /> chu n Tresca. Ứng xử của hình l ng trụ có l r ng được<br /> nghiên cứu trong [8,9 bởi mô hình Gurson với cả trường<br /> động học và t nh học c ng như lý thuyết đồng nhất hóa.<br /> Dựa vào phần tử hữu hạn và thuật toán đ i ng u điểm nội,<br /> một đề xuất của tiêu chu n cường độ cấp độ v mô và ph n<br /> t ch n định của đất được gia cường bởi cọc đá được trình<br /> bày [10-14 . Trong trường hợp dành cho tấm tuần hoàn,<br /> một lý thuyết nghiên cứu về việc đồng nhất hóa miền cường<br /> độ của tấm love-Kirchhoff nhiều lớp cứng d o lý tưởng<br /> được trình bày [15,16 , và kết quả số thu được xác định tiêu<br /> chu n cường độ chịu uốn trong [17,18 . Bằng việc kết hợp<br /> kỹ thuật đồng nhất hóa, ph n t ch giới hạn động học và<br /> chương trình phi tuyến, tải trọng giới hạn và cơ cấu phá<br /> hoại của vật liệu composite tuần hoàn theo tiêu chu n chảy<br /> d o hình elip được xác định [19-24 . Sử dụng trường ứng<br /> suất đàn hồi của cấu tr c vi mô tuần hoàn, một phương<br /> pháp trực tiếp t nh học kết hợp với đồng nhất hóa được<br /> trình bày [25-29 trong bài toán ph n t ch giới hạn 2D và<br /> 3D cho vật liệu h n hợp kim loại tuần hoàn. Trong phương<br /> pháp này, dạng mạnh của phương trình c n bằng được xấp<br /> x bằng dạng yếu, và được th a m n trung bình bằng việc<br /> sử dụng trường chuyển vị. Dựa trên phương pháp tuyến<br /> t nh, ph n t ch giới hạn của kết cấu bê tông cốt th p được<br /> nghiên cứu [30-34].<br /> <br /> Đại học Nguyễn Tất Thành<br /> <br /> Tạp chí Khoa học & Công nghệ Số 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> Mục tiêu của bài báo này là phát triển một lý thuyết đồng<br /> nhất hóa cho ph n t ch giới hạn của vật liệu tuần hoàn với<br /> trường chuyển vị biến thiên (tuần hoàn) được xấp x . N ng<br /> lượng tiêu tán d o hay hàm mục tiêu được chuyển về dạng<br /> t ng bình phương. Ngoài ra, điều kiện biên tuần hoàn được<br /> áp cho biên chu vi phần tử đại diện RVE. Điều kiện công<br /> ngoại của phần tử đại diện được thay bằng công nội trên<br /> điểm vật liệu cấp độ v mô. Qua đó, phương pháp ph n t ch<br /> giới hạn được kết hợp với lý thuyết đồng nhất hóa và được<br /> sử dụng trong bài báo này.<br /> <br /> 2. Lý thuyết phân tích giới hạn<br /> Trong phần này, lý thuyết ph n t ch giới hạn được tóm<br /> lược. Một vật thể cứng d o lý tưởng được xem x t với biên<br />  và chịu lực thể t ch f và lực bề m t g trên biên t nh học<br /> <br />  t . Biên động học u được ràng buộc và<br /> <br /> u  t   .<br /> <br /> Công ngoại lực và công nội lực có thể được thể hiện thông<br /> qua<br /> T<br /> <br /> T<br /> <br /> . F u   f u d    g u d <br /> <br /> <br /> (1)<br /> <br /> t<br /> <br /> T<br /> <br /> U  σ, u    σ ε  u  d <br /> <br /> (2)<br /> <br /> <br /> <br /> Với ε  u    xx<br /> <br />  yy<br /> <br /> (3.2)<br /> <br /> = min max U  σ,u <br /> <br /> (3.3)<br /> <br /> = min D  u <br /> <br /> (3.4)<br /> <br /> uC<br /> <br /> σB<br /> <br /> uC<br /> <br /> Với n ng lượng tiêu tán d o được k hiệu D  u  là một<br /> hàm theo<br /> <br /> σ<br /> <br /> và<br /> <br /> u<br /> <br /> D  u   max U  σ,u <br /> <br /> <br /> <br /> trong trường hợp là vật liệu bất đ ng hướng như tiêu chu n<br /> của Hill, ma trận P khi đó là<br /> H<br /> 0<br /> G  H<br /> <br /> (7)<br /> P   H<br /> H  F 0 <br />  0<br /> <br /> 0<br /> N<br /> Với G, H, F và N là các hằng số đ c trưng của vật liệu bất<br /> đ ng hướng và được xác định như sau<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 2 H  2  2  2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> xx<br /> yy<br /> zz<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br />  2G  2  2  2<br />  xx  zz  yy<br /> <br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />  2F  2  2  2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> zz<br /> yy<br /> xx<br /> <br /> <br /> Với<br /> <br /> 1<br /> <br /> (8.2)<br /> <br /> 2<br />  xy<br /> <br />  xx , yy , zz<br /> <br /> theo ba trục và<br /> <br /> (8.1)<br /> <br /> lần lượt là ứng suất chảy d o k o dọc trục<br /> <br />  xy<br /> <br /> là ứng suất chảy d o cắt.<br /> <br /> Theo hướng tiếp cận động học của bài toán ph n t ch giới<br /> hạn, n ng lượng tiêu tán d o được khai triển thành biểu<br /> thức với biến là biến dạng. Khi đó, n ng lượng tiêu tán d o<br /> được viết lại như sau<br /> D  ε    ε T ε d <br /> <br /> (9)<br /> <br /> <br /> <br /> như sau<br /> <br /> σB<br /> <br /> (6)<br /> <br />  0 là ứng suất chảy d o k o dọc trục. Bên cạnh đó,<br /> <br /> N<br /> <br /> = max min U  σ,u <br /> uC<br /> <br /> Với<br /> <br /> T<br /> <br />  xy  là ma trận biến dạng.<br /> <br /> Hệ số tải trọng phá hoại ch nh xác có thể được xác định<br /> bằng cách giải một bài toán tối ưu hóa sau đ y<br /> (3.1)<br />   max  | σ B : U  σ,u     F  u <br /> σB<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br />  1  2 0<br /> <br /> <br /> 1  1<br /> P 2 <br /> 1 0<br /> <br /> 0  2<br /> <br /> <br /> 0 3<br />  0<br /> <br /> <br /> <br /> (4.1)<br /> <br /> <br /> <br /> B  σ X |   σ  x    0<br /> <br /> (4.2)<br /> <br /> Với   σ  được gọi là tiêu chu n d o. Phương trình (3.1)<br /> và (3.4) là phương trình t nh học và động học của bài toán<br /> ph n t ch giới hạn. Phương trình động học (3.4) s được sử<br /> dụng trong bài báo này.<br /> Hầu hết các tiêu chu n d o hiện nay đều có thể được biểu<br /> diễn như sau<br />   σ   σ T Pσ  1<br /> <br /> (5)<br /> <br /> Với P là một ma trận hữu hiệu bao gồm các hệ số của<br /> phương trình cường độ của vật liệu. Trong trường hợp tiêu<br /> chu n von Mises, P được áp dụng với vật liệu đ ng hướng<br /> và ứng suất ph ng<br /> <br /> Đại học Nguyễn Tất Thành<br /> <br /> Với   P1<br /> <br /> 3. Lý thuyết đồng nhất hóa<br /> Xem x t một vật thể không đồng nhất cấp độ v mô<br /> V  2 . Theo các lý thuyết đ được x y dựng của chuyên<br /> đề I, bài toán kết cấu không đồng nhất ở cấp độ v mô được<br /> thay thế bằng hai bài toán, đó là bài toán đồng nhất ở cấp<br /> độ v mô và bài toán kết cấu không đồng nhất ở cấp độ vi<br /> mô. Điều quan trọng của phương pháp này là sự liên hệ<br /> giữa hai cấp độ này. Bên cạnh đó, bài toán cấp độ vi mô,<br /> phần tử đại diện (RVE), phải th a m n các ràng buộc nhằm<br /> đảm bảo được sự liên hệ này.<br /> Ngoài ra, k ch thước của phần tử đại diện (RVE) đ được<br /> sự quan t m rất lớn của các nhà nghiên cứu. Hơn thế nữa,<br /> k ch thước này phải đủ nh để thuận lợi cho việc t nh toán<br /> nhưng lại phải đủ lớn khi so với các cốt liệu để có thể đ c<br /> <br /> 3<br /> <br /> Tạp chí Khoa học & Công nghệ Số 1<br /> <br /> trưng cho vật liệu. Trong nghiên cứu này, giả thiết rằng các<br /> cốt liệu rất nh so với k ch thước của phần tử đại diện<br /> (RVE).<br /> Mối liên hệ giữa hai cấp độ được thể hiện qua định lý trung<br /> bình<br /> <br /> E  εM <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> εm d <br /> <br /> <br /> (10.1)<br /> <br /> <br /> <br /> Σ  σM <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> σm d <br /> <br /> <br /> (10.2)<br /> <br /> trường ứng suất tại cấp độ v mô. Nhờ mối liên hệ giữa ứng<br /> suất tại một điểm vật liệu cấp độ v mô và lực trên biên của<br /> phần tử đại diện. Do đó, khi xác định được lực giới hạn của<br /> phần tử đại diện đồng ngh a với việc ta xác định được ứng<br /> suất cực đại tại một điểm vật liệu cấp độ v mô.<br /> Bên cạnh đó, các nghiên cứu trước đ y sử dụng mô hình<br /> k o n n theo hai phương kết hợp ph p xoay góc để xác định<br /> dần không gian ứng suất giới hạn. Trong nghiên cứu này,<br /> ứng suất tiếp<br /> <br />  xy đ được đưa vào mô hình nhằm trực tiếp<br /> <br /> ứng suất tại một điểm vật liệu của cấp độ vi mô. K hiệu <br /> <br /> tìm được không gian ứng suất giới hạn của vật liệu. Không<br /> gian ứng suất giới hạn của vật liệu này mô tả tiêu chu n<br /> chảy d o của vật liệu.<br /> Bài toán ph n t ch giới hạn kết hợp lý thuyết đồng nhất hóa<br /> cho phần tử đại diện (RVE) được biểu diễn như sau<br /> <br /> đại diện cho trung bình thể t ch trên toàn bộ thể t ch phần tử<br /> <br />    min <br /> <br /> <br /> <br /> Với ε M , σ M lần lượt là biến dạng và ứng suất tại một điểm<br /> vật liệu của cấp độ v mô.<br /> <br /> ε m , σ m lần lượt là biến dạng và<br /> <br /> đại diện (RVE), và  là diện t ch của phần tử đại diện.<br /> Khi t nh toán ở cấp độ vi mô, biến dạng và ứng suất được<br /> ph n ra hai thành phần. Đầu tiên là hằng số biến dạng và<br /> ứng suất của một chất điểm ở cấp độ v mô. Phần c n lại s<br /> là một biến dạng biến thiên và ứng suất biến thiên. Điều<br /> này được thể hiện như sau<br /> <br /> εm  x   E  εm  x <br /> <br /> (11.1)<br /> <br /> σm  x   Σ  σm  x <br /> <br /> (11.2)<br /> <br /> ε  ε M <br /> <br /> T<br /> <br />  ε  ε M  d <br /> <br /> (15.1)<br /> <br /> <br /> <br /> s.t<br /> <br /> F  u   V0 T0 ε M  1<br /> <br /> (15.2)<br /> <br /> u  x  tuần hoàn trên biên<br /> ε  Lu trong miền <br /> <br /> d<br /> <br /> (15.3)<br /> <br /> (15.4)<br /> Bài toán tối ưu (15) được x y dựng trên việc xấp x trường<br /> <br />  <br /> <br /> chuyển vị biến thiên u<br /> <br /> Qua đó, chuyển vị trên RVE c ng được thể hiện bằng hai<br /> thành phần<br /> <br /> um  x   E x  um  x <br /> <br /> (12)<br /> <br /> Định lý trung bình (10.1), (10.2) phải được đảm bảo. Do<br /> đó, trung bình thể t ch của biến dạng biến thiên và ứng suất<br /> biến thiên trên RVE phải bị triệt tiêu<br /> <br /> εm  0; σm  0<br /> <br /> (13)<br /> <br /> Ngoài ra, chuyển bị trên biên của phần tử đại diện phải đảm<br /> bảo điều kiện tuần hoàn. Điều kiện tuần hoàn ở đ y là tuần<br /> hoàn về chuyển vị và đối ng u về ứng suất trên các biên đối<br /> nhau. Điều này d n đến bất kì trường chuyển vị khả d động<br /> và trường ứng suất c n bằng th a m n điều kiện tuần hoàn<br /> đều th a điều kiện c n bằng n ng lượng của Hill-Mandel<br /> <br /> Σ : E  σm : εm<br /> <br /> (14)<br /> <br /> 4. T nh toán đồng nhất hóa cho phân tích giới hạn<br /> Những nghiên cứu trên thế giới [24-28 đ t nh toán ứng<br /> suất đàn hồi của kết cấu vi mô tuần hoàn thông qua ứng<br /> suất Σ ho c biến dạng Ε để xấp x trong bài toán ph n<br /> t ch giới hạn. Gần đ y, Jeremy và các cộng sự [17 đ công<br /> bố một nghiên cứu sử dụng đồng nhất hóa trong ph n t ch<br /> giới hạn tấm tuần hoàn, qua đó trường động học đ được sử<br /> dụng thông qua biến độ cong. Tuy nhiên, trong nghiên cứu<br /> này trường động học ở cấp độ vi mô s được sử dụng với<br /> <br /> n<br /> <br /> . Điều kiện biên tuần hoàn<br /> <br /> Điều kiện biên tuần hoàn được thực hiện thông qua việc cân<br /> bằng các c p chuyển vị biến thiên đối xứng trên biên của<br /> phần tử đại diện (RVE).<br /> <br /> u  u<br /> <br /> (16)<br /> <br /> Với  ,  lần lượt là biên chủ động và biên bị động<br /> tương ứng trên biên phần tử đại diện<br /> Ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa các bậc tự do tuần<br /> hoàn thành công thức sau<br /> Cd = 0<br /> (17)<br /> Với ma trận C là ma trận ràng buộc giữa các bậc tự do tuần<br /> hoàn bao gồm các hệ số {-1;0;1}<br /> Triển khai bài toán với kỹ thuật rời rạc hóa phần tử hữu hạn<br /> và t ch ph n Guass như sau<br /> NG<br /> <br />    min  P i<br /> i 1<br /> <br /> s.t<br /> <br />  Bi d  ε M <br /> <br /> T<br /> <br />   Bi d  ε M <br /> <br /> (18.1)<br /> <br /> V0 T0 ε M  1<br /> <br /> (18.2)<br /> <br /> Cd = 0<br /> <br /> (18.3)<br /> Đại học Nguyễn Tất Thành<br /> <br /> Tạp chí Khoa học & Công nghệ Số 1<br /> <br /> 4<br /> <br /> ph hợp với kết quả của Li [20,21 và Zhang [28 .<br /> <br /> 5. Ví dụ số<br /> Việc ứng dụng kỹ thuật đồng nhất hóa kết hợp với ph n<br /> t ch giới hạn cho kết cấu vi mô tuần hoàn được thực hiện<br /> cho trường hợp vật liệu có l . Bài toán ứng suất ph ng được<br /> lập trình bằng ngôn ngữ Matlab và được giải bằng công cụ<br /> mosek[37 . Phần tử đại diện RVE có dạng hình vuông<br /> a  a (a = 1mm) . Nghiệm của bài toán s là tập hợp các tải<br /> trọng giới hạn của phần tử đại diện c ng như là ứng suất<br /> giới hạn của điểm vật liệu v mô. Do đó, ứng suất giới hạn<br /> tại một điểm vật liệu cấp độ v mô được xác định như sau<br /> <br /> Σmax    Σ0<br /> <br /> (21)<br /> <br /> Vật liệu có l r ng được xem là một vật liệu h n hợp đ c<br /> biệt. RVE có l hình chữ nhật và hình tr n tại t m được thể<br /> hiện ở Hình 2<br /> <br /> n . Miền ứng suất giới hạn<br /> của vật liệu có l hình tròn (r/a=0.25)<br /> <br /> l hình chữ nhật ( L1  L2  0.1 0.5mm )<br /> và l hình tr n ( r / a  0.25 )<br /> . Bài toán RVE của vật liệu có l r ng<br /> <br /> (a) 2038 phần tử T3<br /> (b) 1752 phần tử T3<br /> n . Lưới phần tử hữu hạn T3<br /> bài toán l tròn và l hình chữ nhật<br /> <br /> RVE chịu tác dụng của c p lực vuông góc  11 , 22  trong<br /> m t ph ng<br /> <br />  x1 , x2 <br /> <br /> như trong h nh 2 Vật liệu nền cho<br /> <br /> RVE l hình chữ nhật là aluminium Al với ứng suất chảy<br /> d o  0  137 MPa . Ngoài ra, vật liệu nền cho RVE l hình<br /> tr n là mild steel St3S với ứng suất chảy d o<br />  0  273 MPa . Bài toán này được so sánh với kết quả của<br /> Li [20,21 sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn động học<br /> kết hợp với thuật giải l p và Zhang và cộng sự [28 sử<br /> dụng hướng tiếp cận bán cận dưới.<br /> Phần tử hữu hạn tam giác ba n t (T3) được sử dụng cho mô<br /> hình t nh toán như h nh 3 Miền ứng suất giới hạn tại một<br /> điểm vật liệu có l r ng tr n với hai góc xoay khác nhau (<br />   00 và   450 ) được trình bày theo h nh 4 Các kết quả<br /> <br /> Đại học Nguyễn Tất Thành<br /> <br /> Bên cạnh đó, ứng xử của vật liệu có l được khảo sát khi<br /> k o dọc trục có góc thay đ i dần 00  900  với hai k ch<br /> thước l khác nhau L2  0.5 mm và L2  0.7 mm. Kết quả<br /> được thể hiện trong h nh 5 v h nh 6 Những kết quả này<br /> tương đồng với kết quả của Li [20 (chênh lệch khi góc<br /> xoay bằng không là 0.47%) và th nghiệm của Litewka và<br /> các cộng sự [36 ( chênh lệch khi góc xoay bằng không là<br /> 0.47%).<br /> Cường độ kéo dọc trục với góc kéo thay<br /> đổi (L1=0.1, L2=0.5)<br /> 1.00<br /> 0.90<br /> 0.80<br /> 0.70<br /> 0.60<br /> 0.50<br /> 0.40<br /> 0.30<br /> -10<br /> <br /> Lực k o giới hạn<br /> <br /> n<br /> <br /> 10<br /> <br /> 30<br /> <br /> 50<br /> <br /> 70<br /> <br /> 90<br /> <br /> Góc xoay<br /> Thí nghiệm<br /> <br /> kết quả Li<br /> <br /> nghiên cứu này<br /> <br /> n . Cường độ kéo dọc trục<br /> với góc k o thay đ i (L1=0.1mm; L2=0.5mm)<br /> <br /> 5<br /> <br /> Tạp chí Khoa học & Công nghệ Số 1<br /> <br /> Kết luận<br /> <br /> Cường độ kéo dọc trục với góc kéo thay đổi<br /> (L1=0.1; L2=0.7)<br /> Lực k o giới hạn<br /> <br /> 1.000<br /> 0.800<br /> 0.600<br /> 0.400<br /> 0.200<br /> -10<br /> <br /> 10<br /> <br /> 30<br /> <br /> 50<br /> <br /> 70<br /> <br /> 90<br /> <br /> Góc xoay<br /> Thí nghiệm<br /> <br /> kết quả Li<br /> <br /> Nghiên cứu này<br /> <br /> Bài báo này đ trình bày phương pháp kết hợp giữa lý<br /> thuyết đồng nhất hóa và lý thuyết ph n t ch giới hạn nhằm<br /> tìm được không gian ứng suất giới hạn của vật liệu v mô.<br /> Trường chuyển vị biến thiên được xấp x trong bài toán<br /> ph n t ch giới hạn phần tử đại diện RVE. Các trường hợp<br /> tải trọng giới hạn trên biên của phần tử đại diện đại diện<br /> cho không gian 2D ứng suất giới hạn của một điểm vật liệu<br /> v mô. Bài toán được xem x t lần lượt là tấm có một l hình<br /> tròn và hình chữ nhật. Nghiệm của bài toán thể hiện được<br /> không gian 2D ứng suất giới hạn tương đồng với các kết<br /> quả nghiên cứu khác.<br /> <br /> n . Cường độ kéo dọc trục<br /> với góc k o thay đ i (L1=0.1mm; L2=0.7mm)<br /> <br /> Tài liệu tham khảo<br /> 1. M. A. Save, C. E. Massonnet, G. de Saxce. Plastic<br /> Analysis and Design of Plates, Shells and Disks. NorthHolland Series in Applied Mathematics and Mechanics,<br /> vol. 43. Elsevier: Amsterdam, 1997<br /> 2. J. Salencon. Yield Design. Wiley.com, 2013.<br /> 3. Suquet, P. Elements of homogenization for inelastic<br /> solid mechanics. In: Sanchez-Palencia, E., Zaoui, A.<br /> (Eds.), Homogenization Techniques for Composite<br /> Media, Lecture Notes in Physics, Springer, New York,<br /> 1987; 272, 193–278.<br /> 4. P. de Buhan, A. Taliercio. A homogenization approach<br /> to the yield strength of composite materials. European<br /> Journal of Mechanics - A/Solids 10 (1991) 129–154.<br /> 5. A. Taliercio. Lower and upper bounds to the<br /> macroscopic strength domain of a fiber-reinforced<br /> composite material. International Journal of Plasticity 8<br /> (1992) 741–762.<br /> 6. A. Taliercio, P. Sagramoso. Uniaxial strength of<br /> polymeric-matrix fibrous composites predicted through<br /> a homogenization approach. International Journal of<br /> Solids and Structures 14 (1995) 2095–2123.<br /> 7. P. Francescato, J. Pastor. Lower and upper numerical<br /> bounds to the off-axis strength of unidirectional fiberreinforced composite by limit analysis methods.<br /> European Journal of Mechanics - A/Solids 16 (1997)<br /> 213–234.<br /> 8. T. H. Thai, P. Francescato, J. Pastor. Limit analysis of<br /> unidirectional porous media. Mehanics Research<br /> Communications 25 (1998) 535–542.<br /> 9. M. Trillat, J. Pastor. Limit analysis and Gurson‟s<br /> Model. European Journal of Mechanics - A/Solids 24<br /> (2005) 800–819<br /> 10. B. Jellali, M. Bouassida, P. de Buhan. A<br /> homogenization method for estimating the bearing<br /> <br /> capacity of soils reinforced by columns. International<br /> Journal for Numerical and Analytical Methods in<br /> Geomechanics 29 (2005) 989–1004.<br /> 11. B. Jellali, M. Bouassida, P. de Buhan. Stability analysis<br /> of an embankment resting upon a column-reinforced<br /> soil. International Journal for Numerical and Analytical<br /> Methods in Geomechanics 35 (2011) 1243–1256<br /> 12. G. Hassen, M. Gueguin, P. de Buhan. A<br /> homogenization approach for assessing the yield<br /> strength properties of stone column reinforced soils.<br /> European Journal of Mechanics A/Solids 37 (2013)<br /> 266–280.<br /> 13. M. Gueguin, G. Hassen, P. de Buhan. Numerical<br /> assessment of the macroscopic strength criterion of<br /> reinforced soils using semidefinite programming.<br /> International Journal for Numerical Methods in<br /> Engineering 99(2014) 522–541.<br /> 14. M. Gueguin, G. Hassen, P. de Buhan. Stability analysis<br /> of homogenized stone column reinforced foundations<br /> using a numerical yield design approach. Computers<br /> and Geotechnics 64 (2015) 10–19.<br /> 15. J. Dallot, K. Sab. Limit analysis of multi-layered plates.<br /> Part I: The homogenized Love-Kirchhoff model. Journal<br /> of the Mechanics and Physics of Solids 56 (2008) 561–<br /> 580.<br /> 16. J. Dallot, K. Sab. Limit analysis of multi-layered plates.<br /> Part II: Shear effects. Journal of the Mechanics and<br /> Physics of Solids 56 (2008) 581–612.<br /> 17. J. Bleyer, P. de Buhan. A computational<br /> homogenization approach for the yield design of<br /> periodic thin plates. Part I: Construction of the<br /> macroscopic strength criterion. International Journal of<br /> Solids and Structures 51 (2014) 2448–2459.<br /> <br /> Đại học Nguyễn Tất Thành<br /> <br />