XÁC SUẤT THỐNG KÊ :" CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT "

Chia sẻ: Do Xuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

2.241
lượt xem 737
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Qui tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó được chia thành k giai đoạn. Có n1 cách thực hiện giai đoạn thứ nhất, n2 cách thực hiện giai đoạn thứ 2,...n cách thực hiện giai đoạn thứ k. Khi đó ta có:... Ví dụ 1: Giả sử để đi từ A đến C ta bắt buộc phải đi qua điểm B. Có 3 đường khác nhau để đi từ A đến B và có 2 đường khách nhau để đi từ B đến C. Vậy có n= 3.2 cách khác nhau để đi từ A đến C......

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: XÁC SUẤT THỐNG KÊ :" CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT "

Chuong 1 ’’ ˜’ ´ ˆ ’ ’ ` ˆ ´ ˆ ´ NHUNG KHAI NIEM CO BAN VE XAC SUAT . 1. ’ ` ’ BO TUC VE GIAI T´ ˆ ´ ˆ ’ ˆ .’ ICH TO HOP 1.1 ´ ˘ Qui tac nhˆn a ’ ’’ o o Gia su mˆt cˆng viˆc n`o do duoc chia th`nh k giai doan. C´ n1 c´ch thuc hiˆn giai . e a ¯´ ¯ ’ .’ . a ¯ . o a .’ e . ¯ . ´ a ’ ´ a .’ e . ¯ . ´’ a ’ . e . ¯ . ´ doan thu nhˆt, n2 c´ch thuc hiˆn giai doan thu hai,...,nk c´ch thuc hiˆn giai doan thu ’ k. Khi do ta c´ ¯´ o n = n1 .n2 . . . nk c´ch thuc hiˆn cˆng viˆc. a .’ e o . e . • V´ du 1 Gia su dˆ’ di tu A dˆn C ta bat buˆc phai di qua diˆ’m B. C´ 3 duong kh´c ı . ’ ’’ ¯e ¯ ` ¯e ’ ´ ´ ˘ o . ’ ¯ ¯e o ¯ ’` ’ a ’ di tu A dˆn B v` c´ 2 duong kh´c nhau dˆ’ di tu B dˆn C. Vˆy c´ n = 3.2 c´ch nhau dˆ ¯ ` ¯e ¯e ’ ´ a o ¯ ’`’ a ¯e ¯ ` ¯e’ ´ a o . a ’ di tu A dˆn C. kh´c nhau dˆ ¯ ’ a ¯e ` ¯e ´ A B C 1.2 ’ Chinh hop ’ . ˜ ’ .’ a . ’ a ’’ ` a o. o o o ´ .’ 2 ¯ inh nghia 1 Chinh hop chˆp k cua n phˆn tu (k ≤ n) l` mˆt nh´m (bˆ) c´ thu tu D. . ’ o ` ’’ a a . ’ a` ’’ ¯˜ ` k phˆn tu kh´c nhau chon tu n phˆn tu da cho. gˆm ` ´ .’ a . ’ a ’’ ı e a n ` Sˆ chinh hop chˆp k cua n phˆn tu k´ hiˆu l` Ak . o ’ . ´ ınh: n! Cˆng thuc t´ o ’ Ak = n = n(n − 1) . . . (n − k + 1) (n − k)! ’ ` ’` ’ o a a´ ’ . • V´ du 2 Mˆt buoi hop gˆm 12 nguoi tham du. Hoi c´ mˆy c´ch chon mˆt chu toa ı . o ˆ . o ’ o . .’ . . v` mˆt thu k´? a o . ’ y ’ Giai ˜ o a o ’ . ’ y ` ’` ’ Mˆi c´ch chon mˆt chu toa v` mˆt thu k´ tu 12 nguoi tham du buˆi hop l` mˆt a o . . . ’ ’ .’ o . a o . ’ ’ a ’’ ` chinh hop chˆp k cua 12 phˆn tu. .’ a . 1
2 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a ´ Do d´ sˆ c´ch chon l` A2 = 12.11 = 132. ¯o o a . a 12 ´ a ’ ´ ˜ o o e’ a ¯ ’.’ ´ ` • V´ du 3 Voi c´c chu sˆ 0,1,2,3,4,5 c´ thˆ lˆp duoc bao nhiˆu sˆ kh´c nhau gˆm 4 ı . ’ . e o a o ’ ´ ˜ o chu sˆ. ’ Giai ´ ´ ` ` a o ˘ ¯a ˘ ’ ´ ˜ o ’ a o o´ ` ’ ´ ˜ o C´c sˆ bat dˆu bang chu sˆ 0 (0123, 0234,...) khˆng phai l` sˆ gˆm 4 chu sˆ. o ’ ´ ` e ˜ o ¯a ’ ’ ´ ˜ o ’ ´ ˜ o Chu sˆ dˆu tiˆn phai chon trong c´c chu sˆ 1,2,3,4,5. Do do c´ 5 c´ch chon chu sˆ . a ¯´ o a . ¯a` dˆu tiˆn. e Ba chu sˆ kˆ tiˆp c´ thˆ’ chon t`y y trong 5 chu sˆ c`n lai. C´ A3 c´ch chon. ’ ´ ´ ´ ˜ o e e o e . u ´ ’ ´ ˜ o o . o 5 a . . ´ Vˆy sˆ c´ch chon l` 5.A3 = 5.(5.4.3) = 300 a o a . a 5 1.3 ’ Chinh hop l˘p . a ’ . D. ˜ ’ .’ a. a . ’ a ’’ a o ` . o o ´ .’ o 2 ¯ inh nghia 2 Chinh hop l˘p chˆp k cua n phˆn tu l` mˆt nh´m c´ thu tu gˆm k ’ ` a ’’ . ` ` ’ a ’’ ¯˜ ` ¯o o ˜ a ’’ o e ` ’ c´ m˘t 1,2,...,k lˆn trong phˆn tu chon tu n phˆn tu da cho, trong d´ mˆi phˆn tu c´ thˆ o a . a` nh´m. o ´ o ’ ’ a ’’ ¯ ’.’ ı e ` k Sˆ chinh hop l˘p ch˘p k cua n phˆn tu duoc k´ hiˆu Bn . .’ a. a . . o ´ ınh Cˆng thuc t´ ’ k Bn = nk ´ e ´ o a a a ’ o e a ´ • V´ du 4 Xˆp 5 cuˆn s´ch v`o 3 ng˘n. Hoi c´ bao nhiˆu c´ch xˆp ? ı . e ’ Giai ˜ ´ ´ o a a a a o . ’ .’ a. a . ’ ˜ ` Mˆi c´ch xˆp 5 cuˆn s´ch v`o 3 ng˘n l` mˆt chinh hop l˘p chˆp 5 cua 3 (Mˆi lˆn o a e o a ´ ´ a ’ . a a o ´ xˆp 1 cuˆn s´ch v`o 1 ng˘n xem nhu chon 1 ng˘n trong 3 ng˘n. Do c´ 5 cuˆn s´ch nˆn e o a a o a e . . a ¯ ’ .’ e´ h`nh 5 lˆn). viˆc chon ng˘n duoc tiˆn a e a` ´ a o a . ´ Vˆy sˆ c´ch xˆp l` B3 = 35 = 243. e a 5 1.4 Ho´n vi a . ˜ a . ’ a ’’ a o ` o ´ .’ o ¯’ a ` ` 2 ¯ inh nghia 3 Ho´n vi cua m phˆn tu l` mˆt nh´m c´ thu tu gˆm du m˘t m phˆn D. . o ’ . a ’’ da cho. tu ¯˜ ´ o a . ’ a ’’ ¯ ’.’ ı e a ` Sˆ ho´n vi cua m phˆn tu duoc k´ hiˆu l` Pm . . o ´ ınh Cˆng thuc t´ ’ Pm = m! ı . o a o . . ’ o a a´ ´ e ˜ ` • V´ du 5 Mˆt b`n c´ 4 hoc sinh. Hoi c´ mˆy c´ch xˆp chˆ ngˆi ? o o ’ Giai ˜ o a ´ e ˜ o ’ . ’’ o a a o . . a . ’ a ’’ ` ´ Mˆi c´ch xˆp chˆ cua 4 hoc sinh o mˆt b`n l` mˆt ho´n vi cua 4 phˆn tu. Do d´ sˆ ¯o o a ´ c´ch xˆp l` P4 = 4! = 24. e a
’ ` e ’ ıch o .’’ 1. Bˆ t´ c vˆ giai t´ tˆ hop o u 3 1.5 ’ ’ Tˆ hop o . D. ˜ ’ o .’ a. ’ a ’’ ` 2 ¯ inh nghia 4 Tˆ hop chˆp k cua n phˆn tu (k ≤ n) l` mˆt nh´m khˆng phˆn biˆt a o . o o a e . ´ tu, gˆm k phˆn tu kh´c nhau chon tu n phˆn tu da cho. thu .’ o ’ ` a` ’’ a . `’ a` ’’ ¯˜ ´ ’ ’ a ’’ ı e a k ` Sˆ tˆ hop chˆp k cua n phˆn tu k´ hiˆu l` Cn . o o .’ a . . o ´ ınh Cˆng thuc t´ ’ k n! n(n − 1) . . . (n − k + 1) Cn = = k!(n − k)! k! Ch´ y u´ ’´ i) Qui uoc 0! = 1. ’ k n−k ii) Cn = Cn . k k−1 k iii) Cn = Cn−1 + Cn−1 . ı . ˜ o ¯e` o` a ´ ’ a a ’ ’´ ’ o e’ a • V´ du 6 Mˆi dˆ thi gˆm 3 cˆu hoi lˆy trong 25 cˆu hoi cho truoc. Hoi c´ thˆ lˆp ’ . e e ¯e ` nˆn bao nhiˆu dˆ thi kh´c nhau ? a ’ Giai 25! 25.24.23 Sˆ dˆ thi c´ thˆ’ lˆp nˆn l` C25 ´ o ¯e` o e a e a 3 . = = = 2.300. 3!.(22)! 1.2.3 ı . o a ı . o o’ ’ ’’ . o ` ¯ e’ a y o o ˜ ’ ´ ˜ ’ • V´ du 7 Mˆt m´y t´nh c´ 16 cˆng. Gia su tai mˆi thoi diˆm bˆt k` mˆi cˆng ho˘c a . trong su dung ho˘c khˆng trong su dung nhung c´ thˆ’ hoat dˆng ho˘c khˆng thˆ hoat ’’ . a . o ’’ . ’ o e . ¯o . a . o e’ . . ’ o e a ı´ a . ¯o o’ ’’ . dˆng. Hoi c´ bao nhiˆu cˆu h`nh (c´ch chon) trong d´ 10 cˆng trong su dung, 4 khˆng ¯o o ’’ dung nhung c´ thˆ’ hoat dˆng v` 2 khˆng hoat dˆng? trong su . ’ o e . ¯o . a o . ¯o . ’ Giai De’ a ¯i ´ ’´ ¯ ˆ x´c d.nh sˆ c´ch chon ta qua 3 buoc: o a . ’ ’´ ’ ’’ . o 10 Buoc 1: Chon 10 cˆng su dung: c´ C16 = 8008 c´ch. ’ . o a Buoc 2: Chon 4 cˆng khˆng trong su dung nhung c´ thˆ’ hoat dong trong 6 cˆng c`n ’´ ’ . o’ o ’’ . ’ o e . ¯ˆ . o’ o 4 lai: c´ C6 = 15 c´ch. . o a Buoc 3: Chon 2 cˆng khˆng thˆ’ hoat dˆng: c´ C2 = 1 c´ch. ’´ ’ . o’ o e . ¯o . o 2 a ´ ˘ o 10 4 2 Theo qui tac nhˆn, ta c´ C16 .C6 .C2 = (8008).(15).(1) = 120.120 c´ch. a a 1.6 ´ Nhi thuc Newton . ’ ’’ o o ’ ´ ¯˜ e a ˘ ¯˘ ` ’ ´ ¯a ´ O phˆ thˆng ta da biˆt c´c hang dang thuc d´ng nho ’ ’ a + b = a 1 + b1 (a + b)2 = a2 + 2a1 b1 + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2 b1 + 3a1 b2 + b3 . ´ a e o ` a ˘ ¯˘ ’ C´c hˆ sˆ trong c´c hang dang thuc trˆn c´ thˆ’ x´c d.nh tu tam gi´c Pascal ´ e o e a ¯i ’ ` ’ a
4 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 0 1 2 3 4 n−1 n Cn Cn Cn Cn Cn ... Cn Cn ¯˜ ´ ’ ’ ´ o . ´ Newton da chung minh duoc cˆng thuc tˆng qu´t sau (Nhi thuc Newton): ’ ¯ ’ .’ o a ’ n (a + b)n = Cn an−k bk k k=o = Cn an + Cn an−1 b + Cn an−2 b2 + . . . + Cn an−k bk + . . . + Cn abn−1 + Cn bn 0 1 2 k n−1 n ´ a a o .’ ´ (a,b l` c´c sˆ thuc; n l` sˆ tu nhiˆn) a o .’ e 2. ´ ˆ ´ ˆ ` ˆ ˜’ ´ ´ ˆ ´ ˆ BIEN CO VA QUAN HE GIUA CAC BIEN CO . 2.1 ’ a e o´ ´ Ph´p thu v` biˆn cˆ e ’ Viˆc thuc hiˆn mˆt nh´m c´c diˆu kiˆn co ban dˆ’ quan s´t mˆt hiˆn tuong n`o do e . .’ e . o . o a ¯ e` e . ’ ’ ¯e a o . e . ’ .’ a ¯´ ’’ C´c kˆt qua c´ thˆ’ xay ra cua ph´p thu duoc goi l` biˆn cˆ (su duoc goi mˆt ph´p thu. a e ¯ ’ .’ . o . e ´ ’ o e ’ ’ e ´ ´ ’’ ¯ ’ .’ . a e o .’ kiˆn). e . • V´ du 8 ı . ` e` e a o ’’ Do` e` a a a ¯o a ´ ’’ a o i) Tung dˆng tiˆn lˆn l` mˆt ph´p thu. ¯ ˆng tiˆn lˆt m˘t n`o d´ (xˆp, ngua) l` mˆt ¯o . e . . . ´ ´ biˆn cˆ. e o ´ ˘ o . a u a o a . a o. e ’’ ii) Ban mˆt ph´t s´ng v`o mˆt c´i bia l` mˆt ph´p thu. Viˆc viˆn dan tr´ng (trˆt) e . e ¯. u a . ´n cˆ. bia l` mˆt biˆ o a o e . ´ 2.2 a ´ ´ e o a e ˜ a . ’ ´ ´ C´c biˆn cˆ v` quan hˆ giua c´c biˆn cˆ e o i) Quan hˆ k´o theo e e . ´ ´ e o ¯ ’ .’ . a e ´ ´ e o ı e . ´ e ’ ı ’ Biˆn cˆ A duoc goi l` k´o theo biˆn cˆ B, k´ hiˆu A ⊂ B, nˆu A xay ra th` B xay ra. ii) Quan hˆ tuong duong e ’’ . ¯’’ ´ ´ a ¯ ’ .’ . a ’ ’ ¯ ’ ’ ´’ ´ Hai biˆn cˆ A v` B duoc goi l` tuong duong voi nhau nˆu A ⊂ B v` B ⊂ A, k´ hiˆu e o e a ı e . A = B. ´ ´ ´ iii) Biˆn cˆ so cˆp e o ’ a Biˆn cˆ so cˆp l` biˆn cˆ khˆng thˆ’ phˆn t´ duoc nua duoc nua. ´ ´ ´ e o ’ a a e o o ´ ´ e a ıch ¯ ’ .’ ˜ ¯ ’ .’ ’ ’ ´ ´ ´ e o ˘ ´ ˘ iv) Biˆn cˆ chac chan ´ ´ ´ e ’ .’ e . e ’’ ı e L` biˆn cˆ nhˆt d.nh s˜ xay ra khi thuc hiˆn ph´p thu. K´ hiˆu Ω. a e o a ¯i .
´ o a ´ e ˜ a ´ o ´ 2. Biˆn cˆ v` quan hˆ giua c´c biˆn cˆ e . ’ e 5 u ˘ ´ ´ ´ . ´ u ˘ o o a ´ ´ e ’ • V´ du 9 Tung mˆt con x´c xac. Biˆn cˆ m˘t con x´c xac c´ sˆ chˆm b´ hon 7 l` ı . o . e o a a biˆ ˆ e ´ ˘ ´ ´ ´n co chac chan. ˘ ´ ´ o v) Biˆn cˆ khˆng thˆ e o e’ ´ ´ ´ o ’ .’ e . e ’’ ı e L` biˆn cˆ nhˆt d.nh khˆng xay ra khi thuc hiˆn ph´p thu. K´ hiˆu ∅. a e o a ¯i . ⊕ Nhˆn x´t Biˆn cˆ khˆng thˆ’ ∅ khˆng bao h`m mˆt biˆn cˆ so cˆp n`o, nghia l` a . e ´ ´ e o o e o a o . ´ ´ ´ a e o ’ a ˜ a o o e ´ cˆ so cˆp n`o thuˆn loi cho biˆn cˆ khˆng thˆ’. ´ ’ a a khˆng c´ biˆn o ´ a .’ . e o ´ o e ´ ´ a ˜ vi) Biˆn cˆ ngˆu nhiˆn e o e L` biˆn cˆ c´ thˆ’ xay ra ho˘c khˆng xay ra khi thuc hiˆn ph´p thu. Ph´p thu m` ´ ´ a e o o e ’ a . o ’ .’ e . e ’’ e ’’ a ´ ’ ’ ´ ´ ˜ ’’ a˜ c´c kˆt qua cua n´ l` c´c biˆn cˆ ngˆu nhiˆn duoc goi l` ph´p thu ngˆu nhiˆn. a e o a a e o a e ¯ ’ .’ . a e e ´ ´ ’ vii) Biˆn cˆ tˆng e o o ´ ´ ’ ’ ´ ´ ´ ’ Biˆn cˆ C duoc goi l` tˆng cua hai biˆn cˆ A v` B, k´ hiˆu C = A + B, nˆu C xay e o ¯ ’ .’ . a o e o a ı e. e a ıt a´ o . ´ ´ ra khi v` chi’ khi ´ nhˆt mˆt trong hai biˆn cˆ A v` B xay ra. e o a ’ ı . ’` .’ a u ’ ´ ˘ a o . u e .´ a e o´ ´ ’` • V´ du 10 Hai nguoi tho s˘n c`ng ban v`o mˆt con th´. Nˆu goi A l` biˆn cˆ nguoi ’ thu ˆ ’ ´ ˘ ´ u u a a e ´ o ´ ’` ´’ ’ ´ u ´ nhat ban tr´ng con th´ v` B l` biˆn cˆ nguoi thu hai ban tr´ng con th´ th` C = A+B ˘ u ı l` biˆ o a e ´ u . ˘´ ´n cˆ con th´ bi ban tr´ng. u Ch´ y u´ i) Moi biˆn cˆ ngˆu nhiˆn A dˆu biˆ’u diˆn duoc duoi dang tˆng cua mˆt sˆ biˆn cˆ . ´ ´ ˜ e o a e ¯e` e ˜ e ¯ ’ .’ ’´ . ’ o’ ’ . ´ ´ ´ o o e o ´ ’ a a ¯´ a ´ ´ e o ’ a ´ o’ a ¯ ’ .’ . a a ´ ´ so cˆp n`o do. C´c biˆn cˆ so cˆp trong tˆng n`y duoc goi l` c´c biˆn cˆ thuˆn loi cho e o a .’ . ´ cˆ A. biˆn o e ´ ii) Biˆn cˆ chac chan Ω l` tˆng cua moi biˆn cˆ so cˆp c´ thˆ’, nghia l` moi biˆn cˆ ´ ´ ´ e o ˘ ´ ˘ a o ’ ’ . ´ ´ ´ e o ’ a o e ˜ a . ´ ´ e o ´ ’ a ¯e` a .’ . ¯´ o ¯ ’ .’ . a o a ´ ´ so cˆp dˆu thuˆn loi cho Ω. Do do Ω c`n duoc goi l` khˆng gian c´c biˆn cˆ so cˆp. e o ’ a ´ ı . o. u ˘ ´ o ´ ´ e o ’ a ´ • V´ du 11 Tung mˆt con x´c xac. Ta c´ 6 biˆn cˆ so cˆp A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , trong a e ´n cˆ xu´t hiˆn m˘t j chˆm j = 1, 2, . . . , 6. d´ Aj l` biˆ o ¯o ´ a e . a . ´ a . ´ ´ ´ e . a ´ o a . ’ ´ ´ ˜ ˘ ı o ´ ´ Goi A l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t voi sˆ chˆm chan th` A c´ 3 biˆn cˆ thuˆn loi l` a e o a e o a .’ a . A2 , A 4 , A 6 . Ta c´ A = A2 + A4 + A6 o . ´ ´ ´ . a ´ o a . ’ ´ ´ ´ e ı o ´ ´ Goi B l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t voi sˆ chˆm chia hˆt cho 3 th` B c´ 2 biˆn cˆ thuˆn a e o a e e o a . loi l` A3 , A6 . .’ a Ta c´ B = A3 + A6 o ´ ´ viii) Biˆn cˆ t´ e o ıch ´ ´ e o ¯ ’ .’ . a ıch ’ ´ ´ e o a ı e . ´ e ’ Biˆn cˆ C duoc goi l` t´ cua hai biˆn cˆ A v` B, k´ hiˆu AB, nˆu C xay ra khi v` a ˜ chi’ khi ca A lˆn B c`ng xay ra. ’ a u ’
6 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a ı . ’` u ’ ´ ˘ a • V´ du 12 Hai nguoi c`ng ban v`o mˆt con th´. o . u ´ ´ ’` ’ ´ ´ ’ ´ a ˘ ´ ´ ’` ’ ´ ´ ˘ Goi A l` biˆn cˆ nguoi thu nhˆt ban truot, B l` biˆn cˆ nguoi thu hai ban truot th` . a e o ’.’ a e o ’ ’.’ ı C = AB l` biˆn o a e ´ u o . ˘´ ´ cˆ con th´ khˆng bi ban tr´ng. u ´ ´ . ix) Biˆn cˆ hiˆu e o e . ´ ´ e o ´ ´ a e o ı e . ´ ´ Hiˆu cua biˆn cˆ A v` biˆn cˆ B, k´ hiˆu A \ B l` biˆn cˆ xay ra khi v` chi’ khi A e ’ a e o ’ a ’ ’ xay ra nhung B khˆng xay ra. ’ o ´ ´ ´ ˘ x) Biˆn cˆ xung khac e o ´ ´ ´ ´ ´ ´ ˘ e ` ` Hai biˆn cˆ A v` B duoc goi l` hai biˆn cˆ xung khac nˆu ch´ng khˆng dˆng thoi e o a ¯ ’ .’ . a e o u o ¯o ’ ’ o . e ’’ xay ra trong mˆt ph´p thu. ı . o ¯o . ` e` • V´ du 13 Tung mˆt dˆng tiˆn. . ´ ´ ´ . . ´ a a ´ ´ ´ . a e o a e a . ’’ Goi A l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t xˆp, B l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t ngua th` AB = ∅. a e o a e ı ´ ´ ´ . xi) Biˆn cˆ dˆi lˆp e o ¯o a ´ ´ e o o ’ e o ¯ ’ .’ . a e o ¯o a ´ e o ´ ´ ´ ´ ´ . ’ ´ ´ Biˆn cˆ khˆng xay ra biˆn cˆ A duoc goi l` biˆn cˆ dˆi lˆp voi biˆn cˆ A. K´ hiˆu A. ı e . Ta c´ o A + A = Ω, AA = ∅ ⊕ Nhˆn x´t a . e . e ´ a a ´ ´ ’ e o o ´ . ıch, e ¯o a . ’’ ´ Qua c´c kh´i niˆm trˆn ta thˆy c´c biˆn cˆ tˆng, t´ hiˆu, dˆi lˆp tuong ung voi a a e ’ ´’ . .’ . ` b` cua l´ thuyˆt tˆp hop. Do d´ ta c´ thˆ’ su dung c´c ph´p tˆp hop, giao, hiˆu, phˆn u a e a ’ y ´ a e . .’ ¯o o e ’’ . a e e a a . .’ a e a e a ´ ´ to´n trˆn c´c tˆp hop cho c´c ph´p to´n trˆn c´c biˆn cˆ. a e o Ta c´ thˆ’ d`ng biˆ’u dˆ Venn dˆ’ miˆu ta c´c biˆn cˆ. o e u e ¯o ` ¯e e ’ a ´ ´ e o Ω Ω Ω ´ ˘ ´ ˘ Bc chac chan A+B AB Ω Ω Ω A B A B A A A=⇒B ´ ˘ A,B xung khac ´ . ¯ ˆi lˆp A Do a
´ 3. X´c suˆt a a 7 3. ´ ´ ˆ XAC SUAT 3.1 ˜ a ´ ´ ’ ’ ¯ inh nghia x´c suˆt theo lˆi cˆ diˆn D. a o o ¯e 2 ¯ inh nghia 5 Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra, trong d´ D. ˜ ’ ’’ e ’’ o ´ ´ ` e o ¯o ’ a o e ’ ¯o c´ m biˆ o o e ´ ¯o` ’ a a .’ . e´ o ´ a o’ ´n cˆ dˆng kha n˘ng thuˆn loi cho biˆn cˆ A (A l` tˆng cua m biˆn cˆ so cˆp ’ e´ o ’ a ´ ´ a ¯o a ´ a ’ ´ ´ e o ı e. ¯ ’.’ ¯i ˜ ˘` o ´ n`y). Khi d´ x´c suˆt cua biˆn cˆ A, k´ hiˆu P (A) duoc d. nh nghia bang cˆng thuc sau: ’ m ´ o ’` Sˆ truong hop thuˆn loi cho A ’ .’ a .’ . P (A) = = n ` ’ ´ truong hop c´ thˆ xay ra Sˆ ’ ’ o .’ o e ’ o . ´ u ˘ a ¯o ¯o ´ ` ´ a ınh a ´ a ´ e • V´ du 14 Gieo mˆt con x´c xac cˆn dˆi, dˆng chˆt. T´ x´c suˆt xuˆt hiˆn m˘t ı . a . a . ˜ ˘ chan. ’ Giai . ´ ´ ´ e a e o a . a . ´ a a ´ ´ ´ e a e o a . a . ˜ ˘ Goi Ai l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t i chˆm v` A l` biˆn cˆ xuˆt hiˆn m˘t chan th` ı A = A2 + A4 + A6 Ta thˆy ph´p thu c´ 6 biˆn cˆ so cˆp dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra trong d´ c´ 3 ´ a e ’’ o ´ ´ e o ’ a ¯o´ ` ’ a o e ’ ¯o o ´ ´ biˆn cˆ thuˆn loi cho A. e o a .’ . 3 1 P (A) = = 6 2 ı . o . ’` . ¯ e ’ . . ’ . e ´ ´ o o ’ o ¯e ´ . . a ` • V´ du 15 Mˆt nguoi goi diˆn thoai nhung lai quˆn 2 sˆ cuˆi cua sˆ diˆn thoai cˆn . ´ a ’ ´ ım a ´ goi m` chi’ nho l` 2 sˆ d´ kh´c nhau. T` x´c suˆt dˆ a o ¯o a a ¯e ’ nguoi d´ quay ngˆu nhiˆn mˆt ’` ¯o ’ ˜ a e o. lˆn u a o´ a . ` tr´ng sˆ cˆn goi. ` ’ Giai . ´ ´ ’` ¯o ’ ˜ a e . ` u o a ´ ` Goi A l` biˆn cˆ nguoi d´ quay ngˆu nhiˆn mˆt lˆn tr´ng sˆ cˆn goi. a e o o a . Sˆ biˆn cˆ so cˆp dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra (sˆ c´ch goi 2 sˆ cuˆi) l` n = A2 = 90. ´ ´ ´ o e o ’ a ¯o ´ ` ’ a o e ’ ´ o a . ´ ´ o o a 10 ´ ´ ´ Sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho A l` m = 1. o e o a .’ . a 1 Vˆy P (A) = a . 90 . • V´ du 16 Trong hˆp c´ 6 bi trang, 4 bi den. T` x´c suˆt dˆ’ lˆy tu hˆp ra duoc ı . o o . ´ ˘ ¯ ım a ´ ´ ’ . a ¯e a ` o ¯ ’.’ i) 1 viˆn bi den. e ¯ ´ ˘ ii) 2 viˆn bi trang. e ’ Giai . ´ ´ ´ ’ . a e o a ` o ¯ ’ .’ e ¯ a ´ ´ ´ ’ . a e o a ` o Goi A l` biˆn cˆ lˆy tu hˆp ra duoc 1 viˆn bi den v` B l` biˆn cˆ lˆy tu hˆp ra 2 ´ng. ˘ viˆn bi tra e Ta c´ o
8 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a 1 C4 2 i) P (A) = 1 = C10 5 2 C6 1 ii) P (B) = 2 = C10 3 u ˜ a ’ . ˜ e ` o o a u ’ ’ a a ım a ´ • V´ du 17 R´t ngˆu nhiˆn tu mˆt cˆ b`i t´ lo kho 52 l´ ra 5 l´. T` x´c suˆt sao ı . a cho trong 5 l´ r´t ra c´ a u o a ¯’ a a ¯ a) 3 l´ do v` 2 l´ den. ’ o o` b) 2 con co, 1 con rˆ, 2 con chuˆn. ’ Giai . ´ ´ a e o u ¯ ’ .’ a ¯’ a a ¯ Goi A l` biˆn cˆ r´t ra duoc 3 l´ do v` 2 l´ den. a e ´ cˆ r´t ra duoc 2 con co, 1 con rˆ, 2 con chuˆn. B l` biˆn o´ u ¯ ’ .’ ’ o o` Sˆ biˆn cˆ c´ thˆ’ xay ra khi r´t 5 l´ b`i l` C52 . ´ ´ ´ o e o o e ’ u a a a 5 ´ ´ ´ o e o a .’ . a 3 2 a) Sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho A l` C26 .C26 . 3 2 C26 .C26 845000 P (A) = 5 = = 0, 3251 C52 2598960 ´ ´ ´ o e o a .’ . a 2 1 2 b) Sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho B l` C13 .C13 .C13 2 1 2 C13 .C13 .C13 79092 P (B) = 5 = = 0, 30432 C52 2598960 ı . a a a o . o o` ’`’ ım a a ¯e’ o ıt ´ • V´ du 18 (B`i to´n ng`y sinh) Mˆt nh´m gˆn n nguoi. T` x´c suˆt dˆ c´ ´ ´t hai nguoi c´ c`ng ng`y sinh (c`ng ng`y v` c`ng th´ng). nhˆ a ` o u ’’ a u a a u a ’ Giai Goi S l` tˆp hop c´c danh s´ch ng`y sinh c´ thˆ’ cua n nguoi v` E l` biˆn cˆ c´ ´ . a a . .’ a a a o e ’ ’` a ’ ´ ´ a e o o ıt ´ ’` nhˆt hai nguoi trong nh´m c´ c`ng ng`y sinh trong n˘m. a ’ o o u a a ´ ´ a e o o o ’ ´ ’` a y Ta c´ E l` biˆn cˆ khˆng c´ hai nguoi bˆt k` trong nh´m c´ c`ng ng`y sinh. o o o u a ´ ’` .’ ’ Sˆ c´c truong hop cua S l` o a ’ a n(S) = 365.365 . . . 365 = 365n n ´ o ’` Sˆ truong hop thuˆn loi cho E l` ’ .’ a .’ . a n(E) = 365.364.363. . . . [365 − (n − 1)] [365.364.363. . . . (366 − n)](365 − n)! = (365 − n)! 365! = (365−n)!
´ 3. X´c suˆt a a 9 ı a ´ ` e o ¯o ’ a V` c´c biˆn cˆ dˆng kha n˘ng nˆn e 365! n(E) (365−n)! 365! P (E) = = n = n .(365 − n)! n(S) 365 365 Do d´ x´c suˆt dˆ’ ´ nhˆt c´ hai nguoi c´ c`ng ng`y sinh l` ¯o a ´ a ¯e ıt a o´ ’` o u ’ a a 365! (365−n)! 365! P (E) = 1 − P (E) = 1 − = 365n 365n .(365 − n)! ´ ’` Sˆ nguoi trong nh´m o ’ o ´ ´ ’` o u X´c suˆt c´ ´ nhˆt 2 nguoi c´ c`ng ng`y sinh a a o ıt a ’ a n P (E) 5 0,027 10 0,117 15 0,253 20 0,411 23 0,507 30 0,706 40 0,891 50 0,970 60 0,994 70 0,999 ’ Bang b`i to´n ng`y sinh a a a Ch´ y ¯ inh nghia x´c suˆt theo lˆi cˆ diˆ’n c´ mˆt sˆ han chˆ: u ´ D. ˜ a ´ a ´ ’ o o ¯e o o o . . ´ ´ e o e . ’ ´ ´ e o ’ a ´ i) N´ chi’ x´t cho hˆ huu han c´c biˆn cˆ so cˆp. e ˜ . a ’ u a ` ’ a ’ ii) Khˆng phai l´c n`o viˆc ”¯ˆng kha n˘ng” c˜ng xay ra. o e do . u 3.2 ˜ a ´ ´ ´ ¯ inh nghia x´c suˆt theo lˆi thˆng kˆ D. a o o e D. ˜ .’ e . e ’’ a` ´ ´ ’ ’’ e o ´ e a . a` 2 ¯ inh nghia 6 Thuc hiˆn ph´p thu n lˆn. Gia su biˆn cˆ A xuˆt hiˆn m lˆn. Khi ` ´ ¯ ’.’ . a a o ’ ´ ´ e o a ’ o´ ¯ ’.’ . a a m ` ´ ´ . ´ d´ m duoc goi l` tˆn sˆ cua biˆn cˆ A v` ty sˆ n duoc goi l` tˆn suˆt xuˆt hiˆn biˆn ¯o a a e e ´ cˆ A trong loat ph´p thu. o . e ’’ ´ o e ’’ a e o . a` ´ a ´ e a . ´ ´ e o ` . ´ a e` o o a Cho sˆ ph´p thu t˘ng lˆn vˆ han, tˆn suˆt xuˆt hiˆn biˆn cˆ A dˆn vˆ mˆt sˆ x´c ´ a ’ ´ ´ d. nh goi l` x´c suˆt cua biˆn cˆ A. ¯i . a a e o m P (A) = n→∞ lim n . ´ e ¯. a o a´ • V´ du 19 Mˆt xa thu ban 1000 viˆn dan v`o bia. C´ xˆp xi’ 50 viˆn tr´ng bia. Khi ı . o . ’ ˘ e u ¯o a a ’ . ’ ˘ ´ ´t dˆ xa thu ban tr´ng bia l` 50 = 5%. d´ x´c suˆ ¯e u a 1000 • V´ du 20 ¯ ˆ’ nghiˆn cuu kha n˘ng xuˆt hiˆn m˘t sˆp khi tung mˆt dˆng tiˆn, nguoi ı . De e ´ ’ ’ a ´ . a e . ´ a a o ¯o . ` e` ’` ’ ´ e a ¯o` e` e` a a ` ¯ ’.’ e´ ’ ’’ ’ ´ ¯a ta tiˆn h`nh tung dˆng tiˆn nhiˆu lˆn v` thu duoc kˆt qua cho o bang duoi dˆy: ’’
10 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a ’` a ´ ` ´ ` ` Nguoi l`m Sˆ lˆn Sˆ lˆn duoc Tˆn suˆt ’ o a o a ¯ ’ .’ a ´ a th´ nghiˆm tung ı e . . ´ m˘t sˆp a a f (A) Buyﬀon 4040 2.048 0,5069 Pearson 12.000 6.019 0,5016 Pearson 24.000 12.012 0,5005 3.3 ˜ a ´ ’ ¯ inh nghia x´c suˆt theo quan diˆm h` hoc D. a ¯e ınh . D. ˜ e o . e ’’ o o a ´ ´ e o ’ a ´ ¯ ’.’ e’ ˜ 2 ¯ inh nghia 7 X´t mˆt ph´p thu c´ khˆng gian c´c biˆn cˆ so cˆp Ω duoc biˆu diˆn e boi miˆn h`nh hoc Ω c´ dˆ do (¯ˆ d`i, diˆn t´ch, thˆ’ t´ ’’ ` e ı . o ¯o ¯ do a . . e ı . ˜ . ´ ´ e ıch) huu han kh´c 0, biˆn cˆ A ’ a e o duoc biˆ’u diˆn boi miˆn h` hoc A. Khi do x´c suˆt cua biˆn cˆ A duoc x´c d. nh boi: ¯ ’.’ e ˜ e ’’ ` e ınh . ¯´ a ´ a ’ ´ ´ ¯ ’.’ a ¯i e o ’’ o ¯ ’ e` Dˆ do cua miˆn A P (A) = ¯ . Do ¯ ’ ` ¯ ˆ do cua miˆn Ω . e e ¯ . ’ ˘ a˜ e ¯ e’ • V´ du 21 Trˆn doan thang OA ta gieo ngˆu nhiˆn hai diˆm B v` C c´ toa dˆ tuong ı . a o . ¯o ’ ’ . ung ’ ı a ´ ´ OB = x, OC = y (y ≥ x). T`m x´c suˆt sao cho dˆ d`i cua doan BC b´ hon dˆ a ¯o a . ’ ¯ . e ’ ¯o . a ’ ¯ . d`i cua doan OB. ’ Giai ’ ’’ ’ Gia su OA = l. C´c toa dˆ x v` y phai a . ¯o a y . ’ a a ¯ e` e thoa m˜n c´c diˆu kiˆn: . I M Q 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l, y≥x (*) y=2x Biˆ’u diˆn x v` y lˆn hˆ truc toa do vuˆng e ˜ e a e e . . ¯ˆ o . . g´c. C´c diˆ o a ¯e ’m c´ toa do thoa m˜n (*) thuˆc o . ¯ˆ ’ . a o . tam gi´c OM Q (c´ thˆ a o e ’ xem nhu biˆn cˆ chac ’ e ´ ´ ´ o ˘ ˘´ chan). O x M˘t kh´c, theo yˆu cˆu b`i to´n ta phai c´ y − x < x hay y < 2x (**). Nhung diˆ’m a . a ` e a a a ’ o ˜ ¯e ’ o . ¯ˆ ’ . a a o . e` o . e` a .’ . ´ cˆ cˆn t` e ´ a ım c´ toa do thoa m˜n (*) v` (**) thuˆc miˆn c´ gach. Miˆn thuˆn loi cho biˆn o ` a a a . ´ ` l` tam gi´c OM I. Vˆy x´c suˆt cˆn t´ a a a ınh diˆn t´ OM I e ıch . 1 p= = diˆn t´ OM Q e ıch . 2 a a ` • V´ du 22 (B`i to´n hai nguoi g˘p nhau) ı . ’’ a . Hai nguoi hen g˘p nhau o mˆt d. a dıˆ’m x´c d. nh v`o khoang tu 19 gio dˆn 20 gio. ’` . a ’ . ’’ o ¯i ¯ e . a ¯i a ’ `’ ’ ´ ` ¯e ` ’ Mˆi nguoi dˆn (chac chan s˜ dˆn) diˆ’m hen trong khoang thoi gian trˆn mˆt c´ch dˆc ˜ o ’ ’ ´ ` ¯e ´ ˘ ´ ´ ˘ e ¯e ¯ e . ’ `’ e o a ¯o . . a ´ . ’ `’ u ´ e o a´ ’` ’ ´ ¯e e ’ ¯ lˆp voi nhau, cho trong 20 ph´t, nˆu khˆng thˆy nguoi kia dˆn s˜ bo di. T` x´c suˆt ım a a´ ¯e’ ’` a dˆ hai nguoi g˘p nhau. ’ .
´ 3. X´c suˆt a a 11 ’ Giai Goi x, y l` thoi gian dˆn diˆ’m hen cua mˆi nguoi . a ` ’ ´ ¯e ¯ e . ’ ˜ o ’`’ a a e ´ cˆ hai nguoi g˘p nhau. R˜ r`ng x, y v` A l` biˆn o ´ ’` a ’ . o a l` mˆt diˆ’m ngˆu nhiˆn trong khoang [19, 20], ta a o ¯e . a˜ e ’ y c´ 19 ≤ x ≤ 20; o 19 ≤ y ≤ 20. 20 D De’ ’` a ¯ ˆ hai nguoi g˘p nhau th` ’ . ı A 1 ` 19 |x − y| ≤ 20 ph´t = 3 gio. u ’ Do d´ ¯o Ω = {(x, y) : 19 ≤ x20, 19 ≤ y ≤ 20} o 19 20 x 1 A = {(x, y) : |x − y| ≤ } 3 e ıch ’ e` ` ˘ Diˆn t´ cua miˆn Ω bang 1. . e ıch ’ . e` ` Diˆn t´ cua miˆn A bang 1 − 2. 2 . 2 . 2 = ˘ 1 5 3 3 9 diˆn t´ A e ıch 5/9 Vˆy P (A) = . a . = = 0, 555. diˆn t´ Ω e ıch . 1 3.4 ˜ a ´ ` ¯ inh nghia x´c suˆt theo tiˆn dˆ D. a e ¯e ’ ’’ ´ ´ ´ a e o ˘ ´ ˘ ’ ’ a ¯ e` e Gia su Ω l` biˆn cˆ chac chan. Goi A l` ho c´c tˆp con cua Ω thoa c´c diˆu kiˆn . a . a a . . sau: ´ i) A chua Ω. ’ ´ ii) Nˆu A, B ∈ A th` A, A + B, AB thuˆc A. e ı o . . ’ a e ¯e` a ı ¯ ’.’ . a ¯. o ´ Ho A thoa c´c tiˆn dˆ i) v` ii) th` A duoc goi l` dai sˆ. ´ a ’’ ’ ` ’ iii) Nˆu A1 , A2 , . . . , An , . . . l` c´c phˆn tu cua A th` tˆng v` t´ vˆ han A1 + A2 + e a a ı o a ıch o . . . . + An v` A1 A2 . . . An . . . c˜ng thuˆc A. a u o . ´ e ’ a ¯ e` e . ı ¯ ’ .’ . a ¯ . o ´ Nˆu A thoa c´c diˆu kiˆn i), ii), iii) th` A duoc goi l` σ dai sˆ. ˜ ´ a e a o a . ´ 2 ¯ inh nghia 8 Ta goi x´c suˆt trˆn (Ω, A) l` mˆt h`m P sˆ x´c d. nh trˆn A c´ gi´ D. . a o a ¯i e o a . a ’ tri trong [0,1] v` thoa m˜n 3 tiˆn dˆ a e ¯e ` sau: i) P (Ω) = 1. ´ ´ ˘ ii) P (A + B) = P (A) + P (B) (voi A, B xung khac). ’ ´ o ı ´ iii) Nˆu d˜y {An } c´ t´nh chˆt A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⊃ An ⊃ . . . v` A1 A2 . . . An . . . = ∅ th` e a a a ı lim P (An ) = 0. n→∞
12 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a 3.5 ´ a ınh a ’ ´ C´c t´ chˆt cua x´c suˆt a a ´ . ´ ´ i) 0 ≤ P (A) ≤ 1 voi moi biˆn cˆ A ’ e o ii) P (Ω) = 1 iii) P (∅) = 0 ´ iv) Nˆu A ⊂ B th` P (A) ≤ P (B). e ı v) P (A) + P (A) = 1. vi) P (A) = P (AB) + P (AB). 4. ´ MOT SO CONG THUC T´ ˆ ˆ ˆ ´’ ´ ´ ˆ INH XAC SUAT . 4.1 o ´ o ’ . a ´ Cˆng thuc cˆng x´c suˆt a o ´ Cˆng thuc 1 ’ ’ ’’ ´ ´ ´ ˘ Gia su A v` B l` hai biˆn cˆ xung khac (AB = ∅). Ta c´ a a e o o P (A + B) = P (A) + P (B) ´ Chung minh ’ Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra, trong do c´ mA biˆn cˆ ’ ’’ e ’’ o ´ ´ ` e o ¯o ’ a o e ’ ¯´ o ´ ´ e o . ´ ´ ´ ´ e o a .’ . ´ ´ e o ´ ´ ´ thuˆn loi cho biˆn cˆ A v` mB biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ B. Khi do sˆ biˆn cˆ thuˆn a .’ e o a ¯´ o e o a . .’ ´ cˆ A + B l` m = mA + mB . loi cho biˆn o e ´ a Do d´ ¯o mA + mB mA mB P (A + B) = = + = P (A) + P (B) n n n ˜ 2 ¯ inh nghia 9 D. ´ ´ ´ ´ ` e o ¯a ¯’ ´ ’ ˘ ` i) C´c biˆn cˆ A1 , A2 , . . . , An duoc goi l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung a e o ¯ ’.’ . a o a ´ ´ ’ ˘ ` ¯o a o dˆi nˆu ch´ng xung khac tung dˆi v` tˆ ¯o e u ’ng cua ch´ng l` biˆn cˆ chac chan. Ta c´ ’ u ´ ´ ´ a e o ˘ ´ ˘ o A1 + A2 + . . . + An = Ω, Ai Aj = ∅ ´ ´ ´ ´ . . ´ ` ii) Hai biˆn cˆ A v` B duoc goi l` hai biˆn cˆ dˆc lˆp nˆu su tˆn tai hay khˆng tˆn e o a ¯ ’.’ . a e o ¯o a e .’ o . o o` . ’ ´n cˆ n`y khˆng anh huong dˆn su tˆn tai hay khˆng tˆn tai cua biˆn cˆ kia. tai cua biˆ o e ´ a o ’ ’ ´ ’’ ¯e .’ o .` o o` . ’ ´ o e ´ ´ ´ e o ¯ ’.’ . ¯o a . . a ` ´ o e o ¯o a a e ˜ ´ ´ . . iii) C´c biˆn cˆ A1 , A2 , . . . , An duoc goi dˆc lˆp to`n phˆn nˆu mˆi biˆn cˆ dˆc lˆp a ´ ı ’ ’ hop bˆt k` trong c´c biˆn cˆ c`n lai. voi t´ch cua mˆt tˆ .’ a y ’ o o . ´ a ´ ´ e o o . e. ’ Hˆ qua 1 ´ e ´ ´ a e o ´ ’ ˘ ` ¯o ı i) Nˆu A1 , A2 , . . . , An l` biˆn cˆ xung khac tung dˆi th` P (A1 + A2 + . . . + An ) = P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (An )
´ o o o . ´ ınh x´c suˆt 4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´ ’ a ´ a 13 ´ e a o a ´ ´ ` e o ¯a ¯’ ´ ’ ˘ ` ¯o ı ii) Nˆu A1 , A2 , . . . , An l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung dˆi th` n P (Ai ) = 1 i=1 iii) P (A) = 1 − P (A). o ´ Cˆng thuc 2 ’ P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) ´ Chung minh ’ Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra, trong do c´ mA biˆn cˆ ’ ’’ e ’’ o ´ ´ ` e o ¯o ’ a o e ’ ¯´ o ´ ´ e o . ´ ´ ´ ´ a .’ . ´ ´ e o a ´ ´ thuˆn loi cho biˆn cˆ A, mB biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ B v` k biˆn cˆ thuˆn loi cho a .’ e o e o e o a .’ . ´ ´ ´ ´ ´ ¯o o e o a .’ . ´ ´ biˆn cˆ AB. Khi d´ sˆ biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ A + B l` mA + mB − k. e o e o a Do d´ ¯o mA + mB − k mA mB k P (A + B) = = + − = P (A) + P (B) − P (AB). n n n n e . ’ Hˆ qua 2 n i) P (A1 + A2 + . . . , +An ) = P (Ai ) − P (Ai Aj ) + P (Ai Aj Ak ) + . . . + i=1 i
14 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a 1 5 C2 .C8 112 8 P (B) = 6 = = C10 210 15 Do d´ ¯o 2 8 2 P (C) = P (A) + P (B) = + = 15 15 3 o ´ o . ’ e ¯o o e ’ . ˜ • V´ du 24 Mˆt lop c´ 100 sinh viˆn, trong d´ c´ 40 sinh viˆn gioi ngoai ngu, 30 sinh ı . ’ e ’ . e ’ ’ . ˜ a viˆn gioi tin hoc, 20 sinh viˆn gioi ca ngoai ngu lˆ ’ . e a ’ ıt a ´ ˜n tin hoc. Sinh viˆn n`o gioi ´ nhˆt mˆt trong hai mˆn s˜ duoc thˆm diˆ’m trong kˆt qua hoc tˆp cua hoc k`. Chon ngˆu o . o e ¯ ’.’ e ¯e e´ ’ . a ’. . y . ˜ a nhiˆn mˆt sinh viˆn trong lop. T`m x´c suˆt dˆ’ sinh viˆn d´ duoc t˘ng diˆ’m. e o . e ´ ’ ı a ´ a ¯e e ¯o ¯ ’.’ a ¯ e ’ Giai Goi . A l` biˆn cˆ goi duoc sinh viˆn duoc t˘ng diˆ’m. ´ ´ a e o . ¯ ’ .’ e ¯ ’ .’ a ¯ e ´ ´ a e o . ¯ ’ .’ e ’ . ˜ N l` biˆn cˆ goi duoc sinh viˆn gioi ngoai ngu. ’ ´ cˆ goi duoc sinh viˆn gioi tin hoc T l` biˆn o a e ´ . ¯ ’ .’ e ’ . th` A = T + N . ı Ta c´ o 30 40 20 50 P (A) = P (T ) + P (N ) − P (T N ) = + − = = 0, 5 100 100 100 100 4.2 ´ a o ¯e ` e . a o ´ ’ a a ´ X´c suˆt c´ diˆu kiˆn v` cˆng thuc nhˆn x´c suˆt a a a ´ a o ¯e ` a) X´c suˆt c´ diˆu kiˆn e . ˜ ´ a ’ ´ ´ ´ ¯ e` e ´ ´ ’ 2 ¯ inh nghia 10 X´c suˆt cua biˆn cˆ A voi diˆu kiˆn biˆn cˆ B xay ra duoc goi l` D. a e o ’ . e o ¯ ’.’ . a a o ¯ e` e ’ . ´ ´ x´c c´ diˆu kiˆn cua biˆn cˆ A. K´ hiˆu P (A/B). e o ı e . . e ´ ˘ e ¯ ´ ` ’.’ • V´ du 25 Trong hˆp c´ 5 viˆn bi trang, 3 viˆn bi den. Lˆy lˆn luot ra 2 viˆn bi ı . o o a a e ´ ’ lˆn thu hai lˆy duoc viˆn bi trang biˆt lˆn thu nhˆt a ¯e ` (khˆng ho`n lai). T`m x´c suˆt dˆ a o a . ı a ´ ’ ´ a ¯ ’.’ e ´ ˘ ´ ` e a ´ a ’ ´ da lˆ ¯ ’.’ e ¯˜ a ´ ´y duoc viˆn bi trang. ˘ ’ Giai ´ ´ ` ´ ´ ´ ˘ Goi A l` biˆn cˆ lˆn thu hai lˆy duoc viˆn bi trang . a e o a ’ a ¯ ’ .’ e ´ ´ ` a e o a ´ a a ¯ ’ .’ ’ ´ ´ e ´ ˘ B l` biˆn cˆ lˆn thu nhˆt lˆy duoc viˆn bi trang. Ta t` P (A/B). ım ´ ` ´ a a ¯ ’ .’ e ´ ´ ´ ˘ ¯˜ ’ Ta thˆy lˆn thu nhˆt lˆy duoc viˆn bi trang (B da xay ra) nˆn trong hop c`n 7 viˆn a a ’ e .’ o e ¯o o e ´ ˘ng. Do d´ bi trong d ´ c´ 4 viˆn bi tra ¯o 1 C4 4 P (A/B) = 1 = C7 7
´ o o o . ´ ınh x´c suˆt 4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´ ’ a ´ a 15 o ´ Cˆng thuc ’ P (AB) P (A/B) = P (B) ´ Chung minh ’ Gia su ph´p thu c´ n biˆn cˆ dˆng kha n˘ng c´ thˆ’ xay ra trong do c´ mA biˆn c´ ’ ’’ e ’’ o ´ ´ ` e o ¯o ’ a o e ’ ¯´ o ´ e o . ´ cˆ A, mB biˆn cˆ thuˆn loi cho biˆn cˆ B v` k biˆn cˆ thuˆn loi cho thuˆn loi cho biˆn o a .’ e ´ ´ o e ´ a .’ . ´ o e ´ a e´ o ´ a .’ . ´ cˆ AB. biˆn o e ´ Theo d.nh nghia x´c suˆt theo lˆi cˆ diˆ’n ta c´ ¯i ˜ a ´ a ´ ’ o o ¯e o k mB P (AB) = , P (B) = n n ım ´ ´ ¯˜ ’ ı e o e ´ ´ ` e o ¯o ’ a ’ Ta t` P (A/B). V` biˆn cˆ B da xay ra nˆn biˆn cˆ dˆng kha n˘ng cua A l` mB , a ´ cˆ thuˆn loi cho A l` k. Do d´ biˆn o e ´ a .’ . a ¯o k k n P (AB) P (A/B) = = mB = . mB n P (B) • V´ du 26 Mˆt bˆ b`i c´ 52 l´. R´t ngˆu nhiˆn 1 l´ b`i. T` x´c suˆt dˆ’ r´t duoc ı . o o a o . . a u ˜ a e a a ım a ´ a ¯e u ¯ ’.’ a ´ ` e ˘ con ”´t” biˆt rang l´ b`i r´t ra l` l´ b`i m`u den. a a u a a a a ¯ ’ Giai . ´ ´ Goi A l` biˆn cˆ r´t duoc con ”´t” a e o u ¯ ’ .’ a A A ´ ´ B l` biˆn cˆ r´t duoc l´ b`i m`u den. a e o u ¯ ’ .’ a a a ¯ ♣ ♠ ´ Ta thˆy trong bˆ b`i c´ a o a o . 26 ♣ ♠ 26 l´ b`i den nˆn P (B) = a a ¯ e 52 2 2 con ”´t” den nˆn P (AB) = a ¯ e 52 . A A P (AB) 2/52 1 ♣ ♠ Do d´ P (A/B) = ¯o = = P (B) 26/52 13 ´ ’ a a ´ b) Cˆng thuc nhˆn x´c suˆt o a ` o ´ a ´ a o ¯ e` e Tu cˆng thuc x´c suˆt c´ diˆu kiˆn ta c´ ’ ’ . o i) P (AB) = P (A).P (B/A) = P (B).P (A/B). ´ e a ´ ´ . . ii) Nˆu A, B l` hai biˆn cˆ doc lˆp th` P (AB) = P (A).P (B). e o ¯ˆ a ı iii) P (ABC) = P (A).P (B/A).P (C/AB) P (A1 A2 . . . An ) = P (A1 )P (A2 /A1 ) . . . P (An /A1 A2 . . . An−1 ). o . ´ a o ’ ´ ´ ˘ a ¯ o . ´’ o ´ ˘ • V´ du 27 Hˆp thu nhˆt c´ 2 bi trang v` 10 bi den. Hˆp thu hai c´ 8 bi trang v` 4 ı . a ¯ ’ ˜ . ´ ` o o a e ı a a ¯e’ ´ bi den. Tu mˆi hˆp lˆy ra 1 viˆn bi. T`m x´c suˆt dˆ
16 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a ’ ` ˘ ´ a) Ca 2 viˆn bi dˆu trang, e ¯e ´ ˘ b) 1 bi trang, 1 bi den. ¯ ’ Giai . ´ ´ ´ a e o a ¯ ’ .’ ’ ´ ˘ Goi T l` biˆn cˆ lˆy ra duoc ca 2 bi trang ´ ´ ´ a e o a ¯ ’ .’ ´ ˘ ` o ´ a ´ T1 l` biˆn cˆ lˆy duoc bi trang tu hˆp thu nhˆt ’ . ’ T2 l` biˆn o a e ´ a ¯ ’ .’ ´ ´ ´ cˆ lˆy duoc bi trang tu hˆp thu hai ˘ ` o ’ . ´ ’ a ´ ´ . . th` T1 , T2 l` 2 biˆn cˆ doc lˆp v` T = T1 T2 . Ta c´ ı e o ¯ˆ a a o 1 2 P (T1 ) = , P (T2 ) = 6 3 Do d´ P (T ) = P (T1 T2 ) = P (T1 ).P (T2 ) = 1 . 3 = 1 . ¯o 6 2 9 ´ ´ ´ ´ ˘ ’’ o ´ a ´ ´ b) Goi T1 , T2 l` biˆn cˆ lˆy duoc bi trang o hˆp thu nhˆt, thu hai . a e o a ¯ ’ .’ . ’ ’ ´ cˆ lˆy duoc bi den o hˆp thu nhˆt, thu hai D1 , D2 l` biˆn o a e ´ a ¯ ’ .’ ´ ¯ ’’ o . ´ a ’ ´ ´ ’ T1 D2 l` biˆn o a e ´ ´ ´ cˆ lˆy duoc bi trang o hˆp thu nhˆt v` bi den o hˆp thu hai ´ a ¯ ’ .’ ˘ ’’ o . ´ a a ’ ´ ¯ ’’ o . ´’ ´ ´ ´ a e o a ¯ ’ .’ ´ng o hˆp thu hai v` bi de n o hˆp thu nhˆt T2 D1 l` biˆn cˆ lˆy duoc bi tra ’’ o ˘ . ´’ a ¯ ’’ o . ´ a ’ ´ th` A = T1 D2 + T2 D1 . ı Ta c´ o 1 2 P (T1 ) = , P (T2 ) = 6 3 5 1 P (D1 ) = 1 − P (T1 ) = P (D2 ) = 1 − P (T2 ) = 6 3 Suy ra P (A) = P (T1 D2 ) + P (T2 D1 ) = P (T1 ).P (D2 ) + P (T2 ).P (T1 ) 1 1 2 5 11 = . + . = 6 3 3 6 8 ı . . . ´ o e o ¯ ’.’ a ´ a ’’ a a` e ’ ¯ ’.’ . a o e • V´ du 28 Mˆt hˆ thˆng duoc cˆu th`nh boi n th`nh phˆn riˆng le duoc goi l` mˆt hˆ . . ´ng song song nˆu n´ hoat dˆng khi ´ nhˆt mˆt th`nh phˆn hoat dˆng. Th`nh phˆn thˆ o ´ o . ¯o e . ıt a´ o . a a` . ¯o . a a` ´ dˆ a ´ a ’ . . ’ ` a . ¯o . ´ a ’ ´ a ım a ´ thu i (¯oc lˆp voi c´c th`nh phˆn kh´c) hoat dˆng voi x´c suˆt pi . T` x´c suˆt dˆ e a a ’ hˆ a ¯e . ´ng song song hoat dˆng. thˆ o . ¯o. 1 A 2 B 3 n ’ Giai Goi . ´ ´ . ´ A l` biˆn cˆ hˆ thˆng hoat dˆng. a e o e o . ¯o.
´ o o o . ´ ınh x´c suˆt 4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´ ’ a ´ a 17 ´ ´ a e o a a` ´ Ai l` biˆn cˆ th`nh phˆn thu i hoat dˆng. ’ . ¯o. Ta c´ o P(A) = 1 − P (A) = 1 − P (A1 .A2 . . . An ) n = 1− P (Ai ) i=1 n = 1− (1 − pi ) i=1 . ı e . . ´ ` a a` e o . ´ • V´ du 29 (H^ x´ch) X´t mˆt hˆ thˆng gˆm hai th`nh phˆn. Hˆ thˆng hoat dˆng ı . e o e o o . ¯o . a` ¯o . . a a ` ´i theo x´ch). khi v` chi’ khi ca hai th`nh phˆn hoat dˆng (c´c th`nh phˆn duoc nˆ a ’ a a ¯ ’.’ o ı A B . . ’ o . a ` a ’ e o . ´ a a ´ a a a ` ¯ ˆ tin cˆy R(t) cua mˆt th`nh phˆn cua hˆ thˆng l` x´c suˆt m` th`nh phˆn c´ Do a a o ’ hoat dong ´ nhˆt khoang thoi gian t. thˆ . ¯ˆ ıt a e . ´ ’ `’ ´ e ı e . ´ ´ e o a a` . ´ . ¯ˆ ıt a ¯ ’ . ` ’ ’’ Nˆu k´ hiˆu biˆn cˆ ”th`nh phˆn hoat dong ´ nhˆt t don vi thoi gian” boi T > t th` ı R(t) = P (T > t) . . a ’ . a a` a ˜ a Goi PA v` PB l` do tin cˆy cua th`nh phˆn A v` B, nghia l` a a ¯ˆ ´ . ¯o ıt a ¯ ’ . ` PA = P (A hoat dˆng ´ nhˆt t don vi thoi gian), . ’ ´ . ¯o ıt a ¯ ’ . ` PB = P (B hoat dˆng ´ nhˆt t don vi thoi gian). . ’ ´ e a a a` . ¯o ¯o a . . . ı ¯o . a ’ . . ´ a Nˆu c´c th`nh phˆn hoat dˆng dˆc lˆp th` dˆ tin cˆy cua hˆ thˆng l` R = pA .pB . e o • V´ du 30 ı . e ¯o. a ’ e o . . ´ X´t dˆ tin cˆy cua hˆ thˆng cho boi’’ A B ı e a ` ´ h`nh bˆn. Th`nh phan nˆi A v` B trˆn ˆ o a e ¯’ dinh c´ thˆ o e ’ thay boi th`nh phˆn don ’’ a ` a ¯’ ´ ¯o ’ . . a a` voi dˆ tin cˆy pA .pB . Th`nh phˆn song a song cua ngat C v` D c´ thˆ’ thay boi ’ ´ ˘ a o e ’’ C ´t don voi dˆ tin cˆy 1−(1−pC ).(1− ˘ nga ¯ ’ ’ . ´ ¯o a . pD ). D Do. a ’ e o . . ´ ¯ ˆ tin cˆy cua hˆ thˆng song song n`y l` a a 1 − (1 − pA .pB )[1 − (1 − (1 − pC ).(1 − pD ))]
18 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a 4.3 ´ a ´ ` a ¯a ¯ ’ a o ´ Cˆng thuc x´c suˆt dˆy du v` cˆng thuc Bayes o ’ ’ o ´ a ’ ´ ` a ¯a ¯ ’ a) Cˆng thuc x´c suˆt dˆy du o ´ Cˆng thuc ’ ’ ’’ a o a ´ ´ ` e o ¯a ¯ ’ ´ ’ ˘ ` ¯o a ´ Gia su A1 , A2 , . . . , An l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung dˆi v` B l` biˆn a e ´ bˆt k` c´ thˆ’ xay ra trong ph´p thu. Khi d´ ta c´ cˆ a o ´ y o e ’ e ’’ ¯o o n P (B) = P (Ai ).P (B/Ai ) i=1 ´ Chung minh ’ V` A1 + A2 + . . . + An = Ω nˆn ı e B = B(A1 + A2 + . . . + An ) = BA1 + B2 + . . . + BAn ´ ´ ´ ’ ˘ ` ¯o e a ´ ´ Do c´c biˆn cˆ A1 , A2 , . . . , An xung khac tung dˆi nˆn c´c biˆn cˆ t´ BA1 , BA2 , . . ., a e o e o ıch u ´c tung dˆi. BAn c˜ng xung kha ` ¯o ˘ ’ n ¯i y o. a ´ Theo d.nh l´ cˆng x´c suˆt ta c´ P (B) = a o P (BAi ). i=1 a . a o ´ M˘t kh´c theo cˆng thuc nhˆn x´c suˆt th` P (BAi ) = P (Ai ).P (B/Ai ). ’ a a a ı n Do d´ P (B) = ¯o P (Ai ).P (B/Ai ). i=1 ´ e o ¯´ ´ ¯ e` e ’’ Ch´ y Cˆng thuc trˆn c`n dung nˆu ta thay diˆu kiˆn A1 + A2 + . . . + An = Ω boi u´ o ’ e . B ⊂ A1 + A2 + . . . + An . e o o ’ ’ ´ ¯o o ’ ’ ’ ´ • V´ du 31 X´t mˆt lˆ san phˆm trong d´ sˆ san phˆm do nh` m´y I san xuˆt chiˆm ı . . a a a a a ´ e a a ’ 20%, nh` m´y II san xuˆ ´t chiˆm 30%, nh` m´y III san xuˆt chiˆm 50%. X´c suˆt phˆ a ´ e a a ’ ´ a ´ e a a´ e´ ’ ’ a a a a a a a ım a a´ phˆm cua nh` m´y I l` 0,001; nh` m´y II l` 0,005; nh` m´y III l` 0,006. T` x´c suˆt a a a ¯e’ a ´ ˜ ´ ’ dˆ lˆy ngˆu nhiˆn duoc dung 1 phˆ phˆm. a e ¯ ’.’ ¯´ e a ’ Giai . ´ ´ a e o ’ ’ ´ ´ ’ Goi B l` biˆn cˆ san phˆm lˆy ra l` phˆ phˆm a a a e a ´ ´ ´ a e o a ¯ ’ .’ ’ a’ ’ A1 , A2 , A3 l` biˆn cˆ lˆy duoc san phˆm cua nh` m´y I, II, III a a ı a o a ´ ´ e o ´ ’ ˘ ` ¯o th` A1 , A2 , A3 l` nh´m c´c biˆn cˆ xung khac tung dˆi. Ta c´ o P (A1 ) = 0, 2; P (A2 ) = 0, 3; P (A3 ) = 0, 5 P (B/A1 ) = 0, 001; P (B/A2 ) = 0, 005; P (B/A3 ) = 0, 006 Do d´ ¯o P (B) = P (A1 ).P (B/A1 ) + P (A2 ).P (B/A2 ) + P (A3 ).P (B/A3 ) = 0, 2.0, 001 + 0, 3.0, 005 + 0, 5.0, 006 = 0, 0065
´ o o o . ´ ınh x´c suˆt 4. Mˆt sˆ cˆng thuc t´ ’ a ´ a 19 ı . o o . . ´ ’ ´ ˘ a a ´ ` • V´ du 32 Mˆt hˆp chua 4 bi trang, 3 bi v`ng v` 1 bi xanh. Lˆy lˆn luot (khˆng ho`n a a ’.’ o a ` o ´ ’ lˆy duoc 1 bi trang v` 1 bi v`ng. a ¯e ´ lai) tu hˆp ra 2 bi. T`m x´c suˆt dˆ a ¯ ’.’ . ’ . ı a ´ ˘ a a ’ Giai ´ ´ ´ ´ ˘ ´ ´ ´ Goi T l` biˆn cˆ lˆy duoc bi trang, V l` biˆn cˆ lˆy duoc bi v`ng. . a e o a ¯ ’ .’ a e o a ¯ ’ .’ a Ta c´ o 4 1 3 P (T ) = = ; P (V ) = ; 8 2 8 3 4 P (V /T ) = ; P (T /V ) = 7 7 X´c xuˆt dˆ’ lˆy duoc 1 bi trang v` 1 bi v`ng l` a ´ ´ a ¯e a ¯ ’ .’ ´ ˘ a a a 1 3 3 4 3 P (T V ) = P (T ).P (V /T ) + P (V ).P (T /V ) = . + . = . 2 7 8 7 7 a a ´ 2 Cˆy x´c suˆt a ´ e` ’’ ´ e` e o´ ´ a a ´ Trong thuc tˆ c´ nhiˆu ph´p thu chua mˆt d˜y nhiˆu biˆn cˆ. Cˆy x´c suˆt cung .’ e o e ’ o a . a ´ a o o . . a .’ . e a ¯i . ´ u a cˆp cho ta mˆt cˆng cu thuˆn loi cho viˆc x´c d.nh cˆu tr´c c´c quan hˆ bˆn trong c´c a e e . a ph´p thu e ınh a ´ ’’ khi t´ x´c suˆt. a a´ u ’ a a ´ Cˆu tr´c cua cˆy x´c suˆt duoc x´c d.nh nhu sau: a ¯ ’ .’ a ¯i ’ i) V˜ biˆ’u dˆ cˆy x´c suˆt tuong ung voi c´c kˆt qua cua d˜y ph´p thu. e e ¯o a a` a ’’ ´ ´ ’ ´ a e ’ ´ ’ ’ a e ’’ ˜ a ´ o ´ ’ ˜ ii) G´n mˆi x´c suˆt voi mˆi nh´nh. a o a a ´ Cˆy x´c suˆt sau minh hoa cho v´ du 32. a a a . ı . T 3/7 V 1 3 . T 2 7 1/2 X 3 4 4/7 T . 8 7 3/8 V V X T X V o ´ b) Cˆng thuc Bayes ’ o ´ Cˆng thuc ’ ’ ’’ a o a ´ ´ ` e o ¯a ¯ ’ ´ ’ ˘ ` ¯ˆ a ´ Gia su A1 , A2 , . . . , An l` nh´m c´c biˆn cˆ dˆy du xung khac tung doi v` B l` biˆn a e ´ bˆt k` c´ thˆ’ xay ra trong ph´p thu. Khi d´ ta c´ cˆ a o ´ y o e ’ e ’’ ¯o o P (Ai ).P (B/Ai ) P (Ai /B) = n i = 1, 2, . . . , n i=1 P (Ai ).P (B/Ai )
20 ’’ ˜ ’ a e . ’ ’ ` e a ´ Chuong 1. Nhung kh´i niˆm co ban vˆ x´c suˆt a ´ Chung minh ’ o ´ a ’ ´ a o ¯ e` e Theo cˆng thuc x´c suˆt c´ diˆu kiˆn ta c´ . o (Ai B) P (Ai ).P (B/Ai ) P (Ai /B) = = P (B) P (B) n . a o ´ a ’ ` a ¯a ¯ ’ ı M˘t kh´c theo cˆng thuc x´c suˆt dˆy du th` P (B) = a P (Ai ).P (B/Ai ). i=1 P (Ai ).P (B/Ai ) Do d´ P (Ai /B) = ¯o n . i=1 P (Ai ).P (B/Ai ) ı . ’ ’’ o o . ’ ¯.’ u o. ´ a • V´ du 33 Gia su c´ 4 hˆp nhu nhau dung c`ng mˆt chi tiˆt m´y, trong d´ c´ mˆt e ¯o o o. o . e´t xˆu, 5 chi tiˆt tˆt do m´y I san suˆt; c`n ba hˆp c`n lai mˆi hˆp dung 4 hˆp 3 chi tiˆ a ´ ´ o e ´ a ’ ´ o a o o . . ˜ o ¯.’ o . ´ ´ ´ ´ ’ ´ ´ ˜ o o o ` o ¯o ` ’ . chi tiˆt xau, 6 chi tiˆt tˆt do m´y II san suˆt. Lˆy ngˆu nhiˆn mˆt hˆp rˆi tu hˆp d´ e ˆ e o a a a a e . . ´y ra mˆt chi tiˆt m´y. lˆ a o . ´ a e a) T`m x´c suˆt dˆ’ chi tiˆt m´y lˆy ra l` tˆt. ı a ´ a ¯e ´ e a a ´ a o ´ b) Voi chi tiˆt tˆt o cˆu a, t`m x´c suˆt dˆ’ n´ duoc lˆy ra tu hˆp cua m´y I. ´ ’ ´ ´ e o ’’ a ı a ´ a ¯e o ¯ ’.’ a ´ ` o ’ ’ . a ’ Giai . ´ ´ ´ a e o a ¯ ’ .’ ´ ´ Goi B l` biˆn cˆ lˆy duoc chi tiˆt tˆt e o ´ cˆ lˆy duoc hˆp dung chi tiˆt m´y cua m´y I, II A1 , A2 l` biˆn o a e ´ a ¯ ’ .’ o ¯ .’ ´ . ´ a ’ e a th` A1 , A2 l` nh´m c´c biˆn o ı a o a e ´ ´ ` ¯o ´ cˆ xung khac tung dˆi. ˘ ’ a) P (B) = P (A1 ).P (B/A1 ) + P (A2 ).P (B/A2 ) 1 5 3 6 P (A1 ) = ; P (B/A1 ) = ; P (A2 ) = ; P (B/A2 ) = 4 8 4 10 Do d´ ¯o 1 5 3 6 97 P (B) = . + . = 4 8 4 10 160 1 5 P (A1 ).P (B/A1 ) . 26 b) P (A1 /B) = = 4978 = P (B) 160 97 ´ a ’ a ’’ * Cˆy x´c suˆt cua cˆu a) cho boi a a 5 1 5 8 T . 4 8 1 I 4 X 6 3 6 10 T . 4 10 3 4 II X