Xử lý tín hiệu số_Chương I (Phần 2)

Chia sẻ: Le Ngoc Thin | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

123
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xác định các hệ số bất định trong nghiệm tổng quát thông qua các điều kie6e5n đầu là các giá trị ban đầu của y (n-k). Phương pháp này có tính chất lý thuyết hơn là thực tiễn, nhằm tìm nghiệm dương dạng giải tích. Chúng được trình bày ở đây là một minh hoạ để thấy rõ những khó khăn khi dùng phương pháp giải tích số

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Xử lý tín hiệu số_Chương I (Phần 2)

Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Böôùc 3 : Xaùc ñònh caùc heä soá baát ñònh trong nghieäm toång quaùt thoâng qua caùc ñieàu kieän ñaàu laø caùc giaù trò ban ñaàu cuûa y(n - k). Phöông phaùp naøy coù tính chaát lyù thuyeát hôn laø thöïc tieãn, nhaèm tìm nghieäm döôùi daïng giaûi tích. Chuùng ñöôïc trình baøy ôû ñaây nhö laø moät minh hoïa ñeå thaáy roõ nhöõng khoù khaên khi duøng phöông phaùp giaûi tích soá vaø sau naøy ta seõ thaáy nhöõng öu ñieåm cuûa phöông phaùp khaùc duøng trong thöïc teá. Ví duï 1.11 : Cho phöông trình sai phaân sau : 5 1 y ( n) − y (n − 1) + y (n − 2) = 5 − n 6 6 vôùi ñieàu kieän ban ñaàu : y(-2) = 25 vaø y(-1) = 6 Giaûi : Böôùc 1 : Giaû thieát nghieäm thuaàn nhaát coù daïng (nhöôïc ñieåm laø ôû choã phaûi moø daïng nghieäm): y c (n) = c1 .a n + c 2 .b n trong ñoù a, b laø caùc haèng soá thöïc ta thay y(n) = an vaøo phöông trình thuaàn nhaát ta coù : 5 1 a n − a n −1 + a n − 2 = 0 6 6 chia caû hai veá cho an-2 5 1 a2 − a + =0 6 6 Trong ñoù hai nghieäm : a1 = ½ vaø a2 = 1/3 Cuoái cuøng ta coù nghieäm : y c (n) = c1 .2 − n + c 2 .3 − n Vôùi c1 vaø c2 laø hai haèng soá tuøy yù Böôùc 2 : Tìm nghieäm rieâng töông öùng vôùi phöông trình coù veá phaûi. Ta cuõng laïi giaû thieát nghieäm coù daïng : y p ( n ) = c 3 .5 − n Thay vaøo phöông trình ta coù Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 29
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc 5 − ( n −1) 1 − ( n − 2 ) c 3 [5 − n − 5 + 5 =0 6 6 töø ñoù ruùt ra c3 = 1 ⇒ yp = 5-n Vaäy nghieäm toång quaùt laø y(n) = yp(n) + yc(n) = c1.2-n + c2.3-n + 5-n Böôùc 3 : Töø ñieàu kieän ban ñaàu y(-2) = 25 vaø y(-1) = 6 Ta coù heä phöông trình 4c1 + 9c2 = 0 2c1 + 3c2 = 1 choïn c1 = 3/2 vaø c2 = - 2/3 cuoái cuøng nghieäm phöông trình laø : 3 −n 2 −n y ( n) = 2 − 3 + 5 −n ,n ≥ 0 2 3 1.5 Caùc Heä Thoáng Ñeä Qui Vaø Khoâng Ñeä Qui 1.5.1 Heä Thoáng Khoâng Ñeä Qui Moät heä thoáng tuyeán tính baát bieán ñöôïc ñaëc tröng bôûi PT-SP-HSH baäc N nhö sau : N M ∑a k =0 k .y(n − k ) = ∑ b r .x (n − r ) r =0 ; a0 = 0 (1.60) neáu tröôøng hôïp N = 0, ta coù : M br y(n ) = ∑ .x (n − r ) ; a0 ≠ 0 r =0 a 0 M y(n ) = ∑ b r .x (n − r ) ; a0 = 1 (1.61) r =0 Ñònh nghóa : Heä thoáng ñöôïc ñaëc tröng bôûi phöông trình sai phaân tuyeán tính baäc khoâng (N = 0) ñöôïc goïi laø heä thoáng khoâng ñeä qui. Nhaän xeùt : Töø quan heä (1.49) ta thaáy raèng br laø haèng soá. Heä thoáng khoâng ñeä qui laø heä thoáng coù ñaùp öùng ra y(n) chæ phuï thuoäc vaøo kích thích vaøo ôû thôøi ñieåm hieän taïi vaø quaù khöù, ta vieát nhö sau : y(n) = F[x(n), x(n - 1), … , x(n - M)] (1.62) Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 30
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc ôû ñaây F[.] kyù hieäu laø haøm, neáu ñaët h(k) = br, ta coù : M y(n ) = ∑ h (k ).x (n − r ) (1.63) k =0 Phöông trình (1.51) laø bieåu thöùc cuûa tích chaäp giöõa h(n) vaø x(n) khi h(n) laø nhaân quaû vaø coù chieàu daøi höõu haïn : L[h(n)] = M + 1 : höõu haïn vaø h(n) chính laø ñaùp öùng xung cuûa heä thoáng khoâng ñeä qui hay noùi roõ raøng phöông trình h (n ) (1.49) laø heä thoáng khoâng ñeä qui. Ví duï 1.12 : 1 Haõy tìm ñaùp öùng xung cuûa heä thoáng khoâng ñeä qui cho n bôûi phöông trình sai phaân sau : -1 0 1 2 3 4 5 y(n) = x(n) + x(n - 1) + x(n - 2) + x(n - 3) Hình 1.28 Giaûi : Trong tröôøng hôïp N = 0, M = 0, heä thoáng naøy khoâng ñeä qui vaø L[h(n)] = 4. Ñeå tìm h(n), ta thay x(n) = δ(n) thì y(n) = h(n), ta coù : y(n) = δ (n) + δ (n - 1) + δ (n - 2) + δ (n - 3) h (n ) = rect 4 (n ) Vaäy heä thoáng naøy laø heä thoáng FIR, h(n) ñöôïc bieåu dieãn treân hình 1.28. 1.5.2 Heä Thoáng Ñeä Qui Trong tröôøng hôïp neáu N > 0, ta coù phöông trình SP-TT-HSH baäc N nhö sau : M br N b y( n ) = ∑ .x (n − r ) − ∑ k .y(n − k ) ; a0 ≠ 0 r =0 a 0 k =1 a 0 M N y(n ) = ∑ b r .x (n − r ) − ∑ a k .y(n − k ) ; a0 = 0 (1.64) r =0 k =1 Ñònh nghóa : Heä thoáng ñöôïc ñaëc tröng bôûi phöông trình sai phaân baäc N > 0 ñöôïc goïi laø heä thoáng ñeä qui. Nhaän xeùt : Töø heä phöông trình (1.52), ta thaáy raèng br vaø ak laø caùc haèng soá, do ñoù heä thoáng ñeä qui coù ñaùp ra y(n) coù ñaùp öùng ra phöï thuoäc vaøo kích thích vaøo ôû thôøi ñieåm hieän taïi vaø quaù khöù vaø caû ñaùp öùng ra ôû thôøi ñieåm quaù khöù. y(n) = F[y(n-1), y(n-2), … , y(n-N), x(n-1), … , x(n-M)] (1.65) ôû ñaây F[.] kyù hieäu laø haøm. Neáu ta giaûi phöông trình (1.52) vôùi kích thích vaøo x(n) = δ(n) ta seõ tìm ñöôïc ñaùp öùng xung h(n). Ñaùp öùng xung cuûa heä thoáng ñeä qui luùc naøy coù chieàu Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 31
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc daøi voâ haïn. Neáu giaûi ôû ñieàu kieän y(n) = 0, n < 0 thì heä thoáng seõ nhaân quaû vaø h(n) seõ laø daõy nhaân quaû. Vaäy heä thoáng ñeä qui laø heä thoáng coù ñaùp öùng xung daøi voâ haïn. Ví duï 1.13 : n 1 Haõy tìm ñaùp öùng xung cuûa heä thoáng ñeä qui cho bôûi h (n ) =   u (n )  2 phöông trình sai phaân sau : 1 y(n) = a.y(n - 1) + x(n) ;n 0 vaø m = 0 ta coù phöông trình sai phaân tuyeán tính baäc N nhö sau : N y ( n ) = b 0 x ( n ) − ∑ a k y ( n − k ) ; a0 = 1 (1.66) k =1 vaäy phöông trình sai phaân (1.51) laø phöông trình ñaëc tröng cho heä thoáng ñeä qui thuaàn tuyù. Nhaän xeùt : Töø phöông trình (1.54), ta thaáy raèng b0 vaø a0 laø caùc haèng soá, vaäy thì heä thoáng ñeä qui thuaàn tuyù laø heä thoáng maø ñaùp öùng ra y(n) cuûa noù phuï thuoäc vaøo kích thích ngoõ vaøo chæ ôû thôøi ñieåm hieän taïi vaø ñaùp vaøo ñaùp öùng ngoõ ra chæ ôû thôøi ñieåm quaù khöù. y(n) = F[x(n), y(n - 1), y(n - 2) , … , y(n - N) ] (1.67) ôû ñaây f[.] kyù hieäu laø haøm. Taát nhieân heä thoáng ñeä qui thuaàn tuyù (1.54) cuõng laø heä thoáng IIR, töùc laø ñaùp öùng xung h(n) cuûa noù coù chieàu daøi voâ haïn. Ví duï1.14 : Cho heä thoáng ñeä qui thuaàn tuyù moâ taû bôûi phöông trình sai phaân tuyeán tính heä soá haèng sau : y(n) – 3.y(n - 1) +2.y(n - 2) = x(n) Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 32
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Haõy tìm ñaùp öùng xung h(n), xeùt ñoä oån ñònh cuûa noù vôùi ñieàu kieän ñaàu y(n) = 0 vôùi n < 0. Giaûi : Ôû ñaây N = 2, M = 0 vaø b0 = 1. Ñeå xaùc ñònh h(n) ta chæ caàn tìm y0(n). Phöông trình ñaëc tröng coù daïng : α 2 − 3α + 2 = 0 ta coù: α1 = 1; α2 = 2 vaäy y0(n) = A11n ≠ A22n = h(n) Xaùc ñònh A1 vaø A2 theo ñieàu kieän ñaàu vaø ñaët x(n) = δ(n). n=0: y(0) – 3y(-1) +2y(-2) = δ(0) = 1. ta coù : y(0) = 1 n=1: y(1) – 3y(0) +2y(-1) = δ(1) = 0. ta coù : y(1) = 3 thay vaøo y0(n) ta coù : y(0) = A1 + A2 = 1 y(1) = A1 + 2A2 = 3 töø ñaây ta coù : A1 = -1 vaø A2 = 2 cuoái cuøng h(n) = -1 + 2.2n = 2n+1 – 1, n ≥ 0 Vì α 1 = 1 vaø α 2 = 2 > 1 neân heä thoáng naøy laø khoâng oån ñònh. Nhaän xeùt : Heä thoáng ñeä qui thuaàn tuyù trong ví duï naøy coù cuøng veá phaûi cuûa phöông trình sai phaân vôùi heä thoáng ñeä qui trong ví duï treân, vaäy chuùng coù chung phöông trình ñaëc tröng, vì vaäy ñoä oån ñònh cuûa chuùng gioáng nhau maëc duø ñaùp öùng xung cuûa chuùng khaùc nhau. Sau naøy khi xeùt trong mieàn z, ta thaáy chuùng coù cuøng caùc cöïc, vì vaäy tính oån ñònh cuûa chuùng laø nhö nhau. 1.6 Thöïc Hieän Heä Thoáng Soá Nhôø coù phöông trình sai phaân tuyeán tính heä soá haèng, chuùng ta coù theå thöïc hieän tröïc tieáp caùc heä thoáng soá baèng caùc phaàn töû thöïc hieän. 1.6.1 Caùc Phaàn Töû Caùc phaàn töû thöïc hieän ñöôïc bieåu dieãn treân hình 1.30 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 33
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc x(n) x(n - 1) D ; D : boä treã x1(n) ; Boä coäng x2(n) L ∑ x (n ) i xL(n i =1 ) α x(n) α.x(n ; Boä nhaân vôùi haèng soá ) x(n) α α.x(n ; Boä nhaân vôùi haèng soá ) Hình 1.30 Ñeå bieåu dieãn sô ñoà khoái thöïc hieän heä thoáng, chuùng ta vieát laïi phöông trình sai phaân cuûa caùc heä thoáng nhö sau : M y ( n) = b0 x ( n ) + ∑ b x(n − r ) r =1 r 142434 4 F1 [ x ( n − l ),..., x ( n − M )] Heä thoáng ñeä qui M N y ( n ) = b0 x ( n ) + ∑ br x ( n − r ) + ∑ ( − a k ) y ( n − k ) r =1 k =1 14243 1442443 4 4 F1 [ x ( n − l ),..., x ( n − M )] F2 [ y ( n − l ),..., y ( n − N )] Heä thoáng ñeä qui thuaàn tuyù : N y ( n ) = b0 x ( n ) + ∑ ( − a r ) y ( n − k ) k =1 1442443 F2 [ y ( n − l ),..., y ( n − N )] 1.6.2 Thöïc Hieän Caùc Heä Thoáng Rôøi Raïc Moät heä thoáng tuyeán tính baát bieán nhaân quaû vaø oån ñònh laø heä thoáng thöïc hieän ñöôïc veà maët vaät lyù, duø cho laø heä thoáng ñoù laø khoâng ñeä qui, ñeä qui hay ñeä qui thuaàn tuyù. Döïa vaøo phöông trình sai phaân tuyeán tính heä soá haèng cho töøng heä thoáng naøy, chuùng ta coù theå xaây döïng sô ñoà khoái toång quaùt cuûa chuùng nhö treân hình 1.31 : (a) : heä thoáng khoâng ñeä qui, (b) : heä thoáng ñeä qui, (c) : heä thoáng ñeä qui thuaàn nhaát. Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 34
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc x(n) b0 y(n) F1[x(n -1), x(n -2), … , x(n -M) ] b0 (a) x(n) y(n) F1[x(n -1), x(n -2), … , F2[y(n -1), y(n -2), … , x(n -M) ] y(n -N) ] (b) x(n) b0 y(n) (c) F2[y(n -1), y(n -2), … , y(n -N) ] Hình 1.31 Nhaän xeùt : x(n) b0 y(n) - Heä thoáng khoâng ñeä qui, sô ñoà cuûa noù khoâng coù nhaùnh phaûn hoài, vì D vaäy noù luoân luoân oån ñònh, töùc laø b1 heä thoáng FIR luoân oån ñònh. - Heä thoáng ñeä qui, sô ñoà noù goàm hai D khoái F1 vaø F2, F1 gioáng heä thoáng b2 khoâng ñeä qui coøn F2 laø nhaùnh phaûn hoài. Do ñoù nhaùnh phaûn hoài neân ta phaûi xeùt ñoä oån ñònh cuûa heä thoáng D IIR. - Heä thoáng ñeä qui thuaàn tuyù, sô ñoà noù coù b0 ø F2, do F2 laø nhaùnh phaûn D hoài neân noù cuõng laø heä thoáng IIR vaø ta phaûi xeùt ñoä oån ñònh cuûa noù. - Ta coù theå duøng caùc phaàn töû thöïc hieän ñeå tìm caáu truùc chi tieát cuûa D b5 heä thoáng naøy. Ví duï 1.15 : Hình 1.32 Cho phöông trình sai phaân tuyeán tính heä Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 35
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc soá haèng : y(n) = b0x(n) + b1x(n-1) + b2x(n-2) + b5x(n-5) Haõy veõ sô ñoà thöïc hieän heä thoáng cho bôûi phöông trình naøy. Giaûi : Ñaây laø sô ñoà heä thoáng khoâng ñeä qui : N = 0; M = 5. Sô ñoà cuûa heä thoáng nhö treân hình 1.32. 1.7 Töông Quan Cuûa Caùc Tín Hieäu 1.7.1 Môû ñaàu Trong vieäc xöû lyù tín hieäu, ta caàn coù nhöõng so saùnh caùc tín hieäu vôùi nhau, chaún haïn nhö tín hieäu Rada, Rada seõ phaùt ra tín hieäu ñeå tìm muïc tieâu laø x(n), tín hieäu naøy sau khi ñaäp vaøo muïc tieâu (nhö maùy bay chaún haïn) seõ phaûn xaï trôû veà Rada, Rada thu laïi tín hieäu naøy nhöng bò treã ñi moät thôøi gian D = n0Ts (Ts laø chu kyø laáy maãu), tín hieäu maø Rada thu laïi seõ bò suy giaûm vôùi heä soá suy giaûm laø A, töùc laø Rada seõ thu laïi tín hieäu Ax(n-n0). Ngoaøi tín hieäu phaûn xaï töø muïc tieâu naøy, Rada coøn bò nhieãu coäng can thieäp laø γ(n). vaäy toång coäng neáu trong khoâng gian coù muïc tieâu maø Rada phaùt hieän ñöôïc thì Rada seõ thu ñöôïc tín hieäu chung laø : y(n) = Ax(n-n0) + γ(n) Coøn neáu khoâng coù muïc tieâu trong khoâng gian hoaëc Rada khoâng phaùt hieän ñöôïc muïc tieâu thì Rada chæ thu ñöôïc nhieãu coäng γ(n), vaø ta coù : y(n) = γ(n) so saùnh hai tín hieäu x(n) vaø y(n) ta seõ phaùt hieän ñöôïc muïc tieâu hay khoâng, vaø xaùc ñònh ñöôïc thôøi gian treã D = n0Ts, töø ñoù, ta xaùc ñònh ñöôïc khoaûng caùch cuûa muïc tieâu. Moät phöông phaùp so saùnh hay duøng nhaát ñoù laø “töông quan” seõ ñöôïc moâ taû döôùi ñaây. 1.7.2 Töông Quan Cheùo Vaø Töï Töông Quan a. Ñònh Nghóa Töông Quan Cheùo Giaû söû ta coù hai daõy x(n) vaø y(n), toái thieåu moät trong hai daõy coù naêng löôïng höõu haïn. Töông quan cheùo cuûa x(n) vaø y(n) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : ∞ rxy (n ) = ∑ x ( m) y( m − n ) m = −∞ n = 0, ± 1, ± 2, ... (1.68) töông ñöông vôùi ∞ rxy (n ) = ∑ x ( m + n ) y( m) m = −∞ n = 0, ± 1, ± 2, ... (1.69) Ví duï 1.16 : Cho hai tín hieäu x(n) vaø y(n) sau ñaây. x(n) = rect5(n) Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 36
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc  n 1 − vôùi 0 ≤ n ≤ 4 y(n ) =  4  0  vôùi n coøn laïi Haõy tìm töông quan cheùo cuûa x(n) vaø y(n). Giaûi : Theo ñònh nghóa, ta coù theå giaûi baèng ñoà thò ñöôïc minh hoïa treân hình 1.33 rxy(0) = 2,5 , rxy(1) = 2,5 , rxy(2) = 2,25 rxy(3) = 1,75, rxy(4) = 1 , rxy(5) = 0 rxy(-1) = 1,5, rxy(-2) = 0,75 ,rxy(-3) = 0,25 rxy(-4) = 0 x (n ) y( n ) y(m − 1) 1 1 1 n n m n -1 0 1 2 3 4 5 -1 0 1 2 3 0 1 2 34 5 Hình 1.33a Hình 1.33b Hình 1.33c y(m − 4) y(m + 2) y(m + 4) 1 1 1 m m m 0 1 2 34 5 67 8 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -4 -3-2-1 0 1 2 3 4 Hình 1.33d Hình 1.33e Hình 1.33f b. Ñònh Nghóa Töï Töông Quan Trong ñònh nghóa töông quan cheùo, neáu ta coù x(n) ≡ y(n) thì ta coù ñònh nghóa töï töông quan. h (n ) Vaäy haøm töï töông quan cuûa x(n) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : ∞ rxx (n ) = ∑ x ( m) x ( m − n ) m = −∞ n = 0, ± 1, ± 2, ... 1 n töông ñöông vôùi -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ∞ Hình 1.33h rxx (n ) = ∑ x ( m + n ) x ( m) m = −∞ n = 0, ± 1, ± 2, ... Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 37
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Ví duï 1.17 : Cho daõy : x(n) = rect3(n) Haõy tìm haøm töï töông quan rxx(n) vaø cho nhaän xeùt veà keát quaû thu ñöôïc. Giaûi : Giaûi baèng ñoà thò ñöôïc minh hoaï treân hình 1.34 Nhaän xeùt : Haøm töï töông quan rxx(n) bao giôø cuõng ñaït ñöôïc cöïc ñaïi taïi goác toaï ñoä n = 0, bôûi vì raèng moät daõy baát kyø bao giôø cuõng gioáng chính noù. x (n ) x (m − 1) 1 1 n n n n -1 0 1 2 3 4 -1 0 1 2 3 4 5 6 Hình 1.34a Hình 1.34b rxx (n ) 1 n -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Hình 1.34c Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 38
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc BAØI TAÄP CHÖÔNG I Baøi taäp 1.1 Haõy xaùc ñònh caùc tín hieäu sau ñaây coù tuaàn hoaøn hay khoâng ?, neáu tuaàn hoaøn, haõy xaùc ñònh chu kyø cô baûn cuûa chuùng a. x(n) = cos(0,125πn) b. x(n) = Re{ejnπ/12} + Im {ejnπ/18} c. x(n) = sin(π + 0,2n) d. x(n) = ejn(π/12)cos(nπ/17) Baøi taäp 1.2 Haõy xaùc ñònh caùc tín hieäu sau ñaây coù tuaàn hoaøn hay khoâng ?, neáu tuaàn hoaøn, haõy xaùc ñònh chu kyø cô baûn cuûa chuùng a. x(n) = cos(0,01πn) b. x(n) = cos(30πn/105) c. x(n) = cos(3πn) d. x(n) = sin(3n) e. x(n) = sin(62πn/10) Baøi taäp 1.3 Haõy tìm quan heä giöõa daõy xung ñôn vò vaø daõy nhaûy ñôn vò. Baøi taäp 1.4 Haõy bieåu dieãn toaùn hoïc vaø ñoà thò cuûa caùc daõy sau : rect N − n (n) vaø rect N − n (n − n ) vôùi N > n0 0 0 Baøi taäp 1.4 Haõy tìm quan heä giöõa daõy nhaûy ñôn vò vaø daõy chöõ nhaät. Baøi taäp 1.5 Haõy tìm quan heä giöõa daõy nhaûy ñôn vò vaø daõy doác ñôn vò. Baøi taäp 1.6 Tìm chu kyø N cuûa tín hieäu sau :  nπ   2nπ   nπ   nπ  x (n ) = cos  cos  + sin   sin    8   15   3   4  Baøi taäp 1.7 Ngoõ vaøo cuûa moät heä thoáng baát bieán –dòch tuyeán tính (linear shift-invariant) laø tuaàn hoaøn vôùi chu kyø N. a. Chöùng minh ngoõ ra cuûa heä thoáng cuõng tuaàn hoaøn vôùi chu kyø N. Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 39
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc b. Neáu heä thoáng laø tuyeán tính nhöng bieán ñoåi-dòch, thì ngoõ ra coù coøn tuaàn hoaøn hay khoâng ? c. Neáu heä thoáng laø khoâng tuyeán tính nhöng baát bieán - dòch, thì ngoõ ra coù coøn tuaàn hoaøn hay khoâng ? Baøi taäp 1.8 Tìm phaàn chaün vaø leû cuûa nhöõng tín hieäu sau : a. x(n) = u(n). b. x(n) = αnu(n). Baøi taäp 1.9 Neáu x1(n) laø chaün vaø x2(n) laø leû , thì y(n) = x1(n) . x2(n) laø gì ? Baøi taäp 1.10 Neáu x(n) laø leû, thì y(n) = x2(n) laø gì ? Baøi taäp 1.11 Neáu x(n) = 0, cho n < 0, Pe laø coâng suaát ôû phaàn chaün cuûa x(n), vaø P0 laø coâng suaát ôû phaàn leû, Cho bieát caùc caâu ñuùng sau : a. Pe ≥ P0. b. P0 ≥ Pe. c. Pe = P0. d. Taát caû caùc caâu treân khoâng ñuùng. Baøi taäp 1.12 Xeùt tín hieäu hình sin töông töï x a ( t ) = 3 sin 100 πt a. Veõ tín hieäu x a ( t ) vôùi 0 ≤ t ≤ 30 ms. b. Giaû söû tín hieäu laáy maãu taïi Fs = 300 maãu/s. Xaùc ñònh taàn soá laáy maãu toái thieåu tín hieäu rôøi raïc x(n) = xa(nT), T = 1/Fs vaø chöùng minh tín hieäu laø tuaàn hoaøn. laáy maãu. Baøi taäp 1.13 Xeùt tín hieäu hình sin töông töï x a ( t ) = sin 480πt + 3 sin 720πt ñöôïc laáy maãu 600 laàn treân moät giaây. a. Xaùc ñònh tæ soá laáy maãu Nyquist cuûa tín hieäu x a ( t ) . b. Xaùc ñònh taàn soá choàng (folding). c. Xaùc ñònh nhöõng taàn soá cuûa tín hieäu ñaõ laáy maãu x(n). d. Neáu x(n) cho qua boä chuyeån ñoåi lyù töôûng D/A, Xaùc ñònh tín hieäu khoâi phuïc ya(t). Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 40
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Baøi taäp 1.14 Moät ñöôøng truyeàn soá (Digital Communication) mang nhöõng maãu daïng maõ nhò phaân cuûa tín hieäu ngoõ vaøo. x a ( t ) = 3 cos 600πt + 2cos1800 πt Ñöôøng truyeàn hoaït ñoäng ôû toác ñoä 10.000 bit/s vaø moãi maãu ngoõ vaøo ñöôïc löôïng töû sang 1024 möùc ñieän aùp khaùc nhau. a. Xaùc ñònh taàn soá laáy maãu vaø soá choàng (folding). b. Xaùc ñònh tæ soá Nyquist cuûa tín hieäu x a ( t ) . c. Xaùc ñònh nhöõng taàn soá cuûa tín hieäu ñaõ laáy maãu x(n). Baøi taäp 1.15 Haõy xeùt caùc heä thoáng sau ñaây coù phaûi laø tuyeán tính hay khoâng. a. T[x(n)] = x2(n) = y(n) b. T[x(n)] = nx(n) = y(n) Baøi taäp 1.16 Haõy xeùt caùc heä thoáng coù quan heä ngoõ vaøo laø x(n) vôùi ngoõ ra y(n) sau ñaây coù phaûi laø tuyeán tính hay khoâng, dòch – baát bieán hay dòch – bieán ñoåi, oån ñònh hay baát oån ñònh, nhaân quaû hay khoâng nhaân quaû, vaø nghòch ñaûo hay khoâng nghòch ñaûo. a. y(n) = x(n) + x(-n) n b. y(n ) = ∑ x (k ) k =0 n +n 0 c. y(n ) = ∑ x (k ) k =n −n 0 d. y(n) = log{x(n)} e. y(n) = median{x(n-1), x(n), x(n+1)} Baøi taäp 1.17 Cho caùc ñaùp öùng xung cuûa heä thoáng dòch-baát bieán tuyeán tính beân döôùi. Xaùc ñònh ñieàu kieän cuûa a ñeå heä thoáng oån ñònh. a. h(n) = anu(-n) b. h(n) = an{u(-n) – u(n - 100)} c. h(n) = a|n| Baøi taäp 1.18 Cho heä thoáng dòch - baát bieán tuyeán tính döôùi daïng phöông trình sai phaân tuyeán tính heä soá haèng baäc nhaát. y(n) = ay(n-1) + x(n) Xaùc ñònh ñieàu kieän ñeå heä thoáng naøy oån ñònh. Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 41
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Baøi taäp 1.19 Tìm tích chaäp cuûa hai daõy soá sau : x(n) = δ(n - 2) - 2δ(n - 4) + 3δ(n - 6) vaø h(n) = 2δ(n +3) + δ(n) + 2δ(n - 2) + δ(n - 3) Baøi taäp 1.20 Neáu x(n) = (3/4)nu(n - 2) vaø h(n) = (2)nu(-n - 5), tìm tích chaäp y(n) = x(n)*h(n) Baøi taäp 1.21 Ñaët x(n) = bnu(n) vaø h(n) = anu(n), tìm tích chaäp y(n) = x(n)*h(n) giaû söû raèng a ≠ b. Baøi taäp 1.22 Neáu x(n) = anu(n), tìm tích chaäp y(n) = x(n)*x(n). Baøi Taäp 1.23 Cho tích chaäp cuûa hai haøm böôùc ñôn vò. ∞ r ( n) = u ( n) * u ( n) = ∑ u(k )u(n − k ) k = −∞ Haõy tìm daõy r(n). Baøi Taäp 1.24 Cho tích chaäp cuûa haøm xung ñôn vò δ(n – n0) vôùi tín hieäu x(n). ∞ y ( n) = x ( n) * δ ( n − n0 ) = ∑ x(k )δ (n − k − n ) k = −∞ 0 Haõy tìm daõy y(n). Baøi Taäp 1.25 Cho y(n) laø tích chaäp cuûa h(n) vôùi tín hieäu x(n). x(n) = u(n) – u(n – n1 – 1 ) vaø h(n) = u(n) – u(n – n2 – 1 ) Haõy tìm daõy y(n). Baøi Taäp 1.26 Cho y(n) tích chaäp cuûa h(n) vôùi tín hieäu x(n). x(n) cos Ω 0 n vaø h(n) = u(n) – u(n – N ) Haõy tìm daõy y(n). Baøi Taäp 1.27 Cho tích chaäp cuûa hai haøm böôùc ñôn vò. ∞ r ( n) = u ( n) * u ( n) = ∑ u(k )u(n − k ) k = −∞ Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 42
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Haõy tìm daõy r(n). Baøi Taäp 1.28 Cho tích chaäp cuûa haøm xung ñôn vò δ(n – n0) vôùi tín hieäu x(n). ∞ y ( n) = x ( n) * δ ( n − n0 ) = ∑ x(k )δ (n − k − n ) k = −∞ 0 Haõy tìm daõy y(n). Baøi Taäp 1.29 Cho y(n) laø tích chaäp cuûa h(n) vôùi tín hieäu x(n). x(n) = u(n) – u(n – n1 – 1 ) vaø h(n) = u(n) – u(n – n2 – 1 ) Haõy tìm daõy y(n). Baøi Taäp 1.30 Cho y(n) tích chaäp cuûa h(n) vôùi tín hieäu x(n). x(n) cos Ω 0 n va ø h(n) = u(n) – u(n – N ) Haõy tìm daõy y(n). Baøi taäp 1.31 Ñaùp öùng maãu ñôn vò cuûa heä thoáng dòch-baát bieán tuyeán tính laø : h(n) = 3δ(n - 3) + 0,5δ(n - 4) + 0,2δ(n - 5) + 0,7δ(n - 6) - 0,8δ(n - 7) Tìm ñaùp öùng cuûa heä thoáng vôùi ngoõ vaøo x(n) = u(n - 1). Baøi taäp 1.32 Ñaùp öùng maãu ñôn vò cuûa heä thoáng dòch-baát bieán tuyeán tính laø : h(n) = u(-n) Tìm ngoõ ra neáu ngoõ vaøo laø x(n) = (1/3)nu(n). Baøi taäp 1.33 Ñaùp öùng maãu ñôn vò cuûa heä thoáng dòch-baát bieán tuyeán tính theo hình beân döôùi a. Tìm ñaùp öùng cuûa heä thoáng öùng vôùi ngoõ vaøo u(n - 4). b. Tìm ñaùp öùng cuûa heä thoáng öùng vôùi ngoõ vaøo laø x(n) = (-1)nu(n). Baøi taäp 1.34 Ngoõ vaøo cuûa heä thoáng dòch-baát bieán tuyeán tính laø haøm böôùc ñôn vò, x(n) = u(n) vaø ñaùp öùng laø y(n) = δ(n), tìm ñaùp öùng maãu ñôn vò cuûa heä thoáng. Baøi taäp 1.35 Ñaùp öùng maãu ñôn vò cuûa heä thoáng dòch-baát bieán tuyeán tính laø : h(n) = (1/3)nu(n). Tìm ñaùp öùng cuûa heä thoáng öùng vôùi ngoõ vaøo haøm muõ phöùc : x(n) = e (jnπ/4). Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 43
Chöông 1 - Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Baøi taäp 1.36 Haõy xeùt caùc heä thoáng sau ñaây coù phaûi laø baát bieán theo bieán n hay khoâng ? a. y(n) = x2(n) b. y(n) = nx(n) Baøi taäp 1.37 Cho hai tín hieäu rôøi raïc x1(n) vaø x2(n) : x1(n) = rect4(n) x2(n) = u(n) vaø hai heä thoáng tuyeán tính baát bieán coù ñaùp öùng xung laø g(n) vaø h(n) : g(n) = rect4(n) h(n) = rect4(n + 1) a. Haõy tìm ñaùp öùng ra cuûa töøng heä thoáng vôùi töøng daõy vaøo x1(n) vaø x2(n). b. Haõy nhaän xeùt tính nhaân quaû cuûa chuùng. Baøi taäp 1.38 Haõy tìm ñaùp öùng xung cuûa heä thoáng tuyeán tính baát bieán coù ñaùp öùng ra laø : m 1 1 y (n) = x(n) + x(n − 1) + ... +   x(n − m) + ... 2  2 Nhaän xeùt tính nhaân quaû vaø tính oån ñònh. Baøi taäp 1.39 Giaû söû e(n) laø tín hieäu rôøi raïc coù daïng haøm muõ : e(n) = αn vôùi moïi n, α : haèng soá. Vaø ta coù tín hieäu baát kyø x(n) vaø y(n). Chöùng minh raèng : [e(n).x(n)] * [e(n).y(n)] = e(n) [x(n) * y(n)] Baøi taäp 1.40 Cho hai heä thoáng tuyeán tính baát bieán gheùp vôùi nhau theo hình BT 1.40 Vôùi h1(n) = 2n vôùi moïi n n h2(n) = ( 1/3) u(n) Haõy tìm ñaùp öùng xung h(n) cuûa heä thoáng toång quaùt. Haõy nhaän xeùt tính nhaân quaû cuûa heä thoáng h1(n), h2(n) vaø heä thoáng toång quaùt h(n) h1(n) h2(n) x(n) y(n) Hình BT 1.40 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 44