Xử lý tín hiệu số_Chương III (Phần 1)

Chia sẻ: Le Ngoc Thin | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

256
lượt xem 88
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chương 3 trình bày về biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục. Trong chương này, chúng ta sẽ dùng công cụ toán học biến đổi Fourier để chuyển việc biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc từ miền biến số độc lập n sang miền tần số liên tục ôm. Chúng ta xem xét sự liên tục biểu diễn ở hình 3.1

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Xử lý tín hiệu số_Chương III (Phần 1)

Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc Chöông III BIEÅU DIEÃN TÍN HIEÄU VAØ HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC TRONG MIEÀN TAÀN SOÁ LIEÂN TUÏC 3.1 Môû Ñaàu Trong chöông naøy, chuùng ta seõ duøng coâng cuï toaùn hoïc bieán ñoåi Fourier ñeå chuyeån vieäc bieåu dieãn tín hieäu vaø heä thoáng rôøi raïc töø mieàn bieán soá ñoäc laäp n sang mieàn taàn soá lieân tuïc ω. Chuùng ta xem xeùt söï lieân heä bieåu dieãn ôû hình 3.1. ZT Mieàn n Mieàn Z IZT FT Quan heä giöõa ZT vaø FT IFT Mieàn ω Hình 3.1 3.2 Bieán Ñoåi Fourier Cuûa Tín Hieäu Rôøi Raïc 3.2.1 Ñònh Nghóa Bieán Ñoåi Fourier a. Ñònh Nghóa Bieán ñoåi Fourier cuûa moät tín hieäu rôøi raïc x(n) ∞ X ( e jω ) = ∑ x ( n)e n = −∞ − jωn (3.1) Coâng thöùc treân cho thaáy, ta bieán ñoåi tín hieäu x(n) trong mieàn bieán soá ñoäc laäp n sang tín hieäu X(ejω) trong mieàn taàn soá ω (taàn soá f = (ω/2π)). Ta kyù hieäu söû duïng toùan töû sau : FT[x(n)] = X(ejω) x(n) → X (e jω ) FT b. Phöông Phaùp Theå Hieän X(ejω) • Theå hieän döôùi daïng phaàn thöïc vaø phaàn aûo. Bôûi vì X(ejω) X (e jω ) = Re[ X (e jω )] + j Im X (e jω ) (3.2) Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 88
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc Re[ X (e jω )] : Phaàn thöïc cuûa X(ejω) Im[ X (e jω )] : Phaàn aûo cuûa X(ejω) • Theå hieän döôùi daïng Modun vaø argument (3.3) jω X (e jω ) = X (e jω ) e j arg[ x ( e )] | | : laø modun arg : goïi laø argument. X (e jω ) : goïi laø phoå bieân ñoä cuûa x(n). arg X (e jω ) : goïi laø phoå pha cuûa x(n). Quan heä giöõa phoå bieân ñoä, phoå pha, phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa X(ejω). X (e jω ) = Re 2 [ X (e jω )] + Im 2 [ X (e jω )] (3.4) Im[ X (e jω )] jω arg[ X (e )] = arctg (3.5) Re[ X (e jω )] ϕ (ω ) ≡ arg[ X (e jω )] (3.6) Vaäy ta coù : X (e jω ) = X (e jω ) e jϕ (ω )] (3.7) • theå hieän döôùi daïng ñoä lôùn vaø pha Giaû söû ta theå hieän X (e jω ) ôû daïng sau ñaây : X(e jω ) = A(e jω )e jϕ ( ω) (3.8) A(e jω ) = X (e jω ) (3.9) 2kπ , A(e jω ) ≥ 0; k = 0,±1,2 ± ... arg[A(e )] =  jω (3.10)  ( 2k + 1) π , A(e jω ) < 0 3.2.2. Söï Toàn Taïi Cuûa Bieán Ñoåi Fourier Chuoãi trong phöông trình (3.1) laø hoäi tuï neáu vaø chæ neáu x(n) thoaõ maõn ñieàu kieän sau : ∞ ∑ x ( n) < ∞ n = −∞ (3.11) Neáu ñieàu kieän thoaû maõn thì chuoåi (3.1) seõ hoäi tuï tuyeät ñoái veà moät haøm lieân tuïc cuûa ω. Nhaän xeùt : Veà maët toaùn hoïc, chuùng ta coù quan heä sau ñaây luoân ñuùng. 2 ∞  ∞  ∑ x ( n) ≤  ∑ x ( n)  (3.12) 2 Ex = n = −∞  n = −∞  neáu Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 89
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc ∞ ∑ x ( n) < ∞ n = −∞ thì 2  ∞   ∑ x(n)  < ∞  n = −∞  vaø ta cuõng coù : ∞ ∑ x ( n) (3.13) 2 Ex =
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc Vaäy X4(ejω) laø toàn taïi. 3.2.3 Bieán Ñoåi Fourier Ngöôïc (IFT) Chuùng ta bieát raèng X(ejω) laø moät haøm tuaàn hoaøn cuûa bieán taàn soá ω coù chu kyø laø 2π vaø X(ejω) toàn taïi neáu ñieàu kieän (3.11) ñöôïc thoaû maõn. Vaäy chuùng ta coù theå khai trieån haøm X(ejω) thaønh chuoåi Fourier trong khoaûng (-π, π) vì theá, chuùng ta coù theå xem nhöõng heä soá sau khi khai trieån laø x(n), coù nghóa chuùng ta coù theå tìm thaáy x(n) töø X(ejω). Töø coâng thöùc (3.11) ta coù : ∞ X ( e jω ) = ∑ x ( n)e n = −∞ − jωn nhaân hai veá phöông trình vôùi ejωl , laáy tích phaân trong khoaûng (-π, π) ta coù : π π  ∞ − jωn  jωl ∫ X (e )e dω = ∫π n∑ x(n)e e dω jω j ωl −π −  = −∞  ta bieát raèng : π 2π , neáu l=n ∫π e jω ( l − n ) dω =  (3.14) − 0 , neáu j≠ n vaäy : ∞ π 2πx (l) , neáu l=n ∑ x (n ) ∫ e ω j (l−n ) dω =  , neáu j≠ n n = −∞ −π 0 cuoái cuøng ta coù : π 1 x(l ) = ∫π X (e jω ) e j ωl d ω (3.15) 2π − Vaäy ta coù caëp bieán ñoåi Fourier sau ñaây : π 1 x ( n) = ∫π X (e jω )e jωn dω (3.16) 2π − ∞ X ( e jω ) = ∑ x(n)e n = −∞ − jω n Ta coù theå duøng toaùn töû sau ñaây ñeå bieåu dieãn bieán ñoåi Fourier ngöôïc : IFT[X(ejω)]=x(n) (3.17) Hoaëc : X (e jω ) → x(n) IFT (3.18) vaø ñeå bieåu dieãn caëp bieán ñoåi Fourier ta coù : FT[x(n)]= X(ejω) IFT [ X (e jω )] = x(n) (3.19) Ví duï 3.2 : Cho  e − j ωn 0 ω ≤ ωc X ( e jω ) =  0 ω coøn laïi Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 91
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc vôùi n0 : soá nguyeân Haõy tìm x(n), haõy veõ X(ejω) vaø x(n) vôùi ωc = π/2, n0 = 4 Giaûi : Töø bieåu thöùc (3.15) ta coù : π π 1 1 ∫π X (e ∫π e jω j ωn jω ( n − n0 ) x ( n) = )e dω = dω 2π − 2π − 1 1 ω ω sin[ω c (n − n0 )] = e jω ( n − n0 ) c = c 2π j (n − n0 ) − ωc π ω c ( n − n0 ) ωc = sin c[ω c (n − n0 )] π vôùi ωc = π/2, n0 = 4 ta coù : |X(ejω)| Hình 3.2a ω -2π -π -π/2 0 π/2 π 2π arg[X(ejω)]=ϕ(ω) 10π Hình 3.2b ω -5π/2 -2π -3π/2 -π -π/2 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 jω  e − j ωn 0 ω ≤ ωc X (e ) =  0 ω coøn laïi Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 92
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc π (n − 4) sin 1 2 x ( n) = 2 π (n − 4) 2 x(n) vaø X(ejω) ñöôïc veõ treân hình 3.2.3.1 1 ω ≤π /2 X ( e jω ) =  x (n ) 0 ω coøn laïi 1/2π 1/π 1 n Hình 3.2 -1/3π 3.3 Caùc Tính Chaát Cuûa Bieán Ñoåi Fourier 3.3.1. Tính Chaát Tuyeán Tính Giaû söû coù hai tín hieäu x1(n) vaø x2(n) vaø bieán ñoåi Fourier cuûa chuùng laø : FT[x1(n)]= X1(ejω) FT[x2(n)]= X2(ejω) Chuùng ta coi x(n) ñöôïc taïo bôûi toå hôïp tuyeán tính cuûa hai daõy x1(n) vaø x2(n) nhö sau : x(n) = a1x1(n) + a2x2(n) (3.20) ôû ñaây a vaø b laø hai haèng soá. ∞ FT[ x ( n )] = X(e jω ) = ∑ [a x n = −∞ 1 1 (n ) + a 2 x 2 (n )]e − jωn 3.3.2 Tính Chaát Treã Giaû söû y(n) laø phieân baûn treã cuûa x(n) laø : y(n) = x(n – n0) (3.21) n0 : soá nguyeân. Ta coù ∞ ∞ Y (e jω ) = FT [ y (n)] = ∑ y(n)e − jωn = n = −∞ ∑ x(n − n n = −∞ 0 )e − jωn Ñoåi bieán soá : l = n – n0, ta coù : ∞ Y ( e jω ) = ∑ x(l )e n = −∞ − j ωl e − jωn0 = e − jωn0 X (e jω ) (3.22) Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 93
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc Bieåu thöùc (3.21) vaø (3.22) theå hieän tính chaát treã cuûa bieán ñoåi Fourier. Neáu ta bieåu dieãn Y (e jω ) ôû daïng modul vaø argument, ta coù : Y ( e jω ) = X ( e jω ) (3.23) arg[Y (e jω )] = −ωn0 + arg[ X (e jω )] Töø bieåu thöùc (3.23), ta thaáy raèng tín hieäu x(n) treã ñi n0 maãu trong mieàn soá ñoäc laäp n, thì trong mieàn taàn soá phoå bieân ñoä cuûa noù giöõ nguyeân khoâng ñoåi, coøn phoå pha cuûa noù seõ taêng theâm moät löôïng -ωn0. Ví duï 3.3: Cho x(n) = rectN(n – n0) - Haõy tìm X(ejω) - Haõy tìm phoå bieân ñoä vaø phoå pha cuûa x(n). Giaûi : aùp duïng tính chaát treã ta coù : FT [ x(n)] = X (e jω ) = FT [rect N (n − n0 )] = e − jωn0 FT [rect N (n)] laàn löôït tính ta coù : ωN ωN − j ( N −1) ω sin − jω ( n0 + N −1 ) sin X (e jω ) = e − jωn0 e 2 2 =e 2 2 ω ω sin sin 2 2 Vaäy phoå bieân ñoä vaø phoå pha cuûa x(n) nhö sau : ωN sin X ( e jω ) = 2 ω sin 2  ωN   sin 2  [ jω ] arg X (e ) = −ω (n0 + N −1 ) + arg   2  sin ω    2   3.3.3 Tính Chaát Ñoái Xöùng Trong tröôøng hôïp toång quaùt, tín hieäu x(n) laø tín hieäu phöùc, ta coù theå vieát : x(n) = Re[x(n)] + jIm[x(n)] (3.24) Vaäy daõy lieân hôïp cuûa x(n) laø x*(n) coù daïng x*(n) = Re[x(n)] - jIm[x(n)] (3.25) Baây giôø ta tìm quan heä giöõa FT[x*(n)] vaø FT[x(n)] : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 94
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc ∞ FT [ x(n)] = X (e jω ) = ∑ x ( n)e n = −∞ − jωn * ∞  ∞    *  FT [ x (n)] = * ∑x * ( n )e − j ωn =  ∑ x * (n)e − jωn    n = −∞   n = −∞   *  ∞  { } =  ∑ x * (n)e jωn  = X (e − jω ) = X * (e − jω ) * n = −∞  Vaäy FT [ x * (n)] = X * (e − jω ) (3.26) Neáu x(n) laø thöïc thì : x * (n) ≡ x(n) vaø FT [ x * (n)] = FT [ x(n)] Vaäy ñoái vôùi tín hieäu x(n) thöïc, ta coù quan heä sau ñaây : X * ( e − jω ) = X ( e jω ) (3.27) hay X * ( e jω ) = X ( e − jω ) (3.28) Töø quan heä (3.27) hay (3.28) ta coù theå noùi raèng phoå cuûa tín hieäu thöïc coù tính ñoái xöùng Hermit (Hermitian Symmetry). Töø ñaây ta thaáy raèng, ñoái vôùi x(n) thöïc ta coù : Re[ X (e jω )] = Re[ X (e − jω )] (3.29) jω Im[ X (e )] = − Im[ X (e − jω )] (3.30) Töùc laø Re[ X (e jω )] : laø haøm chaün cuûa ω Im[ X (e jω )] : laø haøm leû cuûa ω Töông töï ñoái vôùi modun vaø argument ta cuõng coù : X ( e jω ) = X ( e − jω ) (3.31) arg[ X (e jω )] = − arg[ X (e − jω )] (3.32) Vaäy ta noùi raèng X (e jω ) laø ñoái xöùng (hoaëc ñoái xöùng chaün), coøn arg[ X (e jω )] laø phaûn ñoái xöùng (hoaëc ñoái xöùng leû). Ví duï 3.4: n  3 Cho x(n) =   u (n)  4 Haõy tính X (e jω ), Re[ X (e jω )], Im[ X (e jω )], X (e jω ) , arg[ X (e jω )] . Giaûi : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 95
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc ∞ ∞ n ∞ n  3 3  FT [ x(n)] = X (e ) = jω ∑ x ( n)e n = −∞ − jωn = ∑   e − jωn = ∑  e − jω  n =0  4  n =0  4  3 3 3 1 − e jω 1 − cos ω − j sin ω 1 4 4 4 = = = 3 − jω  3 − jω  3 jω  3  3 n 1− e  1 − e 1 − e  1 − cos ω +   4  4  4  2  4 Vaäy ta coù 3 1 − cos ω Re[ X (e jω )] = 4 2 3  3 1 − cos ω +   2  4 3 sin ω Im[ X (e jω )] = 4 2 3  3 1 − cos ω +   2  4 aùp duïng quan heä (3.4) vaø (3.5) ta coù : 1 X ( e jω ) = 2 3  3 1 − cos ω +   2  4 3 sin ω jω arg[ X (e )] = − arg 4 3 1 − cos ω 4 3.3.4 Tính Chaát Bieán Soá n Ñaûo Giaû söû coù tín hieäu x(n) vaø bieán ñoåi Fourier cuûa noù laø : FT [ x(n)] = X (e jω ) = X (e jω ) e j arg [X ( e ) ] ω j Baây giôø ta tính bieán ñoåi Fourier cuûa tín hieäu x(-n) : ∞ FT [ x(n)] = ∑ x ( − n)e n = −∞ − jωn ñoåi bieán soá l = - n, ta coù : ∞ FT [ x(− n)] = X (e − jω ) = ∑ x(l )e l = −∞ − jωl vaäy FT [ x(− n)] = X (e − jω ) Neáu x(-n) laø thöïc thì töø tính ñoái xöùng Hermit ta coù : FT [ x(− n)] = X (e − jω ) = X (e − jω ) e j arg [X ( e ) ] = X (e − jω ) e − j arg [X ( e ) ] ω −j ω j Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 96
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc Vaäy vôùi tín hieäu x(n) thöïc, ta coù theå noùi raèng : neáu tín hieäu bò ñaûo bieán soá n ngöôïc laïi quanh goác toaï ñoä thì phoå bieân ñoä cuûa noù giöõ nguyeân khoâng ñoåi, coøn phoå pha cuûa noù bò ñoåi daáu. 3.3.5 Tích Chaäp Cuûa Hai Tín Hieäu Giaû xöû ta coù hai tín hieäu x1(n) vaø x2(n) FT [ x1 (n)] = X 1 (e jω ) ; FT [ x 2 (n)] = X 2 (e jω ) Ta coù daõy x3(n) nhö sau : x3(n) = x1(n) *ø x2(n) baây giôø ta tìm bieán ñoåi Fourier cuûa x3(n) theo haøm cuûa X 1 (e jω ) vaø X 2 (e jω ) FT [ x3 (n)] = FT [ x 2 (n) * x 2 (n)] = X 3 (e jω ) ∞  ∞  − jωn ∞ ∞ = ∑  ∑ x1 (k )x 2 (n − k ) e = ∑ x1 (k ) ∑ x 2 (n − k )e − jωn n = −∞  k = −∞  k = −∞ n = −∞ aùp duïng tính chaát treã (3.3.2.2) ta coù : ∞ ∞ X 3 (e jω ) = ∑ x1 (k )e − jωk . X 2 (e jω ) = X 2 (e jω ) ∑ x1 (k )e − jωk k = −∞ k = −∞ vaäy : X 3 (e jω ) = X 1 (e jω ). X 2 (e jω ) 3.3.6 Tích Cuûa Hai Daõy Neáu ta coù : FT [ x1 (n)] = X 1 (e jω ) FT [ x 2 (n)] = X 2 (e jω ) thì (e ).X π 1 ∫π X jω j (ω −ω ' ' FT [ x1 (n).x 2 (n)] ≡ FT [ x3 (n))] ≡ X 1 (e ) = ( e j ω ) dω ' 2π 1 2 − Chöùng minh : (e ).e π ∞ ∞  1  jω X 3 (e ) = ∑ x (n).x (n)e − jωn = ∑ x1 (n)  ∫π X jω ' jω ' dω ' .e − jωn  2π 1 2 2 n = −∞ n = −∞ −  ( ) π ∞ 1 ∫ ∑ x (n)e − j (ω −ω ' ) ' = X 2 e j ω dω ' 2π 1 −π n = −∞ Vaäy ta coù : ( ) π ( ) X 3 e jω = 1 2π ∫π X 1 ' (e − j (ω −ω ) ) X 2 e jω dω ' ' (3.33) − = X 1 ( e ) * X 2 ( e jω ) jω = X 2 ( e jω ) * X 1 ( e jω ) (3.34) Quan heä (3.33) vaø (3.34) ñöôïc goïi laø tích chaäp lieân tuïc vaø tuaàn hoaøn vôùi chu kyø 2π. Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 97
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc 3.3.7 Vi Phaân Trong Mieàn Taàn Soá Neáu FT [ x(n)] = X (e jω ) dX (e jω ) Thì FT [nx(n)] = j (3.35) dω Chöùng minh : ∞ X ( e jω ) = ∑ x(n)e n = −∞ − jω n dX (e jω ) d  ∞ − jωn  ∞ d − jωn ∞ dω =  ∑ x(n)e dω  n = −∞  = ∑ x(n) dω e = − j ∑ nx(n)e − jωn  n = −∞ n = −∞ Vaäy ta coù : dX (e jω ) ∞ j = ∑ nx(n)e − jωn = FT [nx(n)] dω n = −∞ 3.3.8 Treã Taàn Soá Neáu ta coù : FT [ x(n)] = X (e jω ) thì : FT[e jω n x (n )] = X(e j( ω− ω ) ) 0 0 (3.36) Chöùng minh : Theo ñònh nghóa cuûa bieán ñoåi Fourier ta coù : ∞ ∞ FT [e jω 0 n x(n)] = ∑ x(n)e jω0n e − jωn = n = −∞ ∑ x(n)e n = −∞ − j (ω −ω 0 ) n = X (e j (ω −ω 0 ) ) Nhaän xeùt : Vieäc nhaân daõy x(n) vôùi e jω n trong mieàn bieán soá n seõ töông ñöông vôùi vieäc dòch 0 chuyeån taàn soá cuûa phoå X (e jω ) ñi moät löôïng ω0. Phoå X (e jω ) ñöôïc minh hoaï trong hình π 3.3 dòch ñi moät löôïng 2 . 3 X(ejω) ω -2π -π 0 π/3 2π/3 π 2π Hình 3.3a Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 98
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc X(ejω) ω -2π -π 0 π/3 2π/3 π 2π Hình 3.3b 3.3.9 Quan Heä Parseval Neáu ta coù FT [ x1 (n)] = X 1 (e jω ) FT [ x 2 (n)] = X 2 (e jω ) thì π ∫π ∑ X (e )X (e )dω ∞ ∞ 1 ∑ x1 (n)x2* (n) = n = −∞ 2π ω ω 1 j * 2 j (3.37) − n = −∞ Quan heä (3.37) goïi laø quan heä Parseval Chöùng minh : π π ( ) ∫π X (e )e ∞ ∞ ∞ 1 1 ∑ x1 (n)x2* (n) = n = −∞ ∑ x1 (n) n = −∞ 2π ∫ X 2 e e dω = jω jωn ∑ x1 (n) n = −∞ 2π * 2 ωj − jωn dω −π − π π  ∞  = 1 2π ∫π * ( ) X 2 e jω  ∑ x1 (n)e − jωn dω = 1 2π ∫π X (e )X (e )dω * 2 ωj ω 1 j − n = −∞  − trong tröôøng hôïp x1(n) = x2(n) = x(n) quan heä Parseval cho ta : π ∫π X (e ) ∞ 1 ∑ 2 (3.38) 2 ω x ( n) = j dω n = −∞ 2π − 2 X ( e jω ) goïi laø phoå maät ñoä naêng löôïng cuûa x(n), noù theå hieän söï phaân boá naêng löôïng theo haøm cuûa taàn soá. Ta kyù hieäu noù laø SXX(ejω) 2 S XX (e jω ) = X (e jω ) (3.39) Ta bieát raèng naêng löôïng cuûa tín hieäu x(n) laø Ex : ∞ ∑ x ( n) 2 Ex = n = −∞ Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 99
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc Nhö vaäy quan heä Parseval chính laø quan heä giöõa naêng löôïng tìn hieäu vaø phoå maät ñoä naêng löôïng cuûa tín hieäu ñoù. Trong tröôøng hôïp x(n) laø thöïc thì X (e jω ) laø ñoái xöùng : X ( e jω ) = X ( e − jω ) Vaäy ta coù theå noùi raèng, neáu x(n) laø thöïc thì SXX(ω) cuõng laø ñoái xöùng : S XX (e jω ) = S XX (e − jω ) (3.40) 3.3.10 Ñònh Lyù Töông Quan Vaø Ñònh Lyù Wiener Khintchine Neáu ta coù : FT [ x1 (n)] = X 1 (e jω ) FT [ x 2 (n)] = X 2 (e jω ) thì [ ] FT rx1x2 (n) = R x1x2 (e jω ) = X 1 e jω X 2 e − jω ( ) ( ) (3.41) Chöùng minh : [ ] ∑r ∞ ∞ ∞ FT rx1x2 (n) = n = −∞ x1 x2 ( n )e − jωn = ∑ [ ∑ x1 (m)x2 (m − n)]e − jωn n = −∞ m = −∞ ∞ ∞ = ∑ x ( m) ∑ x m = −∞ 1 n = −∞ 2 (m − n)e − jωn ñoåi bieán m – n = l ∞ ∞ ∞ = ∑ m = −∞ x1 (m) ∑ x 2 (l )e − jω ( m −l ) = n = −∞ ∑ x ( m) X m = −∞ 1 2 (e − jω )e − jωm − jω = X 2 (e ) X 1 ( e ) = X 1 ( e ) X 2 ( e − jω ) jω jω Nhaän xeùt : Neáu x2(n) laø thöïc ta coù : ( ) ( R x1 x2 (e jω ) = X 1 e jω X 2 e − jω = X 1 e jω X 2 e − jω * ) ( ) ( ) (3.42) Neáu x1(n) = x2(n) = x(n) ta coù haøm töï töông quan ( ) ( R xx (e jω ) = X e jω X e − jω ) Neáu haøm töï töông quan cuûa x(n) thöïc, ta coù : ( ) ( R xx (e jω ) = X e jω X * e − jω = X e jω ) ( ) 2 = S xx (e jω ) Vaäy bieán ñoåi Fourier cuûa haøm töï töông quan seõ baèng phoå maät ñoä naêng löôïng cuûa tín hieäu. Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 100
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc ( ) R xx (e jω ) = S xx (e jω ) = X e jω 2 (3.43) Quan heä (3.43) ôû treân goïi laø ñònh lyù Weiner-Khintchine. Ñoái vôùi bieán ñoåi Fourier cuûa haøm töông quan cheùo, ta coøn goïi laø R x x (e jω ) laø phoå maät1 2 ñoä naêng löôïng cheùo cuûa x1(n) vaø x2(n) vaø kyù hieäu laø S x x (e ) . 1 2 jω ( ) ( R x1x2 (e jω ) ≡ S x1x2 (e jω ) = X 1 e jω X 2 e − jω ) (3.44) 3.3.11 Toång Keát Caùc Tính Chaát Cuûa Bieán Ñoåi Fourier Ñoái Vôùi Tín Hieäu Rôøi Raïc Baûng 3.1. Tính chaát Mieàn bieán soá n Mieàn taàn soá lieân tuïc ω Kyù hieäu x(n) X ( e jω ) x1(n) X 1 ( e jω ) x2(n) X 2 (e jω ) Caëp bieán ñoåi Fourier 1 π ∞ ∫ X ( e ) e dω ∑ x ( n)e jω jωn x ( n) = X ( e jω ) = − j ωn 2π −π n = −∞ Tuyeán tính ax1 (n) + bx 2 (n) aX1(ejω) + bX2(ejω) Treã x(n – n0) e − jωn0 X (e jω ) Ñoái xöùng x(n) thöïc X * ( e jω ) = X ( e − jω ) Re[ X (e jω )] = Re[ X (e − jω )] Im[ X * (e jω )] = − Im[ X (e − jω )] X ( e jω ) = X ( e − jω ) arg[ X (e jω )] = − arg[ X (e − jω )] Lieân hôïp phöùc * X * (e − jω ) X (n) Bieán soá ñaûo X ( e − jω ) x(-n) Tích chaäp X 1 (e jω ). X 2 (e jω ) x1(n) * x2(n) π 1 ∫π X ' 1 (e j (ω −ω ) ) X 2 (e jω )dω ' Tích (ñaïi soá) 2π 1 x1(n) . x2(n) − Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 101
Chöông 3 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Lieân Tuïc dX (e − jω ) j Vi phaân trong mieàm ω nx(n) dω Treã taàn soá e jω 0 n x ( n ) X (e j (ω −ω 0 ) ) 1 1 X (e j (ω +ω 0 ) ) + X (e j (ω +ω 0 ) ) Ñieàu cheá x(n) cosω0n 2 2 π 1 ∫π X ( e j ω ) X 2 ( e j ω ) dω * 2π 1 Quan heä Parseval ∞ ∑ x ( n) x n = −∞ 1 * 2 ( n) 1 − π 2 ∫π X (e jω ∞ ) dω 2π ∑ x ( n) 2 − n = −∞ X 1 (e jω ). X 2 (e − jω ) ∞ Töông quan rx1 x2 (n) = ∑ x ( m) x m = −∞ 2 ( m − n) 2 R xx (e jω ) = S xx (e jω ) = X (e jω ) Ñònh lyù Weiner – rx x (n) 1 2 Kintchine 3.4 So Saùnh Bieán Ñoåi Fourier Vôùi Bieán Ñoåi Z Quan Heä Giöõa Bieán Ñoåi Fourier Vôùi Bieán Ñoåi Z Bieán ñoåi Z cuûa daõy x(n) ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : ∞ ZT[(n )] = X(z) = ∑ x (n )z −n (3.45) n = −∞ Mieàn hoäi tuï laø ROC: r1 < Z < r2 , r1 : baùn kính voøng trong, r2 : baùn kính voøng ngoaøi Chuùng ta coù theå bieåu dieãn bieán ñoåi Z döôùi daïng toaï ñoä cöïc sau ñaây: z = re jω (3.46) ôû ñaây Z = r vaø arg[Z ] = ω Tieáp tuïc chuùng ta coù : ∞ ∞ ZT [x(n)] = X ( z ) = X (re jω ) = ∑ x(n)(re ω ) j −n = ∑ x ( n) r −n e − jωn (3.47) n = −∞ n = −∞ Töø bieåu thöùc (3.47) ta coù theå bieán ñoåi Z X(z) nhö laø bieán ñoåi Fourier cuûa daõy tín hieäu Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 102