Yếu tố ma trận cho nguyên tử Heli

Chia sẻ: ViHercules2711 ViHercules2711 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

51
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Yếu tố ma trận cho nguyên tử heli được biểu diễn dưới dạng giải tích, thuận lợi cho việc lập trình tìm nghiệm số của bài toán. Bộ hàm cơ sở của bài toán được viết dưới dạng bộ hàm sóng của dao động tử điều hòa tám chiều thuận tiện cho tính toán. Yếu tố ma trận này có thể mở rộng để tìm nghiệm số cho các bài toán phức tạp hơn, như bài toán nguyên tử heli trong từ trường.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Yếu tố ma trận cho nguyên tử Heli

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY ISSN: 1859-3100 Tập 15, Số 12 (2018): 153-166 Vol. 15, No. 12 (2018): 153-166 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn YẾU TỐ MA TRẬN CHO NGUYÊN TỬ HELI Cao Hồ Thanh Xuân1*, Lý Duy Nhất2, Hoàng Đỗ Ngọc Trầm2 1 Phòng Đào tạo và Quản lí Nghiên cứu khoa học – Trường Cao đẳng Nông nghiệp Nam Bộ 2 Khoa Vật lí – Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Ngày nhận bài: 17-8-2018, ngày nhận bài sửa 25-9-2018, ngày duyệt đăng: 21-12-2018 TÓM TẮT Yếu tố ma trận cho nguyên tử heli được biểu diễn dưới dạng giải tích, thuận lợi cho việc lập trình tìm nghiệm số của bài toán. Bộ hàm cơ sở của bài toán được viết dưới dạng bộ hàm sóng của dao động tử điều hòa tám chiều thuận tiện cho tính toán. Yếu tố ma trận này có thể mở rộng để tìm nghiệm số cho các bài toán phức tạp hơn, như bài toán nguyên tử heli trong từ trường. Từ khóa: nguyên tử heli, hệ nguyên tử ba chiều, phương pháp toán tử FK, bộ hàm cơ sở, yếu tố ma trận. ABSTRACT Matrix elements for helium atom Matrix elements for a helium atom is represented in the analytical form. This is convenient for programming to obtain the exact numerical energies. A basic set in the algebraic form given as a set of eight-dimentional harmonic oscillator wave functions is useful for calculating. These matrix elements can be used for more complex atomic systems such as a helium atom in a magnetic field. Keywords: helium atom, three-dimensional atomic systems, FK operator method, basic set, matrix elements. 1. Mở đầu Cấu trúc điện tử của các hệ nguyên tử đơn giản trong từ trường luôn được quan tâm nghiên cứu do có liên quan đến việc nghiên cứu phổ của các sao lùn trắng và sao nơtron trong vật lí thiên văn. Việc nghiên cứu phổ của nguyên tử hydro trong từ trường đã đạt được nhiều kết quả quan trọng trong cả thực nghiệm lẫn lí thuyết (xem [1] và các trích dẫn trong đó). Tuy nhiên, việc phát triển các kết quả nêu trên cho bài toán nguyên tử heli gặp rất nhiều khó khăn, chủ yếu gây ra bởi sự tồn tại tương tác electron-electron trong nguyên tử này. Khó khăn nêu trên hiện vẫn đang được nhiều nhóm nghiên cứu khác nhau quan tâm giải quyết. Trong rất nhiều công trình đã được công bố trước đây, các tính toán cấu trúc nguyên tử heli được phát triển dựa trên lí thuyết của Hartree-Fock (xem [2] và các trích dẫn trong đó). Tuy nhiên, do mức độ phức tạp của các tính toán giải tích, các kết quả thu được chưa * Email: xuancdnb@sac.edu.vn 153 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 12 (2018): 153-166 đáp ứng được yêu cầu mà các nhóm nghiên cứu đã đặt ra. Để nghiên cứu bài toán nguyên tử heli, nhóm chúng tôi đã sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo – Stiefel chuyển bài toán nguyên tử heli sang bài toán dao động tử điều hòa tám chiều, kết hợp với phương pháp toán tử FK [3] - [5] viết lại Hamiltonian của bài toán dưới dạng đại số, đồng thời xây dựng được bộ hàm sóng cơ sở cho bài toán [6]. Phương pháp đại số được sử dụng đã giúp tiết kiệm đáng kể tài nguyên tính toán do bộ hàm cơ sở của bài toán có tính chất đặc thù, vừa vẫn giữ tính chất của bộ hàm cho tương tác Coulomb vừa có dạng của hàm sóng dao động tử điều hòa rất thuận tiện trong tính toán. Để tìm nghiệm số chính xác của bài toán, việc thực hiện các nghiên cứu tiếp theo là cần thiết. Trong công trình này, chúng tôi tiếp tục sử dụng Hamiltonian và bộ hàm cơ sở dạng đại số đã được xây dựng trong công trình [6] để xây dựng các yếu tố ma trận được viết dưới dạng giải tích, thuận lợi cho việc lập trình tính toán tìm nghiệm số chính xác của bài toán về sau. Các yếu tố ma trận này cũng có thể phát triển cho các bài toán phức tạp hơn như bài toán nguyên tử heli trong từ trường và một số bài toán khác. Với bài toán nguyên tử heli, ngoài việc sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo – Stiefel để đưa các thành phần tương tác Coulomb về dạng đa thức, chúng tôi sử dụng thêm phép biến đổi Fourier để đa thức hóa thành phần tương tác electron-electron. Kết quả thu được là các biểu thức tường minh của các yếu tố ma trận, các thành phần khác không của các yếu tố ma trận và miền xác định của các chỉ số lượng tử. Điều này rất quan trọng vì nó giúp tiết kiệm tài nguyên và thời gian tính toán khi lập trình tìm nghiệm số chính xác của bài toán sau này. 2. Phương pháp đại số giải phương trình Schrӧdinger cho nguyên tử heli Phương trình Schrödinger không thứ nguyên cho nguyên tử heli, mô tả chuyển động của hai electron trong trường thế Coulomb, có dạng như sau: ( Hˆ  E )  ( x , y , z ; x , y , z )  0, 1 1 1 2 2 2 1  2 2 2  1  2 2 2  Hˆ    2  2  2    2  2  2  2  x1 y1 z1  2  x2 y2 z2  Z Z 1    , x12  y12  z12 x12  y12  z12 ( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2  ( z1  z2 ) 2 (1) 0 trong đó, đơn vị độ dài là bán kính Bohr a0  4 0  2 / me 2  0.529 A ; đơn vị năng lượng là hai lần hằng số Rydberg Ry   2 / 2 ma02  13.61eV ; Z là điện tích hạt nhân của nguyên tử heli, trong công trình này Z  2 . Sau khi sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel và phép biến đổi Fourier bài toán nguyên tử heli có thể đưa về dạng bài toán dao động tử điều hòa tám chiều như sau: ˆ Y( u , v , u , v , u , v , u , v ) = 0 , % H (2) 1 1 2 2 3 3 4 4 154 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Cao Hồ Thanh Xuân và tgk với Hˆ có dạng tường minh trong không gian (u, v) như sau:  1  2 2  1 2 2  E  Hˆ   u32  v32 u42  v42    2  2    2  2    u12 v12 u22 v22   Z  8  u1 v1  8 u2 v2  2   1  2 2  1 2 2  E   u12  v12 u22 v22    2  2    2  2    u32 v32 u42 v42   Z  8  u3 v3  8 u4 v4  2  ˆ  H (u ,u ,u ,u , v , v , v ,v ). C 1 2 3 4 1 2 3 (3) 4 trong đó, số hạng cuối trong Hamiltonian (3) là thành phần tương tác electron-electron, có chứa các biến số động học ở mẫu số, nhưng vẫn có thể sử dụng các tính toán đại số sau khi biến đổi Fourier:  Hˆ C  u12  v12  u22  v22  u32  v32  u42  v42     (2 )    dt dt dt 1 3/2    2 2 2 2 2 1 3 t12  t22  t33 2 2 2 (4) 2  e2 i (u1u2 v1v2 )t1  2i ( u1v2 u2v1 )t2 i ( u1 u2  v1 v2 ) t3 e 2i ( u3u4  v3v4 )t1 2i (u3v4 u4v3 ) t2 i (u3 u4  v3  v4 ) t3 . Bài toán đang xét bảo toàn moment động lượng theo trục Oz do toán tử:         (5) Lˆ z  Lˆ1 z  Lˆ2 z  i  x1  y1  y2   i  x2 , x1   y2 x2   y1 giao hoán với Hamiltonian. Để sử dụng trong các tính toán, chúng tôi viết toán tử (5) trong không gian (us , vs ) như sau: i      i      Lˆ z    v1  u1  u2  v2  u3  u4  v4    v3 . 2  u1 v1 v2 u2  2  u3 v3 v4 u4  (6) Để sử dụng phương pháp đại số giải bài toán, trước tiên chúng tôi định nghĩa các toán tử sinh hủy như sau:   1    1    ˆ s   uˆs   , ˆ s   uˆs  , 2  uˆs  2  uˆ s   (7)   ˆ    vˆ  1   , ˆ     vˆ  1   ,  s  s  s   s 2  vˆs  2  vˆs   trong đó,  là tham số tự do; s  1, 2,3, 4 . Các toán tử (7) thỏa mãn các giao hoán tử sau: ˆ s ( ), ˆt ( )    st , ˆs ( ), ˆt ( )    st . (8)   Toán tử Lˆ viết dưới dạng các toán tử sinh hủy (7) không có dạng trung hòa. Để thu z được toán tử Lˆ z có dạng trung hòa chúng tôi sử dụng phép biến đổi chính tắc sau để định nghĩa các toán tử sinh hủy mới: 155 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM  ˆ as   bˆ =  s 1 1 ˆ s  iˆs , aˆs  2 2 1 1 ˆ s  iˆs , bˆs  2 2   ˆ    s Tập 15, Số 12 (2018): 153-166   iˆs , (9)  ˆ s  i ˆs , Các toán tử aˆ s , aˆ s , bˆs , bˆs ( s  1, 2,3, 4) giữ nguyên các tính chất của các toán tử sinh hủy, và thỏa mãn các giao hoán tử sau:  aˆs , aˆt    st , bˆs , bˆt    st .   Toán tử Lˆ qua biểu diễn đại số (9) có dạng trung hòa như sau: (10) z 1 1 Lˆz  aˆ1 aˆ1  aˆ2 aˆ2  bˆ1 bˆ1  bˆ2 bˆ2  aˆ3 aˆ3  aˆ4 aˆ4  bˆ3 bˆ3  bˆ4 bˆ4 . 2 2 Hamiltonian (3) qua biểu diễn đại số (9) có dạng như sau:     Hˆ  Hˆ1  Hˆ 2  Hˆ 3  Hˆ 4  Hˆ 5  Hˆ 6 , (11) (12) với: 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Hˆ1  M 3  M3  N3  M4  M4  N4  2 M1  M1  N1  M2  M2  N2  2 , 8 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Hˆ 2  M 1  M1  N1  M2  M2  N2  2 M3  M3  N3  M4  M4  N4  2 , 8 Z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Hˆ 3  M  M  N  M M  N 2 ,  1 1 1 2 2 2 Z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Hˆ 4  M M  N  M  M  N 2 ,  3 3 3 4 4 4 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Hˆ 5  2 M 1  M1  N1  M2  M2  N2  2 M3  M3  N3  M4  M4  N4  2 E,  ˆ M ˆ   Nˆ  2 M ˆ M ˆ   Nˆ  M ˆ M ˆ   Nˆ  2 Sˆ, Hˆ6  Mˆ1  Mˆ1  Nˆ1  M 2 2 2 3 3 3 4 4 4    (13)    (14)   (15)   (16)       (17) (18) và: Sˆ     1 3/2  2   2     dt1dt2 dt3 2 1 2 2 t t t 2 3 Sˆ1Sˆ2 , 156 (19) TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM   Sˆ1           j1  0 j2  0 j3  0 j4  0 j5  0 j6  0 j7  0 j8  0       p1  0 p2  0 p3  0 p4  0 j  j7  p3  p4  j1  it1  t2  j2   2 1   1 1 1  aˆ   1 aˆ1  aˆ 2 aˆ 2 1  2 1  2 2 2   1  t1  t2  t3   j2  j8  p1  p2 j3      2 2 j13  aˆ  ˆ1  bˆ1 bˆ1  aˆ 2 aˆ 2  bˆ2 bˆ2  2 1a    j14 l5  0 l6  0 l7  0 l8  0 j6  1  1 2 1 p4 2 j7 1 1 j8 , 1 2 j9  j10  j15  j16 j9 ! j10 ! j11 ! j12 ! j13 ! j14 ! j15 ! j16 !    1   p5  p6  p7  p8 p5 ! p6 ! p7 ! p8 !  it1  t2  j10 j10  j16  p7  p8 j11 j12 1  it3  j11  j14  p6  p7  l5  l8 p5   aˆ bˆ   aˆ bˆ   aˆ bˆ   aˆ aˆ   bˆ bˆ    4 3 p3 j9  j10  j11  j12  j13  j14  j15  j16  l5  l6  l7 l8 j  j15  p5  p6 j9   1 2 j5 p5  0 p6  0 p7  0 p8  0   it1  t2  9  (20)  aˆ bˆ   aˆ bˆ   aˆ bˆ   aˆ bˆ         Cl5j11 Cl6j12 Cl7j13 Cl8j14  aˆ3 bˆ4  j4  j5  p2  p3  l2  l3  bˆ bˆ   aˆ aˆ  2 2    1  2 2 2   1  t1  t2  t3   1  it3  p2  1 2 1 ˆ ˆ ˆ  ˆ b2 b2  b1 b1  j12 p1  1 2  1  it3  2  2   2 2 2 1  t1  t2  t3  j9  0 j10  0 j11  0 j12  0 j13  0 j14  0 j15  0 j16  0 j11 j3  j6  p1  p4  l1  l4 1  it3  j4 j1  j2  j3  j4  j5  j6  j7  j8  l1  l2  l3 l4   aˆ bˆ   aˆ bˆ   aˆ bˆ   aˆ aˆ   bˆ bˆ   1  it3 2  2   2 2 2 1  t1  t2  t3  Sˆ2  j3 j4 j5 j6 1 Cl j3 Cl j4 Cl j5 Cl j6     j1 ! j2 ! j3 ! j4 ! j5 ! j6 ! j7 ! j8 !l1  0 l2  0 l3  0 l4  0 1 2 3 4   1 1  2 2 2  p1 ! p2 ! p3 ! p4 !  1  t1  t2  t3    it1  t2  1  aˆ1 bˆ2 Cao Hồ Thanh Xuân và tgk 1  1  it3 2  2   2 2 2  1  t1  t2  t3    3 3  aˆ 1  2 1  2 2 2   1  t1  t2  t3   ˆ 3 aˆ 3 4 aˆ 4  a  aˆ    4 4  3 4 1 ˆ ˆ ˆ ˆ b3 b3  b4 b4  1  it3 2  2   2 2 2 1  t1  t2  t3   ˆ3  bˆ3 bˆ3  aˆ 4 aˆ 4  bˆ4 bˆ4  2 3a  3 4   1  it3  j12  j13  p5  p8  l6  l7 p6  p7  bˆ bˆ   aˆ aˆ   3 4 j13 j14  3 4 j15 p8  aˆ bˆ   aˆ bˆ   aˆ bˆ   aˆ bˆ  4 4 3 3 (21) 4 3 3 4 j16 , Mˆ i  aˆi bˆi , Mˆ i  aˆi bˆi , Nˆ i  aˆi aˆi  bˆibˆi , i  1, 2, 3, 4, (22)  Mˆ i , Mˆ i   Nˆ i  1,  Mˆ i , Nˆ i  1  2 Mˆ i ,  Nˆ i  1, Mˆ i   2 Mˆ i .       Biểu thức (18) mô tả thành phần tương tác electron-electron trong nguyên tử heli. 3. Bộ hàm cơ sở dạng đại số Bộ hàm cơ sở dạng đại số đã được xây dựng trong công trình [6], thỏa mãn hai điều kiện như sau: (1) là hàm sóng riêng của hệ hai dao động tử điều hòa bốn chiều (tám bậc tự do), (2) là hàm sóng riêng của toán tử Lˆ , và có dạng tường minh như sau: z n1 , m1 , n2 , m2 , k1 , k 2 ( )  n1 , m1 , k1 ( ) n2 , m2 , k 2 ( ) , 157 (23)