Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui

Chia sẻ: Nguyễn Quang Pháp | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:112

Thêm vào BST

Báo xấu

178
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các hệ số hồi qui là các dạng đặc biệt của biến ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ chứng minh điều này bởi việc sử dụng mô hình hồi qui đơn trong đó Y phụ thuộc vào X. Hai phương trình trên chỉ ra mô hình thức thế và mô hình ước lượng phù hợp

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui

Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui Mô hình thực tế Y = β1 + β2X + u Mô hình ước lượng phù ˆ hợp Y = b1 + b2 X Các hệ số hồi qui là các dạng đặc biệt của biến ngẫu nhiên. Chúng ta sẽ chứng minh điều này bởi việc sử dụng mô hình hồi qui đơn trong đó Y phụ thuộc vào X. Hai phương trình trên chỉ ra mô hình thức thế và mô hình ước lượng phù hợp 1
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui ∑ ( X − X )( Y − Y ) Mô hình thực tế i i Y = β + β2 X +u b2 = ∑( X − X ) 1 2 i Mô hình ước lượng phù hợp ˆ Y =b1 +b2 X Chúng ta sẽ tìm hiểu đặc điểm của ước lượng hệ số góc theo phương pháp bình phương bé nhất. 2
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui Mô hình thực tế b2 = ∑ ( X − X )( Y − Y ) i i Y = β +β X +u ∑( X − X ) 1 2 2 i Mô hình ước lượn phù hợp ˆ Y =b1 +b2 X Y cóhai thành phần: thành phần không ngẫu nhiên mà nó phụ thuộc vào X và các tham số và thành phần ngẫu nhiên u. Vì b2 phụ thuộc vào Y, Nó gián tiếp phụ thuộc vào u. 3
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui Mô hình thực tế b2 = ∑ ( X − X )( Y − Y ) i i Y = β1 + β 2 X + u ∑( X − X ) 2 i Mô hình ước lương phù hợp ˆ Y = b1 + b2 X Nếu các giá trị của u trong mẫu là khác nhau, chúng ta sẽ có các giá trị khác nhau của Y, và vì thế các giá trị khác nhau của b2. Về mặt lý thuyết chúng ta có thể tách b2 thành 2 thành phần ngẫu nhiên và 4
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui Mô hình thực tế Y = β +β X +u b2 = ∑ ( X − X )( Y − Y ) i i ∑( X − X ) 1 2 2 Mô hình ước lượng phù i ợ hˆp Y = 1 + 2X b b ∑( X i − X )( Yi − Y ) = ∑ ( X i − X )( [ β 1 + β 2 X i + ui ] − [ β 1 + β 2 X + u ]) = ∑ ( X i − X )( β 2 [ X i − X ] + [ui − u ]) = β 2 ∑ ( X i − X ) + ∑ ( X i − X )( ui − u ) 2 Chúng ta hãy bắt đầu với tử số của ước lượng b bằng cách thay thế Y và giá trị trung bình mẫu từ mô hình thực tế. 5
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui Mô hình thực tế b2 = ∑ ( X − X )( Y − Y ) i i ∑( X − X ) 2 Y = β + β2 X +u 1 i Mô hình ước lượng phù hợp ˆ Y = b1 + b2 X ∑( X i − X )( Yi − Y ) = ∑ ( X i − X )( [ β 1 + β 2 X i + ui ] − [ β 1 + β 2 X + u ]) = ∑ ( X i − X )( β 2 [ X i − X ] + [ui − u ]) = β 2 ∑ ( X i − X ) + ∑ ( X i − X )( ui − u ) 2 Số hạng β 1 trong biểu thức thứ 2 sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Vì thế chung ta có thể sắp xếp lại các số hạng như trên 6
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui Mô hình thực tế b = ∑ ( X − X )( Y − Y ) i i ∑( X − X ) 2 2 Y = β +β X +u 1 2 i Uớc lượng phù hợp ˆ Y = 1 + 2X b b ∑( X i − X )( Yi − Y ) = ∑ ( X i − X )( [ β 1 + β 2 X i + ui ] − [ β 1 + β 2 X + u ]) = ∑ ( X i − X )( β 2 [ X i − X ] + [ui − u ]) = β 2 ∑ ( X i − X ) + ∑ ( X i − X )( ui − u ) 2 Chúng ta triển khai biểu thức và có 7
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui Mô hình thực tế b2 = ∑ ( X − X )( Y − Y ) i i Y = β1 + β 2 X + u ∑( X − X ) 2 Mô hình ước lượng phù i ợ hˆ p Y =b1 +b2 X ∑( X i − X )( Yi − Y ) = ∑ ( X i − X )( [ β 1 + β 2 X i + ui ] − [ β 1 + β 2 X + u ]) = ∑ ( X i − X )( β 2 [ X i − X ] + [ui − u ]) = β 2 ∑ ( X i − X ) + ∑ ( X i − X )( ui − u ) 2 β 2 ∑ ( X i − X ) + ∑ ( X i − X )( ui − u ) ∑ ( X − X )( u − u ) 2 b2 = = β2 + i i ∑ ( Xi − X )2 ∑( X − X )i 2 Thay thế biểu thức vào các ước lượng b2, Và chúng ta có thể tách b2 thành giá trị thực tế β 2 và sai số mà nó phụ thuộc vào giá trị của X và u. 8
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui Mô hình thực tế Y = β +β X +u 1 2 b = ∑ ( X − X )( Y − Y ) i i ∑( X − X ) 2 2 Mô hình ước lựong phù i ˆ Y = b1 + b2 X hợp ∑( X i − X )( Yi − Y ) = ∑ ( X i − X )( [ β 1 + β 2 X i + ui ] − [ β 1 + β 2 X + u ]) = ∑ ( X i − X )( β 2 [ X i − X ] + [ui − u ]) = β 2 ∑ ( X i − X ) + ∑ ( X i − X )( ui − u ) 2 β 2 ∑ ( X i − X ) + ∑ ( X i − X )( ui − u ) ∑ ( X − X )( u − u ) 2 b2 = = β2 + i i ∑ ( Xi − X )2 ∑( X − X )i 2 Thành phần sai số nó phụ thuộc vào giá trị của yếu tố ngẫu nhiên trên mỗi quan sát ở trong mẫu vì thế nó là một loại biến ngẫu nhiên. 9
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui Mô hình thực tế b = ∑ ( X − X )( Y − Y ) i i Y = β +β X +u ∑( X − X ) 2 2 1 2 Mô hình ước lưượng phù hợp i ˆ Y = b1 + b2 X ∑( X i − X )( Yi − Y ) = ∑ ( X i − X )( [ β 1 + β 2 X i + ui ] − [ β 1 + β 2 X + u ]) = ∑ ( X i − X )( β 2 [ X i − X ] + [ui − u ]) = β 2 ∑ ( X i − X ) + ∑ ( X i − X )( ui − u ) 2 β 2 ∑ ( X i − X ) + ∑ ( X i − X )( ui − u ) ∑ ( X − X )( u − u ) 2 b2 = = β2 + i i ∑ ( Xi − X )2 ∑( X − X )i 2 Thành phần sai số là nhân tố tạo nên sự biến động của b2 xung quanh giá trị trung bình β 2. Nếu muốn, chúng ta có thể biểu diễn các thành phần này một cách gọn hơn. 10
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui b2 = ∑ ( X − X )( Y − Y ) = β + ∑ ( X − X )( u − u ) i i i i ∑( X − X ) ∑( X − X ) 2 2 2 i i Các thành phần này được diễn ta như trên cho đến hiện tại. 11
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui b = ∑ ( X − X )( Y − Y ) = β + ∑ ( X − X )( u − u ) i i i i ∑( X − X ) ∑( X − X ) 2 2 2 2 i i ∑( X i − X )( ui − u ) = ∑ ( X i − X ) ui − ∑ ( X i − X ) u = ∑ ( X i − X ) ui − u ∑ ( X i − X ) = ∑ ( X i − X ) ui Bước tiếp theo là làm đơn giản hóa tử số của sai số. Đầu tiên chúng ta triển khai các số hạng trong biểu thức. 12
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui b = ∑ ( X − X )( Y − Y ) = β + ∑ ( X − X )( u − u ) i i i i ∑( X − X ) ∑( X − X ) 2 2 2 2 i i ∑( X i − X )( ui − u ) = ∑ ( X i − X ) ui − ∑ ( X i − X ) u = ∑ ( X i − X ) ui − u ∑ ( X i − X ) = ∑ ( X i − X ) ui Giá trị trung bình của u là thành phần chung , do đó có thể nhóm lại và đưa ra ngoài. 13
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui b = ∑ ( X − X )( Y − Y ) = β + ∑ ( X − X )( u − u ) i i i i ∑( X − X ) ∑( X − X ) 2 2 2 2 i i ∑( X i − X )( ui − u ) = ∑ ( X i − X ) ui − ∑ ( X i − X ) u = ∑ ( X i − X ) ui − u ∑ ( X i − X ) = ∑ ( X i − X ) ui ∑( X i − X ) = ( ∑ X i ) − nX = nX − nX = 0 X= ∑X i n Thành phần thứ 2 sẽ triệt tiêu vì tổng các độ lệch của X xung quanh giá trị trung bình sẽ tự dộng bằng 0 14
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui b = ∑ ( X − X )( Y − Y ) = β + ∑ ( X − X )( u − u ) i i i i ∑( X − X ) ∑( X − X ) 2 2 2 2 i i ∑( X i − X )( ui − u ) = ∑ ( X i − X ) ui b2 = β 2 + ∑( X i− X ) ui 1 = β 2 + ∑ ( X i − X ) ui ∆ = ∑( Xi − X ) 2 ∆ ∆ 1 = β2 + ∑  ( X i − X ) ui = β 2 + ∑  X i − X  ui = β 2 + ∑ ai ui   ∆  ∆  Chúng ta có thể viết lại các biểu thức như trên. Cho thuận tiện , mẫu số được ký hiêu là ∆ . 15
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui b = ∑ ( X − X )( Y − Y ) = β + ∑ ( X − X )( u − u ) i i i i ∑( X − X ) ∑( X − X ) 2 2 2 2 i i ∑( X i − X )( ui − u ) = ∑ ( X i − X ) ui b2 = β 2 + ∑( X i− X ) ui 1 = β 2 + ∑ ( X i − X ) ui ∆ ∆ 1 = β2 + ∑  ( X i − X ) ui = β 2 + ∑  X i − X  ui = β 2 + ∑ ai ui   ∆  ∆  Sắp xếp lại các số hạng đối với thành phần sai số. 16
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui b = ∑ ( X − X )( Y − Y ) = β + ∑ ( X − X )( u − u ) i i i i ∑( X − X ) ∑( X − X ) 2 2 2 2 i i ∑( X i − X )( ui − u ) = ∑ ( X i − X ) ui b2 = β 2 + ∑( X i− X ) ui 1 = β 2 + ∑ ( X i − X ) ui ∆ ∆ 1 = β2 + ∑  ( X i − X ) ui = β 2 + ∑  X i − X  ui = β 2 + ∑ ai ui   ∆  ∆  Kết quả là. 17
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui b = ∑ ( X − X )( Y − Y ) = β + ∑ ( X − X )( u − u ) i i i i ∑( X − X ) ∑( X − X ) 2 2 2 2 i i ∑( X i − X )( ui − u ) = ∑ ( X i − X ) ui b2 = β 2 + ∑( X i− X ) ui 1 = β 2 + ∑ ( X i − X ) ui ∆ ∆ 1 = β2 + ∑  ( X i − X ) ui = β 2 + ∑  X i − X  ui = β 2 + ∑ ai ui   ∆  ∆  Tương tự 18
Yếu tố ngẫu nghiên của hệ số hồi qui b = ∑ ( X − X )( Y − Y ) = β + ∑ ( X − X )( u − u ) i i i i ∑( X − X ) ∑( X − X ) 2 2 2 2 i i ∑( X i − X )( ui − u ) = ∑ ( X i − X ) ui b2 = β 2 + ∑( X i− X ) ui 1 = β 2 + ∑ ( X i − X ) ui ∆ ∆ 1 = β2 + ∑  ( X i − X ) ui = β 2 + ∑  X i − X  ui = β 2 + ∑ ai ui   ∆  ∆  Xi − X Xi − X ai = = ∆ ∑ ( X j − X )2 Vì thế chúng ta đã chỉ ra rằng b2 bằng giá trị thực tế cộng với giá trị là kết hợp tuyến tính có trọng số của các yếu tố ngẫu nhiên trong mẫu. Trong đó trọng số là một hàm của các giá trị X trong các quan sát ở trong mẫu. 19