50 Bài tập về Bất đẳng thức

Chia sẻ: Pham Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

179
lượt xem 24
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để đạt kết quả tốt cho các kỳ kiểm tra và thi, tài liệu 50 bài tập về bất đẳng thức sẽ giúp các bạn củng cố kiến thức môn Toán vê bất đẳng thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 50 Bài tập về Bất đẳng thức

Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn . 50 Bài tập về bất đẳng thức 1 Bài 1: Cho a  3 , tìm giá trị nhỏ nhất của S  a  a 1 8a a 1 24 a 1 10 Giải: S  a   (  ) 2 .  a 9 9 a 9 9 a 3 1 Bài 2: Cho a  2 , tìm giá trị nhỏ nhất của S  a  a2 1 6a a a 1 12 a a 1 12 3 9 Giải: S  a  2   (   2 )   33 . . 2    a 8 8 8 a 8 8 8 a 8 4 4 1 Bài 3: Cho a,b >0 và a  b  1 , tìm giá trị nhỏ nhất của S  ab  ab 1 1 15 1 15 17 Giải: S  ab   (ab  )  2 ab  2  ab 16ab 16ab 16ab  ab  4 16    2  3 Bài 4: Cho a,b,c>0 và a  b  c  . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 1 1 1 S  a2  2  b2  2  c2  2 b c a Giải: Cách 1: Cách 2: 1 1 1 S  a2  2  b2  2  c 2  2 b c a 1 1 1 1 4 (12  42 )( a 2  2 )  (1.a  4. ) 2 a 2  2  (a  ) b b b 17 b Tương tự 1 1 4 1 1 4 b2  2  (b  ); c 2  2  (c  ) c 17 c a 17 a Do đó: 1
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn . 1 4 4 4 1 36 S (a  b  c    )  (a  b  c  ) 17 a b c 17 a bc 1  9 135  3 17  (a  b  c  4(a  b  c) )  4(a  b  c )   2 17   Bài 5: Cho x,y,z là ba số thực dương và x  y  z  1 . Chứng minh rằng: 1 1 1 x2  2  y 2  2  z 2  2  82 y z x Giải: 1 1 1 1 9 (1. x  9. )2  (12  92 )( x 2  2 )  x 2  2  (x  ) y y y 82 y 1 1 9 1 1 9 TT : y 2 2  ( y  ); z 2  2  (z  ) z 82 z x 82 x 1 9 9 9 1 81 S (x  y  z    )  (x  y  z  ) 82 x y z 82 x y z 1  1 80   ( x  y  z  x  y  z )  x  y  z   82 82   Bài 6: Cho a,b,c>0 và a  2b  3c  20 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 9 4 S  a bc   a 2b c Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4 12 18 16  12   18   16  4S  4a  4b  4c     a  2b  3c   3a     2b     c    a b c  a  b  c  20  3.2.2  2.2.3  2.4  52  S  13 1 1 1 Bài 7: Cho x,y,z> 0 và    4 . Tìm giá trị lớn nhất của x y z 1 1 1 P   2x  y  z x  2 y  z x  y  2z Giải: 2
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn . Ta có 1 1 4 1 1 4 1 1 1 1 4 4 16 1 1 1 2 1   ;                x y x y y z y z x y y z x  y y  z x  2y  z x  2 y  z 16  x y z  TT : 1 1  2 1 1 1 1 1 1 2     ;      2 x  y  z 16  x y z  x  y  2 z 16  x y z  1  4 4 4 S     1 16  x y z  Bài 8 x x x  12   15   20  Chứng minh rằng với mọi x  R , ta có          3x  4 x  5 x 5  4  3  Giải: x x x x x x x x  12   15   12   15  x  20   15  x  20   12  x       2   .    2.3 ;       2.5 ;       2.4  5  4  5 4  3  4  3  5 Cộng các vế tương ứng => đpcm. Bài 9: Cho x,y,z>0 và x+y+z =6 . Chứng minh rằng 8 x  8 y  8 z  4 x 1  4 y 1  4 z 1 3 Giải: Dự đoán x=y=z = 2 và 8 x.8 x  3 64 x  4 x nên : 8 x  8 x  82  3 3 8x.8x.82  12.4 x ; 8 y  8 y  82  3 3 8 y.8 y.82  12.4 y ; 8 z  8 z  82  3 3 8 z.8 z.82  12.4 z 8 x  8 y  8 z  3 3 8 x.8 y.8 z  3 3 82.82.82  192 Cộng các kết quả trên => đpcm. Bài 10: Cho x,y,z>0 và xyz = 1. Hãy chứng minh rằng 1  x3  y3 1  y3  z 3 1  z 3  x3   3 3 xy yz zx Giải: x 3  y 3  xy  x  y   1  x 3  y 3  xyz  xy  x  y   xy  x  y  z   3 xy 3 xyz  3xy 1  x3  y3 3xy 3 1  y3  z3 3 yz 3 1  z 3  x3 3 zx 3   ;   ;   xy xy xy yz yz yz zx zx zx  1 1 1  1 S  3   3 3 3 3  xy yz zx  x y2 z2 2   3
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn . Bài 11 Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P   x  y 1  xy  2 2 1  x  1  y  Giải: 2  x  y  1  xy  P   x  y 1  xy    x  y 1  xy     2    1  1  P  1 2 2 2 2 2 1  x  1  y  1  x  1  y   x  y  1  xy  4 4 4 Khi cho x=0 và y= 1 thì P = -1/4 Khi cho x=1 và y = 0 thì P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy ra. Bài 12 a 3 b3 c 3 Cho a,b,c >0 . Chứng minh rằng:    ab  bc  ca b c a Giải: 2 a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4 (a 2  b 2  c 2 ) 2  ab  bc  ac  Cách 1:         ab  bc  ac b c a ab bc ca ab  bc  ac ab  bc  ac a3 b3 c3 Cách 2:  ab  2a 2 ;  bc  2b 2 ;  ca  2a 2 b c a a 3 b3 c 3    2(a 2  b2  c 2 )  ab  bc  ac  ab  bc  ac b c a Bài 13 3x 2  4 2  y 3 Cho x,y >0 và x  y  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A   4x y2 Giải: Dự đoán x=y=2 3x 2  4 2  y 3 3x 1 2 1 x  2 y y  x y 9 A  2    2  y     2     4x y 4 x y x 4  y 4 4  2  2 1 1 Bài 14: Cho x,y>0 và x+y = 1. Chứng minh rằng P  3 3   42 3 x y xy Giải: Ta có 3  x  y   x3  y3  3xy(x+y)  x3  y 3  3xy=1 x 3  y 3  3xy x 3  y 3  3xy 3xy x3  y3 P=   4 3   42 3 x3  y 3 xy x  y3 xy 1 1 1 1 Bài 15: Cho x,y,z >0 và    2 . Chứng minh rằng xyz  1 x 1 y 1 z 8 Giải: 4
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn . 1 1 1 1 1 y z yz  2   1 1   2 1 x 1 y 1  z 1 y 1 z 1  y 1  z 1  y 1  z  1 xz 1 xy TT : 2 ; 2 1 y 1  x 1  z  1  z 1  x 1  y  Nhân các vế của 3 BĐT => đpcm x y z Bài 16: Cho x,y,z>0 và x+y+z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S    x 1 y 1 z 1 Giải: x y z  1 1 1  9 9 3 S    3     3  3  x 1 y 1 z 1  x 1 y 1 z 1  x y z3 4 4 Bài 17: 4a 2 5b 2 3c 2 Cho a,b,c >1. Chứng minh rằng:    48 a 1 b 1 c 1 Giải: 4a 2 4  a  1  4 2 4 4   4  a  1   4  a  1   8  8  8  16 a 1 a 1 a 1 a 1 5b 2 5 3c 2 3  5  b  1   10  20;  3  c  1   6  12 dpcm b 1 b 1 c 1 c 1 Bài 18 Cho a,b,c >0, chứng ming rằng : 1 1 1  1 1 1     3    a b c  a  2b b  2c c  2a  Giải: 1 1 1 9 1 1 1 9 1 1 1 9    ;    ;    cộng ba bất đẳng thức =>đpcm a b b a  2b b c c b  2c c a a c  2 a Bài 19 Với a,b,c >0 chứng minh rằng: 1 4 9 36    a b c a bc Giải: 2 1 4 9 1  2  3 36     a b c abc a bc Bài 20: Cho a,b,c,d>0 chứng minh rằng : 1 1 4 16 64     a b c d abcd Giải: 1 1 4 16 16 16 64    ;   a b c abc abc d abcd 5
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn . Cần nhớ: 2 a 2 b2 c2  a  b  c     x y z x y z Bài 21 4 5 3  3 2 1  Với a,b,c>0 chứng minh rằng:    4    a b c  a b bc ca  Giải. 1 1 4 3 3 3 1 1 4 2 2 8 1 1 4      ;      ;   a b ab a b a b b c bc b c bc c a ca Bài 22 Với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó. 1 1 1  1 1 1 Chứng minh rằng    2    p  a p b p c a b c Giải: 1 1 1 2 2 2      p  a p  b p  c a  b  c a  b  c a  b  c 1 1 1 1 1 1 1 1 1        2    a  b  c a  b  c a  b  c  a  b  c a  b  c a  b  c a b c Bài 23 x2 y2 z2 Cho x,y,z>0 và x  y  x  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P    y z z x x y Giải: 2 Cách1: P  x2  y2  z2   x  y  z   x  y  z  4  2. y  z z  x x  y 2 x  y  z 2 2 Cách 2: x2 yz y2 zx z2 x y   x;   y;  z yz 4 zx 4 x y 4 x yz x yz 4  P  x y x    2. 2 2 2 Bài 24 Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18. Chứng minh rằng 2 y  3z  5 3z  x  5 x  2 y  5 51    1 x 1 2 y 1  3z 7 Giải: 6
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn . 2 y  3z  5 3z  x  5 x  2 y  5   1 x 1 2 y 1  3z 2 y  3z  5 3z  x  5 x  2y  5  1 1 1 3 1 x 1 2y 1  3z  1 1 1  9   x  2 y  3z  6       3  24. 3  1  x 1  2 y 1  3z  x  2 y  3z  3 9 51  24.  3  21 7 Bài 25 Chứng minh bất đẳng thức: a 2  b 2  1  ab  a  b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa về tổng cuuả ba bình phương. Bài 26 Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì p  a  p  b  p  c  3p Giải: Bu- nhi -a ta có : p  a  p  b  p  c  (12  12  12 )( p  a  p  b  p  c )  3(3 p  2 p )  3 p Bài 27 1 1 Cho hai số a, b thỏa mãn : a  1; b  4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A  a   b  a b 1 1 15b  b 1  15.4 1 17 21 Giải: a   2; b        2.   A  a b 16  16 b  16 4 4 4 Bài 28 Chứng minh rằng a 4  b 4  a 3b  ab3 Giải:  a 2 2   b 2  2  (12  12 )   a 2  b 2  2   a 2  b 2  a 2  b2   2ab  a 2  b 2   a 4  b 4  a 3b  ab3     Bài 29 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: ( x  y  1)2 xy  y  x A  (Với x; y là các số thực dương). xy  y  x ( x  y  1) 2 Giải: ( x  y  1) 2 1 Đặt  a; a  0  A  a  Có xy  y  x a 1 8a a 1 8 a 1 8 2 10 10 Aa   (  )  .3  2. .     A  a 9 9 a 9 9 a 3 3 3 3 7
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn . Bài 30 Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt. a2 b2 c2 Chứng minh   2 (b  c) 2 (c  a ) 2 ( a  b) 2 Giải: a b b c c a .  .  .  1 (b  c) (c  a ) (c  a ) (a  b) ( a  b) (b  c) 2  a b c  VT      0  (b  c) (c  a ) ( a  b)  (Không cần chỉ ra dấu = xảy ra hoặ nếu cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy ra dấu =) Bài 31 Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c  3 . Chứng ming rằng 1 2009 22 2   670 a b c ab  bc  ca Giải: 1 2009 2 2 2  a  b  c ab  bc  ca 1 1 1 2007 9 2007  2 2 2     2  2  670 a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c  a  b  c 3 Bài 32: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a  b  c  3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ab  bc  ca P  a 2  b2  c 2  a 2b  b 2 c  c 2 a Giải: 3(a + b + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 2 2 Mà a3 + ab2  2a2b ;b3 + bc2  2b2c;c3 + ca2  2c2a Suy ra 3(a2 + b2 + c2)  3(a2b + b2c + c2a) > 0 2 ab  bc  ca 2 2 2 2 2 9  (a 2  b 2  c 2 ) Suy ra P  a  b  c  2 Pa b c  a  b2  c 2 2(a 2  b 2  c 2 ) t = a2 + b2 + c2, với t  3. 9t t 9 t 1 3 1 Suy ra P  t      3   4  P  4 a=b=c=1 2t 2 2t 2 2 2 2 Bài 33 Ch x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z = 1. tìm giá trị nhỏ nhất của 8
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn . 1 1 1 P=   16 x 4 y z Giải: 1 1 1  1 1 1  y x   z x   z y  21 P=     x  y  z          16x 4 y z  16x 4 y z   16 x 4 y   16 x z   4 y z  16 y x 1 z x 1 z y   có =khi y=2x;   khi z=4x;   1 khi z=2y =>P  49/16 16 x 4 y 4 16 x z 2 4y z Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Bài 34 4 5 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn:   23 x y 6 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B  8x   18y  x y Giải: 6 7  2  2 4 5 B  8x   18y    8x    18y        8  12  23  43 x y  x  y x y  1 1  1 1 Dấu bằng xảy ra khi  x; y    ;  .Vậy Min B là 43 khi  x; y    ;   2 3  2 3 Bài 35 Cho x, y. z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá 5. Chứng minh rằng x2 + y2 + z2  9 Gải: 1  x  2  x  1  0 và x  2  0  ( x  1)( x  2)  0  x 2  3x  2 Tương tự y 2  3y  2 và z 2  3z  2 2 2 2  x + y + z  3( x + y +z) – 6  3. 5 – 6 = 9 Bài 36 Cho a,b,c là các số thuộc  1; 2 thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 = 6. Chứng minh rằng a bc  0. Giải:  a  1 a  2   0  a2  a  2  0; b2  b  2  0; c 2  c  2  0  a  b  c  a2  b2  c 2  6  0 Bài 37 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a  b  c  2 . Chứng minh rằng: 1 1 1 97 a 2  2  b2  2  c2  2  b c a 2 Giải: 9
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn . 2  9 1   2 81  2 1  2 1 4  9   1.a  .    1   a  2   a  2   a  ;  4 b  16  b  b 97  4b  cộng các vế lại 1 4  9  1 4  9  b2  2  2 b  ; c  2  c   c 97  4c  a 97  4a  Bài 38 Cho tam giác có ba cạnh lần lượt là a,b,c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng p p p   9 p  a p b p c Giải: p p p 1 1 1 9 9    9 hay     p  a p b p c p  a p b p c p  a  p b  p c p Bài 39 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 6. Chứng minh rằng: 3(a 2  b 2  c 2 )  2abc  52 Giải: 8 abc  ( a  b  c )(a  b  c)(a  b  c)  (6  2a)  6  2b  6  2c   abc  24   ab  bc  ac  3 2 2 2 16  36  (a  b  c )  8 2 2 2  2abc  48     (a  b  c )  2abc  48 (1) 3  2  3 2 2 2 a 2  b2  c2  a  2    b  2    c  2  0   4 (2) (1)and(2)  dpcm 3 Có chứng minh được 3(a 2  b 2  c 2 )  2abc  18 hay không? Bài 40 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3 3 biểu thức P  4(a  b  c )  15abc . Giải: 2 2 2 2 2 2 Có a  a  (b  c)  (a  b  c)( a  b  c ) (1) , b  b  (c  a )  (b  c  a)(b  c  a) (2) c 2  c 2  (a  b) 2  (c  a  b)(c  a  b) (3) . Dấu ‘=’ xảy ra  a  b  c Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có : abc  (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b) (*) Từ a  b  c  2 nên (*)  abc  (2  2a)(2  2b)(2  2c)  8  8(a  b  c)  8(ab  bc  ca)  9abc  0  8  9abc  8(ab  bc  ca )  0  9abc  8(ab  bc  ca )  8 (*) 3 3 3 3 Ta có a  b  c  (a  b  c)  3(a  b  c )(ab  bc  ca)  3abc  8  6(ab  bc  ca)  3abc 10
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn . Từ đó 4(a  b  c )  15abc  27abc  24(ab  bc  ca)  32  39abc  8( ab  bc  ca)   32 (**) 3 3 3 3 3 3 Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4(a  b  c )  15abc  3.(8)  32  8 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  . 3 2 Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi a  b  c  3 Bài 41 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng 2 1  a3  b3  c 3  3abc  . 9 4 Giải: *P  a3  b3  c 3  3abc Ta có a 3  b3  c3  3abc  (a  b  c )(a 2  b2  c 2  ab  bc  ac)  a 3  b3  c 3  3abc  (a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac ) (1) có abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2a)(1  2b)(1  2c )  2 8 1  4(ab  bc  ca )  8abc  6abc    ab  bc  ca  (2) 3 3 2 5 (1)and(2)  a3  b3  c3  3abc  a 2  b 2  c 2    ab  bc  ca  3 3  1  a 2  b2  c2 P1 1 mà ab  bc  ca  2 6 a 2   b2  c2  6 2 2 2  1  1  1 2 2 2 1 1 1 1 2  a    b    c    0  a  b  c   P  .    3  3  3 3 6 3 6 9 *P  a3  b3  c 3  3abc abc  ( a  b  c)( a  b  c)( a  b  c )  (1  2a)(1  2b)(1  2c)  1  4(ab  bc  ca )  8abc  0 1  ab  bc  ca)  2abc  (3) 4 P  a 3  b3  c 3  3abc  (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac )  6abc 2  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac  6abc   a  b  c   3  ab  bc  ca   6abc 1 1  1  3  ab  bc  ca  2abc   1  3.  4 4 11
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn . Bài 42 Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 . Chứng minh rằng: x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  xyz  8 Giải: Chứng minh được xyz    x  y  z  x  y  z  x  y  z   (6  2 x)(6  2 y )(6  2 z )  216  72( x  y  z )  24( xy  yz  zx)  8xyz 8  xyz  24  ( xy  yz  zx) (1) 3 2 mà  x  y  z   9  x 2  y 2  z 2  2xy  2 yz  2xz  9  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz  36  3xy  3 yz  3xz (2) 8 Nên xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz   24  ( xy  yz  zx)+ 36  3xy  3 yz  3xz 3 1 2  xyz  x 2  y 2  z 2  xy  yz  xz   12  ( xy  yz  zx) mà  x  y  z   3( xy  yz  zx) 3 2 2 2 2 1 x  y  z 36  xyz  x  y  z  xy  yz  xz   12  .  12  8 3 3 9 Bài 43 Cho a  1342; b  1342 . Chứng minh rằng a 2  b 2  ab  2013  a  b  . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Giải: Ta sẽ sử dụng ba kết quả sau: 2 2  a  1342   b  1342   0;  a  1342  b  1342   0; a  1342  b  1342  0 Thật vậy: 2 2  a  1342    b  1342   0  a 2  b 2  2.1342.  a  b   2.13422  0 (1)  a  1342  b  1342   0  ab  1342a  1342b  13422  0 (2)  a 2  b 2  2.1342.  a  b   2.13422  ab  1342a  1342b  13422  0  a 2  b 2  ab  3.1342.  a  b   3.13422  2.2013.  a  b   3.13422  2013.  a  b   2013.  a  b   2.2013.1342  2013.  a  b   2013.  a  b  1342  1342   2013.  a  b  Bài 44 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 4 2 2 A   x  1   x  3  6  x  1  x  3 12
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn . Giải: Cách 1: Cách 2 : 4 4 2 2 A   x  1   x  3  6  x  1  x  3 2 2 2 2 2 A   x  1   x  3   4  x  1  x  3   2 2 A   2x 2  8x  10   4  x 2  4x  3   2 2 A   2( x  2)2  2   4  ( x  2)2  1   A  4( x  2)4  8( x  2)2  4  4( x  2) 4  8( x  2)2  4 A  8( x  2)4  8  8 Bài 45: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: ab bc ca 1    c 1 a 1 b 1 4 Giải: 13
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn . Bài 46 Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 3   1 1 x  y 1  y  z 1  z 3  x3 3 3 Giải: x 2  y 2  2xy   x  y   x 2  y 2   2xy  x  y   x 3  y 3  xy  x  y  1 1  1  x 3  y 3  xy  x  y  z   3 3  1 x  y xy  x  y  z  1 z 1 x 1 y  3 3  ; 3 3  ; 3 3   dpcm 1 x  y x  y  z 1 y  z x  y  z 1 z  x x yz Bài 47 Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng : 2 ab a  b   2a b  2b a 2 Giải: 2 ab  1  1  1  a  b    a  b   a  b     a  b    a     b     2 ab  a  b   2a b  2b a 2  2  4  4  Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 1 1   1 1  8a 3 1  8b3 1  8c3 Giải: 1 1 1 2 1   2  2  2 1  8a 3  2a  1  4a 2  2a  1 2a  1  4a  2a  1 4a  2 2a  1 2 1 1 1 1 ;  2 ;  2 1  8b3 2b  1 1  8c3 2c  1 1 1 1 9  VT  2  2  2  2 1 2a  1 2b  1 2c  1 2a  1  2b 2  1  2c 2  1 Bài 49 a 3 b3 c 3 Với a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng :    a 2  b2  c 2 b c a Giải: Cách 1: 14
Trần Văn Lập – Trường THCS Yên Lư – Sưu tầm và biên soạn . 2 a 3 b3 c 3 a 4 b 4 c 4  a  b  c   a 2  b2  c 2  a 2  b2  c2   a2  b2  c 2 2 2 2        b c a ab bc ca ab  bc  ca ab  bc  ca Cách 2 a3 2 b 3 2 c 3  ab  2a ;  bc  2b ;  ca  2c 2  VT  2  a 2  b 2  c 2   (ab  bc  ca )  a 2  b 2  c 2 b c a Bài 50 Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: x2 y2 z2 3    y 1 z 1 x 1 2 Giải: x2 y 1 y2 z 1 z2 x 1 3 3 3 3 3   x;   y;   z  VT   x  y  z    .3   y 1 4 z 1 4 x 1 4 4 4 4 4 2 15