Áp dụng phương pháp không lưới cho tính toán cọc đơn trong môi trường đất đàn hồi ba chiều

ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI CHO TÍNH TOÁN<br /> CỌC ĐƠN TRONG MÔI TRƯỜNG ĐẤT ĐÀN HỒI BA CHIỀU<br /> <br /> LÊ ĐỖ KIÊN, VƢƠNG VĂN THÀNH<br /> NGHIÊM MẠNH HIẾN*<br /> <br /> <br /> The meshless method for single pile behavior in tri-dimentioned<br /> elastic medium<br /> Abstract: This paper presents a novel method to analyze the behavior of the<br /> pile-soil system in a linear elastic soil medium based on the meshless method.<br /> The meshless method used in this study is Moving Least Square (MLS).<br /> Results of an analysis of single pile under vertical load using meshless<br /> method are good agreement with the results from finite element analysis.<br /> <br /> 1. ĐẶT VẤN ĐỀ * phƣơng pháp không lƣới khác nhau đƣợc xây<br /> Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là dựng nhƣ: Phƣơng pháp không lƣới bình phƣơng<br /> một phƣơng pháp phổ biến áp dụng vào cơ học di chuyển nhỏ nhất MLS, phƣơng pháp không<br /> tính toán trong nhiều thập kỷ qua, phƣơng pháp lƣới cục bộ Petrov-Galerkin (MLPG), phƣơng<br /> này đã có những đóng góp đáng kể cho sự phát pháp không lƣới sử dụng tích phân điểm PIM [3]<br /> triển của khoa học và kỹ thuật. Tuy nhiên, … Trong bài báo, tác giả trình bày quy trình cụ<br /> phƣơng pháp PTHH không hoàn toàn phù hợp thể của phƣơng pháp không lƣới bình phƣơng di<br /> với các vấn đề có lƣới biến dạng phức tạp của chuyển nhỏ nhất (MLS) áp dụng cho bài toán địa<br /> vật liệu hay trƣờng hợp xuất hiện những biến kỹ thuật, đồng thời phát triển phƣơng pháp này<br /> dạng không liên tục nhƣ lan truyền vết nứt dọc để phân tích bài toán tƣơng tác của cọc đơn và<br /> theo đƣờng bất kỳ và các vết nứt phức tạp. Bên nền đất đàn hồi ba chiều.<br /> cạnh đó, phƣơng pháp PTHH cũng gặp khó 2. PHƢƠNG PHÁP KHÔNG LƢỚI ÁP<br /> khăn liên quan đến việc chia lƣới và chia lại DỤNG TRONG BÀI TOÁN BA CHIỀU<br /> lƣới trong vấn đề tối ƣu hóa lƣới phần tử hoặc Quy trình của phƣơng pháp không lƣới bình<br /> trong phân tích ảnh hƣởng của vật liệu đa miền. phƣơng di chuyển nhỏ nhất MLS cũng giống<br /> Khác với các phƣơng pháp PTHH, phƣơng nhƣ các phƣơng pháp không lƣới khác, đều bao<br /> pháp không lƣới chỉ sử dụng một tập hợp các gồm 2 bƣớc [2],[4]:<br /> điểm nút, các xấp xỉ và hàm dạng đƣợc xây dựng<br /> - Bƣớc 1: Lập hàm dạng.<br /> hoàn toàn dựa trên các nút, không sử dụng lƣới<br /> - Bƣớc 2: Phân tích không lƣới.<br /> hoặc các phần tử trong phƣơng pháp này. Điều<br /> 2.1. Lập hàm dạng<br /> này hạn chế đƣợc những khó khăn liên quan đến<br /> Hàm dạng không lƣới đƣợc xây dựng thông<br /> hệ lƣới và đƣa ra một cách tiếp cận linh hoạt hơn<br /> trong các ứng dụng vào tính toán cơ học. qua các hàm xấp xỉ hoàn toàn dựa trên các nút.<br /> Phƣơng pháp không lƣới bắt đầu đƣợc phát Xét một hàm vô hƣớng chƣa xác định của một<br /> triển từ những năm 1980, đến nay đã có rất nhiều biến trƣờng u(x) trong miền . Các xấp xỉ bình<br /> phƣơng di chuyển nhỏ nhất MLS của u(x) đƣợc<br /> *<br /> Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội xác nghĩa nhƣ sau [4]:<br /> m<br /> DĐ: 0972056219 u h ( x )   pi ( x ).a i ( x)  pT ( x).a( x) (1)<br /> Email: kienlicogi86@gmail.com i 1<br /> <br /> <br /> <br /> 46 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015<br />  Trong đó: <br /> 1  6riz  8riz  3riz<br /> 2 3 4<br /> víi 0  riz  1<br /> W(riz )  <br /> - p(x): là hàm cơ sở của các không gian tọa <br />  0 víi riz  1<br /> độ x, các hàm cơ sở p(x) đƣợc xây dựng từ tam x  xi y  yi<br /> giác Pascal. Với rix  ; riy <br /> dsx dsy<br /> - pt : là hàm chuyển của p.<br /> z  zi<br /> Trong không gian ba chiều, hàm cơ sở và riz <br /> p ( x ) bậc 2 đƣợc định nghĩa nhƣ sau [2]:<br /> T dsz<br /> pT ( x)  1, x, y, z, x 2 , y 2 , z 2 , xy, yz, zx  . Kết hợp (1) và (2), xấp xỉ u(x) có thể đƣợc<br /> biểu diễn nhƣ sau:<br /> - m: là số lƣợng các hàm cơ sở.<br /> u h ( x )  p ' ( x ) A 1 ( x ) B(x) U  ( x ) U (8)<br /> - a(x) : là các hệ số tƣơng ứng và là hàm của<br /> trong đó:<br /> tọa độ không gian x. Số lƣợng các hệ số a(x)<br /> ( x )  p ' ( x ) A 1 ( x ) B(x) là hàm dạng.<br /> phụ thuộc vào bậc và kích thƣớc của hàm cơ sở.<br /> Hệ số a(x) đƣợc xác định theo phƣơng trình 2.2. Phân tích không lƣới<br /> tuyến tính sau [2],[4]: Xét vấn đề của cơ học vật rắn đàn hồi tuyến<br /> A(x)a(x)=B(x)U tính trong một miền Ω đƣợc giới hạn bởi biên Γ.<br /> hay a(x) = A-1(x).B(x)U (2) Hệ phƣơng trình vi phân từng phần và điều kiện<br /> trong đó U  {u1 ,u 2 ,...,u n }T (3) biên đƣợc viết dƣới dạng sau [1],[2]:<br /> n<br /> - Phƣơng trình cân bằng:<br /> A   WI ( x)p( xI )pt ( xI ) (4)<br /> I 1 LT   b  0 trong Ω<br /> B  {W1 ( x)p( x1 ),W2 ( x)p( x2 ),..,Wn ( x)p( xn )} (5) - Điều kiện biên tự nhiên:<br /> Wi ( x) : là hàm trọng số tại nút thứ I.  n  t trên Γt (10)<br /> Tác giả lựa chọn các miền hỗ trợ có dạng - Điều kiện biên cần thiết:<br /> hình chữ nhật, kích thƣớc của miền hỗ trợ theo u  u trên Γu (11)<br /> các hƣớng x, y và z tƣơng ứng là dsx , dsy và dsz. Trong đó:<br /> Hàm trọng số tƣơng ứng với miền hỗ trợ hình -  : Véc tơ ứng suất.<br /> chữ nhật đƣợc xác định nhƣ sau: - u: Véc tơ chuyển vị, đối với vấn đề 3 chiều,<br /> Wi(x)= W ix(x). W iy(x). u x <br />  <br /> W iz(x) = W rx. W ry. W rz (6) u  v y <br /> với W ix(x), W iy(x) và W iz(x) là hàm trọng  <br />  z<br /> số tiêu chuẩn theo hƣớng x, y và z. Các hàm<br /> - b: Véc tơ lực khối.<br /> trọng số có dạng đƣờng cong bậc 4 đƣợc xác<br /> - t : Lực kéo quy ƣớc trên lực kéo biên (biên<br /> định theo GR Liu và Liu [2],[4]:<br /> 1  6rix2  8rix3  3rix4 víi 0  rix  1 tự nhiên).<br /> W(rix )   - u : Chuyển vị quy ƣớc trên chuyển vị biên<br />  0 víi rix  1<br /> (biên cần thiết).<br /> - n: Các véc tơ đơn vị tại một điểm trên biên<br /> 1  6riy2  8riy3  3riy4 víi 0  riy  1<br /> W(riy )   (7) tự nhiên.<br />  0 víi riy  1 - L: Toán tử khác biệt, đối với vấn đề 3 chiều<br /> <br /> <br /> ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015 47<br />   x 0 0 <br />  0  y 0 <br />  <br />  0 0  z <br /> L<br />  0  z  y <br />   z 0  x <br />  <br />  y  x 0 <br /> Các biến phân tiêu chuẩn hình thức dạng yếu của phƣơng trình (9) có dạng sau [2]:<br />  ( L u) ( DLu)d     u bd     u td   0 (12).<br /> T T T<br /> <br />   t<br /> <br /> D là ma trận ứng suất – biến dạng, đối với vật liệu đẳng hƣớng:<br />  1 2 2 0 0 0<br />  1 2 0 0 0<br />  2 <br />   2 1 0 0 0<br /> D  1  2 <br /> 0 0 0 3 0 0<br /> 0 0 0 0 3 0<br />  <br /> 0 0 0 0 0 3 <br /> E (1   )  1  2<br /> với 1  ; 2  và 3 <br /> (1   )(1  2 ) 1  2(1   )<br /> Sử dụng các hàm dạng không lƣới MLS trên n nút trong các miền hỗ trợ cục bộ:<br /> I<br /> h<br /> u  0 0   uI <br />  <br /> u ( x )    I ( x )uI hoặc u  v     0   n<br /> 0   v I     I uI<br /> n n<br /> I<br /> h h<br /> (13)<br />  <br /> I<br />   I<br />  0 I  I <br /> I<br />   0<br /> I uI<br /> h<br /> Sử dụng phƣơng trình (13), Lu trở thành:<br />  x 0 0 <br />  0  y 0 <br />    0 0<br />  0  z   I<br /> 0  .uI<br /> n 0<br /> <br /> n<br /> Lu  L  I uI =<br /> h<br />  0  0 I<br /> <br />    z  y  0 I <br /> I I<br /> <br />  x  <br /> 0<br />   z 0<br />  <br />  y  x 0 <br /> I , x 0 0 <br />  0  0 <br />  I ,y<br /> <br />  0 0 I ,z  n<br /> <br /> 0    I  BI uI<br /> u  (14)<br />  I ,z I ,y  I<br /> <br /> I ,z 0 I , x <br />  <br /> I ,y I , x 0 <br /> Trong đó I , x , I ,y và I ,z là các đạo hàm của hàm dạng MLS đối với x, y và z.<br /> <br /> <br /> 48 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015<br />  BI là ma trận biến dạng của nút I.<br /> Thay phƣơng trình (13) và (14) vào phƣơng trình (12) trở thành:<br /> T T T<br />  n   n   n   n <br />   I I    J I <br /> <br /> <br />  I<br /> B u D<br />   J<br /> B u d <br /> <br />    I I <br /> <br /> <br /> <br />  I<br /> u b d<br /> <br />       I uI  t d   0<br /> <br /> t  I <br /> (15)<br /> <br /> - Xét thành phần thứ nhất trong phƣơng trình (15)<br /> T<br />  n   n   n T T  n <br />   I I I   J J I <br />  B u D B u d     I uI BI <br />  D BJ uI  d <br />  J <br /> n n n n<br /> =  u  B DB d .u<br /> T<br /> I<br /> T<br /> I J J   uIT KIJ uJ<br /> I J  I J<br /> <br /> KIJ<br /> <br /> =  u1T K11u1   u2T K12 u2  ...   uNT K1 N uN +  u2T K21u1   u2T K22 u2  ...   u2T K2 N uN<br /> +….+  uNT K N 1u1   uNT K N 2u2  ...   uNT K NN uN =  U T KU (16)<br /> Với K: là ma trận độ cứng tổng thể đƣợc xây dựng từ ma trận độ cứng của các nút.<br /> U: là véc tơ chuyển vị tổng thể đƣợc xây dựng từ véc tơ chuyển vị của các nút.<br /> - Tiếp theo, xét thành phần thứ hai trong phƣơng trình (15):<br /> T<br /> <br />   u bd  =      I uI  bd    uIT  TI b d    uIT FIb<br /> n n n<br /> T<br /> (17)<br />    I  I  I<br /> <br /> FIb<br /> <br /> với F1 là véc tơ lực khối của nút, FIb    TI bd <br /> b<br /> <br /> <br /> n<br /> Vế phải của phƣơng trình (17) :  u<br /> I<br /> T<br /> I FIb =  u1T F1b   u2T F1b  ...   uNT FNb<br /> <br /> F  1<br /> b<br /> <br /> <br /> =  u1T  <br /> ...  uNT (1 x 2 N )  ...  = U T F b (18)<br /> F b <br />  N (2 Nx1)<br /> <br /> Fb là véc tơ lực khối tổng thể đƣợc tập hợp từ Do  U là bất kỳ, phƣơng trình (20) thỏa<br /> các vectơ lực khối của tất cả các nút trong toàn mãn chỉ khi:<br /> bộ miền tính toán. KU  F ( b )  F ( t )  0 hoặc KU  F<br /> Thực hiện tƣơng tự với thành phần thứ 3 của với F là véc tơ lực khối tổng thể:<br /> phƣơng trình (15), véc tơ lực khối đƣợc thay thế F  F (b)  F (t )<br /> Các chuyển vị nút thu đƣợc bằng cách giải<br /> bởi các véc tơ lực kéo trên biên tự nhiên và tích<br /> phƣơng trình (20), sau đó thông qua mối quan<br /> phân trên miền biên tự nhiên Γ. Các véc tơ lực<br /> hệ tuyến tính giữa ứng suất – biến dạng có thể<br /> kéo tại nút là: FIt    TI t d  (19)<br /> <br /> xác định đƣợc trạng thái ứng suất tại các điểm<br /> Kết hợp các phƣơng trình (16), (18) và (19), trong môi trƣờng đất đàn hồi.<br /> phƣơng trình (15) trở thành: Tác giả đã xây dựng các chƣơng trình con<br /> U T KU  U T F ( b)  U T F ( t )  0 tính hàm dạng và các đạo hàm của hàm dạng, bổ<br /> Hoặc U T  KU  F ( b )  F ( t )   0 (20) sung vào phần mềm SSI3D để tính toán chuyển<br /> vị và ứng suất tại các điểm của hệ cọc – đất.<br /> <br /> ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015 49<br />  3. VÍ DỤ MINH HỌA Bảng 1: Đặc trƣng vật liệu làm cọc<br /> Tính toán cọc đơn có đƣờng kính 1,0m ; Đặc trƣng Đơn vị Giá trị<br /> chiều dài 30m chịu tải trọng đứng tại đỉnh cọc Mô đun đàn hồi T/m2 2700000<br /> P= 1000 tấn. Các đặc trƣng của vật liệu cọc và Hệ số Poisson - 0.2<br /> Trọng lƣợng riêng T/m3 2.5<br /> môi trƣờng mà cọc nằm trong đƣợc trình bày<br /> trong bảng 1 và bảng 2. Do tính đối xứng nên Bảng 2: Đặc trƣng đất nền<br /> chỉ 1/4 mô hình thực tế đƣợc xây dựng để giảm Đặc trƣng Đơn vị Giá trị<br /> thời gian tính toán, mô hình tính toán đƣợc trình Mô đun đàn hồi T/m2 4000<br /> bày trong hình 1. Hệ số Poisson - 0.3<br /> Trọng lƣợng riêng T/m3 1.9<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a) b) c)<br /> Hình 1: Vị trí các nút<br /> a) không gian b) mặt bằng c) mặt đứng<br /> <br /> Kết quả tính toán chuyển vị của cọc theo độ toán thu đƣợc tại đỉnh cọc là 0.017 m và tại mũi<br /> sâu đƣợc trình bày trong hình 2. Mô hình tƣơng cọc là 0.01 m, kết quả này phù hợp với kết quả<br /> tự đƣợc xây dựng trên phần mềm Plaxis 2D theo tính toán theo phƣơng pháp không lƣới bằng<br /> bài toán đối xứng trục. Kết quả chuyển vị tính phần mềm SSI3D.<br /> <br /> Tọa độ Tọa độ Chuyển vị<br /> Tọa độ Tọa độ Chuyển vị thẳng<br /> STT Điểm STT Điểm điểm điểm thẳng đứng<br /> điểm (X) điểm (Y) đứng UY (m)<br /> (X) (Y) UY (m)<br /> 1 16178 0 0 0,017144468 16 10163 0 -15 0,01186453<br /> 2 15777 0 -1 0,016591175 17 9762 0 -16 0,011636637<br /> 3 15376 0 -2 0,016167579 18 9361 0 -17 0,011422201<br /> 4 14975 0 -3 0,015735774 19 8960 0 -18 0,011221083<br /> 5 14574 0 -4 0,015327275 20 8559 0 -19 0,011033172<br /> 6 14173 0 -5 0,014934254 21 8158 0 -20 0,010858398<br /> <br /> <br /> <br /> 50 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015<br />  Tọa độ Tọa độ Chuyển vị<br /> Tọa độ Tọa độ Chuyển vị thẳng<br /> STT Điểm STT Điểm điểm điểm thẳng đứng<br /> điểm (X) điểm (Y) đứng UY (m)<br /> (X) (Y) UY (m)<br /> 7 13772 0 -6 0,014558229 22 7757 0 -21 0,010696728<br /> 8 13371 0 -7 0,014198372 23 7356 0 -22 0,010548174<br /> 9 12970 0 -8 0,013854434 24 6955 0 -23 0,010412801<br /> 10 12569 0 -9 0,013526035 25 6554 0 -24 0,010290737<br /> 11 12168 0 -10 0,013212843 26 6153 0 -25 0,010182188<br /> 12 11767 0 -11 0,012914536 27 5752 0 -26 0,01008744<br /> 13 11366 0 -12 0,012630816 28 5351 0 -27 0,010007087<br /> 14 10965 0 -13 0,012361406 29 4950 0 -28 0,009941257<br /> 15 10564 0 -14 0,012106053 30 4549 0 -29 0,009892469<br /> 16 10163 0 -15 0,01186453 31 4035 0 -30 0,00986384<br /> <br /> <br /> cho kết quả tính toán phù hợp với kết quả tính<br /> toán theo phần mềm Plaxis 2D.<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> <br /> 1. G.R. Liu (2003); “Meshfree Method:<br /> Moving beyond the finite element Method”.<br /> National University of Singapore, Singapore.<br /> 2. G.R. Liu and Y.T. Gu, (2003); “An<br /> Introduction to Meshfree Methods and Their<br /> Programming”. National University of<br /> Singapore, Singapore.<br /> 3. Huafeng Liu and Pengcheng Shi, (2003);<br /> “Meshfree Particle Method”. Department of<br /> Hình 2: Chuyển vị nút theo độ sâu Electrical and Electronic Engineering Hong<br /> Kong University of Science and Technology,<br /> 4. KẾT LUẬN Hong Kong.<br /> Trong bài báo, tác giả đã trình bày quy trình 4. Youping Chen, James D. Lee and Azim<br /> cụ thể của phƣơng pháp không lƣới bình Eskandarian, (2006); “Meshless Methods in Solid<br /> phƣơng di chuyển nhỏ nhất và vận dụng phƣơng Mechanics”. Springer Science+Business Media,<br /> pháp này cho bài toán tính toán cọc đơn trong Inc., 233 Spring Street, New York, USA.<br /> môi trƣờng đất nền đàn hồi tuyến tính. Ví dụ<br /> tính toán đối với cọc đơn chịu tải trọng đứng<br /> <br /> <br /> <br /> Người phản biện: GS.TS. ĐỖ NHƢ TRÁNG<br /> <br /> <br /> ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 3-2015 51<br />