bài tập về bất đăng thức_04

Chia sẻ: Nguyễn Thị Ngọc Huỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

55
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập về bất đăng thức_04', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: bài tập về bất đăng thức_04

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 3 a b c ⇔ + + ≥ vì a + b + c = 1 . b +c c +a a +b 2 Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : 1 ab bc ca + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 11 4 +≥ Hướng dẫn : Dùng bất đẳng thức . a b a +b Cho 3 số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng : a3 b3 c3 ( ) 1 + + ≥ a +b +c a. (a + b )(b + c ) (b + c )(c + a ) (c + a )(a + b ) 4 a3 b3 c3 ( ) 1 + + ≥ a +b +c b. ( ) ( ) ( ) b c +a c a +b a b +c 2 Hướng dẫn :   a +b b +c 3 a3 8a 3 ( ) + (b + c ) ≥ 6a   + + ≥a + a +b ( )( ) ( )( )  a +b b +c  a +b b +c 8 8 4   b +c c +a 3 b3 8b 3 a. Cách 1 :   ( ) + (c + a ) ≥ 6b + + ≥b + b +c  Cách 2:  ( )( ) ( )( )  b +c c +a  b +c c +a 8 8 4   c +a a +b 3 c3 8c 3 ( ) + (a + b ) ≥ 6c   + + ≥c + c +a ( )( ) ( )( )  c +a a +b  c +a a +b 8 8 4    4a 3  a3 b c +a ( ) 3   + 2b + c + a ≥ 6a ++ ≥ a ( ) ( ) b c + a b c + a 2 4 2   c a +b 4b 3 3 b. Cách 1:  b ( ) 3 + 2c + a + b ≥ 6b ++ ≥  Cách 2:  b ( ) ( ) c a +b c a +b 2 4 2    4c 3  c3 a b +c ( ) 3   + 2a + b + c ≥ 6c ++ ≥ c ( ) ( ) a b + c a b + c 2 4 2   Cho ba số dương x , y, z thỏa mãn: x 2 + y 2 + z 2 = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x5 y5 z5 S= +3 +3 + x 4 + y4 + z4 . y3 + z 3 z + x 3 x + y3 Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số ta có : y3 + z2 x 4 3 3 x5 + + ≥x y3 + z2 4 2 2 -36- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn z3 + x2 y4 3 3 z5 x 3 + y2 z 4 3 3 y5 + + ≥ y, 3 + + ≥z tương tự z3 + x2 x + y2 4 2 2 4 2 2 x4 1 y4 1 z4 1 + ≥ x 2 tương tự + ≥ y2 , + ≥ z 2 22 22 22 Cộng vế với vế các BĐT trên ta được x5 y5 z5 ( ) ( ) 5 3 3 S= 3 +3 +3 + x 4 + y 4 + z 4 ≥ x 3 + y3 + z 3 + x 2 + y2 + z 2 − y +z z +x x +y 2 2 2 4 4 2 Mà x 3 + x 3 + 1 ≥ 3x 2 hay 2x 3 + 1 ≥ 3x 2 tương tự 2y 3 + 1 ≥ 3y 2 , 2z 3 + 1 ≥ 3z 2 ( ) ( ) 9 Do đó 2 x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 x 2 + y 2 + z 2 − 3 = 6 ⇒ x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 ⇒ S ≥ 2 Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y = z = 1 Cho 3 số thực dương x , y, z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 y2 z2 M= + + (2y + 3z )(2z + 3y ) (2z + 3x )(2x + 3z ) (2x + 3y )(2y + 3x ) Giải : (2y + 3z )(2z + 3y ) = 6 (y ) ( ) ( ) ( ) 13 2 25 2 + z2 + 13yz ≤ 6 y 2 + z 2 + y + z2 = y + z2 2 2 2 x2 2x 2 ⇒ ≥ ( ) (2y + 3z )(2z + 3y ) 25 y 2 + z 2 y2 2y 2 z2 2z 2 ≥ ≥ , Tương tự : . ( ) (2x + 3y )(2y + 3x ) ( ) (2z + 3x )(2x + 3z ) 25 z 2 + x 2 25 x 2 + y 2 2x 2 2y 2 2z 2 1 1 ( ) M≥ + + ⇒ f x ; y; z ≥ ⇒ min M = . ( ) ( ) ( ) 25 y + z 25 z + x 25 x + y 25 25 2 2 2 2 2 2 3 x y z + + ≥ Với x , y, z là số dương và x .y.z ≥ 1 .Chứng minh rằng: 2 x + yz y + zx z + xy Hướng dẫn. Đặt a = x , b = y , c = z Bài toán trở thành : a, b, c là số dương và a.b.c ≥ 1 . Chứng minh rằng: a2 b2 c2 3 + + ≥ a + bc b + ac c + ab 2 2 2 2 (a + b + c ) 2 a2 b2 c2 (* ) + + ≥ Dễ thấy : a 2 + bc b 2 + ac c 2 + ab a 2 + bc + b 2 + ac + c 2 + ab Bình phương hai vế bất đẳng thức: -37- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 2   ( ) ( ) 2 4 a +b +c a +b +c () * ≥ = VT 2 2  2  a + bc + b + ac + c + ab   a 2 + bc + b 2 + ac + c 2 + ab  2 2       (a + b + c ) (a + b + c ) (a + b + c ) 4 4 4 ≥ ≥ ≥ + ab + bc + ac) 3  a + b + c − 3 ab + bc + ac  3  a + b + c − 3  ( )( )  ( ) 3(a 2 + b 2 + c 2 2 2     () (a + b + c ) 2 2 ( Vì ab + bc + ac ≥ 3 3 abc ≥3⇒t = ≥ 9) 3t + 15 t − 3 3.9 + 15 t −3 3 t2 3 9 () 9 = + + ≥ +2 = ⇒ VT 2 * ≥ . Ta có: 3(t − 3) t −3 12 t − 3 2 12 12 12 2 Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1 ⇒ điều phải chứng minh ( ) Tổng quát : ta có bài toán sau: với x 1, x 2 ,..., x n n ≥ 2 là số dương và x 1.x 2 ...x n ≤ 1 x1 x2 xn n + + ... + ≥ Cmr: . 2 x 1 + x 2 .x 3 ...x n x 2 + x 3 .x 4 ...x n x n + x 1.x 2 ...x n −1 Tương tự: Cho 3 số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + a. . a + 3b b + 3c c + 3a 4a 4b 4c 1 1 1 1 1 1 + + ≤ + + b. . a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4a 4b 4c 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤  + + . c. ( )( ) ( )( ) (c + a )(c + b ) 2 a b c  a +b a +c b +c b +a a −d b −b b −c c −a + + + ≥0 d. d +b b +c c +a a +d 1 1  81 ( ) 1 Cho x ; y; z ∈ 0;1 . Chứng minh rằng : 2x + 2y + 2z  x + y + z  < .  2 8 2 2 Giải : Đặt a = 2x , b = 2y , c = 2z ⇒ a, b, c ∈ 1;2    1 1 1  81 ( ) Bài toán trở thành : Cho a, b, c ∈ 1;2  . Chứng minh rằng : a + b + c  + +  < .  a b c  8  1 1 1  81  2 2 2  81 2 2 2 9 ( ) ( ) ( ) Thật vậy : a + b + c  + +  < ⇔ a +b +c  + +  < ⇔ a +b +c  + +  < a b c  8 a b c  4 a b c  2 ( )( ) 2 1 ≤ a ≤ 2 ⇔ a − 1 a − 2 ≤ 0 ⇔ a 2 − 3a + 2 ≤ 0 ⇔ a 2 + 2 ≤ 3a ⇔ a + ≤ 3 a 2 2 2 2 2 ( ) () Tương tự : b + ≤ 3, c + ≤ 3 ⇒ a + b + c +  + +  ≤ 9 1 a b c  b c -38- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân : 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) (2 ) ⇒ a +b +c +  + +  ≥ 2 a +b +c  + +  a b c  a b c  2 2 2  2 2 2  81 ( ) ( ) ( 3) Từ (1) và (2 ) suy ra 2 a + b + c  + +  ≤ 9 ⇔ a + b + c  + +  ≤ a b c  4 a b c   1 1 1  81 () ( ) Đẳng thức không xảy ra . 3 ⇔ a + b + c  + +  < (đpcm). a b c  8 Cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn ab + bc + ca = 3abc . Chứng minh rằng: 3 ab bc ca +3 +3 ≤ Trích http://www.maths.vn a +b +a c +b c b +c +b a +c a c +a +c b +a b 4 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 Giải : 111 ab + bc + ca = 3abc ⇔ + + =3 abc   ) a 1 b ≤ 1 .  a + b  và với mọi a,b ta luôn có a 11 ( Với a, b > 0 ta luôn có a 3 + b 3 ≥ ab a + b , + b 2 ≥ 2ab . 2 + 4     1 1 ab ab ab   ≤ ≤ +2 )( ) )( ) ( ( 4  ab a + b a + b2 c  a 3 + b 3 + a 2c + b 2c ab a + b + a 2 + b 2 c      ≤ 1 1 + 1  1 1 ab ab ⇒ ≤ +2   )( ) ( ) ( ab a + b + a 2 + b 2 c 4  a + b a + b 2 c  4  a + b 2c    1  1 1 1 1 () ab ≤  + + . 1 a 3 + b 3 + a 2c + b 2c 16  a b  8 c Tương tự : 1 1 1 1 1 (2 ) bc ≤  + + . b 3 + c 3 + b 2a + c 2a 16  b c  8 a 1 1 1 1 1 (3) ca ≤  + + . c + a + c b + a b 16  c a  8 b 3 3 2 2 ()() () Cộng vế theo vế đẳng thức 1 , 2 và 3 ta được đpcm. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . Cho tam giác ABC có 3 cạnh : AB = c, BC = a, AC = b thoả mãn a 3 = b 3 + c 3 .Chứng minh rằng : A là góc nhọn và thoả : 600 < A < 900 . Giải : -39- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn  b 3  b 2    <   b 2 2 0 < < 1 a, b, c > 0 3 3 0 < b < a a  ⇒  b  +  c  < b  +  c   a     a ⇒ ⇒ ⇒ 3      2 0 b − bc + c 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 b +c −a b +c −a 2 2 2 2 2 2 1 ⇒ < 1 ⇒ cos A = < ⇒ A > 600 2bc 2 bc Vậy 60 < A < 90 . 0 0 1 1 1 1 1 1 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện : 15  2 + 2 + 2  = 10  + +  + 2007 . Tìm giá  ab bc ca  a c b 1 1 1 trị lớn nhất của P = + + 5a 2 + 2ab + 2b 2 5b 2 + 2bc + 2c 2 5c 2 + 2ca + 2a 2 Giải : 111 9 ++≥ . Đẳng thức xảy ra khi x = y = z . Áp dụng đẳng thức : x y z x +y +z 1  1 1 1 1 1 5a 2 + 2ab + 2b 2 = (2a + b)2 + (a − b)2 ≥ (2a + b )2 ⇒ ≤ ≤  + + . 2a + b 9  a a b  5a + 2ab + 2b 2 2 Đẳng thức xảy ra khi a = b  1 1 1 1 1 1 ≤ ≤++  1  1 1 1 2b + c 9  b b c   Tương tự :  5b + 2bc + 2c 2 2 . Do đó P ≤  + +  11 1 1 1 1 3 a b c   ≤ ≤++  5c 2 + 2ca + 2a 2 2c + a 9  c c a   1 2 1 1  1 1 1 1 ++ ≥++ a 2 b 2 c 2 3  a b c  Mặt khác :  2 1  1 1 1 1 1 1 ab + bc + ca ≤ 3  a + b + c     1 1 1 1 1 1 111 6021 Mà giả thiết : 15  2 + 2 + 2  = 10  + +  + 2007 . Do đó : + + ≤ 5  ab bc ca  abc a c b  a =b =c  1 6021 6021 ⇔ a = b = c = 3 Đẳng thức xảy ra khi :  1 1 1 ++= 5 a b c 5 1 6021 1 6021 Vậy max P = , khi a = b = c = 3 5 3 5 -40- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = abc . Chứng minh rằng : a 4 + b4 b4 + c4 c4 + a 4 + + ≥ 1. ( ) ( ) ( ) ab a 3 + b 3 bc b 3 + c 3 ca c 3 + a 3 Giải: 111 Ta có : ab + bc + ca = abc ⇔ + + = 1. abc 1 1 1 Đặt : x = ; y = ; z = ⇒ x +y +z = 1 . Khi đó ta có : a b c 1 1 ( ) +4 2 x 3 + y3 a +b x 4 + y4 4 4 x6 y6 4 x y = = = +2 3 ≥3 ( ) ( ) ( )( )( ) 11 1  x 3 + y3 x2 x 3 + y3 ab a 3 + b 3 y x + y3 x + y3 x 2 + y2 + 3  xy  x 3 y  (x ) 2 + y2 2 a +b x +y x 2 + y2 x + y 4 4 3 3 2 2 x y ≥2 = + ≥ = ≥ . ( ) ( ) ( )( )( ) x +y x + y2 x x 2 + y2 ab a 3 + b 3 y x 2 + y2 x + y x 2 + y2 2 b4 + c4 y +z c4 + a 4 z +x ≥ ≥ ; Tương tự : . ( ) ( ) 2 2 bc b 3 + c 3 ca c + a 3 3 a 4 + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + ≥ x +y +z =1 Cộng vế theo vế , ta được : ( ) ( ) ( ) ab a 3 + b 3 bc b 3 + c 3 ca c 3 + a 3 Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau: A B C tan tan tan 1 2 2 2 + + = B C C A A B A B C 1 + tan . tan 1 + tan . tan 1 + tan . tan 4 tan . tan . tan 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Giải: A B C Đặt x = tan , y = tan , z = tan thế thì x , y, z dương và xy + yz + zx = 1 2 2 2 1 x y z + + = Hệ thức trở thành: . 1 + yz 1 + zx 1 + xy 4xyz Ta có: x y z x y z + + = + + ≤ 1 + yz 1 + zx 1 + xy (xy + yz ) + (zx + yz ) (xy + zx ) + (yz + zx ) (xy + yz ) + (zx + xy ) 1 x  1 y y  1 z  x z ≤ + +  + +  + =  4  xy + yz zx + yz  4  xy + zx yz + zx  4  xy + yz zx + xy  -41- www.mathvn.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt . http//:www.maths.vn 1 x +z y + z  1  1 1 1  xy + yz + zx x +y 1 = + + =  + + = =  4  xy + yz zx + yz xy + zx  4  x y z  4xyz 4xyz Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC đều. Vấn đề liên quan tam giác , hẹn các em ở một chuyên đề khác . Chúc các em ôn tập tốt!!!. Góp ý gởi về Email: phukhanh@moet.edu.vn -42- www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn NH NG BÀI TOÁN B T NG TH C CƠ B N TRONG COSI. 1 Cho n nguyên và n ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t c a A = x + xn Gi i: n x  1 n +1 1 xx x A = + + ... + + n ≥ (n + 1)n +1   n ≥ n +1 n nn nx n  x n x n so n 1 x = n ⇔ x = n +1 n Du ng th c x y ra khi nx n +1 Giá tr nh nh t c a A = n +1 nn 1 Cho n nguyên và n ≥ 2 và x ≥ k > n +1 n . Tìm giá tr nh nh t c a A = x + xn Gi i: n +1 V i x ≥k > n  1 1  1 1 1 1 1 1 f (x ) ≥ f (k ) ⇔ x + −k − ≥ 0 ⇔ x − k +  −   n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1  ≥ 0 n n x k x k x k xkxk  1  1 1 1 1 ⇔ (x − k ) 1 −  n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1   ≥ 0 xk  x k  xkxk  (x − k )  1  1 1 1 ⇔ xk −  n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1   ≥ 0 xk  x k  xkxk 1 1 1 1 n n = n +1 n 2 < xk Ta có: n −1 + n −2 + n −3 2 + ... + n −1 ≤ n −1 < n +1 n −1 x xkxk k k n Suy ra f (x ) ≥ f (k ) úng v i m i x ≥ k > n +1 n 1 Giá tr nh nh t c a A = k + khi x = k . kn Cách 2 : n x  1  n 1 x x nx Nháp : A = + ... + + n +x − ≥ (n + 1)n +1   n + x  1 −  m mx m m  x m  x ,m > 0 n so m www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn x = k  n +1 = k n +1 1 ⇒m =x Ta ch n m sao cho:  x =n m  x n x 1  n 1 x x nx Bài gi i: A = + ... + + n + x − n +1 ≥ (n + 1)n +1  n +1  n + x  1 − n +1  k n +1 k n +1 k  x  k x k x n so kn +1  n (n + 1) 1 Vì x ≥ k > n +1 n nên n < k n +1 suy ra: A ≥ + k  1 − n +1  = k + n = f (k ) n  k k k ( ) Cho hai s th c x ≠ 0, y ≠ 0 thay i và th a mãn i u ki n: x + y xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá tr l n nh t 1 1 c a bi u th c : A = + 3 y3 x thi i h c kh i A năm 2006 Gi i: ( ) () Xét x + y xy = x + y − xy * . 2 2 1 1 tu= ,v = . x y 3(u + v )2 11 1 1 1 ( ) 2 Ta ư c + = 2 + 2 − ⇒ u + v = u 2 + v 2 − uv ⇒ u + v − (u + v ) = 3uv ≤ . 4 xyx xy y ( ) 2 ⇒ u +v − 4(u + v ) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ u + v ≤ 4 x 3 + y3 (x + y )(x 2 + y 2 − xy ) (x + y )(x + y )xy x 2 + y 2 + 2xy Khi ó : A = = = = x 3y 3 x 3y 3 x 3y 3 x 2y 2 1 1 2 ⇒A= 2 + 2 + = (u + v )2 ≤ 16 . xy x y 1 ng th c x y ra khi u = v = 2 hay x = y = Du . 2 Cho x , y, z là 3 s th c dương thay i . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c x 1 y 1 z 1 P = x + +y + +z +   2 yz   2 zx   2 xy  thi i h c kh i B năm 2007 Gi i: x 1 y 1 z 1  x 2 y2 z 2 x y z P = x +  +y +  +z + = + + + + +  2 yz   2 zx   2 xy  2 2 2 yz zx xy www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 1 1 2 2 1 ( ) ( ) 1 P = x 2 + y2 + z 2  +  = x + y + z 1 + + 2   2 xyz  2 xyz xyz   1 3 222 1 9 P≥ 9 x y z .3 2 2 2 = . 2 2 xyz ng th c x y ra khi x = y = z = 1 . 9 V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 2 thi i h c kh i A năm 2009 i và tho mãn i u ki n x .y.z = 1 .Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c Cho x , y, z là các s th c dương thay ( ) ( ) ( ) x2 y + z y2 z + x z2 x + y P= + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y thi i h c kh i A năm 2007 Gi i: 2x x xyz 2y y xyz 2z z xyz 2y y 2x x 2z z P≥ + + ≥ + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y  1 x x = (−2a + 4b + c ) a = y y + 2z z 9     1 t: b = z z + 2x x ⇒ y y = (a − 2b + 4c ) 9   c = x x + 2y y 1  z z = (4a + b − 2c)   9  2  −2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c  2  b a c  c a b   Khi ó: P ≥ + +  ≥  −6 + 4  + +  +  + +   .    9  9 a b c a c b  a b c   2 ( ) Hay P ≥ −6 + 4.3 + 3 = 2 . 9 V y giá tr nh nh t c a bi u th c c a P = 2 khi a = b = c = 1 . i và th a mãn x + y = 1 . Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a Cho các s th c không âm x , y thay ( )( ) bi u th c S = 4x 2 + 3y 4y 2 + 3x + 25xy . thi Cao ng kh i B năm 2009 Gi i: Nh n xét: vai trò gi ng nhau ( i x ng) c a x , y . www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn ( ) )( ) ( S = 12 x 3 + y 3 + 16x 2y 2 + 34xy = 12 x + y x 2 + y 2 − xy + 16x 2y 2 + 34xy 2  1  191 Hay S = 12 x + y  x + y − 3xy  + 16x 2y 2 + 34xy =  4xy −  + ( )( ) 2     4 16  2 x +y  1 Vì x , y không âm và th a mãn x + y = 1 suy ra 0 ≤ xy ≤  = 2 4 2  1  191 25 1 13 ⇒ − ≤ 4xy − ≤ ⇒ 0 ≤  4xy −  + ≤ . 4 44 4 16 2  25 1 V y giá tr l n nh t c a S = khi x = y = và giá tr nh nh t c a S = 0 khi x = 0, y = 1 . 2 2 ( ) 3 i và th a mãn x + y + 4xy ≥ 2 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c Cho các s th c x , y thay ( )( ) A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 thi i h c kh i B năm 2009 Gi i: + 4xy ≥ 2  (x + y ) 3  ( ) + (x + y ) 3 2 ⇒ x +y ≥2⇒x +y ≥1 . (x + y ) 2 ≥ 4xy   ( )( ) 2 (x + y + x + y + 2x y ) − 2 (x + y ) + 1 3 A = 3 x 4 + y 4 + x 2y 2 − 2 x 2 + y 2 + 1 = 4 4 4 4 22 2 2 A = (x + y ) + (x + y ) − 2 ( x + y ) + 1 3 3 2 4 4 2 2 2 2 2 2 Mà x + y = ( x + y ) − 2x y ≥ ( x + y ) − ( x + y ) ⇒ x + y ≥ ( x + y ) 1 2 2 2 4 4 2 2 22 2 2 4 4 4 4 2 2 2 Khi ó A ≥ ( x + y ) + ( x + y ) − 2 ( x + y ) + 1 hay A ≥ ( x + y ) − 2 ( x + y ) + 1 3 3 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 (x + y )2 1 ( ) 9 1 2 t t = x 2 + y2 ,t ≥ ≥ ⇒ A ≥ t 2 – 2t + 1,t ≥ . 2 2 4 2 1  () 92 nh và liên t c trên n a kho ng  ; +∞  . Xét hàm s f t = t – 2t + 1 xác 2 4  1  () () 9 9 1 ng bi n trên n a kho ng  ; +∞  . Ta có f ' t = t – 2 ≥ − 1 > 0 , t ≥ ⇒ f t 2 2 4 2  1 9 1 () Khi ó min A = min f t = f   = ng th c x y ra khi t = .  2  16 2 1  t∈ ;+∞  2  I M RƠI TRONG B T D NG TH C COSI www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn u : Cho a, b > 0 và th a mãn a + b ≤ 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c Bài toán m 1 1 P= + . 1 + a 2 + b2 2ab Gi i: 1 1 4 4 4 L i gi i 1. Ta có: P = + ≥2 = ≥ =2 1+a +b 2ab a + 2ab + b + 1 (a + b) + 1 2 2 2 2 2   1 + a + b = 2ab (a − b ) + 1 = 0 2 2 2 D u " = " x y ra ⇔  ⇔ . H vô nghi m. V y không t n t i min P . a + b = 1 a + b = 1   1 1 1 4 1 4 1 L i gi i 2. Ta có: P = + + ≥2 + = + 1+a +b 6ab 3ab a + 6ab + b + 1 3ab (a + b) + 1 + 4ab 3ab 2 2 2 2 2 a + b  1 4 1 8 M t khác ab ≤   = .V y P ≥ + ≥ . 2 2 2 4 3 a + b  a + b  2+ 6   2 2 1 + a 2 + b 2 = 3ab  1 D u " = " x y ra ⇔ a = b ⇔a =b = . 2 a + b = 1  11 4 +≥ L i bình: l i gi i 1. và l i gi i 2 g n như tương t nhau, cùng áp d ng b t ng th c . T i sao a b a +b 1 1 1 = + trong cùng m t bài toán mà có n hai áp s ? Do âu mà l i gi i 2 t i sao l i tách ?. ó 2ab 6ab 3ab chính là k thu t ch n i m rơi trong b t ng th c. Các b t ng th c trong các thi i h c thông thư ng là i x ng v i các bi n và ta d oán d u b ng x y ta khi các bi n b ng nhau và x y ra t i biên. 1 1 Cho a, b > 0 và th a mãn a + b ≤ 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + + 4ab . a +b 2 2 ab Gi i: 1 tt i a =b = i x ng v i a, b , ta d oán min P Do P là bi u th c . 2  1 1 1 1 4 1 1 Ta có: P = + +  4ab + + ≥ + 2 4ab. + ≥7 a 2 + b2 4ab  4ab (a + b)2 2 2ab  2ab a + b  4  2 www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn a 2 + b 2 = 2ab   1 1 D u " = " x y ra ⇔ a 2b 2 = ⇔a =b = . 16 2  a +b = 1   1 V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 tt i a =b = . 2 Thao kh o hai l i gi i khác : L i gi i 1: 1 1 1 1 4 1 1 1 1 P= + +  4ab + + ≥ + ≥ 4+2+ =6+ 2 4ab. ( ) a +b 2 2 2 4ab  4ab 2ab 4ab 4ab 4ab ab  a +b a 2 + b 2 = 2ab   1 1 1 D u " = " x y ra ⇔ a 2b 2 = ⇔ a = b = . Thay a = b = vào ta ư c P ≥ 7 . 2 16 2  a +b = 1   1 V y giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 t t i a = b = . 2 L i bình 1: 1 Qua cách gi i trên ta ã ch n úng d u ng th c x y ra khi a = b = nên d n n vi c tách các s h ng và 2 1 giá tr nh nh t c a bi u th c P = 7 t t i a = b = là úng , nhưng bư c cu i cùng ta ã làm sai , ví d 2 1 − a + a ≥ a , ng th c x y ra khi a = 1 ⇒ min  1 − a + a  = a ?. ( ) ( ) 2 2     L i gi i 2: 1  1 1 1 4 1 4 P= 2 + + + 4ab ≥ 2 + + 4ab = + + 4ab  . ( ) a + b 2 2ab 2ab a + b 2 + 2ab 2ab 2  2ab  a +b ) ( 1 1 .4ab = 2 2 . V y P ≥ 4 + 2 2 ⇒ min P = 2 2 + 2 + 4ab ≥ 2 M t khác 2ab 2ab L i bình 2: 1 1 1 = + Tho t nhìn th y bài toán ã gi i úng . Th c t thì sao? . Vi c tách làm xu t hi n ng ab 2ab 2ab ( ) 2 th c a 2 + b 2 + 2ab = a + b . a = b  ) ( 1 min P = 2 2 + 2 ⇔  = 4ab . H vô nghi m. ng th c không x y ra , do ó không t n t i min P .  2ab a + b = 1  3 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c ≤ . Ch ng minh r ng : www.mathvn.com 2