bài tập về bất đăng thức_06

Chia sẻ: Nguyễn Thị Ngọc Huỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

47
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập về bất đăng thức_06', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: bài tập về bất đăng thức_06

Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 3 a b c + + ≥. b. a + b2 b + c2 c + a 2 2 a2 b2 c2 + + ≥ 1. c. a + 2b 2 b + 2c 2 c + 2a 2 Hư ng d n : a + b + c = 3 a.   3(ab + bc + ca ) ≤ (a + b + c) ⇒ ab + bc + ca ≤ 3 2  a(1 + b 2 ) − ab2 a ab 2 = =a −  a ab 1 + b 1 + b2 1 + b2 ⇒ ≥a − 2 1+b 2 2 1 + b 2 ≥ 2b  bc 2 ca 2 b bc c ca =b − ≥b − , =c − ≥c − Tương t : 1+c 1+c 2 1+a 1+a 2 2 2 2 2 ab + bc + ca a b c 33 + + ≥ a +b +c − ≥3− = . C ng v theo v : 1+b 1+c 1+a 2 2 2 2 22 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a.b.c = 1 . Ch ng minh r ng : a3 b3 c3 3 + + ≥. a. (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4 1 1 1 + + ≤1 b. 2 +a 2 +b 2 +c Hư ng d n : a. Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng : a2 b2 c2 1 + + ≥ b +c c +a a +b 2 Gi i : a2 b2 c2 a2 b2 c2 1 1 + + ≥ ⇔( + a) + ( + b) + ( + c) ≥ + (a + b + c) b +c c +a a +b 2 b +c c +a a +b 2 www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn a 2 + a(b + c) b2 + b(c + a ) c2 + c(a + b) 1 ⇔ + + ≥ +1 b +c c +a a +b 2 a(a + b + c) b(b + c + a ) c(c + a + b) 3 ⇔ + + ≥ b +c c +a a +b 2 3 a b c ⇔ + + ≥ vì a + b + c = 1 . b +c c +a a +b 2 Cho 3 s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng : 1 ab bc ca + + ≤. a. a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 Hư ng d n : 11 4 +≥ a. Dùng b t ng th c . a b a +b Cho 3 s th c dương a,b,c . Ch ng minh r ng : a3 b3 c3 1 ≥ (a + b + c ) + + a. (a + b)(b + c) (b + c)(c + a ) (c + a )(a + b) 4 a3 b3 c3 1 + + ≥ (a + b + c) b. b(c + a ) c(a + b) a(b + c) 2 Hư ng d n : a +b b +c 3   a3 8a 3 + + ≥a + (a + b) + (b + c) ≥ 6a    (a + b)(b + c)  (a + b)(b + c) 8 8 4   b +c c +a 3 b3 8b 3 a. Cách 1 :   + + ≥b + (b + c) + (c + a ) ≥ 6b  Cách 2:  (b + c)(c + a ) (b + c)(c + a ) 8 8 4     c +a a +b 3 c3 8c 3 + + ≥c + (c + a ) + (a + b) ≥ 6c    (c + a )(a + b)  (c + a )(a + b) 8 8 4   b c +a 3  4a 3  a3 + 2b + (c + a ) ≥ 6a ++ ≥a   b(c + a ) b(c + a ) 2 4 2    4b 3  b3 c a +b 3 b. Cách 1:   + 2c + (a + b) ≥ 6b ++ ≥b  Cách 2:  c(a + b) c(a + b) 2 4 2  4c 3  c3 a b +c 3 + 2a + (b + c) ≥ 6c ++ ≥c   a(b + c) a(b + c) 2 4 2   www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn Cho 3 s th c dương x , y, z tho : x + y + z ≥ 3 .Tìm GTNN c a x2 y2 z2 + + A= x + yz y + zx z + xy (x + y + z ) 2 x2 y2 z2 + + ≥ . x + yz y + zx z + xy x + y + z + yz + zx + xy Ta có : yz + zx + xy ≤ x + y + z . (x + y + z ) 2 x +y +z 3 x2 y2 z2 + + ≥ = ≥ Suy ra : x + yz y + zx z + xy x + y + z + x + y + z 2 2   x + y + z = 3  ng th c x y ra khi: x = y = z ⇔x =y =z =1 x y z = =   x + yz y + zx z + xy  Cho ba s dương x , y, z th a mãn: x 2 + y 2 + z 2 = 3 .Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: x5 y5 z5 S= 3 +3 +3 + x 4 + y4 + z4 y +z z +x x +y 3 3 3 Áp d ng B T Côsi cho 3 s ta có : y3 + z2 x 4 3 3 x5 + + ≥x y3 + z2 4 2 2 z3 + x2 y4 3 3 x 3 + y2 z 4 3 3 y5 z5 + + ≥ y, 3 + + ≥z tương t z3 + x2 x + y2 4 2 2 4 2 2 x4 1 y4 1 z4 1 + ≥ x 2 tương t + ≥ y2 , + ≥ z 2 22 22 22 C ng v v i v các B T trên ta ư c x5 y5 z5 ( ) ( ) 5 3 3 S= 3 +3 +3 + x 4 + y4 + z 4 ≥ x 3 + y3 + z 3 + x 2 + y2 + z 2 − y +z z +x x +y 2 2 2 4 4 2 Mà x 3 + x 3 + 1 ≥ 3x 2 hay 2x 3 + 1 ≥ 3x 2 tương t 2y 3 + 1 ≥ 3y 2 , 2z 3 + 1 ≥ 3z 2 ( ) ( ) 9 Do ó , 2 x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 x 2 + y 2 + z 2 − 3 = 6 ⇒ x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 ⇒ S ≥ 2 D u b ng x y ra ⇔ x = y = z = 1 www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn Cho 3 s th c dương x , y, z . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c x2 y2 z2 M= + + . (2y + 3z )(2z + 3y ) (2z + 3x )(2x + 3z ) (2x + 3y)(2y + 3x ) Gi i : 13 2 (y + z 2 ) = 25 (y 2 + z 2 ) (2y + 3z )(2z + 3y ) = 6 (y 2 + z 2 ) + 13yz ≤ 6 (y 2 + z 2 ) + 2 2 x2 2x 2 ⇒ ≥ (2y + 3z )(2z + 3y) 25(y 2 + z 2 ) y2 2y 2 z2 2z 2 ≥ ≥ , Tương t : . (2z + 3x )(2x + 3z ) 25(z 2 + x 2 ) (2x + 3y )(2y + 3x ) 25(x 2 + y 2 ) 2x 2 2y 2 2z 2 1 1 ⇒ f ( x ; y; z ) ≥ M≥ ⇒ min M = . + + 25(y + z ) 25(z + x ) 25(x + y ) 2 2 2 2 2 2 25 25 3 x y z V i x , y, z là s dương và x .y.z ≥ 1 .Ch ng minh r ng: + + ≥ 2 x + yz y + zx z + xy Hư ng d n. t a = x ,b = y ,c = z Bài toán tr thành : a, b, c là s dương và a.b.c ≥ 1 . Ch ng minh r ng: a2 b2 c2 3 + + ≥ a 2 + bc b 2 + ac c 2 + ab 2 (a + b + c ) 2 a2 b2 c2 ( *) + + ≥ D th y : a 2 + bc b 2 + ac c 2 + ab a 2 + bc + b 2 + ac + c 2 + ab Bình phương hai v b t ng th c: 2   ( ) ( ) 2 4 a +b +c a +b +c () * ≥ = VT 2 2  2 a + bc + b + ac + c + ab   a 2 + bc + b 2 + ac + c 2 + ab  2 2        (a + b + c ) (a + b + c ) (a + b + c ) 4 4 4 ≥ ≥ ≥ + ab + bc + ac) 3  a + b + c − 3 ab + bc + ac  3  a + b + c − 3  ( )( )  ( ) 3(a 2 + b 2 + c 2 2 2     () (a + b + c ) 2 2 ( Vì ab + bc + ac ≥ 3 3 abc ≥3⇒t = ≥ 9) 3t + 15 t − 3 3.9 + 15 t −3 3 t2 3 9 () 9 = + + ≥ +2 = ⇒ VT 2 * ≥ . Ta có: 3(t − 3) t −3 12 t − 3 2 12 12 12 2 D u b ng x y ra khi x = y = z = 1 ⇒ i u ph i ch ng minh ( ) T ng quát : ta có bài toán sau: v i x 1, x 2,..., x n n ≥ 2 là s dương và x 1.x 2 ...x n ≤ 1 www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn x1 x2 xn n + + ... + ≥ Cmr: . 2 x 1 + x 2 .x 3 ...x n x 2 + x 3 .x 4 ...x n x n + x 1.x 2 ...x n −1 Cho 3 s th c dương a,b,c . Ch ng minh r ng : 1 1 1 1 1 1 + + ≤ ++. a. a + 3b b + 3c c + 3a 4a 4b 4c 1 1 1 1 1 1 + + ≤ ++. b. a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4a 4b 4c 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤  + + . c. (a + b ) (a + c ) (b + c )(b + a ) (c + a ) (c + b ) 2  a b c  a −d b −b b −c c −a + + + ≥0 d. d +b b +c c +a a +d 1 1  81 1 Cho x ; y; z ∈ [ 0;1] . Ch ng minh r ng : ( 2x + 2y + 2z )  x + y + z  < 2 2 2 8 Gi i : t a = 2x ,b = 2y ,c = 2z ⇒ a,b,c ∈ [1;2]  1 1 1  81 Bài toán tr thành : Cho a,b,c ∈ [1;2] . Ch ng minh r ng : (a + b + c )  + +  < . 8 a b c  Th t v y : (a + b + c )  a + b + c  < 8 ⇔ (a + b + c )  a + b + c  < 4 ⇔ (a + b + c )  a + b + c  < 2 111 81 222 81 222 9             2 1 ≤ a ≤ 2 ⇔ (a − 1)(a − 2 ) ≤ 0 ⇔ a 2 − 3a + 2 ≤ 0 ⇔ a 2 + 2 ≤ 3a ⇔ a + ≤3 a 2 2 Tương t : b + ≤ 3,c + ≤ 3 b c ⇒ (a + b + c ) +  + +  ≤ 9 (1) 222 a b c    Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân : ⇒ (a + b + c ) +  + +  ≥ 2 (a + b + c )  + +  (2 ) 222 222 a b c  a b c      (1) và (2 ) suy ra 2 (a + b + c )  + +  ≤ 9 ⇔ (a + b + c )  + +  ≤ 222 222 81 ( 3) T     a b c a b c 4  1 1 1  81 ng th c không x y ra . ( 3 ) ⇔ (a + b + c )  + +  < ( pcm). 8 a b c  www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn Cho a,b,c là 3 s dương tho mãn ab + bc + ca = 3abc . Ch ng minh r ng: 3 ab bc ca +3 +3 ≤ 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 a +b +a c +b c b +c +b a +c a c +a +c b +a b 4 Trích http://www.maths.vn Gi i : 111 ab + bc + ca = 3abc ⇔ + + =3 abc 1  1 1 1 V i a,b > 0 ta luôn có a 3 + b 3 ≥ ab (a + b ) , ≤ . +  a +b 4 a b  và v i m i a,b ta luôn có a 2 + b 2 ≥ 2ab . ab   1 1 ab ab ≤ +2 2 2≤ a + b + a c + b c ab(a + b) + (a + b )c 4  ab(a + b) (a + b )c   3 3 2 2 2  1 1  1 1 + 1 ab ab ⇒ ≤ +2 ≤ 2  2 2 ab(a + b ) + (a + b )c 4  a + b (a + b )c  4  a + b 2c  1 1 1 1 1 ab (1 ) 2≤  + + . 3 3 2 a + b + a c + b c 16  a b  8 c Tương t : 1 1 1 1 1 bc (2 ) 2≤  + + . 3 3 2 b + c + b a + c a 16  b c  8 a 1 1 1 1 1 ca ≤  +  + . ( 3) c + a + c b + a b 16  c a  8 b 3 3 2 2 ng th c (1) , (2 ) và ( 3 ) ta ư c pcm. D u ng th c x y ra khi a = b = c = 1 . C ng v theo v Cho tam giác ABC có 3 c nh : AB = c, BC = a, AC = b tho mãn a 3 = b 3 + c 3 .Ch ng minh r ng : A là góc nh n và tho : 600 < A < 900 . Gi i :  2 3 b  b   b < 1  a  <  a  0 < a a,b,c > 0 2 0 < b < a 2  3 3     ⇒ b  + c  < b  + c   ⇒ ⇒ ⇒ 3   a  a  0 a (b 2 − bc + c 2 ) ⇒ a 2 > b 2 − bc + c 2 b2 + c2 − a 2 b2 + c2 − a 2 1 ⇒ < 1 ⇒ cos A = < ⇒ A > 600 2bc 2 bc V y 600 < A < 900 . www.mathvn.com
Nguy n Phú Khánh – à L t . http//:www.maths.vn 1 1 1 1 1 1 Cho các s th c dương a, b, c th a mãn i u ki n : 15  2 + 2 + 2  = 10  + +  + 2007  ab bc ca  a c b 1 1 1 Tìm giá tr l n nh t c a P = + + 5a 2 + 2ab + 2b 2 5b 2 + 2bc + 2c 2 5c 2 + 2ca + 2a 2 111 9 ++≥ ng th c x y ra khi x = y = z . Áp d ng ng th c : . x y z x +y +z 1  1 1 1 1 1 5a 2 + 2ab + 2b 2 = (2a + b)2 + (a − b)2 ≥ (2a + b)2 ⇒ ≤ ≤  + + . 2a + b 9  a a b  5a 2 + 2ab + 2b 2 ng th c x y ra khi a = b  1 1 1 1 1 1 ≤ ≤++  2b + c 9  b b c   Tương t :  5b + 2bc + 2c 2 2 11 1 1 1 1  ≤ ≤++  2c + a 9  c c a   5c + 2ca + 2a 2 2 1  1 1 1 Do ó P ≤  + +  3 a b c  1 2 1 1  1 1 1 1 ++ ≥++ a 2 b 2 c 2 3  a b c  M t khác :  2 1 1 1 1 1 1 1 ab + bc + ca ≤ 3  a + b + c     1 1 1 1 1 1 Mà gi thi t : 15  2 + 2 + 2  = 10  + +  + 2007  ab bc ca  a c b 111 6021 ++≤ Do ó : 5 abc  a =b =c  1 6021 6021 ⇔ a = b = c = 3 ng th c x y ra khi :  1 1 1 ++= 5 a b c 5 1 6021 1 6021 V y max P = , khi a = b = c = 3 5 3 5 www.mathvn.com