CHÀO MỪNG QUÝ THẦY CÔ VỀ DỰ BUỔI DUYỆT GIẢNG
GV : THÂN VĂN ĐÍNH
CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT
NỘI DUNG
I. PHƯƠNG PHÁP GAUSS GIẢI HỆ PHƯƠNG
TRÌNH TUYẾN TÍNH
II. TÌM CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA MỘT HPT TT THUẦN NHẤT
PHƯƠNG PHÁP GAUSS GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG NÀO CẦN THIẾT NHẤT ĐỂ THỰC HIỆN PHƯƠNG PHÁP GAUSS ?
KIẾN THỨC
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MA TRẬN
KỸ NĂNG ĐƯA MỘT MA TRẬN VỀ DẠNG BẬC THANG
=
+
+
(cid:0) 1. PHƯƠNG PHÁP Xét hệ (cid:0)
+ + ... + + ...
a x 11 1 a x 21 1
a x 12 2 x a 22 2
2
b 1 = b 2
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
+
=
a
a
+ + ...
(cid:0)
b m
m
m
a x nn 1 x a nn ........................................... x x a mn n 2 2
(cid:0)
L L
L L
a 12 a 22 a n 1 a n 2 a 12 a 22 = = A A ,
x 1 1 Bước 1 : lập các ma trận a a n 1 11 a a n 2 21 L L L L
� � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � �
L a mn a m 1 a m 2 a b 11 1 a b 21 2 L L L L L L a a b mn m m 1 a m 2
1. PHƯƠNG PHÁP
Bước 2 : Đưa ma trận ghép về dạng bậc thang L
L a 11 0
= A
� � � � � � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � � � � � � � �
L 0 0 a a b n 1 12 1 a a bn 2 22 2 L L L L a 0 bmn m
Bước 3 : Giải các ẩn số xj ứng với hệ số aij
+
+
=
2. Ví dụ
(cid:0)
2 +
2 +
1 = -
Ví dụ 1. Giải hệ (cid:0)
1
x 2 x 2 2
(cid:0)
x 1 x 2 1 +
2
2
1
x 1
x 2
x 3 x 3 3 = x 3
(cid:0) - (cid:0)
= -
2
x 1
2
1
2
2
1
Hướng dẫn (cid:0)
=
A
=� (cid:0) x 2
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) - - -
3 2
1 1
2 0
1 4
3 0
=
1 2 � � 2 2 � � 1 2 �
1 � � � � 0 � � � � 0 � �
� � � � �
3 2 0
x 3
(cid:0) - - (cid:0) (cid:0)
Chú ý Trường hợp hệ có vô số nghiệm phụ thuộc (n – r ) tham số thì các ẩn tham số là các ẩn nằm tại vị trí có hệ số “bậc thang khuyết”
+
+
+
=
2
5
Ví dụ 2. Giải hệ (cid:0)
+
+
3 +
2 =
(cid:0)
4
6
4
(cid:0)
+
x 3 x 3 3 +
+
=
4
14
7
4
(cid:0)
(cid:0)
2
3
3
2
7
x 1 x 1 x 1 x 1
x 2 x 2 x 2 + x 2
x 3 + x 3
x 4 x 5 4 x 4 = x 4
(cid:0) - (cid:0)
=
5
Hướng dẫn (cid:0)
5
1 3 2
=
5
1
3
2
t
x 4 x 3
(cid:0)
6
3 5 4
(cid:0)
1 0
=
t
5
A
...
=
x 2
0
1
5
- - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
3 3 2 7
2 � � 4 � � 4 14 1 7 4 � -� 2
� � � � � �
(cid:0)
(cid:0) -
4 1 * 0 0
0
0
0
4 + t (9
27)
2 � � 0 � � 0 � 0 �
� � � � � �
=
x 1
(cid:0)
8
(cid:0)
=
+
+
+
2
5
(cid:0)
+
+
3 +
2 =
Ví dụ 3. Giải hệ (cid:0)
4
6
4
(cid:0)
+
x 3 x 3 3 +
+
=
4
14
7
4
(cid:0)
(cid:0)
2
3
3
7
x 1 x 1 x 1 x 1
x 2 x 2 x 2 + x 2
x 3 + x 3
x 4 x 5 4 x 4 = x 4
(cid:0) - (cid:0)
5
1 3 2
5
1
3
2
6
3 5 4
Hướng dẫn
4 1
=
A
...
0
5
0
0
- - (cid:0) (cid:0)
1 0 *
3 3 1 7
2 � � 4 � � 4 14 1 7 4 � -� 2
� � � � � �
0
0
0
0
2 � � 0 � � 0 � 0 �
� � � � � �
*
KL : Hệ vô nghiệm
TÌM CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT
=
+
+
1. PHƯƠNG PHÁPXét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau + (cid:0)
L +
+
0 =
+
(cid:0)
L
0
a x 11 1 a x 21 1
a x 12 2 a x 22 2
a x n n 1 a x n n 2
( ** )
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
+
+
L
a x mn n
............................................ = + a x 0 m 1 1
a x m 2 2
(cid:0) (cid:0)
Hệ có thể viết dưới dạng : AX = 0 Nếu r(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất (0, 0 , . . ., 0)Nếu r(A) = r < n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc (n – r) tham số.
Nghiệm TQ của hệ có dạng : X = ( x1, x2, . . ., xr , tr+1, . . ., tn-r) Ký hiệu : SA là tập nghiệm của hệ (**) thì SA là một không gian con sinh bởi X.
(
(cid:0)
=
SA có một cơ sở là (cid:0)
X
(
2
(cid:0) Hãy tìm một cơ sở và số chiều cho không gian nghiệm = X ,...,1, 0,...0) 1 SA ,..., 0,1,...0)
(cid:0)
(cid:0)
=
,..., 0, 0,...1)
(
n r
x x , 1 2 x x , 1 2 ..................................... x x X , 1 2
(cid:0) - (cid:0)
( trong đó, số 1 nằm ở vị trí r + i, i = 1,2, . . ., n – 2r )
Do đó, dim(SA) = n - r
+
0
3
- (cid:0)
4 +
2 +
4
0
6
5
(cid:0) - (cid:0)
+
3
4
2
5
(cid:0) - (cid:0) Ví dụ. Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình sau + x 2 x 2 x 2
+
+
24
= x 4 = x 4 = x 4 19
0
3
8
x 3 x 3 + x 3 x 3
0 = x 4
x 1 x 3 1 x 1 x 1
x 2
(cid:0) - (cid:0)
1 2
4
3
2
4
3
HD - -
3 5
6
4
1
=
- - -
A
(cid:0)
4 5
2
3
0
-
6 * 0
5 * 0
3 8 24
19
0
0
0
� � � � � �
1 � � � � 0 � � � � 0 � � 0 � �
� � � � � �
-
Nghiệm TQ : X = (8t3 – 7t4; 5t4 – 6t3; t3; t4) dimSA = 2, một cơ sở của SA là {(8, -6, 1, 0); (- 7, 5,0,1)}
CỦNG CỐ
Giải và biện luận hệ phương trình sau theo m
+
(cid:0)
+ - (1
)
2
(cid:0)
+
- (cid:0)
x 1 (1
0
(cid:0) - (cid:0)
2
2
x 2 m x ) 1 + x mx 2 1
+ = m x m 3 = + x x 2 3 2 + = x m 3 3
NHỮNG VẤN ĐỀ CHÍNH CẦN NẮM
