Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001
Ch ¬ng 3 so s¸nh cÆp tham sè ®Æc tr ng cña hai tËp sè liÖu kÕt qu¶ nghiªn cøu
3.1. Gi¶ thiÕt thèng kª vµ kÕt luËn thèng kª: 3.1.1.Gi¶ thiÕt thèng kª: Gi¶ sö ta cã Xi vµ Xk lµ 2 tham sè ®Æc tr ng cña 2 tËp sè liÖu kÕt qu¶ nghiªn cøu. XuÊt hiÖn 2 gi¶ thiÕt thèng kª, tr×nh bÇy ë b¶ng sau:
Gi¶ thiÕt thèng kª Ký hiÖu ý nghÜa BiÓu diÔn
Gi¶ thiÕt kh«ng (gi¶ thiÕt kh«ng liªn quan) H0 Xi Xk Xi - Xk 0
Gi¶ thiÕt kh¸c kh«ng
(gi¶ thiÕt liªn quan) Ha
(H1) Xi - Xk 0 Xi Xk
Xi>Xk;
Xi Trong ®ã : Xi vµ Xk cã thÓ lµ hai sù kiÖn, hai biÕn cè, hoÆc hai ®¹i l îng ngÉu nhiªn cã cïng thø nguyªn. 3.1.2. KÕt luËn thèng kª: Cã hai lo¹i kÕt luËn thèng kª : B¶ng ph©n lo¹i c¸c kÕt luËn thèng kª: ThËt Gi¶ KÕt luËn thèng kª
lo¹i 2:
ChÊp nhËn H0;
B¸c bá Ha
§óng KÕt luËn thèng kª
lo¹i 1:
B¸c bá H0;
ChÊp nhËn Ha
Sai
(Sai lÇm lo¹i 1)
§óng Sai
( Sai lÇm lo¹i 2) H0
(Xi Xk)
Ha
(Xi Xk) Ha
(Xi Xk)
H0
(Xi Xk) + KÕt luËn thèng kª lo¹i 1: Phñ ®Þnh H0 (b¸c bá H0) vµ Kh¼ng ®Þnh Ha (chÊp nhËn Ha). KÕt luËn thèng kª lo¹i 1 dÉn ®Õn sai lÇm lo¹i 1, ®ã lµ “ §óng lµ H0 ( xi xk ) l¹i kÕt
luËn lµ Ha (xi xk). Nãi mét c¸ch kh¸c: ®óng lµ chóng gièng nhau l¹i b¶o chóng kh¸c
nhau.” + KÕt luËn thèng kª lo¹i 2: Phñ ®Þnh Ha (b¸c bá Ha).Kh¼ng ®Þnh H0 (chÊp nhËn H0). KÕt luËn thèng kª lo¹i 2 dÉn ®Õn sai lÇm lo¹i 2, ®ã lµ “ §óng lµ Ha (Xi Xk) l¹i kÕt
luËn lµ H0 (Xi Xk). Nãi mét c¸ch kh¸c : ®óng lµ chóng kh¸c nhau l¹i kÕt luËn chóng
gièng nhau . CÇn nhí r»ng : KÕt luËn thèng kª lµ kh¼ng ®Þnh ( hay chÊp nhËn ) mét gi¶ thiÕt thèng
kª nµy vµ phñ nhËn ( hay b¸c bá ) gi¶ thiÕt thèng kª kia, chø kh«ng cã nghÜa lµ cho r»ng gi¶
thiÕt thèng kª nµy ®óng cßn gi¶ thiÕt thèng kª kia sai. 27 Trong tr êng hîp buéc ph¶i kÕt luËn thèng kª th× ph¶i gi÷ nguyªn t¾c: thµ m¾c sai lÇm
lo¹i 1 cßn h¬n m¾c sai lÇm lo¹i 2. Nãi c¸ch kh¸c: nÕu kh«ng ®ñ b»ng chøng ®Ó kh¼ng ®Þnh gi¶
thiÕt H0, th× thµ phñ nhËn gi¶ thiÕt H0, cßn h¬n kh¼ng ®Þnh gi¶ thiÕt H0. Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 X u t 3.2. Quan hÖ gi÷a chuÈn ph©n phèi vµ kÕt luËn thèng kª. C¸c chuÈn ph©n phèi cã thÓ tÝnh ® îc tõ c¸c sè liÖu cña tËp sè liÖu kÕt qu¶ nghiªn cøu: )f,P( XX
i
S
X
xS f 2 ) 2
)f,P( ) F
f,f,P(
21 XX
i
S f 2
S
1
2
S
2 N
(
1i
hoÆc f(x) Ptt > Ptb tt < tb f(x) Ptt Ptb tt = tb f(x) P tt > Ptb tb < tt S¬ ®å quan hÖ gi÷a chuÈn ph©n phèi vµ kÕt luËn thèng kª: - NÕu ttÝnh < tb¶ng nghÜa lµ ®é tin cËy thèng kª cña t tÝnh nhá h¬n ®é tin cËy thèng kª cña tb¶ng vËy th× ttÝnh kh«ng ®¸ng tin cËy b»ng tb¶ng. Do ttÝnh kh«ng ®¸ng tin cËy b»ng tb¶ng nªn hiÖu sè X - kh«ng ®¸ng tin cËy, ®iÒu ®ã
cã nghÜa sù kh¸c nhau gi÷a gi¸ trÞ trung b×nh vµ gi¸ trÞ thËt lµ kh«ng ®¸ng tin cËy . V× chóng
kh¸c nhau kh«ng ®¸ng tin cËy cho nªn cã thÓ coi nh chóng gièng nhau (chÊp nhËn H0, phñ
nhËn Ha). 28 - NÕu ttÝnh > tb¶ng , th× ttÝnh cã ®é tin cËy thèng kª lín h¬n ®é tin cËy thèng kª cña tb¶ng.
V× vËy ttÝnh ®¸ng tin cËy vµ do ®ã hiÖu sè X - chØ sù sai kh¸c gi÷a X vµ lµ ®¸ng tin cËy
(phñ nhËn H0, chÊp nhËn Ha). Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 - NÕu ttÝnh = tb¶ng th× ®é tin cËy b»ng nhau cho nªn X - tho¶ m·n ®é tin cËy thèng kª
cho tr íc. Nãi c¸ch kh¸c ®é chÝnh x¸c tin cËy cña tËp sè liÖu kÕt qu¶ nghiªn cøu tho¶ m·n ®é
tin cËy thèng kª cho tr íc. Trong tr êng hîp nµy, chóng ta chän thµ m¾c sai lÇm lo¹i 1 cßn
h¬n m¾c sai lÇm lo¹i 2 ®Ó kÕt luËn thèng kª. NghÜa lµ thµ kÕt luËn X kh¸c h¬n lµ kÕt luËn
X gièng ®Ó chän quyÕt ®Þnh cho phï hîp. Do tb¶ng phô thuéc ®é tin cËy thèng kª ( P ) cho tr íc, nªn mét kÕt luËn thèng kª rót ra
® îc chØ øng víi mét ®é tin cËy thèng kª cho tr íc mµ th«i. Khi ®é tin cËy thèng kª thay ®æi
th× kÕt luËn thèng kª còng cã thÓ thay ®æi theo. LËp luËn vÒ quan hÖ gi÷a chuÈn ph©n phèi t vµ kÕt luËn thèng kª còng ¸p dông cho c¸c
chuÈn ph©n phèi kh¸c. Vµ viÖc sö dông c¸c chuÈn ph©n phèi cña c¸c hµm ph©n phèi ®Ó kÕt
luËn thèng kª cho ®óng - gäi lµ kiÓm ®Þnh thèng kª. 3.3. So s¸nh cÆp tham sè ®Æc trùng cña hai tËp sè liÖu kÕt qu¶ nghiªn cøu: Cã hai cÆp tham sè ®Æc tr ng quan träng nhÊt th êng ph©n tÝch so s¸nh ®ã lµ:
* So s¸nh ®é chÝnh x¸c: §Æc tr ng bëi X , khi ®ã cã hai tr êng hîp chÝnh: 1. So s¸nh X víi
2. So s¸nh X A vµ X B * So s¸nh ®é sai biÖt: ®Æc tr ng bëi S2. tiÕn hµnh so s¸nh theo Tuú theo NA vµ NB nhá hay lín, gièng nhau hay kh¸c nhau, c¸ch kh¸c nhau. X X B u t t 3.3.1. So s¸nh ®é chÝnh x¸c: Nguyªn t¾c so s¸nh lµ dïng chuÈn u hoÆc chuÈn t ®Ó so s¸nh, v×:
X
A
S XX
i
S x f hoÆc Víi N > 30 dïng chuÈn u , cßn N < 30 dïng chuÈn t. C¸nh tÝnh to¸n chuÈn u hoÆc t vµ so s¸nh víi c¸c gi¸ trÞ tra b¶ng ® îc ph©n thµnh c¸c tr êng hîp sau: 3..3.1.1. NÕu NA vµ NB > 30. Dïng chuÈn u ®Ó so s¸nh. N. 3.1 utÝnh = d
x d
f d
f
N A X
B A Xd Trong ®ã: 3.2 f 2
2
B
N
N B A S 3.3
d B B 29 N N 3.4 N
A
N.N
A Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 )f,p(t N. 3..3.1.2. NÕu NA vµ NB < 30, dïng chuÈn t ®Ó so s¸nh chia lµm hai tr êng hîp chÝnh:
(gièng tr êng hîp 3.1.1) 1/. NÕu NA NB <30. d
Sx d
Sf 3.5 A X
B Xd Trong ®ã: 3.6 A 2
N(S
A 2
N(S)1
B
B
N(
)1
A B B )1
Sd 3.7 N( )1 BA N 3.8 N
N
A
N.N 3.9 f = (NA - 1) + (NB - 1) = N A+ N B - 2 )f,p(t N. 2./ NÕu NA = NB = N'<30.
Chia lµm 2 tr êng hîp.
a. Kh«ng liªn quan víi nhau tõng ®«i mét: d
d
S
S
x f 3.10 A X
B Xd 3.11 Trong ®ã: 2
B 2
S
A
2 S Sd 3.12 A B N 3.13 2
N 2
N 2
'N 3.14 f = NA + N B - 2 du )f,p(t b. Cã liªn quan tõng ®«i mét: 3.15 d
S
x f
'N Au X
Bu d d X 3.16 Trong ®ã: N
du
1u
'N 30 3.17 2 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 i N
d(
1u
)d
Sd 3.18 1'N
A B N 3.19 2
N 2
N 2
'N 3.20 f = NA - 1 = NB - 1 = N'- 1 VÝ dô 3.1 : Sö dông 4 nghiªn cøu A,B,C vµ D. KÕt qu¶ lµm lÆp l¹i theo mçi nghiªn cøu 6 lÇn thu ® îc tr×nh bµy trong b¶ng sau : N
1
2
3
4
5
6 ph2A
18,00
18,05
17,95
18,15
17,95
18,20 ph2B
18,55
17,60
18,00
18,30
18,25
17,90 ph3C
17,65
17,70
17,90
17,65
17,85
17,75 ph2D
19,10
18,40
18,10
18,70
18,80
18,50 a/ TÝnh gi¸ trÞ Trung b×nh vµ Ph ¬ng sai cña mçi nghiªn cøu vµ nhËn xÐt.
b/ BiÕt gi¸ trÞ thËt lµ 18,1. Ph©n tÝch ®¸nh gi¸ sai sè cña mçi nghiªn cøu.
Gi¶i : X =
S2 = ph2A
18,050
0,012 ph2B
18,100
0,112 ph3C
17,750
0,018 ph2D
18,600
0,120 ph2A ph2B ph2C ph2D 17,000 18,000 19,000 05,18 1,18 = 0,354 tB ( 95,5 ) = 2,57 t A ,0 012 6 KÕt luËn : H0 : x sai sè ngÉu nhiªn 75,17 1,18 ph2C : = 6,48 tB ( 95,5 ) = 2,57 tC ,0 018 6 31 KÕt luËn : Ha : x sai sè hÖ thèng. Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 VÝ dô 3.2 : Cho kÕt qu¶ nghiªn cøu cña A vµ B : 4
34,9
31,9 5
34,1
33,0 6
33,2
31,6 7
33,2
32,1 1
A 33,5
B 31,1
8
A 31,1
B 31,5 2
33,9
32,9
9
31,1
31,0 3
33,5
32,8
10
31,7
31,0 Ax
S2 Ph©n tÝch ®¸nh gi¸ vµ ph©n tÝch so s¸nh 2 kÕt qu¶ nghiªn cøu trªn Gi¶i: Bx = 31,89
S2
B = 0,619 = 32,72
B = 1,327 * Kh«ng liªn quan tõng ®«i mét: H0 = 2 kÕt qu¶ nghiªn cøu kh«ng kh¸c nhau.
Ha = 2 kÕt qu¶ kh¸c nhau. d = 32,72 - 31,89 = 0,83 2
B 2
S
A
2 S Sd 2 t d 2 83,0 t 9,1 d
S 10
10 10
10
,0 973 n
n
1
n.n
1 tb ( 0,95 ; 18 ) = 2,101 KÕt luËn tt tb chÊp nhËn H0 d 83,0
d 3,8
10 n 2 2 2 89,12 (
* Liªn quan tõng ®«i mét : H0 = 2 kÕt qu¶ nghiªn cøu kh«ng kh¸c nhau.
Ha = 2 kÕt qu¶ kh¸c nhau. S ,0 667 2
d 10 1n
3,8
10
1
83,0 t N 2,3 t d
S .0 d 667
10 tb ( 0,95 ; 9 ) = 2,26 ttÝnh tb chÊp nhËn Ha
tb ( 0,99 ; 9 ) = 3,25 ttÝnh tb b¸c bá Ha 32 Nh©n xÐt : - Kh¶o s¸t liªn quan tõng ®«i mét cho thÊy cã sù sai kh¸c, trong khi kh¶o s¸t
kh«ng liªn quan tõng ®«i mét th× kh«ng thÊy sù kh¸c nhau. Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 - Khi thay ®æi ®é tin cËy th«ng kª th× cã thÓ dÉn ®Õn thay ®æi kÕt luËn thèng kª. VÝ dô 3.3: §Ó x¸c ®Þnh l îng urª trong m¸u ng êi, ta x©y dùng mét ph ¬ng ph¸p míi. Ta muèn
kiÓm tra xem ph ¬ng ph¸p míi nµy cã g× kh¸c ®¸ng kÓ so víi ph ¬ng ph¸p ®· ® îc chÊp nhËn
trong phßng thÝ nghiÖm. Ta thùc hiÖn hai ph ¬ng ph¸p trªn 6 mÉu kh¸c nhau vµ thu ® îc kÕt
qu¶ ghi trong b¶ng sau: MÉu di-dtb (di-dtb)2 di A
B
C
D
E
F Ph ¬ng ph¸p
míi
10,2 mg/dl
12,7
8,6
17,5
11,2
11,5 Ph ¬ng ph¸p
so s¸nh
10,5
11,9
8,7
16,9
10,9
11,1 -0,6
0,5
-0,4
0,3
0,0
0,1 0,36
0,25
0,16
0,09
0,00
0,01
Tæng 0,87 -0,3
0,8
-0,1
0,6
0,3
0,4
dtb=0,28 6 = 1,63 87,0
5 28,0
42,0 = 0,42 t = Khi ®ã, ta cã sd = Gi¸ trÞ t t ¬ng øng trong b¶ng øng víi ®é tin cËy 95% lµ 2,571, lín h¬n gi¸ trÞ t tÝnh ® îc. Do ®ã, hai ph ¬ng ph¸p kh«ng kh¸c nhau ®¸ng kÓ. VÝ dô 3.4: Mét ph ¬ng ph¸p míi ® îc x©y dùng ®Ó x¸c ®Þnh hµm l îng s¾t trong chÊt kÕt tinh víi
c¬ bo. §é chÝnh x¸c cña ph ¬ng ph¸p ® îc ph©n tÝch b»ng c¸ch so s¸nh kÕt qu¶ thu ® îc víi
kÕt qu¶ thu ® îc khi dïng ph ¬ng ph¸p amoniac. Ta cã b¶ng sau: Ph ¬ng ph¸p míi Ph ¬ng ph¸p so s¸nh 20,01% 18,89% 20,05 19,20 18,65 19,00 19,25 19,70 19,40 19,40 19,99 19,65% 19,24% Hái cã sù kh¸c nhau nµo ®¸ng kÓ gi÷a hai ph ¬ng ph¸p trªn kh«ng? (xi2-xtb2)2
0,122
0,002
0,058
0,212
0,026 xi2-xtb2
0,35
0,04
0,24
0,46
0,16 xi2
18,89
19,20
19,00
19,70
19,40 xi1-xtb1
0,45
0,85
1,00
0,40
0,25
0,24 Ta cã b¶ng sau (tr íc hÕt dïng chuÈn F ®Ó xem cã thÓ so s¸nh hai ph ¬ng ph¸p nµy víi nhau
kh«ng)
x i1
20,01
20,05
18,65
19,25
19,40
19,99
19,65 (xi1-xtb1)2
0,202
0,722
1,000
0,160
0,062
0,116
2,262 19,24 0,420 262,2
420,0 5/
4/ 33 Do ®ã, ta cã F = = 4,31 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 ,2 420 Xem trong b¶ng, gi¸ trÞ F t ¬ng øng lín h¬n. Do ®ã, cã thÓ so s¸nh hai ph ¬ng ph¸p nµy víi nhau. Lóc nµy, ta tÝnh sp 262
11 ,0
2
= 0,546 Sp = 24,19 Do ®ã, ta tÝnh ® îc t lµ: 65,19
,0
546 56
5
6
t = = 1,23 Gi¸ trÞ nµy nhá h¬n gi¸ trÞ trong b¶ng øng víi ®é tin cËy 95%, do ®ã kh«ng cã sù kh¸c nhau
®¸ng kÓ nµo gi÷a hai ph ¬ng ph¸p. 3.3.2. So s¸nh ®é sai biÖt: V× Ph ¬ng sai ®Æc tr ng cho ®é sai biÖt, nªn so s¸nh ®é sai biÖt , chÝnh lµ so s¸nh ph ¬ng sai. Ng êi ta sö dông chuÈn Fisher ®Ó so s¸nh: S( 21 2
1 2
)S
2 2
S
1
2
S
2 f,f,p(F ) ChuÈn Fisher: 3.21 2 ® îc chÊp nhËn khi vµ chØ khi F kh«ng ®¸ng tin cËy. 2 = S2 2 ® îc chÊp nhËn khi vµ chØ khi F ®¸ng tin cËy . 2 S2 Khi ®ã: Gi¶ thiÕt H0: S1
( FtÝnh < Fb¶ng ( p,f1,f2 ) ).
Gi¶ thiÕt Ha: S 1
( FtÝnh > Fb¶ng ( p,f1,f2 ) ). 2
1 2 2 > S2 2 > 1 nªn : S1 2 S V× : S ViÖc so s¸nh FtÝnh vµ Fb¶ng lu«n phô thuéc vµo ®é tin cËy thèng kª cho tr íc. VÝ dô 3.5 : Hai nghiªn cøu A vµ B thu ® îc kÕt qu¶ nh sau : 5
4,55
4,53
13
4,90
4,66 6
4,45
4,55
14
4,50
- 7
4,55
4,60
15
4,45
- 8
4,39
4,64
16
4,66
- 4
4,59
4,72
12
4,66
4,56
20
4,22 1
A 4,40
B 4,42
9
A 4,75
B 4,29
17
A 4,80
B - 2
4,56
4,47
10
4,72
4,52
18
4,36
- 3
4,42
4,70
11
4,53
4,57
19
4,75
- - x 75,4 0295 a/ TÝnh c¸c ®¹i l îng ®Æc tr ng cña tËp hai kÕt qu¶ nghiªn cøu trªn.
b/ So s¸nh gi¸ trÞ trung b×nh vµ gi¸ trÞ ph ¬ng sai cña 2 nghiªn cøu A vµ B.
Gi¶i : A 2
2
S
A S
B vµ H0 S 2
,0
A 1
20 34 x 56,4 0139 Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 B 2
2
S
A S
B vµ Ha S 2
,0
B 1
13 2
A
2
B S F 54,2 12,2
F
)12,19,95(b ,0
,0 0259
0139 S KÕt luËn : chÊp nhËn H0, b¸c bá Ha VÝ dô 3.6: Ta x©y dùng mét ph ¬ng ph¸p s¾c ký x¸c ®Þnh l îng ® êng trong huyÕt thanh. Sö
dông chuÈn F ®Ó so s¸nh kÕt qu¶. Cho biÕt cã sù kh¸c nhau ®¸ng kÓ nµo gi÷a hai ph ¬ng ph¸p
kh«ng? Ph ¬ng ph¸p cña ta Ph ¬ng ph¸p Folin-Wu mg/ml mg/ml 127 130 125 128 123 131 130 129 131 127 126 125 129 Trung b×nh
S2 Trung b×nh
S2 127
8,3 128
4,8 Do ®ã , F = 1,73. Tõ b¶ng ta cã Fb = 4,95. Tõ ®ã suy ra kh«ng cã sù kh¸c biÖt ®¸ng kÓ nµo gi÷a hai ph ¬ng ph¸p. B A 3..3.3.Bµi to¸n so s¸nh 2 tû sè : p
A p
B X
N X
N A B - §Ó so s¸nh 2 tû sè : vµ , ta dïng chuÈn t : A B p p1q X
N X
N
A
pq B
pq A B p p
Trong ®ã : vµ 3.22 ttÝnh = A B N N - Cã hai ®iÒu kiÖn ®Ó ¸p dông c«ng thøc trªn : 1/ MÉu ph¶i ®ñ lín, Ýt nhÊt ph¶i cã : NA p , NB p 5 vµ NA q , NB q 5 2/ p vµ q ph¶i gÇn 0,5 , nghÜa lµ xa 1 vµ 0 , cô thÓ ta ph¶i cã : p > 0,1 vµ q < 0,9 hoÆc p < 0,9 vµ q > 0,1 - Bµi to¸n khi ®ã víi gi¶ thiÕt thèng kª vµ kÕt luËn th«ng kª nh sau: 35 * Gi¶ thiÕt thèng kª : H0 pA pB ; Ha pA pB Lª §øc Ngäc – Xö lý sè liÖu vµ KÕ ho¹ch ho¸ thùc nghiÖm- Khoa ho¸,§HQGHN. 2001 * KÕt luËn thèng kª : t < 1,96 : chÊp nhËn H0, b¸c bá Ha ( = 0,05 )
t > 1,96 : chÊp nhËn Ha, b¸c bá H0 ( = 0,05 ) VÝ dô 3.7: TiÕn hµnh hai l« nghiªn cøu, L« 1 cã 300 X1 trong ®ã cã 250 Y1, l« 2 cã 400 X2 trong ®ã cã 240 Y2. Víi = 0,05 h·y ®¸nh gi¸ xem tû lÖ cña hai l« cã gièng nhau hay kh¸c nhau? 833,0 6,0 Gi¶i:
-TÝnh tû lÖ : p1 p 2 250
300 240
400 vµ p 7,0 -¸p dung c«ng thøc 250
300 240
400
vµ q =1-0,7=0,3 ,0 833 6,0 65,6 f;95,0(t 96,1) 700 698 2
- tÝnh ttinh : 3,07,0
300 3,07,0
400 ttÝnh= 36 KÕt luËn : Tû lÖ cña hai l« lµ kh¸c nhau ®¸ng tin cËy ë ng ìng 95%.
'N
S
d
)d
n
x
in
x
jin
![Bài tập Đại số tuyến tính [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250930/dkieu2177@gmail.com/135x160/79831759288818.jpg)
