Bài giảng Xử lý ảnh số
22
GV. Mai Cường Thọ
•
Hệ thống tuyến tính (T là toán tử tuyến tính): Hệ thỏa mãn nguyên lý xếp chồng
và nguyên lý tỉ lệ.
nếu ),(),();,(),(
2211
yxZyxSyxZyxS
TT
→→
,
thì với ),(.),(.),(),(),(
2121
yxZbyxZayxbSyxaSyxS
T
+→+=
- Nếu T là toán tử tuyến tính thì ta có
dudvvyuxvuSyxS ),(),(),( −−=
∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
δ
∫ ∫∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−−=−−== dudvvyuxTvuSdudvvyuxvuSTyxSTyxZ )],([),(]),(),([)],([),( δδ
Nhớ lại
yxhvyuxT
uv
),()],([ =−−δ
: đáp ứng của hệ thống TTBB đối với tác động là xung
dirac tại tọa độ (u,v) - gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến. Ta thấy
rằng đáp ứng của hệ thống phụ thuộc vào thời điểm tác động nên rất khó xây dựng
hệ thống.
•
Với hệ thống tuyến tính bất biến dịch:
yxhyxT ),()],([
=
δ
vyuxhvyuxT ),()],([
−
−
=
−
−
δ
Ta có công thức tích chập (convolution)
),(),(),(
),(),(
),(
yxhyxSyxZ
dudvvyuxhvuS
yxZ
⊗=
−−
=∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
Với tín hiệu rời rạc, ta có công thức tổng chập
),(),(),(
),(),(),(
nmhnmSnmZ
lnkmhlkSnmZ
k l
⊗=
−−=
∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
Ví dụ: Tính tổng chập sau:
),(),(),( nmhnmSnmx
⊗
=
với
n
-1
1
1 1
S(m,n)
m
n
4
1
2 3
h(m,n)
m
Bài giảng Xử lý ảnh số
23
GV. Mai Cường Thọ
)1,1(),1()1,(),(
)1,1()1,1(),1()0,1()1,()1,0(),()0,0(
)1,1(),1(),(),0(),(),(
),(),(),(),(),(
1
0
1
0
1
0
1
0
−−+−−−+=
−−+−+−+=
−−+−=−−=
−−=⊗=
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
= = = =
∞
∞=
∞
−∞=
nmhnmhnmhnmh
nmhSnmhSnmhSnmhS
nmhlSlnmhlSlnkmxhlkS
lnkmhlkSnmhnmSnmx
k l l l
k l
MatLab: Lệnh: conv2(S,h)
2.3 Các tính chất của tổng chập
a. Tính giao hoán
∑ ∑ ∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
−−=−−
⊗
=
⊗
k l k l
lnkmSlkGknkmGlkS
nmSnmGnmGnmS
),(),(),(),(
),(),(),(),(
b. Tính kết hợp
[
]
[
]
),(),(),(),(),(),(),(),(),(
321321321
nmSnmSnmSnmSnmSnmSnmSnmSnmS ⊗⊗=⊗⊗=⊗⊗
Ghép nối nối tiếp 2 hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h
1
, h
2
tương đương với:
tương đương với
h
1
(m,n) h
2
(m,n)
V(m,n) G(m,n) S(m,n)
n
4
1
2 3
h(m,n)
m
2
1 4
n
0
0
3
h(m,n-1)
m
3
2
0
0 0
n
0
0
h(m-1,n-1)
m
1 4
3 2
1
6
3
n
5
1
x(m,n)
m
-4
5
0 4
n
1
0
h(m-1,n)
m
2 3
S(m,n) G(m,n)
h
1
(m,n)
⊗
h
2
(m,n)
h
1
(m,n)
h
2
(m,n)
G(m,n) S(m,n)
Bài giảng Xử lý ảnh số
24
GV. Mai Cường Thọ
c. Tính chất phân phối với phép cộng
),(),(),(),(),(),(),(
3121321
nmSnmSnmSnmSnmSnmSnmS ⊗+⊗=+⊗
Ghép nối song song 2 hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h
1
, h
2
Tương đương với
Ví dụ:
Cho một hệ thống xử lý ảnh được thiết kế như hình vẽ, hãy xác định đáp ứng G(m,n)
của hệ thống.
Với
Giải
Ta có
[
]
[ ]
),(),(),(),(
),(),(),(),(),(),(
321
32
nmhnmhnmhnmS
nmhnmhnmSnmhnmSnmG
⊗+⊗=
⊗+⊗=
S(m,n) g(m,n)
h
1
(m,n) + h
2
(m,n)
n
-1
1
1 1
h
1
(m,n)
m
n
1
j
1 j
h
2
(m,n)
m
n
1
-j
1 j
h
3
(m,n)
m
n
1
1
1 1
S(m,n)
m
h
1
(m ,n)
h
2
(m ,n) h
3
(m ,n)
+
G(m,n) S(m,n)
h
1
(m,n)
h
2
(m,n)
+
V
1
(m,n)
V
2
(m,n)
S(m,n) G(m,n)
Bài giảng Xử lý ảnh số
25
GV. Mai Cường Thọ
Tính riêng: h
2
(m,n)⊗h
3
(m,n)
)1,1(),1()1,(),(
)1.1()1,1(),1()0,1()1,()1,0(),()0,0(
),1(),1(),(),0(
),(),(),(),(
3333
32323232
1
032
1
032
1
0
1
03232
−−+−+−+=
−−+−+−+=
−−+−=
−−⋅=⊗
∑∑
∑∑
==
= =
nmjhnmhnmhnmjh
nmhhnmhhnmhhnmhh
lnmhlhlnmhlh
lnkmhlkhnmhnmh
ll
k l
h(m,n)=h
1
(m,n)+h
*
(m,n)
K
ế
t qu
ả
cu
ố
i cùng c
ủ
a h
ệ
th
ố
ng ta có:
∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−−=⊗
k l
lnkmhlkSnmhnmS ),(),(),(),(
Khai tri
ể
n công th
ứ
c trên v
ớ
i S(m,n) và H(m,n) ta s
ẽ
thu
đượ
c tín hi
ệ
u ra G(m,n).
1
-j
1
n
0
0
j
h
3
(m,n-1)
m
n
1
0 1
-j
0 j
h
3
(m-1,n)
m
jh
3
(m-1,n-1)
n
0
0 1
0
0
j
m
0 j -1
h
2⊗
h
3
n
j
1
j
-1
jh
3
(m,n)
m
h
*
(m,n)
n
1
0 2
0
1
2j
m
1 2j -1
h(m,n)
n
1
1 3
-1
2
2j
m
1 2j -1
Bài giảng Xử lý ảnh số
26
GV. Mai Cường Thọ
CHƯƠNG IV
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ẢNH
Các phép bi
ế
n
đổ
i
ả
nh là cách ti
ế
p c
ậ
n th
ứ
hai
đượ
c áp d
ụ
ng trong tín hi
ệ
u s
ố
nói chung và trong x
ử
lý
ả
nh nói riêng. Phép bi
ế
n
đổ
i (transform) là thu
ậ
t ng
ữ
dùng
để
ch
ỉ
vi
ệ
c chuy
ể
n
đổ
i s
ự
bi
ể
u di
ễ
n c
ủ
a m
ộ
t
đố
i t
ượ
ng t
ừ
không gian này sang m
ộ
t
không gian khác, t
ừ
cách bi
ể
u di
ễ
n này sang cách bi
ể
u di
ễ
n khác, ví d
ụ
phép bi
ế
n
đổ
i Fourier, Z, Laplace. Nói chung m
ụ
c
đ
ích c
ủ
a các phép bi
ế
n
đổ
i
ở
đ
ây là c
ố
g
ắ
ng
phân tích
để
bi
ể
u di
ễ
n tín hi
ệ
u d
ướ
i d
ạ
ng t
ổ
ng có tr
ọ
ng s
ố
c
ủ
a các tín hi
ệ
u c
ơ
b
ả
n,
đặ
c bi
ệ
t mà ta có th
ể
th
ấ
y rõ
đượ
c tính ch
ấ
t c
ủ
a chúng.
- Nh
ớ
l
ạ
i phép bi
ế
n
đổ
i Fourier tín hi
ệ
u r
ờ
i r
ạ
c m
ộ
t chi
ề
u:
∑
∑
∞
−∞=
−
∞
−∞=
=
=
n
knj
k
knj
enx
N
kX
ekXnx
ω
ω
).(
1
)(
).()(
Ta có
ωω
ω
sincos je
j
+=
là một tín hiệu điều hòa phức cơ bản.
- Đối với ảnh số, ta có thể mô tả như sau:
Các S
ij
là các ảnh cơ sở, các a
ij
là các hệ số phân tích
I. Phép biến đổi Unitar (Unitary Transform)
1. Ma trận trực giao và ma trận Unitar
• Cho A là một ma trận vuông
• A trực giao khi: hay
I
AA
T
=
Trong đó A
-1
là ma trận đảo của A.
A
T
là ma trận chuyển vị của A.
• Ma trận A được gọi là ma trận Unitar nếu:
A
-1
= A
*T
hay AA
*T
= I
A
*
là ma trận liên hợp của A
S
S
11
S
12
S
MN
a
11
+ a
11
+ a
MN
+ …
A
A
T
=
−1