Bài giảng Xử lý ảnh số
29
GV. Mai Cường Thọ
Hay ta có công thức:
Trong đó:
Kết luận: với hình ảnh cơ sở k
a
∗là cột k của ma trân A
*T
, ta tách
S
r
thành các hình
ảnh cơ sở thông qua các hệ số của
V
r
3 Phép biến đổi Unitar 2 chiều
Cho ma trận Unitar A
NxN
, với ảnh s(m, n) ta có công thức biến đổi Unitar
của ảnh S như sau:
Cặp biến đổi Unitar 2 chiều:
)()()(
1
*
1
kvkvns
N
kkn
N
knk
ab ∑∑
==
==
bbb bbb bbb
A
T
333231
232221
131211
*
=
k
n
b
a
nkkn
=
*
)1(...)1()0(
*
1
*
1
*
0
−+++=
→
−
→→
→
NVvvS
a
a
a
N
Các hinh
ảnh cơ sở
hệ số phân tích
V = ASA
T
(Xác định hệ số phân tích)
S= A
*T
VA
*
(Xác định ảnh cơ sở)
Hay S=
∑∑
−
=
−
=
1
0
1
0
,
*
),(
N
k
N
l
lk
lkVA
, với
A
lk
*
,
: là hình ảnh cơ sở
aa
A
T
lk
lk
**
*
,
=
Trong đó :
a
k
*
và
a
l
*
là các cột thứ k và l của A
*T
Bài giảng Xử lý ảnh số
30
GV. Mai Cường Thọ
Ví dụ: Cho ma trận Unitar A và ảnh S, hãy xác định các ảnh cơ sở của S qua phép
biến đổi
Giải:
* Xác định hệ cơ sở:
V= ASA
T
=
A
*T
=
* Xác định các
aa
A
T
lk
lk
**
*
,
=
Ta có :
1
1
2
1
*
0
=
a
và
1
1
2
1
*
1
−
=
a
11
11
2
1
11
1
1
2
1
*
0
*
0
*
00
===
aa
A
T
,
11
11
2
1
11
1
1
2
1
*
0
*
1
*
10
−−
=
−
==
aa
A
T
11
11
2
1
11
1
1
2
1
*
1
*
0
*
01
−
−
=−==
aa
A
T
,
11
11
2
1
11
1
1
2
1
*
1
*
1
*
11
−
−
=−
−
==
aa
A
T
* Như vậy S có thể biểu diễn qua các hình ảnh cơ sở như sau:
11
11
0
11
11
11
11
2
1
11
11
2
5
43
21
−
−
+
−−
−
−
−
−==S
11
11
2
1
−
=A và 43
21
=S
04
210
2
1
11
11
22
64
2
1
11
11
43
21
11
11
2
1
−
−
=
−−−
=
−−
11
11
2
1
−
Hình ảnh cơ sở
Bài giảng Xử lý ảnh số
31
GV. Mai Cường Thọ
Ví dụ 2:
Cho ma trận Unitar A và ảnh S, hãy xác định V và
A
lk
*
,
1
1
2
1
j
j
A=
và
43
21
=S
Giải:
* V= ASA
T
=
jj
jj
j
j
jj
jj
j
j
j
j
5351
5153
2
1
1
1
243
4231
2
1
1
1
43
21
1
1
2
1
++
+−+−
=
++
++
=
* A
*T
=
1
1
2
1
j
j
−
−
* Tính
aa
A
T
lk
lk
**
*
,
=
với
j
a
−
=
1
2
1
*
0
và
1
2
1
*
1
j
a
−
=
1
1
2
1
1
1
2
1
*
0
*
0
*
00
−−
−
=−
−
== j
j
j
j
aa
A
T
j
j
j
j
aa
A
T
−
−
=−
−
== 1
1
2
1
1
1
2
1
*
1
*
0
*
01
j
j
j
j
aa
A
T
−
−−
=−
−
== 1
1
2
1
1
1
2
1
*
0
*
1
*
10
1
1
2
1
1
1
2
1
*
1
*
1
*
11
j
j
j
j
aa
A
T
−
−−
=−
−
==
II. Biến đổi Fourier
1. Biến đổi Fourier 1 chiều
Cho f(x) là hàm liên tục với biến thực x. Biến đổi Fourier của f(x) là
ℑ
(
)
xf
:
ℑ
(
)
xf
= F(u) = dxxf
e
uxj π2
)(
−
∞
∞−
∫
Trong đó j=
1−
Cho F(u), f(x) có thể nhận được bằng cách biến đổi Fourier ngược (IFT):
ℑ
-1
(
)
}
uF
= f(x) = duuF
e
uxj
∫
∞
∞−
π2
)(
Bài giảng Xử lý ảnh số
32
GV. Mai Cường Thọ
Công thức trên là cặp biến đổi Fourier tồn tại nếu f(x) liên tục và có thể tích phân
được, và F(u) cũng có thể tích phân được. Trong thực tế các điều kiện trên luôn thoả
mãn.
Với f(x) là hàm thực, biến đổi Fourier của hàm thực nói chung là số phức:
F(u) = R(u) + j I(u)
Trong đó R(u) và I(u) là thành phần thực và thành phần ảo của F(u). Ta thường biểu
diễn dưới dạng hàm mũ
F(u)=
e
uj
uF
)(
)(
φ
Trong đó:
)()()(
22
uIuRuF +=
và
=
)(
)(
tanarg)( uR
uI
u
φ
-
F(u)
được gọi là phổ biên độ Fourier của f(x), và
)(u
φ
gọi là góc pha.
- Biến u thường được gọi là biến tần số (phần biểu diễn hàm mũ) =
e
uxj
π
2
−
, theo công
thức Euler:
e
uxj
π
2
−
= cos(2πux) – jsin(2πux)
Vậy ta có thể nói rằng, biến đổi Fourier tạo ra một cách biểu diễn khác của tín
hiệu dưới dạng tổng có trọng số các hàm sin và cosin (2 hàm trực giao)
Ví dụ:
Ta có hàm f(x) như sau:
F(u) = dxxf
e
uxj
∫
∞
∞−
−π2
)( =
dxA
Xuxj
e
∫
−
0
2π
=
[
]
euxj
uj
A
X
π
π
2
2
0
−
−
=
[
]
1
2
2
−
−
−
e
uxj
uxj
A
π
π
=
[
]
eeee
uxjuxjuxjuxj
ux
u
A
uj
A
ππππ
π
ππ
−−−
=− )sin(
2
22
Đó là một hàm phức, phổ Fourier:
)(
)sin(
)sin()( ux
ux
Axnux
u
A
uF
e
uxj
π
π
π
π
==
−
A
f(x)
X x
Bài giảng Xử lý ảnh số
33
GV. Mai Cường Thọ
2. Biến đổi Fourier 2 chiều
Biến đổi Fourier có thể mở rộng cho hàm f(x, y) với 2 biến. Nếu f(x, y) là
hàm liên tục và tích phân được và F(u, v) cũng tích phân được, thì cặp biến đổi
Fourier 2 chiều sẽ là : ℑ
{ }
∫ ∫
+−
∞
∞−
== dxdyyxfvuFyxf
e
vyuxj
)(2
),(),(),(
π
ℑ
-1
{ }
∫ ∫
∞
∞−
+
== dudvvuFyxfvuf
e
vyuxj
)(2
),(),(),(
π
Trong đó u, v là biến tần số.
Cũng như biến đổi Fourier 1 chiều, ta có phổ biên độ, phổ pha, cho trường hợp 2
chiều:
),(),(),(
22
vuIvuRvuF +=
và
=),(
),(
tanarg),(
vuR
vuI
vu
φ
Ví dụ: xác định biến đổi Fourier của hàm trên hình sau:
F(u, v)=
Y
vyj
X
X Y uxj
vyjuxjvyuxj
vyjuxj
AdydxAdxdyyxf
ee
eee
0
2
0
0 0
2
22)(2
22
),(
−
−
==
−−
−−+−
∞
∞−
∫ ∫ ∫∫
ππ
ππ
πππ
=
[ ] [ ]
=−
−
−
−
−−
−−
vY
vY
uX
uX
AXY
vjuj
A
ee
ee
vYjuXj
YjuXj
π
π
π
π
ππ
ππ
ππ
)sin()sin(
1
2
1
1
2
22
Phổ công suất của nó:
vY)(
vY)sin(
uX)(
)Xusin(
XY),(
2
π
π
π
π
AvuF
=
Các tính chất của biến đổi Fourier
A
X
Y
F(x,y)
x
y