CHƯƠNG 2 CHƯƠNG 2
ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ----- ----- ----- -----
1
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT Hệ PT ĐSTT
1. Định nghĩa định thức cấp n:
n
j
+
j
1
Định nghĩa 1: Cho A là ma trận vuông cấp n, định thức của A
j
1 =
là một số thực bằng )1 −∑ ( 1
⋯ ⋯
n n
det det
∆ = ∆ =
= =
Ký hiệu định thức:
aA A a = = ij
a M j 1 a 11 a a 21 21 ⋮
a a n 12 1 a a a a 2 22 2 22 ⋮ ⋱ ⋮ ⋯
a
a
a
nn
n
n 1
2
1 2 3
Định thức con M1j là định thức của ma trận có được từ A bằng cách xóa đi dòng 1 và cột j
4 5
Ví dụ:
A
4 5 6
M = 13
7 8
2
7 8 9
=
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
Định nghĩa 2: Phần phụ đại số của các phần tử dòng 1, ký hiệu là
A1j, được định nghĩa qua các định thức con M1j
j
j
A 1
1
bằng công thức: j )1 M+ ( 1 = −
n
j
a A j 1 1
∆ = ∑
j
1 =
3
Khi đó định thức của ma trận vuông cấp n của A là:
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
Định lý 1 (Định lý Laplace)
Phần phụ đại số của các phần tử dòng 1, ký hiệu là A1j, được
định nghĩa qua các định thức con M1j bằng công thức:
det
∆ =
=
+
... + +
a A in in
a A ij ij
A a A i 1
i 1
a A i i 2
2
= ∑
1j= =
a) dòng i: (công thức khai triển định thức theo dòng i) n
n
det
∆ =
=
+
... + +
j
j
j
a A nj nj
a A ij ij
A a A 1 1
a A j 2 2
= ∑
i
1 =
j
M+
b) cột j: (công thức khai triển định thức theo cột j)
( = −
)1 i
A ij
ij
4
Trong đó Aij là phần phụ đại số:
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
• Công thức tính định thức MT cấp 2 và 3
a) Định thức MT cấp 2:
A
a b c d
=
a b
A
det
∆ =
=
=
ad bc −
c d
b) Định thức MT cấp 3: b) Định thức MT cấp 3:
A
a a 13 13 a 23 a 33
a a 11 11 a 21 a 31
a a 12 12 a 22 a 32
A
det
=
∆ =
=
=
+
+
−
−
3 32
= a 12 a 22 a 3 2 a a a − 13 22 31
a a a 11 22 33
a a 11 12 a a 21 22 a a 31 32 a a a 12 23 31
a a 11 13 a a 21 23 a a 33 1 3 a a a 13 21 32
a a a 11 2
a a a 1 3 12 2 3 5
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
d
b −
−
0 a
c
e
Ví dụ: Tính định thức của ma trận a
A
=
b
− 0 c
− 0
− 0
d
e
0
0
Để giảm chi phí tính toán khi áp dụng định lý Laplace thường ta
sẽ chọn khai triển theo dòng (cột) có nhiều số không nhất.
Khai triển theo dòng 3.
A
det
∆ =
=
+
+
+
a A 31 31
a A 32 32
a A 33 33
a A 34 34
6
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
A
=
( = −
)3 1 M+ 1
31
31
[ e be cd −
]
a
b
d
−
−
−
M M
c c
e e
= =
= =
3 1 )3 1 + e+ ) e 1 1
31
b b c
d d e
− − −
− − −
c
e
e
b
d
e
e
b
cd
=
−
−
=
−
0 0 e (
− − 0 )(
( ( − = − − = − 0 ( ) − − −
)(
)
[
]
7
A
= −
−
( = −
)3 2 M+ 1
32
32
[ d be cd
]
b
d
−
−
+
M
c
e
d
=
=
)3 1 1
32
b c
d e
− −
− −
0 a d
− 0
e
c
d
b
d
=
−
−
=
−
( − = − 0 ( ) − − −
(
)(
)(
)
[ d be cd
]
be be cd
cd be cd
∆ =
−
−
−
=
be cd −
• Vậy
(
)
(
)
(
)2
8
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
1
2
A
B
.
,
=
2 − 4
3 1
=
2 − 1
1 1
3 2
VD 2. Tính định thức của các ma trận sau: 1 −
Giải
3 3
2− 2 −
A
det
.
=
=
3.4 1( 2) 14 − − =
B
4 1 − 1
1 3
det
1 2 2 −
=
=
−
−
+
+
[ 1.( 2).1 2.1.2 3.1.( 1)
]
1
1
2
9
12.
−
− +
+
−
= −
[
] 2.( 2)( 1) 3.2.1 1.1.1
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
A
.
=
det
VD 3. Tính định thức của ma trận 1 − 1 − 2 5 ( 1). + − 1 4 +
+ 1 3 +
A 14 M det
Giải. A
0 0 3 4 1 2 3 1 0 2 3 3 A A 3. 0. + 13 12 M ( 1) det − −
A 0. = 11 3( 1) = −
13
14
4 1 3 3 1
1 − 2
4 1 2 3 1 0
=
+
= − . 49
2 3
5
2 3 3
10
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
2. Các tính chất cơ bản của định thức:
T
A
det
=A
Nhận xét: Tính chất 1 chứng tỏ rằng một kết luận đúng với
dòng thì nó cũng đúng với cột. Do đó các tính chất sau đây
ta chỉ phát biểu cho dòng. ta chỉ phát biểu cho dòng.
1
3
2
1
2
Tính chất 1: det
VD 4.
.
2 1
2
3
1 − 1
12
=
= −
− 1
1
2
2 − 1
1
1 −
11
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
2. Các tính chất cơ bản của định thức:
Tính chất 2: Khi hoán vị hai dòng, định thức sẽ thay đổi dấu. Gọi A’
A
det
′ = −A
3
2
1
1
1 1
1
2 1
2 1
1 − 2
− 2
1
.
= −
− 1
1
1
− 3
2
2 = − 3
1
2
là ma trận có được bằng cách hoán vị 2 dòng khác nhau của A thì det
1 VD 5. 2 1 −
2
3
x
2
5
x y
x y
3 3 1 2 2 1
1
Nếu hai dòng của ma trận có các phần tử tương ứng bằng nhau thì det(A)=0 Tính chất 3: (Hệ quả t/c 2)
VD 6.
= ; 0
= . 0
2
5
12
y
y
1 1 7
1
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
2. Các tính chất cơ bản của định thức:
khác 0 thì det(A) tăng lên α lần.
Tính chất 4: Nếu nhân một dòng của ma trận A với một số α
Tính chất 5: Nếu các phần tử ở dòng i của ma trận A có dạng
C
A
aij=bj+cj thì det
det
det
=
b
Chú ý:
B + trong đó B và C là hai ma trận có dòng thứ i gồm trong đó B và C là hai ma trận có dòng thứ i gồm các phần tử lần lượt là bj và cj. Từ t/c 4 và 5 ta có thể phát biểu tổng quát như sau: Nếu dòng i của ma trận A có dạng: =
c + λ µ j
a ij
j
A
C
B
det
det
λ
µ
=
13
Thì: det + trong đó B và C là hai ma trận có dòng thứ i gồm các phần tử lần lượt là bj và cj.
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
3.1 0 3.( 1) 2
1
1 0 3 2 1
VD 7.
− 2 −
=
1 − − ; 2 7
3 1
3
1
3
7 3
3
3
x
.
(
=
+
3
x y z
x y z
x x x
x y z
x y 3 z
1 1) 1 1
1 1 1
+ + +
3
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
1
1
+
3
3
3
x
y
x
y
y
1
1
.
VD 8.
=
+
+
y 3
y 3
y 3
x
z
z
x
z
z
z
z
1
−
1 −
14
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
2. Các tính chất cơ bản của định thức:
Tính chất này dễ dàng suy ra được từ t/c 6 và chú ý
ở trên.
Tính chất 6: Nếu ma trận A có một dòng là dòng 0 thì det(A)=0
Tính chất 7: Nếu hai dòng của ma trận A có các hệ số tương ứng Tính chất 7: Nếu hai dòng của ma trận A có các hệ số tương ứng
tỉ lệ nhau thì det(A)=0.
(Hệ quả của
Nếu ma trận A có một dòng là tổ hợp tuyến
tính của hai dòng khác thì det(A)=0
t/c 3 và 4)
15
Tính chất 8: (Hệ quả của t/c 6 và 7)
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
2. Các tính chất cơ bản của định thức:
Tính chất 9: Định thức không thay đổi khi cộng vào một dòng tổ hợp
tuyến tính của các dòng khác.
Như vậy: Nếu A’ có được từ A qua phép biến đổi sơ cấp trên dòng loại (III) thì det(A’)=det(A)
Tính chất 10: Nếu A’ có được từ A qua hữu hạn các phép biến đổi Nếu A’ có được từ A qua hữu hạn các phép biến đổi Tính chất 10: (Tổng quát sơ cấp trên dòng loại (III) thì det(A’)=det(A) hóa t/c 9)
Nhắc lại:
16
Vì det(A)=det(AT) nên các t/c từ (2) đến (9) vẫn đúng khi ta thay chữ “dòng” bằng chữ “cột”
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
3. Định thức của tích ma trận. Điều kiện cần và đủ để
ma trận vuông khả nghịch.
• Định thức của tích ma trận:
Định lý:
A
B
det
det
) =AB
(
Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n, ta có det
Hệ quả: Cho A, A1, A2,…, Ak là các ma trận vuông cấp n, ta có
i)
A
det
...
det
det
A… det
=
)
k
k
A A A 2
1
A 1
2
m
m
N
ii)
A
A
det
det
=
m ∀ ∈
(
)
( (
)
det
(
) 1 − =A
iii) Nếu A khả nghịch thì
A
1 ( det
)
17
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
• Điều kiện cần và đủ để ma trận khả nghịch:
det
Định lý: Để ma trận vuông cấp n A khả nghịch, điểu kiện cần và đủ là định thức của A khác không.
(
) 0≠A
A khả nghịch khi và chỉ khi
det
Chứng minh:
(
) 0≠A
⇒
Điều kiện cần: A khả nghịch =>
A
B
det
det
det
det
det
1
⇔
=
=
) =AB
(
)
(
)
Do A khả nghịch => tồn tại B sao cho AB=I ( ( ) I
( ) I
A
B
det
0 det
0
⇔
≠ ∧
≠
(
)
(
)
⇒
det
0
18
(
) ≠A
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
det
(
) 0≠A
Điều kiện đủ: A khả nghịch
Ta cần chứng minh: tồn tại ma trận B sao cho AB=BA=I
Nghĩa là ta sẽ tìm ma trận B sao cho AB=BA=I
21
⋯ ⋯ ⋯
2
B sẽ được tìm thông qua ma trận liên hợp của A có dạng như sau:
V A
=
A A 11 A 12 ⋮
A A A A n 1 A A n 22 ⋮ ⋱ ⋮ ⋯
A
nn
n
A n 1
A 2
19
trong đó các Aij là phần phụ đại số.
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
21
⋯ ⋯
⋯ ⋯
n
2
Bây giờ ta sẽ xét tích AAV
V C AA =
=
a 11 a 21 ⋮
A 11 A 12 ⋮
a a n 1 12 a a 22 2 ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯
A A n 1 A A n 22 ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯
A A
a a nn nn
a a n n
nn nn
n n
a a n n 1 1
2 2
A A n n 1 1
A A 2 2
n
c ij
a A ik
jk
= ∑
k 1 = n
Phần tử bất kỳ của C:
(*)
c ii
a A ik ik
= ∑
k
1 =
20
Trường hợp i=j, ta có
vế phải của (*) chính là công thức khai triển định thức theo dòng i.
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
Trường hợp i≠j, ta sẽ cm cij=0.
⋯
a 12
⋯
a i
2
Gọi D là ma trận có được từ A bằng cách thay các phần tử dòng j bằng các phần tử dòng i. Vậy D là ma trận có 2 dòng i và j giống nhau
D
⋯
a i
{ dong j a i 1 ⋮
2 ⋮
⋮
=
a a 1n 11 ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ { a dong i a in i 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ a in ⋮
21
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
Theo tính chất thứ 3 thì định thức của D bằng 0
n
det
(
d D jk
jk
= ∑D )
k
1 =
d
d
=
=
a ik ik
Áp dụng công thức khai triển theo dòng j của định thức D:
k k
n n
1, 1,
= =
jk jk D
ik ik A
=
jk
jk
n
0 det =
=
Mà Mà
(
a A ik
jk
c ij
∑D ) =
k
1 =
22
Vậy:
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
Cuối cùng ta được:
V C AA =
=
⋯ 0 0 ⋯ 0 ∆ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯
0
0
∆
∆ 0 ⋮
Vậy ta chọn B như sau:
B
V A
=
V A
A
1 − =
11 ∆ Hay nói cách khác: A khả nghịch và ma trận nghịch đảo của A là: 1 ∆
23
Định lý được chứng minh.
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
⋯ ⋯
• Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận liên hợp
21
2
Giả sử rằng A khả nghịch (det(A)≠0). Lập ma trận liên hiệp của A ký hiệu là AV bằng cách: thay các phần tử của A bằng các phần phụ đại số tương ứng, sau đó ta chuyển vị ma trận vừa tìm được. Khi đó AV có dạng như sau: A A
V A
=
A A 11 A 12 ⋮
A A n 1 ⋯ A A n 22 ⋮ ⋱ ⋮
⋯
A
n
nn
A n 1
A 2
V
24
A
A
1 ∆
Ma trận khả nghịch của A là: 1 − =
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
4. Các phương pháp tính định thức.
1. Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) loại (III) để triệt tiêu tất cả các phần tử trên dòng (cột) trừ một phần tử của dòng (cột) đó 2. Dẫn về định thức ma trận tam giác: khi đó định thức được tính theo
n
…
a a
det det
= =
) )
a a ii
nn
a a a a 11 22
=∏A( ( =∏A
i
1 =
công thức
25
trong đó các aii là các phần tử trên đường chéo chính của ma trận tam giác A.
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
x
1
.
1 2 1 2 −
3 − ; 1
VD 9. Tính các định thức
1 1 x 1 x
2
3
4
1 1
3
2 2
1 2 0 4
6
d 2 d d → + 3 4 4 ====
= −
d
d → − 3
3
2 1 1 2 − 2 3
3 d d d d d d → + → + 2 2 1 1 1 − ==== d 2 1 4
1 0 0
2 4 1
−
3 2 2 −
0 0
3 2 3 − 2
26
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
x
x
x
x
2
2
2
d 1
2
3
+ x
x
1
+ 1
(
2) 1
d d d → + + 1 =====
=
+
1 1 x 1 x
+ 1 x
1 1 1 x 1 x
1 1
1
1
1 1
2
2 2
x x
x x
x x
x x
. .
( (
1 1
( (
2)( 2)(
1) 1)
+ +
= =
+ +
− −
d d d → − 2 1 ==== ==== d d d → − 1 3
3
x
1 2) 0 2) 0 0
1 − − 0
1
1 0 0 −
27
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
5. Quy tắc Cramer giải hệ phương trình đại số tuyến tính
n ẩn và n phương trình.
1. Xét hệ phương trình gồm n phương trình và n ẩn số,
được biểu diễn dưới dạng ma trận:
AX=B (*)
2. Hệ này có nghiệm duy nhất khi ma trận hệ số tự do: A
không suy biến (det(A) ≠ 0).
28
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
⋯ ⋯
n
det
∆ =
=A
a 11 a 21 ⋮
a a n 1 12 a a 22 2 ⋮ ⋱ ⋮ ⋯
a nn
a n
a n 1
2
⋯ ⋯
⋯ ⋯
j
1 +
⋯
⋯
j
n
1 −
1 +
∆ = j
3. Ký hiệu:
a a j 1 1 11 − a a j 2 21 ⋯ ⋯ ⋮ ⋯
a a n 1 1 a a 2 2 ⋯ ⋯ ⋮ ⋯
b n
a nj
a nj
a nn
a n 1
1 −
1 +
29
gọi là định thức của hệ phương trình. Và (cid:1)j (cid:1) b 1 b 2 ⋮
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
Định lý (Quy tắc Cramer)
∆
j
n
1,
=
=
jx
j ∆
Nếu hệ phương trình (*) có det(A) ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất được biểu thị bằng công thức Cramer:
x
2
+
y y
z z
3
1 3
− +
= =
x
y
z
2
+
+
1 = −
30
Ví dụ:
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT Giải
2 1
1
,
12
∆ =
= , 4
∆
=
= −
1
0 1 2 1
− 3 1
1 1 1
1 − 3 1
1 3 1 −
,
24
∆
=
=
∆
=
= − . 4
2
3
2 1 2 1 0 1 1 2
2 2 0 2
1− 1 − 3 1
1 1 3 1 −
1 1 3 1 −
x
y
z
3,
6,
1
.
=
= −
=
=
=
= −
Vậy
∆ 2 ∆
∆ 3 ∆
∆ 1 ∆
31
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
6. Hạng của ma trận Cho A là ma trận cấp mxn.
1 2 4
Ví dụ:
Lấy từ A k dòng và k cột bất kỳ: Các phần tử giao của k dòng và k cột này tạo thành ma trận vuông cấp k. Định thức của ma trận này gọi là định thức con cấp k của A. Do đó ma trận A có các định thức con cấp từ 1 đến min(m,n). min(m,n). Giữa các định thức con khác không của A có ít nhất một định thức con cấp lớn nhất. 0 0
2 4 3 5
1 0
0 3 5 0 0 4
32
0 0 0 0 0
0 4 1
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
6. Hạng của ma trận
Định nghĩa:
Cấp lớn nhất của định thức con khác không của ma trận đã cho gọi là hạng của ma trận. Ký hiệu là: rank(A) hoặc r(A)
1 2 4
0 0
2 4 3 5
1 0
det
=
12 0 ≠
Ví dụ: Ví dụ:
A
=
(
) 0=A
0
0 3 5 0 0 4
0 4 0 0 0 0 1
33
Hạng của ma trận A là 3
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
r
min
m n ,
•
6. Hạng của ma trận Nhận xét: 0 ≤ *
) ≤A
(
(
)
•
A = 0
A
) 0 = ⇔
• Một ma trận bất kỳ có thể có nhiều định thức con cùng cấp khác 0 ( r *
=
12 0 ≠
1 2 4 0 3 5 0 0 4
Ví dụ: Ví dụ:
A
=
0 0 0
1 2 4 3 5 0 0 4 0 0 0 0 1
1 2 4 0 3 5
3 0
= ≠
34
0 0 1
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
6. Hạng của ma trận
Tính chất:
i. Khi chuyển vị, hạng của ma trận không thay đổi
ii. Hạng của ma trận không thay đổi khi hoán vị hai dòng
iii. iii.
Hạng của ma trận không thay đổi khi nhân một dòng với một số Hạng của ma trận không thay đổi khi nhân một dòng với một số khác 0
iv.
Hạng của ma trận không thay đổi nếu cộng vào một dòng khác sau khi đã nhân với một số khác không.
v. Hạng của ma trận không thay đổi nếu bỏ đi một dòng toàn số 0
vi.
35
Hạng của ma trận không thay đổi nếu bỏ đi một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
6. Hạng của ma trận
Nhận xét:
•
Hạng của ma trận không thay đổi khi ta thực hiện hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
• Hai ma trận tương đương có hạng bằng nhau
Một định nghĩa khác về hạng ma trận:
•
Cho A là ma trận dạng bậc thang chính tắc. Khi đó số dòng khác không của A chính là hạng của ma trận A.
Lưu ý: Số dòng khác không của ma trận dạng bậc thang và dạng bậc
thang chính tắc là như nhau.
Định lý:
36
• Hạng của ma trận dạng bậc thang bằng số dòng khác không của nó
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
6. Hạng của ma trận
Phương pháp tìm hạng của ma trận
•
Dựa vào nhận xét thứ nhất và định lý ở trên, ta có thể tìm hạng ma trận bằng pp Gauss hoặc Gauss-Jordan.
•
37
Áp dụng pp Gauss (Gauss-Jordan): đưa ma trận về dạng bậc thang (bậc thang chính tắc), khi đó số dòng khác không của ma trận sau (bậc thang chính tắc), khi đó số dòng khác không của ma trận sau biến đổi chính là hạng của ma trận.
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
1
3 4 2
A
.
=
VD 18. Tìm hạng của ma trận
2 3
5 1 4 8 5 6
− − −
1
4
2
A A
Giải. Giải.
d 2 d d
d d 12 → − → −→ → 2 d d d d 13 3 → − 3
3
0 0 0
− 3 1 1 1
7 0 7 0 7 0
− − −
d
d
2
3
⇒
.
r A ( )
2
d → − → 3
=
1 0 0
3 − 1 0
2 4 7 0 − 0 0
38
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức VD 19. Tìm hạng của ma trận: 1
3
2
1 −
A
.
=
2
1
3
1 −
0 0 0
0
0
0
1 − −
3 3
2 2
A A
1 − 1 1 − Giải. Giải.
d d d
0 0 0 2 4 1 − d d d d → + → + → → 3 3 d d → − 4
4
2
0 0
0 0
2 1
0 4 −
2 0
1 − 0
3 0
1 1 −
d
d
4
4
3
⇒
r A ) (
4
.
d 2 → − →
=
39
0 0
0 0
2 0
0 8 −
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
6. Hạng của ma trận
Định thức con cơ sở:
•
Ma trận có hạng bằng r tức là nó chứa định thức con cấp r khác không. Một định thức bất kỳ như vậy gọi là định thức con cơ sở.
•
40
Dòng và cột mà giao điểm của chúng là các phần tử của định thức con cơ sở gọi là dòng và cột cơ sở.
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
1 2 4
1 0 2 4 0 0 3 5
12
0
=
≠
Ví dụ:
A
=
0 3 5 0 0 4
0 0 0 4 0 0 0 1
1 0 2 4
1 2 4
3 0
= ≠
Dòng 1, 2, 3 là các dòng cơ sở Cột 1, 3, 4 là các cột cơ sở Cột 1, 3, 4 là các cột cơ sở
A
=
0 0 3 5 0 0 0 4
0 3 5 0 0 1
0 0 0 1
41
Dòng 1, 2, 4 là các dòng cơ sở Cột 1, 3, 4 là các cột cơ sở
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
6. Quy tắc tổng quát giải hệ phương trình đại số tuyến
tính
• Xét hệ pt ĐSTT biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:
(*)
AX = B
A
B, X
M
M
∈
∈
,m n
n
×
1 ×
trong đó
Định lý (Kronecker - Capelli): Định lý (Kronecker - Capelli):
Hệ (*) tương thích khi và chỉ khi
A
(
)
ɶ ) r=A
ɶ [ =A A | B
trong đó là ma trận hệ số mở rộng.
( r ]
42
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
6. Quy tắc tổng quát giải hệ phương trình đại số tuyến
tính
• Biện luận số nghiệm của hệ phương trình tương thích
ɶ A
A
r
r=
(
(
) 1 +
r hoặc
(
(
)
thì Định lý: Cho hệ PT ĐSTT dạng tổng quát ) A hơn nữa
A
r=
] ) 1 +
ɶ ) r=A thì hệ vô nghiệm
i.
ɶ A
A
r
r
n
=
=
(
)
ii. nếu thì hệ có nghiệm duy nhất
ɶ A
A
r
r
n
<
=
(
)
ɶ [ =A A | B ) ( ) )
43
iii. nếu thì hệ có vô số nghiệm Hệ AX=B, ɶ nếu ( A r ( (
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT
n∈A M , ta có các điều sau tương đương
r
Định lý:
i.
ii. Hệ AX=B, ) ( n=A Hệ AX=B có nghiệm duy nhất.
44
iii. Hệ AX=0 có nghiệm tầm thường.
(cid:1)(cid:1) Chương 2. Định thức
mx
Hệ PT ĐSTT Chương 2. Định thức –– Hệ PT ĐSTT VD 2. Điều kiện của tham số m để hệ phương trình: z 8
1
−
−
+
z
2
+
+
t m 7 = t m 4 =
x my +
2
mz
1
−
m
2
2
=
+
A.
5
m ≠ ± ; D. 1
m ≠ ± .
8
7
3 t m 5 = + z mt 5 − có nghiệm duy nhất là: ệ ấ 1m ≠ ; C. −
⇒
A
A
)
r A (
det
0
Giải.
=
4 = ⇔
≠
2 m
3 0
0
45
m
0 0 2 2 m m (
5 25)
0
0m ≠ ; B. m 0 m ⇔
+
4 5 m − ≠ ⇔ ≠ ⇒ . A 0
